Chương ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số được xem là nội dung trọng tâm quan trọng bậc nhất trong chương trình phổ thông, thể hiện rõ nhất cho điều đó là trong các kì thi THPT QG môn Toán đây luôn là phần chiếm tỉ lệ điểm số cao nhất. Nội dung bài ôn tập chương sẽ giúp các em hệ thống lại kiến thức đã được học, ôn tập một số dạng toán điển hình và phương pháp giải, rèn luyện kĩ năng giải bài tập, từng bước chinh phục các bài toán khó hơn.
Cho hàm số: \(y=\frac{1}{3}x^3-mx^2+(m^2-m+1)x+1\). Tìm m để hàm số:
a) Có cực đại và cực tiểu.
b) Đạt cực đại tại điểm x=1.
TXĐ: \(D=\mathbb{R}.\)
Đạo hàm: \(y'=x^2-2mx+m^2-m+1\).
a) Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu.
Hàm số có cực đại và cực tiểu khi và chỉ khi: y'=0 có 2 nghiệm phân biệt.
Điều này xảy ra khi: \(\left\{\begin{matrix} a_{y'}\neq 0\\ \Delta '_{y'}>0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 1\neq 0\\ (-m)^2-(m^2-m+1)>0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow m-1>0\Leftrightarrow m>1\)
b) Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 1
\(y'=x^2-2mx+m^2-m+1\) và \(y''=2x-2m\)
Ta có: \(\left\{\begin{matrix} y'(1)=0\\ y''(1)<0 \end{matrix}\right. \ \ \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m^2-3m+2=0\\ 2-2m<0 \end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m=1\vee m=2\\ m>1 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow m=2\)
Thử lại với m=2 hàm số đạt cực đại tại x=1.
Định m để hàm số \(y=x^3+3x^2+(m+1)x+4m\) nghịch biến trên khoảng (-1;1).
TXĐ: \(D=\mathbb{R}.\)
Đạo hàm: \(y'=3x^2+6x+m+1\)
Hàm số nghịch biến trên khoảng (-1;1) khi và chỉ khi \(y'\leq 0,\forall x\in (-1;1)\)
\(\Leftrightarrow 3x^2+6x+m+1\leq 0, \forall x\in (-1;1) \ \ (1)\)
Xét BPT (1) \(\Leftrightarrow m\leq -3x^2-6x-1=g(x)\)
Xét hàm số \(g(x), x\in (-1;1)\)
Có: \(g'(x)=-6x-6\leq 0, \forall x\in (-1;1)\)
BBT:
Từ BBT suy ra \(m\leq g(x), \forall x\in (-1;1)\Leftrightarrow m\leq -10\)
Vậy, hàm số nghịch biến trên khoảng \((-1;1)\) khi và chỉ khi \(m\leq 10.\)
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f(x)=x^2-ln4x\) trên đoạn [1;e].
Để cũng cố bài học, xin mời các em cũng làm bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 12 Ôn tập chương 1 Ứng dụng đạo hàm đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với những câu hỏi củng cố từ cơ bản đến nâng cao. Bên cạnh đó các em có thể nêu thắc mắc của mình thông qua phần Hỏi đáp Toán 12 Ôn tập chương 1 cộng đồng Toán DapAnHay sẽ sớm giải đáp cho các em.
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 12 Ôn tập chương 1 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Giải tích 12 Cơ bản và Nâng cao.
Nội dung bài giảng đã giúp các em có các nhìn tổng quát về nội dung của chương 1 Giải tích lớp 12 và ôn tập phương pháp giải một số dạng bài tập trọng tâm.
Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 12 Ôn tập chương 1Ứng dụng đạo hàm đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục và có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\) biết \(f'\left( x \right) = x{\left( {x - 1} \right)^2}.\) Khẳng định nào sau đây là đúng?
Tìm tất cả các điểm cực đại của hàm số \(y = - {x^4} + 2{x^2} + 1.\)
Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số \(y = \frac{x}{{{x^2} + 1}}\) trên đoạn [0;2].
Câu 4 - 10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 12 Ôn tập chương 1 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Giải tích 12 Cơ bản và Nâng cao.
Bài tập 1 trang 45 SGK Giải tích 12
Bài tập 2 trang 45 SGK Giải tích 12
Bài tập 3 trang 45 SGK Giải tích 12
Bài tập 4 trang 45 SGK Giải tích 12
Bài tập 5 trang 45 SGK Giải tích 12
Bài tập 6 trang 45 SGK Giải tích 12
Bài tập 7 trang 45 SGK Giải tích 12
Bài tập 8 trang 46 SGK Giải tích 12
Bài tập 9 trang 46 SGK Giải tích 12
Bài tập 10 trang 46 SGK Giải tích 12
Bài tập 11 trang 46 SGK Giải tích 12
Bài tập 12 trang 47 SGK Giải tích 12
Bài tập 1 trang 47 SGK Giải tích 12
Bài tập 2 trang 47 SGK Giải tích 12
Bài tập 3 trang 47 SGK Giải tích 12
Bài tập 4 trang 47 SGK Giải tích 12
Bài tập 5 trang 47 SGK Giải tích 12
Bài tập 1.75 trang 39 SBT Toán 12
Bài tập 1.76 trang 40 SBT Toán 12
Bài tập 1.77 trang 40 SBT Toán 12
Bài tập 1.78 trang 40 SBT Toán 12
Bài tập 1.79 trang 40 SBT Toán 12
Bài tập 1.80 trang 40 SBT Toán 12
Bài tập 1.81 trang 41 SBT Toán 12
Bài tập 1.82 trang 41 SBT Toán 12
Bài tập 1.83 trang 41 SBT Toán 12
Bài tập 1.84 trang 41 SBT Toán 12
Bài tập 1.85 trang 41 SBT Toán 12
Bài tập 1.86 trang 41 SBT Toán 12
Bài tập 1.87 trang 41 SBT Toán 12
Bài tập 1.88 trang 42 SBT Toán 12
Bài tập 1.89 trang 42 SBT Toán 12
Bài tập 1.90 trang 42 SBT Toán 12
Bài tập 1.91 trang 42 SBT Toán 12
Bài tập 1.92 trang 42 SBT Toán 12
Bài tập 1.93 trang 42 SBT Toán 12
Bài tập 1.94 trang 42 SBT Toán 12
Bài tập 1.95 trang 43 SBT Toán 12
Bài tập 1.96 trang 43 SBT Toán 12
Bài tập 68 trang 61 SGK Toán 12 NC
Bài tập 69 trang 61 SGK Toán 12 NC
Bài tập 70 trang 61 SGK Toán 12 NC
Bài tập 71 trang 62 SGK Toán 12 NC
Bài tập 72 trang 62 SGK Toán 12 NC
Bài tập 73 trang 62 SGK Toán 12 NC
Bài tập 74 trang 62 SGK Toán 12 NC
Bài tập 75 trang 62 SGK Toán 12 NC
Bài tập 76 trang 62 SGK Toán 12 NC
Bài tập 77 trang 62 SGK Toán 12 NC
Bài tập 78 trang 62 SGK Toán 12 NC
Bài tập 79 trang 62 SGK Toán 12 NC
Bài tập 80 trang 64 SGK Toán 12 NC
Bài tập 81 trang 64 SGK Toán 12 NC
Bài tập 82 trang 64 SGK Toán 12 NC
Bài tập 83 trang 64 SGK Toán 12 NC
Bài tập 84 trang 65 SGK Toán 12 NC
Bài tập 85 trang 65 SGK Toán 12 NC
Bài tập 86 trang 65 SGK Toán 12 NC
Bài tập 87 trang 65 SGK Toán 12 NC
Bài tập 88 trang 65 SGK Toán 12 NC
Bài tập 89 trang 65 SGK Toán 12 NC
Bài tập 90 trang 65 SGK Toán 12 NC
Bài tập 91 trang 65 SGK Toán 12 NC
Bài tập 92 trang 66 SGK Toán 12 NC
Bài tập 93 trang 66 SGK Toán 12 NC
Bài tập 94 trang 66 SGK Toán 12 NC
Bài tập 95 trang 66 SGK Toán 12 NC
Bài tập 96 trang 66 SGK Toán 12 NC
Bài tập 97 trang 67 SGK Toán 12 NC
Bài tập 98 trang 67 SGK Toán 12 NC
Bài tập 99 trang 67 SGK Toán 12 NC
Bài tập 100 trang 67 SGK Toán 12 NC
Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán DapAnHay sẽ sớm trả lời cho các em.
-- Mod Toán Học 12 DapAnHay
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục và có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\) biết \(f'\left( x \right) = x{\left( {x - 1} \right)^2}.\) Khẳng định nào sau đây là đúng?
Tìm tất cả các điểm cực đại của hàm số \(y = - {x^4} + 2{x^2} + 1.\)
Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số \(y = \frac{x}{{{x^2} + 1}}\) trên đoạn [0;2].
Cho hàm số \(y = \frac{x}{{x - 1}}.\) Mệnh đề nào sau đây là đúng?
Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số \(y = \cos 2x + 4\cos x + 1.\)
Cho hàm số \(y = \frac{{\left( {m - 1} \right)\sin x - 2}}{{\sin x - m}}.\) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( {0;\frac{\pi }{2}} \right).\)
Tìm tất cả các giá trị nguyên của tham số thực m để hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} + \frac{1}{2}m{x^2}\) có điểm cực đại x1 điểm cực tiểu x2 sao cho \(- 2 < {x_1} < - 1;\,\,1 < {x_2} < 2.\)
Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m để phương trình \({x^3} + {x^2} + x = m{\left( {{x^2} + 1} \right)^2}\) có nghiệm thuộc đoạn [0;1].
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số \(y = \frac{{x - 1}}{{{x^2} - mx + m}}\) có đúng một tiệm cận đứng.
Cho hàm số \(y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\) có đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Phát biểu các điều kiện đồng biến, nghịch biến của hàm số. Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số:
\(y=-x^3+2x^2-x-7\); \(y=\frac{x-5}{1-x}\)
Nêu cách tìm cực đại, cực tiểu của hàm số nhờ đạo hàm. Tìm các cực trị của hàm số \(y=x^4-2x^2+2\).
Nêu cách tìm tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. Áp dụng để tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số: \(y=\frac{2x+3}{2-x}\)
Nhắc lại sơ đồ khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
Cho hàm số y = 2x2 + 2mx + m -1 có đồ thị là (Cm), m là tham số
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1.
b) Xác định m để hàm số:
- Đồng biến trên khoảng \((-1, +\infty )\).
- Có cực trị trên khoảng \((-1, +\infty )\).
c) Chứng minh rằng (Cm) luôn cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt với mọi m.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C) của hàm số:
\(f(x) = -x^3+3x^2+9x+2\)
b) Giải bất phương trình f’(x-1) > 0
c) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ x0, biết rằng f’’(x0) = - 6.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số: y = x3 + 3x2 + 1
b) Dựa vào đồ thị (C), biện luận số nghiệm của phương trình sau theo m: \(x^3+3x^2+1=\frac{m}{2}\).
c) Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại và điểm cực tiểu của đồ thị (C).
Cho hàm số f(x)= x3 – 3mx2 + 3(2m-1)x + 1 (m là tham số).
a) Xác định m để hàm số đồng biến trên một tập xác định.
b) Với giá trị nào của tham số m, hàm số có một cực đại và một cực tiểu.
c) Xác định m để f’’(x) > 6x.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
\(f(x)=\frac{1}{2}x^4-3x^2+\frac{3}{2}\)
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình f’’(x) = 0.
c) Biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình: x4 – 6x2 + 3 = m.
Cho hàm số \(y=-{{x}^{4}}+2m{{x}^{2}}-2m+1\) với (m tham số) có đồ thị \(\left( {{C}_{m}} \right)\).
a) Biện luận theo m số cực trị của hàm số.
b) Với giá trị nào của m thì \(\left( {{C}_{m}} \right)\) cắt trục hoành?
c) Xác định m để \(\left( {{C}_{m}} \right)\) có cực đại, cực tiểu.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số \(y=\frac{x+3}{x+1}\)
b) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, đường thẳng y = 2x + m luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt M và N.
c) Xác định m sao cho độ dài MN là nhỏ nhất.
d) Tiếp tuyến tại một điểm S bất kỳ của (C) luôn cắt hai tiệm cận của (C) tại P và Q. Chứng minh rằng S là trung điểm của PQ.
Cho hàm số \(f(x)=\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{2}x^2-4x+6\)
a) Giải phương trình f'(sinx) = 0.
b) Giải phương trình f''(cosx) = 0.
c) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho tại điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình f''(x) = 0.
Số điểm cực trị của hàm số \(y=-\frac{1}{3}x^3-x+7\) là:
(A) 1;
(B) 0;
(C) 3;
(D) 2.
Số điểm cực đại của hàm số y = x4 + 100 là:
(A) 0;
(B) 1;
(C) 2;
(D) 3.
Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số \(y=\frac{1-x}{1+x}\) là:
(A) 1;
(B) 2;
(C) 3;
(D) 0;
Hàm số \(y=\frac{2x-5}{x+3}\) đồng biến trên:
(A) \(\mathbb{R}\)
(B) \((-\infty ;3)\)
(C) \((-3;+\infty)\)
(D) \(R\setminus \left \{ -3 \right \}\)
Tiếp tuyến tại điểm cực tiểu của đồ thị hàm số \(y=\frac{1}{3}x^3-2x^2+3x-5\) là đường thẳng:
(A) Song song với đường thẳng x = 1;
(B) Song song với trục hoành;
(C) Có hệ số góc dương;
(D) Có hệ số góc bằng -1.
Cho hàm số: \(y = 4{x^3} + mx\) (m là tham số) (1)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số ứng với m = 1.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) song song với đường thẳng \(y = 13x + 1\).
c) Xét sự biến thiên của hàm số (1) tùy thuộc giá trị của m.
Cho hàm số: \(y = - ({m^2} + 5m){x^3} + 6m{x^2} + 6x - 5\)
a) Xác định m để hàm số đơn điệu trên R. Khi đó, hàm số đồng biến hay nghịch biến? Tại sao?
b) Với giá trị nào của m thì hàm số đạt cực đại tại x = 1?
Cho hàm số \(y = \frac{{(a - 1){x^3}}}{3} + a{x^2} + (3a - 2)x\).
a) Xác định a để hàm số luôn luôn đồng biến.
b) Xác định a để đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt.
c) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số ứng với \(a = \frac{3}{2}\).
Từ đó suy ra đồ thị của hàm số: \(y = \left| {\frac{{{x^3}}}{6} + \frac{{3{x^2}}}{2} + \frac{{5x}}{2}} \right|\)
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
Cho hàm số \(y=\frac{x+1}{x-1}\) có đồ thị (H). Tìm m để đường thẳng d: y = -x + m cắt (H) tại hai điểm phân biệt.
Câu trả lời của bạn
Phương trình hoành độ giao điểm của \(d\) và (H) là \(\frac{x+1}{x-1}=-x+m\; \; \; \; (1)\)
Với ĐK \(x\neq 1,(1)\)
\(\Leftrightarrow x+1=(x-1)(-x+m)\Leftrightarrow x^{2}-mx+m+1=0\; \; \; (2)\)
Vì x = 1 không là nghiệm của (2) nên (d) cắt (H) tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi (2) có hai nghiệm phân biệt.
\(\Leftrightarrow \Delta =m^{2}-4m-4> 0\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} m> 2+2\sqrt{2}\\m< 2-2\sqrt{2} \end{matrix}\)
Cho hàm số \(y=\frac{2x+1}{x+1}\). Tìm các giá trị của m để đường thẳng y = mx + 2m + 1 cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B.Với giá trị nào của m thì khoảng cách từ hai điểm A và B đến trục hoành bằng nhau.
Câu trả lời của bạn
Đường thẳng y = mx + 2m +1 cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B khi và chỉ khi pt có 2 nghiệm phân biệt
\(\frac{2x+1}{x+1}=mx+2m+1\Leftrightarrow mx^2+(3m-1)x+2m=0(1)\) có hai nghiệm phân biệt khác (-1)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m\neq 0,\Delta =m^2-6m+1> 0\\ m-3m+1+2m\neq 0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m>3+2\sqrt{2}\\ m<3-2\sqrt{2} \end{matrix}\right.\) và \(m\neq 0 (*)\)
Gọi A (x1; y1), B(x2; y2) với x1, x2 là nghiệm của pt (1) và y1 = mx1 +2m +1, y2 = mx2 +2m + 1
Theo giả thiết ta suy ra \(\left | y_1 \right |=\left | y_2 \right |\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} y-1=y_2\\ y-1=-y_2 \end{matrix}\Rightarrow y_1+y_2=0\)
\(\Leftrightarrow m(x_1+x_2)+4m+2=0 \ \ (2)\)
Theo định lý Vi – ét ta có \(x_1+x_2=\frac{1-3m}{m}\) nên từ (2) ta có: \(1 - 3m + 4m + 2 = 0 \Leftrightarrow m = - 3\) thỏa mãn (*)
Vậy với m = -3 thì đường thẳng y = mx + 2m + 1 cắt (C) tại hai điểm phân biệt.
Giải bất phương trình: \(e^{1+\sqrt{e}}+\sqrt{1+\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{1+\sqrt{x}}}> e^{2x-4\sqrt{x}+3}+\frac{1}{\sqrt{2x-4\sqrt{x}}+3}\)
Câu trả lời của bạn
Điều kiện x \(\geq\) 0.
Xét hàm số \(f(t)=e^t+\sqrt{t}+\frac{1}{\sqrt{t}}\) với \(t\in [1;+\infty )\)
Ta có \(f'(t)=e^t+\frac{t-1}{2t\sqrt{t}}> 0\) với \(t\in [1;+\infty )\)
Do đó từ bất phương trình đã cho tương đương với \(1+\sqrt{x}> 2x-4\sqrt{x}+3\)
\(\Leftrightarrow 2x-5\sqrt{x}+2<0\Leftrightarrow \frac{1}{2}< \sqrt{x}< 2\) \(\Leftrightarrow \frac{1}{4}<x<4\)
Vậy tập nghiệm của bất phương trình gồm các giá trị của x thỏa mãn \(\frac{1}{4}<x<4\)
Cho \((C): y = - x^3+6x^2-9x+3\) có 3 nghiệm phân biệt
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C).
b) Tìm m để phương trình: \(x^3-6x^2+9x-4+2m=0\) có 3 nghiệm phân biệt.
Câu trả lời của bạn
Tập xác định: D = R
Sự biến thiên: \(\lim_{x\rightarrow -\infty }=+\infty ;\lim_{x\rightarrow +\infty }=-\infty\)
\(y'=-3x^2+12x-9\)
\(y'=0\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} x=1\\ x=3 \end{matrix}\Rightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} y=-1\\ y=3 \end{matrix}\)
Kết luận:
+ Hàm số nghịch biến trên (- \(\infty\);1), (3:+ \(\infty\)), đồng biến trên (1;3)
+ Hàm số đạt cực đại tại x = 3; yCĐ = 3, hàm số đạt cực tiểu tại x = 1; y = -1
Bảng biến thiên:
Điểm đặc biệt: \(x=0\Rightarrow y=3,x=4\Rightarrow y=-1\).
Đồ thị
b.
Biện luận theo m số nghiệm của pt: \(x^3-6x^2+x-4+2m=0(1)\)
\(\Leftrightarrow -x^3+6x^2-9x+3=2m-1\)
Là phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (D): y=2m-1
Số nghiệm của(1) là số giao điểm của (C) và (D).
Dựa vào đồ thị của (C) và (D), ta có (1) có 3 nghiệm phân biệt khi \(-1< 2m-1< 3\)
\(\Leftrightarrow 0< m< 2\) và kết luận
Cho hàm số \(y=x^{3}-6x^{2}+9x-1\; \; (1).\)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1).
2. Tìm m để phương trình \(x(x-3)^{2}=m\) có 3 nghiệm phân biệt.
Câu trả lời của bạn
1. \(y=x^{3}-6x^{2}+9x-1.\)
* Tập xác định: D = R
* Sự biến thiên
Ta có \(y'> 0\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} x> 3\\x< 1 \end{matrix},y'< 0\Leftrightarrow 1
Do đó
+ Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \((-\infty ;1)\) và \((3;+\infty ).\)
+ Hàm số nghịch biến trên khoảng \((1;3).\)
Đồ thị: Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm (0; -1).
2. Ta có: \(x(x-3)^{2}=m\Leftrightarrow x^{3}-6x^{2}+9x-1=m-1.\)
Phương trình có ba nghiệm phân biệt khi và chỉ khi đường thẳng y = m - 1 cắt (C) tại 3 điểm phân biệt
\(\Leftrightarrow -1
Cho hàm số \(y=x^4-2x^2-3\). Tìm m để phương trình \(x^4-2x^2=m+3\) có 4 nghiệm phân biệt.
Câu trả lời của bạn
Ta có \(x^4-2x^2=m+3 \Leftrightarrow x^4-2x^2 - 3 = m \ \ \ (1)\)
Số nghiệm của phương trình (1) bằng số giao điểm của (C) và đường thẳng y = m
Theo đồ thị ta thấy đường thẳng y = m cắt (C) tại 4 điểm phân biệt khi và chỉ khi - 4 < m < - 3.
Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt khi \(m\in (-4;-3).\)
Cho hàm số \(y=\frac{2x+1}{x+2}\; \; (1).\) Chứng minh rằng đường thẳng \(d: y = -x + m\) luôn cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A và B. Tìm m để đoạn AB có độ dài nhỏ nhất.
Câu trả lời của bạn
Hoành độ giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng d là nghiệm của phương trình
\(\frac{2x+1}{x+2}=-x+m\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! x\neq -2\\x^{2}+(4-m)x+1-2m=0\; \; (1) \end{matrix}\right.\)
Do (1) có \(\Delta =m^{2}+1>0\) và \((-2)^{2}+(4-m).(-2)+1-2m=-3\neq 0\;\forall m\) nên đường thẳng d luôn luôn cắt đồ thị tại hai điểm phân biệt A, B.
Ta có: \(y_{A}=m-x_{A};y_{B}=m-x_{B}\) nên \(AB^{2}=(x_{A}-x_{B})^{2}+(y_{A}-y_{B})^{2}=2(m^{2}+12)\) mà AB ngắn nhất khi \(AB^{2}\) nhỏ nhất, đạt được khi m = 0 (khi đó \(AB=\sqrt{24}\)).
Cho hàm số \(y=x^{3}-3x^{2}+2\). Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng y = m(x - 2) - 2 cắt đồ thị (C) tại 3 điểm phân biệt A(2; -2), B, D sao cho tích các hệ số góc của tiếp tuyến tại B và D với đồ thị (C) đạt giá trị nhỏ nhất.
Câu trả lời của bạn
Hoành độ giao điểm của (C) với d là nghiệm của phương trình:
\(x^{3}-3x^{2}+2=m(x-2)-2\Leftrightarrow (x-2)(x^{2}-x-2-m)=0\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} x=2\\x^{2}-x-2-m=0\; \; (1) \end{matrix}\)
(C) cắt d tại 3 điểm phân biệt A(2; -2), D, E \(\Leftrightarrow\) (1) có 2 nghiệm phân biệt khác 2
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \Delta =9+4m>0\\f(2)=-m\neq 0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow -\frac{9}{4}
Với điều kiện (*) gọi \(x_{1},x_{2}\) là nghiệm của (1) thì \(x_{1}+x_{2}=1,x_{1},x_{2}=-2-m.\) Tích các hsg của tt tại D và E với hoành độ \(x_{1},x_{2}\) là \(k=k_{1}k_{2}=y'(x_{1})y'(x_{2})\)
\(=(3x^{2}_{1}-6x_{1})(3x^{2}_{2}-6x_{2})=9(m^{2}+2m)=9(m+1)^{2}-9\geq -9\) với \(-\frac{9}{4}
Khi đó \(k_{min}=-9\Leftrightarrow m=-1\; (t/m\: (*)).\) Vậy giá trị m cần tìm là m = -1.
Tính tổng \(S=C^{0}_{2014}+2C^{1}_{2014}+3C^{2}_{2014}+...+2015C^{2014}_{2014}\)
Câu trả lời của bạn
Xét đa thức: \(f(x)=x(1+x)^{2014}=x(C^{0}_{2014}+C^{1}_{2014}x+C^{2}_{2014}x^{2}+...+C^{2014}_{2014}x^{2014})\)
\(=C^{0}_{2014}x+C^{1}_{2014}x^{2}+C^{2}_{2014}x^{3}+...+C^{2014}_{2014}x^{2015}.\)
\(f'(x)=C^{0}_{2014}+2C^{1}_{2014}x+3C^{2}_{2014}x^{2}+...+2015C^{2014}_{2014}x^{2014}\)
\(\Rightarrow f'(1)=C^{0}_{2014}+2C^{1}_{2014}+3C^{2}_{2014}+...+2015C^{2014}_{2014}\; \; \; \; (a)\)
Mặt khác: \(f'(x)=(1+x)^{2014}+2014(1+x)^{2013}.x=(1+x)^{2013}(1+2015x)\)
\(\Rightarrow f'(1)=2016.2^{2013}\; \; \; (b)\)
Từ (a) và (b) suy ra: \(S=2016.2^{2013}.\)
Cho hàm số \(y=\frac{2x+m}{x+1}\) có đồ thị (C). Tìm m để đồ thị (C) cắt đường thẳng 2x – y + 1 = 0 tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 1.
Câu trả lời của bạn
Xét phương trình hoành độ giao điểm: \(\frac{2x+m}{x+1}=2x+1(x\neq -1)\)
\(\Leftrightarrow 2x^2+x+1-m=0 \ \ (1)\)
Để d: y= 2x+1 cắt (C) tại hai điểm phân biệt ⇔ pt (1) có 2 nghiệm phân biệt khác -1
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \Delta > 0\\ g(-1)\neq 0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m> \frac{7}{8} \ \ (*) \\ m\neq 2 \end{matrix}\right.\)
Với điều kiện (*) thì d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A(xA;2xA +1); A(xB;2xB +1)
Với xA; xB là nghiệm của phương trình (1) thỏa mãn
Ta có \(\left\{\begin{matrix} x_A+x_B=\frac{-1}{2}\\ x_A.x_B=\frac{1-m}{2} \end{matrix}\right.\)
Ta có \(d(O,d)=\frac{1}{\sqrt{5}}, S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}d(O,d).AB=1\Rightarrow AB=2\sqrt{5}\)
\(\Leftrightarrow (x_A-x_B)^2+(y_A-y_B)^2=20\)
\(\Leftrightarrow (x_A-x_B)^2+4(x_A-x_B)^2=20\)
\(\Leftrightarrow (x_A+x_B)^2-4x_A.x_B=4\)
\(\Leftrightarrow \left ( \frac{1}{2} \right )^2-4\frac{1-m}{2}=4\)
\(\Leftrightarrow m=\frac{23}{8}\)
Vậy \(m=\frac{23}{8}\)
Giải hệ phương trình
\(\left\{\begin{matrix} x^{3}+3x^{2}+6x+4=y^{3}+3y\\x^{3}(3y-7)=1-\sqrt{(1+x^{2})^{3}} \end{matrix}\right.\) với \((x,y\in R)\)
Câu trả lời của bạn
\(\left\{\begin{matrix} x^{3}+3x^{2}+6x+4=y^{3}+3y\; \; \; (1)\\x^{3}(3y-7)=1-\sqrt{(1+x^{2})^{3}}\; \; (2) \end{matrix}\right.\)
Từ \((1)\Leftrightarrow (x+1)^{3}+3(x+1)=y^{3}+3y\)
Xét hàm số \(f(t)=t^{3}+3t\) trên R
\(f'(t)=3t^{2}+3>0\; \forall t\in R\Rightarrow\) Hàm số \(y=f(t)\) đồng biến trên R
\(\Rightarrow (1)\Leftrightarrow f(x+1)=f(y)\Leftrightarrow x+1=y\)
+ Thay \(y=x+1\) vào (2) ta có \(x^{3}(3x-4)=1-\sqrt{(1+x^{2})^{3}}\)
\(\Leftrightarrow x^{3}(3x-4)=\frac{-x^{2}(1+\sqrt{1+x^{2}}+x^{2})}{1+\sqrt{1+x^{2}}}\)
\(\Leftrightarrow x^{2}\left (3x^{2}-4x+\frac{2+x^{2}+\sqrt{1+x^{2}}}{1+\sqrt{1+x^{2}}} \right )=0\)
\(\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! x=0\\3x^{2}-4x+\frac{2+x^{2}+\sqrt{1+x^{2}}}{1+\sqrt{1+x^{2}}}=0\; \; (3) \end{matrix}\)
\((3)\Leftrightarrow 3(x-\frac{2}{3})^{2}-\frac{4}{3}+\frac{2+x^{2}+\sqrt{1+x^{2}}}{1+\sqrt{1+x^{2}}}=0\)
+ \(\Leftrightarrow 3(x-\frac{2}{3})^{2}+\frac{(\sqrt{1+x^{2}}-1)^{2}+5x^{2}+2}{6(1+\sqrt{1+x^{2}})}=0\; (vn)\)
Với x = 1 => y = 1
Vậy hệ có nghiệm (x; y) = (0; 1)
Cho hàm số \(y=\frac{-x+1}{2x-1}\; \; (1).\)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1).
b. Chứng minh rằng đường thẳng y = x + m luôn cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A, B.
Tìm m để tọa độ đoạn \(AB=\sqrt{2}.\)
Câu trả lời của bạn
a.
+ Tập xác định: \(D=R\setminus \left \{ \frac{1}{2} \right \}.\)
+ Sự biến thiên:
Hàm số nghịch biến trên từng khoảng \((-\infty ;\frac{1}{2})\) và \((\frac{1}{2};+\infty )\)
\(\lim _{x\rightarrow -\infty }y=\lim _{x\rightarrow +\infty }y=-\frac{1}{2};\Rightarrow\) tiệm cận ngang của đồ thị là \(y=-\frac{1}{2}\)
\(\lim _{x\rightarrow \frac{1}{2}^{+}}y=+\infty ;\lim _{x\rightarrow \frac{1}{2}^{-}}y=-\infty \Rightarrow\) tiệm cận đứng của đồ thị là \(x=\frac{1}{2}\)
b. Số giao điểm của đường thẳng y = x + m và đồ thị (C) bằng số nghiệm của PT:
\(\frac{-x+1}{2x-1}=x+m\; \; (1)\)
\((1)\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \!\! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! x\neq \frac{1}{2}\\-x+1=(2x-1)(x+m) \end{matrix}\right.\Leftrightarrow 2x^{2}+2mx-m-1=0\; \; (2)\)
Phương trình (2) có biệt thức \(\Delta '=m^{2}+2m+2=(m+1)^{2}+1>0,\; \forall m\Rightarrow (2)\) có nghiệm phân biệt nên y = x + m luôn cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A, B, \(\forall m.\)
Gọi \(A(x_{1};y_{1});B(x_{2};y_{2})\) thì \(x_{1},x_{2}\) là nghiệm của PT (2) và \(y_{1}=x_{1}+m,y_{2}=x_{2}+m\)
\(\Rightarrow AB=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}=\sqrt{2}\sqrt{(x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}.x_{2}}.\) Mặt khác: \(x_{1}+x_{2}=m,x_{1}.x_{2}=\frac{-m-1}{2}\)
Từ đó ta có: \(AB=\sqrt{2}\Leftrightarrow (x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}.x_{2}=1\Leftrightarrow m^{2}+2(m+1)=1\Leftrightarrow m= -1.\)
Vậy \(m=-1\)
Cho hàm số \(y=x^{3}+(m-1)x^{2}-3mx+2(C_{m})\)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1
b. Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị hàm số \((C_{m})\) tại điểm có hoành độ x = 1 vuông góc với đường thẳng d: x - 2y + 10 = 0
Câu trả lời của bạn
\(y=x^{3}+(m-1)x^{2}-3mx+2(C_{m})\)
Ta có: \(y'=3x^{2}+2(m-1)x-3m\)
Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x = 1 là y'(1) = 1 - m
Tung độ tiếp điểm là: y = 2 - 2m
Phương trình tiếp tuyến là \(y-2+2m=(1-m)(x-1)\Leftrightarrow (1-m)x-y-m+1=0\)
Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng \(x-2y+10=0\Leftrightarrow (1-m)+2=0\Leftrightarrow m=3\)
Cho hàm số: \(y=\frac{x-2}{x-1}\)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
b. Tìm các giá trị của m để đường thẳng d: y = m + 1 - x cắt đồ thị hàm số tại 2 điểm A, B sao cho độ dài đoạn thẳng \(AB=2\sqrt{2}\)
Câu trả lời của bạn
a. + TXĐ: R \ {1}
+ Sự biến thiên:
\(y'=\frac{(x-1)-(x-2)}{(x-1)^{2}}=\frac{1}{(x-1)^{2}}\)
\(y'>0\; \; \forall x\neq 1\Rightarrow\) hàm số đồng biến trên từng khoảng \((-\infty ;1)\) và \((1;+\infty )\)
\(\lim _{x\rightarrow 1^{+}}y=-\infty ;\lim _{x\rightarrow 1^{-}}y=+\infty \Rightarrow\) Tiệm cận đứng là: x = 1
\(\lim _{x\rightarrow +\infty }y=1 ;\lim _{x\rightarrow -\infty }y=1\Rightarrow\) Tiệm cận ngang là: y = 1
+ Bảng biến thiên:
+ Đồ thị (Lấy đủ các điểm, vẽ tiệm cận đứng, ngang đúng, điền đủ)
Học sinh tự vẽ hình
b. + Xét phương trình hoành độ giao điểm: \(\frac{x-2}{x-1}=m+1-x\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x^{2}-(m+1)x+m-1=0\; \; (1)\\ \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \!\! \! \! \! \! \! \!\! \! \! \! \! \! \!\! \! \! \! \! \! \!\! \! \! \! \! \! \!\! \! \! \! \! \! \!\! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! x\neq 1 \end{matrix}\right.\)
+ Đường thẳng d cắt đồ thị tại 2 điểm phân biệt A, B \(\Leftrightarrow\) phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt \(\neq\) 1
\(\left\{\begin{matrix} \! \! \! \! \! \! \!\! \! \! \! \! \! \!\! \! \! \! \! \! \!\! \! \! \! \! \! \!\! \! \! \! \! \! \!\! \! \! \! \! \! \!\! \! \! \! \! \! \!\Delta >0\\1^{2}-(m+1).1+m-1\neq 0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m^{2}-2m+5>0\\\! \! \! \! \! \! \!\! \! \! \! \! \! \!\! \! \! \! \! \! \!\! \! \! \! \! \! \!-1\neq 0 \end{matrix}\right.\; \; \forall m\)
+ Gọi \(A(x_{1};y_{1});B(x_{2};y_{2})\) là các giao điểm \(\Rightarrow\) \(x_{1};x_{2}\) là các nghiệm của phương trình (1) và \(y_{1}=m+1-x_{1};y_{2}=m+1-x_{2}\)
+ \(AB=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(-x_{2}+x_{1})^{2}}=\sqrt{2}\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}}\)
\(\sqrt{2}\sqrt{(x_{2}+x_{1})^{2}-4x_{1}x_{2}}=\sqrt{2}\sqrt{(m+1)^{2}-4(m-1)}=\sqrt{2}\sqrt{m^{2}-2m+5}\) (do \(\left\{\begin{matrix} x_{1}+x_{2}=m+1\\x_{1}-x_{2}=m-2 \end{matrix}\right.\))
\(AB=2\sqrt{2}\Rightarrow \sqrt{2}\sqrt{m^{2}-2m+5}=2\sqrt{2}\)
\(\Leftrightarrow m^{2}-2m+5=4\Leftrightarrow m^{2}-2m+1=0\Leftrightarrow m=1\)
+ KL: Vậy m = 1 thì d cắt đồ thị hàm số tại hai điểm phân biệt A, B thỏa mãn \(AB=2\sqrt{2}\)
Cho hàm số \(y=x^3-3x^2+4 \ \ (1)\)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1).
2. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số (1) cắt đường thẳng y = mx – 2m tại ba điểm phân biệt.
Câu trả lời của bạn
Tập xác định: R
Sự biến thiên \(y'=3x^2-6x; y=0\Leftrightarrow \bigg \lbrack \begin{matrix} x=0\\ x=2 \end{matrix}\)
Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \((+\infty ;0); (2;+\infty )\) ; hàm số nghịch biến trên khoảng (0;2)
Hàm số đạt cực đại tại điểm x = 0 \(\Rightarrow\) yCĐ = 4
Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 2 \(\Rightarrow\) yCT = 0
\(\lim_{x\rightarrow -\infty }f(x)=-\infty, \lim_{x\rightarrow +\infty }f(x)=+\infty\)
Đồ thị hàm số không có tiệm cận.
Bảng biến thiên
Đồ thị: Đồ thị cắt Oy tại điểm (0;4), cắt Ox tại điểm (2;0), (1;0); đi qua điểm (3;4).
2/ Phương trình hoành độ giao điểm: \(x^3 -3x^2 + 4 = mx - 2m\)
\(\Leftrightarrow (x-2)(x^2-x-2-m)=0\)
\(\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} x=2\\ x^2-x-2-m=0 \ \(*) \end{matrix}\)
để đồ thị hàm số (1) cắt đường thẳng y = mx – 2m tại ba điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác 2.
hay \(\left\{\begin{matrix} \Delta =9+4m>0\\ 2^2-2-2-m\neq 0 \end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m>-\frac{9}{4}\\ m\neq 0 \end{matrix}\right.\)
Vậy với \(m\in (-\frac{9}{4};+\infty )\) \ \(\left \{ 0 \right \}\)
Cho hàm số \(y=x^{3}-3x^{2}+2\)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số
b) Tìm các giá trị của tham số m để đường thẳng d: y = m(x - 2) - 2 cắt đồ thị (C) tại 3 điểm phân biệt A(2; -2), B, D sao cho các hệ số góc của tiếp tuyến tại B và D với đồ thị (C) bằng 27.
Câu trả lời của bạn
a)
+ Tập xác định : D = R
+ Sự biến thiên:
+ Hàm số nghịch biến trên khoảng (0; 2);
+ Đồng biến trên các khoảng \((-\infty ;0)\) và \((2;+\infty)\)
+ Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=2;y_{CT}=y(2)=-2;\)
+ Hàm số đạt cực đại tại \(x=0;y_{CD}=y(0)=2.\)
b) Phương trình hoành độ giao điểm của d và (C) là \(x^{3}-3x^{2}+2=m(x-2)-2\)
\(\Leftrightarrow (x-2)(x^{2}-x-m-2)=0\Leftrightarrow \Big \lbrack\begin{matrix} x=2\\g(x)=x^{2}-x-m-2=0\; (1) \end{matrix}\)
d cắt (C) tại ba điểm phân biệt A(2; -2), B, D khi và chỉ khi (1) có hai nghiệm phân biệt khác 2
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \Delta =9+4m>0\\g(2)=-m\neq 0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow 0\neq m>-\frac{9}{4}\; (*)\)
Với điều kiện (*), gọi \(x_{1},x_{2}\) là các nghiệm của (1) thì \(x_{1}+x_{2}=1,x_{1}.x_{2}=-m-2\)
Ta có:\(k=y'(x_{1}).y'(x_{2})=({3x_{1}}^{2}-6x_{1})({3x_{1}}^{2}-6x_{1})=9(m+1)^{2}-9=27\)
\(\Leftrightarrow (m+1)^{2}=4,m=1\vee m=-3\) đối chiếu với điều kiện (*) chỉ có m = -1 thỏa mãn ycbt
Cho hàm số \(y=\frac{2x+3}{x+2}\)
1) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Gọi I là giao điểm hai đường tiệm cận của đồ thị (C). Tìm điểm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại M cắt các đường tiệm cận của (C) tại A và B để đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ nhất.
Câu trả lời của bạn
1.
- Tập xác định: R \\(\left \{ -2 \right \}\)
- Sự biến thiên: \(y'=\frac{1}{(x+2)^2}>0 \ \forall x\neq -2\)
- Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \((-\infty ;-2);(-2;+\infty )\); hàm số không có cực trị
\(\lim_{x\rightarrow -\infty }y=2;\lim_{x\rightarrow +\infty }y=2\Rightarrow\) Đồ thị có tiệm cận ngang y = 2
\(\lim_{x\rightarrow (-2)^- }y=+\infty;\lim_{x\rightarrow (-2)^+ }y=-\infty\Rightarrow\) Đồ thị có tiệm cận đứng x = -2
- Bảng biến thiên:
- Đồ thị: \(\left ( 0;\frac{3}{2} \right );\left (\frac{-3}{2};0 \right )\)
- Đồ thị đối xứng nhau qua giao điểm I (-2; 2)
- Đồ thị
2.
Gọi \(M\left ( a;\frac{2a+3}{a+2} \right )\in (C)(a\neq -2)\)
\(\Rightarrow\) Tiếp tuyến của (C) tại M là: \(y=\frac{1}{(a+2)^2}(x-a)+\frac{2a+3}{a+2}\)
Tiếp tuyến cắt tiệm cận đứng \(A(-2;\frac{2a+2}{a+2})\); cắt tiệm cận ngang tại B(2a+2;2) \(\Rightarrow\) M là trung điểm AB.
Điểm I(-2;2); \(\Delta IAB\) vuông tại I nên IM là bán kính đường tròn ngoại tiếp \(\Delta IAB\). Do đó Sđường tròn đạt min \(\Leftrightarrow\) IMmin
Ta có: \(IM^2=(a+2)^2+\left ( \frac{2a+3}{a+2} -2\right )^2=(a+2)^2+\frac{1}{(a+2)^2}\geq 2\)
\(\Rightarrow min IM=\sqrt{2}\) đạt khi \((a+2)^2=\frac{1}{(a+2)^2}\)
\(\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} a+2=1\\ a+2=-1 \end{matrix}\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} a=-1\\ a=-3 \end{matrix}\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} M_1(-1;1)\\ M_2(-3;3) \end{matrix}\)
Vậy có 2 điểm thỏa mãn yêu cầu để \(M_1(-1;1); M_2(-3;3)\)
Cho hàm số \(y=\frac{x}{x+1}\)
1, Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2, Gọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận của (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị \(M \in (C)\) tại điểm sao cho \(IM=\sqrt{2}\)
Câu trả lời của bạn
1.
Học sinh tự giải
2.
Ta có: \(M(x;\frac{x}{1+x})\) và \(I(-1;1)\)
Khi đó: \(IM=\sqrt{2}\Leftrightarrow (x+1)^2+(\frac{x}{1+x}-1)^2=2\Leftrightarrow \left [ (x+1)^2-1 \right ]^2=0\)
\(\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} x=0\\ x=-2 \end{matrix}\)
Tiếp tuyến tại điểm M1(0;0): \(y=\frac{1}{(0+1)^2}(x-0)+0\Leftrightarrow y=x\)
Tiếp tuyến tại điểm M2(-2;2): \(y=\frac{1}{(-2+1)^2}(x+2)+2\Leftrightarrow y=x+4\)
Cho hàm số \(y=\frac{1}{3}x^{3}-x^{2}\; (1).\)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1).
b) Tìm tọa độ điểm M thuộc đồ thị (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại M vuông góc với đường thẳng d: x + 3y + 1 = 0.
Câu trả lời của bạn
a)
- Tập xác định: D = R
- Sự biến thiên:
\(y'=x^{2}-2x;\; \; y'=0\Leftrightarrow \big \lbrack\begin{matrix} x=0\\ x=2 \end{matrix}\)
\(\lim _{x\rightarrow +\infty}y=\lim _{x\rightarrow +\infty}[x^{3}(\frac{1}{3}-\frac{1}{x})]=+\infty\)
\(\lim _{x\rightarrow -\infty}y=\lim _{x\rightarrow -\infty}[x^{3}(\frac{1}{3}-\frac{1}{x})]=-\infty\)
Bảng biến thiên
Hàm số đồng biến trên các khoảng \((-\infty;0)\) và \((2;+\infty)\)
Hàm số nghịch biến trên (0; 2).
Hàm số có cực đại tại x = 0 và yCĐ = y(0) = 0.
Hàm số có cực tiểu tại x = 2 và yCT = y(2) = \(-\frac{4}{3}\)
- Đồ thị
Giao Ox: (0; 0), (3; 0)
Giao Oy: (0; 0)
y' = 0 ⇔ x = 1
⇒ Đồ thị hàm số nhận \(I(1;-\frac{2}{3})\) làm điểm uốn và là tâm đối xứng
b)
d có hệ số góc \(k=-\frac{1}{3}.\)
Gọi x0 là hoành độ điểm M
Ycbt \(\Leftrightarrow y'(x_{0}).(\frac{1}{3})=-1\)
\(\Leftrightarrow y'(x_{0})=3\)
\(\Leftrightarrow x_{0}^{2}-2x_{0}-3=0\)
\(\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} x_{0}=-1\\x_{0}=3 \end{matrix}\)
\(\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} M(-1;-\frac{4}{3})\\M(3;0) \end{matrix}\)
Cho hàm số \(y=\frac{2x-1}{x+1}\)
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đi qua A (-1; 4).
Câu trả lời của bạn
a,
* Tập xác định: D = R\(\left \{ -1 \right \}\)
*Giới hạn, tiệm cận:
\(\lim_{x\rightarrow \pm \infty }y=2\Rightarrow y=2\) là tiệm cận ngang của đồ thị.
\(\lim_{x\rightarrow 1^+}y=-\infty ;\lim_{x\rightarrow 1^-}y=+\infty \Rightarrow x=-1\) là tiệm cận đứng của đồ thị.
* \(y'=\frac{3}{(x+1)^2}\)
* \(y'>0,\forall x\in D\Rightarrow\) Hàm số đồng biến trên các khoảng xác định
* Bảng biến thiên:
* Điểm đặc biệt: \((0;-1),(\frac{1}{2};0);(-2;5)(-3;\frac{7}{2})\)
* Đồ thị
b,
(d) là tiếp tuyến của (C) tại \(M(x_0;y_0)\)
\(\Rightarrow (d): (y-y_0)=y'(x_0)(x-x_0)\)
\(\Rightarrow (d): y=\frac{3}{(x_0+1)^2}(x-x_0)+\frac{2x_0-1}{x_0+1}\)
(d) qua A \(\Leftrightarrow \frac{3}{(x_0+1)^2}(-1-x^0)+\frac{2x_0-1}{x_0+1}=4\)
\(\Leftrightarrow -3+2x_0-1=4x_0+4\Leftrightarrow 2x_0=-8\)
\(\Leftrightarrow x_0=-4\Rightarrow y_0=3;y'(-4)=\frac{1}{3}\)
Vậy \((d): y=\frac{1}{3}(x+4)+3=\frac{1}{3}x+\frac{13}{3}\)
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *