Nội dung bài Ôn tập cuối năm Đại số và Giải tích 11 sẽ giúp các em định hình lại toàn bộ chương trình, những kiến thức đã được học. Qua đó sẽ giúp các em nắm được những vấn đề kiến thức nền tảng, trọng tâm nhất để chuẩn bị cho chương trình lớp 12 và các kì thi THPT Quốc gia
Tính các giới hạn sau:
a) \(\lim \frac{{2n - 1}}{{3n + 2}}\)
b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{{2x - 1}}\)
a) \(\lim \frac{{2n - 1}}{{3n + 2}} = \lim \frac{{n(2 - \frac{1}{n})}}{{n(3 + \frac{2}{n})}}\)\(= \lim \frac{{2 - \frac{1}{n}}}{{3 + \frac{2}{n}}}= \frac{2}{3}.\)
b)
\(\begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{{2x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\sqrt {{x^2}(1 + \frac{1}{{{x^2}}})} }}{{2x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{ - x.\sqrt {1 + \frac{1}{{{x^2}}}} }}{{x(2 - \frac{1}{x})}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{ - \sqrt {1 + \frac{1}{{{x^2}}}} }}{{2 - \frac{1}{x}}} = - \frac{1}{2}. \end{array}\)
a) Cho hàm số \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l} \frac{{2{x^2} - 3x - 2}}{{x - 2}}{\rm{ ,khi }}x \ne 2\\ 2m - 1{\rm{ ,khi }}x = 2. \end{array} \right.\)
Tìm m để hàm số f(x) liên tục tại x=2.
b) Chứng minh rằng phương trình \((5{m^4} + 1){x^3} + (1 - 4{m^2}){x^2} + (1 - 2{m^2})x - 1 = 0\) luôn có nghiệm x trong khoảng (0;1) với mọi giá trị m thuộc \(\mathbb{R}.\)
a) \(f(2)=2m-1.\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{2{x^2} - 3x - 2}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{(2x + 1)(x - 2)}}{{x - 2}}\)\(= \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} (2x + 1) = 5.\)
Để f(x) liên tục tại x=2 thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f(x) = f(2)\)\(\Leftrightarrow 2m - 1 = 5 \Leftrightarrow m = 3.\)
Vậy m=3 là giá trị cần tìm.
b) Đặt \(f(x) = (5{m^4} + 1){x^3} + (1 - 4{m^2}){x^2} + (1 - 2{m^2})x - 1\)
f(x) là hàm đa thức nên liên tục trên \(\mathbb{R}\) nên f(x) liên tục trên đoạn [0;1].
Ta có: \(f(0) = - 1 < 0;\)\(f(1) = 5{m^4} - 6{m^2} + 2\)
Mà: \(5{m^4} - 6{m^2} + 2 > 0,\forall m \in \mathbb{R}\) (tam thức bậc hai theo \(t=m^2\)).
Do đó: \(f(0).f(1) < 0,\forall m \in \mathbb{R}.\)
a) Tính đạo hàm của các hàm số sau: \(y = x.\cos x\) và \(y = \sqrt {{x^2} - 3x} .\)
b) Cho hàm số \(y = {x^3} - 5x + 3\)có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng 7.
a) \(y' = {\rm{ }}\left( {x.\cos x} \right)' = {\rm{ }}(x)'.\cos x + x.(\cos x)' = \cos x - x.\sin x.\)
\(y' = \left( {\sqrt {{x^2} - 3x} } \right)' = \frac{{({x^2} - 3x)'}}{{2\sqrt {{x^2} - 3x} }}\)\(= \frac{{2x - 3}}{{2\sqrt {{x^2} - 3x} }}\).
b) Gọi d là tiếp tuyến thỏa đề,\(M({x_0};{y_0})\) là tiếp điểm của d và (C).
Suy ra phương trình tiếp tuyến d có dạng: \(y = y'({x_0})(x - {x_0}) + {y_0}.\)
Theo đề bài hệ số góc bằng 7 nên ta có:
\(y'({x_0}) = 7 \Leftrightarrow 3x_0^2 - 5 = 7 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {x_0} = 2\\ {x_0} = - 2 \end{array} \right.\)
+ Với \(x_0=2\). Ta có phương trình tiếp tuyến là \(y = 7x - 13.\)
+ Với \(x_0=-2\). Ta có phương trình tiếp tuyến là \(y = 7x + 19.\)
Cho hàm số \(y = \sin 2x.\) Chứng minh \(y'\,'\,\, + \,\,4y = 0\).
\(y' = {\rm{ }}(\sin 2x)' = \cos 2x.{(2x)^\prime } = 2.\cos 2x.\)
\(y'' = (2.\cos 2x)' = 2.( - \sin 2x).(2x)' = - 4\sin 2x.\)
Suy ra: \(y'' + 4y = - 4.\sin 2x + 4.\sin 2x = 0\) (Điều phải chứng minh).
Bài viết trên đây đã thống kê và định hình lại chương trình Đại số và Giải tích 11. Để cũng cố kiến thức và rèn luyện kĩ năng giải bài tập, xin mời các em cũng làm bài kiểm tra Trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11 với những câu hỏi củng cố bám sát chương trình. Bên cạnh đó các em có thể nêu thắc mắc của mình thông qua phần Hỏi - đáp cộng đồng Toán DapAnHay sẽ sớm giải đáp cho các em.
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập SGK sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Đại số và Giải tích 11 Cơ bản và Nâng cao.
-- Mod Toán Học 11 DapAnHay
Giải các phương trình :
a. \({\sin ^4}x + {\cos ^4}x = \frac{3}{4}\)
b. \({\sin ^2}2x - {\sin ^2}x = {\sin ^2}\frac{\pi }{4}\)
c. \(\cos x\cos 2x = \cos 3x\)
d. \(\tan 2x - \sin 2x + \cos 2x - 1 = 0\)
Giải các phương trình sau :
a. \(2\sin \left( {x + {{10}^0}} \right) - \sqrt {12} \cos \left( {x + {{10}^0}} \right) = 3\)
b. \(\sqrt 3 \cos 5x + \sin 5x = 2\cos 3x\)
c. \({\sin ^2}x - 3\sin x\cos x + 2{\cos ^2}x = 0\)
Giải các phương trình sau :
a. \({\tan ^2}x + 3 = \frac{3}{{\cos x}}\)
b. \({\tan ^2}x = \frac{{1 + \cos x}}{{1 + \sin x}}\)
c. \(\tan x + \tan 2x = \frac{{\sin 3x}}{{\cos x}}\)
Một toa tàu nhỏ có 3 toa khách đỗ ở sân ga. Có 3 hành khách bước lên tàu. Hỏi :
a. Có bao nhiêu khả năng trong đó 3 hành khách lên 3 toa khách nhau ?
b. Có bao nhiêu khả năng trong đó 2 hành khách cùng lên một toa, còn hành khách thứ ba thì lên toa khác ?
Cho tập hợp A={1,2,3,...,n} với n ∈ N, n > 1. Hỏi có bao nhiêu cặp (x ; y) với x ϵ A, y ϵ A và x > y ?
Một túi chứa 16 viên bi, trong đó có 7 viên bi trắng, 6 viên bi đen và 3 viên bi đỏ.
a. Lấy ngẫu nhiên 2 viên bi trong túi.
- Tính xác suất để được 2 viên bi đen.
- Tính xác suất để được 1 viên bi đen và 1 viên bi trắng.
b. Lấy ngẫu nhiên 3 viên bi trong túi.
- Tính xác suất để được 3 viên bi đỏ.
- Tính xác suất để được 3 viên bi với 3 màu khác nhau.
Gọi X là biến ngẫu nhiên chỉ số điểm mà một vận động viên bắn cung nhận được khi bắn một lần. Giả sử X có bảng phân bố xác suất như sau :
a. Tính điểm trung bình khi vận động viên đó bắn một lần
b. Tính điểm trung bình khi vận động viên đó bắn 48 lần.
Ta đã biết \(\cos \frac{\pi }{{{2^2}}} = \frac{1}{2}\sqrt 2 \) Chứng minh rằng :
a. \(\cos \frac{\pi }{{{2^3}}} = \frac{1}{2}\sqrt {2 + \sqrt 2 } \)
b. \(\cos \frac{\pi }{{{2^n}}} = \frac{1}{2}\underbrace {\sqrt {2 + \sqrt {2 + \sqrt {....... + \sqrt 2 } } } }_{n - 1}\) (1) với mọi số nguyên n ≥ 2.
Cho dãy số (un) xác định bởi
\({u_1} = 3\) với mọi n ≥ 2
Chứng minh rằng :
a. \({u_n} = \frac{{{2^{2n + 1}} + 1}}{3}\) (1) với mọi số nguyên n ≥ 1
b. (un) là môt dãy số tăng.
Cho dãy số (un) xác định bởi
\({u_1} = 5\) và \({u_n} = {u_{n - 1}} - 2\) với mọi n ≥ 2
a. Hãy tìm số hạng tổng quát của dãy số (un)
b. Hãy tính tổng 100 số hạng đầu tiên của dãy số (un).
Cho dãy số (un) xác định bởi :
\({u_1} = 2\) và \({u_n} = 3{u_{n - 1}}\) với mọi n ≥ 2
a. Hãy tìm số hạng tổng quát của dãy số (un);
b. Hãy tính tổng 10 số hạng đầu tiên của dãy số (un).
Các số x – y, x + y và 3x – 3y theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng, đồng thời các số x – 2, y + 2 và 2x + 3y theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân.
Hãy tìm x và y
Tính giới hạn của các dãy số sau :
a. \(\lim \frac{{{n^4} - 40{n^3} + 15n - 7}}{{{n^4} + n + 100}}\)
b. \(\lim \frac{{2{n^3} + 35{n^2} - 10n + 3}}{{5{n^5} - {n^3} + 2n}}\)
c. \(\lim \frac{{\sqrt {6{n^4} + n + 1} }}{{2n + 1}}\)
d. \(\lim \frac{{{{3.2}^n} - {{8.7}^n}}}{{{{4.3}^n} + {{5.7}^n}}}\)
Tính các giới hạn sau :
a. \(\lim \sqrt {3{n^4} - 10n + 12} \)
b. \(\lim \left( {{{2.3}^n} - {{5.4}^n}} \right)\)
c. \(\lim \left( {\sqrt {{n^4} + {n^2} + 1} - {n^2}} \right)\)
d. \(\lim \frac{1}{{\sqrt {{n^2} + 2n} - n}}\)
Tìm số hạng đầu và công bội của một cấp số nhân lùi vô hạn, biết rằng số hạng thứ hai là \(\frac{{12}}{5}\) và tổng của cấp số nhân này là 15.
Tính giới hạn của các hàm số sau :
a. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \frac{{{x^2} + x + 10}}{{{x^3} + 6}}\)
b. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 5} \frac{{{x^2} + 11x + 30}}{{25 - {x^2}}}\)
c. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{{x^6} + 4{x^2} + x - 2}}{{{{\left( {{x^3} + 2} \right)}^2}}}\)
d. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{{x^2} + x - 40}}{{2{x^5} + 7{x^4} + 21}}\)
e. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\sqrt {2{x^4} + 4{x^2} + 3} }}{{2x + 1}}\)
f. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {2x + 1} \right)\sqrt {\frac{{x + 1}}{{2{x^3} + x}}} \)
g. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \sqrt {9{x^2} + 11x - 100} \)
h. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {5{x^2} + 1} - x\sqrt 5 } \right)\)
i. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{1}{{\sqrt {{x^2} + x + 1} - x}}\)
Chứng minh rằng phương trình \({x^3} + a{x^2} + bx + c = 0\) luôn có ít nhất một nghiệm.
Tìm đạo hàm của các hàm số sau :
a. \(y = \frac{{a{x^3} + b{x^2} + c}}{{\left( {a + b} \right)x}}\) (a, b, c là các hằng số)
b. \(y = {\left( {{x^3} - \frac{1}{{{x^3}}} + 3} \right)^4}\)
c. \(y = {x^3}{\cos ^2}x\)
d. \(y = \sin \sqrt {4 + {x^2}} \)
e. \(y = \sqrt {1 + \tan \left( {x + \frac{1}{x}} \right)} \)
Cho hàm số \(y = m{x^3} + {x^2} + x - 5\) Tìm m để :
a. y’ bằng bình phương của một nhị thức bậc nhất ;
b. y’ có hai nghiệm trái dấu ;
c. y′ > 0 với mọi x.
Giải các phương trình sau :
a. \(y' = 0\) với \(y = \frac{1}{2}\sin 2x + \sin x - 3\)
b. \(y' = 0\) với \(y = \sin 3x - 2\cos 3x - 3x + 4\)
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
Câu trả lời của bạn
\(\begin{array}{l}
y' = \left( x \right)'{\cot ^2}x + x\left( {{{\cot }^2}x} \right)'\\
= {\cot ^2}x + x.2\cot x.\left( { - \dfrac{1}{{{{\sin }^2}x}}} \right)\\
= {\cot ^2}x - 2x.\dfrac{{\cos x}}{{\sin x}}.\dfrac{1}{{{{\sin }^2}x}}\\
= {\cot ^2}x - \dfrac{{2x\cos x}}{{{{\sin }^3}x}}
\end{array}\)
Câu trả lời của bạn
\(\begin{array}{l}
y'\\
= \dfrac{{\left( {\sin \sqrt x } \right)'\cos 3x - \sin \sqrt x \left( {\cos 3x} \right)'}}{{{{\cos }^2}3x}}\\
= \dfrac{{\dfrac{1}{{2\sqrt x }}\cos \sqrt x \cos 3x - \sin \sqrt x .\left( { - 3\sin 3x} \right)}}{{{{\cos }^2}3x}}\\
= \dfrac{{\dfrac{{\cos \sqrt x \cos 3x + 3.2\sqrt x \sin \sqrt x \sin 3x}}{{2\sqrt x }}}}{{{{\cos }^2}3x}}\\
= \dfrac{{\cos \sqrt x \cos 3x + 6\sqrt x \sin \sqrt x \sin 3x}}{{2\sqrt x {{\cos }^2}3x}}
\end{array}\)
Câu trả lời của bạn
\(\begin{array}{l}
y' = 3{\left( {\sin 2x + 8} \right)^2}\left( {\sin 2x + 8} \right)'\\
= 3{\left( {\sin 2x + 8} \right)^2}\left( {2\cos 2x} \right)\\
= 6\cos 2x{\left( {\sin 2x + 8} \right)^2}
\end{array}\)
Câu trả lời của bạn
\(\begin{array}{l}
y'\\
= \left( {2{x^3} - 5} \right)'\tan x + \left( {2{x^3} - 5} \right)\left( {\tan x} \right)'\\
= 2.3{x^2}\tan x + \left( {2{x^3} - 5} \right).\dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}}\\
= 6{x^2}\tan x + \dfrac{{2{x^3} - 5}}{{{{\cos }^2}x}}
\end{array}\)
Câu trả lời của bạn
\(f\left( x \right) = {{1 - \cos 3x} \over 3} \Rightarrow f'\left( x \right) = \sin 3x.\) Ta có
\(f'\left( x \right) = g\left( x \right) \Leftrightarrow \left( {\cos 6x - 1} \right).\cot 3x = \sin 3x\) (điều kiện: \(\sin 3x \ne 0 \Leftrightarrow \cos 3x \ne \pm 1\) )
\(\eqalign{
& \Leftrightarrow \left( {\cos 6x - 1} \right).\cos 3x = {\sin ^2}3x \cr
& \Leftrightarrow \left( {1 - 2{{\sin }^2}3x - 1} \right).\cos 3x = {\sin ^2}3x \cr
& \Leftrightarrow {\sin ^2}3x.\left( {2\cos 3x + 1} \right) = 0 \cr
& \Leftrightarrow \cos 3x = - {1 \over 2}{\rm{ }}\left( {{\rm{vì}}\,\,\sin 3x \ne 0{\rm{ }}} \right) \cr
& \Leftrightarrow \cos 3x = \cos {{2\pi } \over 3} \cr
& \Leftrightarrow 3x = \pm {{2\pi } \over 3} + k2\pi \cr
& \Leftrightarrow x = \pm {{2\pi } \over 9} + k{{2\pi } \over 3}{\rm{ }}\left( {k \in Z} \right). \cr} \)
Câu trả lời của bạn
\(f\left( x \right) = {1 \over 2}\cos 2x \Rightarrow f'\left( x \right) = - \sin 2x.\) Ta có
\(\eqalign{
& f'\left( x \right) = g\left( x \right) \cr
& \Leftrightarrow - \sin 2x = 1 - {\left( {\cos 3x + \sin 3x} \right)^2} \cr
& \Leftrightarrow 1 + \sin 2x = {\left( {\cos 3x + \sin 3x} \right)^2} \cr
& \Leftrightarrow 1 + \sin 2x = 1 + 2\sin 3x\cos 3x \cr
& \Leftrightarrow \sin 6x - \sin 2x = 0 \cr
& \Leftrightarrow 2\cos 4x\sin 2x = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
\cos 4x = 0 \hfill \cr
\sin 2x = 0 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
4x = {\pi \over 2} + k\pi \hfill \cr
2x = n\pi \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = {\pi \over 8} + k{\pi \over 4} \hfill \cr
x = n{\pi \over 2} \hfill \cr} \right.\left( {k,n \in Z} \right). \cr}\)
Câu trả lời của bạn
\(f\left( x \right) = {1 \over 2}\sin 2x + 5\cos x \Rightarrow f'\left( x \right) = \cos 2x - 5\sin x.\) Ta có
\(\eqalign{
& f'\left( x \right) = g\left( x \right) \cr
& \Leftrightarrow \cos 2x - 5\sin x = 3{\sin ^2}x + {3 \over {1 + {{\tan }^2}x}} \cr
& \Leftrightarrow 5\sin x + {3 \over {1 + {{\tan }^2}x}} = \cos 2x - 3{\sin ^2}x \cr
& \Leftrightarrow 5\sin x + 3{\cos ^2}x = {\cos ^2}x - 4{\sin ^2}x \cr
& \Leftrightarrow 5\sin x = - 2{\cos ^2}x - 4{\sin ^2}x \cr
& \Leftrightarrow 5\sin x = - 2 - 2{\sin ^2}x \cr
& \Leftrightarrow 2{\sin ^2}x + 5\sin x + 2 = 0. \cr} \)
Đặt \(t = \sin x,t \in \left[ { - 1;1} \right],\) ta có phương trình \(2{t^2} + 5t + 2 = 0.\)
Giải phương trình \(t = - {1 \over 2}\) ta được (loại t = -2 ).
\(\eqalign{
& \sin x = - {1 \over 2} \cr
& \Leftrightarrow \sin x = \sin \left( { - {\pi \over 6}} \right) \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = - {\pi \over 6} + k2\pi \hfill \cr
x = {{7\pi } \over 6} + k2\pi \hfill \cr} \right.\left( {k \in Z} \right). \cr} \)
Câu trả lời của bạn
\(\begin{array}{l}
f\left( x \right) = \dfrac{{\sqrt {x + 1} }}{{\sqrt {x + 1} + 1}}\\
= \dfrac{{\sqrt {x + 1} + 1 - 1}}{{\sqrt {x + 1} + 1}}\\
= \dfrac{{\sqrt {x + 1} + 1}}{{\sqrt {x + 1} + 1}} - \dfrac{1}{{\sqrt {x + 1} + 1}}\\
= 1 - \dfrac{1}{{\sqrt {x + 1} + 1}}\\
f'\left( x \right) =0 - \dfrac{{ - \left( {\sqrt {x + 1} + 1} \right)'}}{{{{\left( {\sqrt {x + 1} + 1} \right)}^2}}}\\
= \dfrac{{\dfrac{{\left( {x + 1} \right)'}}{{2\sqrt {x + 1} }}}}{{{{\left( {\sqrt {x + 1} + 1} \right)}^2}}}\\
= \dfrac{1}{{2\sqrt {x + 1} {{\left( {\sqrt {x + 1} + 1} \right)}^2}}}\\
\Rightarrow f'\left( 0 \right) = \dfrac{1}{{2\sqrt 1 {{\left( {\sqrt 1 + 1} \right)}^2}}} = \dfrac{1}{8}
\end{array}\)
Câu trả lời của bạn
\(\begin{array}{l}
y' = 2\left( {4x + 5} \right)\left( {4x + 5} \right)'\\
= 2\left( {4x + 5} \right).4\\
= 8\left( {4x + 5} \right)\\
\Rightarrow y'\left( 0 \right) = 8.\left( {4.0 + 5} \right) = 40
\end{array}\)
Câu trả lời của bạn
\(\begin{array}{l}
g\left( x \right) = \sin 4x\cos 4x\\
= \dfrac{1}{2}.2\sin 4x\cos 4x\\
= \dfrac{1}{2}\sin 8x\\
g'\left( x \right) = \dfrac{1}{2}.8\cos 8x = 4\cos 8x\\
g'\left( {\dfrac{\pi }{3}} \right) = 4\cos \dfrac{{8\pi }}{3} = - 2
\end{array}\)
Câu trả lời của bạn
\(\eqalign{
& f'\left( x \right) = 6\left( {{x^8} - {x^5} + {x^2} - x + 1} \right) \cr
& = 6{x^2}\left( {{x^6} - {x^3} + {1 \over 4}} \right) + 3{x^2} + 6\left( {{{{x^2}} \over 4} - x + 1} \right) \cr
& = 6{x^2}{\left( {{x^3} - {1 \over 2}} \right)^2} + 3{x^2} + 6{\left( {{x \over 2} - 1} \right)^2} > 0,\forall x \in R. \cr} \)
Câu trả lời của bạn
\(f'\left( x \right) = 3{x^2} + 2\left( {a - 1} \right)x + 2.\)
\(\Delta ' = {\left( {a - 1} \right)^2} - 6 = {a^2} - 2a - 5.\) Ta phải có
\(\Delta ' < 0 \Leftrightarrow {a^2} - 2a - 5 < 0 \Leftrightarrow 1 - \sqrt 6 < a < 1 + \sqrt 6 .\)
Vậy \(f'\left( x \right) > 0\) với mọi \(x \in R\) nếu \(1 - \sqrt 6 < a < 1 + \sqrt 6 .\)
Câu trả lời của bạn
\(f'\left( x \right) = 2 + \cos x > 0,\forall x \in R.\)
Câu trả lời của bạn
\(\eqalign{
& g'\left( x \right) = \cos x - 2a\cos 2x - \cos 3x + 2a \cr
& = 2a - 2a\cos 2x + \left( {\cos x - \cos 3x} \right)\cr &= 2a\left( {1 - \cos 2x} \right) + \left( {\cos x - \cos 3x} \right)\cr & = 2a.2{\sin ^2}x + \left( { - 2\sin 2x\sin \left( { - x} \right)} \right)\cr &{\rm{ }} = 4a{\sin ^2}x + 2\sin x\sin 2x \cr
& {\rm{ }} = 4a{\sin ^2}x + 4{\sin ^2}x\cos x \cr
& {\rm{ }} = 4{\sin ^2}x\left( {a + \cos x} \right). \cr} \)
Rõ ràng với a > 1 thì \(a + \cos x > 0\) và \({\sin ^2}x \ge 0\) với mọi \(x \in R\) nên với a > 1 thì \(g'\left( x \right) \ge 0,\forall x \in R.\)
Câu trả lời của bạn
\(\begin{array}{l}y' = 3{x^2} - 4x + 1\\y'\left( 0 \right) = 3.0 - 4.0 + 1 = 1\end{array}\)
Câu trả lời của bạn
Ta có: \(y' = 3{x^2}\) \( \Rightarrow y'\left( { - 1} \right) = 3\)
\({x_0} = - 1 \Rightarrow y\left( { - 1} \right) = 0\)
Phương trình tiếp tuyến \(y = 3\left( {x + 1} \right) + 0\) hay \(y = 3x + 3\).
Câu trả lời của bạn
Ta có:
\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \dfrac{{y\left( x \right) - y\left( 0 \right)}}{{x - 0}}= \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \dfrac{{2x - 0}}{{x - 0}} = 2\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \dfrac{{y\left( x \right) - y\left( 0 \right)}}{{x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \dfrac{{ - 3x - 0}}{{x - 0}} = - 3\end{array}\)
\( \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \dfrac{{y\left( x \right) - y\left( 0 \right)}}{{x - 0}}\) \( \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \dfrac{{y\left( x \right) - y\left( 0 \right)}}{{x - 0}}\)
\( \Rightarrow \) Hàm số không có đạo hàm tại \(x = 0\).
Câu trả lời của bạn
Ta có: \(y' = \left( {\tan x} \right)' = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}}\)
Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm có hoành độ \(x = \dfrac{\pi }{4}\) là:
\(k = y'\left( {\dfrac{\pi }{4}} \right) = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}\dfrac{\pi }{4}}}\) \( = \dfrac{1}{{{{\left( {\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}}} = 2\)
Câu trả lời của bạn
\(\begin{array}{l}y' = \dfrac{{\left( {2x} \right)'\sin x - 2x\left( {\sin x} \right)'}}{{{{\sin }^2}x}}\\ = \dfrac{{2\sin x - 2x\cos x}}{{{{\sin }^2}x}}\\ = \dfrac{{2\sin x}}{{{{\sin }^2}x}} - \dfrac{{2x\cos x}}{{{{\sin }^2}x}}\\ = \dfrac{2}{{\sin x}} - \dfrac{{2x\cot x}}{{\sin x}}\\ = \dfrac{{2 - 2x\cot x}}{{\sin x}}\\ = \dfrac{{2\left( {1 - x\cot x} \right)}}{{\sin x}}\end{array}\)
Câu trả lời của bạn
\(\begin{array}{l}f'\left( x \right) = - 3\sin x - \sqrt 3 \cos x\\f''\left( x \right) = - 3\cos x + \sqrt 3 \sin x\\f''\left( x \right) = 0\\ \Leftrightarrow - 3\cos x + \sqrt 3 \sin x = 0\\ \Leftrightarrow \sqrt 3 \sin x = 3\cos x\\ \Leftrightarrow \sin x = \sqrt 3 \cos x\\ \Leftrightarrow \dfrac{{\sin x}}{{\cos x}} = \sqrt 3 \\ \Leftrightarrow \tan x = \sqrt 3 = \tan \dfrac{\pi }{3}\\ \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{3} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\end{array}\)
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *