Cho tứ diện ABCD, gọi G1, G2, G3 lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC, ACD, ADB. Diện tích thiết diện tạo bởi mặt phẳng (G1G2G3) bằng k lần diện tích tam giác BCD. Giá trị của k là
A. \(\frac{4}{9}\) B. \(\frac{2}{3}\) C. \(\frac{3}{4}\) D. \(\frac{1}{2}\)
Gọi I, J, K lần lượt là trung điểm BC, CD, DB.
Ta có: \(\frac{{A{G_1}}}{{AI}} = \frac{{A{G_2}}}{{AJ}} = \frac{{A{G_3}}}{{AK}} = \frac{2}{3}\) nên G1G2 // IJ, G1G3 // IK.
Suy ra (G1G2G3) // (BCD).
Do vậy, giao tuyến của (G1G2G3) và (ABC) là đường thẳng qua G1 song song với BC, đường thẳng này cắt AB, AC lần lượt tại M, N, MG3 ∩ AD = P. Thiết diện là tam giác MNP.
Tam giác MNP có các cạnh tương ứng song song với các cạnh của tam giác BCD và \(\frac{{MN}}{{BC}} = \frac{{NP}}{{CD}} = \frac{{PM}}{{BD}} = \frac{2}{3}\) nên diện tích tam giác MNP bằng \(\frac{4}{9}\) lần diện tích tam giác BCD hay \(k=\frac{4}{9}\).
Đáp án: A
-- Mod Toán 11