Chứng minh các đẳng thức sau (với n ∈ N∗)
a) Chứng minh \({1^2} + {3^2} + {5^2} + ... + {\left( {2n - 1} \right)^2} = \frac{{n\left( {4{n^2} - 1} \right)}}{3}\)
b) \({1^3} + {2^3} + {3^3} + ... + {n^3} = \frac{{{n^2}{{\left( {n + 1} \right)}^2}}}{4}\)
a) Đặt vế trái bằng Sn
Với n = 1 vế trái chỉ có một số hạng bằng 1, vế phải bằng 1
Giả sử đã có \({S_k} = \frac{{k\left( {4{k^2} - 1} \right)}}{3}\) với k ≥ 1. Ta phải chứng minh
\({S_{k + 1}} = \frac{{\left( {k + 1} \right)\left[ {4{{\left( {k + 1} \right)}^2} - 1} \right]}}{3}\)
Thật vậy, ta có:
\(\begin{array}{l}
{S_{k + 1}} = {S_k} + {\left[ {2\left( {k + 1} \right) - 1} \right]^2} = {S_k} + {\left( {2k + 1} \right)^2}\\
= \frac{{4\left( {4{k^2} - 1} \right)}}{3} + {\left( {2k + 1} \right)^2}\\
= \frac{{\left( {2k + 1} \right)\left[ {k\left( {2k - 1} \right) + 3\left( {2k + 1} \right)} \right]}}{3}\\
= \frac{{\left( {k + 1} \right)\left( {2{k^2} + 5k + 3} \right)}}{3}\\
= \frac{{\left( {k + 1} \right)\left( {2k + 3} \right)\left( {2k + 1} \right)}}{3}\\
\frac{{\left( {k + 1} \right)\left[ {4{{\left( {k + 1} \right)}^2} - 1} \right]}}{3}
\end{array}\)
b) Đặt vế trái bằng An
Dễ thấy với n = 1 hệ thức đúng.
Giả sử đã có \({A_k} = \frac{{{k^2}{{\left( {k + 1} \right)}^2}}}{4},\left( {k \ge 1} \right)\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}
{A_{k + 1}} = {A_k} + {\left( {k + 1} \right)^3}\\
= \frac{{{k^2}{{\left( {k + 1} \right)}^2}}}{4} + {\left( {k + 1} \right)^3}\\
= \frac{{{{\left( {k + 1} \right)}^2}\left( {{k^2} + 4k + 4} \right)}}{4}\\
= \frac{{{{\left( {k + 1} \right)}^2}{{\left( {k + 2} \right)}^2}}}{4}
\end{array}\)
-- Mod Toán 11