Cho dãy số (un) thoả mãn điều kiện: Với mọi n ∈ N∗ thì
\(0 < {u_n} < 1\) và \({u_{n + 1}} < 1 - \frac{1}{{4{u_n}}}\)
Chứng minh dãy số đã cho là dãy giảm.
Vì 0 < un < 1 với mọi n nên 1 – un + 1 > 0.
Áp dụng bất đẳng thức Cô – si ta có \({u_{n + 1}}\left( {1 - {u_{n + 1}}} \right) \le \frac{1}{4}\)
Mặt khác, từ giả thiết \({u_{n + 1}} < 1 - \frac{1}{{4{u_n}}}\)
Suy ra \({u_{n + 1}}.{u_n} < {u_n} - \frac{1}{4}\) hay \({u_{n + 1}}.{u_n} < {u_n} - \frac{1}{4}\)
So sánh (1) và (2) ta có:
un+1(1 − un+1) < un(1 − un+1) hay un+1 < un.
-- Mod Toán 11