Phương pháp quy nạp toán học là một dạng toán hay nhưng để làm quen các em sẽ gặp không ít khó khăn. Vì vậy trong bài học sẽ làm rõ thế nào là chứng minh quy nạp toán học? Việc vận dụng phương pháp pháp quy nạp vào giải toán sẽ được thực hiện như thế nào?
Cho \({n_0}\) là một số nguyên dương và \(P(n)\) là một mệnh đề có nghĩa với mọi số tự nhiên \(n \ge {n_0}\). Nếu
(1) \(P({n_0})\) là đúng và
(2) Nếu \(P(k)\) đúng, thì \(P(k + 1)\)cũng đúng với mọi số tự nhiên \(k \ge {n_0}\);
thì mệnh đề P(n) đúng với mọi số tự nhiên\(n \ge {n_0}\) .
Khi ta bắt gặp bài toán:
Chứng minh mệnh đề \(P(n)\) đúng với mọi số tự nhiên \(n \ge {n_0},\)\({n_0} \in \mathbb{N}\) ta có thể sử dụng phương pháp quy nạp như sau
Bước 1: Kiểm tra \(P({n_0})\) có đúng hay không. Nếu bước này đúng thì ta chuyển qua bước hai
Bước 2: Với \(k \ge {n_0}\), giả sử \(P(k)\) đúng ta cần chứng minh \(P(k + 1)\) cũng đúng.
Kết luận: \(P(n)\) đúng với \(\forall n \ge {n_0}\).
Lưu ý: Bước 2 gọi là bước quy nạp, mệnh đề \(P(k)\) đúng gọi là giả thiết quy nạp.
Phương pháp: Giả sử cần chứng minh đẳng thức \(P(n) = Q(n)\) (hoặc \(P(n) > Q(n)\)) đúng với \(\forall n \ge {n_0},{\rm{ }}{n_0} \in \mathbb{N}\) ta thực hiện các bước sau:
Bước 1: Tính \(P({n_0}),{\rm{ }}Q({n_0})\) rồi chứng minh \(P({n_0}) = Q({n_0})\)
Bước 2: Giả sử \(P(k) = Q(k);{\rm{ }}k \in \mathbb{N},k \ge {n_0}\), ta cần chứng minh
\(P(k + 1) = Q(k + 1)\).
Chứng minh rằng \(\forall n \in {{\rm N}^*}\) ta luôn có đẳng thức sau:
\(1 + 2 + ... + n = \,\frac{{n(n + 1)}}{2}\)
Đặt \({A_n} = 1 + 2 + ... + n = \,\frac{{n(n + 1)}}{2}\,\)
Với n=1, ta có: \(1 = \frac{{1.(1 + 1)}}{2} = 1\) (đúng)
Giả sử với \(n = k \ge 1\) ta có:
\({A_n} = 1 + 2 + ... + n = \,\frac{{n(n + 1)}}{2}\,\) (giả thiết quy nạp)
Ta phải chứng minh: \({A_{n + 1}} = 1 + 2 + ... + n + (n + 1) = \,\frac{{(n + 1)(n + 2)}}{2}\)
Ta có: \({A_{n + 1}} = 1 + 2 + ... + n + (n + 1) = \,\frac{{n(n + 1)}}{2} + (n + 1)\)
\(\Leftrightarrow {A_{n + 1}} = \,\frac{{n(n + 1) + 2(n + 1)}}{2} = \frac{{(n + 1)(n + 2)}}{2}\) ( điều phải chứng minh).
Vậy \(1 + 2 + ... + n = \,\frac{{n(n + 1)}}{2}\) \(\forall n \in {{\rm N}^*}\).
Chứng minh rằng \(\forall n \in {{\rm N}^*}\) ta luôn có đẳng thức sau:
\(1 + 3 + ... + {(2n - 1)^2} = \,\frac{{n(4{n^2} - 1)}}{3}\)
Đặt \({A_n} = 1 + 3 + ... + {(2n - 1)^2} = \,\frac{{n(4{n^2} - 1)}}{3}\)
Với n= 1: \({(2.1 - 1)^2} = \frac{{1.({{4.1}^2} - 1)}}{3} = 1\) (đúng)
Giả sử với \(n = k \ge 1\) ta có:
\(1 + 3 + ... + {(2n - 1)^2} = \,\frac{{n(4{n^2} - 1)}}{3}\) (giả thiết quy nạp)
Ta phải chứng minh:
\({A_{n + 1}} = 1 + 3 + ... + {(2n - 1)^2} + \,{[2(n + 1) - 1]^2} = \,\frac{{(n + 1)[4{{(n + 1)}^2} - 1]}}{3}\,\)
Ta có: \(VT = 1 + 3 + ... + {(2n - 1)^2} + \,{[2(n + 1) - 1]^2}\)
Theo giả thiết quy nạp ở trên: \(VT = \frac{{n(4{n^2} - 1)}}{3} + \,{[2(n + 1) - 1]^2}\)
= \(\frac{{4{n^3} - n + 3{{(2n + 1)}^2}}}{3}\) \(= \frac{{4{n^3} - n + 12{n^2} + 12n + 3}}{3}\)
\(= \frac{{4{n^3} + 12{n^2} + 11n + 3}}{3}\) \(= \frac{{4{n^3} + 4{n^2} + \,8{n^2} + 8n + 3n + 3}}{3}\)
\(VT = \frac{{(n + 1)(4{n^2} + 8n + 3)}}{3}\) (1)
Ta lại có: \({\rm{VP}} = \,\frac{{(n + 1)[4{{(n + 1)}^2} - 1]}}{3}\,\)
\(= \,\frac{{(n + 1)[4({n^2} + 2n + 1) - 1]}}{3}\,\)
\(= \,\frac{{(n + 1)(4{n^2} + 8n + 4 - 1)}}{3}\,\)
\({\rm{VP}} = \,\frac{{(n + 1)(4{n^2} + 8n + 3)}}{3}\,\) (2)
Từ (1) và (2): \({A_{n + 1}} = 1 + 3 + ... + {(2n - 1)^2} + \,{[2(n + 1) - 1]^2} = \,\frac{{(n + 1)[4{{(n + 1)}^2} - 1]}}{3}\,\)
Vậy \(1 + 3 + ... + {(2n - 1)^2} = \,\frac{{n(4{n^2} - 1)}}{3}\) \(\forall n \in {{\rm N}^*}\).
Chứng mình với mọi số tự nhiên \(n \ge 1\) ta luôn có: \(1 + 2 + 3 + ... + n = \frac{{n(n + 1)}}{2}\)
Đặt \(P(n) = 1 + 2 + 3 + ... + n\) : tổng n số tự nhiên đầu tiên : \(Q(n) = \frac{{n(n + 1)}}{2}\)
Ta cần chứng minh \(P(n) = Q(n){\rm{ }}\forall n \in \mathbb{N},n \ge 1\).
Bước 1: Với \(n = 1\) ta có \(P(1) = 1,{\rm{ }}Q(1) = \frac{{1(1 + 1)}}{2} = 1\)
\( \Rightarrow P(1) = Q(1) \Rightarrow (1)\) đúng với \(n = 1\).
Bước 2: Giả sử \(P(k) = Q(k)\) với \(k \in \mathbb{N},k \ge 1\) tức là:
\(1 + 2 + 3 + ... + k = \frac{{k(k + 1)}}{2}\) (1)
Ta cần chứng minh \(P(k + 1) = Q(k + 1)\), tức là:
\(1 + 2 + 3 + ... + k + (k + 1) = \frac{{(k + 1)(k + 2)}}{2}\) (2)
Thật vậy: \(VT(2) = (1 + 2 + 3 + ... + k) + (k + 1)\)
\( = \frac{{k(k + 1)}}{2} + (k + 1)\) (Do đẳng thức (1))
\( = (k + 1)(\frac{k}{2} + 1) = \frac{{(k + 1)(k + 2)}}{2} = VP(2)\)
Vậy đẳng thức cho đúng với mọi \(n \ge 1\).
Chứng minh với mọi số tự nhiên \(n \ge 1\) ta luôn có: \(1 + 3 + 5 + ... + 2n - 1 = {n^2}\)
Lời giải:
\( \bullet \) Với \(n = 1\) ta có \({\rm{VT}} = 1,{\rm{ VP}} = {1^2} = 1\)
Suy ra \(VT = VP \Rightarrow \) đẳng thức cho đúng với \(n = 1\).
\( \bullet \) Giả sử đẳng thức cho đúng với \(n = k\) với \(k \in \mathbb{N},k \ge 1\) tức là:
\(1 + 3 + 5 + ... + 2k - 1 = {k^2}\) (1)
Ta cần chứng minh đẳng thức cho đúng với \(n = k + 1\), tức là:
\(1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) + (2k + 1) = {\left( {k + 1} \right)^2}\) (2)
Thật vậy: \(VT(2) = (1 + 3 + 5 + ... + 2k - 1) + (2k + 1)\)
\( = {k^2} + (2k + 1)\) (Do đẳng thức (1))
\( = {(k + 1)^2} = VP(1.2)\)
Vậy đẳng thức cho đúng với mọi \(n \ge 1\).
Chứng minh rằng \(\forall n \in {{\rm N}^*}\) :
\({n^3} + 2n\) chia hết cho 3.
Đặt \({A_n} = {n^3} + 2n\)
Với n= 1: \({A_n} = 1 + 2 = 3\, \vdots \,3\)
Giả sử với \(n = k \ge 1\) ta có:
\({A_n} = {n^3} + 2n\,\, \vdots \,\,3\) (giả thiết quy nạp)
Ta phải chứng minh:
\({A_{n + 1}} = {(n + 1)^3} + 2(n + 1)\,\, \vdots \,\,3\)
Ta có: \({A_{n + 1}} = {(n + 1)^3} + 2(n + 1)\, = \,{n^3} + 3{n^2} + 3n + 1 + 2n + 2\)
\(= \,{n^3} + 2n + 3({n^2} + n + 1)\)
Theo giả thiết quy nạp: \({n^3} + 2n\,\, \vdots \,\,3\)
Đồng thời: \(3({n^2} + n + 1)\,\, \vdots \,\,3\)
Vậy \({A_{n + 1}} = {(n + 1)^3} + 2(n + 1)\,\, \vdots \,\,3\)
Kết luận: \({n^3} + 2n\,\, \vdots \,\,3\) \(\forall n \in {{\rm N}^*}\)
Cho \(n\) là số tự nhiên dương. Chứng minh rằng: \({a_n} = {16^n}-15n-1 \vdots 225\)
\( \bullet \) Với \(n = 1\) ta có: \({a_1} = 0 \Rightarrow {a_1} \vdots 225\).
\( \bullet \) Giả sử \({a_k} = {16^k} - 15k - 1 \vdots 225\), ta chứng minh
\({a_{k + 1}} = {16^{k + 1}} - 15(k + 1) - 1 \vdots 225\)
Thậ vậy: \({a_{k + 1}} = {16.16^k} - 15k - 16 = {16^k} - 15k - 1 - 15\left( {{{16}^k} - 1} \right)\)
\( = {a_k} - 15\left( {{{16}^k} - 1} \right)\)
Vì \({16^k} - 1 = 15.\left( {{{16}^{k - 1}} + {{16}^{k - 2}} + ... + 1} \right) \vdots 15\) và \({a_k} \vdots 225\)
Nên ta suy ra \({a_{k + 1}} \vdots 225\). Vậy bài toán được chứng minh.
Chứng minh rằng tổng các trong một n – giác lồi \((n \ge 3)\) bằng \((n - 2){180^0}\).
\( \bullet \) Với \(n = 3\) ta có tổng ba góc trong tam giác bằng \({180^0}\)
\( \bullet \) Giả sử công thức đúng cho tất cả k-giác, với \(k < n\), ta phải chứng minh mệnh đề cũng đúng cho n-giác. Ta có thể chia n-giác bằng một đường chéo thành ra hai đa giác. Nếu số cạnh của một đa giác là k+1, thì số cạnh của đa giác kia là n – k + 1, hơn nữa cả hai số này đều nhỏ hơn n. Theo giả thiết quy nạp tổng các góc của hai đa giác này lần lượt là \(\left( {k - 1} \right){180^0}\) và \(\left( {n - k - 1} \right){180^0}\).
Tổng các góc của n-giác bằng tổng các góc của hai đa giác trên, nghĩa là \((k - 1 + n - k - 1){180^0} = (n - 2){180^0}\)
Suy ra mệnh đề đúng với mọi \(n \ge 3\).
Phương pháp quy nạp toán học là một dạng toán hay nhưng để làm quen các em sẽ gặp không ít khó khăn. Vì vậy trong bài học sẽ làm rõ thế nào là chứng minh quy nạp toán học? Việc vận dụng phương pháp pháp quy nạp vào giải toán sẽ được thực hiện như thế nào?
Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 11 Chương 3 Bài 1để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.
Chứng minh mệnh đề " \(\forall n \in {N^ * }\)ta luôn có \(1 + 2 + ... + n = \frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2}\)" bằng phươg pháp quy nạp toán học, bước 1 ta kiểm tra với giá trị nào của n?
Chứng minh mênh đề " \(\forall n \in N,n \ge 3\) ta luôn có \({3^n} > {n^2} + 4n + 5\)" bằng phương pháp quy nạp toán học, bước 1, ta kiểm tra với giá trị nào của n?
Với gá trị nào của số tự nhiên n, ta có \({2^n} > 2n + 1\)?
Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 11 Chương 3 Bài 1 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Giải tích 11 Cơ bản và Nâng cao.
Bài tập 1 trang 82 SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 2 trang 82 SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 3 trang 82 SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 4 trang 82 SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 5 trang 82 SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 3.1 trang 107 SBT Toán 11
Bài tập 3.2 trang 107 SBT Toán 11
Bài tập 3.3 trang 107 SBT Toán 11
Bài tập 3.4 trang 107 SBT Toán 11
Bài tập 3.5 trang 107 SBT Toán 11
Bài tập 3.6 trang 107 SBT Toán 11
Bài tập 3.7 trang 107 SBT Toán 11
Bài tập 3.8 trang 108 SBT Toán 11
Bài tập 1 trang 100 SGK Toán 11 NC
Bài tập 2 trang 100 SGK Toán 11 NC
Bài tập 3 trang 100 SGK Toán 11 NC
Bài tập 4 trang 100 SGK Toán 11 NC
Bài tập 5 trang 100 SGK Toán 11 NC
Bài tập 6 trang 100 SGK Toán 11 NC
Bài tập 7 trang 100 SGK Toán 11 NC
Bài tập 8 trang 100 SGK Toán 11 NC
Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán DapAnHay sẽ sớm trả lời cho các em.
-- Mod Toán Học 11 DapAnHay
Chứng minh mệnh đề " \(\forall n \in {N^ * }\)ta luôn có \(1 + 2 + ... + n = \frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2}\)" bằng phươg pháp quy nạp toán học, bước 1 ta kiểm tra với giá trị nào của n?
Chứng minh mênh đề " \(\forall n \in N,n \ge 3\) ta luôn có \({3^n} > {n^2} + 4n + 5\)" bằng phương pháp quy nạp toán học, bước 1, ta kiểm tra với giá trị nào của n?
Với gá trị nào của số tự nhiên n, ta có \({2^n} > 2n + 1\)?
Với giá trị nào của n, ta có \({3^n} > {2^n} + 7n\)?
Mệnh đề nào sau đây đúng với \(\forall n \in {N^ * }\)
Tìm số đường chéo của đa giác lồi n cạnh
Cho \({A_n} = {n^3} + 3{n^2} + 5n,n \in {N^ * }\). Tính A1?
Mệnh đề nào sau đây đúng với \(\forall n \in {N^ * }\)?
Cho \({S_n} = \frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{2.3}} + ... + \frac{1}{{n\left( {n + 1} \right)}},n \in {N^ * }\). Tính S2?
Với giá trị nào của số tự nhiên n, ta có \(\left( {1 - \frac{1}{4}} \right)\left( {1 - \frac{1}{9}} \right)...\left( {1 - \frac{1}{{{n^2}}}} \right) = \frac{{n + 1}}{{2n}}\)?
Chứng minh rằng với \(n \in N*\), ta có đẳng thức:
a) \(2 + 5+ 8+.... + 3n - 1 =\frac{n(3n+1)}{2}\);
b) \(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + ... + \frac{1}{{{2^n}}} = \frac{{{2^n} - 1}}{{{2^n}}}\);
c) \(1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2 = \frac{n(n+1)(n+2)}{6}\).
Chứng minh rằng với n ε N* ta luôn có:
a) \(n^3 + 3n^2 + 5n\) chia hết cho 3;
b) \(4n + 15n - 1\) chia hết cho 9;
c) \(n^3 + 11n\) chia hết cho 6.
Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên \(n \geq 2\), ta có các bất đẳng thức:
a) \(3^n > 3^n + 1\)
b) \(2^{n + 1} > 2n + 3\)
Cho tổng \(S_n=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{n(n+1)}\)với n ε N* .
a) Tính \(S_1, S_2, S_3\).
b) Dự đoán công thức tính tổng \(S_n\) và chứng minh bằng quy nạp.
Chứng minh rằng số đường chéo của một đa giác lồi n cạnh là \(\frac{n(n-3)}{2}\)
Chứng minh các đẳng thức sau (với n ∈ N∗)
a) \(2 + 5 + 8 + ... + \left( {3n - 1} \right) = \frac{{n\left( {3n + 1} \right)}}{2}\)
b) \(3 + 9 + 27 + ... + {3^n} = \frac{1}{2}\left( {{3^{n + 1}} - 3} \right)\)
Chứng minh các đẳng thức sau (với n ∈ N∗)
a) Chứng minh \({1^2} + {3^2} + {5^2} + ... + {\left( {2n - 1} \right)^2} = \frac{{n\left( {4{n^2} - 1} \right)}}{3}\)
b) \({1^3} + {2^3} + {3^3} + ... + {n^3} = \frac{{{n^2}{{\left( {n + 1} \right)}^2}}}{4}\)
Chứng minh rằng với mọi n ∈ N∗ ta có:
a) 2n3 − 3n2 + n chia hết cho 6.
b) 11n + 1 + 122n−1 chia hết cho 133.
Chứng minh các bất đẳng thức sau (n ∈ N∗)
a) 2n + 2 > 2n + 5;
b) sin2nα + cos2nα ≤ 1.
Với giá trị nào của số tự nhiên n ta có
a) 2n > 2n + 1 ;
b) 2n > n2 + 4n + 5 ;
c) 3n > 2n + 7n ?
Cho tổng:
\({S_n} = \frac{1}{{1.5}} + \frac{1}{{5.9}} + \frac{1}{{9.13}} + ... + \frac{1}{{\left( {4n - 3} \right)\left( {4n + 1} \right)}}\)
a) Tính S1, S2, S3, S4;
b) Dự đoán công thức tính Sn và chứng minh bằng phương pháp quy nạp.
Xét mệnh đề chứa biến P(n): "10n - 1 < n + 2017 với n ∈ N∗"
Bằng phép thử ta có P(1), P(2), P(3), P(4) là đúng. Khẳng định nào sau đây là sai?
A. P(n) đúng với mọi số chẵn n ≤ 4
B. P(n) đúng với mọi số lẻ n < 4
C. P(n) đúng với mọi số n
D. P(n) đúng với mọi số n ≤ 4
Đặt \({S_n} = \sqrt {2 + \sqrt {2 + ... + \sqrt 2 } } \). Giả sử hệ thức \({S_n} = 2\cos \frac{\pi }{{{2^{n + 1}}}}\) là đúng với n = k ≥ 1. Để chứng minh hệ thức trên cũng đúng với n = k + 1, ta phải chứng minh Sk + 1 bằng:
A. \(\underbrace {\sqrt {2 + \sqrt {2 + ... + \sqrt 2 } } }_{k + 1}\)
B. \(2\cos \frac{\pi }{{{2^{k + 2}}}}\)
C. \(2\cos \frac{\pi }{{{2^{k + 1}}}}\)
D. \(\sqrt {2 + {S_k}} \)
Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta luôn có đẳng thức sau :
\(1 + 2 + 3 + ... + n = \frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2}\) (1)
Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta luôn có đẳng thức :
\({2^2} + {4^2} + ... + {\left( {2n} \right)^2} = \frac{{2n\left( {n + 1} \right)\left( {2n + 1} \right)}}{3}\)
Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta luôn có bất đẳng thức sau :
\(1 + \frac{1}{{\sqrt 2 }} + ... + \frac{1}{{\sqrt n }} < 2\sqrt n \)
Chứng minh rằng với mọi số nguyên n ≥ 2, ta luôn có đẳng thức sau:
\(\left( {1 - \frac{1}{4}} \right).\left( {1 - \frac{1}{9}} \right)....\left( {1 - \frac{1}{{{n^2}}}} \right) = \frac{{n + 1}}{{2n}}\)
Cho n là một số nguyên lớn hơn 1. Hãy chứng minh bất đẳng thức sau:
\(\frac{1}{{n + 1}} + \frac{1}{{n + 2}} + ... + \frac{1}{{2n}} > \frac{{13}}{{24}}\)
Với mỗi số nguyên dương n, đặt un = 7.22n−2+32n−1 (1) .
Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta luôn có un chia hết cho 5.
Cho số thực x > −1. Chứng minh rằng:
(1+x)n ≥ 1+nx (1)
Với mọi số nguyên dương n.
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
Chứng minh các đẳng thức sau (với \(n\in N^{\circledast}\))
a) \(2+5+8+...+\left(3n-1\right)=\dfrac{n\left(3n+1\right)}{2}\)
b) \(3+9+27+....+3^n=\dfrac{1}{2}\left(3^{n+1}-3\right)\)
Câu trả lời của bạn
Đặt vế trái bằng \(S_n\).
Với n = 1. Vế trái chỉ có một số hạng bằng 2, vế phải bằng \(\dfrac{1.\left(3.1+1\right)}{2}=2\).
Vậy \(VP=VT\). Điều cần chứng minh đúng với n = 1.
Giả sử có \(S_k=\dfrac{k\left(3k+1\right)}{2}\). Ta phải chứng minh:
\(S_{k+1}=\dfrac{\left(k+1\right)\left[3\left(k+1\right)+1\right]}{2}=\dfrac{\left(k+1\right)\left(3k+4\right)}{2}\).
Thật vậy ta có:
\(S_{k+1}=S_k+\left[3\left(k+1\right)-1\right]\)\(=\dfrac{k\left(3k+1\right)}{2}+\left[3\left(k+1\right)-1\right]\)
\(=\dfrac{k\left(3k+1\right)}{2}+\dfrac{2\left(3k+2\right)}{2}\)\(=\dfrac{3k^2+7k+4}{2}=\dfrac{\left(k+1\right)\left(3k+4\right)}{ }\).
Vậy \(S_n=\dfrac{n\left(3n+1\right)}{2}\).
cho dãy số (un) với un=\(\frac{n}{3^n}\).
a)chứng minh rằng \(\frac{u_{n+1}}{u_n}\le\frac{2}{3}\) với mọi n .
b) bằng phương pháp quy nạp , chứng minh rằng 0≤un≤\(\left(\frac{2}{3}\right)^n\) với mọi n
Câu trả lời của bạn
\(\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{\frac{n+1}{3^{n+1}}}{\frac{n}{3^n}}=\frac{3^n.\left(n+1\right)}{n.3^{n+1}}=\frac{n+1}{3.n}=\frac{1}{3}+\frac{1}{3n}\le\frac{1}{3}+\frac{1}{3}=\frac{2}{3}\)
Bằng phương pháp quy nạp, chứng minh rằng :
a) \(n^5-n\) chia hết cho 5 với mọi \(n\in N^{\circledast}\)
b) Tổng các lập phương của ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 9
c) \(n^3-n\) chia hết cho 6 với mọi \(n\in N^{\circledast}\)
Câu trả lời của bạn
b)
Tổng bình phương 3 số tự nhiên liên tiếp là: \(n^3+\left(n+1\right)^3+\left(n+2\right)^3\).
Ta cần chứng minh \(n^3+\left(n+1\right)^3+\left(n+2\right)^3⋮9,\forall n\in N^{\circledast}\).
Với n = 1.
\(n^3+\left(n+1\right)^3+\left(n+2\right)^3=1^3+2^3+3^3=36\).
Vậy điều cần chứng minh đúng với \(n=1\).
Giả sử điều cần chứng minh đúng với n = k.
Nghĩa là: \(k^3+\left(k+1\right)^3+\left(k+2\right)^3⋮9\).
Ta cần chứng minh nó đúng với \(n=k+1\).
Nghĩa là: \(\left(k+1\right)^3+\left(k+2\right)^3+\left(k+3\right)^3⋮9\)
Thật vậy:
\(\left(k+1\right)^3+\left(k+2\right)^3+\left(k+3\right)^3\)\(=\left(k+1\right)^3+\left(k+2\right)^3+k^3+3.3k^2+3.k.3^2+3^3\)
\(=\left(k+1\right)^3+\left(k+2\right)^3+k^3+9k^2+27k+81\)
Theo giả thiết quy nạp \(k^3+\left(k+1\right)^3+\left(k+2\right)^3⋮9\) và \(9k^2+27k+81=9\left(k^2+3k+9\right)⋮9\).
Nên \(\left(k+1\right)^3+\left(k+2\right)^3+k^3+9k^2+27k+81⋮9\).
Vậy điều phải chứng minh đúng với mọi n.
cho số thực x>-1 . chứng minh rằng : (1+x)n≥1+nx với mọi số nguyên dương n
Câu trả lời của bạn
Giao lưu:
\(\left\{\begin{matrix}x>-1\\n\in N\\\left(1+x\right)^n\ge1+nx\end{matrix}\right.\) (I)
\(x>-1\Rightarrow\left(1+x\right)>1\Rightarrow\left(1+x\right)^n>1voi\forall n\in N\)
với x=0 1^n>=1 luôn đúng ta cần c/m với x khác 0
\(\left\{\begin{matrix}n=1\Rightarrow\left(1+x\right)^1\ge\left(1+x\right)...\left\{dung\right\}\\n=2\Rightarrow\left(1+x\right)^2\ge\left(1+2x\right)...\left\{dung\right\}\\n=2\Rightarrow\left(1+x\right)^3\ge\left(1+3x\right)...\left\{dung\right\}\end{matrix}\right.\)
C/m bằng phản chứng:
Giả /sủ từ giá trị (k+1) nào đó ta có điều ngược lại (*)
Nghĩa là: khi n đủ lớn BĐT (I) không đúng nữa. và chỉ đúng đến (n=k)(**)
Như vậy coi (**) đúng và ta chứng minh (*) là sai .
với n=k ta có: \(\left(1+x\right)^k\ge\left(1+kx\right)\) (1) theo (*)
vói n=(k+1) ta có theo (**)
\(\left(1+x\right)^{k+1}\le\left[1+\left(k+1\right)x\right]\Leftrightarrow\left(1+x\right)\left(1+x\right)^k\le\left[1+kx+x\right]\)(2)
chia hai vế (2) cho [(1+x)>0 {do x>-1}] BĐT không đổi
\(\left(2\right)\Leftrightarrow\left(1+x\right)^k\le\frac{\left[\left(1+kx\right)+x\right]}{1+x}\) từ (1)=> \(\frac{1+kx+x}{x+1}\ge\left(1+x\right)^k\ge\left(1+kx\right)\)
\(\Rightarrow\frac{\left(1+kx\right)+x}{x+1}\ge\left(1+kx\right)\Leftrightarrow\left(1+kx\right)+x\ge\left(1+kx\right)+x+kx^2\)(3)
\(\left(3\right)\Leftrightarrow\left[\left(1+kx\right)+x\right]-\left[\left(1+kx\right)+x\right]\ge kx^2\)\(\Leftrightarrow0\ge kx^2\) (***)
{(***) đúng chỉ khi x=0 ta đang xét x khác 0} vậy (***) sai => (*) sai
ĐIều giả sử sai--> không tồn tại giá trị (k+1) --> làm BĐT đổi chiều:
=> đpcm
Giao lưu:
\(\left\{\begin{matrix}x>-1\\n\in N\\\left(1+x\right)^n\ge\left(1+nx\right)\end{matrix}\right.\)(I)
-khi n=0 ta có 1=1 vẫn đúng => đúng với mọi n là số không âm {sao đề loại n=0 đi nhỉ}
-với x>-1 => 1+x> 0
vói x=0 ta có 1^n>=1 hiển nhiên đúng
{Ta cần c/m với mọi x khác 0 và x>-1}
C/M: Bằng quy nạp
với n=1 ta có: (1+x)>=(1+x) hiển nhiên.
G/s: (I) đúng với n=k tức là (1+x)^k>=(1+kx)
Ta cần c/m (I) đúng với (k+1)
với n=(k+1) ta có \(\left(1+x\right)^{k+1}\ge\left[1+\left(k+1\right)x\right]\)(*)
\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left(1+x\right)^k\ge1+kx+x\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left(1+kx\right)\ge1+kx+x\)
\(\Leftrightarrow\left(1+kx\right)+x+kx^2\ge1+kx+x\Leftrightarrow kx^2\ge0\)(**)
Mọi phép biến đổi là tương đương (**) đúng => (*) đúng
=> dpcm.
Cho n số thực \(a_1,a_2,...,a_n\) thỏa mãn điều kiện
\(-1< a_i\le0\) với \(i=\overline{1,n}\)
Chứng minh rằng với mọi \(n\in N^{\circledast}\) ta có
\(\left(1+a_1\right)\left(1+a_2\right)....\left(1+a_n\right)\ge1+a_1+a_2+...+a_n\)
Câu trả lời của bạn
Cho tổng :
\(S_n=\dfrac{1}{1.5}+\dfrac{1}{5.9}+\dfrac{1}{9.13}+....+\dfrac{1}{\left(4n-3\right)\left(4n+1\right)}\)
a) Tính \(S_1,S_2,S_3,S_4\)
b) Dự đoán công thức tính \(S_n\) và chứng minh bằng phương pháp quy nạp
Câu trả lời của bạn
a)
\(S_1=\dfrac{1}{1.5}=\dfrac{1}{5}\)
\(S_2=\dfrac{1}{1.5}+\dfrac{1}{5.9}=\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{5}\right)+\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{9}\right)\)
\(=\dfrac{1}{4}\left(1-\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{9}\right)=\dfrac{1}{4}\left(1-\dfrac{1}{9}\right)=\dfrac{2}{9}\).
\(S_3=\dfrac{1}{1.5}+\dfrac{1}{5.9}+\dfrac{1}{9.13}=\dfrac{1}{4}\left(1-\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{9}-\dfrac{1}{13}\right)\)
\(=\dfrac{1}{4}\left(1-\dfrac{1}{13}\right)=\dfrac{3}{13}\).
\(S_4=\dfrac{1}{1.5}+\dfrac{1}{5.9}+\dfrac{1}{9.13}+\dfrac{1}{13.17}\)\(=\dfrac{1}{4}\left(1-\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{9}-\dfrac{1}{13}+\dfrac{1}{13}-\dfrac{1}{17}\right)\)
\(=\dfrac{1}{4}\left(1-\dfrac{1}{17}\right)=\dfrac{4}{17}\).
b) Dự đoán công thức : \(S_n=\dfrac{1}{4}\left(1-\dfrac{1}{4n+1}\right)\).
Chứng minh bằng quay nạp:
Với \(n=1\): \(S_1=\dfrac{1}{1.5}=\dfrac{1}{5}\).
Vậy giả thiết quy nạp đúng với n = 1.
Giả sử điều cần chứng minh đúng với \(n=k\).
Nghĩa là: \(S_k=\dfrac{1}{4}\left(1-\dfrac{1}{4k+1}\right)\).
Ta sẽ chứng minh nó đúng với \(n=k+1\): \(S_{k+1}=\dfrac{1}{4}\left(1-\dfrac{1}{4\left(k+1\right)+1}\right)\)
Thật vậy:
\(S_{k+1}=S_k+\dfrac{1}{\left[4\left(k+1\right)-3\right].\left[4\left(k+1\right)+1\right]}\)
\(=\dfrac{1}{4}\left(1-\dfrac{1}{4k+1}\right)+\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{4\left(k+1\right)-3}-\dfrac{1}{4\left(k+1\right)+1}\right)\)
\(=\dfrac{1}{4}\left(1-\dfrac{1}{4k+1}\right)+\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{4k+1}-\dfrac{1}{4\left(k+1\right)+1}\right)\)
\(=\dfrac{1}{4}\left(1-\dfrac{1}{4\left(k+1\right)+1}\right)\).
Vậy điều cần chứng minh đúng với mọi n.
Bài 1. Tính A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + n.(n + 1)
Câu trả lời của bạn
Lời giải:
Cách 1:
Ta thấy mỗi số hạng của tổng trên là tích của hai số tự nhên liên tiếp, khi đó:
Gọi a1 = 1.2 → 3a1 = 1.2.3 → 3a1 = 1.2.3 - 0.1.2
a2 = 2.3 → 3a2 = 2.3.3 → 3a2 = 2.3.4 - 1.2.3
a3 = 3.4 → 3a3 = 3.3.4 → 3a3 = 3.4.5 - 2.3.4
…………………..
an-1 = (n - 1)n → 3an-1 =3(n - 1)n → 3an-1 = (n - 1)n(n + 1) - (n - 2)(n - 1)n
an = n(n + 1) → 3an = 3n(n + 1) → 3an = n(n + 1)(n + 2) - (n - 1)n(n + 1)
Cộng từng vế của các đẳng thức trên ta có:
3(a1 + a2 + … + an) = n(n + 1)(n + 2)
Cách 2: Ta có
3A = 1.2.3 + 2.3.3 + … + n(n + 1).3 = 1.2.(3 - 0) + 2.3.(3 - 1) + … + n(n + 1)[(n - 2) - (n - 1)] = 1.2.3 - 1.2.0 + 2.3.3 - 1.2.3 + … + n(n + 1)(n + 2) - (n - 1)n(n + 1) = n(n + 1)(n + 2)
* Tổng quát hoá ta có:
k(k + 1)(k + 2) - (k - 1)k(k + 1) = 3k(k + 1). Trong đó k = 1; 2; 3; …
Ta dễ dàng chứng minh công thức trên như sau:
k(k + 1)(k + 2) - (k - 1)k(k + 1) = k(k + 1)[(k + 2) - (k - 1)] = 3k(k + 1)
Mình làm thế này có đúng không ạ !
Chứng minh: \(\left(4^n+6n-1\right)⋮9\) với \(n\in N;n\ge1\)
Câu trả lời của bạn
Mệnh đề đúng với \(n=1\) vì \(4^1+6.1-1=9\).
- Giả sử \(\left(4^k+6k-1\right)⋮9\). Ta chứng minh:
\(\left[4^{k+1}+6\left(k+1\right)-1\right]⋮9\)
Ta có:
\(4^{k+1}+6\left(k+1\right)-1\)
\(=4.4^k+6k+6-1\)
\(=\left(4^k+6k-1\right)+3.4^k+6\)
\(=\left(4^k+6k-1\right)+3\left(4^k+2\right)\)
Đặt \(A=4^k+6k-1\) và \(B=3\left(4^k+2\right)\)
Theo giả thiết quy nạp thì \(A⋮9\)
Do \(4:3=1\) (dư 1) \(\Rightarrow4^k:3\) dư \(1\Rightarrow\left(4^k+2\right)⋮3\Rightarrow B⋮9\)
Lại có \(\left[4^{k+1}+6\left(k+1\right)-1\right]⋮9\)
Vậy mệnh đề đúng với mọi \(n\in N;n\ge1\)
CHO \(a+b\ge0\). CMR với mọi số nguyên dương n ta luôn có BĐT sau:(bằng PP quy nạp) \(\dfrac{a^n+b^n}{2}\ge\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^n\)
Câu trả lời của bạn
Đề bắt quy nạp khó quá, giá đề mở thì xài Ber's ineq cho lẹ .-.
*) Với \(n=1;2\) BĐT đúng
*)Giả sử BĐT đúng với \(n=k\) tức chứng minh BĐT đúng với \(n=k+1\) hay \(\dfrac{a^{k+1}+b^{k+1}}{2}\ge\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^{k+1}\)
Ta có: \(VT-VP=\dfrac{a^{k+1}+b^{k+1}}{2}-\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^{k+1}\)
\(=\dfrac{a^{k+1}+b^{k+1}}{2}-\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^k\left(\dfrac{a+b}{2}\right)\)
\(\ge\dfrac{a^{k+1}+b^{k+1}}{2}-\dfrac{a^k+b^k}{2}\cdot\dfrac{a+b}{2}\)
\(=\dfrac{\left(a-b\right)\left(a^k-b^k\right)}{4}=\dfrac{\left(a-b\right)\left(a^{k-1}-a^{k-2}b+...+b^{k-1}\right)}{4}\ge0\)
Khi \(a=b\)
Bằng phương pháp quy nạp, chứng minh các bất đẳng thức :
a) \(3^{n-1}>n\left(n+2\right)\) với \(n\ge4\)
b) \(2^{n-3}>3n-1\) với \(n\ge8\)
Câu trả lời của bạn
a)
Với \(n=4\).
\(3^{n-1}=3^{4-1}=3^3=27\); \(n\left(n+2\right)=4.\left(4+2\right)=24\).
Suy ra: \(3^{n-1}>n\left(n+2\right)\) với n = 4.
Giả sử điều phải chứng minh đúng với \(n=k\).
Nghĩa là: \(3^{k-1}>k\left(k+2\right)\).
Ta sẽ chứng minh nó đúng với \(n=k+1\).
Nghĩa là:
\(3^{k+1-1}>\left(k+1\right)\left(k+1+2\right)\)\(\Leftrightarrow3^k>\left(k+1\right)\left(k+3\right)\).
Thật vậy từ giả thiết quy nạp ta có:
\(3^k=3.3^{k-1}>3k\left(k+2\right)=3k^2+6k\)\(=k^2+4k+3+2k^2+2k-3\)\(=\left(k+1\right)\left(k+3\right)+2k^2+2k-3\).
Với \(k\in N^{\circledast}\) thì \(2k^2+2k-3>0\) nên \(3^k>\left(k+1\right)\left(k+3\right)\).
Vậy điều cần chứng minh đúng với mọi \(n\ge4\).
Bằng phương pháp quy nạp, chứng minh các đẳng thức sau với \(n\in N^{\circledast}\)
a) \(A_n=\dfrac{1}{1.2.3}+\dfrac{1}{2.3.4}+....+\dfrac{1}{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}=\dfrac{n\left(n+3\right)}{4\left(n+1\right)}\)
b) \(B_n=1+3+6+10+...+\dfrac{n\left(n+1\right)}{2}=\dfrac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{6}\)
c) \(S_n=\sin x+\sin2x+\sin3x+...+\sin nx=\dfrac{\sin\dfrac{nx}{2}\sin\dfrac{\left(n+1\right)x}{2}}{\sin\dfrac{x}{2}}\)
Câu trả lời của bạn
c)
Với \(n=1\)
\(VT=S_n=sinx\); \(VP=\dfrac{sin\dfrac{x}{2}sin\dfrac{2}{2}x}{sin\dfrac{x}{2}}=sinx\)
Vậy điều cần chứng minh đúng với \(n=1\).
Giả sử điều cần chứng minh đúng với \(n=k\).
Nghĩa là: \(S_k=\dfrac{sin\dfrac{kx}{2}sin\dfrac{\left(k+1\right)x}{2}}{sin\dfrac{x}{2}}\).
Ta cần chứng minh nó đúng với \(n=k+1\):
Nghĩa là: \(S_{k+1}=\dfrac{sin\dfrac{\left(k+1\right)x}{2}sin\dfrac{\left(k+2\right)x}{2}}{sin\dfrac{x}{2}}\).
Thật vậy từ giả thiết quy nạp ta có:
\(S_{k+1}-S_k\)\(=\dfrac{sin\dfrac{\left(k+1\right)x}{2}sin\dfrac{\left(k+2\right)x}{2}}{sin\dfrac{x}{2}}-\dfrac{sin\dfrac{kx}{2}sin\dfrac{\left(k+1\right)x}{2}}{sin\dfrac{x}{2}}\)
\(=\dfrac{sin\dfrac{\left(k+1\right)x}{2}}{sin\dfrac{x}{2}}.\left[sin\dfrac{\left(k+2\right)x}{2}-sin\dfrac{kx}{2}\right]\)
\(=\dfrac{sin\dfrac{\left(k+1\right)x}{2}}{sin\dfrac{x}{2}}.2cos\dfrac{\left(k+1\right)x}{2}sim\dfrac{x}{2}\)\(=2sin\dfrac{\left(k+1\right)x}{2}cos\dfrac{\left(k+1\right)x}{2}=2sin\left(k+1\right)x\).
Vì vậy \(S_{k+1}=S_k+sin\left(k+1\right)x\).
Vậy điều cần chứng minh đúng với mọi n.
Chuyên mục: Toán không hay mà vẫn có thưởng!!!
1) Cho \(x;y\in R\) .Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức:\(M=\left|x+1\right|+2\left|x-5\right|+\left|2x-7\right|+\left|\dfrac{x-11}{2}\right|\)
2) Tính: \(1^3+2^3+...+n^3\)
3) Cho tam giác ABC,đường cao AH. Trên 1 nửa mặt phẳng chứa điểm A bờ là đường thẳng BC lấy 2 điểm D và E sao cho
\(BD\perp BA;BD=BA\) và \(CE\perp CA;CE=CA\).Gọi t là giaio điểm BE và CD. Chứng minh A;T;H thẳng hàng
Câu trả lời của bạn
Ta chứng minh \(1^3+2^3+...+n^3=\left(1+2+..+n\right)^2\)
Đặt \(A=1^3+2^3+...+n^3\)
Với n=1\(\Rightarrow A\) đúng
Giả sử n=k đúng
\(\Rightarrow A=\left(1+2+...+k\right)^2\)
Cần cm \(n=k+1\) đúng
Thật vậy ta có:\(A=1^3+2^3+...+k^3+\left(k+1\right)^3\)
\(A=\left(1+2+...+k\right)^2+\left(k+1\right)^3\)(1)
Cần cm:\(\left(k+1\right)^3=2\left(k+1\right)\left(1+2+...+k\right)+\left(k+1\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\left(k+1\right)^2\left(k+1-1\right)=2\left(k+1\right)\cdot\dfrac{k\left(k+1\right)}{2}\)
\(\Leftrightarrow\left(k+1\right)^2k=\left(k+1\right)^2k\)(luôn đúng)
\(\Rightarrow\left(1\right)\) đúng \(\Rightarrowđpcm\)
Vậy \(1^3+2^3+...+n^3=\left(1+2+...+n\right)^2\)
Chứng minh rằng :
n5-n ⋮ 10 (n ∈ N )
Câu trả lời của bạn
+)Xét x=0;1 hiển nhiên đúng
+)Xét \(x\ne0;1\)
Ta có:\(n^5-n=n\left(n^4-1\right)=n\left(n^2-1\right)\left(n^2+1\right)=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n^2+1\right)\)
Ta có:\(n\left(n-1\right)\)là tích hai số tự nhiên liên tiếp
\(\Rightarrow\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\left(n^2+1\right)⋮2\)
Cần cm:\(\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\left(n^2+1\right)⋮5\)
Vì n là stn=>n có các dạng:5k;5k+1;5k+2;5k+3;5k+4
Xét n có dạng 5k\(\Rightarrow n⋮5\)=>đpcm
Xét n có dạng 5k+1=>n-1\(⋮5\)=>đpcm
Xét n có dạng 5k+2=>\(n\equiv2\left(mod5\right)\Rightarrow n^2\equiv4\left(mod5\right)\Rightarrow n^2+1⋮5\Rightarrowđpcm\)
Xét n có dạng 5k+3\(\Rightarrow n\equiv3\left(mod5\right)\Rightarrow n^2\equiv9\equiv4\left(mod5\right)\Rightarrow n^2+1⋮5\Rightarrowđpcm\)
Xét n có dạng 5k+4=>\(n+1⋮5\Rightarrowđpcm\)
Vậy từ tất cả những cái trên ta có đc đpcm
Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta có: (13n - 1) chia hết cho 6
Câu trả lời của bạn
ta có
13^n= (12+1)^n
khai triển này có 1 số hạng không chứa 12 là nCn.1^n=1
=> 13^n - 1 là bội của 12 => chia hết cho 6
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *