Phương pháp quy nạp toán học là một dạng toán hay nhưng để làm quen các em sẽ gặp không ít khó khăn. Vì vậy trong bài học sẽ làm rõ thế nào là chứng minh quy nạp toán học? Việc vận dụng phương pháp pháp quy nạp vào giải toán sẽ được thực hiện như thế nào?
Cho \({n_0}\) là một số nguyên dương và \(P(n)\) là một mệnh đề có nghĩa với mọi số tự nhiên \(n \ge {n_0}\). Nếu
(1) \(P({n_0})\) là đúng và
(2) Nếu \(P(k)\) đúng, thì \(P(k + 1)\)cũng đúng với mọi số tự nhiên \(k \ge {n_0}\);
thì mệnh đề P(n) đúng với mọi số tự nhiên\(n \ge {n_0}\) .
Khi ta bắt gặp bài toán:
Chứng minh mệnh đề \(P(n)\) đúng với mọi số tự nhiên \(n \ge {n_0},\)\({n_0} \in \mathbb{N}\) ta có thể sử dụng phương pháp quy nạp như sau
Bước 1: Kiểm tra \(P({n_0})\) có đúng hay không. Nếu bước này đúng thì ta chuyển qua bước hai
Bước 2: Với \(k \ge {n_0}\), giả sử \(P(k)\) đúng ta cần chứng minh \(P(k + 1)\) cũng đúng.
Kết luận: \(P(n)\) đúng với \(\forall n \ge {n_0}\).
Lưu ý: Bước 2 gọi là bước quy nạp, mệnh đề \(P(k)\) đúng gọi là giả thiết quy nạp.
Phương pháp: Giả sử cần chứng minh đẳng thức \(P(n) = Q(n)\) (hoặc \(P(n) > Q(n)\)) đúng với \(\forall n \ge {n_0},{\rm{ }}{n_0} \in \mathbb{N}\) ta thực hiện các bước sau:
Bước 1: Tính \(P({n_0}),{\rm{ }}Q({n_0})\) rồi chứng minh \(P({n_0}) = Q({n_0})\)
Bước 2: Giả sử \(P(k) = Q(k);{\rm{ }}k \in \mathbb{N},k \ge {n_0}\), ta cần chứng minh
\(P(k + 1) = Q(k + 1)\).
Chứng minh rằng \(\forall n \in {{\rm N}^*}\) ta luôn có đẳng thức sau:
\(1 + 2 + ... + n = \,\frac{{n(n + 1)}}{2}\)
Đặt \({A_n} = 1 + 2 + ... + n = \,\frac{{n(n + 1)}}{2}\,\)
Với n=1, ta có: \(1 = \frac{{1.(1 + 1)}}{2} = 1\) (đúng)
Giả sử với \(n = k \ge 1\) ta có:
\({A_n} = 1 + 2 + ... + n = \,\frac{{n(n + 1)}}{2}\,\) (giả thiết quy nạp)
Ta phải chứng minh: \({A_{n + 1}} = 1 + 2 + ... + n + (n + 1) = \,\frac{{(n + 1)(n + 2)}}{2}\)
Ta có: \({A_{n + 1}} = 1 + 2 + ... + n + (n + 1) = \,\frac{{n(n + 1)}}{2} + (n + 1)\)
\(\Leftrightarrow {A_{n + 1}} = \,\frac{{n(n + 1) + 2(n + 1)}}{2} = \frac{{(n + 1)(n + 2)}}{2}\) ( điều phải chứng minh).
Vậy \(1 + 2 + ... + n = \,\frac{{n(n + 1)}}{2}\) \(\forall n \in {{\rm N}^*}\).
Chứng minh rằng \(\forall n \in {{\rm N}^*}\) ta luôn có đẳng thức sau:
\(1 + 3 + ... + {(2n - 1)^2} = \,\frac{{n(4{n^2} - 1)}}{3}\)
Đặt \({A_n} = 1 + 3 + ... + {(2n - 1)^2} = \,\frac{{n(4{n^2} - 1)}}{3}\)
Với n= 1: \({(2.1 - 1)^2} = \frac{{1.({{4.1}^2} - 1)}}{3} = 1\) (đúng)
Giả sử với \(n = k \ge 1\) ta có:
\(1 + 3 + ... + {(2n - 1)^2} = \,\frac{{n(4{n^2} - 1)}}{3}\) (giả thiết quy nạp)
Ta phải chứng minh:
\({A_{n + 1}} = 1 + 3 + ... + {(2n - 1)^2} + \,{[2(n + 1) - 1]^2} = \,\frac{{(n + 1)[4{{(n + 1)}^2} - 1]}}{3}\,\)
Ta có: \(VT = 1 + 3 + ... + {(2n - 1)^2} + \,{[2(n + 1) - 1]^2}\)
Theo giả thiết quy nạp ở trên: \(VT = \frac{{n(4{n^2} - 1)}}{3} + \,{[2(n + 1) - 1]^2}\)
= \(\frac{{4{n^3} - n + 3{{(2n + 1)}^2}}}{3}\) \(= \frac{{4{n^3} - n + 12{n^2} + 12n + 3}}{3}\)
\(= \frac{{4{n^3} + 12{n^2} + 11n + 3}}{3}\) \(= \frac{{4{n^3} + 4{n^2} + \,8{n^2} + 8n + 3n + 3}}{3}\)
\(VT = \frac{{(n + 1)(4{n^2} + 8n + 3)}}{3}\) (1)
Ta lại có: \({\rm{VP}} = \,\frac{{(n + 1)[4{{(n + 1)}^2} - 1]}}{3}\,\)
\(= \,\frac{{(n + 1)[4({n^2} + 2n + 1) - 1]}}{3}\,\)
\(= \,\frac{{(n + 1)(4{n^2} + 8n + 4 - 1)}}{3}\,\)
\({\rm{VP}} = \,\frac{{(n + 1)(4{n^2} + 8n + 3)}}{3}\,\) (2)
Từ (1) và (2): \({A_{n + 1}} = 1 + 3 + ... + {(2n - 1)^2} + \,{[2(n + 1) - 1]^2} = \,\frac{{(n + 1)[4{{(n + 1)}^2} - 1]}}{3}\,\)
Vậy \(1 + 3 + ... + {(2n - 1)^2} = \,\frac{{n(4{n^2} - 1)}}{3}\) \(\forall n \in {{\rm N}^*}\).
Chứng mình với mọi số tự nhiên \(n \ge 1\) ta luôn có: \(1 + 2 + 3 + ... + n = \frac{{n(n + 1)}}{2}\)
Đặt \(P(n) = 1 + 2 + 3 + ... + n\) : tổng n số tự nhiên đầu tiên : \(Q(n) = \frac{{n(n + 1)}}{2}\)
Ta cần chứng minh \(P(n) = Q(n){\rm{ }}\forall n \in \mathbb{N},n \ge 1\).
Bước 1: Với \(n = 1\) ta có \(P(1) = 1,{\rm{ }}Q(1) = \frac{{1(1 + 1)}}{2} = 1\)
\( \Rightarrow P(1) = Q(1) \Rightarrow (1)\) đúng với \(n = 1\).
Bước 2: Giả sử \(P(k) = Q(k)\) với \(k \in \mathbb{N},k \ge 1\) tức là:
\(1 + 2 + 3 + ... + k = \frac{{k(k + 1)}}{2}\) (1)
Ta cần chứng minh \(P(k + 1) = Q(k + 1)\), tức là:
\(1 + 2 + 3 + ... + k + (k + 1) = \frac{{(k + 1)(k + 2)}}{2}\) (2)
Thật vậy: \(VT(2) = (1 + 2 + 3 + ... + k) + (k + 1)\)
\( = \frac{{k(k + 1)}}{2} + (k + 1)\) (Do đẳng thức (1))
\( = (k + 1)(\frac{k}{2} + 1) = \frac{{(k + 1)(k + 2)}}{2} = VP(2)\)
Vậy đẳng thức cho đúng với mọi \(n \ge 1\).
Chứng minh với mọi số tự nhiên \(n \ge 1\) ta luôn có: \(1 + 3 + 5 + ... + 2n - 1 = {n^2}\)
Lời giải:
\( \bullet \) Với \(n = 1\) ta có \({\rm{VT}} = 1,{\rm{ VP}} = {1^2} = 1\)
Suy ra \(VT = VP \Rightarrow \) đẳng thức cho đúng với \(n = 1\).
\( \bullet \) Giả sử đẳng thức cho đúng với \(n = k\) với \(k \in \mathbb{N},k \ge 1\) tức là:
\(1 + 3 + 5 + ... + 2k - 1 = {k^2}\) (1)
Ta cần chứng minh đẳng thức cho đúng với \(n = k + 1\), tức là:
\(1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) + (2k + 1) = {\left( {k + 1} \right)^2}\) (2)
Thật vậy: \(VT(2) = (1 + 3 + 5 + ... + 2k - 1) + (2k + 1)\)
\( = {k^2} + (2k + 1)\) (Do đẳng thức (1))
\( = {(k + 1)^2} = VP(1.2)\)
Vậy đẳng thức cho đúng với mọi \(n \ge 1\).
Chứng minh rằng \(\forall n \in {{\rm N}^*}\) :
\({n^3} + 2n\) chia hết cho 3.
Đặt \({A_n} = {n^3} + 2n\)
Với n= 1: \({A_n} = 1 + 2 = 3\, \vdots \,3\)
Giả sử với \(n = k \ge 1\) ta có:
\({A_n} = {n^3} + 2n\,\, \vdots \,\,3\) (giả thiết quy nạp)
Ta phải chứng minh:
\({A_{n + 1}} = {(n + 1)^3} + 2(n + 1)\,\, \vdots \,\,3\)
Ta có: \({A_{n + 1}} = {(n + 1)^3} + 2(n + 1)\, = \,{n^3} + 3{n^2} + 3n + 1 + 2n + 2\)
\(= \,{n^3} + 2n + 3({n^2} + n + 1)\)
Theo giả thiết quy nạp: \({n^3} + 2n\,\, \vdots \,\,3\)
Đồng thời: \(3({n^2} + n + 1)\,\, \vdots \,\,3\)
Vậy \({A_{n + 1}} = {(n + 1)^3} + 2(n + 1)\,\, \vdots \,\,3\)
Kết luận: \({n^3} + 2n\,\, \vdots \,\,3\) \(\forall n \in {{\rm N}^*}\)
Cho \(n\) là số tự nhiên dương. Chứng minh rằng: \({a_n} = {16^n}-15n-1 \vdots 225\)
\( \bullet \) Với \(n = 1\) ta có: \({a_1} = 0 \Rightarrow {a_1} \vdots 225\).
\( \bullet \) Giả sử \({a_k} = {16^k} - 15k - 1 \vdots 225\), ta chứng minh
\({a_{k + 1}} = {16^{k + 1}} - 15(k + 1) - 1 \vdots 225\)
Thậ vậy: \({a_{k + 1}} = {16.16^k} - 15k - 16 = {16^k} - 15k - 1 - 15\left( {{{16}^k} - 1} \right)\)
\( = {a_k} - 15\left( {{{16}^k} - 1} \right)\)
Vì \({16^k} - 1 = 15.\left( {{{16}^{k - 1}} + {{16}^{k - 2}} + ... + 1} \right) \vdots 15\) và \({a_k} \vdots 225\)
Nên ta suy ra \({a_{k + 1}} \vdots 225\). Vậy bài toán được chứng minh.
Chứng minh rằng tổng các trong một n – giác lồi \((n \ge 3)\) bằng \((n - 2){180^0}\).
\( \bullet \) Với \(n = 3\) ta có tổng ba góc trong tam giác bằng \({180^0}\)
\( \bullet \) Giả sử công thức đúng cho tất cả k-giác, với \(k < n\), ta phải chứng minh mệnh đề cũng đúng cho n-giác. Ta có thể chia n-giác bằng một đường chéo thành ra hai đa giác. Nếu số cạnh của một đa giác là k+1, thì số cạnh của đa giác kia là n – k + 1, hơn nữa cả hai số này đều nhỏ hơn n. Theo giả thiết quy nạp tổng các góc của hai đa giác này lần lượt là \(\left( {k - 1} \right){180^0}\) và \(\left( {n - k - 1} \right){180^0}\).
Tổng các góc của n-giác bằng tổng các góc của hai đa giác trên, nghĩa là \((k - 1 + n - k - 1){180^0} = (n - 2){180^0}\)
Suy ra mệnh đề đúng với mọi \(n \ge 3\).
Phương pháp quy nạp toán học là một dạng toán hay nhưng để làm quen các em sẽ gặp không ít khó khăn. Vì vậy trong bài học sẽ làm rõ thế nào là chứng minh quy nạp toán học? Việc vận dụng phương pháp pháp quy nạp vào giải toán sẽ được thực hiện như thế nào?
Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 11 Chương 3 Bài 1để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.
Chứng minh mệnh đề " \(\forall n \in {N^ * }\)ta luôn có \(1 + 2 + ... + n = \frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2}\)" bằng phươg pháp quy nạp toán học, bước 1 ta kiểm tra với giá trị nào của n?
Chứng minh mênh đề " \(\forall n \in N,n \ge 3\) ta luôn có \({3^n} > {n^2} + 4n + 5\)" bằng phương pháp quy nạp toán học, bước 1, ta kiểm tra với giá trị nào của n?
Với gá trị nào của số tự nhiên n, ta có \({2^n} > 2n + 1\)?
Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 11 Chương 3 Bài 1 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Giải tích 11 Cơ bản và Nâng cao.
Bài tập 1 trang 82 SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 2 trang 82 SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 3 trang 82 SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 4 trang 82 SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 5 trang 82 SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 3.1 trang 107 SBT Toán 11
Bài tập 3.2 trang 107 SBT Toán 11
Bài tập 3.3 trang 107 SBT Toán 11
Bài tập 3.4 trang 107 SBT Toán 11
Bài tập 3.5 trang 107 SBT Toán 11
Bài tập 3.6 trang 107 SBT Toán 11
Bài tập 3.7 trang 107 SBT Toán 11
Bài tập 3.8 trang 108 SBT Toán 11
Bài tập 1 trang 100 SGK Toán 11 NC
Bài tập 2 trang 100 SGK Toán 11 NC
Bài tập 3 trang 100 SGK Toán 11 NC
Bài tập 4 trang 100 SGK Toán 11 NC
Bài tập 5 trang 100 SGK Toán 11 NC
Bài tập 6 trang 100 SGK Toán 11 NC
Bài tập 7 trang 100 SGK Toán 11 NC
Bài tập 8 trang 100 SGK Toán 11 NC
Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán DapAnHay sẽ sớm trả lời cho các em.
-- Mod Toán Học 11 DapAnHay
Chứng minh mệnh đề " \(\forall n \in {N^ * }\)ta luôn có \(1 + 2 + ... + n = \frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2}\)" bằng phươg pháp quy nạp toán học, bước 1 ta kiểm tra với giá trị nào của n?
Chứng minh mênh đề " \(\forall n \in N,n \ge 3\) ta luôn có \({3^n} > {n^2} + 4n + 5\)" bằng phương pháp quy nạp toán học, bước 1, ta kiểm tra với giá trị nào của n?
Với gá trị nào của số tự nhiên n, ta có \({2^n} > 2n + 1\)?
Với giá trị nào của n, ta có \({3^n} > {2^n} + 7n\)?
Mệnh đề nào sau đây đúng với \(\forall n \in {N^ * }\)
Tìm số đường chéo của đa giác lồi n cạnh
Cho \({A_n} = {n^3} + 3{n^2} + 5n,n \in {N^ * }\). Tính A1?
Mệnh đề nào sau đây đúng với \(\forall n \in {N^ * }\)?
Cho \({S_n} = \frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{2.3}} + ... + \frac{1}{{n\left( {n + 1} \right)}},n \in {N^ * }\). Tính S2?
Với giá trị nào của số tự nhiên n, ta có \(\left( {1 - \frac{1}{4}} \right)\left( {1 - \frac{1}{9}} \right)...\left( {1 - \frac{1}{{{n^2}}}} \right) = \frac{{n + 1}}{{2n}}\)?
Chứng minh rằng với \(n \in N*\), ta có đẳng thức:
a) \(2 + 5+ 8+.... + 3n - 1 =\frac{n(3n+1)}{2}\);
b) \(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + ... + \frac{1}{{{2^n}}} = \frac{{{2^n} - 1}}{{{2^n}}}\);
c) \(1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2 = \frac{n(n+1)(n+2)}{6}\).
Chứng minh rằng với n ε N* ta luôn có:
a) \(n^3 + 3n^2 + 5n\) chia hết cho 3;
b) \(4n + 15n - 1\) chia hết cho 9;
c) \(n^3 + 11n\) chia hết cho 6.
Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên \(n \geq 2\), ta có các bất đẳng thức:
a) \(3^n > 3^n + 1\)
b) \(2^{n + 1} > 2n + 3\)
Cho tổng \(S_n=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{n(n+1)}\)với n ε N* .
a) Tính \(S_1, S_2, S_3\).
b) Dự đoán công thức tính tổng \(S_n\) và chứng minh bằng quy nạp.
Chứng minh rằng số đường chéo của một đa giác lồi n cạnh là \(\frac{n(n-3)}{2}\)
Chứng minh các đẳng thức sau (với n ∈ N∗)
a) \(2 + 5 + 8 + ... + \left( {3n - 1} \right) = \frac{{n\left( {3n + 1} \right)}}{2}\)
b) \(3 + 9 + 27 + ... + {3^n} = \frac{1}{2}\left( {{3^{n + 1}} - 3} \right)\)
Chứng minh các đẳng thức sau (với n ∈ N∗)
a) Chứng minh \({1^2} + {3^2} + {5^2} + ... + {\left( {2n - 1} \right)^2} = \frac{{n\left( {4{n^2} - 1} \right)}}{3}\)
b) \({1^3} + {2^3} + {3^3} + ... + {n^3} = \frac{{{n^2}{{\left( {n + 1} \right)}^2}}}{4}\)
Chứng minh rằng với mọi n ∈ N∗ ta có:
a) 2n3 − 3n2 + n chia hết cho 6.
b) 11n + 1 + 122n−1 chia hết cho 133.
Chứng minh các bất đẳng thức sau (n ∈ N∗)
a) 2n + 2 > 2n + 5;
b) sin2nα + cos2nα ≤ 1.
Với giá trị nào của số tự nhiên n ta có
a) 2n > 2n + 1 ;
b) 2n > n2 + 4n + 5 ;
c) 3n > 2n + 7n ?
Cho tổng:
\({S_n} = \frac{1}{{1.5}} + \frac{1}{{5.9}} + \frac{1}{{9.13}} + ... + \frac{1}{{\left( {4n - 3} \right)\left( {4n + 1} \right)}}\)
a) Tính S1, S2, S3, S4;
b) Dự đoán công thức tính Sn và chứng minh bằng phương pháp quy nạp.
Xét mệnh đề chứa biến P(n): "10n - 1 < n + 2017 với n ∈ N∗"
Bằng phép thử ta có P(1), P(2), P(3), P(4) là đúng. Khẳng định nào sau đây là sai?
A. P(n) đúng với mọi số chẵn n ≤ 4
B. P(n) đúng với mọi số lẻ n < 4
C. P(n) đúng với mọi số n
D. P(n) đúng với mọi số n ≤ 4
Đặt \({S_n} = \sqrt {2 + \sqrt {2 + ... + \sqrt 2 } } \). Giả sử hệ thức \({S_n} = 2\cos \frac{\pi }{{{2^{n + 1}}}}\) là đúng với n = k ≥ 1. Để chứng minh hệ thức trên cũng đúng với n = k + 1, ta phải chứng minh Sk + 1 bằng:
A. \(\underbrace {\sqrt {2 + \sqrt {2 + ... + \sqrt 2 } } }_{k + 1}\)
B. \(2\cos \frac{\pi }{{{2^{k + 2}}}}\)
C. \(2\cos \frac{\pi }{{{2^{k + 1}}}}\)
D. \(\sqrt {2 + {S_k}} \)
Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta luôn có đẳng thức sau :
\(1 + 2 + 3 + ... + n = \frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2}\) (1)
Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta luôn có đẳng thức :
\({2^2} + {4^2} + ... + {\left( {2n} \right)^2} = \frac{{2n\left( {n + 1} \right)\left( {2n + 1} \right)}}{3}\)
Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta luôn có bất đẳng thức sau :
\(1 + \frac{1}{{\sqrt 2 }} + ... + \frac{1}{{\sqrt n }} < 2\sqrt n \)
Chứng minh rằng với mọi số nguyên n ≥ 2, ta luôn có đẳng thức sau:
\(\left( {1 - \frac{1}{4}} \right).\left( {1 - \frac{1}{9}} \right)....\left( {1 - \frac{1}{{{n^2}}}} \right) = \frac{{n + 1}}{{2n}}\)
Cho n là một số nguyên lớn hơn 1. Hãy chứng minh bất đẳng thức sau:
\(\frac{1}{{n + 1}} + \frac{1}{{n + 2}} + ... + \frac{1}{{2n}} > \frac{{13}}{{24}}\)
Với mỗi số nguyên dương n, đặt un = 7.22n−2+32n−1 (1) .
Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta luôn có un chia hết cho 5.
Cho số thực x > −1. Chứng minh rằng:
(1+x)n ≥ 1+nx (1)
Với mọi số nguyên dương n.
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
Câu trả lời của bạn
* Với n = 4, VT = 34 − 1 = 27 và VP = 4.(4 + 2)= 24
=> 27 > 24 nên (1) đúng với n = 4
* Giả sử với k ≥ 4;k ∈ N ta có : 3k−1 > k(k+2).
Ta cần chứng minh : 3k > (k + 1)(k + 3)
Thật vậy, ta có : 3k = 3.3k−1 > 3k.(k+ 2).
Lại có :
3k(k+ 2) > (k+1)(k+ 3) ⇔ 2k2 +2k − 4 > 0 bất đẳng thức này đúng với mọi k ≥ k.
Suy ra 3k > (k + 1)(k+3) (đúng).
Do đó theo nguyên lí quy nạp, (*) đúng với mọi số nguyên dương n ≥ 4.
Câu trả lời của bạn
* Đặt un = 7. 22n − 2 +32n − 1
* Với n = 1, ta có u1 = 7. 22 . 1 − 2 + 32 . 1 − 1 = 10 chia hết cho 5
=>đúng với n= 1.
* Giả sử uk = 7. 22k − 2 +32k − 1 chia hết cho 5.
Ta cần chứng minh uk+1 = 7.22k + 32k + 1 chia hết cho 5.
Thật vậy ta có uk+1 = 4.(7.22k−2 + 32k − 1) − 4. 32k − 1 + 32k+1 = 4uk + 5.32k−1
Vì 4.uk và 5.32k−1 đều chia hết cho 5, nên uk+1 cũng chia hết cho 5.
Vậy với mọi số nguyên dương n thì un chia hết cho 5.
Câu trả lời của bạn
* Đặt un = 4n + 6n+ 8
* Với n = 1, ta có u1 = 41 + 6 . 1 + 8 = 18 chia hết cho 9
=> đúng với n = 1.
* Giả sử uk = 4k + 6k + 8 chia hết cho 9.
Ta cần chứng minh uk + 1 = 4k + 1 + 6(k+ 1)+ 8 chia hết cho 9.
Thật vậy ta có uk+1 = 4. 4k + 6k + 14 = 4. (4k + 6k + 8) − 18k + 18 = 4.uk + 18(1 − k)
Vì 4uk và 18(1 − k) đều chia hết cho 9, nên uk+1 cũng chia hết cho 9.
Vậy với mọi số nguyên dương n thì un chia hết cho 9
Câu trả lời của bạn
*Đặt un = 4n + 15n − 1
*Với n = 1, ta có u1 = 41 + 15 . 1 − 1 = 18 chia hết cho 9
=>đúng với n = 1.
* Giả sử uk = 4k +15k − 1 chia hết cho 9.
Ta cần chứng minh uk + 1 = 4k + 1 + 15(k + 1) − 1 chia hết cho 9.
*Thật vậy ta có: uk+1 = 4.4k + 15k+ 14 = 4( 4k + 15k − 1) − 45k + 18 = 4.uk + 9(2 − 5k)
Vì 4uk và 9(2 − 5k) đều chia hết cho 9, nên uk+1 cũng chia hết cho 9.
Vậy với mọi số nguyên dương n thì un chia hết cho 9.
Câu trả lời của bạn
Với \(P\left( n \right)\): Do với \(n = 5\) thì \(P\left( n \right)\) sai nên \(P\left( n \right)\) không đúng với mọi \(n \in {\mathbb{N}^*}\).
Với \(Q\left( n \right)\): Quan sát \({2^n}\) ta thấy \({2^n}\) tăng rất nhanh so với \(n\) nên \({2^n} > n\) với mọi \(n \in {\mathbb{N}^*}\) hay \(Q\left( n \right)\) đúng với \(n \in {\mathbb{N}^*}\)
Câu trả lời của bạn
- Khi \(n = 1, VT = 1\)
\(\displaystyle VP = {{1(1 + 1)} \over 2} = 1\)
- Giả sử đẳng thức đúng với \(n = k ≥ 1\), nghĩa là:
\(\displaystyle{S_k} = 1 + 2 + 3 + ... + k = {{k(k + 1)} \over 2}\)
Ta phải chứng minh rằng đẳng thức cũng đúng với \(n = k + 1\), tức là:
\(\displaystyle {S_{k + 1}} = 1 + 2 + 3 + ... + k + (k + 1)\) \(\displaystyle = {{(k + 1)(k + 2)} \over 2}\)
Thật vậy, từ giả thiết quy nạp ta có:
\(\displaystyle{S_{k + 1}} = {S_k} + (k + 1) \) \(\displaystyle = {{k(k + 1)} \over 2} + (k + 1)\)
\(\displaystyle = {{k(k + 1) + 2(k + 1)} \over 2}\) \(\displaystyle ={{(k + 1)(k + 2)} \over 2}\)
Vậy đẳng thức đúng với mọi n ∈ N*
Câu trả lời của bạn
So sánh 3n và 8n với n = 1, 2, 3, 4, 5.
n = 1 ⇒ 31 = 3 < 8 = 8.1
n = 2 ⇒ 32 = 9 < 16 = 8.2
n = 3 ⇒ 33 = 27 > 24 = 8.3
n = 4 ⇒ 34 = 81 > 32 = 8.4
n = 5 ⇒ 35 = 243 > 40 = 8.5
Câu trả lời của bạn
Với \(n = 1\)thì \(P\left( 1 \right):''{3^1} < 1 + 100''\) đúng, \(Q\left( 1 \right):''{2^1} > 1''\) đúng.
Với \(n = 2\) thì \(P\left( 2 \right):''{3^2} < 2 + 100''\) đúng, \(Q\left( 2 \right):''{2^2} > 2''\) đúng.
Với \(n = 3\) thì \(P\left( 3 \right):''{3^3} < 3 + 100''\) đúng, \(Q\left( 3 \right):''{2^3} > 3''\) đúng.
Với \(n = 4\) thì \(P\left( 4 \right):''{3^4} < 4 + 100''\) đúng, \(Q\left( 4 \right):''{2^4} > 4''\) đúng.
Với \(n = 5\) thì \(P\left( 5 \right):''{3^5} < 5 + 100''\) sai, \(Q\left( 5 \right):''{2^5} > 5''\) đúng.
Câu trả lời của bạn
Dự đoán kết quả tổng quát: 3n > 8n với mọi n ≥ 3
- n = 3, bất đẳng thức đúng
- Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k ≥ 3, nghĩa là:
3k > 8k
Ta phải chứng minh rằng bất đẳng thức cũng đúng với n = k + 1, tức là:
3(k + 1) > 8(k + 1)
Thật vậy, từ giả thiết quy nạp ta có:
3k + 1 = 3k.3 > 8k.3 = 24k = 8k + 16k
k ≥ 3 ⇒ 16k ≥ 16.3 = 48 > 8
Suy ra: 3k + 1 > 8k + 8 = 8(k + 1)
Vậy bất đẳng thức đúng với mọi n ≥ 3
Câu trả lời của bạn
Với \(n = 1\), vế trái chỉ có một số hạng là \(2\), vế phải bằng \( \dfrac{1.(3.1+1)}{2} = 2\).
Do đó hệ thức a) đúng với \(n = 1\).
Đặt vế trái bằng \(S_n\)
Giả sử đẳng thức a) đúng với \(n = k ≥ 1\), tức là
\(S_k=2 + 5 + 8 + …+ 3k – 1 \) \(= \dfrac{k(3k+1)}{2}\)
Ta phải chứng minh rằng a) cũng đúng với \(n = k + 1\), nghĩa là phải chứng minh
\(S_{k+1}= 2 + 5 + 8 + ….+ 3k -1 + (3(k + 1) – 1) \) \(= \dfrac{(k+1)(3(k+1)+1)}{2}\)
Thật vậy, từ giả thiết quy nạp, ta có:
\(S_{k+1}= [2 + 5 + 8 + ….+ 3k -1] + (3(k + 1) – 1) \)
\( = {\rm{ }}{S_k} + {\rm{ }}3k{\rm{ }} + {\rm{ }}2 \)
\( = \dfrac{{k(3k + 1)}}{2} + 3k + 2\)
\( = \dfrac{{3{k^2} + k + 6k + 4}}{2}\)
\( = \frac{{3{k^2} + 7k + 4}}{2} \) \(= \frac{{\left( {k + 1} \right)\left( {3k + 4} \right)}}{2} \) \(= \frac{{\left( {k + 1} \right)\left( {3k + 3 + 1} \right)}}{2} \) \( = \frac{{\left( {k + 1} \right)\left[ {3\left( {k + 1} \right) + 1} \right]}}{2}\)
(điều phải chứng minh)
Vậy theo nguyên lí quy nạp toán học, hệ thức a) đúng với mọi \(n \in {\mathbb N}^*\)
Câu trả lời của bạn
Với \(n = 1\), vế trái bằng \( \dfrac{1}{2}\), vế phải bằng \( \dfrac{1}{2}\), do đó hệ thức đúng với \(n=1\).
Đặt vế trái bằng \(S_n\).
Giả sử hệ thức b) đúng với \(n = k ≥ 1\), tức là
\( S_{k}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{8}+...+\dfrac{1}{2^{k}}\) \(=\dfrac{2^{k}-1}{2^{k}}\)
Ta phải chứng minh \( S_{k+1}=\dfrac{2^{k+1}-1}{2^{k+1}}\).
Thật vậy, từ giả thiết quy nạp, ta có:
\( S_{k+1}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{8}+...+\dfrac{1}{2^{k}}+\dfrac{1}{2^{k+1}} \)
\(=S_{k}+\dfrac{1}{2^{k+1}}\)
\(=\dfrac{2^{k}-1}{2^{k}}+\dfrac{1}{2^{k+1}}\) \( = \dfrac{{2\left( {{2^k} - 1} \right) + 1}}{{{2^{k + 1}}}}\) \(= \dfrac{2^{k+1}-2+1}{2^{k+1}}=\dfrac{2^{k+1}-1}{2^{k+1}}\)
(điều phải chứng minh)
Vậy theo nguyên lí quy nạp toán học, hệ thức b) đúng với mọi \(n \in {\mathbb N}^*\)
Câu trả lời của bạn
Đặt \({S_n} = {4^n} + {\rm{ }}15n{\rm{ }} - {\rm{ }}1\)
Với \(n{\rm{ }} = {\rm{ }}1,{S_1} = {\rm{ }}{4^1} + {\rm{ }}15.1{\rm{ }}-{\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}18\) nên \(S_1 \vdots\) \(9\)
Giả sử với \(n = k ≥ 1\) thì \({S_k} = {\rm{ }}{4^k} + {\rm{ }}15k{\rm{ }} - {\rm{ }}1\) chia hết cho \(9\).
Ta phải chứng minh \(S_{k+1} \vdots\) \(9\).
Thật vậy, ta có:
\({S_{k + 1}} = {\rm{ }}{4^{k{\rm{ }} + {\rm{ }}1}} + {\rm{ }}15\left( {k{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right){\rm{ }}-{\rm{ }}1\)
\( = {4.4^k} + 15k + 15 - 1\)
\( = {4.4^k} + 15k + 14\)
\( = {4.4^k} + 60k - {45k} + 18 - 4\)
\( = \left( {{{4.4}^k} + 60k - 4} \right) - 45k + 18\)
\( = {\rm{ }}4({4^k} + {\rm{ }}15k{\rm{ }}-{\rm{ }}1){\rm{ }}-{\rm{ }}45k{\rm{ }} + {\rm{ }}18{\rm{ }} \)
\(= {\rm{ }}4{S_k}-{\rm{ }}9\left( {5k{\rm{ }}-{\rm{ }}2} \right)\)
Theo giả thiết quy nạp thì \(S_k \vdots\) \(9\) nên \(4S_k \vdots 9\)
Mặt khác \(9(5k - 2) \vdots\) \(9\), nên \(S_{k+1} \vdots 9\)
Vậy \((4^n+ 15n - 1) \vdots\) \(9\) với mọi \(n\in {\mathbb N}^*\)
Câu trả lời của bạn
Đặt \(S_n={n^3} + {\rm{ }}3{n^2} + {\rm{ }}5n\)
Với \(n = 1\) thì \(S_1= {1^3} + {3.1^2} + 5.1 = 9\) chia hết cho \(3\)
Giả sử với \(n = k ≥ 1\), \(S_k= ({k^3} + {\rm{ }}3{k^2} + {\rm{ }}5k) \vdots\) \( 3\)
Ta phải chứng minh rằng \(S_{k+1}\)\( \vdots\) \(3\)
Thật vậy :
\(S_{k+1}={\left( {k{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right)^3} + {\rm{ }}3{\left( {k{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right)^2} + {\rm{ }}5\left( {k{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right)\)
\( = {k^3}{\rm{ }} + {\rm{ }}3{k^2} + {\rm{ }}3k{\rm{ }} + {\rm{ }}1{\rm{ }} + {\rm{ }}3{k^2} + {\rm{ }}6k{\rm{ }} + {\rm{ }}3{\rm{ }} + {\rm{ }}5k{\rm{ }} + {\rm{ }}5\)
\( =( {\rm{ }}{k^3} + {\rm{ }}3{k^2} + {\rm{ }}5k{\rm{ }}) + {\rm{ }}3{k^2} + {\rm{ }}9k{\rm{ }} + {\rm{ }}9\)
\(= {S_k} + {\rm{ }}3({k^2} + {\rm{ }}3k{\rm{ }} + {\rm{ }}3)\)
Theo giả thiết quy nạp thì \(S_k \) \( \vdots\) \(3\)
Mà \(3({k^2} + {\rm{ }}3k{\rm{ }} + {\rm{ }}3) \vdots\) \(3\) nên \(S_{k+1} \vdots\) \(3\).
Vậy \({n^3} + {\rm{ }}3{n^2} + {\rm{ }}5n\) chia hết cho \(3\) với mọi \(n\in {\mathbb N}^*\).
Câu trả lời của bạn
Với \(n = 1\), vế trái bằng \(1\), vế phải bằng \( \dfrac{1(1+1)(2+1)}{6}= 1\) nên hệ thức c) đúng với \(n = 1\).
Đặt vế trái bằng \(S_n\).
Giả sử hệ thức c) đúng với \(n = k ≥ 1\), tức là
\(S_k= {1^2} + {2^2} + {3^2} + ... + {k^2}\) \(=\dfrac{k(k+1)(2k+1)}{6}\)
Ta phải chứng minh \( S_{k+1}=\dfrac{(k+1)(k+2)(2(k+1)+1)}{6}\)
Thật vậy, từ giả thiết quy nạp ta có:
\({S_{k + 1}}= {1^2} + {2^2} + {3^2} + ... + {k^2}+(k+1)^2 \)
\(= {\rm{ }}{S_k} + {\rm{ }}{\left( {k{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right)^2}\)
\( = \dfrac{k(k+1)(2k+1)}{6}+(k+1)^{2}\)
\(\begin{array}{l}
= \frac{{k\left( {k + 1} \right)\left( {2k + 1} \right) + 6{{\left( {k + 1} \right)}^2}}}{6}\\
= \frac{{\left( {k + 1} \right)\left[ {k\left( {2k + 1} \right) + 6\left( {k + 1} \right)} \right]}}{6}\\
= \frac{{\left( {k + 1} \right)\left( {2{k^2} + k + 6k + 6} \right)}}{6}\\
= \frac{{\left( {k + 1} \right)\left( {2{k^2} + 7k + 6} \right)}}{6}\\
= \frac{{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)\left( {2k + 3} \right)}}{6}\\
= \frac{{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)\left( {2k + 2 + 1} \right)}}{6}\\
= \frac{{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)\left[ {2\left( {k + 1} \right) + 1} \right]}}{6}
\end{array}\)
(đpcm)
Vậy theo nguyên lí quy nạp toán học, hệ thức c) đúng với mọi \(n \in {\mathbb N}^*\).
Câu trả lời của bạn
Đặt \({S_n} = {n^3} + {\rm{ }}11n\)
Với \(n = 1\), ta có \({S_1} = {\rm{ }}{1^3} + {\rm{ }}11.1{\rm{ }} = {\rm{ }}12\) nên \(S_1\) \( \vdots\) \(6\)
Giả sử với \(n = k ≥ 1\) , \({S_{k}} = {k^3} + {\rm{ }}11k \) chia hết cho 6.
Ta phải chứng minh \(S_{k+1}\)\( \vdots\) 6
Thật vậy, ta có
\({S_{k + 1}} = {\rm{ }}\left( {k{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right)^3{\rm{ }} + {\rm{ }}11\left( {k{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right){\rm{ }}\)
\(= {\rm{ }}{k^3} + {\rm{ }}3k^2+ {\rm{ }}3k{\rm{ }} + {\rm{ }}1{\rm{ }} + {\rm{ }}11k{\rm{ }} + {\rm{ }}11\)
\( = \left( {{k^3} + 11k} \right) + \left( {3{k^2} + 3k + 12} \right)\)
\( = ({\rm{ }}{k^3} + {\rm{ }}11k){\rm{ }} + {\rm{ }}3({k^2} + {\rm{ }}k{\rm{ }} + {\rm{ }}4){\rm{ }} \)
\(= {\rm{ }}{S_k} + {\rm{ }}3({k^2} + {\rm{ }}k{\rm{ }} + {\rm{ }}4)\)
Theo giả thiết quy nạp thì \(S_k\)\( \vdots\) \(6\), mặt khác \(k^2+ k + 4 = k(k + 1) + 4\) là số chẵn nên \(3(k^2+ k + 4)\) \( \vdots\) \(6\), do đó \(S_{k+1}\)\( \vdots\) \(6\)
Vậy \(n^3+ 11n\) chia hết cho \(6\) với mọi \(n\in {\mathbb N}^*\).
Câu trả lời của bạn
Với n = 2 ta có: \(3^2 = 9 > 7 = 3.2+1\) (đúng)
Giả sử bất đẳng thức đúng với \(n = k ≥ 2\), tức là
\(3^k> 3k + 1\) (1).
Ta chứng minh bất đẳng thức đúng với \(n=k+1\), tức là cần chứng minh: \(3^{k+1}> 3(k+1) + 1=3k+4\)
Nhân hai vế của (1) với \(3\), ta được:
\(3^{k+1} > 9k + 3 \)
\(\Leftrightarrow 3^{k+1} > 3k + 4 + 6k -1\)
Vì \(k \ge 2 \Rightarrow 6k - 1 \ge 11 > 0\) nên \(3^{k+1} > 3k + 4\).
Tức là bất đẳng thức đúng với \(n = k + 1\).
Vậy theo phương pháp quy nạp toán học thì bất đẳng thức \(3^n> 3n + 1\) đúng với mọi số tự nhiên \(n ≥ 2\).
Câu trả lời của bạn
Với \(n = 2\) thì \({2^{2 + 1}} = 8 > 7 = 2.2 + 3\) (đúng)
Giả sử bất đẳng thức đúng với \(n = k ≥ 2\), tức là
\(2^{k+1} > 2k + 3\) (2)
Ta phải chứng minh nó cũng đúng với \(n= k + 1\), nghĩa là phải chứng minh
\({2^{k{\rm{ }} + {\rm{ }}2}} > 2\left( {k{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right) + 3{\rm{ }} \)
\(\Leftrightarrow {2^{k{\rm{ }} + {\rm{ }}2}} > 2k + 5\)
Nhân hai vế của bất đẳng thức (2) với \(2\), ta được:
\({2^{k + 2}} > 4k + 6 \)
\(\Leftrightarrow {2^{k+2}} > 2k + 5 + 2k + 1\)
Vì \(k \ge 2 \Rightarrow 2k + 1> 0\) nên \({2^{k + 2}}> 2k + 5\).
Tức là bất đẳng thức đúng với \(n=k+1\).
Vậy theo phương pháp quy nạp toán học thì bất đẳng thức \({2^{n+1}} > 2n + 3\) đúng với mọi số tự nhiên \(n ≥ 2\).
Câu trả lời của bạn
Ta có:
\(\eqalign{
& {S_1} = {1 \over {1.2}} = {1 \over 2} \cr
& {S_2} = {1 \over {1.2}} + {1 \over {2.3}} = {2 \over 3} \cr
& {S_3} = {1 \over {1.2}} + {1 \over {2.3}} + {1 \over {3.4}} = {3 \over 4} \cr} \)
Câu trả lời của bạn
Kí hiệu số đường chéo của đa giác n cạnh là \(C_n\).
Ta chứng minh \(\displaystyle C_n = {{n(n - 3)} \over 2}\) (1) với mọi \(n \in{\mathbb N}^*\), \(n ≥ 4\).
*) Với \(n = 4\), ta có tứ giác nên nó có 2 đường chéo.
Mặt khác \(\displaystyle {{4(4 - 3)} \over 2} = 2\) nên (1) đúng với n = 4.
Vậy khẳng định đúng với \(n= 4\).
*) Giả sử (1) đúng với \(n = k ≥ 4\), tức là \(C_k = \displaystyle {{k(k - 3)} \over 2}\)
Vậy số đường chéo của đa giác \(k + 1\) cạnh là
\(\displaystyle {{k(k - 3)} \over 2}+ k - 2 + 1\)
\( = \dfrac{{{k^2} - 3k}}{2} + k - 1 \)
\(= \dfrac{{{k^2} - 3k + 2k - 2}}{2}\)
\(\displaystyle ={{{k^2} - k - 2} \over 2} \)
\( = \dfrac{{\left( {k + 1} \right)\left( {k - 2} \right)}}{2}\)
\(\displaystyle = {{(k + 1)((k + 1) - 3)} \over 2}\)
Như vậy, khẳng định cũng đúng với đa giác \(k + 1\) cạnh
Vậy bài toán đã được chứng minh.
Câu trả lời của bạn
Đặt vế trái bằng \({S_n}.\)
Với \(n = 1,\) ta có:
\(\begin{array}{l}
VT = {S_1} = 2\\
VP = \frac{{1.\left( {3.1 + 1} \right)}}{2} = 2\\
\Rightarrow VT = VP
\end{array}\)
Hệ thức đúng.
Giả sử đã có \({S_k} = \dfrac{{k\left( {3k + 1} \right)}}{2}\) với \(k \ge 1.\)
Ta phải chứng minh \({S_{k + 1}} = \frac{{\left( {k + 1} \right)\left[ {3\left( {k + 1} \right) + 1} \right]}}{2}= \frac{{\left( {k + 1} \right)\left( {3k + 4} \right)}}{2}.\)
Thật vậy
\({S_{k + 1}} = {S_k} + 3\left( {k + 1} \right) - 1\) \( = \dfrac{{k\left( {3k + 1} \right)}}{2} + 3k + 2\) \( = \dfrac{{3{k^2} + k + 6k + 4}}{2}\) \( = \dfrac{{3{k^2} + 7k + 4}}{2}\) \({\rm{ = }}\dfrac{{\left( {k + 1} \right)\left( {3k + 4} \right)}}{2}\left( {dpcm} \right)\)
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *