Cấp số cộng là một dãy số có tính chất đặc biệt. Bài giảng này sẽ cung cấp cho các em khái niệm cấp số cộng và các dạng toán liên quan, cùng với những ví dụ minh họa có hướng dẫn giải chi tiết sẽ giúp các em dễ dàng làm chủ nội dung phần này.
Dãy số (un) được xác định bởi \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1} = a}\\{{u_{n + 1}} = {u_n} + d}\end{array}} \right.,{\rm{ }}n \in {N^*}\) gọi là cấp số cộng; \(d\) gọi là công sai.
\( \bullet \) Số hạng thứ n được cho bởi công thức: \({u_n} = {u_1} + (n - 1)d\).
\( \bullet \) Ba số hạng \({u_k},{u_{k + 1}},{u_{k + 2}}\) là ba số hạng liên tiếp của cấp số cộng khi và chỉ khi \({u_{k + 1}} = \frac{1}{2}\left( {{u_k} + {u_{k + 2}}} \right)\).
\( \bullet \) Tổng \(n\) số hạng đầu tiên \({S_n}\) được xác định bởi công thức :
\({S_n} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n} = \frac{n}{2}\left( {{u_1} + {u_n}} \right) = \frac{n}{2}\left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right]\).
Phương pháp:
\( \bullet \) Dãy số \(({u_n})\) là một cấp số cộng \( \Leftrightarrow {u_{n + 1}} - {u_n} = d\) không phụ thuộc vào n và \(d\) là công sai.
\( \bullet \) Ba số \(a,b,c\) theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng \( \Leftrightarrow a + c = 2b\).
\( \bullet \) Để xác định một cấp số cộng, ta cần xác định số hạng đầu và công sai. Do đó, ta thường biểu diễn giả thiết của bài toán qua \({u_1}\) và \(d\).
Cho CSC \(({u_n})\) thỏa : \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_2} - {u_3} + {u_5} = 10}\\{{u_4} + {u_6} = 26}\end{array}} \right.\)
a) Xác định công sai.
b) Công thức tổng quát của cấp số cộng.
c) Tính \(S = {u_1} + {u_4} + {u_7} + ... + {u_{2011}}\).
Gọi \(d\) là công sai của CSC, ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}({u_1} + d) - ({u_1} + 2d) + ({u_1} + 4d) = 10\\({u_1} + 3d) + ({u_1} + 5d) = 26\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + 3d = 10\\{u_1} + 4d = 13\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\d = 3\end{array} \right.\)
Ta có công sai \(d = 3\) và số hạng tổng quát : \({u_n} = {u_1} + (n - 1)d = 3n - 2\).
Ta có các số hạng \({u_1},{u_4},{u_7},...,{u_{2011}}\) lập thành một CSC gồm 670 số hạng với công sai \(d' = 3d\), nên ta có: \(S = \frac{{670}}{2}\left( {2{u_1} + 669d'} \right) = 673015\)
Cho cấp số cộng \(({u_n})\) thỏa: \(\left\{ \begin{array}{l}{u_5} + 3{u_3} - {u_2} = - 21\\3{u_7} - 2{u_4} = - 34\end{array} \right.\).
a) Tính số hạng thứ 100 của cấp số cộng.
b) Tính tổng 15 số hạng đầu của cấp số cộng.
c) Tính \(S = {u_4} + {u_5} + ... + {u_{30}}\).
Từ giả thiết bài toán, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} + 4d + 3({u_1} + 2d) - ({u_1} + d) = - 21\\3({u_1} + 6d) - 2({u_1} + 3d) = - 34\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + 3d = - 7\\{u_1} + 12d = - 34\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 2\\d = - 3\end{array} \right.\).
a) Số hạng thứ 100 của cấp số: \({u_{100}} = {u_1} + 99d = - 295\)
b) Tổng của 15 số hạng đầu: \({S_{15}} = \frac{{15}}{2}\left[ {2{u_1} + 14d} \right] = - 285\)
c) \(S = {S_{30}} - {S_3} = 15\left( {2{u_1} + 29d} \right) - \frac{3}{2}\left( {2{u_1} + 2d} \right) = - 1242\).
Phương pháp:
\( \bullet \) Sử dụng công thức tổng quát của cấp số, chuyển các đại lượng qua số hạng đầu và công sai, công bội.
\( \bullet \) Sử dụng tính chất của cấp số cộng: \(a,b,c\) theo thứ tự đó lập thành CSC \( \Leftrightarrow a + c = 2b\)
Chứng minh rằng các số: \(1,\sqrt 3 ,3\) không thể cùng thuộc một CSC
Giả sử \(1,\sqrt 3 ,3\) là số hạng thứ \(m,n,p\) của một CSC \(({u_n})\).
Ta có:
\(\sqrt 3 = \frac{{3 - \sqrt 3 }}{{\sqrt 3 - 1}} = \frac{{{u_p} - {u_n}}}{{{u_n} - {u_m}}} = \frac{{{u_1}(p - n)}}{{{u_1}(n - m)}} = \frac{{p - n}}{{n - m}}\) vô lí vì \(\sqrt 3 \) là số vô tỉ, còn \(\frac{{p - n}}{{n - m}}\) là số hữu tỉ.
Phương pháp: \(a,b,c\) theo thứ tự đó lập thành CSC \( \Leftrightarrow a + c = 2b\)
Tìm \(x\) biết : \({x^2} + 1,x - 2,1 - 3x\) lập thành cấp số cộng.
Ta có: \({x^2} + 1,x - 2,1 - 3x\) lập thành cấp số cộng \( \Leftrightarrow {x^2} + 1 + 1 - 3x = 2(x - 2) \Leftrightarrow {x^2} - 5x + 6 = 0 \Leftrightarrow x = 2\,;\,x = 3\)
Vậy \(x = 2,x = 3\) là những giá trị cần tìm.
Xác định m để phương trình \({x^3} - 3{x^2} - 9x + m = 0\) có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng.
Giải sử phương trình có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng.
Khi đó:\({x_1} + {x_3} = 2{x_2},{x_1} + {x_2} + {x_3} = 3 \Rightarrow {x_2} = 1\)
Thay vào phương trình ta có: \(m = 11\).
Với \(m = 11\) ta có phương trình :\({x^3} - 3{x^2} - 9x + 11 = 0\)
\( \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} - 2x - 11} \right) = 0 \Leftrightarrow {x_1} = 1 - \sqrt {12} ,{x_2} = 1,{x_3} = 1 + \sqrt {12} \)
Ba nghiệm này lập thành CSC.
Vậy \(m = 11\) là giá trị cần tìm.
Phương pháp quy nạp toán học là một dạng toán hay nhưng để làm quen các em sẽ gặp không ít khó khăn. Vì vậy trong bài học sẽ làm rõ thế nào là chứng minh quy nạp toán học? Việc vận dụng phương pháp pháp quy nạp vào giải toán sẽ được thực hiện như thế nào?
Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 11 Chương Bài 3để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.
Tìm bốn số hạng liên tiếp của một cấp số cộng biết tổng của chúng bằng \(20\) và tổng các bình phương của chúng bằng \(120^0\).
Tìm công sai của cấp số cộng (un) thỏa mãn \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_2} - {u_3} + {u_5} = 10}\\{{u_4} + {u_6} = 26}\end{array}} \right.\)
Tam giác \(ABC\) có ba góc \(A,B,C\) theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng và \(C = 5A\). Xác định số đo các góc \(A,B,C\).
Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 11 Chương Bài 3 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Giải tích 11 Cơ bản và Nâng cao.
Bài tập 1 trang 97 SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 2 trang 97 SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 3 trang 97 SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 4 trang 98 SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 5 trang 98 SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 3.18 trang 123 SBT Toán 11
Bài tập 3.19 trang 124 SBT Toán 11
Bài tập 3.20 trang 124 SBT Toán 11
Bài tập 3.21 trang 124 SBT Toán 11
Bài tập 3.22 trang 124 SBT Toán 11
Bài tập 3.23 trang 124 SBT Toán 11
Bài tập 3.24 trang 124 SBT Toán 11
Bài tập 3.25 trang 124 SBT Toán 11
Bài tập 3.26 trang 124 SBT Toán 11
Bài tập 19 trang 114 SGK Toán 11 NC
Bài tập 20 trang 114 SGK Toán 11 NC
Bài tập 21 trang 114 SGK Toán 11 NC
Bài tập 22 trang 115 SGK Toán 11 NC
Bài tập 23 trang 115 SGK Toán 11 NC
Bài tập 24 trang 115 SGK Toán 11 NC
Bài tập 25 trang 115 SGK Toán 11 NC
Bài tập 26 trang 115 SGK Toán 11 NC
Bài tập 27 trang 115 SGK Toán 11 NC
Bài tập 28 trang 116 SGK Toán 11 NC
Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán DapAnHay sẽ sớm trả lời cho các em.
-- Mod Toán Học 11 DapAnHay
Tìm bốn số hạng liên tiếp của một cấp số cộng biết tổng của chúng bằng \(20\) và tổng các bình phương của chúng bằng \(120^0\).
Tìm công sai của cấp số cộng (un) thỏa mãn \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_2} - {u_3} + {u_5} = 10}\\{{u_4} + {u_6} = 26}\end{array}} \right.\)
Tam giác \(ABC\) có ba góc \(A,B,C\) theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng và \(C = 5A\). Xác định số đo các góc \(A,B,C\).
Phương trình \({x^4} - 2\left( {m + 1} \right){x^2} + 2m + 1 = 0\) (1) có bốn nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng.
Xét xem các dãy số \({u_n} = 3n + 1\) có phải là cấp số cộng hay không? Nếu phải hãy xác định công sai.
Cho cấp số cộng có 8 số hạng. Số hạng đầu bằng 3, số hạng cuối bằng 24. Tính tổng các số hạng này
Cho các dãy số sau, dãy số nào là cấp số cộng?
Cho 4 số lập phương thành cấp số cộng. Tổng của chúng bằng 22. Tổng các bình phương của chúng bằng 166. Tổng các lập phương của chúng bằng:
Tìm x biết 1+3 +5+...+x =64
Cho hai cấp số cộng (un): 4,7,10,13,16,...và (vn):1,6,11,16,21,...Hỏi trong 100 số hạng đầu tiên của mỗi cấp số cộng, có bao nhiêu số hạng chung?
Trong các dãy số sau đây, dãy số nào là cấp số cộng? Tính số hạng đầu và công sai của nó:
a) \(u_n = 5 - 2n\);
b) \(u_n =\frac{n}{2}-1\);
c) \(u_n = 3^n\);
d) \(u_n =\frac{7-3n}{2}\)
Tìm số hạng đầu và công sai của các cấp số cộng sau, biết:
a) \(\left\{\begin{matrix} u_{1}-u_{3}+u_{5}=10\\ u_{1}+u_{6=17} \end{matrix}\right.\)
b) \(\left\{\begin{matrix} u_{7}-u_{3}=8\\ u_{2}.u_{7}=75 \end{matrix}\right.\).
Trong các bài toán về cấp số cộng, ta thường gặp năm đại lượng \(u_1, n, d, u_n, S_n.\)
a) Hãy viết các hệ thức liên hệ giữa các đại lượng để có thể tìm được các đại lượng còn lại?
b) Lập bảng theo mẫu sau và điền vào chỗ trống thích hợp:
Mặt sàn tầng một của một ngôi nhà cao hơn mặt sân 0,5 m. Cầu thang đi từ tầng một lên tầng 2 gồm 21 bậc, mỗi bậc cao 18 cm.
a) Hãy viết công thức để tìm độ cao của một bậc tuỳ ý so với mặt sân.
b) Tính độ cao của sàn tầng hai so với mặt sân.
Từ giờ đến 12 giờ trưa, đồng hồ đánh bao nhiêu tiếng, nếu nó chỉ đánh chuông báo giờ và số tiếng chuông bằng số giờ
Cho dãy số (un) với un = 1 - 7n
a) Khảo sát tính tăng, giảm của dãy số ;
b) Chứng minh dãy số trên là cấp số cộng. Lập công thức truy hồi của dãy số ;
c) Tính tổng 100 số hạng đầu của dãy số.
Trong các dãy số (un) sau đây, dãy số nào là cấp số cộng?
a) un = 3n − 1;
b) un = 2n + 1;
c) un = (n+1)2 − n2;
d) \(\left\{ \begin{array}{l}
{u_1} = 3\\
{u_{n + 1}} = 1 - {u_n}
\end{array} \right.\)
Tính số hạng đầu u1 và công sai d của cấp số cộng (un) biết :
a) \(\left\{ \begin{array}{l}
{u_1} + 2{u_5} = 0\\
{S_4} = 14
\end{array} \right.\)
b) \(\left\{ \begin{array}{l}
{u_4} = 10\\
{u_7} = 19
\end{array} \right.\)
c) \(\left\{ \begin{array}{l}
{u_1} + {u_5} - {u_3} = 10\\
{u_1} + {u_6} = 7
\end{array} \right.\)
d) \(\left\{ \begin{array}{l}
{u_7} - {u_3} = 8\\
{u_2}.{u_1} = 75
\end{array} \right.\)
Tính số các số hạng của cấp số cộng (an), nếu
\(\left\{ \begin{array}{l}
{a_2} + {a_4} + ... + {a_{2n}} = 126\\
{a_2} + {a_{2n}} = 42
\end{array} \right.\)
Tìm cấp số cộng (un) biết
a) \(\left\{ \begin{array}{l}
{u_1} + {u_2} + {u_3} = 27\\
u_1^2 + u_2^2 + u_3^2 = 275
\end{array} \right.\)
b) \(\left\{ \begin{array}{l}
{u_1} + {u_2} + ... + {u_n} = a\\
u_1^2 + u_2^2 + ... + u_n^2 = {b^2}
\end{array} \right.\)
Tìm x từ phương trình
a) 2 + 7 + 12 + ... + x = 245, biết 2, 7, 12, ..., x là cấp số cộng.
b) (2x + 1) + (2x + 6) + (2x + 11) + ... + (2x + 96) = 1010 biết 1, 6, 11, ... là cấp số cộng.
Hãy chọn cấp số cộng trong các dãy số (un) sau:
A. \({u_n} = {2^n} + 1\)
B. \({u_n} = \frac{{{3^n}}}{n}\)
C. \(u_n=5n\)
D. \(\left\{ \begin{array}{l}
{u_1} = 1\\
{u_{n + 1}} = {u_n} + n,\,\,n \ge 1
\end{array} \right.\)
Cho cấp số cộng u1 = -2; u19 = 52. Tổng của 20 số hạng đầu là:
A. 1060 B. -570 C. 530 D. -530
Cho cấp số cộng 5, x, y, 17. Khi đó:
A. x = 9; y = 12 B. x = 8; y = 14
C. x = 7; y = 12 D. x = 9; y = 13
Chứng minh rằng mỗi dãy số sau là một cấp số cộng và hãy xác định công sai của cấp số cộng đó:
a. Dãy số (un) với un = 19n–5;
b. Dãy số (un) với un = an+b, trong đó a và b là các hằng số.
Trên tia Ox lấy ác điểm A1, A2, …, An,… sao cho mỗi số nguyên dương n, OAn = n. Trong cùng một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng chứa tia Ox, vẽ các nửa đường tròn đường kính OAn, n= 1,2,… Kí hiệu là diện tích của nửa hình tròn đường kính OA1 và với mỗi n ≥ 2, kí hiệu un là diện tích của hình giới hạn bởi nửa đường tròn đường kính OAn -1 , nửa đường tròn đường kính OAn và tia Ox. Chứng minh rằng dãy số (un) là một cấp số cộng. Hãy xác định công sai của cấp số cộng đó.
Trong mỗi câu sau, hãy đánh dấu “x” vào phần kết luận mà em cho là đúng :
a. Mỗi cấp số cộng với công sai d>0d>0 là một dãy số
Tăng
Giảm
Không tăng cũng không giảm.
b. Mỗi cấp số cộng với công sai d<0d<0 là một dãy số
Tăng
Giảm
Không tăng cũng không giảm.
Một cấp số cộng có năm số hạng mà tổng của số hạng đầu và số hạng thứ ba bằng 28, tổng của số hạng thứ ba và số hạng cuối bằng 40. Hãy tìm cấp số cộng đó.
Cho cấp số cộng (un) có u20 = − 52 và u51 = − 145. Hãy tìm số hạng tổng quát của cấp số cộng đó.
Cho cấp số cộng (un) với công sai d và cho các số nguyên dương m và k, với m ≥ k. Chứng minh rằng um = uk+(m−k)d.
Áp dụng: Hãy tìm công sai d của cấp số cộng (un) mà u18 − u3 = 75.
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
Câu trả lời của bạn
Ta có giá các mét khoan lập thành một CSC với công sai d = 500, số hạng đầu là 8000
Khi đó khoan 20 mét thì mất số đồng là:20/2 [2.8000 + (20 – 1)500] = 255000 đồng.
Câu trả lời của bạn
Gọi n là số thứ tự của 35351 trong dãy số.
Ta có 35351 = 1 + 7(1+2+3+…+n- 1). Khi đó 1+2+3+…+ n-1 = 5050. Khi đó n = 101.
A. 1,3,5,7,9
B. -1,-3,1,3,5
C. 1,2,4,16,256
D. 1,2,4,8,16
Câu trả lời của bạn
Đáp án D (CSN với công bội là 2).
Câu trả lời của bạn
Chọn B
Câu trả lời của bạn
u10 = 102 – 4.20 – 2 =58
Câu trả lời của bạn
Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi d.
Số không đổi d được gọi là công sai của cấp số cộng.
Đặc biệt, khi d = 0 thì cấp số cộng là một dãy số không đổi (tất cả các số hạng đều bằng nhau).
Câu trả lời của bạn
Gọi tầng cao nhất là tầng 1 thì: Tầng 1: 1
Tầng 2: 1+ 1 = 2
Tầng 3: 2+ 1 = 3
…
Tầng 10: 9+ 1 = 10
Tổng số quân cờ để xếp 10 tầng: S = 1 + 2 + 3 +… + 10 = 55
Hai bộ cờ có 56 quân cờ nên xếp được.
Câu trả lời của bạn
Cấp số cộng (un) là một dãy số giảm khi và chỉ khi công sai d < 0.
Câu trả lời của bạn
Ta có \({a_{n + 1}} = 4(n + 1) - 3 = 4n + 1\) nên \({a_{n + 1}} - {a_n} = (4n + 1) - (4n - 3) = 4,\;\forall n \ge 1.\)
Do đó (an) là cấp số cộng với số hạng đầu \({a_1} = 4.1 - 3 = 1\) và công sai d = 4.
Câu trả lời của bạn
Cấp số cộng (un) là một dãy số tăng khi và chỉ khi công sai d > 0.
Câu trả lời của bạn
Vì \(1 = - 2 + 3;\quad \quad \quad \;\;4 = 1 + 3;\quad \quad \quad \;\;\;7 = 4 + 3;\quad \quad \quad 10 = 7 + 3;\)
\(13 = 10 + 3;\quad \quad \quad 16 = 13 + 3;\quad \quad \quad 19 = 16 + 3.\)
Nên theo định nghĩa cấp số cộng, dãy số \( - 2,\;1,\;4,\;7,\;10,\;13,\;16,\;19\) là một cấp số cộng với công sai d = 3.
Câu trả lời của bạn
Ta có \({b_{n + 1}} = \frac{{2 - 3(n + 1)}}{4} = \frac{{ - 1 - 3n}}{4}\) nên \({b_{n + 1}} - {b_n} = \frac{{ - 1 - 3n}}{4} - \frac{{2 - 3n}}{4} = - \frac{3}{4},\;\forall n \ge 1\)
Câu trả lời của bạn
Ta có \({d_{n + 1}} = {(n + 1)^2}\) nên \({d_{n + 1}} - {d_n} = {(n + 1)^2} - {n^2} = 2n + 1\) (phụ thuộc vào giá trị của n).
Suy ra (dn) không phải là một cấp số cộng.
Câu trả lời của bạn
Ta có \({u_2} = {u_1} + d = - \frac{2}{3};\quad \quad \quad \;{u_3} = {u_2} + d = - 2;\quad \quad \quad \;{u_4} = {u_3} + d = - \frac{{10}}{3};\)
\({u_5} = {u_4} + d = - \frac{{14}}{3};\quad \quad \quad {u_6} = {u_5} + d = - 6;\quad \quad \quad {u_7} = {u_6} + d = - \frac{{22}}{3};\)
Vậy dạng khai triển của cấp số cộng (un) là \(\frac{2}{3};\; - \frac{2}{3};\; - 2;\; - \frac{{10}}{3};\; - \frac{{14}}{3};\; - 6;\; - \frac{{22}}{3}.\)
Câu trả lời của bạn
Cách 1: Cho dãy số bằng công thức của số hạng tổng quát
Cách 2: Cho dãy số bằng phương pháp truy hồi.
Cách 3: Cho dãy số bằng phương pháp mô tả hoặc diễn đạt bằng lời cách xác định mỗi số hẩng dãy số.
Câu trả lời của bạn
Ta có \({x_{n + 1}} = {\left( {n + 1} \right)^2} - 2\left( {n + 1} \right) + 3 = {n^2} + 2\).
Suy ra \({x_{n + 1}} - {x_n} = \left( {{n^2} + 2} \right) - \left( {{n^2} - 2n + 3} \right) = 2n - 1 > 0,\forall n \ge 1\) hay \({x_{n + 1}} > {x_n},\forall n \ge 1\).
Vậy (xn) là một dãy số tăng.
b) Dãy số (yn) với \({y_n} = \frac{{n + 2}}{{{5^n}}}\) là một dãy số giảm.
Câu trả lời của bạn
Câu trả lời của bạn
Câu trả lời của bạn
Câu c
Câu trả lời của bạn
Ta có: un+1 = 17(n + 1) + 2 = 17n + 19
=> Hiệu: un+1 – un = (17n + 19) − (17n + 2) = 17
Suy ra: (un) là cấp số cộng với công sai d = 17.
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *