Cấp số cộng là một dãy số có tính chất đặc biệt. Bài giảng này sẽ cung cấp cho các em khái niệm cấp số cộng và các dạng toán liên quan, cùng với những ví dụ minh họa có hướng dẫn giải chi tiết sẽ giúp các em dễ dàng làm chủ nội dung phần này.
Dãy số (un) được xác định bởi \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1} = a}\\{{u_{n + 1}} = {u_n} + d}\end{array}} \right.,{\rm{ }}n \in {N^*}\) gọi là cấp số cộng; \(d\) gọi là công sai.
\( \bullet \) Số hạng thứ n được cho bởi công thức: \({u_n} = {u_1} + (n - 1)d\).
\( \bullet \) Ba số hạng \({u_k},{u_{k + 1}},{u_{k + 2}}\) là ba số hạng liên tiếp của cấp số cộng khi và chỉ khi \({u_{k + 1}} = \frac{1}{2}\left( {{u_k} + {u_{k + 2}}} \right)\).
\( \bullet \) Tổng \(n\) số hạng đầu tiên \({S_n}\) được xác định bởi công thức :
\({S_n} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n} = \frac{n}{2}\left( {{u_1} + {u_n}} \right) = \frac{n}{2}\left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right]\).
Phương pháp:
\( \bullet \) Dãy số \(({u_n})\) là một cấp số cộng \( \Leftrightarrow {u_{n + 1}} - {u_n} = d\) không phụ thuộc vào n và \(d\) là công sai.
\( \bullet \) Ba số \(a,b,c\) theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng \( \Leftrightarrow a + c = 2b\).
\( \bullet \) Để xác định một cấp số cộng, ta cần xác định số hạng đầu và công sai. Do đó, ta thường biểu diễn giả thiết của bài toán qua \({u_1}\) và \(d\).
Cho CSC \(({u_n})\) thỏa : \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_2} - {u_3} + {u_5} = 10}\\{{u_4} + {u_6} = 26}\end{array}} \right.\)
a) Xác định công sai.
b) Công thức tổng quát của cấp số cộng.
c) Tính \(S = {u_1} + {u_4} + {u_7} + ... + {u_{2011}}\).
Gọi \(d\) là công sai của CSC, ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}({u_1} + d) - ({u_1} + 2d) + ({u_1} + 4d) = 10\\({u_1} + 3d) + ({u_1} + 5d) = 26\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + 3d = 10\\{u_1} + 4d = 13\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\d = 3\end{array} \right.\)
Ta có công sai \(d = 3\) và số hạng tổng quát : \({u_n} = {u_1} + (n - 1)d = 3n - 2\).
Ta có các số hạng \({u_1},{u_4},{u_7},...,{u_{2011}}\) lập thành một CSC gồm 670 số hạng với công sai \(d' = 3d\), nên ta có: \(S = \frac{{670}}{2}\left( {2{u_1} + 669d'} \right) = 673015\)
Cho cấp số cộng \(({u_n})\) thỏa: \(\left\{ \begin{array}{l}{u_5} + 3{u_3} - {u_2} = - 21\\3{u_7} - 2{u_4} = - 34\end{array} \right.\).
a) Tính số hạng thứ 100 của cấp số cộng.
b) Tính tổng 15 số hạng đầu của cấp số cộng.
c) Tính \(S = {u_4} + {u_5} + ... + {u_{30}}\).
Từ giả thiết bài toán, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} + 4d + 3({u_1} + 2d) - ({u_1} + d) = - 21\\3({u_1} + 6d) - 2({u_1} + 3d) = - 34\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + 3d = - 7\\{u_1} + 12d = - 34\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 2\\d = - 3\end{array} \right.\).
a) Số hạng thứ 100 của cấp số: \({u_{100}} = {u_1} + 99d = - 295\)
b) Tổng của 15 số hạng đầu: \({S_{15}} = \frac{{15}}{2}\left[ {2{u_1} + 14d} \right] = - 285\)
c) \(S = {S_{30}} - {S_3} = 15\left( {2{u_1} + 29d} \right) - \frac{3}{2}\left( {2{u_1} + 2d} \right) = - 1242\).
Phương pháp:
\( \bullet \) Sử dụng công thức tổng quát của cấp số, chuyển các đại lượng qua số hạng đầu và công sai, công bội.
\( \bullet \) Sử dụng tính chất của cấp số cộng: \(a,b,c\) theo thứ tự đó lập thành CSC \( \Leftrightarrow a + c = 2b\)
Chứng minh rằng các số: \(1,\sqrt 3 ,3\) không thể cùng thuộc một CSC
Giả sử \(1,\sqrt 3 ,3\) là số hạng thứ \(m,n,p\) của một CSC \(({u_n})\).
Ta có:
\(\sqrt 3 = \frac{{3 - \sqrt 3 }}{{\sqrt 3 - 1}} = \frac{{{u_p} - {u_n}}}{{{u_n} - {u_m}}} = \frac{{{u_1}(p - n)}}{{{u_1}(n - m)}} = \frac{{p - n}}{{n - m}}\) vô lí vì \(\sqrt 3 \) là số vô tỉ, còn \(\frac{{p - n}}{{n - m}}\) là số hữu tỉ.
Phương pháp: \(a,b,c\) theo thứ tự đó lập thành CSC \( \Leftrightarrow a + c = 2b\)
Tìm \(x\) biết : \({x^2} + 1,x - 2,1 - 3x\) lập thành cấp số cộng.
Ta có: \({x^2} + 1,x - 2,1 - 3x\) lập thành cấp số cộng \( \Leftrightarrow {x^2} + 1 + 1 - 3x = 2(x - 2) \Leftrightarrow {x^2} - 5x + 6 = 0 \Leftrightarrow x = 2\,;\,x = 3\)
Vậy \(x = 2,x = 3\) là những giá trị cần tìm.
Xác định m để phương trình \({x^3} - 3{x^2} - 9x + m = 0\) có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng.
Giải sử phương trình có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng.
Khi đó:\({x_1} + {x_3} = 2{x_2},{x_1} + {x_2} + {x_3} = 3 \Rightarrow {x_2} = 1\)
Thay vào phương trình ta có: \(m = 11\).
Với \(m = 11\) ta có phương trình :\({x^3} - 3{x^2} - 9x + 11 = 0\)
\( \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} - 2x - 11} \right) = 0 \Leftrightarrow {x_1} = 1 - \sqrt {12} ,{x_2} = 1,{x_3} = 1 + \sqrt {12} \)
Ba nghiệm này lập thành CSC.
Vậy \(m = 11\) là giá trị cần tìm.
Phương pháp quy nạp toán học là một dạng toán hay nhưng để làm quen các em sẽ gặp không ít khó khăn. Vì vậy trong bài học sẽ làm rõ thế nào là chứng minh quy nạp toán học? Việc vận dụng phương pháp pháp quy nạp vào giải toán sẽ được thực hiện như thế nào?
Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 11 Chương Bài 3để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.
Tìm bốn số hạng liên tiếp của một cấp số cộng biết tổng của chúng bằng \(20\) và tổng các bình phương của chúng bằng \(120^0\).
Tìm công sai của cấp số cộng (un) thỏa mãn \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_2} - {u_3} + {u_5} = 10}\\{{u_4} + {u_6} = 26}\end{array}} \right.\)
Tam giác \(ABC\) có ba góc \(A,B,C\) theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng và \(C = 5A\). Xác định số đo các góc \(A,B,C\).
Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 11 Chương Bài 3 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Giải tích 11 Cơ bản và Nâng cao.
Bài tập 1 trang 97 SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 2 trang 97 SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 3 trang 97 SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 4 trang 98 SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 5 trang 98 SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 3.18 trang 123 SBT Toán 11
Bài tập 3.19 trang 124 SBT Toán 11
Bài tập 3.20 trang 124 SBT Toán 11
Bài tập 3.21 trang 124 SBT Toán 11
Bài tập 3.22 trang 124 SBT Toán 11
Bài tập 3.23 trang 124 SBT Toán 11
Bài tập 3.24 trang 124 SBT Toán 11
Bài tập 3.25 trang 124 SBT Toán 11
Bài tập 3.26 trang 124 SBT Toán 11
Bài tập 19 trang 114 SGK Toán 11 NC
Bài tập 20 trang 114 SGK Toán 11 NC
Bài tập 21 trang 114 SGK Toán 11 NC
Bài tập 22 trang 115 SGK Toán 11 NC
Bài tập 23 trang 115 SGK Toán 11 NC
Bài tập 24 trang 115 SGK Toán 11 NC
Bài tập 25 trang 115 SGK Toán 11 NC
Bài tập 26 trang 115 SGK Toán 11 NC
Bài tập 27 trang 115 SGK Toán 11 NC
Bài tập 28 trang 116 SGK Toán 11 NC
Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán DapAnHay sẽ sớm trả lời cho các em.
-- Mod Toán Học 11 DapAnHay
Tìm bốn số hạng liên tiếp của một cấp số cộng biết tổng của chúng bằng \(20\) và tổng các bình phương của chúng bằng \(120^0\).
Tìm công sai của cấp số cộng (un) thỏa mãn \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_2} - {u_3} + {u_5} = 10}\\{{u_4} + {u_6} = 26}\end{array}} \right.\)
Tam giác \(ABC\) có ba góc \(A,B,C\) theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng và \(C = 5A\). Xác định số đo các góc \(A,B,C\).
Phương trình \({x^4} - 2\left( {m + 1} \right){x^2} + 2m + 1 = 0\) (1) có bốn nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng.
Xét xem các dãy số \({u_n} = 3n + 1\) có phải là cấp số cộng hay không? Nếu phải hãy xác định công sai.
Cho cấp số cộng có 8 số hạng. Số hạng đầu bằng 3, số hạng cuối bằng 24. Tính tổng các số hạng này
Cho các dãy số sau, dãy số nào là cấp số cộng?
Cho 4 số lập phương thành cấp số cộng. Tổng của chúng bằng 22. Tổng các bình phương của chúng bằng 166. Tổng các lập phương của chúng bằng:
Tìm x biết 1+3 +5+...+x =64
Cho hai cấp số cộng (un): 4,7,10,13,16,...và (vn):1,6,11,16,21,...Hỏi trong 100 số hạng đầu tiên của mỗi cấp số cộng, có bao nhiêu số hạng chung?
Trong các dãy số sau đây, dãy số nào là cấp số cộng? Tính số hạng đầu và công sai của nó:
a) \(u_n = 5 - 2n\);
b) \(u_n =\frac{n}{2}-1\);
c) \(u_n = 3^n\);
d) \(u_n =\frac{7-3n}{2}\)
Tìm số hạng đầu và công sai của các cấp số cộng sau, biết:
a) \(\left\{\begin{matrix} u_{1}-u_{3}+u_{5}=10\\ u_{1}+u_{6=17} \end{matrix}\right.\)
b) \(\left\{\begin{matrix} u_{7}-u_{3}=8\\ u_{2}.u_{7}=75 \end{matrix}\right.\).
Trong các bài toán về cấp số cộng, ta thường gặp năm đại lượng \(u_1, n, d, u_n, S_n.\)
a) Hãy viết các hệ thức liên hệ giữa các đại lượng để có thể tìm được các đại lượng còn lại?
b) Lập bảng theo mẫu sau và điền vào chỗ trống thích hợp:
Mặt sàn tầng một của một ngôi nhà cao hơn mặt sân 0,5 m. Cầu thang đi từ tầng một lên tầng 2 gồm 21 bậc, mỗi bậc cao 18 cm.
a) Hãy viết công thức để tìm độ cao của một bậc tuỳ ý so với mặt sân.
b) Tính độ cao của sàn tầng hai so với mặt sân.
Từ giờ đến 12 giờ trưa, đồng hồ đánh bao nhiêu tiếng, nếu nó chỉ đánh chuông báo giờ và số tiếng chuông bằng số giờ
Cho dãy số (un) với un = 1 - 7n
a) Khảo sát tính tăng, giảm của dãy số ;
b) Chứng minh dãy số trên là cấp số cộng. Lập công thức truy hồi của dãy số ;
c) Tính tổng 100 số hạng đầu của dãy số.
Trong các dãy số (un) sau đây, dãy số nào là cấp số cộng?
a) un = 3n − 1;
b) un = 2n + 1;
c) un = (n+1)2 − n2;
d) \(\left\{ \begin{array}{l}
{u_1} = 3\\
{u_{n + 1}} = 1 - {u_n}
\end{array} \right.\)
Tính số hạng đầu u1 và công sai d của cấp số cộng (un) biết :
a) \(\left\{ \begin{array}{l}
{u_1} + 2{u_5} = 0\\
{S_4} = 14
\end{array} \right.\)
b) \(\left\{ \begin{array}{l}
{u_4} = 10\\
{u_7} = 19
\end{array} \right.\)
c) \(\left\{ \begin{array}{l}
{u_1} + {u_5} - {u_3} = 10\\
{u_1} + {u_6} = 7
\end{array} \right.\)
d) \(\left\{ \begin{array}{l}
{u_7} - {u_3} = 8\\
{u_2}.{u_1} = 75
\end{array} \right.\)
Tính số các số hạng của cấp số cộng (an), nếu
\(\left\{ \begin{array}{l}
{a_2} + {a_4} + ... + {a_{2n}} = 126\\
{a_2} + {a_{2n}} = 42
\end{array} \right.\)
Tìm cấp số cộng (un) biết
a) \(\left\{ \begin{array}{l}
{u_1} + {u_2} + {u_3} = 27\\
u_1^2 + u_2^2 + u_3^2 = 275
\end{array} \right.\)
b) \(\left\{ \begin{array}{l}
{u_1} + {u_2} + ... + {u_n} = a\\
u_1^2 + u_2^2 + ... + u_n^2 = {b^2}
\end{array} \right.\)
Tìm x từ phương trình
a) 2 + 7 + 12 + ... + x = 245, biết 2, 7, 12, ..., x là cấp số cộng.
b) (2x + 1) + (2x + 6) + (2x + 11) + ... + (2x + 96) = 1010 biết 1, 6, 11, ... là cấp số cộng.
Hãy chọn cấp số cộng trong các dãy số (un) sau:
A. \({u_n} = {2^n} + 1\)
B. \({u_n} = \frac{{{3^n}}}{n}\)
C. \(u_n=5n\)
D. \(\left\{ \begin{array}{l}
{u_1} = 1\\
{u_{n + 1}} = {u_n} + n,\,\,n \ge 1
\end{array} \right.\)
Cho cấp số cộng u1 = -2; u19 = 52. Tổng của 20 số hạng đầu là:
A. 1060 B. -570 C. 530 D. -530
Cho cấp số cộng 5, x, y, 17. Khi đó:
A. x = 9; y = 12 B. x = 8; y = 14
C. x = 7; y = 12 D. x = 9; y = 13
Chứng minh rằng mỗi dãy số sau là một cấp số cộng và hãy xác định công sai của cấp số cộng đó:
a. Dãy số (un) với un = 19n–5;
b. Dãy số (un) với un = an+b, trong đó a và b là các hằng số.
Trên tia Ox lấy ác điểm A1, A2, …, An,… sao cho mỗi số nguyên dương n, OAn = n. Trong cùng một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng chứa tia Ox, vẽ các nửa đường tròn đường kính OAn, n= 1,2,… Kí hiệu là diện tích của nửa hình tròn đường kính OA1 và với mỗi n ≥ 2, kí hiệu un là diện tích của hình giới hạn bởi nửa đường tròn đường kính OAn -1 , nửa đường tròn đường kính OAn và tia Ox. Chứng minh rằng dãy số (un) là một cấp số cộng. Hãy xác định công sai của cấp số cộng đó.
Trong mỗi câu sau, hãy đánh dấu “x” vào phần kết luận mà em cho là đúng :
a. Mỗi cấp số cộng với công sai d>0d>0 là một dãy số
Tăng
Giảm
Không tăng cũng không giảm.
b. Mỗi cấp số cộng với công sai d<0d<0 là một dãy số
Tăng
Giảm
Không tăng cũng không giảm.
Một cấp số cộng có năm số hạng mà tổng của số hạng đầu và số hạng thứ ba bằng 28, tổng của số hạng thứ ba và số hạng cuối bằng 40. Hãy tìm cấp số cộng đó.
Cho cấp số cộng (un) có u20 = − 52 và u51 = − 145. Hãy tìm số hạng tổng quát của cấp số cộng đó.
Cho cấp số cộng (un) với công sai d và cho các số nguyên dương m và k, với m ≥ k. Chứng minh rằng um = uk+(m−k)d.
Áp dụng: Hãy tìm công sai d của cấp số cộng (un) mà u18 − u3 = 75.
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
Cho phương trình \(x^4+3x^2-\left(24+m\right)x-26-n=0\), tìm hệ thức liên hệ giữa m và n để 3 nghiệm phân biệt \(x_1,x_2,x_3\) lập thành một cấp số cộng ?
Câu trả lời của bạn
Vì 3 nghiệm phân biệt : \(x_1,x_2,x_3\) lập thàng cấp số cộng, nên ta có thể đặt :
\(x_1=x_0-d,x_2=x_0;x_3=x_0+d\left(d\ne0\right)\). Theo giả thiết ta có :
\(x^3+3x^2-\left(24+m\right)x-26-n=\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)\left(x-x_3\right)\)
\(=\left(x-x_0+d\right)\left(x-x_0\right)\left(x-x_0-d\right)\)
\(=x^3-3x_0x^2+\left(3x^2_0-d^2\right)x-x^3_0+x_0d^2\) với mọi x
Đồng nhất hệ số ở hai vế của phương trình ta có hệ :
\(\begin{cases}-3x_0=3\\3x_0^2-d^2=-\left(24+m\right)\\-x_0^3+x_0d^2=-26-n\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}x_0=-1\\3-d^2=-24-m\\1-d^2=-26-n\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}x_0=-1\\m=n\end{cases}\)
Vậy với m = n thì 3 nghiệm phân biệt của phương trình lập thành cấp số cộng
Cho một dãy số các số hạng đầu tiên là 1,8,22,43,..... HIệu của hai số hạng liên tiếp của dãy số đó lập thành một cấp số cộng : 7,14,21,....., 7n. số 35351 là số hạng thứ mấy của cấp số đã cho ?
Câu trả lời của bạn
Theo đầu bài ta có :
\(\begin{cases}u_2-u_1=7\\u_3-u_2=14\\u_4-u_3=21.......\\....u_n-u_{n-1}=7\left(n-1\right)\end{cases}\)
Cộng các vế của các phương trình của hệ, ta được :
\(\Leftrightarrow u_n-u_1=7+14+21+.....+7\left(n-1\right)=7\frac{n\left(n-1\right)}{2}\left(1\right)\)
Đặt \(u_n=35351\Rightarrow\left(1\right)\Leftrightarrow35351-1=7\frac{n\left(n-1\right)}{2}\)
\(\Leftrightarrow n^2-n-10100=0\rightarrow n=101\)
Do đó 35351 là số hạng thứ 101 của dãy số
Tính tổng của n số hạng \(T_n=105+110+115+....+995\)
Câu trả lời của bạn
Ta có : \(a_1=105;a_2=110\Rightarrow d=5;a_n=995\)
mà \(a_n=a_1+\left(n-1\right)d\Rightarrow995=105+\left(n-1\right)5\)
\(\Rightarrow S=\frac{n\left(a_1+a_n\right)}{2}=98450\)
what
Cho một cấp số cộng \(u_1,u_2,u_3,u_4\).Chứng minh rằng nếu \(\left|u_1u_4-u_2u_3\right|\le6\) thì biểu thức \(A=\sqrt{\left(x-u_1\right)\left(x-u_2\right)\left(x-u_3\right)\left(x-u_4\right)+9}\) có nghĩa với mọi x ?
Câu trả lời của bạn
Theo tính chất của cấp số cộng, ta có \(u_1+u_4=u_2+u_3\)
Do đó : \(\Leftrightarrow\left(x-u_1\right)\left(x-u_2\right)\left(x-u_3\right)\left(x-u_4\right)=\left[x^2-\left(u_1-u_4\right)x+u_1u_4\right]\left[x^2-\left(u_2-u_3\right)x+u_2u_3\right]\)(*)
Đặt \(t=x^2-\left(u_1+u_4\right)x=x^2-\left(u_2+u_3\right)x\)
Khi đó (*) \(\Leftrightarrow f\left(t\right)=\left(t+u_1u_4\right)\left(t+u_2u_3\right)+9=t^2+\left(u_1u_4+u_2u_3\right)t+u_1u_4u_2u_3+9\)
Với \(\Delta_t=\left(u_1u_4+u_2u_3\right)^2-4u_1u_4u_2u_3-36=\left(u_1u_4+u_2u_3\right)^2-36\)
Rõ ràng \(\left|u_1u_4-u_2u_3\right|\le6\Rightarrow\Delta_t<0\leftrightarrow f\left(t\right)>0\)với mọi t
<=> A có nghĩa với mọi x
Với giá trị nào của a, ta có thể tìm được các giá trị của x để các số : \(5^{x+1}+5^{1-x}.\frac{a}{2},25^x+25^{-x}\), lập thành một cấp số cộng ?
Câu trả lời của bạn
Để 3 số hạng đó lập thành cấp số cộng, ta có :
\(\left(5^{1+x}+5^{1-x}\right)+\left(25^x+25^{-x}\right)=2\left(\frac{a}{2}\right)\)
\(\Leftrightarrow a=5\left(5^x+\frac{1}{5^x}\right)+\left(5^{2x}+\frac{1}{5^{2x}}\right)\)
Theo bất đẳng thức côsi, ta có : \(5^x+\frac{1}{5^x}\ge2\sqrt{1}=2,5^{2x}+\frac{1}{5^{2x}}\ge2\)
\(\Rightarrow a\ge5.2+2=12\)
Vậy với : \(a\ge12\), thì 3 số đó lập thành cấp số cộng.
Tính tổng : \(S=\left(2+\frac{1}{2}\right)^2+\left(4+\frac{1}{4}\right)^2+...+\left(2^n+\frac{1}{2^n}\right)^2\)
Câu trả lời của bạn
Ta có : \(S=\left(4+2+\frac{1}{4}\right)+\left(16+2+\frac{1}{16}\right)+..+\left(2^{2n}+2+\frac{1}{2^{2n}}\right)\)
\(=\left(4+16+...+2^{2n}\right)+2n+\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{16}+.....+\frac{1}{2^{2n}}\right)\)
Áp dụng công thức tính tổng của n số hạng đầu của một cấp số nhân \(S_n=u_1\frac{q^n-1}{q-1}\)
\(S=4.\frac{4^{n-1}}{3}+2n+\frac{1}{4}.\frac{2^{\frac{1}{2n}}-1}{\frac{1}{4}-1}=4.\frac{4^n-1}{3}+2n+\frac{1}{3}.\frac{2^{2n}-1}{2^{2n}}\)
\(=2n+\frac{4^n-1}{3}.\frac{4.4^n+1}{4^n}=2n+\frac{\left(4^n-1\right)\left(4^{n+1}+1\right)}{3.4^n}\)
Xen vào giữa 2 số 4 và 40 bốn số để được một cấp số cộng. Tìm 4 số đó ?
Câu trả lời của bạn
Nếu xen 4 số vào giữa 2 số để được một cấp số cộng thì cấp số đó có 6 số hạng. Theo đầu bài ta có :
\(u_1=4,u_6=40\Rightarrow40=4+5d\)
\(\Leftrightarrow d=\frac{40-4}{5}=7,2\)
Vậy 4 số thêm vào là : 4+7,2=11,2 ; 18,4 ; 25,6 ; 32,8
chứng minh định lý 3 bài cấp số cộng ( đại số 11 nâng cao , chương 3 )
Giả sử (un) là một cấp số cộng. Với mỗi số nguyên dương n, gọi Sn là tổng n số hạng đầu tiên của nó (Sn=u1+u2+...+un). Khi đó ta có: Sn=\(\frac{\left(u_1+u_n\right)n}{2}\)
Câu trả lời của bạn
\(\left\{\begin{matrix}S=U_1+U_2+U_3+...+U_{\left(n-2\right)}+U_{\left(n-1\right)}+U_n\left(a\right)\\S=U_{\left(n\right)}+U_{\left(n-1\right)}+U_{\left(n-2\right)}+...+U_3+U_3+U_1\left(b\right)\end{matrix}\right.\)(1)
Lấy (a) công (b) theo thứ tự ta có
\(S+S=\left(U_1+U_n\right)+\left(U_2+U_{\left(n-1\right)}\right)+...+\left(U_{\left(n-1\right)}+U_2\right)+\left(U_n+U_1\right)\)(2)
Do cấp công là cấp số biến đổi đều do vậy tất cả các số hạng (...) của (2) đều bằng nhau nghĩa là:
\(\left(U_1+U_n\right)=\left(U_2+U_{\left(n-1\right)}\right)=\left(U_{\left(n-1\right)}+U_2\right)=\left(U_n+U_1\right)\)
Số các cặp (....) đúng bằng số số hạng của dẫy =n
Vậy ta có: (2) \(\Leftrightarrow2S=\left(U_1+U_n\right)n=\left(U_2+U_{n-1}\right)n=...\Rightarrow S=\frac{\left(U_1+U_n\right)n}{2}\Rightarrow dpcm\)
p/s: cái này mình nội suy từ kiến thức lớp 6.
Nghe lời như vầy có phải dễ thương hơn không :3
Gọi công sai của cấp số cộng đó là d và số đầu tiên là u1 thì ta có:
\(\left\{\begin{matrix}u_2=u_1+d\\u_3=u_1+2d\\...\\u_n=u_1+\left(n-1\right)d\end{matrix}\right.\)
Ta có: \(S_n=u_1+u_2+u_3...+u_n\)
\(=u_1+u_1+d+u_1+2d+...+u_1+\left(n-1\right)d\)
\(=n.u_1+d\left(1+2+...+\left(n-1\right)\right)\)
\(=n.u_1+\frac{\left(n-1\right).n.d}{2}\)
\(=\frac{n}{2}\left(2u_1+\left(n-1\right)d\right)\)
\(=\frac{n\left(u_1+u_n\right)}{2}\)
Tam giác ABC có \(\cot A,\cot B,\cot C\) theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng. Hãy chứng minh rằng \(a^2,b^2,c^2\) theo thứ tự đó cũng lập thành một cấp số cộng ?
Câu trả lời của bạn
Theo giả thiết ta có : \(\cot A+\cot C=2\cot B\)
\(\Leftrightarrow\frac{\sin\left(A+C\right)}{\sin A\sin C}=\frac{2\cos B}{\sin B}\)
\(\Leftrightarrow\sin^2B=2\sin B\sin C\cos B=\left[\cos\left(A-C\right)-\cos\left(A+C\right)\right]\cos B\)
\(\Leftrightarrow\sin^2B=\cos\left(A-C\right)\cos B-\cos\left(A+C\right)\cos B=-\cos\left(A-C\right)\cos\left(A+C\right)+\cos^2B\)
\(\Leftrightarrow\sin^2B=-\frac{1}{2}\left(\cos2A+\cos2C\right)+1-\sin^2B=-\frac{1}{2}\left(1-2\sin^2A+1-2\sin^2C\right)+1-\sin^2B\)
\(\Rightarrow2\sin^2B=\sin^2A+\sin^2C\Leftrightarrow2b^2=a^2+c^2\)
Vậy chứng tỏ \(a^2,b^2,c^2\) theo thứ tự đó cũng lập thành một cấp số cộng
Cho tam giác ABC có \(\cot\frac{A}{2},\cot\frac{B}{2},\cot\frac{C}{2}\) theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng. Hãy chứng minh rằng 3 cạnh a, b, c đó cũng lập thành cấp số cộng ?
Câu trả lời của bạn
Theo đầu bài ta có : \(\cot\frac{A}{2}+\cot\frac{C}{2}=2\cot\frac{B}{2}\Leftrightarrow\frac{\sin\frac{A+C}{2}}{\sin\frac{A}{2}\sin\frac{C}{2}}=2\frac{\cos\frac{B}{2}}{\sin\frac{B}{2}}=2\frac{\sin\frac{A+C}{2}}{\cos\frac{A+C}{2}}\)
\(\Leftrightarrow\sin\left(\frac{A+C}{2}\right)\cos\left(\frac{A+C}{2}\right)=2\sin\frac{A}{2}\sin\frac{C}{2}\sin\frac{A+C}{2}=\left(\cos\frac{A-C}{2}-\cos\frac{A+C}{2}\right)\sin\frac{A+C}{2}\)
\(\Leftrightarrow2\sin\frac{A+C}{2}\cos\frac{A+C}{2}=\cos\frac{A-C}{2}\sin\frac{A+C}{2}\)
\(\Leftrightarrow2\sin\left(A+C\right)=\frac{1}{2}\left(\sin A+\sin C\right)\)
\(\Leftrightarrow\sin A+\sin C=2\sin B\Rightarrow a+c=2b\)
Chứng tỏ 3 cạnh của tam giác lập thành cấp số cộng
Cho tam giác ABC, có 3 cạnh a, b, c, theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng. Hãy chứng minh rằng : \(\cot\frac{A}{2}.\cot\frac{C}{2}=3\)
Câu trả lời của bạn
Nếu 3 cạnh a, b, c lập thành cấp số cộng thì ta có a + c = 2b
\(\Leftrightarrow\sin A+\sin C=2\sin B\Leftrightarrow2\sin\frac{A+C}{2}\cos\frac{A-C}{2}=4\sin\frac{B}{2}\cos\frac{B}{2}\left(1\right)\)
Vì \(A+C=180^0-B\Rightarrow\frac{A+C}{2}=90^0-\frac{B}{2}\)
<=> \(\sin\frac{A+C}{2}=\sin\left(90^0-\frac{B}{2}\right)=\cos\frac{B}{2}\) hoặc \(\cos\frac{A+C}{2}=\cos\left(90^0-\frac{B}{2}\right)=\sin\frac{B}{2}\) (*)
Do đó (1) trở thành :
\(\Leftrightarrow\sin\frac{A+C}{2}\cos\frac{A-C}{2}=2\sin\frac{A+C}{2}\cos\frac{A+C}{2}\)
\(\Leftrightarrow\cos\frac{A-C}{2}=2\sin\frac{B}{2}\)
\(\Leftrightarrow\cos\frac{A-C}{2}=2\cos\frac{A+C}{2}\)
\(\Leftrightarrow\cos\frac{A}{2}\cos\frac{C}{2}+\sin\frac{A}{2}\sin\frac{C}{2}=2\cos\frac{A}{2}\cos\frac{C}{2}-2\sin\frac{A}{2}\sin\frac{C}{2}\)
\(\Leftrightarrow\cos\frac{A}{2}\cos\frac{C}{2}=3\sin\frac{A}{2}\sin\frac{C}{2}\)
\(\Leftrightarrow\cot\frac{A}{2}\cot\frac{C}{2}=3\) => Điều phải chứng minh
Chứng minh rằng, nếu \(\log_xa;\log_yb;\log_zc\) tạo thành một cấp số cộng (theo thứ tự đó) thì :
\(\log_by=\frac{2\log_ax\log_cz}{\log_ax+\log_cz}\) (\(0 < x, y, z, a, b, c\)\(\ne1\))
Câu trả lời của bạn
Theo giả thiết :
\(\Leftrightarrow\log_xa+\log_zc=2\log_yb\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{\log_ax}+\frac{1}{\log_cz}=\frac{2}{\log_by}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{\log y_b}=\frac{2\log_ax.\log_cz}{\log_ax+\log_cz}\)
\(\Rightarrow\) Điều phải chứng minh
Tính số hạng đầu \(u_1\) và công sai d của cấp số cộng \(\left(u_n\right)\), biết :
a) \(\left\{{}\begin{matrix}u_1+2u_5=0\\S_4=14\end{matrix}\right.\)
b) \(\left\{{}\begin{matrix}u_4=10\\u_7=19\end{matrix}\right.\)
c) \(\left\{{}\begin{matrix}u_1+u_5-u_3=10\\u_1+u_6=7\end{matrix}\right.\)
d) \(\left\{{}\begin{matrix}u_7-u_3=8\\u_2u_7=75\end{matrix}\right.\)
Câu trả lời của bạn
b) Gọi số hạng đầu và công sai của cấp số cộng làn lượt là \(u_1\) d. Ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}u_1+3d=10\\u_1+6d=19\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}u_1=1\\d=3\end{matrix}\right.\).
c) Gọi số hạng đầu và công sai của cấp số cộng lần lượt là \(u_1\) và d. Ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}u_1+u_1+4d-u_1-2d=10\\u_1+u_1+5d=7\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}u_1+2d=10\\2u_1+5d=7\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}u_1=36\\d=-13\end{matrix}\right.\).
d) Gọi số hạng đầu và công sai của cấp số cộng lần lượt là \(u_1\) và d. Ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}u_1+6d-\left(u_1+2d\right)=8\\\left(u_1+d\right)\left(u_1+6d\right)=75\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}4d=8\\\left(u_1+d\right)\left(u_1+6d\right)=75\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}d=2\\\left(u_1+2\right)\left(u_1+12\right)=75\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}d=2\\u^2_1+14u_1-51=0\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}d=\\\left[{}\begin{matrix}u_1=3\\u_1=-17\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)
Vậy có hai cấp số cộng thỏa mãn là: \(\left\{{}\begin{matrix}d=2\\u_1=3\end{matrix}\right.\) và \(\left\{{}\begin{matrix}d=2\\u_1=-17\end{matrix}\right.\).
hãy tìm 3 số hạng đầu của 1 cấp số cộng , biết :
\(\left\{\begin{matrix}u_1+u_2+u_3=-3\\u_1^2+u_2^2+u_3^2=35\end{matrix}\right.\)
Câu trả lời của bạn
Gọi d là công sai của cấp số nhân thì ta có
\(\left\{\begin{matrix}u_2=u_1+d\\u_3=u_1+2d\end{matrix}\right.\)
Theo đề bài ta có: \(\left\{\begin{matrix}u_1+u_2+u_3=-3\\u^2_1+u_2^2+u^2_3=35\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}u_1+u_1+d+u_1+2d=-3\\u^2_1+\left(u_1+d\right)^2+\left(u_1+2d\right)^2=35\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}u_1+d=-1\\u^2_1+\left(u_1+d\right)^2+\left(u_1+2d\right)^2=35\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}u_1=-1-d\\\left(-1-d\right)^2+\left(-1\right)^2+\left(-1+d\right)^2=35\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}u_1=-1-d\\d^2=16\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}u_1=-5\\d=4\end{matrix}\right.\) hoặc \(\left\{\begin{matrix}u_1=3\\d=-4\end{matrix}\right.\)
Vậy ba số hạng đầu của cấp số cộng đó là: - 5; - 1; 3 hoặc 3; - 1; - 5
tính tổng : S = 12-22+32-42+52-62+...+20112-20122
Câu trả lời của bạn
\(S=1^2-2^2+3^2-4^2+...+2011^2-2012^2\)
\(=\left(1^2-2^2\right)+\left(3^2-4^2\right)+...+\left(2011^2-2012^2\right)\)
\(=-3-7-...-4023\)
\(=-\frac{1006.4026}{2}=-2025078\)
Ba số khác nhau có tổng bằng 114 có thể coi là ba số hạng liên tiếp của một cấp số nhân, hoặc coi là số hạng thứ nhất, thứ tư và thứ hai mươi lăm của một cấp số cộng. Tìm các số đó ?
Câu trả lời của bạn
Gọi 3 số đó là: \(a,b,c\). Theo bài ra ta có:\(\left\{{}\begin{matrix}a+b+c=114\\b^2=ac\end{matrix}\right.\). (*)
Mặt khác nó lần lượt là số hạng thứ nhất, thứ tư và thứ hai mươi lăm của một cấp số cộng nên: \(a=u_1;b=u_1+3d;c=u_1+24d\). ( với \(u_1\) là số hạng đầu của cấp số cộng, d là công sai).
Thay vào (*) ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}u_1+u_1+3d+u_1+24d=114\\\left(u_1+3d\right)^2=u_1\left(u_1+24d\right)\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}u_1+9d=38\\18u_1d-9d^2=0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}u_1+9d=38\\9d\left(2u_1-d\right)=0\end{matrix}\right.\).
Nếu \(d=0\) thì a,b,c là ba số hạng của một cấp số cộng không đổi nên \(a=b=c=\sqrt[3]{114}\).
Nếu \(d\ne0\) suy ra: \(\left\{{}\begin{matrix}u_1+9d=38\\2u_1-d=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}u_1=2\\d=4\end{matrix}\right.\).
Khi đó \(a=2;b=2+3.4=16;c=2+24.3=74\).
Tìm \(x\) từ phương trình :
a) \(2+7+12+....+x=245,\) biết \(2,7,12,....,x\) là cấp số cộng
b) \(\left(2x+1\right)+\left(2x+6\right)+\left(2x+11\right)+.....+\left(2x+96\right)=1010\)biết 1, 6, 11, .... là cấp số cộng
Câu trả lời của bạn
Bài làm
a)dãy số U: \(2,7,12,...x\)
U là cấp số cộng\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}d=u_2-u_1=7-2=5\\u_1=2\end{matrix}\right.\)
\(U_n=U_1+\left(n-1\right)d\)
=> \(n=\dfrac{U_n-U_1}{d}+1=\dfrac{x-2}{5}+1=\dfrac{\left(x+3\right)}{5}\)
\(S_n=\dfrac{n\left(U_1+U_n\right)}{2}=\dfrac{\dfrac{\left(x+3\right)}{5}\left(2+x\right)}{2}=\dfrac{\left(x+3\right)\left(x+2\right)}{2.5}=245\)
\(x^2+5x+6=2450\)
\(x^2+5x-2444=0\)
\(\Delta=5^2-4.\left(-2444\right)=9801=\)99^2
\(\left\{{}\begin{matrix}x_1=\dfrac{-5-99}{2}< 0\left(loai\right)\\x_2=\dfrac{-5+99}{2}=47\end{matrix}\right.\)
Đáp số: x=47
Cho 3 góc \(\alpha,\beta,\gamma\) tạo thành một cấp số cộng theo thứ tự đó với công sai \(d=\dfrac{\pi}{3}\). Chứng minh :
a) \(\tan\alpha.\tan\beta+\tan\beta\tan\gamma+\tan\gamma.\tan\alpha=-3\)
b) \(4\cos\alpha.\cos\beta\cos\gamma=\cos3\beta\)
Câu trả lời của bạn
Theo giả thiết ta có 3 góc: \(\alpha;\beta=\alpha+\dfrac{\pi}{3};\gamma=\alpha+\dfrac{2\pi}{3}\).
Ta có:
\(tan\alpha.tan\left(\alpha+\dfrac{\pi}{3}\right)+tan\left(\alpha+\dfrac{\pi}{3}\right).tan\left(\alpha+\dfrac{2\pi}{3}\right)+\)\(tan\left(\alpha+\dfrac{2\pi}{3}\right).tan\alpha\)
\(=tan\alpha\left[tan\left(\alpha+\dfrac{\pi}{3}\right)+tan\left(\alpha+\dfrac{2\pi}{3}\right)\right]\)\(+tan\left(a+\dfrac{\pi}{3}\right)tan\left(\alpha+\dfrac{2\pi}{3}\right)\)
\(=tan\alpha\dfrac{sin\left(2\alpha+\pi\right)}{cos\left(\alpha+\dfrac{\pi}{3}\right)cos\left(\alpha+\dfrac{2\pi}{3}\right)}\)\(+\dfrac{sin\left(\alpha+\dfrac{\pi}{3}\right)sin\left(\alpha+\dfrac{2\pi}{3}\right)}{cos\left(\alpha+\dfrac{\pi}{3}\right)cos\left(\alpha+\dfrac{2\pi}{3}\right)}\)
\(=tan\alpha\dfrac{-sin2\alpha}{cos\left(\alpha+\dfrac{\pi}{3}\right)cos\left(\alpha+\dfrac{2\pi}{3}\right)}\)\(+\dfrac{cos\dfrac{\pi}{3}-cos\left(2\alpha+\pi\right)}{2cos\left(\alpha+\dfrac{\pi}{3}\right)cos\left(\alpha+\dfrac{2\pi}{3}\right)}\)
\(=\dfrac{-2sin^2\alpha}{cos\left(\alpha+\dfrac{\pi}{3}\right)cos\left(\alpha+\dfrac{2\pi}{3}\right)}\)\(+\dfrac{\dfrac{1}{2}+cos2\alpha}{2cos\left(\alpha+\dfrac{\pi}{3}\right)cos\left(\alpha+\dfrac{2\pi}{3}\right)}\)
\(=\dfrac{\dfrac{1}{2}-4sin^2\alpha+cos2\alpha}{2cos\left(\alpha+\dfrac{\pi}{3}\right)cos\left(\alpha+\dfrac{2\pi}{3}\right)}\)
\(=\dfrac{\dfrac{1}{2}-4\left(1-cos^2\alpha\right)+2cos^2\alpha-1}{cos\dfrac{\pi}{3}+cos\left(2\alpha+\pi\right)}\)
\(=\dfrac{6cos^2\alpha-\dfrac{9}{2}}{\dfrac{1}{2}-cos2\alpha}\)
\(=\dfrac{3\left(2cos^2\alpha-\dfrac{3}{2}\right)}{\dfrac{1}{2}-\left(2cos^2\alpha-1\right)}=\dfrac{3\left(2cos^2\alpha-\dfrac{3}{2}\right)}{\dfrac{3}{2}-2cos^2\alpha}=-3\).
Tìm k\(\in\) N biết:
\(x^2y^3\)+\(3x^2y^3\)+\(5x^2y^3\)+...+(2k-1)\(x^2y^3\)=100\(x^2y^3\)
Nhanh nhá mình đang cần gấp mai nộp!!!!!
Câu trả lời của bạn
Ta có:
\(x^2y^3+3x^2y^3+5x^2y^3+...+\left(2k-1\right)x^2y^3=100x^2y^3\)
\(\Rightarrow\left[1+3+5+...+\left(2k-1\right)\right]x^2y^3=100x^2y^3\)
\(\Rightarrow1+3+5+...+\left(2k-1\right)=100\)
Từ 1 đến 2k-1 có số lượng số là: (2k-1-1):2+1=(2k-2):2+1=k-1+1=k
Áp dụng công thức tính tổng dãy số cách đều ta có:
\(\Rightarrow\dfrac{\left(2k-1+1\right).k}{2}=100\)
\(\Rightarrow\dfrac{2k^2}{2}=100\)
\(\Rightarrow k^2=100\Rightarrow k=\pm10\)( chọn vì thoả mãn điều kiện \(k\in N\))
Vậy \(k=\pm10\)
Chúc bạn học tốt!!!
cho phương trình : -x^4+2ax^2+2x=2a+1 có 4 nghiệm lập thành cấp số cộng khi a dương . Tìm a
Câu trả lời của bạn
Vì 4 nghiệm lập thành cấp số cộng nên nếu cấp số cộng đó có số hạng đầu tiên là t và công sai là d thì 4 nghiệm đó lần lược là: t; t + d; t + 2d; t + 3d
\(\Rightarrow x^4-2ax^2-2x+2a+1=\left(x-t\right)\left(x-t-d\right)\left(x-t-2d\right)\left(x-t-3d\right)\)
\(=x^4+\left(-4t-6d\right)x^3+\left(6t^2+18dt+11d^2\right)x^2+\left(-4t^3-18dt^2-22d^2t-6d^3\right)x+\left(t^4+6dt^3+11d^2t^2+6d^3t\right)\)
Đồng nhất thức 2 vế ta được
\(\left\{\begin{matrix}-4t-6d=0\\6t^2+18dt+11d^2=-2a\\-4t^3-18dt^2-22d^2t-6d^3=-2\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}t=-1,5d\left(1\right)\\6t^2+18dt+11d^2=-2a\left(2\right)\\-4t^3-18dt^2-22d^2t-6d^3=-2\left(3\right)\end{matrix}\right.\)
Thế (1) vào (3) ta được: \(13,5d^3-40,5d^3+33d^3-6d^3=-2\)
\(\Leftrightarrow0d^3=-2\) (vô nghiệm)
Vậy không tồn tại 4 nghiệm thỏa mãn cái trên
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *