Từ khoá gợi ý
Cho hàm số: \(y = {x^3} - 3{x^2}\)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho.
b) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình \({x^3} - 3{x^2} - m = 0\) có ba nghiệm phân biệt.
a) TXĐ: D = R.
Sự biến thiên: \(y' = 3{x^2} - 6x = 3x(x - 2);\)
\(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
x = 2
\end{array} \right.\)
Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \(( - \infty ;0),(2; + \infty )\)
Hàm số nghịch biến trên khoảng (0;2).
Hàm số đạt cực đại tại \(x = 0;{y_{CD}} = y\left( 0 \right) = 0\)
Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 2;{y_{CT}} = y\left( 2 \right) = - 4\)
Giới hạn: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } y = \pm \infty \)
Điểm uốn: \(y'' = 6x - 6,y'' = 0 \Leftrightarrow x = 1;\)
\(y\left( 1 \right) = - 2\) suy ra đồ thị có điểm uốn I(1;−2).
Bảng biến thiên:
Đồ thị:
Ta có: \({x^3} - 3{x^2} - m = 0 \Leftrightarrow {x^3} - 3{x^2} = m\)
Phương trình (*) có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi đường thẳng y = m cắt (C) tại 3 điểm phân biệt. Từ đó suy ra −4 < m < 0.
-- Mod Toán 12