Giả sử A và B là hai biến cố \(\frac{{P\left( {A \cup B} \right)}}{{P\left( A \right) + P\left( B \right)}} = a\). Chứng minh rằng
a) \(\frac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( A \right) + P\left( B \right)}} = 1 - a\) ;
b) \(\frac{1}{2} \le a \le 1\).
a) Theo tính chất hai biến cố A và B bất kì cùng liên quan đến phép thử thì
\(\begin{array}{l}
P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\\
\Leftrightarrow P\left( {A \cap B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) - P\left( {A \cup B} \right)
\end{array}\)
Nên \(\frac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( A \right) + P\left( B \right)}} = \frac{{P\left( A \right) + P\left( B \right) - P\left( {A \cup B} \right)}}{{P\left( A \right) + P\left( B \right)}} = 1 - a\).
b) Vì \(P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) - P\left( {A \cap B} \right) \le P\left( A \right) + P\left( B \right)\)
Nên \(a = \frac{{P\left( {A \cup B} \right)}}{{P\left( A \right) + P\left( B \right)}} \le 1\) (1)
Vậy \(a = \frac{{P\left( {A \cup B} \right)}}{{P\left( A \right) + P\left( B \right)}} \ge \frac{1}{2}\)
Kết hợp với (1), ta có \(\frac{1}{2} \le a \le 1\).
-- Mod Toán 11