Nội dung bài Ôn tập cuối năm Hình học 11 sẽ giúp các em hệ thống hóa lý thuyết và các dạng bài tập trong chương trình xoay quanh Phép dời hình, Phép đồng dạng, Hình học không gian. Qua đó sẽ giúp các em nắm được những vấn đề kiến thức nền tảng, trọng tâm nhất để chuẩn bị cho chương trình lớp 12 và các kì thi THPT Quốc gia
Chương trình hình học không gian lớp 11 có thể chia thành 5 bài tập lớn như sau:
Tìm tương giao, bao gồm: Giao điểm của hai đường thẳng, giao điểm của đường với mặt và giao tuyến của hai mặt phẳng.
Quan hệ song song, bao gồm chứng minh và dựng hình: Hai đường thẳng song song, đường thẳng song song với mặt phẳng, hai mặt phẳng song song.
Quan hệ vuông góc bao gồm chứng minh và dựng hình: Hai đường thẳng vuông góc, đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, hai mặt phẳng vuông góc.
Bài toán về góc bao gồm xác định và tính: Góc giữa hai đường thẳng, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, góc giữa hai mặt phẳng.
Bài toán về khoảng cách bao gồm xác định và tính: Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng, khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, khoảng cách giữa hai đường thẳng song song, khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song, khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.
Trên đây, bài viết đã giới thiệu đến các em những nội dung kiến thức trọng tâm của Hình học 11.Để cũng cố kiến thức và rèn luyện kĩ năng giải bài tập, xin mời các em cũng làm bài kiểm tra Trắc nghiệm Hình học 11 với những câu hỏi củng cố bám sát chương trình. Bên cạnh đó các em có thể nêu thắc mắc của mình thông qua phần Hỏi - đáp cộng đồng Toán DapAnHay sẽ sớm giải đáp cho các em.
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập SGK sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Hình học Cơ bản và Nâng cao.
-- Mod Toán Học 11 DapAnHay
Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' và các điểm M, N lần lượt thuộc các cạnh AB, DD' (M, N không trùng với các đầu mút của các cạnh). Thiết diện của hình hộp bị cắt bởi mặt phẳng (MNB) là
A. hình thoi B. hình chữ nhật
C. hình bình hành D. hình thang cân
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a. Độ dài đoạn vuông góc chung của A'D' và BC' là
A. \({\frac{a}{2}}\) B. a
C. \({a\sqrt 2 }\) D. \(\frac{{a\sqrt 2 }}{2}\)
Cho hình vuông ABCD tâm O, cạnh a. Trên hai tia Bx và Dy vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và cùng nằm về một phía của mặt phẳng (ABCD) lần lượt lấy hai điểm M và N sao cho: \(BM.DN = \frac{{{a^2}}}{2}\). Đặt \(\widehat {BOM} = \alpha ,\widehat {DON} = \beta \).
Giá trị của biểu thức \(T=\tan \alpha .\tan \beta \) là
A. 1 B. 2
C. 4a2 D. \(\frac{{{a^2}}}{2}\)
Cho tam giác ABC có A(2;4), B(5;1), C(-1;-2). Phép tịnh tiến \({T_{\overrightarrow {BC} }}\) biến tam giác ABC thành tam giác A'B'C' có tọa độ trọng tâm G' là
A. (4;2) B. (- 4;2)
C. (- 4;-2) D. (4;-2)
Trong mặt phẳng Oxy, tọa độ ảnh của điểm M(-6;1) qua phép quay Q(O;90ο) là
A. (6;1) B. (1;6)
C. (-6;-1) D. (-1;-6)
Phương trình ảnh của đường tròn (C): (x - 2)2 + (y + 3)2 = 4 qua phép đối xứng trục Oy là
A. (x + 2)2 + (y - 3)2 = 4
B. (x - 2)2 + (y - 3)2 = 4
C. (x - 2)2 + (y + 3)2 = 4
D. (x + 2)2 + (y + 3)2 = 4
Ảnh của điểm M qua phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow u = \left( {3;4} \right)\) là N và ảnh của điểm N qua phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow v = \left( {1; - 1} \right)\) là P. Độ dài của đoạn thẳng MP là
A. 5 B. \(\sqrt 5 \) C. 4 D. 3
Cho tứ diện ABCD. Các điểm M, N lần lượt là trung điểm BD, AD. Các điểm H, G lần lượt là trọng tâm các tam giác BCD, ACD. Đường thẳng HG chéo với đường thẳng?
A. MN B. CD C. CN D. AB
Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình thang với AD // BC, BC ≤ AD, M là trung điểm SC. Mặt phẳng qua AM và song song với BC cắt đường thẳng SD tại Q. Tỉ số \(\frac{{SQ}}{{SD}}\) có giá trị là
A. \(\frac{4}{3}\) B. \(\frac{3}{4}\) C. \(\frac{1}{2}\) D. 1
Cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCD là hình bình hành. Gọi A', B', C', D' lần lượt là trung điểm các cạnh SA, SB, SC, SD. Gọi M là điểm bất kì trên BC. Thiết diện của (A'B'M') với hình chóp S.ABCD là
A. Hình thang B. Hình bình hành
C. Hình thoi D. Hình chữ nhật
Cho hình chóp S.ABCD với M, N lần lượt là hai điểm lấy trên các cạnh AB, CD. Gọi (α) là mặt phẳng qua MN và song song với SA. Khi đó thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (α) là
A. hình thang B. hình tam giác
C. hình tứ giác D. hình ngũ giác
Cho tứ diện ABCD. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Hình chiếu song song K của G trên mặt phẳng (BCD) theo phương chiếu AD là
A. trực tâm tam giác BCD.
B. trọng tâm tam giác BCD.
C. một điểm bất kì trong tam giác BCD.
D. điểm H sao cho GH ⊥ (BCD).
Cho bốn điểm A, B, C, S không cùng nằm trong một mặt phẳng. Gọi I, H lần lượt là trung điểm của SA, AB. Trên SC lấy điểm K sao cho CK = 3KS. Gọi E là giao điểm của đường thẳng BC với mặt phẳng (IHK). Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. \(\frac{{BE}}{{BC}} = \frac{1}{3}\)
B. \(\frac{{BE}}{{BC}} = \frac{1}{2}\)
C. \(\frac{{BE}}{{BC}} = \frac{{SK}}{{SC}} = 1\)
D. \(\frac{{BE}}{{BC}} = \frac{{SK}}{{SC}} = \frac{1}{4}\)
Cho tứ giác ABCD và một điểm S không thuộc mặt phẳng (ABCD). Trên đoạn SC lấy một điểm M không trùng với S và C. Gọi N là giao điểm của đường thẳng SD với mặt phẳng (ABM). Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. AN = (ABM) ∩ (SAD) B. AN = (ABM) ∩ (SBC)
C. AN = (ABM) ∩ (SCD) D. AN = (ABM) ∩ (SAC)
Hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a, các cạnh bên đều bằng \({a\sqrt 3 }\). Khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABCD) là
A. \(\frac{{a\sqrt 3 }}{4}\)
B. \(\frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)
C. \(\frac{{a\sqrt {10} }}{4}\)
D. \(\frac{{a\sqrt {10} }}{2}\)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. M, N lần lượt là trung điểm của SD, DC. Điểm P thay đổi trên cạnh BD, BP/BD = k. Để thiết diện của mp(MNP) và hình chóp là tứ giác thì giá trị k thỏa mãn điều kiện nào sau đây?
A. \(0 \le k \le \frac{1}{2}\) B. \(0 \le k \le \frac{2}{3}\)
C. \(\frac{1}{2} \le k \le \frac{3}{4}\) D. \(0 \le k \le \frac{3}{4}\)
Cho tứ diện ABCD, gọi G1, G2, G3 lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC, ACD, ADB. Diện tích thiết diện tạo bởi mặt phẳng (G1G2G3) bằng k lần diện tích tam giác BCD. Giá trị của k là
A. \(\frac{4}{9}\) B. \(\frac{2}{3}\) C. \(\frac{3}{4}\) D. \(\frac{1}{2}\)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, tam giác SAB đều , SC = SD = \(a\sqrt 3 \). Gọi H, K lần lượt là trung điểm của SA, SB. M là một điểm trên cạnh AD, mặt phẳng (HKM) cắt BC tại N. Đặt AM = x (0 ≤ x ≤ a). Giá trị x để diện tích thiết diện HKMN đạt giá trị nhỏ nhất là
A. x = \(\frac{{3a}}{4}\) B. x = \(\frac{a}{2}\)
C. x = 0 D. x = a.
Cho hai hình vuông có chung cạnh AB và nằm trong hai mặt phẳng khác nhau. Trên các đường chéo AC và BF ta lấy các điểm MN sao cho AM = BN. Mặt phẳng (P) chứa MN và song song với AB cắt AD và AF lần lượt tại M', N'. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. MN cắt mp(DFE) B. Tứ giác MNN'M' là hình bình hành
C. AC, BF cắt nhau D. MN song song với mp(DEF)
Cho tam giác ABC và các điểm M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB.
a. Xét bốn tam giác APN, PBM, NMC, MNP. Tìm phép dời hình biến tam giác APN lần lượt thành một trong ba tam giác còn lại.
b. Phép vị tự nào biến tam giác ABC thành tam giác MNP ?
c. Xét tam giác có ba đỉnh là trực tâm của ba tam giác APN, PBM và NCM. Chứng tỏ rằng tam giác đó bằng tam giác APN. Chứng minh điều đó cũng đúng nếu thay trực tâm bằng trọng tâm, hoặc tâm đường tròn ngoại tiếp hoặc tâm đường tròn nội tiếp.
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
A. \(\overrightarrow {OM} = \dfrac{1}{k}\overrightarrow {OM'} \)
B. \(\overrightarrow {OM} = k\overrightarrow {OM'} \)
C. \(\overrightarrow {OM} = - k\overrightarrow {OM'} \)
D. \(\overrightarrow {OM} = - \dfrac{1}{k}\overrightarrow {OM'} \)
Câu trả lời của bạn
\(\begin{array}{l}{V_{\left( {O,k} \right)}}\left( M \right) = M' \Leftrightarrow \overrightarrow {OM'} = k\overrightarrow {OM} \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {OM} = \dfrac{1}{k}\overrightarrow {OM'} \end{array}\)
Chọn A.
A. C thành A
B. A thành D
C. B thành C
D. C thành B
Câu trả lời của bạn
\(ABCD\) là hình bình hành \( \Rightarrow \overrightarrow {DA} = \overrightarrow {CB} \)
\( \Rightarrow {T_{\overrightarrow {DA} }}\left( C \right) = B\)
Chọn D
A. \({V_{\left( {G, - \frac{1}{2}} \right)}}\) B. \({V_{\left( {A, - \frac{1}{2}} \right)}}\)
C. \({V_{\left( {G, - 2} \right)}}\) D. \({V_{\left( {M,\frac{1}{2}} \right)}}\)
Câu trả lời của bạn
Gọi \({V_{\left( {O,k} \right)}}\) là phép vị tự tâm O tỷ số k là phép vị tự thỏa mãn bài toán.
Khi đó \(O\) là giao của \(AN,BP,CM\)\( \Rightarrow O \equiv G\)\( \Rightarrow \overrightarrow {GN} = k\overrightarrow {GA} \)
Mà \(\overrightarrow {GN} = - \dfrac{1}{2}\overrightarrow {GA} \Rightarrow k = - \dfrac{1}{2}\)
Chọn A.
A.\(\left( {HA'C} \right).\) B.\(\left( {HAB} \right).\)
C. \(\left( {AHC'} \right).\) D. \(\left( {{\rm{AA}}'H} \right)\)
Câu trả lời của bạn
Gọi \(K\) là giao điểm của \(A'C\) và \(AC'\).
Tam giác \(A'B'C\) có \(HK\) là đường trung bình của tam giác nên \(HK//B'C\).
Mà \(HK \subset \left( {AHC'} \right)\) nên \(B'C//\left( {AHC'} \right)\).
Chọn C.
A.\(M{O_1}\) cắt \(\left( {BEC} \right).\)
B.\(O{O_1}//\left( {EFM} \right).\)
C.\(O{O_1}//\left( {BEC} \right).\)
D. \(O{O_1}//\left( {AFD} \right).\)
Câu trả lời của bạn
Đáp án B: Dễ thấy \(O{O_1}//DF \subset \left( {EFM} \right)\) nên B đúng.
Đáp án C: \(O{O_1}//CE \subset \left( {BEC} \right)\) nên C đúng.
Đáp án D: \(O{O_1}//DF \subset \left( {AFD} \right)\) nên D đúng.
Ngoài ra A sai vì \(M{O_1}//\left( {BEC} \right)\), thật vậy,
\(O{O_1}//CE\), \(OM//BC\) nên \(\left( {O{O_1}M} \right)//\left( {BCE} \right)\) \( \Rightarrow M{O_1}//\left( {BCE} \right)\).
Chọn A.
A.\(\left( { - 1;0} \right).\) B.\(\left( {0;1} \right).\)
C. \(\left( {1;1} \right).\) D. \(\left( {0; - 1} \right).\)
Câu trả lời của bạn
Ta có tọa độ của điểm \(M'\) là: \(\left\{ \begin{array}{l}x' = 1.\cos {90^0} - 0.\sin {90^0} = 0\\y' = 1.\sin {90^0} + 0.\cos {90^0} = 1\end{array} \right.\)
nên \(M'\left( {0;1} \right)\)
Chọn B
A.\(SN.\) B.\(SA.\)
C. \(MN.\) D. \(SM.\)
Câu trả lời của bạn
Ta có \(N \in AB,\,N \in CD\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}N \in \left( {SAB} \right)\\N \in \left( {SCD} \right)\end{array} \right.\)
Suy ra giao tuyến của \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {SCD} \right)\) là \(SN.\)
Chọn A
A.\(2x + 2y = 0.\)
B.\(2x + 2y - 4 = 0.\)
C.\(x + y + 4 = 0.\)
D. \(x + y - 4 = 0\)
Câu trả lời của bạn
Gọi \(M\left( {x;y} \right) \in d:x + y - 2 = 0\)
\({V_{\left( {O; - 2} \right)}}\left( M \right) = M'\left( {x';y'} \right) \in d'\) là ảnh của \(d\) qua \({V_{\left( {O; - 2} \right)}}\)
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}x' = - 2x\\y' = - 2y\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - \dfrac{{x'}}{2}\\y = \dfrac{{ - y'}}{2}\end{array} \right. \\\Rightarrow M\left( {\dfrac{{ - x'}}{2};\dfrac{{ - y'}}{2}} \right)\)
Thay tọa độ \(M\) vào phương trình đường thẳng \(d\) ta được:
\(\begin{array}{l}\dfrac{{ - x'}}{2} + \dfrac{{ - y'}}{2} - 2 = 0\\ \Leftrightarrow x' + y' + 4 = 0\end{array}\)
Phương trình đường thẳng \(d':x + y + 4 = 0\)
Chọn C
Với trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy,\) cho hai điểm \(M\left( {4;6} \right)\) và \(M'\left( { - 3;5} \right).\) Phép vị tự tâm \(I\) tỉ số \(k = \dfrac{1}{2}\) biến điểm \(M\) thành điểm \(M'.\) Tìm tọa độ điểm \(I.\)
Câu trả lời của bạn
Đặt tọa độ tâm \(I\) là \(I\left( {x;y} \right).\) Khi đó \(\overrightarrow {IM} = \left( {4 - x;6 - y} \right);\,\\\overrightarrow {IM'} = \left( { - 3 - x;5 - y} \right)\)
Theo định nghĩa của phép vị tự tâm \(I,\) ta có : \(\overrightarrow {IM'} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {IM} \left( * \right)\)
\(\left( * \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 3 - x = \dfrac{1}{2}\left( {4 - x} \right)\\5 - y = \dfrac{1}{2}\left( {6 - y} \right)\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 10\\y = 4\end{array} \right.\)
Vậy \(I\left( { - 10;4} \right).\)
Ở trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy,\) cho đường thẳng \(d:2x - y - 1 = 0.\) Hãy viết phương trình đường thẳng \(d'\) là ảnh của đường thẳng \(d\) qua phép tịnh tiến theo véc tơ \(\overrightarrow u = \left( {3; - 1} \right).\)
Câu trả lời của bạn
Ta có \({T_{\overrightarrow u }}\left( d \right) = d' \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}d//d'\\d \equiv d'\end{array} \right.\)
Phương trình đường thẳng \(d':2x - y + m = 0\)
Lấy điểm \(A\left( {0; - 1} \right) \in d\) và gọi \(A'\left( {x';y'} \right) = {T_{\overrightarrow u }}\left( A \right)\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x' = 3 + 0 = 3\\y' = - 1 - 1 = - 2\end{array} \right. \Rightarrow A'\left( {3; - 2} \right)\)
Điểm \(A'\left( {3; - 2} \right) \in d' \Leftrightarrow 2.3.\left( { - 2} \right) + m = 0 \Leftrightarrow m = - 8.\)
Vậy phương trình đường thẳng \(d':2x - y - 8 = 0\).
A. \(3x - y + 3 = 0\) B. \(3x + y + 3 = 0\) C. \(3x + y - 3 = 0\) D. \(3x - y - 3 = 0\)
Câu trả lời của bạn
Gọi \(M\left( {x;y} \right) \in d:3x - y - 3 = 0\)
Gọi \(M'\left( {x';y'} \right)\) là ảnh của \(M\left( {x;y} \right)\) qua phép vị tự tâm \(I\left( {2;3} \right)\) tỉ số \(k = - 1\).
Khi đó ta có : \(\left\{ \begin{array}{l}x' = - x + \left( {1 - \left( { - 1} \right)} \right).2\\y' = - y + \left( {1 - \left( { - 1} \right)} \right).3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - x' + 4\\y = - y' + 6\end{array} \right.\) nên \(M\left( { - x' + 4; - y' + 6} \right)\)
Mà \(M\left( { - x' + 4; - y' + 6} \right) \in d:3x - y - 3 = 0\) nên ta có :
\(\begin{array}{l}3\left( { - x' + 4} \right) - \left( { - y' + 6} \right) - 3 = 0\\ \Leftrightarrow - 3x' + 12 + y' - 6 - 3 = 0\\ \Leftrightarrow - 3x' + y' + 3 = 0\\ \Leftrightarrow 3x' - y' - 3 = 0\end{array}\)
Do đó, ảnh của đường thẳng \(d:3x - y - 3 = 0\) qua phép vị tự tâm \(I\left( {2;3} \right)\) tỉ số \(k = - 1\) là đường thẳng \(d':3x - y - 3 = 0\)
Ta tìm ảnh của đường thẳng \(d'\) qua phép tịnh tiến theo véc tơ \(\overrightarrow v \left( {1;3} \right)\)
Gọi \(N\left( {{x_1};{y_1}} \right) \in d':3x - y - 3 = 0\) và \(N'\left( {{x_2};{y_2}} \right)\) là ảnh của qua \({T_{\overrightarrow v }}\)
Khi đó ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_2} = {x_1} + 1\\{y_2} = {y_1} + 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} = {x_2} - 1\\{y_1} = {y_2} - 3\end{array} \right. \Rightarrow N\left( {{x_2} - 1;{y_2} - 3} \right)\)
Thay tọa độ \(N\left( {{x_2} - 1;{y_2} - 3} \right)\) vào phương trình đường thẳng \(d':3x - y - 3 = 0\) ta được:
\(\begin{array}{l}3\left( {{x_2} - 1} \right) - \left( {{y_2} - 3} \right) - 3 = 0\\ \Leftrightarrow 3{x_2} - {y_2} - 3 = 0\end{array}\)
Vậy ảnh của đường thẳng \(d'\) qua phép tịnh tiến theo véc tơ \(\overrightarrow v \left( {1;3} \right)\) là đường thẳng \({d_1}:3x - y - 3 = 0.\)
Hay đường thẳng cần tìm là: \({d_1}:3x - y - 3 = 0.\)
Chọn D
A. \(I'\left( {3; - 3} \right)\) B. \(I'\left( { - 3;1} \right)\) C. \(I'\left( {3; - 1} \right)\) D. \(I'\left( { - 3;3} \right)\)
Câu trả lời của bạn
Đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( {0;1} \right)\)
Ảnh của \(I\left( {0;1} \right)\) qua tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow v \left( {3; - 2} \right)\) là \(I'\left( {x';y'} \right)\) là tâm của đường tròn \(\left( {C'} \right)\)
Khi đó: \(\left\{ \begin{array}{l}x' = 0 + 3 = 3\\y' = 1 + \left( { - 2} \right) = - 1\end{array} \right. \Rightarrow I'\left( {3; - 1} \right)\)
Chọn C
A. Vô số B. \(0\) C. \(2\) D. \(1\)
Câu trả lời của bạn
Có duy nhất 1 phép vị tự biến \(\left( {I;R} \right)\) thành \(\left( {I';R'} \right)\)
Chọn D
A. \(\dfrac{{\sqrt 3 {a^2}}}{{32}}\) B. \(\dfrac{{3\sqrt 3 {a^2}}}{{32}}\) C. \(\dfrac{{3\sqrt 3 {a^2}}}{{16}}\) D. \(\dfrac{{\sqrt 3 {a^2}}}{{16}}\)
Câu trả lời của bạn
Tam giác \(ACD\) có \(AC = CD = a,AD = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\) nên \(A{E^2} = \dfrac{{A{C^2} + A{D^2}}}{2} - \dfrac{{C{D^2}}}{4}\) \( = \dfrac{{{a^2} + \dfrac{{3{a^2}}}{4}}}{2} - \dfrac{{{a^2}}}{4} = \dfrac{{5{a^2}}}{8}\)
Tam giác \(BCD\) đều \( \Rightarrow BE = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\).
Tam giác \(ABE\) có \(EM\) là đường trung tuyến của tam giác \(AEB\) nên :
\(E{M^2} = \dfrac{{E{A^2} + E{B^2}}}{2} - \dfrac{{A{B^2}}}{4}\) \( = \dfrac{{\dfrac{{5{a^2}}}{8} + \dfrac{{3{a^2}}}{4}}}{2} - \dfrac{{{a^2}}}{4} = \dfrac{{7{a^2}}}{{16}}\)
Xét tam giác \(BME\) và bộ ba điểm \(A,G,O\) thẳng hàng có :
\(\dfrac{{AM}}{{AB}}.\dfrac{{OB}}{{OE}}.\dfrac{{GE}}{{GM}} = 1\) \( \Rightarrow \dfrac{1}{2}.2.\dfrac{{GE}}{{GM}} = 1 \Leftrightarrow \dfrac{{GE}}{{GM}} = 1\) hay \(G\) là trung điểm của \(ME\).
Xét tam giác \(ABD\) có \(DM\) là trung tuyến của \(\Delta ABD\) nên
\(D{M^2} = \dfrac{{D{A^2} + B{D^2}}}{2} - \dfrac{{A{B^2}}}{4} = \dfrac{{5{a^2}}}{8}\).
Tam giác \(DME\) có trung tuyến \(DG\) nên
\(D{G^2} = \dfrac{{D{E^2} + D{M^2}}}{2} - \dfrac{{M{E^2}}}{4}\) \( = \dfrac{{\dfrac{{{a^2}}}{4} + \dfrac{{5{a^2}}}{8}}}{2} - \dfrac{{7{a^2}}}{{64}} = \dfrac{{21{a^2}}}{{64}}\).
Lại có \(\cos \widehat {AEM} = \dfrac{{A{E^2} + E{M^2} - A{M^2}}}{{2AE.EM}}\) \( = \dfrac{{\dfrac{{5{a^2}}}{8} + \dfrac{{7{a^2}}}{{16}} - \dfrac{{{a^2}}}{4}}}{{2.\sqrt {\dfrac{{5{a^2}}}{8}.\dfrac{{7{a^2}}}{{16}}} }} = \dfrac{{13}}{{2\sqrt {70} }}\)
\( \Rightarrow A{G^2} = A{E^2} + E{G^2} - 2AE.EG\cos \widehat {AEG}\) \( = \dfrac{{5{a^2}}}{8} + \dfrac{{7{a^2}}}{{64}} - 2.\sqrt {\dfrac{{5{a^2}}}{8}.\dfrac{{7{a^2}}}{{64}}} .\dfrac{{13}}{{2\sqrt {70} }}\) \( = \dfrac{{21{a^2}}}{{64}}\)
Tam giác \(ADG\) có \(A{G^2} = \dfrac{{21{a^2}}}{{64}},A{D^2} = \dfrac{{3{a^2}}}{4},D{G^2} = \dfrac{{21{a^2}}}{{64}}\)
Do đó \(\Delta GAD\) cân tại \(G\).
Gọi \(H\) là trung điểm của \(AD\) thì \(AH = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{4},\)
\(G{H^2} = G{A^2} - A{H^2}\) \( = \dfrac{{21{a^2}}}{{64}} - \dfrac{{3{a^2}}}{{16}} = \dfrac{{9{a^2}}}{{64}}\) \( \Rightarrow GH = \dfrac{{3a}}{8}\)
Diện tích tam giác \({S_{GAD}} = \dfrac{1}{2}GH.AD\) \( = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{3a}}{8}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{3{a^2}\sqrt 3 }}{{32}}\)
Chọn B.
A. \({30^0}\) B. \({45^0}\)
C. \({135^0}\) D. \({60^0}\)
Câu trả lời của bạn
Ta có: \(SA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow AB\) là hình chiếu của \(SB\) lên \(\left( {ABC} \right)\).
\( \Rightarrow \angle \left( {SB;\left( {ABC} \right)} \right) = \angle \left( {SB;AB} \right) = \angle SBA\).
Xét tam giác vuông \(SAB\) ta có: \(SA = AB = a \Rightarrow \Delta SAB\) vuông cân tại \(A\).
Vậy \(\angle \left( {SB;\left( {ABC} \right)} \right) = \angle SBA = {45^0}\).
Chọn B.
A. \(AB//\left( {SCD} \right)\) B. \(AC \bot \left( {SBD} \right)\)
C. \(SO \bot \left( {ABCD} \right)\) D. \(AD \bot \left( {SAB} \right)\)
Câu trả lời của bạn
Vì \(SA = SC \Rightarrow \Delta SAC\) cân tại \(S \Rightarrow SO \bot AC\).
Vì \(SB = SD \Rightarrow \Delta SBD\) cân tại \(S \Rightarrow SO \bot BD\).
\( \Rightarrow SO \bot \left( {ABCD} \right)\).
Chọn C.
A. Ba vectơ \(\overrightarrow {AB} ,\,\,\overrightarrow {AC} ,\,\,\overrightarrow {AD} \) đồng phẳng
B. Ba vectơ \(\overrightarrow {BA} ,\,\,\overrightarrow {CB} ,\,\,\overrightarrow {BD} \) đồng phẳng
C. Ba vectơ \(\overrightarrow {BD} ,\,\,\overrightarrow {CD} ,\,\,\overrightarrow {MN} \) đồng phẳng
D. Ba vectơ \(\overrightarrow {AD} ,\,\,\overrightarrow {CD} ,\,\,\overrightarrow {MN} \) đồng phẳng
Câu trả lời của bạn
Ta có: \(MN\) là đường trung bình của \(\Delta ABC\) nên \(\overrightarrow {MN} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {BC} = \dfrac{1}{2}\left( {\overrightarrow {BD} - \overrightarrow {CD} } \right)\).
Do đó ba vectơ \(\overrightarrow {BD} ,\,\,\overrightarrow {CD} ,\,\,\overrightarrow {MN} \) đồng phẳng.
Chọn C.
A. \(\cos \alpha = \cos \left( {\overrightarrow u ;\overrightarrow v } \right)\)
B. \(\overrightarrow u .\overrightarrow v = \sin \alpha \).
C. \(\alpha = \left| {\left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right)} \right|\)
D. \(\cos \alpha = \left| {\cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right)} \right|\)
Câu trả lời của bạn
Trong không gian cho hai đường thẳng \(CC'\) và \(b\) lần lượt có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u ,\,\,\overrightarrow v \). Gọi \(\alpha \) là góc giữa hai đường thẳng \(a\) và \(b\). Khi đó: \(\cos \alpha = \left| {\cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right)} \right|\).
Chọn D.
A. \(\sqrt {29} \) B. \(\sqrt {30} \) C. \(5\) D. \(\sqrt {28} \)
Câu trả lời của bạn
Hình hộp chữ nhật có 3 kích thước là \(2;\,\,3;\,\,4\) thì độ dài đường chéo của nó là \(\sqrt {{2^2} + {3^2} + {4^2}} = \sqrt {29} \).
Chọn A.
A. 1. B. Vô số. C. 2. D. 3.
Câu trả lời của bạn
Qua \(O\) vẽ được duy nhất một mặt phẳng \(\left( P \right)\) sao cho \(\left( P \right) \bot \Delta \).
Trong \(\left( P \right)\) có vô số đường thẳng \(d\) đi qua \(O\), khi đó ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\Delta \bot \left( P \right)\\d \subset \left( P \right)\end{array} \right. \Rightarrow \Delta \bot d\).
Vậy qua \(O\) vẽ được vô số đường thẳng vuông góc với D.
Chọn B.
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *