Nội dung bài học giới thiệu đến các em những phương pháp giải bất phương trình mũ và bất phương trình lôgarit như đưa về cùng cơ số, mũ hóa, lôgarit hóa, đặt ẩn phụ, vận dụng tính chất hàm số. Thông những ví dụ minh họa sẽ giúp các em bước đầu biết cách giải bất phương trình mũ và lôgarit.
\({a^{f(x)}} > {a^{g(x)}} \Leftrightarrow f(x) > g(x)\)
\((1) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
a > 1\\
f(x) > {\log _a}b
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
0 < a < 1\\
f(x) < {\log _a}b
\end{array} \right.
\end{array} \right.\)
\((2) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
a > 1\\
f(x) > g(x).{\log _a}b
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
0 < a < 1\\
f(x) < g(x).{\log _a}b
\end{array} \right.
\end{array} \right.\)
Chia cả 2 vế cho \(n^{2g(x)}\), ta có:
\(a.\left [ \frac{m^{f(x)}}{n^{g(x)}} \right ]^2+b.\frac{m^{f(x)}}{n^{g(x)}} +c>0\)
Đặt \(t=\frac{m^{f(x)}}{n^{g(x)}}\), ta có \(at^2+bt+c>0\)
⇒ \(f(x)-g(x)\) đồng biến trên D.
Với \(a>1:\) \(\log_a \ f(x) >\log_a \ g(x)\)\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} f(x)>g(x)\\ g(x)>0 \end{matrix}\right.\)
Với \(0 < a < 1:{\log _a}f(x) > {\log _a}g(x) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
f(x) < g(x)\\
f(x) > 0
\end{array} \right.\)
Xét bất phương trình: \(\log_a \ f(x)> b \ \ (1)\) với \(0 < x \ne 1\)
Các kiểu đặt ẩn phụ:
Các nội dung cần nhớ:
Giải bất phương trình \({\left( {\sqrt 5 + 2} \right)^{x - 1}} \ge {\left( {\sqrt 5 - 2} \right)^{ - {x^2} + 3}}.\)
Ta có: \(\left( {\sqrt 5 + 2} \right)\left( {\sqrt 5 - 2} \right) = 1 \Leftrightarrow \sqrt 5 - 2 = \frac{1}{{\sqrt 5 + 2}} = {\left( {\sqrt 5 + 2} \right)^{ - 1}}\)
Vậy: \({\left( {\sqrt 5 + 2} \right)^{x - 1}} \ge {\left( {\sqrt 5 - 2} \right)^{ - {x^2} + 3}}\) \(\Leftrightarrow {\left( {\sqrt 5 + 2} \right)^{x - 1}} \ge {\left( {\sqrt 5 + 2} \right)^{{x^2} - 3}} \Leftrightarrow x - 1 \ge {x^2} - 3\)
\(\Leftrightarrow {x^2} - x - 2 \le 0 \Leftrightarrow - 1 \le x \le 2\)
Vậy BPT có tập nghiệm \(S = \left[ { - 1;2} \right]\)
Giải bất phương trình \({2^{{x^2} - 4}} \ge {5^{x - 2}}.\)
Lấy logarit cơ số 2 hai vế của bất phương trình đã cho ta có:
\({\log _2}\left( {{2^{{x^2} - 4}}} \right) \ge {\log _2}\left( {{5^{x - 2}}} \right) \Leftrightarrow {x^2} - 4 \ge \left( {x - 2} \right){\log _2}5\)
\(\Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {x + 2 - {{\log }_2}5} \right) \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x \ge 2\\ x \le {\log _2}5 - 2 \end{array} \right.\)
Vậy BPT có tập nghiệm \(S = \left( { - \infty ;{{\log }_2}5 - 2} \right] \cup \left[ {2; + \infty } \right).\)
Giải bất phương trình \({{\rm{3}}^{{\rm{2x + 1}}}} - {10.3^x} + 3 \le 0\).
\({{\rm{3}}^{{\rm{2x + 1}}}} - {10.3^x} + 3 \le 0{\rm{ }}\) \(\Leftrightarrow 3.{\left( {{3^x}} \right)^2} - {10.3^x} + 3 \le 0\)(1)
Đặt \(t = {3^x} > 0\).
Ta có: (1) \(\Leftrightarrow 3{t^2} - 10t + 3 \le 0 \Leftrightarrow \frac{1}{3} \le t \le 3\)\(\Leftrightarrow \frac{1}{3} \le {3^x} \le 3 \Leftrightarrow {3^{ - 1}} \le {3^x} \le {3^1} \Leftrightarrow - 1 \le x \le 1\)
Vậy bất phương trình có nghiệm: \(S = \left[ { - 1;1} \right].\)
Giải bất phương trình \({3^x} + {4^x} > {5^x}.\)
Chia 2 vế của phương trình cho ta được:
\({3^x} + {4^x} > {5^x} \Leftrightarrow {\left( {\frac{3}{5}} \right)^x} + {\left( {\frac{4}{5}} \right)^x} > 1.\)
Xét hàm số: \(f(x) = {\left( {\frac{3}{5}} \right)^x} + {\left( {\frac{4}{5}} \right)^x},\) TXĐ: \(D=\mathbb{R}\)
\(f'(x) = {\left( {\frac{3}{5}} \right)^x}.\ln \left( {\frac{3}{5}} \right) + {\left( {\frac{4}{5}} \right)^x}.\ln \left( {\frac{4}{5}} \right) < 0,\forall x \in\mathbb{R}\)
Suy ra hàm số f(x) nghịch biến trên R.
Mặt khác: \(f(2) = 1 \Rightarrow f(x) > 1 \Leftrightarrow x < 2\)
Vậy BPT có tập nghiệm là \(S = \left( { - \infty ;2} \right).\)
Giải bất phương trình \({\log _{\frac{1}{2}}}\left( {{x^2} - x - \frac{3}{4}} \right) \le 2 - {\log _2}5.\)
\({\log _{\frac{1}{2}}}\left( {{x^2} - x - \frac{3}{4}} \right) \le 2 - {\log _2}5 \Leftrightarrow {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {{x^2} - x - \frac{3}{4}} \right) \le {\log _{\frac{1}{2}}}\frac{1}{4} + {\log _{\frac{1}{2}}}5\)
\(\Leftrightarrow {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {{x^2} - x - \frac{3}{4}} \right) \le {\log _{\frac{1}{2}}}\frac{5}{4}\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {x^2} - x - \frac{3}{4} \ge \frac{5}{4} \Leftrightarrow {x^2} - x - 2 \ge 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x \le - 1\\ x \ge 2 \end{array} \right. \end{array}\)
Vậy tập nghiệm bất phương trình là \(S = \left( { - \infty ; - 1} \right] \cup \left[ {2; + \infty } \right)\).
Giải bất phương trình \({\log _2}\left( {1 - {{\log }_9}x} \right) < 1.\)
Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l} x > 0\\ 1 - 2{\log _9}x > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow 3 > x > 0\)
Khi đó: \({\log _2}(1 - 2{\log _9}x) < 1 \Leftrightarrow 1 - 2{\log _9}x < 2 \Leftrightarrow {\log _9}x > - \frac{1}{2} \Leftrightarrow x > \frac{1}{3}\)
Kết hợp với điều kiện ta được \(S = \left( {\frac{1}{3};3} \right)\) là tập nghiệm của bất phương trình.
Giải bất phương trình \(\log _2^2x - 5{\log _2}x - 6 \le 0.\)
Đặt \(t = {\log _2}x,\) khi đó phương trình trở thành:
\(\begin{array}{l} {t^2} - 5t - 6 \le 0\\ \Leftrightarrow (t + 1)(t - 6) \le 0\\ \Leftrightarrow - 1 \le t \le 6 \end{array}\)
Do đó ta có:
\(\begin{array}{l} - 1 \le {\log _2}x \le 6\\ \Rightarrow {\log _2}\frac{1}{2} \le {\log _2}x \le {\log _2}64\\ \Rightarrow \frac{1}{2} \le x \le 64 \end{array}\)
Vậy tập nghiệm bất phương trình là \(S = \left[ {\frac{1}{2};64} \right].\)
Giải bất phương trình \(x + {\log _3}\left( {x + 1} \right) > 3.\)
Lời giải:
ĐK: \(x>1\)
Xét hàm số \(f(x) = x + {\log _3}(x + 1)\) trên \(\left( { - 1; + \infty } \right).\)
Ta có \(f'(x) = 1 + \frac{1}{{(x + 1)\ln 3}} > 0\)
\(\Rightarrow f(x)\) đồng biến trên \(\left( { - 1; + \infty } \right).\)
Mặt khác \(f(2) = 3\)
Do đó: \(f(x) > 3 \Rightarrow f(x) > f(2) \Rightarrow x > 2\)
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: \(S = \left( {2; + \infty } \right).\)
Nội dung bài học giới thiệu đến các em những phương pháp giải bất phương trình mũ và bất phương trình lôgarit như đưa về cùng cơ số, mũ hóa, lôgarit hóa, đặt ẩn phụ, vận dụng tính chất hàm số. Thông những ví dụ minh họa sẽ giúp các em bước đầu biết cách giải bất phương trình mũ và lôgarit.
Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 12 Chương 2 Bài 6để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.
Giải bất phương trình \({9^x} - {\log _2}8 < {2.3^x}.\)
Tìm tập nghiệm S của bất phương trình: \({2^{{x^2} - x + 1}} > {4^{x + 1}}.\)
Giải bất phương trình \({5^{x + 2}} - {2^{x + 4}} > {5^{x + 1}} - {2^{x + 2}} + {2^{x + 3}}.\)
Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 12 Chương 2 Bài 6 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Giải tích 12 Cơ bản và Nâng cao.
Bài tập 1 trang 89 SGK Giải tích 12
Bài tập 2 trang 90 SGK Giải tích 12
Bài tập 2.59 trang 131 SBT Toán 12
Bài tập 2.60 trang 132 SBT Toán 12
Bài tập 2.61 trang 132 SBT Toán 12
Bài tập 2.62 trang 132 SBT Toán 12
Bài tập 2.63 trang 132 SBT Toán 12
Bài tập 2.64 trang 132 SBT Toán 12
Bài tập 80 trang 129 SGK Toán 12 NC
Bài tập 81 trang 129 SGK Toán 12 NC
Bài tập 82 trang 130 SGK Toán 12 NC
Bài tập 83 trang 130 SGK Toán 12 NC
Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán DapAnHay sẽ sớm trả lời cho các em.
-- Mod Toán Học 12 DapAnHay
Giải bất phương trình \({9^x} - {\log _2}8 < {2.3^x}.\)
Tìm tập nghiệm S của bất phương trình: \({2^{{x^2} - x + 1}} > {4^{x + 1}}.\)
Giải bất phương trình \({5^{x + 2}} - {2^{x + 4}} > {5^{x + 1}} - {2^{x + 2}} + {2^{x + 3}}.\)
Tìm tập nghiệm S của bất phương trình \(2{\log _3}\left( {4x - 3} \right) + {\log _{\frac{1}{3}}}\left( {2x + 3} \right) \le 2.\)
Giải bất phương trình \({\log _{\frac{1}{2}}}^2x + 3{\log _{\frac{1}{2}}}x + 2 \le 0\).
Tìm tập nghiệm S của bất phương trình \({6^{2x + 3}} < {2^{4x - 5}}{.3^{4x - 5}}\).
Giải bất phương trình \({\left( {\sqrt[3]{x} + 1} \right)^5} + \sqrt[3]{x}{.2^{x - 1}} \ge 1.\)
Tìm tập nghiệm S của bất phương trình \({\log _3}\sqrt {{x^2} - 5x + 6} + {\log _{\frac{1}{3}}}\sqrt {x - 2} \)
\(> \frac{1}{2}{\log _{\frac{1}{3}}}\left( {x + 3} \right).\)
Giải bất phương trình \(x + {\log _3}\left( {x + 1} \right) > 3.\)
Tìm tập nghiệm S của bất phương trình \({\log _2}\left( {1 + {3^x}} \right) + {\log _{\left( {1 + {3^x}} \right)}}2 - 2 > 0\).
Giải các bất phương trình mũ:
a) \(\small 2^{-x^{2}+3x}<4\) .
b) \(\left ( \frac{7}{9} \right )^{2x^{2}-3x}\geq \frac{9}{7}\) .
c) \(3^{x+2} + 3^{x-1} \leq 28\).
d) \(4^x - 3.2^x + 2 > 0.\)
Giải các bất phương trình lôgarit:
a) \(\small log_8(4- 2x) \geq 2\).
b) \(log_{\frac{1}{5}}(3x - 5)>log_{\frac{1}{5}}(x +1)\).
c) \(log_{{0,2}}x - log_5(x- 2) < log_{0,2}3\).
d) \(log_{3}^{2}x- 5log_3x + 6 \leq 0\) .
Giải các bất phương trình mũ sau :
b) \({4^{|x + 1|}} > 16\)
c) \({2^{ - {x^2} + 3x}} < 4\)
d) \({\left( {\frac{7}{9}} \right)^{2{x^2} - 3x}} \ge \frac{9}{7}\)
e) \({11^{\sqrt {x + 6} }} \ge {11^x}\)
g) \({2^{2x - 1}} + {2^{2x - 2}} + {2^{2x - 3}} \ge 448\)
h) \({16^x} - {4^x} - 6 \le 0\)
i) \(\frac{{{3^x}}}{{{3^x} - 2}} < 3\)
Giải các bất phương trình logarit sau :
a) \({\log _{\frac{1}{3}}}(x - 1) \ge - 2\)
b) \({\log _3}(x - 3) + {\log _3}(x - 5) < 1\)
c) \({\log _{\frac{1}{2}}}\frac{{2{x^2} + 3}}{{x - 7}} < 0\)
d) \({\log _{\frac{1}{3}}}{\log _2}{x^2} > 0\)
e) \(\frac{1}{{5 - \log x}} + \frac{2}{{1 + \log x}} < 1\)
g) \(4{\log _4}x - 33{\log _x}4 \le 1\)
Giải các bất phương trình sau bằng đồ thị
a) \({\left( {\frac{1}{2}} \right)^x}\)
b) \({\left( {\frac{1}{3}} \right)^x} \ge x + 1\)
c) \({\log _{\frac{1}{3}}}x > 3x\)
d) \({\log _2}x \le 6 - x\)
Tìm tập hợp nghiệm của bất đẳng thức \({\left( {\frac{1}{2}} \right)^{\frac{1}{x}}} \ge {\left( {\frac{1}{2}} \right)^4}\)
A. \(( - \infty ;0)\)
B. \(\left( {\frac{1}{4}; + \infty } \right)\)
C. \(( - \infty ;0) \cup \left( {\frac{1}{4}; + \infty } \right)\)
D. \(( - \infty ;0) \cup \left[ {\frac{1}{4}; + \infty } \right)\)
Tìm
A.
B.
C.
D.
Tìm tập hợp nghiệm của bất phương trình \({\log _3}\frac{{2x}}{{x + 1}} > 1\)
A. \(( - \infty ; - 3)\)
B. \(( - 1; + \infty )\)
C. \(( - \infty ; - 3) \cup ( - 1; + \infty )\)
D.
Giải các bất phương trình sau:
\(\begin{array}{l}
a){2^{3 - 6x}} > 1\\
b){16^x} > 0,125
\end{array}\)
Giải các bất phương trình sau:
\(\begin{array}{*{20}{l}}
{a){{\log }_5}(3x - 1) < 1}\\
{b){{\log }_{\frac{1}{3}}}(5x - 1) > 0}\\
{c){{\log }_{0,5}}({x^2} - 5x + 6) \ge - 1}\\
{d){{\log }_3}\frac{{1 - 2x}}{x} \le 0.}
\end{array}\)
Giải bất phương trình:
\(\begin{array}{*{20}{l}}
{a)\log _{0,5}^2x + {{\log }_{0,5}}x - 2 \le 0}\\
{b){2^x} + {2^{ - x + 1}} - 3 < 0}
\end{array}\)
Giải bất phương trình:
\(\begin{array}{l}
a){\log _{0,1}}\left( {{x^2} + x - 2} \right) > {\log _{0,1}}\left( {x + 3} \right)\\
b) {\log _{\frac{1}{3}}}\left( {{x^2} - 6x + 5} \right) + 2{\log _3}\left( {2 - x} \right) \ge 0
\end{array}\)
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
Câu trả lời của bạn
\(\displaystyle {3^{|x - 2|}} < 9\)
\(\displaystyle \Leftrightarrow {3^{|x - 2|}} < {3^2} \Leftrightarrow |x - 2| < 2\)
\(\displaystyle \Leftrightarrow - 2 < x - 2 < 2\) \(\displaystyle \Leftrightarrow 0 < x < 4\)
Câu trả lời của bạn
\(\displaystyle {4^{|x + 1|}} > 16\)
\(\displaystyle \Leftrightarrow {4^{|x + 1|}} > {4^2} \Leftrightarrow |x + 1| > 2\)
\(\displaystyle \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + 1 > 2\\x + 1 < - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > 1\\x < - 3\end{array} \right.\)
Câu trả lời của bạn
\(\displaystyle {2^{ - {x^2} + 3x}} < 4\)
\(\displaystyle \Leftrightarrow {2^{ - {x^2} + 3x}} < {2^2}\)\(\displaystyle \Leftrightarrow - {x^2} + 3x < 2\) \(\displaystyle \Leftrightarrow {x^2} - 3x + 2 > 0\) \(\displaystyle \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x < 1\\x > 2\end{array} \right.\)
Câu trả lời của bạn
\(\displaystyle {11^{\sqrt {x + 6} }} \ge {11^x}\)
\(\displaystyle \Leftrightarrow\sqrt {x + 6} \ge x\)\(\displaystyle \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x + 6 \ge 0\\x < 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\x + 6 \ge {x^2}\end{array} \right.\end{array} \right.\) \(\displaystyle \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x \ge - 6\\x < 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\{x^2} - x - 6 \le 0\end{array} \right.\end{array} \right.\) \(\displaystyle \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - 6 \le x < 0\\\left\{ \begin{array}{l} - 2 \le x \le 3\\x \ge 0\end{array} \right.\end{array} \right.\)
\(\displaystyle \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - 6 \le x < 0\\0 \le x \le 3\end{array} \right.\)\(\displaystyle \Leftrightarrow - 6 \le x \le 3\)
Câu trả lời của bạn
\(\displaystyle {\left( {\frac{7}{9}} \right)^{2{x^2} - 3x}} \ge \frac{9}{7}\)
\(\displaystyle \Leftrightarrow {\left( {\frac{7}{9}} \right)^{2{x^2} - 3x}} \ge {\left( {\frac{7}{9}} \right)^{ - 1}}\)\(\displaystyle \Leftrightarrow 2{x^2} - 3x \le - 1\) \(\displaystyle \Leftrightarrow 2{x^2} - 3x + 1 \le 0\) \(\displaystyle \Leftrightarrow \frac{1}{2} \le x \le 1\)
Câu trả lời của bạn
\(\begin{array}{l}
{16^x} - {4^x} - 6 \le 0\\
\Leftrightarrow {4^{2x}} - {4^x} - 6 \le 0\\
\Leftrightarrow {\left( {{4^x}} \right)^2} - {4^x} - 6 \le 0
\end{array}\)
Đặt \(\displaystyle t = {4^x} > 0\), ta có:
\({t^2} - t - 6 \le 0\)
\( \Leftrightarrow - 2 \le t \le 3\)
Kết hợp \(t > 0\) ta được \(0 < t \le 3\)
\(\displaystyle \Rightarrow 0 < {4^x} \le 3\)
\(\displaystyle \Leftrightarrow x \le {\log _4}3\).
Câu trả lời của bạn
\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow {2^{2x}}{.2^{ - 1}} + {2^{2x}}{.2^{ - 2}} + {2^{2x}}{.2^{ - 3}} \ge 448\\
\Leftrightarrow {2^{2x}}.\frac{1}{2} + {2^{2x}}.\frac{1}{{{2^2}}} + {2^{2x}}.\frac{1}{{{2^3}}} \ge 448
\end{array}\)
\(\displaystyle \Leftrightarrow \frac{1}{2}{.2^{2x}} + \frac{1}{4}{.2^{2x}} + \frac{1}{8}{.2^{2x}} \ge 448\)
\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left( {\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8}} \right){.2^{2x}} \ge 448\\
\Leftrightarrow \frac{7}{8}{.2^{2x}} \ge 448
\end{array}\)
\(\displaystyle \Leftrightarrow {2^{2x}} \ge 512\) \(\displaystyle \Leftrightarrow {2^{2x}} \ge {2^9} \) \( \Leftrightarrow 2x \ge 9\) \(\Leftrightarrow x \ge \frac{9}{2}\)
Câu trả lời của bạn
Điều kiện: \(\displaystyle x - 1 > 0 \Leftrightarrow x > 1\).
\(\displaystyle {\log _{\frac{1}{3}}}(x - 1) \ge - 2\)\(\displaystyle \Leftrightarrow x - 1 \le {\left( {\frac{1}{3}} \right)^{ - 2}}\)\(\displaystyle \Leftrightarrow x - 1 \le 9\)\(\displaystyle \Leftrightarrow x \le 10\)
Kết hợp điều kiện ta được \(\displaystyle 1 < x \le 10\).
Câu trả lời của bạn
\(\displaystyle \frac{{{3^x}}}{{{3^x} - 2}} < 3\)
\(\displaystyle \Leftrightarrow \frac{{{3^x}}}{{{3^x} - 2}} - 3 < 0\) \( \Leftrightarrow \frac{{{3^x} - {{3.3}^x} + 6}}{{{3^x} - 2}} < 0\) \(\displaystyle \Leftrightarrow \frac{{ - {{2.3}^x} + 6}}{{{3^x} - 2}} < 0\) \( \Leftrightarrow \frac{{ - 2\left( {{3^x} - 3} \right)}}{{{3^x} - 2}} < 0\)
\(\displaystyle \Leftrightarrow \frac{{{3^x} - 3}}{{{3^x} - 2}} > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{3^x} > 3\\{3^x} < 2\end{array} \right.\) \(\displaystyle \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > 1\\x < {\log _3}2\end{array} \right.\)
Câu trả lời của bạn
Điều kiện: \(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}{x^2} > 0\\{\log _2}{x^2} > 0\end{array} \right.\) \(\displaystyle \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 0\\{x^2} > {2^0} = 1\end{array} \right.\) \(\displaystyle \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 0\\\left[ \begin{array}{l}x > 1\\x < - 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > 1\\x < - 1\end{array} \right.\)
Khi đó bpt\(\displaystyle \Leftrightarrow {\log _{\frac{1}{3}}}{\log _2}{x^2} > {\log _{\frac{1}{3}}}1\) \(\displaystyle \Leftrightarrow {\log _2}{x^2} < 1 \Leftrightarrow {x^2} < 2\) \(\displaystyle \Leftrightarrow - \sqrt 2 < x < \sqrt 2 \)
Kết hợp điều kiện ta được \(\displaystyle \left[ \begin{array}{l}1 < x < \sqrt 2 \\ - \sqrt 2 < x < - 1\end{array} \right.\).
Câu trả lời của bạn
Điều kiện: \(\displaystyle \frac{{2{x^2} + 3}}{{x - 7}} > 0\) \(\displaystyle \Leftrightarrow x - 7 > 0\)(vì \(2x^2+3>0,\forall x\in R\))
\( \Leftrightarrow x > 7\).
Khi đó bpt\(\displaystyle \Leftrightarrow \frac{{2{x^2} + 3}}{{x - 7}} > {\left( {\frac{1}{2}} \right)^0} = 1\) \(\displaystyle \Leftrightarrow 2{x^2} + 3 > x - 7\) (vì \(x-7 > 0,\forall x>7\))
\(\displaystyle \Leftrightarrow 2{x^2} - x + 10 > 0\)
(luôn đúng vì \(a=2>0\) và \(\Delta = {1^2} - 4.2.10 = - 79 < 0\)).
Vậy bất phương trình có nghiệm \(\displaystyle x > 7\).
Câu trả lời của bạn
Điều kiện: \(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}x - 3 > 0\\x - 5 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 3\\x > 5\end{array} \right. \Leftrightarrow x > 5\).
Khi đó bpt\(\displaystyle \Leftrightarrow {\log _3}{\rm{[}}(x - 3)(x - 5){\rm{]}} < {\log _3}3\) \(\displaystyle \Leftrightarrow \left( {x - 3} \right)\left( {x - 5} \right) < 3\) \(\displaystyle \Leftrightarrow {x^2} - 8x + 15 < 3\)
\(\displaystyle \Leftrightarrow {x^2} - 8x + 12 < 0\) \(\displaystyle \Leftrightarrow 2 < x < 6\).
Kết hợp điều kiện ta được \(\displaystyle 5 < x < 6\).
Câu trả lời của bạn
Điều kiện \(\displaystyle x > 0,x \ne 1\).
Đặt \(\displaystyle t = {\log _4}x \Rightarrow x = {4^t}\), ta có:
\(\begin{array}{l}
4t - 33{\log _{{4^t}}}4 \le 1\\
\Leftrightarrow 4t - \frac{{33}}{t}{\log _4}4 \le 1\\
\Leftrightarrow 4t - \frac{{33}}{t} \le 1
\end{array}\)
\(\displaystyle \Leftrightarrow \frac{{4{t^2} - t - 33}}{t} \le 0\)\(\displaystyle \Leftrightarrow \frac{{(4t + 11)(t - 3)}}{t} \le 0\) \(\displaystyle \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t \le - \frac{{11}}{4}\\0 < t \le 3\end{array} \right.\)
\(\displaystyle \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{\log _4}x \le - \frac{{11}}{4}\\0 < {\log _4}x \le 3\end{array} \right.\) \(\displaystyle \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}0 < x \le {4^{ - \frac{{11}}{4}}}\\1 < x \le 64\end{array} \right.\)
Câu trả lời của bạn
Điều kiện: \(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\\log x \ne 5\\\log x \ne - 1\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x > 0\\
x \ne {10^5}\\
x \ne {10^{ - 1}}
\end{array} \right.\)
Đặt \(\displaystyle t = \log x\) với điều kiện \(\displaystyle t \ne 5,t \ne - 1\) ta có:
\(\begin{array}{l}
\frac{1}{{5 - t}} + \frac{2}{{1 + t}} - 1 < 0\\
\Leftrightarrow \frac{{1 + t + 2\left( {5 - t} \right) - \left( {5 - t} \right)\left( {1 + t} \right)}}{{\left( {5 - t} \right)\left( {1 + t} \right)}} < 0\\
\Leftrightarrow \frac{{1 + t + 10 - 2t - 5 - 4t + {t^2}}}{{\left( {5 - t} \right)\left( {1 + t} \right)}} < 0\\
\Leftrightarrow \frac{{{t^2} - 5t + 6}}{{\left( {5 - t} \right)\left( {1 + t} \right)}} < 0\\
\Leftrightarrow \frac{{\left( {t - 2} \right)\left( {t - 3} \right)}}{{\left( {5 - t} \right)\left( {1 + t} \right)}} < 0
\end{array}\)
Xét dấu VT ta được: \(\displaystyle \left[ \begin{array}{l}t < - 1\\2 < t < 3\\t > 5\end{array} \right.\)
TH1: \(\displaystyle t < - 1\) suy ra \(\displaystyle \log x < - 1 \Leftrightarrow x < \frac{1}{{10}}\).
TH2: \(\displaystyle 2 < t < 3\) suy ra \(\displaystyle 2 < \log x < 3 \Leftrightarrow 100 < x < 1000\).
TH3: \(\displaystyle t > 5\) suy ra \(\displaystyle \log x > 5 \Leftrightarrow x > {10^5}\).
Kết hợp với điều kiện ta được \(\displaystyle 0 < x < \frac{1}{{10}}\) hoặc \(\displaystyle 100 < x < 1000\) hoặc \(\displaystyle x > 100000\).
Câu trả lời của bạn
Điều kiện: \(\displaystyle 2x > 0 \Leftrightarrow x > 0\).
Ta có: \(\displaystyle \lg 2x < 1\)\(\displaystyle \Leftrightarrow 2x < 10 \Leftrightarrow x < 5\).
Vậy nghiệm của phương trình là \(\displaystyle 0 < x < 5\).
Câu trả lời của bạn
Ta có: \(\displaystyle {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{\frac{1}{x}}} \ge {\left( {\frac{1}{2}} \right)^4}\)\(\displaystyle \Leftrightarrow \frac{1}{x} \le 4 \Leftrightarrow \frac{{1 - 4x}}{x} \le 0\) \(\displaystyle \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \ge \frac{1}{4}\\x < 0\end{array} \right.\).
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(\displaystyle \left( { - \infty ;0} \right) \cup \left[ {\frac{1}{4}; + \infty } \right)\).
Câu trả lời của bạn
Điều kiện: \(\displaystyle \frac{{2x}}{{x + 1}} > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > 0\\x < - 1\end{array} \right.\).
Ta có: \(\displaystyle {\log _3}\frac{{2x}}{{x + 1}} > 1\) \(\displaystyle \Leftrightarrow \frac{{2x}}{{x + 1}} > 3\) \(\displaystyle \Leftrightarrow \frac{{2x - 3x - 3}}{{x + 1}} > 0\) \(\displaystyle \Leftrightarrow \frac{{ - x - 3}}{{x + 1}} > 0\)\(\displaystyle \Leftrightarrow - 3 < x < - 1\).
Kết hợp điều kiện ta được \(\displaystyle - 3 < x < - 1\).
Hãy lập bảng tương tự cho các bất phương trình: \({a^x} \ge {\rm{ }}b,{\rm{ }}{a^x} < {\rm{ }}b,{\rm{ }}{a^x} \le {\rm{ }}b\).
Câu trả lời của bạn
ax ≥ b | Tập nghiệm | |
a > 1 | 0 < a < 1 | |
b ≤ 0 | R | R |
b > 0 | [logab ; +∞) | (-∞,logab] |
ax < b | Tập nghiệm | |
a > 1 | 0 < a < 1 | |
b ≤ 0 | Vô nghiệm | Vô nghiệm |
b > 0 | (-∞,logab) | (logab ; +∞) |
ax ≤ b | Tập nghiệm | |
a > 1 | 0 < a < 1 | |
b ≤ 0 | Vô nghiệm | Vô nghiệm |
b > 0 | (-∞,logab] | [logab ; +∞) |
Giải bất phương trình sau: \({2^x} + {\rm{ }}{2^{ - x}}-{\rm{ }}3{\rm{ }} < {\rm{ }}0\).
Câu trả lời của bạn
\(BPT \Leftrightarrow {2^x} + \frac{1}{{{2^x}}} - 3 < 0\)
Đặt \({2^x} = t\). ĐK: t > 0.
Ta có bất phương trình:
\(\eqalign{
& t + {1 \over t} - 3 < 0 \cr
& \Leftrightarrow {{{t^2} - 3t + 1} \over t} < 0 \cr &\Leftrightarrow {t^2} - 3t + 1 < 0\,\,(\text{ do }t > 0) \cr
& \Leftrightarrow {{3 - \sqrt 5 } \over 2} < t < {{3 + \sqrt 5 } \over 2} \cr
& \Leftrightarrow \frac{{3 - \sqrt 5 }}{2} < {2^x} < \frac{{3 + \sqrt 5 }}{2}\cr &\Leftrightarrow \log _2 {{3 - \sqrt 5 } \over 2} < x < \log_2 {{3 + \sqrt 5 } \over 2} \cr} \)
Giải bất phương trình: \({\log _{{1 \over 2}}}(2x + 3) > {\log _{{1 \over 2}}}(3x + 1)\,\,\,(1)\).
Câu trả lời của bạn
Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}2x + 3 > 0\\3x + 1 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > - \dfrac{3}{2}\\x > - \dfrac{1}{3}\end{array} \right.\)\(\Leftrightarrow x > - \dfrac{1}{3}\)
\({\log _{\frac{1}{2}}}\left( {2x + 3} \right) > {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {3x + 1} \right)\) \( \Leftrightarrow 2x + 3 < 3x + 1\) \( \Leftrightarrow 2x - 3x < 1 - 3\) \( \Leftrightarrow - x < - 2 \Leftrightarrow x > 2\).
Kết hợp điều kiện ta được \(x > 2\).
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(S = \left( {2; + \infty } \right)\).
Chú ý:
Các em có thể trình bày cách khác như sau:
\(\begin{array}{l}
{\log _{\frac{1}{2}}}\left( {2x + 3} \right) > {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {3x + 1} \right)\\
\Leftrightarrow 0 < 2x + 3 < 3x + 1\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
2x + 3 > 0\\
2x + 3 < 3x + 1
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x > - \frac{3}{2}\\
- x < - 2
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x > - \frac{3}{2}\\
x > 2
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow x > 2
\end{array}\)
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *