Phương pháp quy nạp toán học là một dạng toán hay nhưng để làm quen các em sẽ gặp không ít khó khăn. Vì vậy trong bài học sẽ làm rõ thế nào là chứng minh quy nạp toán học? Việc vận dụng phương pháp pháp quy nạp vào giải toán sẽ được thực hiện như thế nào?
Cho \({n_0}\) là một số nguyên dương và \(P(n)\) là một mệnh đề có nghĩa với mọi số tự nhiên \(n \ge {n_0}\). Nếu
(1) \(P({n_0})\) là đúng và
(2) Nếu \(P(k)\) đúng, thì \(P(k + 1)\)cũng đúng với mọi số tự nhiên \(k \ge {n_0}\);
thì mệnh đề P(n) đúng với mọi số tự nhiên\(n \ge {n_0}\) .
Khi ta bắt gặp bài toán:
Chứng minh mệnh đề \(P(n)\) đúng với mọi số tự nhiên \(n \ge {n_0},\)\({n_0} \in \mathbb{N}\) ta có thể sử dụng phương pháp quy nạp như sau
Bước 1: Kiểm tra \(P({n_0})\) có đúng hay không. Nếu bước này đúng thì ta chuyển qua bước hai
Bước 2: Với \(k \ge {n_0}\), giả sử \(P(k)\) đúng ta cần chứng minh \(P(k + 1)\) cũng đúng.
Kết luận: \(P(n)\) đúng với \(\forall n \ge {n_0}\).
Lưu ý: Bước 2 gọi là bước quy nạp, mệnh đề \(P(k)\) đúng gọi là giả thiết quy nạp.
Phương pháp: Giả sử cần chứng minh đẳng thức \(P(n) = Q(n)\) (hoặc \(P(n) > Q(n)\)) đúng với \(\forall n \ge {n_0},{\rm{ }}{n_0} \in \mathbb{N}\) ta thực hiện các bước sau:
Bước 1: Tính \(P({n_0}),{\rm{ }}Q({n_0})\) rồi chứng minh \(P({n_0}) = Q({n_0})\)
Bước 2: Giả sử \(P(k) = Q(k);{\rm{ }}k \in \mathbb{N},k \ge {n_0}\), ta cần chứng minh
\(P(k + 1) = Q(k + 1)\).
Chứng minh rằng \(\forall n \in {{\rm N}^*}\) ta luôn có đẳng thức sau:
\(1 + 2 + ... + n = \,\frac{{n(n + 1)}}{2}\)
Đặt \({A_n} = 1 + 2 + ... + n = \,\frac{{n(n + 1)}}{2}\,\)
Với n=1, ta có: \(1 = \frac{{1.(1 + 1)}}{2} = 1\) (đúng)
Giả sử với \(n = k \ge 1\) ta có:
\({A_n} = 1 + 2 + ... + n = \,\frac{{n(n + 1)}}{2}\,\) (giả thiết quy nạp)
Ta phải chứng minh: \({A_{n + 1}} = 1 + 2 + ... + n + (n + 1) = \,\frac{{(n + 1)(n + 2)}}{2}\)
Ta có: \({A_{n + 1}} = 1 + 2 + ... + n + (n + 1) = \,\frac{{n(n + 1)}}{2} + (n + 1)\)
\(\Leftrightarrow {A_{n + 1}} = \,\frac{{n(n + 1) + 2(n + 1)}}{2} = \frac{{(n + 1)(n + 2)}}{2}\) ( điều phải chứng minh).
Vậy \(1 + 2 + ... + n = \,\frac{{n(n + 1)}}{2}\) \(\forall n \in {{\rm N}^*}\).
Chứng minh rằng \(\forall n \in {{\rm N}^*}\) ta luôn có đẳng thức sau:
\(1 + 3 + ... + {(2n - 1)^2} = \,\frac{{n(4{n^2} - 1)}}{3}\)
Đặt \({A_n} = 1 + 3 + ... + {(2n - 1)^2} = \,\frac{{n(4{n^2} - 1)}}{3}\)
Với n= 1: \({(2.1 - 1)^2} = \frac{{1.({{4.1}^2} - 1)}}{3} = 1\) (đúng)
Giả sử với \(n = k \ge 1\) ta có:
\(1 + 3 + ... + {(2n - 1)^2} = \,\frac{{n(4{n^2} - 1)}}{3}\) (giả thiết quy nạp)
Ta phải chứng minh:
\({A_{n + 1}} = 1 + 3 + ... + {(2n - 1)^2} + \,{[2(n + 1) - 1]^2} = \,\frac{{(n + 1)[4{{(n + 1)}^2} - 1]}}{3}\,\)
Ta có: \(VT = 1 + 3 + ... + {(2n - 1)^2} + \,{[2(n + 1) - 1]^2}\)
Theo giả thiết quy nạp ở trên: \(VT = \frac{{n(4{n^2} - 1)}}{3} + \,{[2(n + 1) - 1]^2}\)
= \(\frac{{4{n^3} - n + 3{{(2n + 1)}^2}}}{3}\) \(= \frac{{4{n^3} - n + 12{n^2} + 12n + 3}}{3}\)
\(= \frac{{4{n^3} + 12{n^2} + 11n + 3}}{3}\) \(= \frac{{4{n^3} + 4{n^2} + \,8{n^2} + 8n + 3n + 3}}{3}\)
\(VT = \frac{{(n + 1)(4{n^2} + 8n + 3)}}{3}\) (1)
Ta lại có: \({\rm{VP}} = \,\frac{{(n + 1)[4{{(n + 1)}^2} - 1]}}{3}\,\)
\(= \,\frac{{(n + 1)[4({n^2} + 2n + 1) - 1]}}{3}\,\)
\(= \,\frac{{(n + 1)(4{n^2} + 8n + 4 - 1)}}{3}\,\)
\({\rm{VP}} = \,\frac{{(n + 1)(4{n^2} + 8n + 3)}}{3}\,\) (2)
Từ (1) và (2): \({A_{n + 1}} = 1 + 3 + ... + {(2n - 1)^2} + \,{[2(n + 1) - 1]^2} = \,\frac{{(n + 1)[4{{(n + 1)}^2} - 1]}}{3}\,\)
Vậy \(1 + 3 + ... + {(2n - 1)^2} = \,\frac{{n(4{n^2} - 1)}}{3}\) \(\forall n \in {{\rm N}^*}\).
Chứng mình với mọi số tự nhiên \(n \ge 1\) ta luôn có: \(1 + 2 + 3 + ... + n = \frac{{n(n + 1)}}{2}\)
Đặt \(P(n) = 1 + 2 + 3 + ... + n\) : tổng n số tự nhiên đầu tiên : \(Q(n) = \frac{{n(n + 1)}}{2}\)
Ta cần chứng minh \(P(n) = Q(n){\rm{ }}\forall n \in \mathbb{N},n \ge 1\).
Bước 1: Với \(n = 1\) ta có \(P(1) = 1,{\rm{ }}Q(1) = \frac{{1(1 + 1)}}{2} = 1\)
\( \Rightarrow P(1) = Q(1) \Rightarrow (1)\) đúng với \(n = 1\).
Bước 2: Giả sử \(P(k) = Q(k)\) với \(k \in \mathbb{N},k \ge 1\) tức là:
\(1 + 2 + 3 + ... + k = \frac{{k(k + 1)}}{2}\) (1)
Ta cần chứng minh \(P(k + 1) = Q(k + 1)\), tức là:
\(1 + 2 + 3 + ... + k + (k + 1) = \frac{{(k + 1)(k + 2)}}{2}\) (2)
Thật vậy: \(VT(2) = (1 + 2 + 3 + ... + k) + (k + 1)\)
\( = \frac{{k(k + 1)}}{2} + (k + 1)\) (Do đẳng thức (1))
\( = (k + 1)(\frac{k}{2} + 1) = \frac{{(k + 1)(k + 2)}}{2} = VP(2)\)
Vậy đẳng thức cho đúng với mọi \(n \ge 1\).
Chứng minh với mọi số tự nhiên \(n \ge 1\) ta luôn có: \(1 + 3 + 5 + ... + 2n - 1 = {n^2}\)
Lời giải:
\( \bullet \) Với \(n = 1\) ta có \({\rm{VT}} = 1,{\rm{ VP}} = {1^2} = 1\)
Suy ra \(VT = VP \Rightarrow \) đẳng thức cho đúng với \(n = 1\).
\( \bullet \) Giả sử đẳng thức cho đúng với \(n = k\) với \(k \in \mathbb{N},k \ge 1\) tức là:
\(1 + 3 + 5 + ... + 2k - 1 = {k^2}\) (1)
Ta cần chứng minh đẳng thức cho đúng với \(n = k + 1\), tức là:
\(1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) + (2k + 1) = {\left( {k + 1} \right)^2}\) (2)
Thật vậy: \(VT(2) = (1 + 3 + 5 + ... + 2k - 1) + (2k + 1)\)
\( = {k^2} + (2k + 1)\) (Do đẳng thức (1))
\( = {(k + 1)^2} = VP(1.2)\)
Vậy đẳng thức cho đúng với mọi \(n \ge 1\).
Chứng minh rằng \(\forall n \in {{\rm N}^*}\) :
\({n^3} + 2n\) chia hết cho 3.
Đặt \({A_n} = {n^3} + 2n\)
Với n= 1: \({A_n} = 1 + 2 = 3\, \vdots \,3\)
Giả sử với \(n = k \ge 1\) ta có:
\({A_n} = {n^3} + 2n\,\, \vdots \,\,3\) (giả thiết quy nạp)
Ta phải chứng minh:
\({A_{n + 1}} = {(n + 1)^3} + 2(n + 1)\,\, \vdots \,\,3\)
Ta có: \({A_{n + 1}} = {(n + 1)^3} + 2(n + 1)\, = \,{n^3} + 3{n^2} + 3n + 1 + 2n + 2\)
\(= \,{n^3} + 2n + 3({n^2} + n + 1)\)
Theo giả thiết quy nạp: \({n^3} + 2n\,\, \vdots \,\,3\)
Đồng thời: \(3({n^2} + n + 1)\,\, \vdots \,\,3\)
Vậy \({A_{n + 1}} = {(n + 1)^3} + 2(n + 1)\,\, \vdots \,\,3\)
Kết luận: \({n^3} + 2n\,\, \vdots \,\,3\) \(\forall n \in {{\rm N}^*}\)
Cho \(n\) là số tự nhiên dương. Chứng minh rằng: \({a_n} = {16^n}-15n-1 \vdots 225\)
\( \bullet \) Với \(n = 1\) ta có: \({a_1} = 0 \Rightarrow {a_1} \vdots 225\).
\( \bullet \) Giả sử \({a_k} = {16^k} - 15k - 1 \vdots 225\), ta chứng minh
\({a_{k + 1}} = {16^{k + 1}} - 15(k + 1) - 1 \vdots 225\)
Thậ vậy: \({a_{k + 1}} = {16.16^k} - 15k - 16 = {16^k} - 15k - 1 - 15\left( {{{16}^k} - 1} \right)\)
\( = {a_k} - 15\left( {{{16}^k} - 1} \right)\)
Vì \({16^k} - 1 = 15.\left( {{{16}^{k - 1}} + {{16}^{k - 2}} + ... + 1} \right) \vdots 15\) và \({a_k} \vdots 225\)
Nên ta suy ra \({a_{k + 1}} \vdots 225\). Vậy bài toán được chứng minh.
Chứng minh rằng tổng các trong một n – giác lồi \((n \ge 3)\) bằng \((n - 2){180^0}\).
\( \bullet \) Với \(n = 3\) ta có tổng ba góc trong tam giác bằng \({180^0}\)
\( \bullet \) Giả sử công thức đúng cho tất cả k-giác, với \(k < n\), ta phải chứng minh mệnh đề cũng đúng cho n-giác. Ta có thể chia n-giác bằng một đường chéo thành ra hai đa giác. Nếu số cạnh của một đa giác là k+1, thì số cạnh của đa giác kia là n – k + 1, hơn nữa cả hai số này đều nhỏ hơn n. Theo giả thiết quy nạp tổng các góc của hai đa giác này lần lượt là \(\left( {k - 1} \right){180^0}\) và \(\left( {n - k - 1} \right){180^0}\).
Tổng các góc của n-giác bằng tổng các góc của hai đa giác trên, nghĩa là \((k - 1 + n - k - 1){180^0} = (n - 2){180^0}\)
Suy ra mệnh đề đúng với mọi \(n \ge 3\).
Phương pháp quy nạp toán học là một dạng toán hay nhưng để làm quen các em sẽ gặp không ít khó khăn. Vì vậy trong bài học sẽ làm rõ thế nào là chứng minh quy nạp toán học? Việc vận dụng phương pháp pháp quy nạp vào giải toán sẽ được thực hiện như thế nào?
Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 11 Chương 3 Bài 1để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.
Chứng minh mệnh đề " \(\forall n \in {N^ * }\)ta luôn có \(1 + 2 + ... + n = \frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2}\)" bằng phươg pháp quy nạp toán học, bước 1 ta kiểm tra với giá trị nào của n?
Chứng minh mênh đề " \(\forall n \in N,n \ge 3\) ta luôn có \({3^n} > {n^2} + 4n + 5\)" bằng phương pháp quy nạp toán học, bước 1, ta kiểm tra với giá trị nào của n?
Với gá trị nào của số tự nhiên n, ta có \({2^n} > 2n + 1\)?
Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 11 Chương 3 Bài 1 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Giải tích 11 Cơ bản và Nâng cao.
Bài tập 1 trang 82 SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 2 trang 82 SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 3 trang 82 SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 4 trang 82 SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 5 trang 82 SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 3.1 trang 107 SBT Toán 11
Bài tập 3.2 trang 107 SBT Toán 11
Bài tập 3.3 trang 107 SBT Toán 11
Bài tập 3.4 trang 107 SBT Toán 11
Bài tập 3.5 trang 107 SBT Toán 11
Bài tập 3.6 trang 107 SBT Toán 11
Bài tập 3.7 trang 107 SBT Toán 11
Bài tập 3.8 trang 108 SBT Toán 11
Bài tập 1 trang 100 SGK Toán 11 NC
Bài tập 2 trang 100 SGK Toán 11 NC
Bài tập 3 trang 100 SGK Toán 11 NC
Bài tập 4 trang 100 SGK Toán 11 NC
Bài tập 5 trang 100 SGK Toán 11 NC
Bài tập 6 trang 100 SGK Toán 11 NC
Bài tập 7 trang 100 SGK Toán 11 NC
Bài tập 8 trang 100 SGK Toán 11 NC
Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán DapAnHay sẽ sớm trả lời cho các em.
-- Mod Toán Học 11 DapAnHay
Chứng minh mệnh đề " \(\forall n \in {N^ * }\)ta luôn có \(1 + 2 + ... + n = \frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2}\)" bằng phươg pháp quy nạp toán học, bước 1 ta kiểm tra với giá trị nào của n?
Chứng minh mênh đề " \(\forall n \in N,n \ge 3\) ta luôn có \({3^n} > {n^2} + 4n + 5\)" bằng phương pháp quy nạp toán học, bước 1, ta kiểm tra với giá trị nào của n?
Với gá trị nào của số tự nhiên n, ta có \({2^n} > 2n + 1\)?
Với giá trị nào của n, ta có \({3^n} > {2^n} + 7n\)?
Mệnh đề nào sau đây đúng với \(\forall n \in {N^ * }\)
Tìm số đường chéo của đa giác lồi n cạnh
Cho \({A_n} = {n^3} + 3{n^2} + 5n,n \in {N^ * }\). Tính A1?
Mệnh đề nào sau đây đúng với \(\forall n \in {N^ * }\)?
Cho \({S_n} = \frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{2.3}} + ... + \frac{1}{{n\left( {n + 1} \right)}},n \in {N^ * }\). Tính S2?
Với giá trị nào của số tự nhiên n, ta có \(\left( {1 - \frac{1}{4}} \right)\left( {1 - \frac{1}{9}} \right)...\left( {1 - \frac{1}{{{n^2}}}} \right) = \frac{{n + 1}}{{2n}}\)?
Chứng minh rằng với \(n \in N*\), ta có đẳng thức:
a) \(2 + 5+ 8+.... + 3n - 1 =\frac{n(3n+1)}{2}\);
b) \(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + ... + \frac{1}{{{2^n}}} = \frac{{{2^n} - 1}}{{{2^n}}}\);
c) \(1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2 = \frac{n(n+1)(n+2)}{6}\).
Chứng minh rằng với n ε N* ta luôn có:
a) \(n^3 + 3n^2 + 5n\) chia hết cho 3;
b) \(4n + 15n - 1\) chia hết cho 9;
c) \(n^3 + 11n\) chia hết cho 6.
Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên \(n \geq 2\), ta có các bất đẳng thức:
a) \(3^n > 3^n + 1\)
b) \(2^{n + 1} > 2n + 3\)
Cho tổng \(S_n=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{n(n+1)}\)với n ε N* .
a) Tính \(S_1, S_2, S_3\).
b) Dự đoán công thức tính tổng \(S_n\) và chứng minh bằng quy nạp.
Chứng minh rằng số đường chéo của một đa giác lồi n cạnh là \(\frac{n(n-3)}{2}\)
Chứng minh các đẳng thức sau (với n ∈ N∗)
a) \(2 + 5 + 8 + ... + \left( {3n - 1} \right) = \frac{{n\left( {3n + 1} \right)}}{2}\)
b) \(3 + 9 + 27 + ... + {3^n} = \frac{1}{2}\left( {{3^{n + 1}} - 3} \right)\)
Chứng minh các đẳng thức sau (với n ∈ N∗)
a) Chứng minh \({1^2} + {3^2} + {5^2} + ... + {\left( {2n - 1} \right)^2} = \frac{{n\left( {4{n^2} - 1} \right)}}{3}\)
b) \({1^3} + {2^3} + {3^3} + ... + {n^3} = \frac{{{n^2}{{\left( {n + 1} \right)}^2}}}{4}\)
Chứng minh rằng với mọi n ∈ N∗ ta có:
a) 2n3 − 3n2 + n chia hết cho 6.
b) 11n + 1 + 122n−1 chia hết cho 133.
Chứng minh các bất đẳng thức sau (n ∈ N∗)
a) 2n + 2 > 2n + 5;
b) sin2nα + cos2nα ≤ 1.
Với giá trị nào của số tự nhiên n ta có
a) 2n > 2n + 1 ;
b) 2n > n2 + 4n + 5 ;
c) 3n > 2n + 7n ?
Cho tổng:
\({S_n} = \frac{1}{{1.5}} + \frac{1}{{5.9}} + \frac{1}{{9.13}} + ... + \frac{1}{{\left( {4n - 3} \right)\left( {4n + 1} \right)}}\)
a) Tính S1, S2, S3, S4;
b) Dự đoán công thức tính Sn và chứng minh bằng phương pháp quy nạp.
Xét mệnh đề chứa biến P(n): "10n - 1 < n + 2017 với n ∈ N∗"
Bằng phép thử ta có P(1), P(2), P(3), P(4) là đúng. Khẳng định nào sau đây là sai?
A. P(n) đúng với mọi số chẵn n ≤ 4
B. P(n) đúng với mọi số lẻ n < 4
C. P(n) đúng với mọi số n
D. P(n) đúng với mọi số n ≤ 4
Đặt \({S_n} = \sqrt {2 + \sqrt {2 + ... + \sqrt 2 } } \). Giả sử hệ thức \({S_n} = 2\cos \frac{\pi }{{{2^{n + 1}}}}\) là đúng với n = k ≥ 1. Để chứng minh hệ thức trên cũng đúng với n = k + 1, ta phải chứng minh Sk + 1 bằng:
A. \(\underbrace {\sqrt {2 + \sqrt {2 + ... + \sqrt 2 } } }_{k + 1}\)
B. \(2\cos \frac{\pi }{{{2^{k + 2}}}}\)
C. \(2\cos \frac{\pi }{{{2^{k + 1}}}}\)
D. \(\sqrt {2 + {S_k}} \)
Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta luôn có đẳng thức sau :
\(1 + 2 + 3 + ... + n = \frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2}\) (1)
Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta luôn có đẳng thức :
\({2^2} + {4^2} + ... + {\left( {2n} \right)^2} = \frac{{2n\left( {n + 1} \right)\left( {2n + 1} \right)}}{3}\)
Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta luôn có bất đẳng thức sau :
\(1 + \frac{1}{{\sqrt 2 }} + ... + \frac{1}{{\sqrt n }} < 2\sqrt n \)
Chứng minh rằng với mọi số nguyên n ≥ 2, ta luôn có đẳng thức sau:
\(\left( {1 - \frac{1}{4}} \right).\left( {1 - \frac{1}{9}} \right)....\left( {1 - \frac{1}{{{n^2}}}} \right) = \frac{{n + 1}}{{2n}}\)
Cho n là một số nguyên lớn hơn 1. Hãy chứng minh bất đẳng thức sau:
\(\frac{1}{{n + 1}} + \frac{1}{{n + 2}} + ... + \frac{1}{{2n}} > \frac{{13}}{{24}}\)
Với mỗi số nguyên dương n, đặt un = 7.22n−2+32n−1 (1) .
Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta luôn có un chia hết cho 5.
Cho số thực x > −1. Chứng minh rằng:
(1+x)n ≥ 1+nx (1)
Với mọi số nguyên dương n.
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
A. n = 1 B. n = p
C. n > p D. n ≥ p
Câu trả lời của bạn
Chọn B
Câu trả lời của bạn
Với n = 1 ta có VT =VP = 1
Suy ra đẳng thức đã cho đúng với n = 1.
Giả sử đẳng thức đã cho đúng với n = k với k ≥ 1 ,k ∈ N*. tức là:
1 + 3 + 5 + ... + 2k - 1 = k2 (1)
Ta cần chứng minh đẳng thức đã cho đúng với n = k+1, tức là:
1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) + (2k + 1) = (k + 1)2 (2)
= k2 + (2k + 1) = (k + 1)2 = VP(2)
Vậy đẳng thức đã cho đúng với mọi n = 1.
Câu trả lời của bạn
Với n=1 ⇒ A(1)=71+3.1-1=9 ⇒ A(1)chia hết cho 9
Giả sử A(k)chia hết cho 9 ∀k ≥ 1, ta chứng minh A(k+1)chia hết cho 9
Thật vậy:A(k+1)=7k+1+3(k+1)1=7.7k+21k-7-18k+9 ⇒ A(k+1)=7A(k)-9(2k-1)
Vậy A(n) chia hết cho 9 với mọi số tự nhiên n ≥ 1
Câu trả lời của bạn
* Với n = 3 ta có tổng ba góc trong tam giác bằng 180º
* Giả sử công thức đúng cho tất cả k-giác, với k < n, ta phải chứng minh mệnh đề cũng đúng cho n-giác. Ta có thể chia n-giác bằng một đường chéo thành ra hai đa giác. Nếu số cạnh của một đa giác là k+1, thì số cạnh của đa giác kia là n – k + 1, hơn nữa cả hai số này đều nhỏ hơn n. Theo giả thiết quy nạp tổng các góc của hai đa giác này lần lượt là. (k-1)180º và (n-k-1)180º
Tổng các góc của n-giác bằng tổng các góc của hai đa giác trên, nghĩa là (k-1+n-k-1)180º=(n-2)180º.
Suy ra mệnh đề đúng với mọi n ≥ 3
A. \(S = \frac{{n(n + 1)(n + 2)}}{6}\).
B. \(S = \frac{{n(n + 1)(2n + 1)}}{3}\).
C. \(S = \frac{{n(n + 1)(2n + 1)}}{6}\).
D. \(S = \frac{{n(n + 1)(2n + 1)}}{2}\).
Câu trả lời của bạn
Kiểm tra tính đúng-sai của từng phương án đến khi tìm được phương án đúng thông qua một số giá trị cụ thể của n.
+ Với n = 1 thì \(S = {1^2} = 1\) (loại được các phương án B và D);
+ Với n = 2 thì \(S = {1^2} + {2^2} = 5\) (loại được phương án A).
Vậy phương án đúng là C.
A. 48
B. 60
C. 58
D. 10
Câu trả lời của bạn
Hướng dẫn giải. u10 = 102 – 4.20 – 2 =58
Đáp án C
A. un+1 = 1 +3un với n ≥ 1
B. un+1 = 1 +3un + 3n+1 với n ≥ 1
C. un+1 = un + 3n+1 - 2 với n ≥ 1
D. un+1 = 3un + 3n+1 - 2 với n ≥ 1
Câu trả lời của bạn
Hướng dẫn giải. un+1 = 1+ (n+4).3n+1 = 1 + (n+3).3n+1 + 3n+1
= 1 + 3n.(n+3).3 + 3n+1 = 3[1 + (n+ 3).3n] + 3n+1 – 2 = 3un + 3n+1 -2
Đáp án là D
A. 6
B. 4
C. 9
D. 12
Câu trả lời của bạn
Dễ dàng tìm được đáp án n = 6
Đáp án: A
- Giả sử đúng với n = k, tức là 8n+1 chia hết cho 7
- Ta có: 8k+1+1=8(8k+1)-7 , kết hợp với giả thiết 8k+1 chia hết cho 7 nên suy ra được 8k+1+1 chia hết cho 7 Vậy đẳng thức đúng với mọi n ∈ ¥
Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Học sinh trên chứng minh đúng.
B. Học sinh chứng minh sai vì không có giả thiết qui nạp.
C. Học sinh chứng minh sai vì không dùng giả thiết qui nạp.
D. Học sinh không kiểm tra bước 1 (bước cơ sở) của phương pháp qui nạp.
Câu trả lời của bạn
Thiếu bước 1 là kiểm tra với n = 1, khi đó ta có 8 +1 = 9 không chi hết cho 7. Chọn D.
Câu trả lời của bạn
+ Với n = 1 ta có u1 = 91 − 1 = 8 chia hết cho 8 (đúng).
+ Giả sử uk = 9k − 1 chia hết cho 8 với k ∈ N*
Ta cần chứng minh: uk + 1 = 9k + 1 − 1 chia hết cho 8.
* Thật vậy, ta có uk+1=9k+1 − 1 = 9.9k − 1 = 9(9k − 1) + 8 = 9uk + 8.
Vì 9uk và 8 đều chia hết cho 8
=> uk+ 1 = 9k + 8 ⋮ 8.
Vậy với mọi số nguyên dương n thì un chia hết cho 8.
Câu trả lời của bạn
* Với n = 5 ta có: 25 > 52 ( vì 32 > 25) (đúng).
Vậy (*) đúng với n = 5.
* Giả sử với n= k; k ≥ 5 thì (*) đúng, có nghĩa ta có: 2k > k2 (1).
Ta phải chứng minh (*) đúng với n = k + 1, có nghĩa ta phải chứng minh: 2k+1 > (k+1)2
* Thật vậy, nhân hai vế của (1) với 2 ta được:
2. 2k > 2.k2 ⇔ 2k+1 > k2 + k2
⇔ 2k+1 > k2 + 2k + 1= (k+1)2 (vì k2 > 2k+ 1 với mọi k ≥ 5) .
Vậy (*) đúng với mọi số nguyên dương n≥5.
Câu trả lời của bạn
+ Với n = 2 ta có : 22 + 1 = 8 và 2.2+ 3= 7
=> 8 > 7 nên (*) đúng khi n = 2
+ Giả sử với n = k; k ≥ 2 thì (*) đúng, có nghĩa ta có: 2k+ 1 > 2k + 3 (1).
Ta phải chứng minh (*) đúng với n= k + 1, có nghĩa ta phải chứng minh:
2k+2 > 2(k+1)+3
* Thật vậy, nhân hai vế của (1) với 2 ta được:
2.2k+1 > 2(2k+3) ⇔ 2k+2 > 4k + 6 > 2(k + 1) + 3
Vậy 2k+2 > 2(k+1)+3 (đúng).
Do đó theo nguyên lí quy nạp, (*) đúng với mọi số nguyên dương n ≥ 2
Câu trả lời của bạn
+ Với n = 1 ta có:
Vế trái = 1. 4= 4.
Vế phải = 1.(1+ 1)2 = 4.
=> Vế trái = Vế phải. Vậy (1) đúng với n = 1.
+ Giả sử (1) đúng với n=k; k ∈ N*; tức là ta có:
1.4+2.7+⋅⋅⋅+k(3k+1)=k(k+1)2 (2)
Ta chứng minh nó cũng đúng với n= k+1. Có nghĩa ta phải chứng minh:
1.4+2.7+⋅⋅⋅+k(3k+1)+(k+1)(3k+4)=(k+1)(k+2)2
+ Thật vậy do 1.4+ 2.7+ ...+ k. ( 3k+ 1) = k( k+1)2 nên
1.4+2.7+⋯+k( 3k+1)+( k+1).(3k+4)=k(k+1)2+(k+1)(3k+4)
= k( k2+2k+ 1)+ 3k2 + 4k+ 3k+ 4
= k3 + 2k2 + k+3k2 + 7k+ 4 = k3 + 5k2 + 8k+ 4 = (k + 1).(k + 2)2
Do đó (1) đúng với mọi số nguyên dương n.
Câu trả lời của bạn
* Với n = 1:
Vế trái của (1) = 2, vế phải của (1)= 12.( 1+ 1)= 2.
Suy ra (1) đúng với n = 1.
* Giả sử (1) đúng với n= k; k ∈ N*. Có nghĩa là ta có:
1.2 + 2.5 + 3.8 +⋅⋅⋅+ k(3k − 1) = k2(k+1) (2)
Ta phải chứng minh (1) đúng với n = k+1. Có nghĩa ta phải chứng minh:
1.2 + 2.5 + 3.8 +⋅⋅⋅+ k(3k − 1) + (k+1)(3k+2) = (k+1)2(k+2)
Thật vậy:
1.2 + 2.5 + 3.8 +⋅⋅⋅+ k(3k − 1) + (k + 1)(3k + 2) = k2(k+1) + (k + 1)(3k + 2)
= (k + 1)(k2 + 3k + 2) = (k + 1)(k + 1)(k + 2) = (k+1)2(k+2) (đpcm).
Vậy (1) đúng khi n = k + 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp, (1) đúng với mọi số nguyên dương n.
Câu trả lời của bạn
Đặt un = n3 − n
* Ta có u1 = 13 − 1 = 0 chia hết cho 3
=> đúng với n = 1.
* Giả sử uk = k3 − k chia hết cho 3.
Ta cần chứng minh uk+1 = (k + 1)3 − (k + 1) chia hết cho 3.
* Thật vậy, uk+1 = k3+ 3k2 + 3k + 1 − k − 1 = k3 + 3k2 + 2k
⇔ uk + 1 = (k3 − k) + (3k2 + 3k) = uk +3(k2 + k)
Vì uk và 3(k2 + k) đều chia hết cho 3, nên uk+1 cũng chia hết cho 3.
Vậy với mọi số nguyên dương n thì un chia hết cho 3.
Câu trả lời của bạn
* Đặt un = 2n3 − 3n2 + n
*Ta có: u1 = 2. 13 − 3 . 12 + 1 = 0 chia hết cho 6
=> đúng với n = 1.
* Giả sử uk = 2k3 − 3k2+ k chia hết cho 6.
Ta cần chứng minh: uk + 1 = 2.(k+1)3 − 3.(k+1)2 + k+1 chia hết cho 6.
* Thật vậy ta có: uk+1 = 2.k3+ 6k2 + 6k + 2 − 3k2 − 6k − 3 + k + 1
⇔ uk + 1 = 2k3 + 3k2 + k = 2k3 − 3k2 + k + 6k2 = uk + 6k2
Vì uk và 6k2 đều chia hết cho 6, nên uk + 1 cũng chia hết cho 6.
Vậy với mọi số nguyên dương n thì un chia hết cho 6.
Câu trả lời của bạn
* Đặt un = n3 + 3n2 + 5n
* Ta có u1 = 13 + 3.12 + 5 . 1 = 9 ⋮ 3.
=> đúng với n = 1
* Giả sử uk = k3 + 3k2 + 5k ⋮ 3.
Ta cần chứng minh uk+1 = (k+1)3 + 3.(k+1)2 + 5(k + 1) ⋮ 3
* Thật vậy, uk + 1 = k3 + 3k2 +3k + 1 + 3k2 + 6k + 3+ 5k + 5
⇔ uk+1 = (k3 + 3k2 + 5k) + (3k2 + 9k + 9) = uk + 3(k2 + 3k + 3)
Vì uk ⋮ 3 và 3( k2 + 3k + 3) ⋮ 3 nên uk+1 ⋮ 3
Vậy với mọi số nguyên dương n thì un chia hết cho 3.
Câu trả lời của bạn
+ Với n = 1 ta có 13 + 11 . 1 = 12 chia hết cho 6 đúng.
+Giả sử với n = k (k ∈ N*) thì k3 + 11k chia hết cho 6.
Ta phải chứng minh với n = k + 1 thì (k+1)3 + 11( k+1) chia hết cho 6.
+ Thật vậy ta có:
(k+1)3 + 11(k + 1) = k3 + 3k2 + 3k + 1+ 11k + 11 = (k3 + 11k) + 3k(k + 1)+ 12 (*)
+ Do k3 + 11k chia hết cho 6 theo bước 2.
k(k + 1)⋮ nên 3k(k+1) ⋮ 6
và 12 ⋮ 6
=> (k3 + 11k) + 3k(k + 1) + 12 ⋮ 6
Từ đó suy ra (k + 1)3 + 11(k + 1) ⋮ 6 (đpcm).
Câu trả lời của bạn
* Đặt un = 13n − 1
* Với n = 1, ta có u1 = 131 − 1 = 12 chia hết cho 6
=> đúng với n = 1.
* Giả sử uk = 13k − 1 chia hết cho 6 (với k ∈ N*).
Ta cần chứng minh: uk+1= 13k+1 − 1 ⋮ 6 .
* Thật vậy ta có: uk+1 = 13 . 13k − 1 = 13(13k − 1) + 12 = 13.uk + 12
Vì 13uk và 12 đều chia hết cho 6, nên uk + 1 cũng chia hết cho 6.
Vậy với mọi số nguyên dương n thì un chia hết cho 6.
Câu trả lời của bạn
* Với n = 3 ta có 33 > 32 + 4.3 + 5 ⇔ 27 > 26 (đúng).
Vậy (*) đúng với n = 3.
* Giả sử với n = k ; k ≥ 3 thì (*) đúng, có nghĩa ta có: 3k > k2 + 4k + 5 (1).
Ta phải chứng minh (*) đúng với n = k+ 1, có nghĩa ta phải chứng minh:
3k + 1 > (k+1)2 + 4(k+1) + 5
* Thật vậy, nhân hai vế của (1) với 3 ta được: 3.3k > 3.k2 + 12k + 15
⇔ 3k + 1 > (k2 + 2k + 1) + 4(k+1)+ 5 + (2k2 + 6k + 5) (2)
Vì (2k2 + 6k + 5) > 0 với mọi k ≥ 3 (3)
Từ (2) và (3) suy ra: 3k+1 > (k2 + 2k + 1) + 4(k + 1) + 5
Hay 3k+1 > (k+1)2 + 4(k+1) + 5
Vậy (*) đúng với mọi số nguyên dương n ≥ 3.
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *