Bài ôn tập chương Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng sẽ giúp các em hệ thống lại kiến thức của toàn bộ các bài đã học thông qua các sơ đồ, cùng với đó là các bảng tra cứu nhanh nguyên hàm các hàm số quen thuộc,...sẽ giúp các em ghi nhớ bài học tốt hơn.
2.1. Sơ đồ chung các bài toán tích phân và ứng dụng
Tìm các nguyên hàm sau:
a) \(I = \int\limits {\left( {3x + 1} \right)\left( {x - 2} \right)} \,dx\).
b) \(J = \int\limits {\left( {5{{\sin }^2}x - \sin x + 2} \right)\cos x} \,dx\).
a) \(I = \int\limits {\left( {3x + 1} \right)\left( {x - 2} \right)} \,dx\)
\(I = \int\limits {\left( {3{x^2} - 5x - 2} \right)} \,dx = {x^3} - \frac{{5{x^2}}}{2} - 2x + C.\)
b) \(J = \int\limits {\left( {5{{\sin }^2}x - \sin x + 2} \right)\cos x} \,dx\)
Đặt: \(t = \sin x \Rightarrow dt = \cos xdx\)
Khi đó: \(J = \int\limits {\left( {5{t^2} - t + 2} \right)} \,dt = \frac{{5{t^3}}}{3} - \frac{{{t^2}}}{2} + 2t + C = \frac{5}{3}{\sin ^3}x - \frac{{{{\sin }^2}x}}{2} + 2\sin x + C.\)
Tính các tích phân sau:
a) \(I=\int_{1}^{3}x(3x+2lnx)dx.\)
b) \(I=\int_{1}^{2}\frac{x^2+ln^2x}{x}dx.\)
c) \(I = \int\limits_{\frac{{\sqrt 2 }}{2}}^1 {\frac{{\sqrt {1 - {x^2}} }}{{{x^2}}}dx} .\)
a) \(I=\int_{1}^{2}3x^2dx+\int_{1}^{2}2xlnxdx\)
Đặt \(I_1=\int_{1}^{2}3x^2dx; I_2=\int_{1}^{2}2xlnxdx\)
\(I_1=\int_{1}^{2}3x^2dx=x^3\bigg |^2_1=7.\)
\(I_2=\int_{1}^{2}lnxd(x^2)=(x^2lnx)\bigg|^2_1-\int_{1}^{2}xdx=4ln2- \frac{x^2}{2}\bigg|^2_1=4ln2-\frac{3}{2}.\)
Vậy \(I=I_1+I_2=4ln2-\frac{11}{2}.\)
b) Ta tách tích phân I như sau: \(I=\int_{1}^{2}\frac{x^2+ln^2x}{x}dx=\int_{1}^{2}xdx+\int_{1}^{2}\frac{ln^2x}{x}dx\)
\(I_1=\int_{1}^{2}xdx=\frac{x^2}{2}\bigg|^2_1=\frac{3}{2}\)
\(I_2=\int_{1}^{2}\frac{ln^2x}{x}dx\)
Đặt \(t=lnx\Rightarrow dt=\frac{1}{x}dx\)
Đổi cận: \(x=2\Rightarrow t=ln2;x=1\Rightarrow t=0\)
\(I_2=\int_{0}^{ln2}t^2dt=\frac{t^3}{3}\bigg |^{ln2}_0=\frac{ln^32}{3}\)
Vậy \(I=I_1+I_2=\frac{3}{2}+\frac{ln^32}{3}.\)
c) \(I = \int\limits_{\frac{{\sqrt 2 }}{2}}^1 {\frac{{\sqrt {1 - {x^2}} }}{{{x^2}}}dx} .\)
Đặt \(x = \cos t,t \in \left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right] \Rightarrow dx = - \sin tdt\)
Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l} x = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow t = \frac{\pi }{4}\\ x = 1 \Rightarrow t = 0 \end{array} \right.\)
Khi đó:
\(\begin{array}{l} I = - \int\limits_{\frac{\pi }{4}}^0 {\frac{{\sqrt {1 - {{\cos }^2}t} .\sin t}}{{{{\cos }^2}t}}dt} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{\left| {\sin t} \right|.\sin t}}{{{{\cos }^2}t}}dt} \\ = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\left( {\frac{1}{{{{\cos }^2}t}} - 1} \right)dt} = \left. {\left( {\tan t - t} \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{4}} = 1 - \frac{\pi }{4}. \end{array}\)
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x2 + x, trục hoành và hai đường thẳng x = 0, x = 1.
Diện tích hình phẳng cần tính là: \(S=\int_{0}^{1}\left | x^2+x \right |dx\)
Với \(x\in [0;1]\Rightarrow S=\int_{0}^{1}(x^2+x)dx\)
Suy ra \(S=(\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2})\bigg |^1_0=\frac{5}{6}.\)
Vậy \(S=\frac{5}{6}\).
Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = \frac{1}{{1 + \sqrt {4 - 3{\rm{x}}} }},y = 0,x = 0,x = 1\) quay quanh trục Ox. Tính thể tích V của khối tròn xoay tạo thành.
Thể tích cần tìm: \(V = \pi \int\limits_0^1 {\frac{{dx}}{{{{\left( {1 + \sqrt {4 - 3x} } \right)}^2}}}}\)
Đặt:\(t = \sqrt {4 - 3x} \Rightarrow dt = - \frac{3}{{2\sqrt {4 - 3x} }}dx \Leftrightarrow dx = - \frac{2}{3}tdt\left( {x = 0 \Rightarrow t = 2;x = 1 \Rightarrow t = 1} \right)\)
Khi đó:
\(\begin{array}{l} V = \frac{{2\pi }}{3}\int\limits_1^2 {\frac{t}{{{{\left( {1 + t} \right)}^2}}}dt} = \frac{{2\pi }}{3}\int\limits_1^2 {\left( {\frac{1}{{1 + t}} - \frac{1}{{{{\left( {1 + t} \right)}^2}}}} \right)dt} \\ = \left. {\frac{{2\pi }}{3}\left( {\ln \left| {1 + t} \right| + \frac{1}{{1 + t}}} \right)} \right|_1^2 = \frac{\pi }{9}\left( {6\ln \frac{3}{2} - 1} \right). \end{array}\)
Bài ôn tập chương Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng sẽ giúp các em hệ thống lại kiến thức của toàn bộ các bài đã học thông qua các sơ đồ, cùng với đó là các bảng tra cứu nhanh nguyên hàm các hàm số quen thuộc,...sẽ giúp các em ghi nhớ bài học tốt hơn.
Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 12 Ôn tập chương 3để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.
Hàm số nào sau đây không phải làm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = 2\sin 2x.\)
Biết \(F\left( x \right) = \left( {ax + b} \right).{e^x}\) là nguyên hàm của hàm số \(y = \left( {2x + 3} \right).{e^x}.\) Tính tổng a + b.
Trong các tích phân sau, tích phân nào không có cùng giá trị với \(I = \int\limits_1^2 {{x^3}\sqrt {{x^2} - 1} dx} .\)
Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 12 Ôn tập chương 3 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Giải tích 12 Cơ bản và Nâng cao.
Bài tập 1 trang 126 SGK Giải tích 12
Bài tập 2 trang 126 SGK Giải tích 12
Bài tập 3 trang 126 SGK Giải tích 12
Bài tập 4 trang 126 SGK Giải tích 12
Bài tập 5 trang 127 SGK Giải tích 12
Bài tập 6 trang 127 SGK Giải tích 12
Bài tập 7 trang 127 SGK Giải tích 12
Bài tập 1 trang 128 SGK Giải tích 12
Bài tập 2 trang 128 SGK Giải tích 12
Bài tập 3 trang 128 SGK Giải tích 12
Bài tập 4 trang 128 SGK Giải tích 12
Bài tập 5 trang 128 SGK Giải tích 12
Bài tập 6 trang 128 SGK Giải tích 12
Bài tập 41 trang 175 SGK Toán 12 NC
Bài tập 42 trang 175 SGK Toán 12 NC
Bài tập 43 trang 176 SGK Toán 12 NC
Bài tập 44 trang 176 SGK Toán 12 NC
Bài tập 45 trang 176 SGK Toán 12 NC
Bài tập 46 trang 176 SGK Toán 12 NC
Bài tập 47 trang 176 SGK Toán 12 NC
Bài tập 48 trang 176 SGK Toán 12 NC
Bài tập 49 trang 176 SGK Toán 12 NC
Bài tập 50 trang 176 SGK Toán 12 NC
Bài tập 51 trang 176 SGK Toán 12 NC
Bài tập 52 trang 177 SGK Toán 12 NC
Bài tập 53 trang 177 SGK Toán 12 NC
Bài tập 54 trang 177 SGK Toán 12 NC
Bài tập 55 trang 177 SGK Toán 12 NC
Bài tập 56 trang 177 SGK Toán 12 NC
Bài tập 57 trang 177 SGK Toán 12 NC
Bài tập 58 trang 177 SGK Toán 12 NC
Bài tập 59 trang 177 SGK Toán 12 NC
Bài tập 60 trang 178 SGK Toán 12 NC
Bài tập 61 trang 178 SGK Toán 12 NC
Bài tập 62 trang 178 SGK Toán 12 NC
Bài tập 63 trang 178 SGK Toán 12 NC
Bài tập 64 trang 178 SGK Toán 12 NC
Bài tập 65 trang 178 SGK Toán 12 NC
Bài tập 66 trang 179 SGK Toán 12 NC
Bài tập 67 trang 179 SGK Toán 12 NC
Bài tập 3.43 trang 180 SBT Toán 12
Bài tập 3.44 trang 180 SBT Toán 12
Bài tập 3.45 trang 181 SBT Toán 12
Bài tập 3.46 trang 181 SBT Toán 12
Bài tập 3.47 trang 181 SBT Toán 12
Bài tập 3.48 trang 181 SBT Toán 12
Bài tập 3.49 trang 182 SBT Toán 12
Bài tập 3.50 trang 182 SBT Toán 12
Bài tập 3.51 trang 182 SBT Toán 12
Bài tập 3.52 trang 182 SBT Toán 12
Bài tập 3.53 trang 183 SBT Toán 12
Bài tập 3.54 trang 183 SBT Toán 12
Bài tập 3.55 trang 183 SBT Toán 12
Bài tập 3.56 trang 183 SBT Toán 12
Bài tập 3.67 trang 183 SBT Toán 12
Bài tập 3.58 trang 184 SBT Toán 12
Bài tập 3.59 trang 184 SBT Toán 12
Bài tập 3.60 trang 184 SBT Toán 12
Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán DapAnHay sẽ sớm trả lời cho các em.
-- Mod Toán Học 12 DapAnHay
Hàm số nào sau đây không phải làm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = 2\sin 2x.\)
Biết \(F\left( x \right) = \left( {ax + b} \right).{e^x}\) là nguyên hàm của hàm số \(y = \left( {2x + 3} \right).{e^x}.\) Tính tổng a + b.
Trong các tích phân sau, tích phân nào không có cùng giá trị với \(I = \int\limits_1^2 {{x^3}\sqrt {{x^2} - 1} dx} .\)
Tính diện tích S của hình phẳng được giới hạn bởi các đồ thị hàm số \(y=x^2\) và \(y=x\).
Biết rằng \(\int\limits_1^5 {\frac{3}{{{x^2} + 3x}}dx} = a\ln 5 + b\ln 2, \left( {a,b \in Z } \right).\) Mệnh đề nào sau đây đúng?
Có bao nhiêu số nguyên dương n sao cho biểu thức \(P = n\ln n - \int_1^n {\ln xdx}\) có giá trị không vượt quá 2017.
Tính thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = 0,\,y = x\sqrt {\ln (x + 1)}\) và x = 1 xung quanh trục Ox.
Cho \(I = \int\limits_0^1 {f\left( {\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + \sqrt {1 - x} }}} \right)dx} = 10\). Tính \(J = \int\limits_0^1 {f\left( {\frac{{\sqrt {1 - x} }}{{\sqrt x + \sqrt {1 - x} }}} \right)dx}.\)
Cho hàm số \(f(x) = \frac{a}{{{{(x + 1)}^3}}} + bx{e^x}.\) Tìm a và b biết rằng \(f'(x) = - 22\) và \(\int\limits_0^1 {f(x)dx = 5.}\)
Từ khúc gỗ hình trụ có bán kính 30cm, người ta cắt khúc gỗ bởi một mặt phẳng đi qua đường kính và nghiêng với đáy một góc \(45^0\) để lấy một hình nêm như hình vẽ.
Kí hiệu V là thể tích của hình nêm (Hình 2). Tìm V.
a) Phát biểu định nghĩa nguyên hàm của hàm số f(x) trên một khoảng.
b) Nêu phương pháp tính nguyên hàm từng phần. Cho ví dụ minh họa.
a) Phát biểu định nghĩa tích phân của hàm số f(x) trên một đoạn.
b) Nêu các tính chất của tích phân. Cho ví dụ minh họa.
Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a) \(f(x)=(x-1)(1-2x)(1-3x)\)
b) \(f(x)=sin4xcos^22x\)
c) \(f(x)=\frac{1}{1-x^2}\)
c)\(f(x)=(e^x-1)^3\)
Tính:
a) \(\int (2-x)sinxdx\)
b) \(\frac{\int (x+1)^2}{\sqrt{x}}dx\)
c) \(\int \frac{e^{3x+1}}{e^x+1}dx\)
d) \(\int \frac{1}{(sinx+cosx)^2}dx\)
e) \(\int \frac{1}{\sqrt{1+x}+\sqrt{x}}dx\)
f) \(\int \frac{1}{(1+x)(2-x)}dx\)
Tính:
a) \(\int_{3}^{0}\frac{x}{\sqrt{1+x}}dx\)
b) \(\int_{1}^{64} \frac{1+\sqrt{x}}{\sqrt[3]{x}}dx\)
c) \(\int_{0}^{2} x^2.e^{3x}dx\)
d) \(\int_{0}^{\pi} \sqrt{1+sin2x}dx\)
Tính:
a) \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}cos2xsin^2xdx\)
b) \(\int_{-1}^{1}\left | 2^2-2^{-x} \right |dx\)
c) \(\int_{-1}^{2} \frac{(x+1)(x+2)(x+3)}{x^2}dx\)
d) \(\int_{-1}^{\frac{\pi }{2}} (sinx+cosx)^2dx\)
e) \(\int_{-1}^{\pi } (x+sinx)^2dx\)
g) \(\int_{0}^{\pi }(x+sinx)^2dx\)
Xét hình phẳng D giới hạn bởi \(y=2\sqrt{1-x^2}\) và \(y=2(1-x)\)
a) Tính diện tích hình D
b) Quay hình D xung quanh trục Ox. Tính thể tích khối tròn xoay được tạo thành.
Tính \(\frac{\int dx}{\sqrt{1-x}}\) kết quả:
(A). \(\frac{C}{ \sqrt{1-x}}\) (B) \(C\sqrt{1-x}\)
(C). \(-2\sqrt{1-x}+C\) (D) \(\frac{2}{\sqrt{1-x}}+C\)
Tính \(\int 2^{\sqrt{x}}.\frac{ln2}{\sqrt{x}}dx\), kết quả sai là:
(A) \(2^{\sqrt{x}+1}+C\)
(B) \(2(2^{\sqrt{x}}-1)+C\)
(C) \(2(2^{\sqrt{x}}+1)+C\)
(D) \(2^{\sqrt{x}}+C\)
Tích phân \(\int_{0}^{\pi}cos^2x sinxdx\) bằng:
(A) \(-\frac{2}{3}\) (B) \(\frac{2}{3}\)
(C) \(\frac{3}{2}\) (D)
Cho hai tích phân \(\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}sin^2xdx\) và \(\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}cos^2x dx\). Hãy chỉ ra khẳng định đúng:
(A) \(\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}sin^2xdx >\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}cos^2x dx\)
(B) \(\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}sin^2xdx <\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}cos^2x dx\)
(C) \(\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}sin^2xdx =\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}cos^2x dx\)
(D) Không so sánh được
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong:
Câu a: \(y=x^3\) và \(y=x^5\) bằng:
(A). 0
(B). -4
(C). \(\frac{1}{6}\)
(D). 2
Câu b: \(y=x+sinx\)
(A). -4
(B). 4
(C). 0
(D). 1
Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y=\sqrt{x}\) và \(y=x\) quay xung quanh trục Ox. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:
(A).
(B). \(-\pi\)
(C). \(\pi\)
(D). \(\frac{\pi}{6}\)
Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
\(\begin{array}{*{20}{l}}
{a)y = 2x(1 - x - 3)}\\
{b)y = 8x - \frac{2}{{{x^{\frac{1}{4}}}}}}\\
{c)y = {x^{\frac{1}{2}}}\sin \left( {{x^{\frac{3}{2}}} + 1} \right)}\\
{d)y = \frac{{\sin (2x + 1)}}{{{{\cos }^2}(2x + 1)}}}
\end{array}\)
Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
\(\begin{array}{l}
a)y = \frac{1}{{{x^2}}}\cos \left( {\frac{1}{x} - 1} \right)\\
b)y = {x^3}{\left( {1 + {x^4}} \right)^3}\\
c)y = \frac{{x{e^{2x}}}}{3}\\
d)y = {x^2}{e^x}
\end{array}\)
Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a. y = x.e-x
b. \(y = \frac{{\ln x}}{x}\)
Tìm hàm số y = f(x) nếu biết dy = 12x(3x2 − 1)3dx và f(1) = 3
Xác định số b dương để tích phân \(\int\limits_0^b {(x - {x^2})dx} \) có giá trị lớn nhất.
Cho biết \(\int\limits_7^9 {f(x)dx} = - 1,\)
\(\int\limits_7^9 {f(x)dx} = 5,\int\limits_7^9 {g(x)dx} = 4.\)
Hãy tìm:
\(\begin{array}{l}
a)\int \limits_1^9 - 2f\left( x \right)dx\\
b)\int \limits_7^9 \left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]dx\\
c)\int\limits_7^9 {[2f(x) - 3g(x)]dx} \\
d)\int\limits_1^7 {f(x)dx}
\end{array}\)
Cho hàm số f liên tục trên [a; b]. Tỉ số: \(\frac{1}{{b - a}} - \int_a^b {f(x)dx} \) được gọi là giá trị trung bình của hàm số f trên [a;b] và được kí hiệu là m(f). Chứng minh rằng tồn tại điểm c ∈ [a; b] sao cho m(f) = f(c)
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
Tìm m khác 0 để y=mx/x^2+1 đạt giá trị lớn nhất tại x=1 trên [-2;2]
Câu trả lời của bạn
hơi khó
khó vậy
Câu trả lời của bạn
Đặt \(\displaystyle u = \sqrt {x - 3} \)\(\displaystyle \Rightarrow {u^2} = x - 3 \Rightarrow 2udu = dx\)
\(\displaystyle \Rightarrow \int {(2x - 3)\sqrt {x - 3} dx} \) \(\displaystyle = \int {\left[ {2\left( {{u^2} + 3} \right) - 3} \right].u.2udu} \) \(\displaystyle = 2\int {{u^2}\left( {2{u^2} + 3} \right)du} \) \(\displaystyle = 2\int {\left( {2{u^4} + 3{u^2}} \right)du} \)
\(\displaystyle = 2\left( {2.\frac{{{u^5}}}{5} + 3.\frac{{{u^3}}}{3}} \right) + C\)
\(\displaystyle = \frac{4}{5}{u^5} + 2{u^3} + C\)
\(\displaystyle = \frac{4}{5}.{\left( {\sqrt {x - 3} } \right)^5} + 2{\left( {\sqrt {x - 3} } \right)^3} + C\)
\(\displaystyle = \frac{4}{5}{\left( {x - 3} \right)^{\frac{5}{2}}} +2 {\left( {x - 3} \right)^{\frac{3}{2}}} + C\)
Câu trả lời của bạn
Đặt \(\displaystyle u = \sqrt {{x^2} + 1} \)\(\displaystyle \Rightarrow {u^2} = {x^2} + 1\)
\( \Rightarrow 2udu = 2xdx\) \(\Rightarrow udu = xdx\)
\(\displaystyle \Rightarrow \int {\frac{x}{{{{(1 + {x^2})}^{\frac{3}{2}}}}}} dx\) \(\displaystyle = \int {\frac{{udu}}{{{u^3}}}} = \int {\frac{{du}}{{{u^2}}}} \) \(\displaystyle = - \frac{1}{u} + C = - \frac{1}{{\sqrt {1 + {x^2}} }} + C\)
Câu trả lời của bạn
Ta có: \(\displaystyle \int {\frac{{{e^x}}}{{{e^x} + {e^{ - x}}}}} dx\)\(\displaystyle = \int {\frac{{{e^x}.{e^x}}}{{\left( {{e^x} + {e^{ - x}}} \right).{e^x}}}dx} \) \(\displaystyle = \int {\frac{{{e^{2x}}}}{{{e^{2x}} + 1}}dx} \)
Đặt \(\displaystyle u = {e^{2x}} + 1 \Rightarrow du = 2{e^{2x}}dx\)
Khi đó \(\displaystyle \int {\frac{{{e^x}}}{{{e^x} + {e^{ - x}}}}} dx\) \(\displaystyle = \int {\frac{{du}}{{2u}}} = \frac{1}{2}\ln u\) \(\displaystyle = \frac{1}{2}\ln \left( {{e^{2x}} + 1} \right) + C\)
Câu trả lời của bạn
\(\displaystyle \int\limits_0^1 {{{(y - 1)}^2}\sqrt y } dy\)
Đặt \(\displaystyle t = \sqrt y \Rightarrow {t^2} = y \Rightarrow 2tdt = dy\)
\(\displaystyle \Rightarrow \int\limits_0^1 {{{(y - 1)}^2}\sqrt y } dy\) \(\displaystyle = \int\limits_0^1 {{{\left( {{t^2} - 1} \right)}^2}.t.2tdt} \) \(\displaystyle = 2\int\limits_0^1 {{t^2}\left( {{t^4} - 2{t^2} + 1} \right)dt} \) \(\displaystyle = 2\int\limits_0^1 {\left( {{t^6} - 2{t^4} + {t^2}} \right)dt} \) \(\displaystyle = 2\left. {\left( {\frac{{{t^7}}}{7} - 2.\frac{{{t^5}}}{5} + \frac{{{t^3}}}{3}} \right)} \right|_0^1\) \(\displaystyle = 2\left( {\frac{1}{7} - \frac{2}{5} + \frac{1}{3}} \right) = \frac{{16}}{{105}}\)
Câu trả lời của bạn
Ta có: \(\displaystyle \frac{1}{{\sin x - \sin a}}\)\(\displaystyle = \frac{1}{{2\cos \frac{{x + a}}{2}\sin \frac{{x - a}}{2}}}\) \(\displaystyle = \frac{{\cos a}}{{2\cos a\cos \frac{{x + a}}{2}\sin \frac{{x - a}}{2}}}\)
\(\displaystyle = \frac{{\cos \left( {\frac{{x + a}}{2} - \frac{{x - a}}{2}} \right)}}{{2\cos a\cos \frac{{x + a}}{2}\sin \frac{{x - a}}{2}}}\) \(\displaystyle = \frac{{\cos \frac{{x + a}}{2}\cos \frac{{x - a}}{2} + \sin \frac{{x + a}}{2}\sin \frac{{x - a}}{2}}}{{2\cos a\cos \frac{{x + a}}{2}\sin \frac{{x - a}}{2}}}\)
\(\displaystyle = \frac{1}{{2\cos a}}\left( {\frac{{\cos \frac{{x - a}}{2}}}{{\sin \frac{{x - a}}{2}}} + \frac{{\sin \frac{{x + a}}{2}}}{{\cos \frac{{x + a}}{2}}}} \right)\)
\(\displaystyle \Rightarrow \int {\frac{1}{{\sin x - \sin a}}} dx\) \(\displaystyle = \frac{1}{{2\cos a}}\int {\left( {\frac{{\cos \frac{{x - a}}{2}}}{{\sin \frac{{x - a}}{2}}} + \frac{{\sin \frac{{x + a}}{2}}}{{\cos \frac{{x + a}}{2}}}} \right)dx} \)
+) Tính \(\displaystyle J = \int {\frac{{\cos \frac{{x - a}}{2}}}{{\sin \frac{{x - a}}{2}}}dx} \) \(\displaystyle = \int {\frac{{2d\left( {\sin \frac{{x - a}}{2}} \right)}}{{\sin \frac{{x - a}}{2}}}} \) \(\displaystyle = 2\ln \left| {\sin \frac{{x - a}}{2}} \right| + D\)
+) Tính \(\displaystyle K = \int {\frac{{\sin \frac{{x + a}}{2}}}{{\cos \frac{{x + a}}{2}}}dx} \) \(\displaystyle = \int {\frac{{ - 2d\left( {\cos \frac{{x + a}}{2}} \right)}}{{\cos \frac{{x + a}}{2}}}} \) \(\displaystyle = - 2\ln \left| {\cos \frac{{x + a}}{2}} \right| + D\)
\(\displaystyle \Rightarrow I = \frac{1}{{2\cos a}}\left( {J + K} \right)\) \(\displaystyle = \frac{1}{{2\cos a}}\left( {2\ln \left| {\sin \frac{{x - a}}{2}} \right| - 2\ln \left| {\cos \frac{{x + a}}{2}} \right|} \right) + C\) \(\displaystyle = \frac{1}{{\cos a}}\ln \left| {\frac{{\sin \frac{{x - a}}{2}}}{{\cos \frac{{x + a}}{2}}}} \right| + C\)
Câu trả lời của bạn
\(\displaystyle \int\limits_1^e {\frac{{\sqrt {4 + 5\ln x} }}{x}} dx\)
Đặt \(\displaystyle t = \sqrt {4 + 5\ln x} \Rightarrow {t^2} = 4 + 5\ln x\) \(\displaystyle \Rightarrow 2tdt = \frac{5}{x}dx \Rightarrow \frac{{dx}}{x} = \frac{2}{5}tdt\)
\(\displaystyle \Rightarrow \int\limits_1^e {\frac{{\sqrt {4 + 5\ln x} }}{x}} dx\) \(\displaystyle = \int\limits_2^3 {t.\frac{2}{5}tdt} = \frac{2}{5}\int\limits_2^3 {{t^2}dt} \) \(\displaystyle = \frac{2}{5}.\left. {\frac{{{t^3}}}{3}} \right|_2^3 = \frac{2}{5}\left( {\frac{{27}}{3} - \frac{8}{3}} \right) = \frac{{38}}{{15}}\).
Câu trả lời của bạn
\(\displaystyle \int\limits_1^2 {({z^2} + 1)\sqrt[3]{{{{(z - 1)}^2}}}} dz\)
Đặt \(\displaystyle u = \sqrt[3]{{{{(z - 1)}^2}}}\) \(\displaystyle \Rightarrow {u^3} = {\left( {z - 1} \right)^2}\) \(\displaystyle \Rightarrow z = 1 + {u^{\frac{3}{2}}} \Rightarrow dz = \frac{3}{2}{u^{\frac{1}{2}}}du\)
\(\displaystyle \Rightarrow \int\limits_1^2 {({z^2} + 1)\sqrt[3]{{{{(z - 1)}^2}}}} dz\) \(\displaystyle = \int\limits_0^1 {\left[ {{{\left( {1 + {u^{\frac{3}{2}}}} \right)}^2} + 1} \right].u.\frac{3}{2}{u^{\frac{1}{2}}}du} \) \(\displaystyle = \frac{3}{2}\int\limits_0^1 {{u^{\frac{3}{2}}}\left( {2 + 2{u^{\frac{3}{2}}} + {u^3}} \right)du} \)
\(\displaystyle = \frac{3}{2}\int\limits_0^1 {\left( {2{u^{\frac{3}{2}}} + 2{u^3} + {u^{\frac{9}{2}}}} \right)du} \) \(\displaystyle = \frac{3}{2}\left. {\left( {2.\frac{2}{5}{u^{\frac{5}{2}}} + 2.\frac{{{u^4}}}{4} + \frac{2}{{11}}{u^{\frac{{11}}{2}}}} \right)} \right|_0^1\) \(\displaystyle = \frac{3}{2}\left( {\frac{4}{5} + \frac{1}{2} + \frac{2}{{11}}} \right) = \frac{{489}}{{220}}\)
Câu trả lời của bạn
Ta có: \(\displaystyle \frac{{{e^x}}}{{{e^{2x}} - 1}} = \frac{{{e^x}}}{{\left( {{e^x} - 1} \right)\left( {{e^x} + 1} \right)}}\) \(\displaystyle = \frac{1}{2}\left( {\frac{{{e^x}}}{{{e^x} - 1}} - \frac{{{e^x}}}{{{e^x} + 1}}} \right)\)
Khi đó \(\displaystyle \int\limits_{\frac{1}{2}}^1 {\frac{{{e^x}}}{{{e^{2x}} - 1}}dx} \) \(\displaystyle = \frac{1}{2}\int\limits_{\frac{1}{2}}^1 {\left( {\frac{{{e^x}}}{{{e^x} - 1}} - \frac{{{e^x}}}{{{e^x} + 1}}} \right)dx} \) \(\displaystyle = \frac{1}{2}\left[ {\int\limits_{\frac{1}{2}}^1 {\frac{{{e^x}}}{{{e^x} - 1}}dx} - \int\limits_{\frac{1}{2}}^1 {\frac{{{e^x}}}{{{e^x} + 1}}} dx} \right]\)
\(\displaystyle = \frac{1}{2}\left[ {\int\limits_{\frac{1}{2}}^1 {\frac{{d\left( {{e^x}} \right)}}{{{e^x} - 1}}} - \int\limits_{\frac{1}{2}}^1 {\frac{{d\left( {{e^x}} \right)}}{{{e^x} + 1}}} } \right]\) \(\displaystyle = \frac{1}{2}\left. {\left[ {\ln \left| {{e^x} - 1} \right| - \ln \left| {{e^x} + 1} \right|} \right]} \right|_{\frac{1}{2}}^1\) \(\displaystyle = \frac{1}{2}\left. {\left[ {\ln \left| {\frac{{{e^x} - 1}}{{{e^x} + 1}}} \right|} \right]} \right|_{\frac{1}{2}}^1\)
\(\displaystyle = \frac{1}{2}\left( {\ln \frac{{e - 1}}{{e + 1}} - \ln \frac{{\sqrt e - 1}}{{\sqrt e + 1}}} \right)\) \(\displaystyle = \frac{1}{2}\ln \frac{{\left( {e - 1} \right)\left( {\sqrt e + 1} \right)}}{{\left( {e + 1} \right)\left( {\sqrt e - 1} \right)}}\).
Câu trả lời của bạn
Ta có: \(\displaystyle {\cos ^2}x = \frac{{1 + \cos 2x}}{2}\) \(\displaystyle \Rightarrow \cos 2x.{\cos ^2}x = \frac{1}{2}\cos 2x\left( {1 + \cos 2x} \right)\)
\(\displaystyle = \frac{1}{2}\cos 2x + \frac{1}{2}{\cos ^2}2x\) \(\displaystyle = \frac{1}{2}\cos 2x + \frac{1}{4}\left( {1 + \cos 4x} \right)\) \(\displaystyle = \frac{1}{2}\cos 2x + \frac{1}{4}\cos 4x + \frac{1}{4}\)
Suy ra \(\displaystyle \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\cos 2x} .{\cos ^2}xdx\)\(\displaystyle = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\left( {\frac{1}{2}\cos 2x + \frac{1}{4}\cos 4x + \frac{1}{4}} \right)dx} \) \(\displaystyle = \left. {\left( {\frac{1}{4}\sin 2x + \frac{1}{{16}}\sin 4x + \frac{1}{4}x} \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{4}}\) \(\displaystyle = \frac{1}{4} + \frac{\pi }{{16}}\)
Câu trả lời của bạn
Xét hàm số \(\displaystyle f\left( t \right) = {t^5}\) xác định và liên tục trên \(\displaystyle \mathbb{R}\).
Khi đó \(\displaystyle \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( {\sin \varphi } \right)d\varphi } = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( {\cos \varphi } \right)d\varphi } \) hay \(\displaystyle \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\sin }^5}\varphi d\varphi } = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\cos }^5}\varphi d\varphi } \)
\(\displaystyle \Rightarrow \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\cos }^5}\varphi d\varphi } - \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\sin }^5}\varphi d\varphi } = 0\) \(\displaystyle \Rightarrow \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {{{\cos }^5}\varphi - {{\sin }^5}\varphi } \right)d\varphi } = 0\)
Câu trả lời của bạn
Ta có: \(\displaystyle \frac{{x\sin x + (x + 1)\cos x}}{{x\sin x + \cos x}}\)\(\displaystyle = \frac{{\left( {x\sin x + \cos x} \right) + x\cos x}}{{x\sin x + \cos x}}\) \(\displaystyle = 1 + \frac{{x\cos x}}{{x\sin x + \cos x}}\)
Khi đó \(\displaystyle \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{x\sin x + (x + 1)\cos x}}{{x\sin x + \cos x}}dx} \)\(\displaystyle = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\left( {1 + \frac{{x\cos x}}{{x\sin x + \cos x}}} \right)dx} \) \(\displaystyle = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {dx} + \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{x\cos x}}{{x\sin x + \cos x}}dx} \)
\(\displaystyle = \frac{\pi }{4} + I\) với \(\displaystyle I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{x\cos x}}{{x\sin x + \cos x}}dx} \)
Đặt \(\displaystyle x\sin x + \cos x = u\) \(\displaystyle \Rightarrow du = \left( {\sin x + x\cos x - \sin x} \right)dx\) \(\displaystyle = x\cos xdx\)
\(\displaystyle \Rightarrow I = \int\limits_1^{\frac{{\sqrt 2 }}{2}\left( {\frac{\pi }{4} + 1} \right)} {\frac{{du}}{u}} \) \(\displaystyle = \left. {\ln \left| u \right|} \right|_1^{\frac{{\sqrt 2 }}{2}\left( {\frac{\pi }{4} + 1} \right)}\) \(\displaystyle = \ln \left[ {\frac{{\sqrt 2 }}{2}\left( {\frac{\pi }{4} + 1} \right)} \right]\) \(\displaystyle = \ln \frac{{\sqrt 2 }}{2} + \ln \left( {\frac{\pi }{4} + 1} \right)\) \(\displaystyle = \ln \left( {1 + \frac{\pi }{4}} \right) - \frac{1}{2}\ln 2\)
Vậy \(\displaystyle \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{x\sin x + (x + 1)\cos x}}{{x\sin x + \cos x}}dx} \)\(\displaystyle = \frac{\pi }{4} + \ln \left( {1 + \frac{\pi }{4}} \right) - \frac{1}{2}\ln 2\).
Câu trả lời của bạn
Ta có: \(\displaystyle \frac{{x + 2}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \frac{{x + 1}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\) \(\displaystyle = \frac{1}{{x + 1}} + \frac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\)
Khi đó \(\displaystyle \int\limits_0^1 {\frac{{x + 2}}{{{x^2} + 2x + 1}}\ln (x + 1)dx} \)\(\displaystyle = \int\limits_0^1 {\frac{{\ln \left( {x + 1} \right)}}{{x + 1}}dx} + \int\limits_0^1 {\frac{{\ln \left( {x + 1} \right)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}dx} \) \(\displaystyle = I + J\)
\(\displaystyle I = \int\limits_0^1 {\ln \left( {x + 1} \right)d\left( {\ln \left( {x + 1} \right)} \right)} \) \(\displaystyle = \left. {\frac{{{{\ln }^2}\left( {x + 1} \right)}}{2}} \right|_0^1 = \frac{{{{\ln }^2}2}}{2}\)
Tính \(\displaystyle J = \int\limits_0^1 {\frac{{\ln \left( {x + 1} \right)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}dx} \).
Đặt \(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}u = \ln \left( {x + 1} \right)\\dv = \frac{{dx}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\end{array} \right.\) \(\displaystyle \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \frac{1}{{x + 1}}dx\\v = - \frac{1}{{x + 1}}\end{array} \right.\)
\(\displaystyle \Rightarrow J = - \left. {\frac{{\ln \left( {x + 1} \right)}}{{x + 1}}} \right|_0^1 + \int\limits_0^1 {\frac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}dx} \) \(\displaystyle = - \frac{{\ln 2}}{2} - \left. {\frac{1}{{x + 1}}} \right|_0^1\) \(\displaystyle = - \frac{{\ln 2}}{2} - \frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2} - \frac{{\ln 2}}{2}\)
Vậy \(\displaystyle \int\limits_0^1 {\frac{{x + 2}}{{{x^2} + 2x + 1}}\ln (x + 1)dx} \)\(\displaystyle = \frac{{{{\ln }^2}2}}{2} + \frac{1}{2} - \frac{{\ln 2}}{2}\) \(\displaystyle = \frac{{{{\ln }^2}2 - \ln 2 + 1}}{2}\)
Câu trả lời của bạn
Ta có: \(\displaystyle \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = \int\limits_a^d {f\left( x \right)dx} + \int\limits_d^b {f\left( x \right)dx} \)\(\displaystyle = 5 - 2 = 3\).
Câu trả lời của bạn
Ta có: \(\displaystyle {x^3} - {x^2} = \frac{1}{9}\left( {x - 1} \right)\) \(\displaystyle \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} - \frac{1}{9}} \right) = 0\) \(\displaystyle \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = \frac{1}{3}\\x = - \frac{1}{3}\end{array} \right.\)
Khi đó:
\(\displaystyle S = \int\limits_{ - \frac{1}{3}}^1 {\left| {{x^3} - {x^2} - \frac{1}{9}\left( {x - 1} \right)} \right|dx} \)\(\displaystyle = \int\limits_{ - \frac{1}{3}}^{\frac{1}{3}} {\left| {{x^3} - {x^2} - \frac{1}{9}\left( {x - 1} \right)} \right|dx} \) \(\displaystyle + \int\limits_{\frac{1}{3}}^1 {\left| {{x^3} - {x^2} - \frac{1}{9}\left( {x - 1} \right)} \right|dx} \)
\(\displaystyle = \left| {\int\limits_{ - \frac{1}{3}}^{\frac{1}{3}} {\left[ {{x^3} - {x^2} - \frac{1}{9}\left( {x - 1} \right)} \right]dx} } \right|\) \(\displaystyle + \left| {\int\limits_{\frac{1}{3}}^1 {\left[ {{x^3} - {x^2} - \frac{1}{9}\left( {x - 1} \right)} \right]dx} } \right|\)
\(\displaystyle = \left| {\left. {\left( {\frac{{{x^4}}}{4} - \frac{{{x^3}}}{3} - \frac{1}{9}.\frac{{{x^2}}}{2} + \frac{1}{9}x} \right)} \right|_{ - \frac{1}{3}}^{\frac{1}{3}}} \right|\) \(\displaystyle + \left| {\left. {\left( {\frac{{{x^4}}}{4} - \frac{{{x^3}}}{3} - \frac{1}{9}.\frac{{{x^2}}}{2} + \frac{1}{9}x} \right)} \right|_{\frac{1}{3}}^1} \right|\)
\(\displaystyle = \left| {\frac{7}{{324}} + \frac{1}{{36}}} \right| + \left| { - \frac{1}{{36}} - \frac{7}{{324}}} \right| = \frac{8}{{81}}\)
Câu trả lời của bạn
Ta có: \(\displaystyle x - 1 + \frac{{\ln x}}{x} = x - 1\)\(\displaystyle \Leftrightarrow \frac{{\ln x}}{x} = 0 \Leftrightarrow x = 1\).
Khi đó \(\displaystyle S = \int\limits_1^e {\left| {x - 1 + \frac{{\ln x}}{x} - x + 1} \right|dx} \) \(\displaystyle = \int\limits_1^e {\left| {\frac{{\ln x}}{x}} \right|dx} \) \(\displaystyle = \int\limits_1^e {\frac{{\ln x}}{x}dx} \) \(\displaystyle = \int\limits_1^e {\ln xd\left( {\ln x} \right)} \) \(\displaystyle = \left. {\frac{{{{\ln }^2}x}}{2}} \right|_1^e = \frac{1}{2}\)
Câu trả lời của bạn
Ta có: \(\displaystyle V = \pi \int\limits_0^2 {{{\left[ {{{\left( {1 - x} \right)}^2}} \right]}^2}dx} \) \(\displaystyle = \pi \int\limits_0^2 {{{\left( {x - 1} \right)}^4}dx} \) \(\displaystyle = \pi .\left. {\frac{{{{\left( {x - 1} \right)}^5}}}{5}} \right|_0^2 = \pi \left( {\frac{1}{5} + \frac{1}{2}} \right) = \frac{{2\pi }}{5}\).
Câu trả lời của bạn
Đặt \(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}u = x\\dv = {e^{1 - x}}dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dx\\v = - {e^{1 - x}}\end{array} \right.\)
\(\displaystyle \Rightarrow \int\limits_0^1 {x{e^{1 - x}}dx} = \left. { - x{e^{1 - x}}} \right|_0^1 + \int\limits_0^1 {{e^{1 - x}}dx} \) \(\displaystyle = - 1 - \left. {{e^{1 - x}}} \right|_0^1\) \(\displaystyle = - 1 - 1 + e = e - 2\)
Câu trả lời của bạn
\(\displaystyle \int\limits_{ - \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} {\frac{{x\left( {1 + {x^2} + {x^4}} \right)}}{{1 + {x^2}}}dx} \)\(\displaystyle = \int\limits_{ - \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} {\left( {{x^3} + \frac{x}{{{x^2} + 1}}} \right)dx} \) \(\displaystyle = \int\limits_{ - \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} {{x^3}dx} + \int\limits_{ - \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} {\frac{{xdx}}{{{x^2} + 1}}dx} \) \(\displaystyle = I + J\)
Ta có: \(\displaystyle I = \int\limits_{ - \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} {{x^3}dx} \)\(\displaystyle = \left. {\frac{{{x^4}}}{4}} \right|_{ - \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{4}\left( {\frac{1}{{16}} - \frac{1}{{16}}} \right) = 0\)
Tính \(\displaystyle J = \int\limits_{ - \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} {\frac{{xdx}}{{{x^2} + 1}}dx} \)\(\displaystyle = \frac{1}{2}\int\limits_{ - \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} {\frac{{d\left( {{x^2} + 1} \right)}}{{{x^2} + 1}}} = \left. {\ln \left( {{x^2} + 1} \right)} \right|_{ - \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} = 0\)
Vậy \(\displaystyle \int\limits_{ - \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} {\frac{{x\left( {1 + {x^2} + {x^4}} \right)}}{{1 + {x^2}}}dx} = I + J = 0\).
Câu trả lời của bạn
Ta có: \(\displaystyle \tan x = 0 \Leftrightarrow x = 0\) do \(\displaystyle x \in \left[ { - \frac{\pi }{4};\frac{\pi }{4}} \right]\).
Khi đó \(\displaystyle S = \int\limits_{ - \frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}} {\left| {\tan x} \right|dx} \) \(\displaystyle = \int\limits_{ - \frac{\pi }{4}}^0 {\left| {\tan x} \right|dx} + \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\left| {\tan x} \right|dx} \) \(\displaystyle = - \int\limits_{ - \frac{\pi }{4}}^0 {\tan xdx} + \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\tan xdx} \)
\(\displaystyle = - \int\limits_{ - \frac{\pi }{4}}^0 {\frac{{\sin x}}{{\cos x}}dx} + \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{\sin x}}{{\cos x}}dx} \) \(\displaystyle = \int\limits_{ - \frac{\pi }{4}}^0 {\frac{{d\left( {\cos x} \right)}}{{\cos x}}} - \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{d\left( {\cos x} \right)}}{{\cos x}}dx} \) \(\displaystyle = \left. {\ln \left| {\cos x} \right|} \right|_{ - \frac{\pi }{4}}^0 - \left. {\ln \left| {\cos x} \right|} \right|_0^{\frac{\pi }{4}}\)
\(\displaystyle = \ln 1 - \ln \frac{{\sqrt 2 }}{2} - \ln \frac{{\sqrt 2 }}{2} + \ln 1\) \(\displaystyle = - 2\ln \frac{{\sqrt 2 }}{2} = \ln 2\)
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *