Trong tam giác vuông chúng ta đã từng học về định lý Pi-ta-go biểu thị mối liên hệ giữa các cạnh trong tam giác vuông. Bài này chúng ta sẽ tìm hiểu thêm nhiều hệ thức liên quan giữa các cạnh và đường cao trong tam giác vuông.
Trong một tam giác vuông, bình phương mỗi cạnh góc vuông bằng tích của cạnh huyền và hình chiếu của cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền.
Tam giác ABC vuông tại A (hình 1), ta có:
\(b^2=a.b'\) , \(c^2=a.c'\), cách chứng minh định lý này khá đơn giản dựa vào 2 tam giác vuông đồng dạng là BAC và AHC.
Trong một tam giác vuông, bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng tích hai hình chiếu của hai cạnh góc vuông trên cạnh huyền.
Cụ thể ở hình 1, ta có: \(h^2=b'.c'\)
Trong một tam giác vuông, tích hai cạnh góc vuông bằng tích của cạnh huyền và đường cao tương ứng.
Cụ thể ở hình 1, ta có: \(b.c=a.h\)
Trong một tam giác vuông, nghịch đảo của bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng tổng các nghịch đảo của bình phương hai cạnh góc vuông.
Cụ thể ở hình 1, ta có: \(\frac{1}{h^2}=\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\) hay \(h=\frac{b.c}{\sqrt{b^2+c^2}}\)
Bài 1: Tính: \(x, y\)
Hướng dẫn:Áp dụng định lý 1 ta có: \(x^2=3,6.(3,6+6,4)=3,6.10=36\Rightarrow x=6\)
tương tự: \(y^2=6,4.(3,6+6,4)=6,4.10=64\Rightarrow y=8\)
Bài 2: Tính: \(x,y\)
Hướng dẫn: Áp dụng định lý số 2, ta có: \(4^2=2.y\Rightarrow y=8\).
Áp dụng định lý 1, ta có: \(x^2=2.(2+8)=2.10=20\Rightarrow x=2\sqrt{5}\)
Bài 3: Tính: \(x,y\)
Hướng dẫn: Áp dụng định lý 4, ta có: \(\frac{1}{x^2}=\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\Rightarrow x=\frac{b.c}{\sqrt{b^2+c^2}}=\frac{3.4}{\sqrt{3^2+4^2}}=\frac{12}{5}\)
Áp dụng định lý 3, ta có: \(x.y=3.4\Rightarrow y=\frac{3.4}{x}=\frac{12}{\frac{12}{5}}=5\)
(có thể tính \(y\) trước bằng định lý pi-ta-go sau đó tính \(x\))
Bài 1: cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết AB:AC = 3:4 và AH=12. Tính chu vi tam giác ABC
Hướng dẫn: Đặt: \(AB=3k, AC=4k\Rightarrow BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{9k^2+16k^2}=5k\)
Áp dụng định lý 3, ta có: \(AB.AC=BC.AH\Leftrightarrow 3k.4k=5k.12\Rightarrow k=5\)
\(\Rightarrow AB=15; AC=20; BC=25\) và \(P=60\)
Bài 2: Cho tam giác nhọn ABC có hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Trên HB, HC lần lượt lấy M, N sao cho \(\widehat{AMC}=\widehat{ANB}=90^{\circ}\)
CMR: \(AM=AN\)
Hướng dẫn: Xét 2 tam giác ABD và ACE là hai tam giác vuông có chung góc A nên \(\Delta ABD\sim \Delta ACE\) (g.g) \(\Rightarrow \frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}\Rightarrow AD.AC=AE.AB\) (1)
\(\Delta ANB\) vuông tại N có NE là đường cao nên: \(AN^2=AE.AB\) (2)
\(\Delta AMC\) vuông tại M có MD là đường cao nên: \(AM^2=AD.AC\) (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra: \(AM^2=AN^2\Rightarrow AM=AN\)
3. Luyện tập Bài 1 Chương 1 Hình học 9
Qua bài giảng Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông này, các em cần hoàn thành 1 số mục tiêu mà bài đưa ra như :
Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Hình học 9 Bài 1để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.
Câu 1: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 6, BC=10. AH là đường cao. Độ dài BH và AH lần lượt là:
Câu 2: Cho tam giác ABC vuông tại A, có đường cao AH. Biết BH=9, CH=7. Độ dài AB và AC lần lượt là
Bài 3: Tam giác ABC vuông tại A có AB=AC. Biết đường cao AH=4. tính AB, AC
Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Hình học 9 Bài 1 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Toán 9 tập 1
Bài tập 1 trang 68 SGK Toán 9 Tập 1
Bài tập 2 trang 68 SGK Toán 9 Tập 1
Bài tập 3 trang 69 SGK Toán 9 Tập 1
Bài tập 4 trang 69 SGK Toán 9 Tập 1
Bài tập 5 trang 69 SGK Toán 9 Tập 1
Bài tập 6 trang 69 SGK Toán 9 Tập 1
Bài tập 7 trang 69 SGK Toán 9 Tập 1
Bài tập 8 trang 70 SGK Toán 9 Tập 1
Bài tập 9 trang 70 SGK Toán 9 Tập 1
Bài tập 1 trang 102 SBT Toán 9 Tập 1
Bài tập 2 trang 102 SBT Toán 9 Tập 1
Bài tập 3 trang 103 SBT Toán 9 Tập 1
Bài tập 4 trang 103 SBT Toán 9 Tập 1
Bài tập 5 trang 103 SBT Toán 9 Tập 1
Bài tập 6 trang 103 SBT Toán 9 Tập 1
Bài tập 7 trang 103 SBT Toán 9 Tập 1
Bài tập 8 trang 103 SBT Toán 9 Tập 1
Bài tập 9 trang 104 SBT Toán 9 Tập 1
Bài tập 10 trang 104 SBT Toán 9 Tập 1
Bài tập 11 trang 104 SBT Toán 9 Tập 1
Bài tập 12 trang 104 SBT Toán 9 Tập 1
Bài tập 13 trang 104 SBT Toán 9 Tập 1
Bài tập 14 trang 104 SBT Toán 9 Tập 1
Bài tập 15 trang 104 SBT Toán 9 Tập 1
Bài tập 16 trang 104 SBT Toán 9 Tập 1
Bài tập 17 trang 104 SBT Toán 9 Tập 1
Bài tập 18 trang 105 SBT Toán 9 Tập 1
Bài tập 19 trang 105 SBT Toán 9 Tập 1
Bài tập 20 trang 105 SBT Toán 9 Tập 1
Bài tập 1.1 trang 105 SBT Toán 9 Tập 1
Bài tập 1.2 trang 105 SBT Toán 9 Tập 1
Bài tập 1.3 trang 105 SBT Toán 9 Tập 1
Bài tập 1.4 trang 105 SBT Toán 9 Tập 1
Bài tập 1.5 trang 105 SBT Toán 9 Tập 1
Bài tập 1.6 trang 106 SBT Toán 9 Tập 1
Bài tập 1.7 trang 106 SBT Toán 9 Tập 1
Bài tập 1.8 trang 106 SBT Toán 9 Tập 1
Bài tập 1.9 trang 106 SBT Toán 9 Tập 1
Bài tập 1.10 trang 106 SBT Toán 9 Tập 1
Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán DapAnHay sẽ sớm trả lời cho các em.
-- Mod Toán Học 9 DapAnHay
Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 6, BC=10. AH là đường cao. Độ dài BH và AH lần lượt là:
Cho tam giác ABC vuông tại A, có đường cao AH. Biết BH=9, CH=7. Độ dài AB và AC lần lượt là
Bài 3: Tam giác ABC vuông tại A có AB=AC. Biết đường cao AH=4. tính AB, AC
Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH=12, Biết BH-CH=7. Độ dài cạnh BC là bao nhiêu
Bài 5: Tam giác vuông ABC có: AB:AC lần lượt tỉ lệ với 3:4. Biết AH=6. Cạnh BC có độ dài là bao nhiêu
Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AI có AB = 13, AI = 12. Diện tích tam giác ABC là:
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH có AB =2,5 và AC =5. Vậy AH là:
Cho tam giác ABC vuông tại A có AB =18, AC =24. Đường phân giác trong và ngoài góc B cắt AC lần lượt tại M và N. Độ dài MN là:
Cho tam giác MON vuông tại O, đường phân giác của góc O cắt cạnh huyền MN thành hai đoạn \(6 \frac{3}{7}\) và \(8 \frac{4}{7}\). Diện tích tam giác MON bằng?
Tam giác ABC có ba cạnh tỉ lệ với 3: 4: 5 và chu vi của tam giác đó là 96. ABC là tam giác gì?
Hai vệ tinh đang bay ở vị trí A và B cùng cách mặt đấy 230 km có nhìn thấy nhau hay không nếu khoảng cách giữa chúng theo đường thẳng là 2200 km? Biết rằng bán kính R của Trái Đất gần bằng 6370 km và hai vệ tinh nhìn thấy nhau nếu OH > R.
Cho hai đoạn thẳng có độ dài là a và b. Dựng các đoạn thẳng có độ dài tương ứng bằng:
\(\begin{array}{l}
a)\sqrt {{a^2} + {b^2}} \\
b)\sqrt {{a^2} - {b^2}} \left( {a > b} \right)
\end{array}\)
Cho hai đoạn thẳng có độ dài là a và b. Dựng đoạn thẳng \(\sqrt {ab} \) như thế nào?
Giữa hai tòa nhà (kho và phân xưởng) của một nhà máy, người ta xây dựng một băng chuyền AB để chuyển vật liệu. Khoảng cách giữa hai tòa nhà là 10m, còn hai vòng quay của băng chuyền được đặt ở độ cao 8m và 4m so với mặt đất. Tìm độ dài AB của băng chuyền.
Cho tam giác có độ dài các cạnh là 5, 12, 13. Tìm góc đối diện với cạnh có độ dài 13 của tam giác.
Cho hình chữ nhật ABCD. Đường phân giác của góc B cắt đường chéo AC thành hai đoạn \(4\frac{2}{7}m\) và \(5\frac{5}{7}m\). Tính các kích thước của hình chữ nhật.
Cho tam giác ABC vuông tại A. Vẽ đường cao AH. Chu vi của tam giác ABH là 30cm và chu vi của tam giác ACH là 40cm. Tính chu vi của tam giác ABC.
Cho tam giác ABC vuông tại A có cạnh AB = 6cm và AC = 8cm. Các đường phân giác trong và ngoài của góc B cắt đường thẳng AC lần lượt tại M và N. Tính các đoạn thẳng AM và AN.
Cho tam giác vuông ABC. Từ một điểm M bất kì trong tam giác kẻ MD, ME, MF lần lượt vuông góc với các cạnh BC, AC, AB. Chứng minh rằng: BD2 + CE2 + AF2 = DC2 + EA2 + FB2
Cho tam giác ABC vuông tại A có AB : AC = 3 : 4 và đường cao AH bằng 9cm. Khi đó độ dài đoạn thẳng HC bằng
A. 6cm;
B. 9cm;
C. 12cm;
D. 15cm.
Hãy chọn phương án đúng
Cho tam giác ABC vuông tại A có AB : AC = 4 : 5 và đường cao AH bằng 12cm. Khi đó độ dài đoạn thẳng HB bằng
A. 6cm;
B. 9,6cm;
C. 12cm;
D. 15cm.
Hãy chọn phương án đúng.
*Trong các bài (1.3, 1.4, 1.5) ta sẽ sử dụng các kí hiệu sau đây đối với tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH:
AB = c, AC = b, BC = a, AH = h, BH = c’, CH = b'
a) Tính h, b, c nếu biết b’ = 36, c’ = 64.
b) Tính h, b, b’, c’ nếu biết a = 9, c = 6.
Hãy biểu thị b’, c’ qua a, b, c.
Chứng minh rằng:
a) \(h = \frac{{bc}}{a}\)
b) \(\frac{{{b^2}}}{{{c^2}}} = \frac{{b'}}{{c'}}\)
Đường cao của một tam giác vuông kẻ từ đỉnh góc vuông chia cạnh huyền thành hai đoạn, trong đó đoạn lớn bằng 9cm. Hãy tính cạnh huyền của tam giác vuông đó nếu hai cạnh góc vuông có tỉ lệ 6:5.
Trong tam giác có các cạnh là 5cm, 12cm, 13, kẻ đường cao đến cạnh lớn nhất. Hãy tính các đoạn thẳng mà đường cao này chia ra trên cạnh lớn nhất đó.
Tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH bằng 12cm. Hãy tính cạnh huyền BC nếu biết HB : HC = 1 : 3.
Cho tam giác ABC vuông cân tại A, đường trung tuyến BM. Gọi D là chân đường vuông góc kẻ từ C đến BM và H là chân đường vuông góc kẻ từ D đến AC. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng, khẳng định nào sai? Tại sao?
a) ΔHCD ∼ ΔABM.
b) AH = 2HD.
Cho hình thang ABCD vuông tại A có cạnh đáy AB bằng 6cm, cạnh bên AD bằng 4cm và hai đường chéo vuông góc với nhau. Tính độ dài các cạnh DC, CB và đường chéo DB
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
Câu trả lời của bạn
Giúp với ạ bài 6 và bài 7 mình muốn các bạn giải thích cách tính AB và AC cho mình thôi ạ
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Tính BC, AC, AH, BH, CH biết
a)AH=12 ; AB/AC=3/4
b) AH=10 ; AB/AC=1
Câu trả lời của bạn
Cho tam giác cân tại A. Trên AC lấy sao cho MC trên MA = \(\dfrac{1}{3}\), kẻ đường thẳng góc so với AC tại C, cắt tia BM tại K, kẻ BE vuông góc CK.
a) Chứng minh ABEC là hình vuông
b) Chứng minh \(\frac{1}{{A{B^2}}} = \frac{1}{{B{M^2}}} + \frac{1}{{B{K^2}}}\)?
c) Biết BM = 6 cm, tính chu vi và diện tích tam giác ABC.
Câu trả lời của bạn
Cho tam giác ABC (góc A = 90 độ ) đường cao AH biết AC=5cm, AH=3cm.
Tính AB , BC , HB , HC
Câu trả lời của bạn
Mong tìm đc câu trả lời
Câu trả lời của bạn
Câu 1. Cho △ABC (góc A=90 độ). Biết AC=30cm, BC=50cm. Kẻ đường cao AH. Tính BH, AH?
Câu 2. Cho △ABC đường cao AH. Biết AB=4cm; AC=7,5cm; BC=7,5 cm
a, CM △ABC ⊥ A
b, Tính AH , HB , HC
c, Phân giác góc A cắt BC tại E . Tính BE , EC
Câu trả lời của bạn
Tam giác ABC có AB=12; AC=16; BC=20.
a)CMR: Tam giác ABC vuông.
b)Tính đường cao AH.
c)Từ H kẻ HE,HF vuông góc AB, AC. Tính HE, HF.
Câu trả lời của bạn
Cho Δ ABC, ∠A = 90°, AH ⊥ BC (H ϵ BC) ,AB = 6cm , AC = 8cm.
a) Tính BC , HA , HB , HC
b) Tia phân giác ∠BAC cắt BC tại D.Tính SABD
Câu trả lời của bạn
a/ A/dụng pitago vào tam giác ABC v tại A có:
BC2=AB2+AC2=62+82=100⇒BC=10(cm)
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác v ABC có:
+) AB2 = BC . BH => BH=AB2BC=3610=3,6(cm)
=> HC = BC - BH = 10 - 3,6 = 6,4(cm)
+) AH2 = BH . HC = 3,6 . 6,4 = 23,04
=> AH = 4,8 (cm)
b/ Vì AD là p/g góc BAC
=> BDDC=ABAC⇒BDAB=DCAC=BD+DCAB+AC=BC6+8=106+8=57
=> {BD=57⋅6=307(cm)DC=57⋅8=407(cm)
Câu trả lời của bạn
Câu trả lời của bạn
Câu trả lời của bạn
Câu trả lời của bạn
Câu trả lời của bạn
Câu trả lời của bạn
Đặt HC = x. Áp dụng hệ thức AC2 = BC.HC
⇒ 202 = (9 + x)x
⇔ x2 + 9x - 400 = 0
⇔ (x + 25)(x - 16) = 0
⇔ x = -25 (loại); x = 16
Vậy BC = 16 + 9 = 25 cm
Ta có: AH2 = HB.HC = 9.25 ⇒ AH = 15 (cm)
Câu trả lời của bạn
Xét tam giác vuông ABC, ta có:
BC2 = AB2+ AC2 ( theo định lý py-ta-go)
BC2 = 242+ 322
BC2 = 1600
BC = 40(cm)
EC = BC : 2 = 40 : 2 = 20(cm)
Xét tam giác vuông ACB và tam giác vuông ECD có:
Có ∠A = ∠E = 90o
∠C chung
=> Tam giác ACB ∾ tam giác ECD (g.g)
=> AC/EC = AB/ED
=> ED = AB.EC/AC = 15cm
Vậy ED = 15cm
Câu trả lời của bạn
Gọi độ dài cạnh AB = 3x thì độ dài cạnh AC = 4x. Áp dụng định lý py-ta-go ta được:
⇔ 100 = 9x2 + 162
⇔ x2 = 100 : 25
⇔ x = 2
Từ đó suy ra AB = 6cm
Câu trả lời của bạn
Xét tam giác ABC, ta có
BC2 = 502 = 2500
AB2 + AC2 = 142 + 482 = 2500
=> BC2 = AB2 + AC2
=> Tam giác ABC vuông tại A
Có DA/DB = CA/CB = 14/50 = 7/25 (tính chất tia phân giác)
=> DB = 25/7 DA.
Ta có DA + DB = AB
⇔ DA + 25/7 DA = AB ⇔ DA. 32/7 = 48 ⇔ DA = 10,5cm
Xét tam giác vuông ACD, theo đinh lí Pi-ta-go ta có
CD2 = AC2 + AD2 = 142 + 10,52 = 306,25 => CD = 17,5cm
Câu trả lời của bạn
Áp dụng hệ thức b2 = a.b' vào các tam giác vuông AMC và ANB ta được:
AM2 = AC.AD ; AN2 = AE.AB
ΔABD ~ ΔACE (g.g)
⇒ AB/AC = AD/AE ⇒ AC.AD = AE.AB
⇒ AM2 = AN2 hay AM = AN
Câu trả lời của bạn
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC có:
AC2 = CH.BC = 16.BC
AB2 + AC2 = BC2
⇔ 152 + 16.BC = BC2
⇔ BC2 - 16.BC - 225 = 0
⇔ BC2 - 25BC + 9BC - 225 = 0
⇔ BC(BC - 25) + 9(BC - 25) = 0
⇔ (BC - 25)(BC + 9) = 0
⇔ BC = 25 hoặc BC = -9(loại)
=> AC2 = 16.BC = 16.25 = 400
=> AC = 20
+ Xét tam giác vuông ABC có: AH.BC = AB.AC (hệ thức lượng)
Vậy BC=25(cm); AC=20(cm); AH=12(cm)
Câu trả lời của bạn
Đặt AB = 20k ⇒ AC = 21k
Áp dụng định lí Pytago, tính được BC = 29k
Áp dụng hệ thức AB. AC = AH. BC
⇒ 20k.21k = 420.29k ⇒ k = 29
Do đó: AB = 580; AC = 609; BC = 841
Khi đó, chu vi của tam giác ABC là 2030
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *