Cấp số nhân là một dãy số có tính chất đặc biệt. Bài giảng này sẽ cung cấp cho các em khái niệm cấp số nhân và các dạng toán liên quan, cùng với những ví dụ minh họa có hướng dẫn giải chi tiết sẽ giúp các em dễ dàng làm chủ nội dung phần này.
Dãy số (un) được xác định bởi \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1} = a}\\{{u_{n + 1}} = {u_n}.q}\end{array}} \right.,{\rm{ }}n \in {N^*}\) gọi là cấp số nhân; \(q\) gọi là công bội.
\( \bullet \) Số hạng thứ n được cho bởi công thức: \({u_n} = {u_1}{q^{n - 1}}\).
\( \bullet \) Ba số hạng \({u_k},{u_{k + 1}},{u_{k + 2}}\) là ba số hạng liên tiếp của cấp số nhân khi và chỉ khi \(u_{k + 1}^2 = {u_k}.{u_{k + 2}}\).
\( \bullet \) Tổng \(n\) số hạng đầu tiên \({S_n}\) được xác định bởi công thức :
\({S_n} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n} = {u_1}\frac{{1 - {q^n}}}{{1 - q}}\)
Phương pháp:
\( \bullet \) Dãy số \(({u_n})\) là một cấp số nhân \( \Leftrightarrow \frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = q\) không phụ thuộc vào n và \(q\) là công bội.
\( \bullet \) Ba số \(a,b,c\) theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân \( \Leftrightarrow ac = {b^2}\).
\( \bullet \) Để xác định một cấp số nhân, ta cần xác định số hạng đầu và công bội. Do đó, ta thường biểu diễn giả thiết của bài toán qua \({u_1}\) và \(q\).
Cho cấp số nhân (un) có các số hạng khác không, tìm \({u_1}\) biết:
a) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1} + {u_2} + {u_3} + {u_4} = 15}\\{u_1^2 + u_2^2 + u_3^2 + u_4^2 = 85}\end{array}} \right.\)
b) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1} + {u_2} + {u_3} + {u_4} + {u_5} = 11}\\{{u_1} + {u_5} = \frac{{82}}{{11}}}\end{array}} \right.\)
a) Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1}(1 + q + {q^2} + {q^3}) = 15\\u_1^2\left( {1 + {q^2} + {q^4} + {q^6}} \right) = 85\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}\frac{{{q^4} - 1}}{{q - 1}} = 15\\u_1^2\frac{{{q^8} - 1}}{{{q^2} - 1}} = 85\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow {\left( {\frac{{{q^4} - 1}}{{q - 1}}} \right)^2}\left( {\frac{{{q^2} - 1}}{{{q^8} - 1}}} \right) = \frac{{45}}{{17}} \Leftrightarrow \frac{{({q^4} - 1)(q + 1)}}{{(q - 1)({q^4} + 1)}} = \frac{{45}}{{17}} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}q = 2\\q = \frac{1}{2}\end{array} \right.\)
Từ đó ta tìm được \({u_1} = 1,{u_1} = 8\).
b) Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1}\left( {1 + q + {q^2} + {q^3} + {q^4}} \right) = 11\\{u_1}(1 + {q^4}) = \frac{{82}}{{11}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}q(1 + q + {q^2}) = \frac{{39}}{{11}}\\{u_1}(1 + {q^4}) = \frac{{82}}{{11}}\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow \frac{{{q^4} + 1}}{{{q^3} + {q^2} + q}} = \frac{{82}}{{39}} \Leftrightarrow q = 3,q = \frac{1}{3}\).
Cho cấp số nhân \(({u_n})\) thỏa: \(\left\{ \begin{array}{l}{u_4} = \frac{2}{{27}}\\{u_3} = 243{u_8}\end{array} \right.\).
a) Viết năm số hạng đầu của cấp số.
b) Tính tổng 10 số hạng đầu của cấp số.
c) Số \(\frac{2}{{6561}}\) là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số?
Gọi \(q\) là công bội của cấp số. Theo giả thiết ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}{u_1}{q^3} = \frac{2}{{27}}\\{u_1}{q^2} = 243.{u_1}{q^7}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}{q^3} = \frac{2}{{27}}\\{q^5} = \frac{1}{{243}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}q = \frac{1}{3}\\{u_1} = 2\end{array} \right.\)
a) Năm số hạng đầu của cấp số là:\({u_1} = 2,{u_2} = \frac{2}{3},{u_3} = \frac{2}{9};{u_4} = \frac{2}{{27}},{u_5} = \frac{2}{{81}}\).
b) Tổng 10 số hạng đầu của cấp số
\({S_{10}} = {u_1}\frac{{{q^{10}} - 1}}{{q - 1}} = 2.\frac{{{{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^{10}} - 1}}{{\frac{1}{3} - 1}} = 3\left[ {1 - {{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^{10}}} \right] = \frac{{59048}}{{19683}}\).
c) Ta có: \({u_n} = \frac{2}{{{3^{n - 1}}}} \Rightarrow {u_n} = \frac{2}{{6561}} \Leftrightarrow {3^{n - 1}} = 6561 = {3^8} \Rightarrow n = 9\)
Vậy \(\frac{2}{{6561}}\) là số hạng thứ 9 của cấp số.
Vấn đề 3: Tìm điều kiện để dãy số lập thành cấp số nhân
Phương pháp: \(a,b,c\) theo thứ tự đó lập thành CSN \( \Leftrightarrow ac = {b^2}\).
Ta có: \(1,{x^2},6 - {x^2}\) lập thành cấp số nhân \( \Leftrightarrow {x^4} = 6 - {x^2} \Leftrightarrow x = \pm \sqrt 2 .\)
Tìm \(x,y\) biết:
a) Các số \(x + 5y,5x + 2y,8x + y\) lập thành cấp số cộng và các số
\({\left( {y - 1} \right)^2},xy - 1,{\left( {x + 1} \right)^2}\) lập thành cấp số nhân.
b) Các số \(x + 6y,5x + 2y,8x + y\) lập thành cấp số cộng và các số \(x + \frac{5}{3}y,y - 1,2x - 3y\) lập thành cấp số nhân.
a) Ta có hệ: \(\left\{ \begin{array}{l}x + 5y + 8x + y = 2(5x + 2y)\\{(x + 1)^2}{(y - 1)^2} = {(xy - 1)^2}\end{array} \right.\) giải hệ này ta tìm được
\((x;y) = \left( { - \sqrt 3 ; - \frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right);\left( {\sqrt 3 ;\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)\).
b) Ta có hệ: \(\left\{ \begin{array}{l}x + 6y + 8x + y = 2(5x + 2y)\\(x + \frac{5}{3}y)(2x - 3y) = {(y - 1)^2}\end{array} \right.\) giải hệ này ta tìm được
\((x;y) = \left( { - 3; - 1} \right);\left( {\frac{3}{8};\frac{1}{8}} \right)\).
Cấp số nhân là một dãy số có tính chất đặc biệt. Bài giảng này sẽ cung cấp cho các em khái niệm cấp số nhân và các dạng toán liên quan, cùng với những ví dụ minh họa có hướng dẫn giải chi tiết sẽ giúp các em dễ dàng làm chủ nội dung phần này.
Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 11 Chương 3 Bài 4để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.
Dãy số \({u_n} = {4.3^n}\) có phải là cấp số nhân không? Nếu phải hãy xác định số công bội?
Dãy số \({u_n} = 3n - 1\) có phải là cấp số nhân không? Nếu phải hãy xác định số công bội?
Cho cấp số nhân có 7 số hạng, số hạng thứ tư bằng 6 và số hạng thứ 7 gấp 243 lần số hạng thứ hai. Hãy tìm số hạng còn lại của CSN đó.
Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 11 Chương 3 Bài 4 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Giải tích 11 Cơ bản và Nâng cao.
Bài tập 1 trang 103 SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 2 trang 103 SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 3 trang 103 SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 4 trang 104 SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 5 trang 104 SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 6 trang 104 SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 3.27 trang 131 SBT Toán 11
Bài tập 3.28 trang 131 SBT Toán 11
Bài tập 3.29 trang 131 SBT Toán 11
Bài tập 3.30 trang 131 SBT Toán 11
Bài tập 3.31 trang 131 SBT Toán 11
Bài tập 3.32 trang 131 SBT Toán 11
Bài tập 3.33 trang 131 SBT Toán 11
Bài tập 3.34 trang 132 SBT Toán 11
Bài tập 3.35 trang 132 SBT Toán 11
Bài tập 3.36 trang 132 SBT Toán 11
Bài tập 29 trang 120 SGK Toán 11 NC
Bài tập 30 trang 120 SGK Toán 11 NC
Bài tập 31 trang 121 SGK Toán 11 NC
Bài tập 32 trang 121 SGK Toán 11 NC
Bài tập 33 trang 121 SGK Toán 11 NC
Bài tập 34 trang 121 SGK Toán 11 NC
Bài tập 35 trang 121 SGK Toán 11 NC
Bài tập 36 trang 121 SGK Toán 11 NC
Bài tập 37 trang 121 SGK Toán 11 NC
Bài tập 38 trang 121 SGK Toán 11 NC
Bài tập 39 trang 122 SGK Toán 11 NC
Bài tập 40 trang 122 SGK Toán 11 NC
Bài tập 41 trang 122 SGK Toán 11 NC
Bài tập 42 trang 122 SGK Toán 11 NC
Bài tập 43 trang 122 SGK Toán 11 NC
Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán DapAnHay sẽ sớm trả lời cho các em.
-- Mod Toán Học 11 DapAnHay
Dãy số \({u_n} = {4.3^n}\) có phải là cấp số nhân không? Nếu phải hãy xác định số công bội?
Dãy số \({u_n} = 3n - 1\) có phải là cấp số nhân không? Nếu phải hãy xác định số công bội?
Cho cấp số nhân có 7 số hạng, số hạng thứ tư bằng 6 và số hạng thứ 7 gấp 243 lần số hạng thứ hai. Hãy tìm số hạng còn lại của CSN đó.
Tìm x biết \(1,{x^2},6 - {x^2}\) lập thành cấp số nhân.
Tìm \(m\) để phương trình \({x^3} - 3m{x^2} + 4mx + m - 2 = 0\) có ba nghiệm lập thành cấp số nhân.
Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số nhân?
Cho cấp số nhân (un) có u1=5; u2 = 8. Tìm u4
Cho một cấp số nhân có 5 số hạng với công bội dương. Biết rằng số hạng thứ hai bằng 3, số hạng thứ tư bằng 6. Tính tổng của cấp số nhân đó?
Cho tam giác ABC cân (AB=AC), có cạnh đáy BC, đường cao AH, cạnh bên AB theo thứ tự đo lập thành một cấp số nhân. Hãy tính công bội q của cấp số nhân đó
Tìm các số (x,y) biết y < 0 và các số x+6y, 5x+2y, 8x+y theo thứ tự lập thành cấp số cộng đồng thời các số \(x + \frac{5}{3}\), y -1, 2x – 3y theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân.
Cho cấp số nhân (un) với công bội q ≠ 0 và u1 ≠ 0. Cho các số nguyên dương m và k, với m ≥ k. Chứng minh rằng um = uk.qm−k
Áp dụng:
a. Tìm công bội q của cấp số nhân (un) có u4 = 2 và u7 = − 686.
b. Hỏi có tồn tại hay không một cấp số nhân (un) mà u2 = 5 và u22 = −2000 ?
Hãy tìm số hạng tổng quát của cấp số nhân (un) , biết rằng u3 = −5 và u6 = 135.
Chu kì bán rã của nguyên tố phóng xạ poloni 210 là 138 ngày (nghĩa là sau 138 ngày khối lượng của nguyên tố chỉ còn một nửa). Tính (chính xác đến hàng phần trăm) khối lượng còn lại của 20 gam poloni 210 sau 7314 ngày (khoảng 20 năm).
Tính các tổng sau :
a. Tổng tất cả các số hạng của một cấp số nhân, biết rằng số hạng đầu bằng 18, số hạng thứ hai bằng 54 và số hạng cuối bằng 39 366;
b. Tổng tất cả các số hạng của một cấp số nhân, biết rằng số hạng đầu bằng 12561256 , số hạng thứ hai bằng −1512−1512 và số hạng cuối bằng 1104857611048576
Bốn góc lượng giác có số đo dương lâp thành một cấp số nhân có tổng là 3600. Hãy tìm bốn góc đó, biết rằng số đo của góc lớn nhất gấp 8 lần số đo của góc nhỏ nhất.
Hãy chọn những khẳng định đúng trong các khẳng định dưới đây:
a. Nếu các số thực a, b, c mà abc ≠ 0, theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng với công sai khác 0 thì các số \(\frac{1}{a},\frac{1}{b},\frac{1}{c}\) theo thứ tự đó cũng lập thành một cấp số cộng.
b. Nếu các số thực a, b, c mà abc ≠ 0, theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân thì các số \(\frac{1}{a},\frac{1}{b},\frac{1}{c}\) theo thứ tự đó cũng lập thành một cấp số nhân.
c. \(1 + \pi + {\pi ^2} + ... + {\pi ^{100}} = \frac{{{\pi ^{100}} - 1}}{{\pi - 1}}\)
Các số x+6y, 5x+2y, 8x+y theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng; đồng thời các số x–1, y+2, x–3y theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân. Hãy tìm x và y.
Cho cấp số cộng (un) với công sai khác 0. Biết rằng các số u1u2, u2u3 và u3u1 theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân với công bội q ≠ 0. Hãy tìm q.
Số hạng thứ hai, số hạng đầu và số hạng thứ ba của một cấp số cộng với công sai khác 0 theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân. Hãy tìm công bội của cấp số nhân đó.
Hãy tìm ba số hạng đầu tiên của một cấp số nhân, biết rằng tổng của chúng bằng \(\frac{{148}}{9}\) và đồng thời các số hạng đó tương ứng là số hạng đầu, số hạng thứ tư và số hạng thứ tám của một cấp số cộng.
Cho dãy số (un) xác định bởi
u1 = 1 và un + 1 = 5un + 8 với mọi n ≥ 1.
a. Chứng minh rằng dãy số (vn), với vn = un + 2, là một cấp số nhân. Hãy tìm số hạng tổng quát của cấp số nhân đó.
b. Dựa vào kết quả phần a, hãy tìm số hạng tổng quát của dãy số (un).
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
Câu trả lời của bạn
\(\begin{array}{l}
{S_n} = \frac{n}{2}\left( {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right) = \frac{n}{2}\left( {2 + 2\left( {n - 1} \right)} \right)\\
= {n^2} = 64 \Rightarrow n = 8
\end{array}\)
Vậy x=un=u1+(n-1)d=1+7.2=15
A. u1=-2 B. u2=4
C. u3=-6 D. u4=-8
Câu trả lời của bạn
Thay trực tiếp hoặc dùng chức năng CALC: u1=-2.1=-2; u2=(-1)2.2.2=4;u3=(-1)3.2.3=6;u4=(-1)4.2.4=8
Câu trả lời của bạn
Ta có: un = 4+(n-1).3 = 3n+1, 1 ≤ n ≤ 100
vn = 1+ (k-1).5 = 5k -4, 1 ≤ k ≤ 100
Để một số là số hạng chung của hai cấp số cộng ta phải có:
3n +1 =5k -4 ⇔3n = 5(k-1)⇒ n⋮5 tức là n = 5t, k =1 + 3t, t ∈ Z
Vì 1 ≤ n ≤ 100 nên 1 ≤ t ≤ 20. Có 20 số hạng chung của hai dãy
Câu trả lời của bạn
Ta có: y = qx, z = x. q2. Vì x, 2y, 3z lập thành CSC nên ta có:
x + 3 x. q2=2.2qx ⇔ 1 + 3q2=4q ⇔q=1(loại) hoặc q = 1/3.
Câu trả lời của bạn
Các số 5 + m, 7 + 2m, 17 + m theo thứ tự lập thành cấp số cộng nên:
5 + m + 17 + m = 2(7 + 2m) ⇔ m = 4.
Câu trả lời của bạn
Ta có x = 6(x – 6) ⇔ x = 7.2. Từ đó suy ra y = 6x = 43.2.
Câu trả lời của bạn
Vì 8, x, 128 theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân nên ta có:
x2=8.128 ⇒ x=±36.
A. Dãy (un) bị chặn trên
B. Dãy (un) bị chặn dưới
C. Dãy (un) bị chặn
D. Các mệnh đề A,B,C đều sai
Câu trả lời của bạn
zn+1 = 1 + (4n+1).2n+1; zn = 1 + (4n-3).2n
⇒ zn+1 -zn=2n (4n+5) > 0 ∀n ∈ N*
⇒ (zn) tăng ⇒ zn ≥ z1=3 ∀n ∈ N*
Câu trả lời của bạn
Ta có: B ≤ A ≤ C ≤ D nên A < 180º
Lại có tan A không xác định nên A = 90º
Do 4 góc tứ giác lập thành cấp số cộng và B ≤ A ≤ C ≤ D nên
B = 90 - d; C = 90 + d; D = 90 + 2d.
Ta có: A + B + C + D = 360 ⇒ 90 + 90 – d + 90 + d + 90 + 2d = 360
⇒ d = 0 ⇒ A = B = C = D = 90º.
A. Dãy zn là dãy tăng
B. Dãy zn bị chặn dưới
C. Cả A và B đề sai
D. Cả A và B đều đúng
Câu trả lời của bạn
un = n2 – 4n + 7 = (n -2)2 + 3 ≥ 3
⇒ (un) bị chặn dưới bởi 3
(un) không bị chặn trên bởi vì n càng lớn thì un càng lớn
Câu trả lời của bạn
u23 + u57 = 29 ⇔ u1 + 22d + u1 + 56d = 29 ⇔ 2 u1 + 78d = 29
3 u1 + u10 + u70 + u157 = 3 u1 + u1 + 9d + u1 + 69d + u1 + 156d = 6 u1 + 234d
= 3(2 u1 + 78d) = 3.29 = 87
Câu trả lời của bạn
u4 + u8 + u12 + u16 = 224 <=> u1 + 3d + u1 + 7d + u1 + 15d = 224
⇔ 4 u1 + 36d = 224 ⇔ u1 + 9d = 56
Ta có: S19 = (19/2).(2 u1 + 18d) = 19(u1 + 9d) = 19.56 = 1064
Câu trả lời của bạn
Ta có: u2 + u22 = 40 ⇔ u1 + d + u1 + 21d = 40 ⇔ 2u1 + 22d = 40
Mà \({S_{23}} = \frac{{23}}{2}\left( {2{u_1} + 22d} \right) = \frac{{23}}{2}.40 = 460\)
Câu trả lời của bạn
u1 + u4 + u7 + u10 + u13 + u16 = 147
⇔ u1 + u1 + 3d + u1 + 6d + u1 + 9d + u1 + + 12d + u1 + 15d = 147
⇔ 6 u1 + 45d = 147 ⇔ 2 u1 + 15d = 49
Ta có: u6 + u11 = u1 + 5d + u1 + 10d = 2u1 + 15d = 49
Ta có: u1 + u6 + u11 + u16 = u1 + u1 + 5d + u1 + 10d + u1 + 15d = 4u1 + 30d
= 2(2u1 + 15d) = 2.49 = 98.
Câu trả lời của bạn
Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đều bằng tích của số hạng đứng ngay trước nhân với một số không đổi q.
Số không đổi q được gọi là công bội của cấp số nhân.
Câu trả lời của bạn
Ba số hạng đầu của dãy số (xn) là 1, 4, 9. Vì \(4 = 1.4;9 \ne 4.4\) nên dãy số (xn) không phải là cấp số nhân.
\( - 3, - 1, - \frac{1}{3}, - \frac{1}{9}, - \frac{1}{{27}}, - \frac{1}{{81}}.\)
Câu trả lời của bạn
Ta có \(1 = - 2 + 3;\quad \quad \quad \;\; - 1 = - 3.\frac{1}{3};\quad \quad \quad \;\;\; - \frac{1}{3} = - 1.\frac{1}{3};\quad \quad \quad - \frac{1}{9} = - \frac{1}{3}.\frac{1}{3};\)
\( - \frac{1}{{27}} = - \frac{1}{9}.\frac{1}{3};\quad \quad \quad - \frac{1}{{81}} = - \frac{1}{{27}}.\frac{1}{3}.\quad \quad \quad \)
Theo định nghĩa cấp số nhân, dãy số \( - 3, - 1, - \frac{1}{3}, - \frac{1}{9}, - \frac{1}{{27}}, - \frac{1}{{81}}.\) là một cấp số nhân với công bội \(q = \frac{1}{3}\).
A. (an) là dãy số tăng và an = 3n2 – 3n + 1.
B. (an) là dãy số giảm và an = 3n2 + 3n + 1.
C. (an) là dãy số tăng và an = 3n2 – 3n – 1.
D. (an) là dãy số tăng và an = 3n2 – 3n – 11.
Câu trả lời của bạn
Ta có a1 + a2 + … + an = Sn = n3 và có a1 + a2 + … + an-1 = Sn-1 = (n – 1)3
Suy ra an = Sn – Sn-1 = n3 – (n – 1)3 = 3n2 – 3n + 1.
Ta có an = 3n2 – 3n + 1.
và an-1 = 3(n – 1)2 – 3(n – 1) + 1 = 3n2 – 9n + 7.
Do đó an – an-1 = 6n – 1 ≥ 0.
Dấu bằng chỉ xảy ra khi n – 1 = 0 hay n = 1. suy ra dãy số (an) là dãy số tăng.
Câu trả lời của bạn
Ta có \({z_{n + 1}} = \frac{2}{{n + 1}}\) nên \(\frac{{{z_{n + 1}}}}{{{z_n}}} = \frac{n}{{n + 1}}\) (phụ thuộc vào n, không phải là số không đổi).
Do đó (zn) không phải là một cấp số nhân.
Câu trả lời của bạn
Ta có \({y_{n + 1}} = {\left( {\sqrt 5 } \right)^{2(n + 1) - 3}} = {\left( {\sqrt 5 } \right)^{2n - 1}}\) nên \(\frac{{{y_{n + 1}}}}{{{y_{_n}}}} = {\left( {\sqrt 5 } \right)^2} = 5\) (là số không đổi). Do đó, (yn) phải là cấp số nhân với công bội
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *