Trong quá trình học tập môn Toán trong chương trình phổ thông, các em đã khá quen thuộc với các phương pháp tính diện tích và thể tích của một đối tượng bằng cách xác định các yếu tố liên quan đến đối tượng như độ dài cạnh, số đo góc,....Sau khi tìm hiểu khái niệm Tích phân các em sẽ được tiếp cận một phương pháp mới để tính diện tích hình phẳng, thể tích của vật thể, thể tích khối tròn xoay chỉ thông qua các hàm số là Ứng dụng tích phân.
Thể tích vật thể B giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các điểm \(a,b\) là \(V = \int\limits_a^b {S(x)dx}.\) Trong đó S(x) là diện tích thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ là \(x \in \left[ {a;\,b} \right]\) và S(x) là một hàm liên tục.
Tính diện tích tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong \(y = {x^3},\) trục hoành và hai đường thẳng \(x = - 1,x = 2.\)
Phương trình hoành độ giao điểm của đường cong \(y = {x^3}\) và trục hoành:
Diện tích hình phẳng cần tính:
\(S = \int\limits_{ - 1}^0 {\left| {{x^3}} \right|dx + \int\limits_0^2 {\left| {{x^3}} \right|dx} = \int\limits_{ - 1}^0 {\left( { - {x^3}} \right)} dx + \int\limits_0^2 {{x^3}dx} }\) \(= \left. { - \frac{{{x^4}}}{4}} \right|_{ - 1}^0 + \left. {\frac{{{x^4}}}{4}} \right|_0^2 = \frac{{17}}{4}\)
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = \left( {e + 1} \right)x\) và \(y=(1+e^x)x.\)
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường cong là:\(\left( {e + 1} \right)x = \left( {1 + {e^x}} \right)x \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 0}\\ {{e^x} = e} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 0}\\ {x = 1} \end{array}} \right.\)
Nhận xét, với \(x \in \left[ {0;1} \right]\) thì hiệu số \(\left( {1 + {e^x}} \right)x - \left( {e + 1} \right)x = x\left( {{e^x} - e} \right) > 0.\)
Khi đó, diện tích hình phẳng cần tìm là \(S = \int\limits_0^1 {\left| {\left( {1 + {e^x}} \right)x - \left( {e + 1} \right)x} \right|} dx = \int\limits_0^1 {\left| {x\left( {{e^x} - e} \right)} \right|dx = \int\limits_0^1 {x\left( {{e^x} - e} \right)} dx}\)
Đặt \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {u = x}\\ {dv = \left( {e - {e^x}} \right)dx} \end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {du = dx}\\ {v = ex - {e^x}} \end{array}} \right.} \right.\)
\({ \Rightarrow S = x\left( {ex - {e^x}} \right)\left| {_0^1} \right. - \int\limits_0^1 {\left( {ex - {e^x}} \right)dx} }\) \(= \left( { - \frac{{e{x^2}}}{2} + {e^x}} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ 0 \end{array}} \right. = \frac{{e - 2}}{2}.\)
Tính thể tích của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng \(x=0\) và \(x=3\) , có thiết diện bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục \(Ox\) tại điểm có hoành độ \(x\left( {0 \le x \le 3} \right)\) là một hình chữ nhật có hai kích thước bằng \(x\) và \(2\sqrt {9 - {x^2}}.\)
Diện tích của hình chữ nhật có hai cạnh là \(x;2\sqrt {9 - {x^2}}\) là \(2x\sqrt {9 - {x^2}}\)
Khi đó, thể tích của vật thể được xác định bằng công thức \(V = \int\limits_0^3 {2x\sqrt {9 - {x^2}} dx}\)
Đặt \(t = \sqrt {9 - {x^2}} \Leftrightarrow {t^2} = 9 - {x^2} \Leftrightarrow xdx = - tdt\) và \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 0 \Rightarrow t = 3}\\ {x = 3 \Rightarrow t = 0} \end{array}} \right.\)
Suy ra \(V = - 2\int\limits_3^0 {{t^2}dt} = \frac{{2{t^3}}}{3}\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 3\\ 0 \end{array}} \right. = 18.\)
Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = 2x - {x^2}\) và \(y = x\) quay quanh trục Ox.
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số \(y = 2x - {x^2}\) và đường thẳng \(y=x\) là \(2x - {x^2} = x \Leftrightarrow {x^2} - x = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 0}\\ {x = 1} \end{array}} \right.\)
Khi đó, thể tích khối tròn xoay cần tìm là \(V = \pi \int\limits_0^1 {\left| {{{\left( {2x - {x^2}} \right)}^2} - {x^2}} \right|dx} = \pi \int\limits_0^1 {\left| {{x^4} - 4{x^3} + 3{x^2}} \right|dx}\)
\(\Rightarrow V = \left| {\pi \int\limits_0^1 {\left( {{x^4} - 4{x^3} + 3{x^2}} \right)dx} } \right| = \pi \left| {\left( {\frac{{{x^5}}}{5} - {x^4} + {x^3}} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ 0 \end{array}} \right.} \right| = \frac{\pi }{5}.\)
Trong quá trình học tập môn Toán trong chương trình phổ thông, các em đã khá quen thuộc với các phương pháp tính diện tích và thể tích của một đối tượng bằng cách xác định các yếu tố liên quan đến đối tượng như độ dài cạnh, số đo góc,....Sau khi tìm hiểu khái niệm Tích phân các em sẽ được tiếp cận một phương pháp mới để tính diện tích hình phẳng, thể tích của vật thể, thể tích khối tròn xoay chỉ thông qua các hàm số là Ứng dụng tích phân.
Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 12 Chương 3 Bài 3để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.
Cho đồ thị hàm số y = f(x). Xác định công thức tính diện tích S của hình phẳng (phần gạch chéo) trong hình.
Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = {x^4} - 5{x^2} + 4\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 0;x = 1\).
Tính diện tích S của hình phẳng giởi hạn bởi đồ thị hàm số \(y = {x^3} - x\) và đồ thị hàm số \(y = {x^2} - x.\)
Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 12 Chương 3 Bài 3 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Giải tích 12 Cơ bản và Nâng cao.
Bài tập 1 trang 121 SGK Giải tích 12
Bài tập 2 trang 121 SGK Giải tích 12
Bài tập 3 trang 121 SGK Giải tích 12
Bài tập 4 trang 121 SGK Giải tích 12
Bài tập 5 trang 121 SGK Giải tích 12
Bài tập 26 trang 167 SGK Toán 12 NC
Bài tập 27 trang 167 SGK Toán 12 NC
Bài tập 28 trang 167 SGK Toán 12 NC
Bài tập 29 trang 172 SGK Toán 12 NC
Bài tập 30 trang 172 SGK Toán 12 NC
Bài tập 31 trang 172 SGK Toán 12 NC
Bài tập 32 trang 173 SGK Toán 12 NC
Bài tập 33 trang 173 SGK Toán 12 NC
Bài tập 34 trang 173 SGK Toán 12 NC
Bài tập 35 trang 175 SGK Toán 12 NC
Bài tập 36 trang 175 SGK Toán 12 NC
Bài tập 37 trang 175 SGK Toán 12 NC
Bài tập 38 trang 175 SGK Toán 12 NC
Bài tập 39 trang 175 SGK Toán 12 NC
Bài tập 40 trang 175 SGK Toán 12 NC
Bài tập 3.31 trang 178 SBT Toán 12
Bài tập 3.32 trang 178 SBT Toán 12
Bài tập 3.33 trang 178 SBT Toán 12
Bài tập 3.34 trang 178 SBT Toán 12
Bài tập 3.35 trang 178 SBT Toán 12
Bài tập 3.36 trang 179 SBT Toán 12
Bài tập 3.37 trang 179 SBT Toán 12
Bài tập 3.38 trang 179 SBT Toán 12
Bài tập 3.39 trang 180 SBT Toán 12
Bài tập 3.40 trang 180 SBT Toán 12
Bài tập 3.41 trang 180 SBT Toán 12
Bài tập 3.42 trang 480 SBT Toán 12
Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán DapAnHay sẽ sớm trả lời cho các em.
-- Mod Toán Học 12 DapAnHay
Cho đồ thị hàm số y = f(x). Xác định công thức tính diện tích S của hình phẳng (phần gạch chéo) trong hình.
Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = {x^4} - 5{x^2} + 4\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 0;x = 1\).
Tính diện tích S của hình phẳng giởi hạn bởi đồ thị hàm số \(y = {x^3} - x\) và đồ thị hàm số \(y = {x^2} - x.\)
Tính thể tích của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng \(x = 0;x = \pi\), biết rằng thiết diện của vật thể với mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ \(x\left( {0 \le x \le \pi } \right)\) là một tam giác đều có cạnh là \(2\sqrt {\sin x}\).
Tính thể tích V của khối tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = \frac{4}{{x - 4}},y = 0,x = 0,x = 2\) quay một vòng quanh trục Ox là (theo đơn vị thể tích).
Viết công thức tính thể tích V của khối tròn xoay được tạo ra khi quay hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b (a < b) quanh trục Ox.
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(x^3 - x\) và đồ thị hàm số \(y = x - x^2\)
Kí hiệu (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = (x -1)e2x ,trục tung và đường thẳng y = 0. Tính thể tích của khối tròn xoay thu được khi quay hình (H) quanh trục Ox
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi \(y = x^2 - x + 3\) và \(y = 2x + 1\) là:
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số \(y = \sqrt x \) và \(y = 6 - x\) và trục tung là:
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:
a) \(y = x^2, y = x + 2\);
b) \(y = |lnx|, y = 1\);
c) \(y = (x - 6)^2, y = 6x- x^2\)
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y = x2 +1, tiếp tuyến với đường thẳng này tại điểm M(2;5) và trục Oy.
Parabol \(y=\frac{x^{2}}{2}\) chia hình tròn có tâm tại gốc tọa độ, bán kính \(2 \sqrt {2}\) thành hai phần. Tìm tỉ số diện tích của chúng.
Tính thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường sau quay quanh trục Ox:
a) \(\small y = 1 - x^2 , y = 0\) ;
b) \(\small y = cosx, y = 0, x = 0, x = \pi\) ;
c) \(\small y = tanx, y = 0, x = 0,x=\frac{\pi }{4}\) ;
Cho tam giác vuông OPM có cạnh OP nằm trên trục Ox. Đặt \(\widehat{POA}=\alpha\) và \(OM=R, \left ( 0\leq \alpha \leq \frac{\pi }{3}, R>0 \right )\).
Gọi V là khối tròn xoay thu được khi quay tam giác đó xung quanh Ox (H.63).
a) Tính thể tích của V theo α và R.
b) Tìm \(\small \alpha\) sao cho thể tích V là lớn nhất.
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = sinx + 1, trục hoành và hai đường thẳng x = 0 và \(x = \frac{{7\pi }}{6}\)
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:
a) Đồ thị hàm số y = cos2x trục hoành, trục tung và đường thẳng x = π
b) Đồ thị hai hàm số \(y = \sqrt x \) và \(y = \sqrt[3]{x}\)
c) Đồ thị hàm số y = 2x2 và y = x4 −2x2 trong miền x ≥ 0 .
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:
a) Đồ thị các hàm số y = x2 − 4, y = −x2 − 2x và đường thẳng x = −3, x = −2
b) Đồ thị hai hàm số y = x2 và y = −x2 − 2x
c) Đồ thị hàm số y = x3 − 4x, trục hoành, đường thẳng x = - 2 và đường thẳng x = 4
Tính thể tích của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x = −1 và x = 1, biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x (−1 ≤ x ≤ 1) là một hình vuông cạnh là \(2\sqrt {1 - {x^2}} \)
Tính thể tích của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x = 0 và x = π, biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x(0 ≤ x ≤ π) là một tam giác đều cạnh \(2\sqrt {{\rm{sinx}}} \)
Cho hình phẳng A giới hạn bởi các đường y = 0, và \(y = \sqrt x - 1\). Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình A quanh trục hoành
Cho hình phẳng B giới hạn bởi các đường x = 2/y, y = 1 và y = 4. Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình B quanh trục tung
Cho hình phẳng B giới hạn bởi các đường \(x = \sqrt 5 {y^2},x = 0,y = - 1\) và y = 1. Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình B quanh trục tung.
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:
a) Đồ thị các hàm số y = x, y = 1 và \(y = \frac{{{x^2}}}{4}\) trong miền x ≥ 0, y ≤ 1.
b) Đồ thị hai hàm số y = x4 − 4x2 + 4, y = x2, trục tung và đường thẳng x = 1
c) Đồ thị các hàm số y = x2, y = 4x − 4 và y = −4x – 4
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:
a) Đồ thị hai hàm số y = x2 + 1 và y = 3 – x
b) Các đường có phương trình x = y3, y = 1, và x = 8
c) Đồ thị của hàm số \(y = \sqrt x \),y = 6 − x và trục hoành.
Tính thể tích của vật thể T nằm giữa hai mặt phẳng x = 0 và x = π, biết rằng thiết diện của vật thể cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x (0 ≤ x ≤ π) là một hình vuông cạnh là \(2\sqrt {\sin x} \)
Cho hình phẳng A giới hạn bởi các đường y = x2, x = 0 và x = 2. Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình A quanh trục hoành.
Cho hình phẳng A giới hạn bởi các đường y = cosx,y = 0, x = 0 và x = π/4. Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình A quanh trục hoành.
Cho hình phẳng A giới hạn bởi các đường \(y = x{e^{\frac{x}{2}}}\) y = 0, x = 0 và x = 1. Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình A quanh trục hoành.
Cho hình phẳng B giới hạn bởi các đường \(x = \sqrt {2\sin 2y} ,x = 0,y = 0\), x = 0,y = 0, \(y = \frac{\pi }{2}\). Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình B quanh trục tung.
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
Câu trả lời của bạn
Giải phương trình: \(x - \pi = \sin \,x \Leftrightarrow \sin \,x - x + \pi = 0\) (1)
Xét hàm số \(f\left( x \right) = \sin \,x - x + \pi \Rightarrow f'\left( x \right) = \cos x - 1 \le 0,\,\,\forall x \Rightarrow \) Hàm số nghịch biến trên \(\mathbb{R}\)
\( \Rightarrow \) Phương trình (1) có tối đa 1 nghiệm. Mà \(f\left( \pi \right) = 0\,\, \Rightarrow x = \pi \) là nghiệm duy nhất của (1).
Thể tích khối tròn xoay tạo thành là:
\(\begin{array}{l}V = \;\pi \int_0^\pi {\left| {{{\sin }^2}x - {{\left( {x - \pi } \right)}^2}} \right|dx} = - \;\pi \int_0^\pi {\left( {{{\sin }^2}x - {{\left( {x - \pi } \right)}^2}} \right)dx} \\ = - \;\pi \int_0^\pi {\left( {\dfrac{{1 - \cos 2x}}{2} - {{\left( {x - \pi } \right)}^2}} \right)dx} = - \pi \left. {\left( {\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{4}\sin 2x - \dfrac{{{{\left( {x - \pi } \right)}^3}}}{3}} \right)} \right|_0^\pi \\ = - \pi .\dfrac{1}{2} + \pi \left( {\dfrac{1}{2} + \dfrac{{{\pi ^3}}}{3}} \right) = \dfrac{{{\pi ^4}}}{3}\end{array}\)
Mà \(V = p{\pi ^4}\,\,\left( {p \in \mathbb{Q}} \right) \Rightarrow p = \dfrac{1}{3} \Rightarrow 24p = 8\).
Câu trả lời của bạn
Giả sử \(\left( C \right):y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d,\,\left( {a \ne 0} \right)\)
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} - 2 = - a + b - c + d\\2 = d\\0 = a + b + c + d\\ - 2 = 8a + 4b + 2c + d\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - a + b - c = - 4\\a + b + c = - 2\\8a + 4b + 2c = - 4\\d = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = - 3\\c = 0\\d = 2\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow \left( C \right):y = f\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2} + 2\)
Giả sử \(\left( P \right):y = m{x^2} + nx + l,\,\left( {m \ne 0} \right)\)
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} - 2 = m - n + l\\0 = m + n + l\\ - 2 = 4m + 2n + l\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = - 1\\n = 1\\l = 0\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow \left( P \right):y = g\left( x \right) = - {x^2} + x\)
Diện tích cần tìm là:
\(\begin{array}{l}S = \int\limits_{ - 1}^2 {\left| {f(x) - g(x)} \right|dx} = \int\limits_{ - 1}^1 {\left( {f(x) - g(x)} \right)dx} - \int\limits_1^2 {\left( {f(x) - g(x)} \right)dx} \\ = \int\limits_{ - 1}^1 {\left( {{x^3} - 2{x^2} - x + 2} \right)dx} - \int\limits_1^2 {\left( {{x^3} - 2{x^2} - x + 2} \right)dx} \\ = \left. {\left( {\dfrac{1}{4}{x^4} - \dfrac{2}{3}{x^3} - \dfrac{1}{2}{x^2} + 2x} \right)} \right|_{ - 1}^1 - \left. {\left( {\dfrac{1}{4}{x^4} - \dfrac{2}{3}{x^3} - \dfrac{1}{2}{x^2} + 2x} \right)} \right|_1^2\\ = \left( {\dfrac{1}{4} - \dfrac{2}{3} - \dfrac{1}{2} + 2} \right) - \left( {\dfrac{1}{4} + \dfrac{2}{3} - \dfrac{1}{2} - 2} \right) - \left( {4 - \dfrac{{16}}{3} - 2 + 4} \right) + \left( {\dfrac{1}{4} - \dfrac{2}{3} - \dfrac{1}{2} + 2} \right) = \dfrac{{37}}{{12}}\end{array}\)
Câu trả lời của bạn
Xét phương trình hoành độ giao điểm: \(\dfrac{{\left| x \right|}}{{x + 5}} = 0 \Leftrightarrow \left| x \right| = 0 \Leftrightarrow x = 0\).
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị \(y = \dfrac{{\left| x \right|}}{{x + 5}},\,\,x = - 2,\,\,x = 2\) và trục hoành là :
\(\begin{array}{l}S = \int\limits_{ - 2}^0 {\left| {\dfrac{{\left| x \right|}}{{x + 5}}} \right|dx} + \int\limits_0^2 {\left| {\dfrac{{\left| x \right|}}{{x + 5}}} \right|dx} = \int\limits_{ - 2}^0 {\left| {\dfrac{{ - x}}{{x + 5}}} \right|dx} + \int\limits_0^2 {\left| {\dfrac{x}{{x + 5}}} \right|dx} \\ = \int\limits_{ - 2}^0 {\dfrac{{ - x}}{{x + 5}}dx} + \int\limits_0^2 {\dfrac{x}{{x + 5}}dx} = \int\limits_{ - 2}^0 {\left( { - 1 + \dfrac{5}{{x + 5}}} \right)dx} + \int\limits_0^2 {\left( {1 - \dfrac{5}{{x + 5}}} \right)dx} \\ = \left. {\left( { - x + 5\ln \left| {x + 5} \right|} \right)} \right|_{ - 2}^0 + \left. {\left( {x - 5\ln \left| {x + 5} \right|} \right)} \right|_0^2\\ = 5\ln 5 - \left( {2 + 5\ln 3} \right) + \left( {2 - 5\ln 7} \right) - \left( {0 - 5\ln 5} \right)\\ = 5\left( {\ln 5 - \ln 3 - \ln 7 + \ln 5} \right) = 10\ln 5 - 5\ln 21\end{array}\)
Câu trả lời của bạn
Diện tích cần tìm là:
\(S = \int\limits_0^6 {\left| {\left| {{x^2} - 4x} \right| - 2x} \right|dx} = \int\limits_0^2 {\left| {\left| {{x^2} - 4x} \right| - 2x} \right|dx} + \int\limits_2^4 {\left| {\left| {{x^2} - 4x} \right| - 2x} \right|dx} + \int\limits_4^6 {\left| {\left| {{x^2} - 4x} \right| - 2x} \right|dx} \)
\( = \int\limits_0^2 {\left( {\left| {{x^2} - 4x} \right| - 2x} \right)dx} + \int\limits_2^4 {\left( {2x - \left| {{x^2} - 4x} \right|} \right)dx} + \int\limits_4^6 {\left( {2x - \left| {{x^2} - 4x} \right|} \right)dx} \)\( = \int\limits_0^2 {\left( { - {x^2} + 4x - 2x} \right)dx} + \int\limits_2^4 {\left( {2x + {x^2} - 4x} \right)dx} + \int\limits_4^6 {\left( {2x - {x^2} + 4x} \right)dx} \)
\( = \int\limits_0^2 {\left( { - {x^2} + 2x} \right)dx} + \int\limits_2^4 {\left( {{x^2} - 2x} \right)dx} + \int\limits_4^6 {\left( {6x - {x^2}} \right)dx} \)
\( = \left. {\left( { - \dfrac{1}{3}{x^3} + {x^2}} \right)} \right|_0^2 + \left. {\left( {\dfrac{1}{3}{x^3} - {x^2}} \right)} \right|_2^4 + \left. {\left( {3{x^2} - \dfrac{1}{3}{x^3}} \right)} \right|_4^6\)
\( = \left( { - \dfrac{8}{3} + 4} \right) - 0 + \left( {\dfrac{{64}}{3} - 16} \right) - \left( {\dfrac{8}{3} - 4} \right) + \left( {108 - 72} \right) - \left( {48 - \dfrac{{64}}{3}} \right)\)\( = \dfrac{{52}}{3}\).
Câu trả lời của bạn
Xét các phương trình hoành độ giao điểm:
\(\begin{array}{l}
4 - {x^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 2\\
x = - 2\,\, \notin \,\left( {1; + \infty } \right)
\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 2\\
7 - 4{x^2} = 0 \Leftrightarrow x = \pm \frac{{\sqrt 7 }}{2} \notin \left[ {0;1} \right]
\end{array}\)
\(\begin{array}{l}
\Rightarrow S = \int\limits_0^1 {\left| {7 - 4{x^3}} \right|dx} + \int\limits_1^2 {\left| {4 - {x^2}} \right|dx} + \int\limits_2^3 {\left| {4 - {x^2}} \right|dx} \\
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \int\limits_0^1 {\left( {7 - 4{x^3}} \right)dx} + \int\limits_1^2 {\left( {4 - {x^2}} \right)dx} + \int\limits_2^3 {\left( {{x^2} - 4} \right)dx} \\
\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \left. {\left( {7x - {x^4}} \right)} \right|_0^1 + \left. {\left( {4x - \frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_1^2 + \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} - 4x} \right)} \right|_2^3\\
\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 7 - 1 + \frac{{16}}{3} - \frac{{11}}{3} - 3 + \frac{{16}}{3} = 10.
\end{array}\)
Câu trả lời của bạn
+ Xét các phương trình giao điểm \(\sqrt {x - 1} = 0 \Leftrightarrow x = 1\) ; \(x - 3 = 0 \Leftrightarrow x = 3\)
\(\sqrt {x - 1} = x - 3 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 3\\x - 1 = {\left( {x - 3} \right)^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 3\\{x^2} - 7x + 10 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 3\\\left[ \begin{array}{l}x = 2\left( L \right)\\x = 5\left( tm \right)\end{array} \right.\end{array} \right. \Rightarrow x = 5\)
+ Thể tích hình phẳng cần tìm là \(V = \pi \int\limits_1^3 {{{\left( {\sqrt {x - 1} } \right)}^2}} dx + \pi \int\limits_3^5 {\left| {{{\left( {\sqrt {x - 1} } \right)}^2} - {{\left( {x - 3} \right)}^2}} \right|dx} \)
\( = \left. {\pi \dfrac{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}{2}} \right|_1^3 + \pi \left. {\left( {\dfrac{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}{2} - \dfrac{{{{\left( {x - 3} \right)}^3}}}{3}} \right)} \right|_3^5\)\( = \dfrac{{16\pi }}{3}\)
Câu trả lời của bạn
Xét phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị \(y = x\sqrt {4 + {x^2}} \) với trục hoành là \(x\sqrt {{x^2} + 4} = 0 \Leftrightarrow x = 0\)
Diện tích hình phẳng cần tìm là \(S = \int\limits_0^1 {\left| {x\sqrt {{x^2} + 4} dx} \right| = \left| {\int\limits_0^1 {x\sqrt {{x^2} + 4} dx} } \right|} \)
\( = \left| {\int\limits_0^1 {\frac{1}{2}\sqrt {{x^2} + 4} d\left( {{x^2} + 4} \right)} } \right| = \left| {\frac{1}{2}\left. {\frac{{{{\left( {{x^2} + 4} \right)}^{\frac{3}{2}}}}}{{\frac{3}{2}}}} \right|_0^1} \right| = \frac{{5\sqrt 5 }}{3} - \frac{8}{3}\)
Suy ra \(a = \frac{5}{3};b = - \frac{8}{3} \Rightarrow a + b = - 1.\)
Câu trả lời của bạn
Ta có: \(I = \int\limits_{ - 1}^1 {f\left( {\left| {4x - 1} \right|} \right)dx} = \int\limits_{ - 1}^{\frac{1}{4}} {f\left( { - 4x + 1} \right)dx} + \int\limits_{\frac{1}{4}}^1 {f\left( {4x - 1} \right)dx} \)
Xét \({I_1} = \int\limits_{ - 1}^{\frac{1}{4}} {f\left( { - 4x + 1} \right)dx} \)
Đặt \( - 4x + 1 = t \Rightarrow dt = - 4dx\). Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 \Rightarrow t = 5\\x = \frac{1}{4} \Rightarrow t = 0\end{array} \right..\)
\( \Rightarrow {I_1} = - \frac{1}{4}\int\limits_5^0 {f\left( t \right)dt} = \frac{1}{4}\int\limits_0^5 {f\left( t \right)dt = \frac{1}{4}} \int\limits_0^5 {f\left( x \right)dx = \frac{1}{4}.4 = 1.} \)
Xét \({I_2} = \int\limits_{\frac{1}{4}}^1 {f\left( {4x - 1} \right)dx} \)
Đặt \(4x - 1 = t \Rightarrow dt = 4dx\). Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 \Rightarrow t = 3\\x = \frac{1}{4} \Rightarrow t = 0\end{array} \right..\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow {I_2} = \frac{1}{4}\int\limits_0^3 {f\left( t \right)dt} = \frac{1}{4}\int\limits_0^3 {f\left( t \right)dt = \frac{1}{4}} \int\limits_0^3 {f\left( x \right)dx = \frac{1}{4}.8 = 2.} \\ \Rightarrow I = {I_1} + {I_2} = 1 + 2 = 3.\end{array}\)
Câu trả lời của bạn
Gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ.
Gọi phương trình parabol là: \(y = a{x^2} + bx + c\), parabol đi qua các điểm \(\left( {3;0} \right);\,\,\left( { - 3;0} \right);\,\,\left( {0;3} \right)\) nên ta có hệ phương trình :
\(\left\{ \begin{array}{l}c = 3\\9a + 3b + c = 0\\9a - 3b + c = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - \dfrac{1}{3}\\b = 0\\c = 3\end{array} \right. \Rightarrow y = - \dfrac{1}{3}{x^2} + 3\).
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol \(y = - \dfrac{1}{3}{x^2} + 3\) và trục Ox là: \(S = \int\limits_{ - 3}^3 {\left( { - \dfrac{1}{3}{x^2} + 3} \right)dx} = 12\).
Vậy thể tích phần không gian bên trong lều trại là \(V = 12.3 = 36\,\,\left( {{m^3}} \right)\).
Câu trả lời của bạn
Ta có: \(\displaystyle y = 2x - {x^2},y = 2 - x\)
Phương trình hoành độ giao điểm: \(\displaystyle 2x - {x^2} = 2 - x\) \(\displaystyle \Leftrightarrow {x^2} - 3x + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 2\end{array} \right.\)
Khi đó diện tích \(\displaystyle S = \int\limits_1^2 {\left| {2x - {x^2} - 2 + x} \right|dx} \) \(\displaystyle = \int\limits_1^2 {\left| { - {x^2} + 3x - 2} \right|dx} \) \(\displaystyle = \int\limits_1^2 {\left( { - {x^2} + 3x - 2} \right)dx} \)
\(\displaystyle = \left. {\left( { - \dfrac{{{x^3}}}{3} + \dfrac{3}{2}{x^2} - 2x} \right)} \right|_1^2\) \(\displaystyle = - \dfrac{8}{3} + 6 - 4 + \dfrac{1}{3} - \dfrac{3}{2} + 2 = \dfrac{1}{6}\)
Vậy \(\displaystyle S = \dfrac{1}{6}\).
Câu trả lời của bạn
Phương trình hoành độ giao điểm:
\(\displaystyle {x^3} - 12x = {x^2}\)\(\displaystyle \Leftrightarrow {x^3} - {x^2} - 12x = 0\) \(\displaystyle \Leftrightarrow x\left( {{x^2} - x - 12} \right) = 0\) \(\displaystyle \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} - x - 12 = 0\end{array} \right.\) \(\displaystyle \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = - 3\\x = 4\end{array} \right.\)
Diện tích là:
\(\displaystyle S = \int\limits_{ - 3}^4 {\left| {{x^3} - 12x - {x^2}} \right|dx} \) \(\displaystyle = \int\limits_{ - 3}^0 {\left| {{x^3} - 12x - {x^2}} \right|dx} \) \(\displaystyle + \int\limits_0^4 {\left| {{x^3} - 12x - {x^2}} \right|dx} \)
\(\displaystyle = \left| {\int\limits_{ - 3}^0 {\left( {{x^3} - {x^2} - 12x} \right)dx} } \right|\) \(\displaystyle + \left| {\int\limits_0^4 {\left( {{x^3} - {x^2} - 12x} \right)dx} } \right|\) \(\displaystyle = \frac{{99}}{4} + \frac{{160}}{3} = \frac{{937}}{{12}}\).
Vậy \(\displaystyle S = \frac{{937}}{{12}}\).
Câu trả lời của bạn
Ta có: \(\displaystyle \frac{1}{{1 + {x^2}}} = \frac{1}{2}\)\(\displaystyle \Leftrightarrow 1 + {x^2} = 2\) \(\displaystyle \Leftrightarrow {x^2} = 1 \Leftrightarrow x = \pm 1\).
Diện tích: \(\displaystyle S = \int\limits_{ - 1}^1 {\left| {\frac{1}{{1 + {x^2}}} - \frac{1}{2}} \right|dx} \)\(\displaystyle = \int\limits_{ - 1}^1 {\left( {\frac{1}{{1 + {x^2}}} - \frac{1}{2}} \right)dx} \)
Dễ thấy hàm số \(\displaystyle y = \frac{1}{{{x^2} + 1}} - \frac{1}{2}\) là hàm số chẵn nên \(\displaystyle S = \int\limits_{ - 1}^1 {\left( {\frac{1}{{1 + {x^2}}} - \frac{1}{2}} \right)dx} \) \(\displaystyle = 2\int\limits_0^1 {\left( {\frac{1}{{1 + {x^2}}} - \frac{1}{2}} \right)dx} \)
Xét \(\displaystyle I = \int\limits_0^1 {\left( {\frac{1}{{1 + {x^2}}} - \frac{1}{2}} \right)dx} \)\(\displaystyle = \int\limits_0^1 {\frac{{dx}}{{1 + {x^2}}}} - \frac{1}{2}\int\limits_0^1 {dx} \) \(\displaystyle = J - \frac{1}{2}\) với \(\displaystyle J = \int\limits_0^1 {\frac{1}{{1 + {x^2}}}dx} \)
Đặt \(\displaystyle x = \tan t \Rightarrow dx = \left( {1 + {{\tan }^2}t} \right)dt\) \(\displaystyle \Rightarrow J = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{1 + {{\tan }^2}t}}{{1 + {{\tan }^2}t}}dt} = \frac{\pi }{4}\)\(\displaystyle \Rightarrow I = \frac{\pi }{4} - \frac{1}{2}\)
Vậy \(\displaystyle S = 2I = 2.\left( {\frac{\pi }{4} - \frac{1}{2}} \right) = \frac{\pi }{2} - 1\).
Câu trả lời của bạn
Xét \(\displaystyle y = g\left( x \right) = {x^3} - 1\) có \(\displaystyle g'\left( x \right) = 3{x^2}\)\(\displaystyle \Rightarrow g'\left( { - 1} \right) = 3\).
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(\displaystyle y = g\left( x \right)\) tại điểm \(\displaystyle \left( { - 1; - 2} \right)\) là:
\(\displaystyle y = 3\left( {x + 1} \right) - 2\) hay \(\displaystyle y = 3x + 1\).
Xét phương trình \(\displaystyle {x^3} - 1 = 3x + 1 \Leftrightarrow {x^3} - 3x - 2 = 0\) \(\displaystyle \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right){\left( {x + 1} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = 2\end{array} \right.\)
Diện tích: \(\displaystyle S = \int\limits_{ - 1}^2 {\left| {{x^3} - 3x - 2} \right|dx} \) \(\displaystyle = \int\limits_{ - 1}^2 {\left( { - {x^3} + 3x + 2} \right)dx} \) \(\displaystyle = \left. {\left( { - \dfrac{{{x^4}}}{4} + \dfrac{3}{2}{x^2} + 2x} \right)} \right|_{ - 1}^2\) \(\displaystyle = - 4 + 6 + 4 + \dfrac{1}{4} - \dfrac{3}{2} + 2 = \dfrac{{27}}{4}\).
Vậy \(\displaystyle S = \dfrac{{27}}{4}\).
Câu trả lời của bạn
Ta có: \(\displaystyle 2 - {x^2} = 1 \Leftrightarrow {x^2} = 1\)\(\displaystyle \Leftrightarrow x = \pm 1\)
Khi đó \(\displaystyle V = \pi \int\limits_{ - 1}^1 {\left| {{{\left( {2 - {x^2}} \right)}^2} - 1} \right|dx} \) \(\displaystyle = \pi \int\limits_{ - 1}^1 {\left| {{x^4} - 4{x^2} + 3} \right|dx} \) \(\displaystyle = \pi \left| {\int\limits_{ - 1}^1 {\left( {{x^4} - 4{x^2} + 3} \right)dx} } \right|\)
\(\displaystyle = \pi \left| {\left. {\left( {\frac{{{x^5}}}{5} - \frac{4}{3}{x^3} + 3x} \right)} \right|_{ - 1}^1} \right|\) \(\displaystyle = \pi \left| {\frac{1}{5} - \frac{4}{3} + 3 + \frac{1}{5} - \frac{4}{3} + 3} \right| = \frac{{56\pi }}{{15}}\)
Câu trả lời của bạn
Ta có: \(\displaystyle 2x - {x^2} = x \Leftrightarrow {x^2} - x = 0\) \(\displaystyle \Leftrightarrow x\left( {x - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\end{array} \right.\)
Khi đó \(\displaystyle V = \pi \int\limits_0^1 {\left| {{{\left( {2x - {x^2}} \right)}^2} - {x^2}} \right|dx} \) \(\displaystyle = \pi \int\limits_0^1 {\left| {4{x^2} - 4{x^3} + {x^4} - {x^2}} \right|dx} \)
\(\displaystyle = \pi \left| {\int\limits_0^1 {\left( {{x^4} - 4{x^3} + 3{x^2}} \right)dx} } \right|\) \(\displaystyle = \pi \left| {\left. {\left( {\frac{{{x^5}}}{5} - {x^4} + {x^3}} \right)} \right|_0^1} \right|\) \(\displaystyle = \pi \left| {\frac{1}{5} - 1 + 1} \right| = \frac{\pi }{5}\)
Câu trả lời của bạn
Ta có: \(\displaystyle y = {(2x + 1)^{\frac{1}{3}}} \Leftrightarrow x = \frac{{{y^3} - 1}}{2}\) với \(\displaystyle y > 0\).
Khi đó \(\displaystyle \frac{{{y^3} - 1}}{2} = 0 \Leftrightarrow {y^3} = 1 \Leftrightarrow y = 1\)
\(\displaystyle \Rightarrow V = \pi \int\limits_1^3 {{{\left( {\frac{{{y^3} - 1}}{2}} \right)}^2}dy} \) \(\displaystyle = \pi \int\limits_1^3 {\frac{{{y^6} - 2{y^3} + 1}}{4}dy} \) \(\displaystyle = \frac{\pi }{4}\int\limits_1^3 {\left( {{y^6} - 2{y^3} + 1} \right)dy} \)
\(\displaystyle = \frac{\pi }{4}.\left( {\frac{{{y^7}}}{7} - \frac{1}{2}{y^4} + y} \right)_1^3\) \(\displaystyle = \frac{\pi }{4}\left| {\frac{{{3^7}}}{7} - \frac{{{3^4}}}{2} + 3 - \frac{1}{7} + \frac{1}{2} - 1} \right|\) \(\displaystyle = \frac{{480\pi }}{7}\).
Câu trả lời của bạn
Ta có: \(\displaystyle {x^3} = 4x \Leftrightarrow x\left( {{x^2} - 4} \right) = 0\) \(\displaystyle \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = - 2\\x = 2\end{array} \right.\).
\(\displaystyle S = \int\limits_{ - 2}^2 {\left| {{x^3} - 4x} \right|dx} \) \(\displaystyle = \int\limits_{ - 2}^0 {\left| {{x^3} - 4x} \right|dx} + \int\limits_0^2 {\left| {{x^3} - 4x} \right|dx} \) \(\displaystyle = \int\limits_{ - 2}^0 {\left( {{x^3} - 4x} \right)dx} - \int\limits_0^2 {\left( {{x^3} - 4x} \right)dx} \)
\(\displaystyle = \left. {\left( {\frac{{{x^4}}}{4} - 2{x^2}} \right)} \right|_{ - 2}^0 - \left. {\left( {\frac{{{x^4}}}{4} - 2{x^2}} \right)} \right|_0^2\) \(\displaystyle = 0 - \frac{{16}}{4} + 2.4 - \frac{{16}}{4} + 2.4 = 8\).
Câu trả lời của bạn
Ta có: \(\displaystyle y = {x^3} \Rightarrow x = \sqrt[3]{y}\). Cho \(\displaystyle \sqrt[3]{y} = 0 \Leftrightarrow y = 0\)
Khi đó \(\displaystyle V = \pi \int\limits_0^1 {{{\left( {\sqrt[3]{y}} \right)}^2}dy} \) \(\displaystyle = \pi \int\limits_0^1 {{y^{\frac{2}{3}}}dy} \) \(\displaystyle = \pi \left. {\left( {\frac{3}{5}{y^{\frac{5}{3}}}} \right)} \right|_0^1 = \frac{3}{5}\pi \)
Câu trả lời của bạn
Ta có: \(\displaystyle \sin x = \frac{{2x}}{\pi } \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \frac{\pi }{2}\\x = - \frac{\pi }{2}\end{array} \right.\)
Khi đó \(\displaystyle V = \pi \int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {\left| {{{\sin }^2}x - {{\left( {\frac{{2x}}{\pi }} \right)}^2}} \right|dx} \)
Dễ thấy \(\displaystyle f\left( x \right) = \left| {{{\sin }^2}x - {{\left( {\frac{{2x}}{\pi }} \right)}^2}} \right|\) là hàm số chẵn nên:
\(\displaystyle V = 2\pi \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left| {{{\sin }^2}x - {{\left( {\frac{{2x}}{\pi }} \right)}^2}} \right|dx} \)\(\displaystyle = 2\pi \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {{{\sin }^2}x - {{\left( {\frac{{2x}}{\pi }} \right)}^2}} \right)dx} \) \(\displaystyle = 2\pi \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\sin }^2}xdx} - \frac{8}{\pi }\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{x^2}dx} \)
\(\displaystyle = \pi \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {1 - \cos 2x} \right)dx} - \frac{8}{\pi }\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{x^2}dx} \) \(\displaystyle = \pi \left. {\left( {x - \frac{{\sin 2x}}{2}} \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{2}} - \frac{8}{\pi }.\left. {\frac{{{x^3}}}{3}} \right|_0^{\frac{\pi }{2}}\) \(\displaystyle = \pi \left( {\frac{\pi }{2} - 0} \right) - \frac{8}{\pi }.\frac{1}{3}.{\left( {\frac{\pi }{2}} \right)^3}\)
\(\displaystyle = \frac{{{\pi ^2}}}{2} - \frac{{{\pi ^2}}}{3} = \frac{{{\pi ^2}}}{6}\)
Khái niệm mặt tròn xoay và khối tròn xoay trong hình học là gì?
Câu trả lời của bạn
- Khái niệm mặt tròn xoay: Trong không gian cho mặt phẳng \((P)\) chứa đường thẳng \(Δ\) và chứa đường \(L\). Khi quay mặt \((P)\) xung quanh \(Δ\) một góc \(360^0\) thì đường \(L\) tạo nên một mặt tròn xoay. Mặt tròn xoay đó nhận \(Δ\) làm trục, đường \(L\) được gọi là đường sinh.
- Khái niệm khối tròn xoay: Khối tròn xoay là khối hình học được tạo thành khi quay một hình phẳng quanh một đường thẳng cố định (trục quay) của hình.
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *