Chương ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số được xem là nội dung trọng tâm quan trọng bậc nhất trong chương trình phổ thông, thể hiện rõ nhất cho điều đó là trong các kì thi THPT QG môn Toán đây luôn là phần chiếm tỉ lệ điểm số cao nhất. Nội dung bài ôn tập chương sẽ giúp các em hệ thống lại kiến thức đã được học, ôn tập một số dạng toán điển hình và phương pháp giải, rèn luyện kĩ năng giải bài tập, từng bước chinh phục các bài toán khó hơn.
Cho hàm số: \(y=\frac{1}{3}x^3-mx^2+(m^2-m+1)x+1\). Tìm m để hàm số:
a) Có cực đại và cực tiểu.
b) Đạt cực đại tại điểm x=1.
TXĐ: \(D=\mathbb{R}.\)
Đạo hàm: \(y'=x^2-2mx+m^2-m+1\).
a) Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu.
Hàm số có cực đại và cực tiểu khi và chỉ khi: y'=0 có 2 nghiệm phân biệt.
Điều này xảy ra khi: \(\left\{\begin{matrix} a_{y'}\neq 0\\ \Delta '_{y'}>0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 1\neq 0\\ (-m)^2-(m^2-m+1)>0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow m-1>0\Leftrightarrow m>1\)
b) Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 1
\(y'=x^2-2mx+m^2-m+1\) và \(y''=2x-2m\)
Ta có: \(\left\{\begin{matrix} y'(1)=0\\ y''(1)<0 \end{matrix}\right. \ \ \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m^2-3m+2=0\\ 2-2m<0 \end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m=1\vee m=2\\ m>1 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow m=2\)
Thử lại với m=2 hàm số đạt cực đại tại x=1.
Định m để hàm số \(y=x^3+3x^2+(m+1)x+4m\) nghịch biến trên khoảng (-1;1).
TXĐ: \(D=\mathbb{R}.\)
Đạo hàm: \(y'=3x^2+6x+m+1\)
Hàm số nghịch biến trên khoảng (-1;1) khi và chỉ khi \(y'\leq 0,\forall x\in (-1;1)\)
\(\Leftrightarrow 3x^2+6x+m+1\leq 0, \forall x\in (-1;1) \ \ (1)\)
Xét BPT (1) \(\Leftrightarrow m\leq -3x^2-6x-1=g(x)\)
Xét hàm số \(g(x), x\in (-1;1)\)
Có: \(g'(x)=-6x-6\leq 0, \forall x\in (-1;1)\)
BBT:
Từ BBT suy ra \(m\leq g(x), \forall x\in (-1;1)\Leftrightarrow m\leq -10\)
Vậy, hàm số nghịch biến trên khoảng \((-1;1)\) khi và chỉ khi \(m\leq 10.\)
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f(x)=x^2-ln4x\) trên đoạn [1;e].
Để cũng cố bài học, xin mời các em cũng làm bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 12 Ôn tập chương 1 Ứng dụng đạo hàm đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với những câu hỏi củng cố từ cơ bản đến nâng cao. Bên cạnh đó các em có thể nêu thắc mắc của mình thông qua phần Hỏi đáp Toán 12 Ôn tập chương 1 cộng đồng Toán DapAnHay sẽ sớm giải đáp cho các em.
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 12 Ôn tập chương 1 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Giải tích 12 Cơ bản và Nâng cao.
Nội dung bài giảng đã giúp các em có các nhìn tổng quát về nội dung của chương 1 Giải tích lớp 12 và ôn tập phương pháp giải một số dạng bài tập trọng tâm.
Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 12 Ôn tập chương 1Ứng dụng đạo hàm đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục và có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\) biết \(f'\left( x \right) = x{\left( {x - 1} \right)^2}.\) Khẳng định nào sau đây là đúng?
Tìm tất cả các điểm cực đại của hàm số \(y = - {x^4} + 2{x^2} + 1.\)
Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số \(y = \frac{x}{{{x^2} + 1}}\) trên đoạn [0;2].
Câu 4 - 10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 12 Ôn tập chương 1 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Giải tích 12 Cơ bản và Nâng cao.
Bài tập 1 trang 45 SGK Giải tích 12
Bài tập 2 trang 45 SGK Giải tích 12
Bài tập 3 trang 45 SGK Giải tích 12
Bài tập 4 trang 45 SGK Giải tích 12
Bài tập 5 trang 45 SGK Giải tích 12
Bài tập 6 trang 45 SGK Giải tích 12
Bài tập 7 trang 45 SGK Giải tích 12
Bài tập 8 trang 46 SGK Giải tích 12
Bài tập 9 trang 46 SGK Giải tích 12
Bài tập 10 trang 46 SGK Giải tích 12
Bài tập 11 trang 46 SGK Giải tích 12
Bài tập 12 trang 47 SGK Giải tích 12
Bài tập 1 trang 47 SGK Giải tích 12
Bài tập 2 trang 47 SGK Giải tích 12
Bài tập 3 trang 47 SGK Giải tích 12
Bài tập 4 trang 47 SGK Giải tích 12
Bài tập 5 trang 47 SGK Giải tích 12
Bài tập 1.75 trang 39 SBT Toán 12
Bài tập 1.76 trang 40 SBT Toán 12
Bài tập 1.77 trang 40 SBT Toán 12
Bài tập 1.78 trang 40 SBT Toán 12
Bài tập 1.79 trang 40 SBT Toán 12
Bài tập 1.80 trang 40 SBT Toán 12
Bài tập 1.81 trang 41 SBT Toán 12
Bài tập 1.82 trang 41 SBT Toán 12
Bài tập 1.83 trang 41 SBT Toán 12
Bài tập 1.84 trang 41 SBT Toán 12
Bài tập 1.85 trang 41 SBT Toán 12
Bài tập 1.86 trang 41 SBT Toán 12
Bài tập 1.87 trang 41 SBT Toán 12
Bài tập 1.88 trang 42 SBT Toán 12
Bài tập 1.89 trang 42 SBT Toán 12
Bài tập 1.90 trang 42 SBT Toán 12
Bài tập 1.91 trang 42 SBT Toán 12
Bài tập 1.92 trang 42 SBT Toán 12
Bài tập 1.93 trang 42 SBT Toán 12
Bài tập 1.94 trang 42 SBT Toán 12
Bài tập 1.95 trang 43 SBT Toán 12
Bài tập 1.96 trang 43 SBT Toán 12
Bài tập 68 trang 61 SGK Toán 12 NC
Bài tập 69 trang 61 SGK Toán 12 NC
Bài tập 70 trang 61 SGK Toán 12 NC
Bài tập 71 trang 62 SGK Toán 12 NC
Bài tập 72 trang 62 SGK Toán 12 NC
Bài tập 73 trang 62 SGK Toán 12 NC
Bài tập 74 trang 62 SGK Toán 12 NC
Bài tập 75 trang 62 SGK Toán 12 NC
Bài tập 76 trang 62 SGK Toán 12 NC
Bài tập 77 trang 62 SGK Toán 12 NC
Bài tập 78 trang 62 SGK Toán 12 NC
Bài tập 79 trang 62 SGK Toán 12 NC
Bài tập 80 trang 64 SGK Toán 12 NC
Bài tập 81 trang 64 SGK Toán 12 NC
Bài tập 82 trang 64 SGK Toán 12 NC
Bài tập 83 trang 64 SGK Toán 12 NC
Bài tập 84 trang 65 SGK Toán 12 NC
Bài tập 85 trang 65 SGK Toán 12 NC
Bài tập 86 trang 65 SGK Toán 12 NC
Bài tập 87 trang 65 SGK Toán 12 NC
Bài tập 88 trang 65 SGK Toán 12 NC
Bài tập 89 trang 65 SGK Toán 12 NC
Bài tập 90 trang 65 SGK Toán 12 NC
Bài tập 91 trang 65 SGK Toán 12 NC
Bài tập 92 trang 66 SGK Toán 12 NC
Bài tập 93 trang 66 SGK Toán 12 NC
Bài tập 94 trang 66 SGK Toán 12 NC
Bài tập 95 trang 66 SGK Toán 12 NC
Bài tập 96 trang 66 SGK Toán 12 NC
Bài tập 97 trang 67 SGK Toán 12 NC
Bài tập 98 trang 67 SGK Toán 12 NC
Bài tập 99 trang 67 SGK Toán 12 NC
Bài tập 100 trang 67 SGK Toán 12 NC
Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán DapAnHay sẽ sớm trả lời cho các em.
-- Mod Toán Học 12 DapAnHay
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục và có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\) biết \(f'\left( x \right) = x{\left( {x - 1} \right)^2}.\) Khẳng định nào sau đây là đúng?
Tìm tất cả các điểm cực đại của hàm số \(y = - {x^4} + 2{x^2} + 1.\)
Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số \(y = \frac{x}{{{x^2} + 1}}\) trên đoạn [0;2].
Cho hàm số \(y = \frac{x}{{x - 1}}.\) Mệnh đề nào sau đây là đúng?
Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số \(y = \cos 2x + 4\cos x + 1.\)
Cho hàm số \(y = \frac{{\left( {m - 1} \right)\sin x - 2}}{{\sin x - m}}.\) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( {0;\frac{\pi }{2}} \right).\)
Tìm tất cả các giá trị nguyên của tham số thực m để hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} + \frac{1}{2}m{x^2}\) có điểm cực đại x1 điểm cực tiểu x2 sao cho \(- 2 < {x_1} < - 1;\,\,1 < {x_2} < 2.\)
Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m để phương trình \({x^3} + {x^2} + x = m{\left( {{x^2} + 1} \right)^2}\) có nghiệm thuộc đoạn [0;1].
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số \(y = \frac{{x - 1}}{{{x^2} - mx + m}}\) có đúng một tiệm cận đứng.
Cho hàm số \(y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\) có đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Phát biểu các điều kiện đồng biến, nghịch biến của hàm số. Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số:
\(y=-x^3+2x^2-x-7\); \(y=\frac{x-5}{1-x}\)
Nêu cách tìm cực đại, cực tiểu của hàm số nhờ đạo hàm. Tìm các cực trị của hàm số \(y=x^4-2x^2+2\).
Nêu cách tìm tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. Áp dụng để tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số: \(y=\frac{2x+3}{2-x}\)
Nhắc lại sơ đồ khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
Cho hàm số y = 2x2 + 2mx + m -1 có đồ thị là (Cm), m là tham số
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1.
b) Xác định m để hàm số:
- Đồng biến trên khoảng \((-1, +\infty )\).
- Có cực trị trên khoảng \((-1, +\infty )\).
c) Chứng minh rằng (Cm) luôn cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt với mọi m.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C) của hàm số:
\(f(x) = -x^3+3x^2+9x+2\)
b) Giải bất phương trình f’(x-1) > 0
c) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ x0, biết rằng f’’(x0) = - 6.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số: y = x3 + 3x2 + 1
b) Dựa vào đồ thị (C), biện luận số nghiệm của phương trình sau theo m: \(x^3+3x^2+1=\frac{m}{2}\).
c) Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại và điểm cực tiểu của đồ thị (C).
Cho hàm số f(x)= x3 – 3mx2 + 3(2m-1)x + 1 (m là tham số).
a) Xác định m để hàm số đồng biến trên một tập xác định.
b) Với giá trị nào của tham số m, hàm số có một cực đại và một cực tiểu.
c) Xác định m để f’’(x) > 6x.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
\(f(x)=\frac{1}{2}x^4-3x^2+\frac{3}{2}\)
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình f’’(x) = 0.
c) Biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình: x4 – 6x2 + 3 = m.
Cho hàm số \(y=-{{x}^{4}}+2m{{x}^{2}}-2m+1\) với (m tham số) có đồ thị \(\left( {{C}_{m}} \right)\).
a) Biện luận theo m số cực trị của hàm số.
b) Với giá trị nào của m thì \(\left( {{C}_{m}} \right)\) cắt trục hoành?
c) Xác định m để \(\left( {{C}_{m}} \right)\) có cực đại, cực tiểu.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số \(y=\frac{x+3}{x+1}\)
b) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, đường thẳng y = 2x + m luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt M và N.
c) Xác định m sao cho độ dài MN là nhỏ nhất.
d) Tiếp tuyến tại một điểm S bất kỳ của (C) luôn cắt hai tiệm cận của (C) tại P và Q. Chứng minh rằng S là trung điểm của PQ.
Cho hàm số \(f(x)=\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{2}x^2-4x+6\)
a) Giải phương trình f'(sinx) = 0.
b) Giải phương trình f''(cosx) = 0.
c) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho tại điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình f''(x) = 0.
Số điểm cực trị của hàm số \(y=-\frac{1}{3}x^3-x+7\) là:
(A) 1;
(B) 0;
(C) 3;
(D) 2.
Số điểm cực đại của hàm số y = x4 + 100 là:
(A) 0;
(B) 1;
(C) 2;
(D) 3.
Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số \(y=\frac{1-x}{1+x}\) là:
(A) 1;
(B) 2;
(C) 3;
(D) 0;
Hàm số \(y=\frac{2x-5}{x+3}\) đồng biến trên:
(A) \(\mathbb{R}\)
(B) \((-\infty ;3)\)
(C) \((-3;+\infty)\)
(D) \(R\setminus \left \{ -3 \right \}\)
Tiếp tuyến tại điểm cực tiểu của đồ thị hàm số \(y=\frac{1}{3}x^3-2x^2+3x-5\) là đường thẳng:
(A) Song song với đường thẳng x = 1;
(B) Song song với trục hoành;
(C) Có hệ số góc dương;
(D) Có hệ số góc bằng -1.
Cho hàm số: \(y = 4{x^3} + mx\) (m là tham số) (1)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số ứng với m = 1.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) song song với đường thẳng \(y = 13x + 1\).
c) Xét sự biến thiên của hàm số (1) tùy thuộc giá trị của m.
Cho hàm số: \(y = - ({m^2} + 5m){x^3} + 6m{x^2} + 6x - 5\)
a) Xác định m để hàm số đơn điệu trên R. Khi đó, hàm số đồng biến hay nghịch biến? Tại sao?
b) Với giá trị nào của m thì hàm số đạt cực đại tại x = 1?
Cho hàm số \(y = \frac{{(a - 1){x^3}}}{3} + a{x^2} + (3a - 2)x\).
a) Xác định a để hàm số luôn luôn đồng biến.
b) Xác định a để đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt.
c) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số ứng với \(a = \frac{3}{2}\).
Từ đó suy ra đồ thị của hàm số: \(y = \left| {\frac{{{x^3}}}{6} + \frac{{3{x^2}}}{2} + \frac{{5x}}{2}} \right|\)
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
Cho hàm số \(y=x^3-6x^2+9x-2 \ \ (1)\)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1).
b) Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A(-1;1) và vuông góc với đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của (C).
Câu trả lời của bạn
a.
TXĐ D= R
\(y'=3x^2-12x+9,y'=0\Leftrightarrow \bigg \lbrack \begin{matrix} x=1\\ x=3 \end{matrix}\Rightarrow \bigg \lbrack \begin{matrix} y=2\\ y=-2 \end{matrix}\)
- Giới hạn tại vô cực: \(\lim_{x\rightarrow -\infty }=-\infty ;\lim_{x\rightarrow +\infty }=+\infty\)
BBT
KL: Hàm số đồng biến trên khoảng \((-\infty ;1);(3;+\infty )\)
Hàm số nghịch biến trên khoảng (1;3)
Hàm số đạt cực đại tại xcđ =1 , ycđ= 2
Hàm số đạt cực tiểu tại xct =3 , yct =- 2
b.
Đuờng thẳng đi qua 2 cực trị A(1;2) và B(3;-2) là y=-2x+4
Ta có pt đt vuông góc với (AB) nên có hệ số góc k= \(\frac{1}{2}\)
Vậy PT đ ường thẳng cần tìm là \(y=\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}\)
Khó quá, em bỏ cuộc rồi, mọi người giúp vs! Em cảm ơn nhiều ạ.
Cho hàm số \(y=-x^3+3x-2\) (1)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1).
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thi (C) tại các giao điểm của (C) với đường thẳng d: \(y=-x-2\) biết tọa độ tiếp điểm có hoành độ dương.
Câu trả lời của bạn
*TXĐ: D=R
*Sự biến thiên:
- Chiều biến thiên: \(y'=-3x^2+3,y'=0\Leftrightarrow x=\pm 1\)
Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng \((-\infty ;-1)\) và \((1;+\infty )\), đồng biến trên khoảng (-1;1)
- Cực trị: HS đạt cực tiểu tại x = -1; \(y_{CT}=-4\) và đạt cực đại tại x = 1; yCD= 0
- Giới hạn: \(\lim_{x\rightarrow +\infty }y=-\infty; \lim_{x\rightarrow -\infty }y=+\infty\)
- Bảng biến thiên:
* Đồ Thị: Cắt trục Ox tại 2 điểm (1;0); (-2;0); cắt trục Oy tại điểm (0;-2). Đi qua điểm (2; -4)
b.
Hoành độ giao điểm của (C) và d là nghiệm của phương trình: \(-x^3+3x-2=-x-2\)
\(\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} x=0\\ x=\pm 2 \end{matrix}\Rightarrow x=2(t/m)\)
Với x = 2 thì y(2) = -4; y'(2) = -9
PTTT là: y = -9x + 14
Làm toát mồ hôi mà vẫn không ra, giúp em vs!
Giải phương trình: \((2x+4)\sqrt[3]{2x+3}-\sqrt{9x^3+60x^3+133x+98}=x^2-2x-5\)
Câu trả lời của bạn
Điều kiện: \(9x^3+60x^2+133x+98\geq 0\Leftrightarrow (3x+7)^2(x+2)\geq 0\Leftrightarrow x\geq -2\)
Phương trinh tương đương \((2x+4)\sqrt[3]{x+3}-(3x+7)\sqrt{(x+2)}=x^2-2x-5\)
\(\Leftrightarrow (2x+4)\sqrt[3]{x+3}+(3x+6+1)\sqrt{x+2}+x^2-2x-5\)
\(\Leftrightarrow (\sqrt[3]{2x+3})^4+\sqrt[3]{2x+3}=\sqrt{x+2}+3(\sqrt{x+2})^3+x^2-2x-5\)
\(\Leftrightarrow (\sqrt[3]{2x+3})^4+\(\sqrt[3]{2x+3})^3+\sqrt[3]{2x+3}=(\sqrt{x+2})^4+3(\sqrt{x+2})^3+\sqrt{x+2}\)
Xét hàm số \(f(t)=t^4+3t^3+t\) với \(t\geq -1\)
Ta có \(f'(t)=4t^3+9t^2+1=t^2(4t+9)+1>0\) với \(t\geq -1\)
Suy ra f(t) đồng biến trên \([-1:+\infty )\)
Phương trình đã cho tương đương \(f(\sqrt[3]{2x+3})=f(\sqrt{x+2})\Leftrightarrow \sqrt[3]{2x+3}=\sqrt{x+2}\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2x+3\geq 0\\ (\sqrt[3]{2x+3})^6=(\sqrt{x+2})^6 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\geq \frac{-3}{2}\\ x^3+2x^2-1=0 \end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\geq \frac{-3}{2}\\ \bigg \lbrack\begin{matrix} x=-1\\ x=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\\ x=\frac{-1-\sqrt{5}}{2} \end{matrix}\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} x=-1\\ x=\frac{-1+\sqrt{5}}{2} \end{matrix} \end{matrix}\right.\)
Vậy phương trình có 2 nghiệm \(x=-1; x= \frac{-1+\sqrt{5}}{2}\)
Mình giải ra đáp số rồi mà không biết đúng hay sai nữa, khó quá.
Hôm nay thầy em giao bài này về nhà mà em không có biết làm, mn giúp em vs!
Cho hàm số \(y=\frac{1}{3}x^3-x^2\)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1).
b) Tìm tọa độ điểm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại M tạo với hai trục tọa độ một tam giác cân.
Câu trả lời của bạn
Tập xác định: D = R
Sự biến thiên:
\(y'=x^2-2x;y'=0\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} x=0\\ x=2 \end{matrix}\)
\(\lim_{x\rightarrow +\infty }y=\lim_{x\rightarrow +\infty }[x^3(\frac{1}{3}-\frac{1}{x})]=+\infty\)
\(\lim_{x\rightarrow -\infty }y=\lim_{x\rightarrow -\infty }[x^3(\frac{1}{3}-\frac{1}{x})]=-\infty\)
Bảng biến thiên
Hàm số đồng biến trên các khoảng \((-\infty ;0);(2;+\infty )\)
Hàm số nghịch biến trên (0;2)
Hàm số có cực đại tại x = 0 và yCĐ = y(0)=0.
Hàm số có cực tiểu tại x = 2 và yCT = y(2)= \(-\frac{4}{3}\)
Đồ thị. Giao Ox: (0;0), (3;0), Giao Oy: (0;0)
b.
Tiếp tuyến của (C) tại M tạo với các trục tọa độ một tam giác cân \(\Rightarrow\) tiếp tuyến có hệ số góc k = \(\pm\)1.
Gọi x0 là hoành độ điểm M. Ycbt \(\Leftrightarrow y'(x_0)=\pm 1\)
\(\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} x_0^2-2x_0-1=0\\ x_0^2-2x_0+1=0 \end{matrix}\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} x_0=1\pm \sqrt{2}\\ x_0=1 \end{matrix}\)
\(\Leftrightarrow \Bigg \lbrack\begin{matrix} M(1\pm \sqrt{2};-\frac{2}{3}+\frac{\sqrt{2}}{3})\\ M(1;-\frac{2}{3}) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \end{matrix}\)
Em sẽ rất biết ơn ai giải giúp em bài này!
Cho ba số thực x, y, z không âm thỏa mãn \(x^2+y^2+z^2 = 1\). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P=\frac{1}{\sqrt{x+2}}+\frac{1}{\sqrt{y+1}}+\frac{1}{\sqrt{z+1}}.\)
Câu trả lời của bạn
Có \(\left ( \frac{1}{\sqrt{y+1}} + \frac{1}{\sqrt{z+1}} \right )^2 = \frac{y+z+2}{yz+y+z+1} + \frac{2}{\sqrt{yz+y+z+1}} \leq\) \(\frac{y+z+2}{y+z+1} + \frac{2}{\sqrt{y+z+1}} = \left ( 1 + \frac{1}{y+z+1} \right )^2\)
\(\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{y+1}} + \frac{1}{\sqrt{z+1}} \leq 1 + \frac{1}{\sqrt{y+z+1}}\)
\((x+y+z)^2 \geq x^2 + y^2 + z^2 = 1 \Rightarrow y+z \geq 1-x\)
\(\Rightarrow P \leq f(x) = 1 + \frac{1}{\sqrt{x+2}} + \frac{1}{\sqrt{2-x}}, x \in [0;1]\)
CM được f(x) đồng biến trên [0; 1] nên \(f(x) \leq f(1) = 2 + \frac{1}{\sqrt{3}}\)
Giá trị lớn nhất của P bằng \(2 + \frac{1}{\sqrt{3}}\) khi y = z = 0, x = 1
Hôm nay thầy em giao bài này về nhà mà em không có biết làm, mn giúp em vs!
Cho hàm số \(y=x^4-2x^2-3\) có đồ thị (C)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số.
2) Dùng đồ thị (C) tìm m để phương trình \(x^4-2x^2+m=0\) có 4 nghiệm phân biệt
Câu trả lời của bạn
1.
TXĐ:D=R
\(y'=4x^3-4x;y'=0\Leftrightarrow x=0;x=\pm 1\)
\(\lim_{x\rightarrow \pm \infty }y=+\infty\)
Hàm số đồng biến trên các khoảng (-1;0), (1;\(+ \infty\)) và nghịch biến trên các khoảng (\(- \infty\);-1), (0;1).Đồ thị hàm số có điểm cực đại (0;-3) và hai điểm cực tiểu (±1;-4)
BBT:
Đồ thị
2.
\(x^4-2x^2+m=0\Leftrightarrow x^4-2x^2-3=-3-m(1)\)
Số nghiệm pt(1) = số giao điểm của (c) y = x4 - 2x2 - 3 và đường thẳng d y = - 3 - m. Từ đồ thị (c) suy ra : pt(1) có 4 nghiệm pb khi m \(\in\) (0;1)
Help me!
Cho hàm số \(y=\frac{3-2x}{x-1}\)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến song song với đường \(\Delta :y=-x+1\)
Câu trả lời của bạn
Hàm số: \(y=\frac{3-2x}{x-1}=\frac{-2x+3}{x-1}\)
Tập xác định: D = R \ {1}
Đạo hàm \(y'=\frac{-1}{(x-1)^2}<0,\forall x\in D\)
Hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định \((-\infty;1 );(1;+\infty )\) và không đạt cực trị.
Giới hạn và tiệm cận: \(\lim_{x\rightarrow -\infty }y=-2;\lim_{x\rightarrow +\infty }y=-2\Rightarrow y=-2\) tiệm cận ngang
\(\lim_{x\rightarrow 1^- }y=-\infty ;\lim_{x\rightarrow 1^+ }y=+\infty \Rightarrow x=1\) là tiệm cận đứng
Bảng biến thiên
Giao điểm với trục hoành: \(y=0\Leftrightarrow -2x+3=0\Leftrightarrow x=\frac{3}{2}\)
Giao điểm với trục tung: \(x = 0\Rightarrow y=-3\)
Bảng giá trị:
Đồ thị hàm số như hình vẽ bên đây
b.
\((C): y=\frac{-2x+3}{x-1}\)
Gọi \(M(x_0;y_0)\in (C)\) là tiếp điểm, phương trình tiếp tuyến tại M có dạng \(M(y=f'(x_0)(x-x_0)+y_0\)
Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng \(\Delta :y=-x+1\) nên có hệ số góc \(f'(x_0)=-1\)
\(\Leftrightarrow \frac{-1}{(x_0-1)^2}=-1\Leftrightarrow (x_0-1)^2=1\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} x_0-1=1\\ x_0-1=-1 \end{matrix}\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} x_0=2\\ x_0=0 \end{matrix}\)
Với \(x_0=2\Rightarrow y_0=-1\). pttt là: \(y+1=-1(x-2)\Leftrightarrow y=-x+1 \ (loai)\)
Với \(x_0=2\Rightarrow y_0=-3\). pttt là: \(y+3=-1(x-0)\Leftrightarrow y=-x-3\)
Hôm nay thầy em giao bài này về nhà mà em không có biết làm, mn giúp em vs!
Giải hệ phương trình: \(\left\{\begin{matrix} \sqrt{x^2+4x+3}+y(1-\sqrt{x+3})=y^3+(1-y^2)\sqrt{x+1}\\ 2(y^2-1)^2(3x^2+1)=(x^2+1)(1-3x\sqrt{4x^2-3}) \end{matrix}\right.\)
Câu trả lời của bạn
ĐK \(\left\{\begin{matrix} x^2+4x+3\geq 0\\ x+1\geq 0\\ 4x^2-3\geq 0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\geq -1\\ \bigg \lbrack\begin{matrix} x\leq -\frac{\sqrt{3}}{2}\\ x\geq \frac{\sqrt{3}}{2} \end{matrix}\\ \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} -1\leq x\leq -\frac{\sqrt{3}}{2}\\ x\geq \frac{\sqrt{3}}{2} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \end{matrix}\)
Ta có (pt1)
\(\Leftrightarrow \sqrt{x+1}.\sqrt{x+3}+y-y\sqrt{x+3}=y^3+\sqrt{x+1}-y^2\sqrt{x+1}\)
\(\Leftrightarrow \sqrt{x+3}(\sqrt{x+1}-y)+(y-\sqrt{x+1})=y^2(y-\sqrt{x+1})\)
\(\Leftrightarrow (y-\sqrt{x+1})(y^2+\sqrt{x+3}-1)=0\Leftrightarrow y-\sqrt{x+1}=0\)
(do \(y^2+\sqrt{x+1}(y^2+\sqrt{x+3}-1);\forall x\geq -1\))
\(y-\sqrt{x+1}=0\Leftrightarrow y=\sqrt{x+1}\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\geq 0 \\ y^2=x+1 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} y\geq 0\\ y^2-1=x \end{matrix}\right.\)
Thế vào (pt2) ta được \(2x^2(3x^2+1)=(x^2+1)(1-3x\sqrt{4x^2-3})(pt*)\)
TH1: Với \(x\geq \frac{\sqrt{3}}{2}\)
PT(*) \(\Leftrightarrow \frac{6x^4+2x^2}{x^2+1}=1-3x\sqrt{4x^2-3}\) (Phương trình vô nghiệm)
Do \(VT=\frac{6x^4+2x^2}{x^2+1}\geq \frac{\frac{27}{8}+2x^2}{x^2+1}> \frac{2+2x^2}{x^2+1}=2\)
còn \(VP=1-3x\sqrt{4x^2-3}\leq 1\)
TH2: Với \(-1\leq x\leq -\frac{\sqrt{3}}{2}\)
PT(*) \(\Leftrightarrow 6x^4+2x^2=(x^2+1)(1+3\sqrt{4x^4-3x^2})\) Chia hai vế pt này cho x4 ta được:
\(\Leftrightarrow 6+\frac{2}{x^2}=\left ( 1+\frac{1}{x^2} \right )\left ( \frac{1}{x^2+3\sqrt{4-\frac{3}{x^2}}} \right )\)
Đặt \(t=\frac{1}{x^2};\left ( t\in \left [ 1;\frac{4}{3} \right ] \right )\)
Ta được pt: \(6+2t=(1+t)(t+3\sqrt{4-3t})\Leftrightarrow \frac{2t+6}{t+1}=t+3\sqrt{4-3t}\)
\(\Leftrightarrow \frac{2t+6}{t+1}-4=t-1+3(\sqrt{4-3t}-1)\Leftrightarrow \frac{2-2t}{t+1}=t-1+\frac{3(3-3t)}{\sqrt{4-3t}+1}\)
\(\Leftrightarrow (1-t)\left ( \frac{2}{t+1}+1 \right )=\frac{9(1-t)}{\sqrt{4-3t}+1}\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} 1-t=0\\ \frac{2}{t+1}+1=\frac{9}{\sqrt{4-3t}+1} \end{matrix}\)
*) Pt \(1-t=0\Leftrightarrow t=1\) được \(x=-1\Rightarrow y=0\)
*) Pt \(\frac{2}{t+1}+1=\frac{9}{\sqrt{4-3t}+1}\) vô nghiệm vì \(t\geq 1\Rightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{2}{t+1}+1\leq 2\\\\ \frac{9}{\sqrt{4-3t}+1}\geq \frac{9}{2} \end{matrix}\right.\)
Hệ có đúng một nghiệm: (x; y) = (-1; 0)
mn người ơi, giải giúp em vs, bài này khó quá!
Cho hàm số \(y=\frac{x}{x-1} \ (C)\)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại giao điểm của đồ thị với trục tung.
Câu trả lời của bạn
TXĐ: D = R\ {1}
\(y'=-\frac{1}{(x-1)^2}<0\)
* Giới hạn và tiệm cận:
\(\lim_{x\rightarrow +\infty }f(x)=\lim_{x\rightarrow -\infty }f(x)=1\) nên y = 1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
\(\lim_{x\rightarrow 1^+ }f(x)=\lim_{x\rightarrow 1^- }f(x)=-\infty\) nên x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
Bảng biến thiên
Hàm số nghịch biến trên (\(-\infty\);1) và (1;\(+\infty\) ), hàm số không có cực trị.
Đồ thị: Vẽ chính xác đồ thị
Nhận xét: Đồ thị nhận giao điểm của 2 đường tiệm cận I(1;1) làm tâm đối xứng
b,
Đồ thị cắt Oy tại O(0;0)
Gọi (d) là tiếp tuyến của đồ thị tại O, khi đó (d) có hệ số góc k xác định bởi k = y'(0) = -1
Phương trình tiếp tuyến (d) cần tìm là \(y=-1(x-0)+0\Leftrightarrow y=-x\)
Cho hàm số \(y=\frac{x^{3}}{2}-\frac{3}{4}x^{2}-6mx+\frac{1}{2}.\)
Với m = \(\frac{1}{2}\)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C).
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ bằng 1.
Câu trả lời của bạn
Khi \(m=\frac{1}{2}\Rightarrow y=\frac{x^{3}}{2}-\frac{3}{4}x^{2}-3x+\frac{1}{2}\)
1. Tập xác định: D = R
2. Sự biến thiên của hàm số
* Giới hạn tại vô cực của hàm số.
\(\lim_{x\rightarrow +\infty }=\lim_{x\rightarrow +\infty }(\frac{x^{3}}{2}-\frac{3}{4}x^{2}-3x+\frac{1}{2})=\lim_{x\rightarrow +\infty }x^{3}(\frac{1}{2}-\frac{3}{4x}-\frac{3}{x^{2}}+\frac{1}{2x^{3}})=+\infty ;\lim_{x\rightarrow -\infty }y=-\infty\)
* Lập bảng biến thiên \(y'=\frac{3}{2}x^{2}-\frac{3}{2}x-3;y'=0\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} x=-1\Rightarrow y(-1)=\frac{9}{4}\\x=2\Rightarrow y(2)=-\frac{9}{2} \end{matrix}\)
Bảng biến thiên
Hàm số đồng biến trên các khoảng \((-\infty ;-1)\) và \((2;+\infty );\)
Hàm số nghịch biến trên khoảng (-1; 2);
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 \(\Rightarrow y_{ct}=-\frac{9}{2},\) Hàm số đạt cực đại tại x = 0 \(\Rightarrow y_{cd}=\frac{9}{4}\)
3. Đồ thị
Đồ thị hàm số cắt trục Oy tại (0; 1/2)
Đồ thị hàm số đi qua (-1; 9/4), (-5/2; -9/2)
b) Tập xác định: D = R
\(y=\frac{x^{3}}{2}-\frac{3}{4}x^{2}-3x+\frac{1}{2}\)
\(y'=\frac{3x^{3}}{2}-\frac{3}{2}x-3;y'(1)=-3;y(1)=-\frac{11}{4}\)
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ bằng 1 là \(y=y'(1)(x-1)+y(1)=-3(x-1)-\frac{11}{4}=-3x+\frac{1}{4}\)
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *