Cho dãy số (un): \(\left\{ \begin{array}{l}
{u_1} = 0\\
{u_{n + 1}} = \frac{{2{u_n} + 3}}{{{u_n} + 4}},\,\,n \ge 1
\end{array} \right.\)
a) Lập dãy số (xn) với \({x_n} = \frac{{{u_n} - 1}}{{{u_n} + 3}}\). Chứng minh dãy số (xn) là cấp số nhân.
b) Tìm công thức tính xn, un theo n.
a) Để chứng minh
là cấp số nhân ta chỉ ra tỉ số \(\frac{{{x_{n + 1}}}}{{{x_n}}}\) là hằng số:Theo giả thiết ta có:
\(\begin{array}{l}
{u_{n + 1}} = \frac{{2{u_n} + 3}}{{{u_n} + 4}}\\
\Leftrightarrow {u_{n + 1}}({u_n} + 4) = 2{u_n} + 3\\
\Leftrightarrow {u_{n + 1}}.{u_n} + 4{u_{n + 1}} = 2{u_n} + 3\\
\Leftrightarrow {u_{n + 1}}{u_n} = 2{u_n} - 4{u_{n + 1}} + 3
\end{array}\)
Khi đó:
\(\begin{array}{l}
\frac{{{x_{n + 1}}}}{{{x_n}}} = \frac{{{u_{n + 1}} - 1}}{{{u_{n + 1}} + 3}}:\frac{{{u_n} - 1}}{{{u_n} + 3}} = \frac{{\left( {{u_{n + 1}} - 1} \right)\left( {{u_n} + 3} \right)}}{{\left( {{u_{n + 1}} + 3} \right)\left( {{u_n} - 1} \right)}}\\
= \frac{{{u_{n + 1}}.{u_n} - {u_n} + 3{u_{n + 1}} - 3}}{{{u_{n + 1}}.{u_n} + 3{u_n} - {u_{n + 1}} - 3}}\\
= \frac{{2{u_n} - 4{u_{n + 1}} + 3 - {u_n} + 3{u_{n + 1}} - 3}}{{2{u_n} - 4{u_{n + 1}} + 3 + 3{u_n} - {u_{n + 1}} - 3}}\\
= \frac{{{u_n} - {u_{n + 1}}}}{{5{u_n} - 5{u_{n + 1}}}} = \frac{1}{5}
\end{array}\)
Vậy (xn) là cấp số nhân với \({x_1} = - \frac{1}{3},q = \frac{1}{5}\)
b) \({x_n} = \left( { - \frac{1}{3}} \right).{\left( {\frac{1}{5}} \right)^{n - 1}}\)
Từ giả thiết
\(\begin{array}{l}
{x_n} = \frac{{{u_n} - 1}}{{{u_n} + 3}} \Rightarrow {u_n} = \frac{{3{x_n} - 1}}{{1 - {x_n}}} = \frac{{3\left( { - \frac{1}{3}} \right){{\left( {\frac{1}{5}} \right)}^n} - 1}}{{1 - \left( { - \frac{1}{3}} \right){{\left( {\frac{1}{5}} \right)}^n}}}\\
= \frac{{ - {{\left( {\frac{1}{5}} \right)}^n} - 1}}{{1 + \frac{1}{3}{{\left( {\frac{1}{5}} \right)}^n}}}
\end{array}\)
-- Mod Toán 11