Nội dung bài Ôn tập cuối năm Đại số và Giải tích 11 sẽ giúp các em định hình lại toàn bộ chương trình, những kiến thức đã được học. Qua đó sẽ giúp các em nắm được những vấn đề kiến thức nền tảng, trọng tâm nhất để chuẩn bị cho chương trình lớp 12 và các kì thi THPT Quốc gia
Tính các giới hạn sau:
a) \(\lim \frac{{2n - 1}}{{3n + 2}}\)
b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{{2x - 1}}\)
a) \(\lim \frac{{2n - 1}}{{3n + 2}} = \lim \frac{{n(2 - \frac{1}{n})}}{{n(3 + \frac{2}{n})}}\)\(= \lim \frac{{2 - \frac{1}{n}}}{{3 + \frac{2}{n}}}= \frac{2}{3}.\)
b)
\(\begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{{2x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\sqrt {{x^2}(1 + \frac{1}{{{x^2}}})} }}{{2x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{ - x.\sqrt {1 + \frac{1}{{{x^2}}}} }}{{x(2 - \frac{1}{x})}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{ - \sqrt {1 + \frac{1}{{{x^2}}}} }}{{2 - \frac{1}{x}}} = - \frac{1}{2}. \end{array}\)
a) Cho hàm số \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l} \frac{{2{x^2} - 3x - 2}}{{x - 2}}{\rm{ ,khi }}x \ne 2\\ 2m - 1{\rm{ ,khi }}x = 2. \end{array} \right.\)
Tìm m để hàm số f(x) liên tục tại x=2.
b) Chứng minh rằng phương trình \((5{m^4} + 1){x^3} + (1 - 4{m^2}){x^2} + (1 - 2{m^2})x - 1 = 0\) luôn có nghiệm x trong khoảng (0;1) với mọi giá trị m thuộc \(\mathbb{R}.\)
a) \(f(2)=2m-1.\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{2{x^2} - 3x - 2}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{(2x + 1)(x - 2)}}{{x - 2}}\)\(= \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} (2x + 1) = 5.\)
Để f(x) liên tục tại x=2 thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f(x) = f(2)\)\(\Leftrightarrow 2m - 1 = 5 \Leftrightarrow m = 3.\)
Vậy m=3 là giá trị cần tìm.
b) Đặt \(f(x) = (5{m^4} + 1){x^3} + (1 - 4{m^2}){x^2} + (1 - 2{m^2})x - 1\)
f(x) là hàm đa thức nên liên tục trên \(\mathbb{R}\) nên f(x) liên tục trên đoạn [0;1].
Ta có: \(f(0) = - 1 < 0;\)\(f(1) = 5{m^4} - 6{m^2} + 2\)
Mà: \(5{m^4} - 6{m^2} + 2 > 0,\forall m \in \mathbb{R}\) (tam thức bậc hai theo \(t=m^2\)).
Do đó: \(f(0).f(1) < 0,\forall m \in \mathbb{R}.\)
a) Tính đạo hàm của các hàm số sau: \(y = x.\cos x\) và \(y = \sqrt {{x^2} - 3x} .\)
b) Cho hàm số \(y = {x^3} - 5x + 3\)có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng 7.
a) \(y' = {\rm{ }}\left( {x.\cos x} \right)' = {\rm{ }}(x)'.\cos x + x.(\cos x)' = \cos x - x.\sin x.\)
\(y' = \left( {\sqrt {{x^2} - 3x} } \right)' = \frac{{({x^2} - 3x)'}}{{2\sqrt {{x^2} - 3x} }}\)\(= \frac{{2x - 3}}{{2\sqrt {{x^2} - 3x} }}\).
b) Gọi d là tiếp tuyến thỏa đề,\(M({x_0};{y_0})\) là tiếp điểm của d và (C).
Suy ra phương trình tiếp tuyến d có dạng: \(y = y'({x_0})(x - {x_0}) + {y_0}.\)
Theo đề bài hệ số góc bằng 7 nên ta có:
\(y'({x_0}) = 7 \Leftrightarrow 3x_0^2 - 5 = 7 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {x_0} = 2\\ {x_0} = - 2 \end{array} \right.\)
+ Với \(x_0=2\). Ta có phương trình tiếp tuyến là \(y = 7x - 13.\)
+ Với \(x_0=-2\). Ta có phương trình tiếp tuyến là \(y = 7x + 19.\)
Cho hàm số \(y = \sin 2x.\) Chứng minh \(y'\,'\,\, + \,\,4y = 0\).
\(y' = {\rm{ }}(\sin 2x)' = \cos 2x.{(2x)^\prime } = 2.\cos 2x.\)
\(y'' = (2.\cos 2x)' = 2.( - \sin 2x).(2x)' = - 4\sin 2x.\)
Suy ra: \(y'' + 4y = - 4.\sin 2x + 4.\sin 2x = 0\) (Điều phải chứng minh).
Bài viết trên đây đã thống kê và định hình lại chương trình Đại số và Giải tích 11. Để cũng cố kiến thức và rèn luyện kĩ năng giải bài tập, xin mời các em cũng làm bài kiểm tra Trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11 với những câu hỏi củng cố bám sát chương trình. Bên cạnh đó các em có thể nêu thắc mắc của mình thông qua phần Hỏi - đáp cộng đồng Toán DapAnHay sẽ sớm giải đáp cho các em.
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập SGK sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Đại số và Giải tích 11 Cơ bản và Nâng cao.
-- Mod Toán Học 11 DapAnHay
Nêu định nghĩa các hàm số lượng giác. Chỉ rõ tập xác định và giá trị của từng hàm số đó.
Cho biết chu kì của mỗi hàm số y = sinx, y = cosx, y = tanx, y = cotx.
Nêu cách giải phương trình lượng giác cơ bản, cách giải phương trình asinx + bcosx = c.
Viết công thức tính số hoán vị của tập hợp gồm n phần tử (n > 1). Nêu ví dụ.
Viết công thức tính số chỉnh hợp chập k của n phần tử, công thức tính số tổ hợp chập k của n phần tử. Cho ví dụ.
Viết công thức nhị thức Niutơn.
Phát biểu định nghĩa xác suất của biến cố.
Nêu rõ các bước chứng minh bằng quy nạp toán học và cho ví dụ
Phát biểu định nghĩa cấp số cộng và công thức tính tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số cộng.
Phát biểu định nghĩa cấp số nhân và công thức tổng n số hạng đầu tiên của một cập số nhân.
Dãy số Un thỏa mãn điều kiện gì thì được gọi là có giới hạn 0 khi n dần tới dương vô cực?
Viết công thức tính tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn.
Định nghĩa hàm số có giới hạn \(+\infty\) khi \(x\rightarrow -\infty\).
Nêu các giới hạn đặc biệt của dãy số.
Nêu định nghĩa hàm liên túc tại một điểm, trên một khoảng. Nêu hình ảnh hình học của một hàm số liên tục trên một khoảng.
Phát biểu định nghĩa đạo hàm của hàm số y = f(x) tại x = xo.
Viết tất cả các quy tắc tính đạo hàm đã học.
Giả sử hàm số g = f(x) có đạo hàm tại xo. Hãy viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số g = f(x) tại điểm Mo (xo;f(xo)).
Cho hàm số \(y=\frac{5}{7+6sin2x}.\)
a) Tính \(A=\frac{5}{7+6sin2x}\), biết \(tana=0,2\).
b) Tính đạo hàm của hàm số đã cho.
c) Xác định các khoảng nghịch biến của hàm số đã cho.
Giải các phương trình:
a) \(2sin\frac{x}{2}cos^2x-2sin\frac{x}{2}sin^2x=cos^2x-sin^2x;\)
b) \(3cosx+4sinx=5;\)
c) \(sinx+cosx=1+cosxsinx;\)
d) \(\sqrt{1-cosx}=sinx(x\in \left [ \pi ;3\pi \right ]);\)
e) \(\left ( cos\frac{x}{4} -2sinx \right )sinx+\left ( 1+sin\frac{\pi }{4}-2cosx \right )cosx=0.\)
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
Câu trả lời của bạn
\(\begin{array}{l}y' = \dfrac{{\left( {2x} \right)'\sin x - 2x\left( {\sin x} \right)'}}{{{{\sin }^2}x}}\\ = \dfrac{{2\sin x - 2x\cos x}}{{{{\sin }^2}x}}\\ = \dfrac{{2\sin x}}{{{{\sin }^2}x}} - \dfrac{{2x\cos x}}{{{{\sin }^2}x}}\\ = \dfrac{2}{{\sin x}} - \dfrac{{2x\cot x}}{{\sin x}}\\ = \dfrac{{2 - 2x\cot x}}{{\sin x}}\\ = \dfrac{{2\left( {1 - x\cot x} \right)}}{{\sin x}}\end{array}\)
Câu trả lời của bạn
Ta có: \(y' = 8x - 6\).
Gọi \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là tiếp điểm.
Tiếp tuyến song song với đường thẳng \(y = 2x\) nên có hệ số góc \(k = 2\).
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow y'\left( {{x_0}} \right) = 2\\ \Leftrightarrow 8{x_0} - 6 = 2\\ \Leftrightarrow {x_0} = 1\\ \Rightarrow {y_0} = {4.1^2} - 6.1 + 3 = 1\\ \Rightarrow M\left( {1;1} \right)\end{array}\)
Vậy điểm cần tìm là \(M\left( {1;1} \right)\).
Câu trả lời của bạn
\(\begin{array}{l}y' = 3{\tan ^2}x\left( {\tan x} \right)'\\ = 3{\tan ^2}x.\dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}}\\ = 3.\dfrac{{{{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}}.\dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}}\\ = \dfrac{{3{{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^4}x}}\\ \Rightarrow dy = y'dx = \dfrac{{3{{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^4}x}}dx\end{array}\)
Câu trả lời của bạn
Xét 1 giao điểm của đồ thị hàm số \(y = \dfrac{1}{{\sqrt 3 }}\sin 3x\) và trục hoành là \(O\left( {0;0} \right)\).
Ta có: \(y' = \dfrac{1}{{\sqrt 3 }}.3\cos 3x = \sqrt 3 \cos 3x\)
Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị tại điểm \(O\) là: \(k = y'\left( 0 \right) = \sqrt 3 \cos 0 = \sqrt 3 \)
\( \Rightarrow \tan \alpha = \sqrt 3 \Rightarrow \alpha = {60^0}\)
Vậy góc cần tìm là \({60^0}\).
Câu trả lời của bạn
Với \(n = 1\) ta có:
\(\begin{array}{l}{\left[ {f\left( {ax + b} \right)} \right]_x}'\\ = \left( {ax + b} \right)'{f_z}'\left( {ax + b} \right)\\ = a{f_z}'\left( {ax + b} \right)\end{array}\)
Nên (*) đúng.
Giả sử (*) đúng với \(n = k\), nghĩa là
\(\left[ {f\left( {ax + b} \right)} \right]_x^{\left( k \right)} = {a^k}f_z^{\left( k \right)}\left( {ax + b} \right)\)
Ta chứng minh (*) đúng với \(n = k + 1\), nghĩa là:
\(\left[ {f\left( {ax + b} \right)} \right]_x^{\left( {k + 1} \right)} = {a^{k + 1}}f_z^{\left( {k + 1} \right)}\left( {ax + b} \right)\)
Thật vậy,
\(\begin{array}{l}\left[ {f\left( {ax + b} \right)} \right]_x^{\left( {k + 1} \right)}\\ = \left\{ {\left[ {f\left( {ax + b} \right)} \right]_x^{\left( k \right)}} \right\}'\\ = \left[ {{a^k}f_z^{\left( k \right)}\left( {ax + b} \right)} \right]'\\ = {a^k}.\left[ {f_z^{\left( k \right)}\left( {ax + b} \right)} \right]'\\ = {a^k}.\left( {ax + b} \right)'.f_z^{\left( {k + 1} \right)}\left( {ax + b} \right)\\ = {a^k}.a.f_z^{\left( {k + 1} \right)}\left( {ax + b} \right)\\ = {a^{k + 1}}f_z^{\left( {k + 1} \right)}\left( {ax + b} \right)\end{array}\)
Suy ra đpcm.
Câu 1: Cho hàm số y = x3 - 3x . Tập nghiệm của phương trình y' = 0 là
câu 2: Tính đạo hàm
a) y = x4/4 - x2/2 + 5
b) y = x3/3 + x2/2 - 5x -1
Câu trả lời của bạn
Cho biết có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số trong đó các chữ số cách đều số đứng giữa thì giống nhau?
Câu trả lời của bạn
Các số cần tìm có dạng \(\overline {abcba} \) với \(a \in \left\{ {1,2,...,9} \right\},\) \(b,c\in \left\{ {0,1,...,9} \right\}.\)
\(a \ne 0\) nên có \(9\) cách chọn
\(b\) có \(10\) cách chọn
\(c\) có \(10\) cách chọn
Theo quy tắc nhân có \(9.10.10 = 900\) số.
Gieo đồng thời 3 con súc sắc. Hãy cho biết có bao nhiêu khả năng xảy ra mà tổng số chấm trên mặt xuất hiện của 3 con súc sắc là 9 ?
Câu trả lời của bạn
Ta phải tìm số các bộ \(\left( {a,b,c} \right)\) với \(1 \le a \le 6;1 \le b \le 6;1 \le c \le 6\) sao cho \(a + b + c = 9.\)
Các tập ba số \(\left\{ {a,b,c} \right\}\) với \(a + b + c = 9\) là \(\left\{ {1,2,6} \right\},\left\{ {1,3,5} \right\},\left\{ {2,3,4} \right\},\left\{ {1,4,4} \right\},\)\(\left\{ {2,2,5} \right\}\) và \(\left\{ {3,3,3} \right\}.\)
TH1: tập \(\left\{ {1;2;6} \right\}\) có \(6\) bộ là:
\(\left( {1,2,6} \right),\left( {1,6,2} \right),\left( {2,1,6} \right),\)\(\left( {2,6,1} \right),\left( {6,1,2} \right),\left( {6,2,1} \right)\)
Tương tự các bộ \(\left\{ {1;3;5} \right\},\left\{ {2;3;4} \right\}\) mỗi tập có \(6\) bộ.
TH2: tập \(\left\{ {1;4;4} \right\}\) có \(3\) bộ là:
\(\left( {1;4;4} \right),\left( {4;1;4} \right),\left( {4;4;1} \right)\).
Tương tự tập \(\left\{ {2;2;5} \right\}\) cũng có \(3\) bộ.
TH3: tập \(\left\{ {3;3;3} \right\}\) chỉ có \(1\) bộ thỏa mãn.
Theo quy tắc cộng có: \(6 + 6 + 6 + 3 + 3 + 1 = 25\).
Một đoàn tàu có bốn toa đỗ ở sân ga. Có bốn hành khách bước lên tàu.Cho biết cóbao nhiêu trường hợp có thể xảy ra về cách chọn toa của bốn hành khách ?
Câu trả lời của bạn
Ta đánh số các toa tàu là 1, 2, 3, 4 và kí hiệu bốn người là A, B, C, D.
Người A có 4 cách chọn toa tàu.
Người B có 4 cách chọn toa tàu.
Người C có 4 cách chọn toa tàu.
Người D có 4 cách chọn toa tàu.
Theo quy tắc nhân có \(4.4.4.4 = 256\) trường hợp.
Một đoàn tàu có bốn toa đỗ ở sân ga. Có bốn hành khách bước lên tàu. Cho biết có bao nhiêu trường hợp mà mỗi toa có một người lên?
Câu trả lời của bạn
Người A có 4 cách chọn toa tàu.
Người B có 3 cách chọn toa tàu.
Người C có 2 cách chọn toa tàu.
Người D có 1 cách chọn toa tàu.
Theo quy tắc nhân có \(4.3.2.1 = 24\) trường hợp.
Một đoàn tàu có bốn toa đỗ ở sân ga. Có bốn hành khách bước lên tàu. Cho biết có bao nhiêu trường hợp mà một toa có ba người lên, một toa có một người lên và hai toa còn lại không có ai lên ?
Câu trả lời của bạn
Ta đánh số các toa tàu là 1, 2, 3, 4 và kí hiệu bốn người là A, B, C, D.
Mỗi tình huống tương ứng với một bộ \(\left( {a,b,c,d} \right)\) trong đó \(a,b,c,d\) theo thứ tự là số toa mà người A, B, C, D chọn \(\left( {1 \le a \le 4,1 \le b \le 4,1 \le c \le 4,1 \le d \le 4} \right)\)
Các tập hợp gồm bốn số \(\left\{ {a,b,c,d} \right\}\) có đúng ba số bằng nhau là \(\left\{ {1,1,1,2} \right\},\left\{ {1,1,1,3} \right\},\left\{ {1,1,1,4} \right\},\)
\(\left\{ {2,2,2,1} \right\},\)\(\left\{ {2,2,2,3} \right\},\left\{ {2,2,2,4} \right\},\)\(\left\{ {3,3,3,1} \right\},\left\{ {3,3,3,2} \right\},\)\(\left\{ {3,3,3,4} \right\},\)\(\left\{ {4,4,4,1} \right\},\left\{ {4,4,4,2} \right\},\left\{ {4,4,4,3} \right\}.\)
Bằng cách hoán vị các số của mỗi tập của 12 tập trên ta được số cách cần tìm là \(4.12 = 48\).
Có bao nhiêu số tự nhiên lẻ trong khoảng ( 2000 ; 3000 ) có thể tạo nên bằng các chữ số 1 , 2 ,3 ,4 ,5 ,6 nếu các chữ số của nó không nhất thiết khác nhau ?
Câu trả lời của bạn
Các số lẻ trong khoảng \(\left( {2000;3000} \right)\) có dạng \(\overline {2abc} \)
Với a và b thuộc tập \(\left\{ {1,2,3,4,5,6} \right\}\) và c thuộc \(\left\{ {1,3,5} \right\}.\)
\(a\) có \(6\) cách chọn
\(b\) có \(6\) cách chọn
\(c \in \left\{ {1;3;5} \right\}\) nên có \(3\) cách chọn.
Vậy có \(6.6.3 = 108\) số.
Có bao nhiêu số tự nhiên lẻ trong khoảng ( 2000 ; 3000 ) có thể tạo nên bằng các chữ số 1 , 2 ,3 ,4 ,5 ,6 nếu các chữ số của nó khác nhau ?
Câu trả lời của bạn
Chữ số c có 3 cách chọn.
b có \(6 - 2 = 4\) cách
a có \(6 - 3 = 3\) cách.
Vậy có \(3.4.3 = 36\) số.
Có bao nhiêu số có 3 chữ số được tạo thành từ các chữ số 2, 3, 4, 5, 6 nếu các chữ số của nó không nhất thiết khác nhau ?
Câu trả lời của bạn
Số thỏa mãn bài toán có dạng \(\overline {abc} \) với \(a,b,c \in \left\{ {2;3;4;5;6} \right\}\)
Chữ số \(a\) có \(5\) cách chọn
Chữ số \(b\) có \(5\) cách chọn
Chữ số \(c\) có \(5\) cách chọn
Vậy có \(5.5.5 = 125\) số.
Có bao nhiêu số có 3 chữ số được tạo thành từ các chữ số 2, 3, 4, 5, 6 nếu các chữ số của nó khác nhau ?
Câu trả lời của bạn
Chữ số \(a\) có \(5\) cách chọn
Chữ số \(b\) có \(4\) cách chọn
Chữ số \(c\) có \(3\) cách chọn \(5.4.3 = 60\) số.
Có bao nhiêu số có 3 chữ số được tạo thành từ các chữ số của nó hoàn toàn như nhau ?
Câu trả lời của bạn
Có \(5\) số thỏa mãn là \(22222,33333,44444,\) \(55555,66666\).
Cho biết có bao nhiêu số tự nhiên lớn hơn 4000 có 4 chữ số được tạo thành từ các chữ số 1, 3 , 5 ,7 nếu các chữ số của nó không nhất thiết khác nhau ?
Câu trả lời của bạn
Các số như vậy có dạng \(\overline {abcd} \)
Với a thuộc \(\left\{ {5,7} \right\}\) còn \(b,c\) và \(d\) thuộc \(\left\{ {1,3,5,7} \right\}\).
Chữ số \(a\) có \(2\) cách chọn
Chữ số \(b\) có \(4\) cách chọn
Chữ số \(c\) có \(4\) cách chọn
Chữ số \(d\) có \(4\) cách chọn
Vậy có \(2.4.4.4 = 128\) số.
Cho biết có bao nhiêu số tự nhiên lớn hơn 4000 có 4 chữ số được tạo thành từ các chữ số 1, 3 , 5 ,7 nếu các chữ số của nó khác nhau ?
Câu trả lời của bạn
Chữ số a có 2 cách chọn, b có 3 cách, c có 2 cách và d có 1 cách.
Vậy có \(2.3.2 = 12\) cách.
Biển đăng kí xe ô tô có 6 chữ số và hai chữ cái đầu tiên trong số 26 chữ cái ( không dùng các chữ cái I và O). Chữ số đầu tiên khác 0. Hỏi số ô tô được đăng kí nhiều nhất có thể là bao nhiêu ?
Câu trả lời của bạn
Số ô tô nhiều nhất được đăng kí là:
\({24.24.9.10^5} = {5184.10^5}\)
A. \(C_{30}^2.C_{20}^1\) B. \(C_{50}^3 - C_{20}^3\)
C. \(C_{50}^3 - C_{30}^3\) D. \(C_{50}^3.C_{30}^3\)
Câu trả lời của bạn
Số cách chọn 3 bạn bất kì là: \(C_{50}^3\) cách.
Số cách chọn 3 bạn nữ là; \(C_{20}^3\) cách.
Vậy số cách chọn 3 bạn trong đó có ít nhất 1 bạn nam là: \(C_{50}^3 - C_{20}^3\) cách.
Chọn B.
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *