Chương ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số được xem là nội dung trọng tâm quan trọng bậc nhất trong chương trình phổ thông, thể hiện rõ nhất cho điều đó là trong các kì thi THPT QG môn Toán đây luôn là phần chiếm tỉ lệ điểm số cao nhất. Nội dung bài ôn tập chương sẽ giúp các em hệ thống lại kiến thức đã được học, ôn tập một số dạng toán điển hình và phương pháp giải, rèn luyện kĩ năng giải bài tập, từng bước chinh phục các bài toán khó hơn.
Cho hàm số: \(y=\frac{1}{3}x^3-mx^2+(m^2-m+1)x+1\). Tìm m để hàm số:
a) Có cực đại và cực tiểu.
b) Đạt cực đại tại điểm x=1.
TXĐ: \(D=\mathbb{R}.\)
Đạo hàm: \(y'=x^2-2mx+m^2-m+1\).
a) Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu.
Hàm số có cực đại và cực tiểu khi và chỉ khi: y'=0 có 2 nghiệm phân biệt.
Điều này xảy ra khi: \(\left\{\begin{matrix} a_{y'}\neq 0\\ \Delta '_{y'}>0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 1\neq 0\\ (-m)^2-(m^2-m+1)>0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow m-1>0\Leftrightarrow m>1\)
b) Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 1
\(y'=x^2-2mx+m^2-m+1\) và \(y''=2x-2m\)
Ta có: \(\left\{\begin{matrix} y'(1)=0\\ y''(1)<0 \end{matrix}\right. \ \ \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m^2-3m+2=0\\ 2-2m<0 \end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m=1\vee m=2\\ m>1 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow m=2\)
Thử lại với m=2 hàm số đạt cực đại tại x=1.
Định m để hàm số \(y=x^3+3x^2+(m+1)x+4m\) nghịch biến trên khoảng (-1;1).
TXĐ: \(D=\mathbb{R}.\)
Đạo hàm: \(y'=3x^2+6x+m+1\)
Hàm số nghịch biến trên khoảng (-1;1) khi và chỉ khi \(y'\leq 0,\forall x\in (-1;1)\)
\(\Leftrightarrow 3x^2+6x+m+1\leq 0, \forall x\in (-1;1) \ \ (1)\)
Xét BPT (1) \(\Leftrightarrow m\leq -3x^2-6x-1=g(x)\)
Xét hàm số \(g(x), x\in (-1;1)\)
Có: \(g'(x)=-6x-6\leq 0, \forall x\in (-1;1)\)
BBT:
Từ BBT suy ra \(m\leq g(x), \forall x\in (-1;1)\Leftrightarrow m\leq -10\)
Vậy, hàm số nghịch biến trên khoảng \((-1;1)\) khi và chỉ khi \(m\leq 10.\)
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f(x)=x^2-ln4x\) trên đoạn [1;e].
Để cũng cố bài học, xin mời các em cũng làm bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 12 Ôn tập chương 1 Ứng dụng đạo hàm đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với những câu hỏi củng cố từ cơ bản đến nâng cao. Bên cạnh đó các em có thể nêu thắc mắc của mình thông qua phần Hỏi đáp Toán 12 Ôn tập chương 1 cộng đồng Toán DapAnHay sẽ sớm giải đáp cho các em.
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 12 Ôn tập chương 1 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Giải tích 12 Cơ bản và Nâng cao.
Nội dung bài giảng đã giúp các em có các nhìn tổng quát về nội dung của chương 1 Giải tích lớp 12 và ôn tập phương pháp giải một số dạng bài tập trọng tâm.
Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 12 Ôn tập chương 1Ứng dụng đạo hàm đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục và có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\) biết \(f'\left( x \right) = x{\left( {x - 1} \right)^2}.\) Khẳng định nào sau đây là đúng?
Tìm tất cả các điểm cực đại của hàm số \(y = - {x^4} + 2{x^2} + 1.\)
Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số \(y = \frac{x}{{{x^2} + 1}}\) trên đoạn [0;2].
Câu 4 - 10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 12 Ôn tập chương 1 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Giải tích 12 Cơ bản và Nâng cao.
Bài tập 1 trang 45 SGK Giải tích 12
Bài tập 2 trang 45 SGK Giải tích 12
Bài tập 3 trang 45 SGK Giải tích 12
Bài tập 4 trang 45 SGK Giải tích 12
Bài tập 5 trang 45 SGK Giải tích 12
Bài tập 6 trang 45 SGK Giải tích 12
Bài tập 7 trang 45 SGK Giải tích 12
Bài tập 8 trang 46 SGK Giải tích 12
Bài tập 9 trang 46 SGK Giải tích 12
Bài tập 10 trang 46 SGK Giải tích 12
Bài tập 11 trang 46 SGK Giải tích 12
Bài tập 12 trang 47 SGK Giải tích 12
Bài tập 1 trang 47 SGK Giải tích 12
Bài tập 2 trang 47 SGK Giải tích 12
Bài tập 3 trang 47 SGK Giải tích 12
Bài tập 4 trang 47 SGK Giải tích 12
Bài tập 5 trang 47 SGK Giải tích 12
Bài tập 1.75 trang 39 SBT Toán 12
Bài tập 1.76 trang 40 SBT Toán 12
Bài tập 1.77 trang 40 SBT Toán 12
Bài tập 1.78 trang 40 SBT Toán 12
Bài tập 1.79 trang 40 SBT Toán 12
Bài tập 1.80 trang 40 SBT Toán 12
Bài tập 1.81 trang 41 SBT Toán 12
Bài tập 1.82 trang 41 SBT Toán 12
Bài tập 1.83 trang 41 SBT Toán 12
Bài tập 1.84 trang 41 SBT Toán 12
Bài tập 1.85 trang 41 SBT Toán 12
Bài tập 1.86 trang 41 SBT Toán 12
Bài tập 1.87 trang 41 SBT Toán 12
Bài tập 1.88 trang 42 SBT Toán 12
Bài tập 1.89 trang 42 SBT Toán 12
Bài tập 1.90 trang 42 SBT Toán 12
Bài tập 1.91 trang 42 SBT Toán 12
Bài tập 1.92 trang 42 SBT Toán 12
Bài tập 1.93 trang 42 SBT Toán 12
Bài tập 1.94 trang 42 SBT Toán 12
Bài tập 1.95 trang 43 SBT Toán 12
Bài tập 1.96 trang 43 SBT Toán 12
Bài tập 68 trang 61 SGK Toán 12 NC
Bài tập 69 trang 61 SGK Toán 12 NC
Bài tập 70 trang 61 SGK Toán 12 NC
Bài tập 71 trang 62 SGK Toán 12 NC
Bài tập 72 trang 62 SGK Toán 12 NC
Bài tập 73 trang 62 SGK Toán 12 NC
Bài tập 74 trang 62 SGK Toán 12 NC
Bài tập 75 trang 62 SGK Toán 12 NC
Bài tập 76 trang 62 SGK Toán 12 NC
Bài tập 77 trang 62 SGK Toán 12 NC
Bài tập 78 trang 62 SGK Toán 12 NC
Bài tập 79 trang 62 SGK Toán 12 NC
Bài tập 80 trang 64 SGK Toán 12 NC
Bài tập 81 trang 64 SGK Toán 12 NC
Bài tập 82 trang 64 SGK Toán 12 NC
Bài tập 83 trang 64 SGK Toán 12 NC
Bài tập 84 trang 65 SGK Toán 12 NC
Bài tập 85 trang 65 SGK Toán 12 NC
Bài tập 86 trang 65 SGK Toán 12 NC
Bài tập 87 trang 65 SGK Toán 12 NC
Bài tập 88 trang 65 SGK Toán 12 NC
Bài tập 89 trang 65 SGK Toán 12 NC
Bài tập 90 trang 65 SGK Toán 12 NC
Bài tập 91 trang 65 SGK Toán 12 NC
Bài tập 92 trang 66 SGK Toán 12 NC
Bài tập 93 trang 66 SGK Toán 12 NC
Bài tập 94 trang 66 SGK Toán 12 NC
Bài tập 95 trang 66 SGK Toán 12 NC
Bài tập 96 trang 66 SGK Toán 12 NC
Bài tập 97 trang 67 SGK Toán 12 NC
Bài tập 98 trang 67 SGK Toán 12 NC
Bài tập 99 trang 67 SGK Toán 12 NC
Bài tập 100 trang 67 SGK Toán 12 NC
Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán DapAnHay sẽ sớm trả lời cho các em.
-- Mod Toán Học 12 DapAnHay
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục và có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\) biết \(f'\left( x \right) = x{\left( {x - 1} \right)^2}.\) Khẳng định nào sau đây là đúng?
Tìm tất cả các điểm cực đại của hàm số \(y = - {x^4} + 2{x^2} + 1.\)
Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số \(y = \frac{x}{{{x^2} + 1}}\) trên đoạn [0;2].
Cho hàm số \(y = \frac{x}{{x - 1}}.\) Mệnh đề nào sau đây là đúng?
Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số \(y = \cos 2x + 4\cos x + 1.\)
Cho hàm số \(y = \frac{{\left( {m - 1} \right)\sin x - 2}}{{\sin x - m}}.\) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( {0;\frac{\pi }{2}} \right).\)
Tìm tất cả các giá trị nguyên của tham số thực m để hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} + \frac{1}{2}m{x^2}\) có điểm cực đại x1 điểm cực tiểu x2 sao cho \(- 2 < {x_1} < - 1;\,\,1 < {x_2} < 2.\)
Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m để phương trình \({x^3} + {x^2} + x = m{\left( {{x^2} + 1} \right)^2}\) có nghiệm thuộc đoạn [0;1].
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số \(y = \frac{{x - 1}}{{{x^2} - mx + m}}\) có đúng một tiệm cận đứng.
Cho hàm số \(y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\) có đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Phát biểu các điều kiện đồng biến, nghịch biến của hàm số. Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số:
\(y=-x^3+2x^2-x-7\); \(y=\frac{x-5}{1-x}\)
Nêu cách tìm cực đại, cực tiểu của hàm số nhờ đạo hàm. Tìm các cực trị của hàm số \(y=x^4-2x^2+2\).
Nêu cách tìm tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. Áp dụng để tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số: \(y=\frac{2x+3}{2-x}\)
Nhắc lại sơ đồ khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
Cho hàm số y = 2x2 + 2mx + m -1 có đồ thị là (Cm), m là tham số
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1.
b) Xác định m để hàm số:
- Đồng biến trên khoảng \((-1, +\infty )\).
- Có cực trị trên khoảng \((-1, +\infty )\).
c) Chứng minh rằng (Cm) luôn cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt với mọi m.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C) của hàm số:
\(f(x) = -x^3+3x^2+9x+2\)
b) Giải bất phương trình f’(x-1) > 0
c) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ x0, biết rằng f’’(x0) = - 6.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số: y = x3 + 3x2 + 1
b) Dựa vào đồ thị (C), biện luận số nghiệm của phương trình sau theo m: \(x^3+3x^2+1=\frac{m}{2}\).
c) Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại và điểm cực tiểu của đồ thị (C).
Cho hàm số f(x)= x3 – 3mx2 + 3(2m-1)x + 1 (m là tham số).
a) Xác định m để hàm số đồng biến trên một tập xác định.
b) Với giá trị nào của tham số m, hàm số có một cực đại và một cực tiểu.
c) Xác định m để f’’(x) > 6x.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
\(f(x)=\frac{1}{2}x^4-3x^2+\frac{3}{2}\)
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình f’’(x) = 0.
c) Biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình: x4 – 6x2 + 3 = m.
Cho hàm số \(y=-{{x}^{4}}+2m{{x}^{2}}-2m+1\) với (m tham số) có đồ thị \(\left( {{C}_{m}} \right)\).
a) Biện luận theo m số cực trị của hàm số.
b) Với giá trị nào của m thì \(\left( {{C}_{m}} \right)\) cắt trục hoành?
c) Xác định m để \(\left( {{C}_{m}} \right)\) có cực đại, cực tiểu.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số \(y=\frac{x+3}{x+1}\)
b) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, đường thẳng y = 2x + m luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt M và N.
c) Xác định m sao cho độ dài MN là nhỏ nhất.
d) Tiếp tuyến tại một điểm S bất kỳ của (C) luôn cắt hai tiệm cận của (C) tại P và Q. Chứng minh rằng S là trung điểm của PQ.
Cho hàm số \(f(x)=\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{2}x^2-4x+6\)
a) Giải phương trình f'(sinx) = 0.
b) Giải phương trình f''(cosx) = 0.
c) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho tại điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình f''(x) = 0.
Số điểm cực trị của hàm số \(y=-\frac{1}{3}x^3-x+7\) là:
(A) 1;
(B) 0;
(C) 3;
(D) 2.
Số điểm cực đại của hàm số y = x4 + 100 là:
(A) 0;
(B) 1;
(C) 2;
(D) 3.
Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số \(y=\frac{1-x}{1+x}\) là:
(A) 1;
(B) 2;
(C) 3;
(D) 0;
Hàm số \(y=\frac{2x-5}{x+3}\) đồng biến trên:
(A) \(\mathbb{R}\)
(B) \((-\infty ;3)\)
(C) \((-3;+\infty)\)
(D) \(R\setminus \left \{ -3 \right \}\)
Tiếp tuyến tại điểm cực tiểu của đồ thị hàm số \(y=\frac{1}{3}x^3-2x^2+3x-5\) là đường thẳng:
(A) Song song với đường thẳng x = 1;
(B) Song song với trục hoành;
(C) Có hệ số góc dương;
(D) Có hệ số góc bằng -1.
Cho hàm số: \(y = 4{x^3} + mx\) (m là tham số) (1)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số ứng với m = 1.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) song song với đường thẳng \(y = 13x + 1\).
c) Xét sự biến thiên của hàm số (1) tùy thuộc giá trị của m.
Cho hàm số: \(y = - ({m^2} + 5m){x^3} + 6m{x^2} + 6x - 5\)
a) Xác định m để hàm số đơn điệu trên R. Khi đó, hàm số đồng biến hay nghịch biến? Tại sao?
b) Với giá trị nào của m thì hàm số đạt cực đại tại x = 1?
Cho hàm số \(y = \frac{{(a - 1){x^3}}}{3} + a{x^2} + (3a - 2)x\).
a) Xác định a để hàm số luôn luôn đồng biến.
b) Xác định a để đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt.
c) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số ứng với \(a = \frac{3}{2}\).
Từ đó suy ra đồ thị của hàm số: \(y = \left| {\frac{{{x^3}}}{6} + \frac{{3{x^2}}}{2} + \frac{{5x}}{2}} \right|\)
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
Cho hàm số \(y=\frac{1}{3}x^3+2x^2+3x-1\)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
b) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại giao điểm (C) với đường thẳng y = -1.
Câu trả lời của bạn
a,
TXĐ: D = R
Giới hạn: \(\lim_{x\rightarrow -\infty }y=-\infty;\lim_{x\rightarrow +\infty }y=+\infty\)
Đồ thị không có tiệm cận
\(y'=x^2+4x+3,\forall x\in R,y'=0\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} x=-1\\ x=-3 \end{matrix}\)
Bảng biến thiên:
Hàm số đồng biến trên các khoảng \((-\infty -3);(-1; +\infty )\), nghịch biến trên khoảng (-3; -1)
Hàm số đạt cực tiểu tại x = -1 và \(f(-1)=-\frac{7}{3}\); hàm số đạt cực đại tại x = - 3 và f(-3) = -1
Đồ thị:
b,
Hoành độ giao điểm của đồ thị (C) với đường thẳng y = - 1 là nghiệm của phương trình: \(\frac{1}{3}x^3+2x^2+3x-1=-1\)
Giải phương trình ta được nghiệm x = 0 và x = -3.
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ bằng 0 là y = 3x – 1.
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tai điểm có hoành độ bằng -3 là y = -1.
Cho hàm số \(y=\frac{2x+m}{x-1}\; (1),\) m là tham số thực
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) với m = 1
b. Tìm m để đường thẳng d: y = x + 2 cắt đồ thị hàm số (1) tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho diện tích tam giác OAB bằng \(\sqrt{21}\) (O là gốc tọa độ)
Câu trả lời của bạn
tại sao d(0,d) bằng trị tuyệt đối 2 trên căn 2 v ạ
a.
- TXĐ: D = R \ {1}
- Sự biến thiên: \(y'=\frac{-3}{(x-1)^{2}},y'<0,\forall x\in D\)
Hàm số nghịch biến trên các khoảng \((-\infty;1)\) và \((1;+\infty)\)
- Giới hạn:
\(\lim _{x\rightarrow 1^{-}}y=-\infty;\lim _{x\rightarrow 1^{+}}y=+\infty;\lim _{x\rightarrow -\infty}y=2;\lim _{x\rightarrow +\infty}=2\)
Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = 1 và tiệm cận ngang y = 2
- Bảng biến thiên:
- Đồ thị
Đồ thị cắt trục Oy tại điểm (0; -1); cắt trục hoành tại điểm \((-\frac{1}{2};0)\)
Đồ thị nhận điểm I(1; 2) làm tâm đối xứng
b.
Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng d và đồ thị hàm số (1) là
\(\frac{2x+m}{x-1}=x+2\; \; (2)\) Điều kiện \(x\neq 1\)
\((2)\Leftrightarrow 2x+m=(x-1)(x+2)\Leftrightarrow x^{2}-x-2-m=0\; \; (3)\)
Đường thẳng d cắt đồ thị hàm số (1) tại 2 điểm phân biệt A, B khi và chỉ khi phương trình (3) có 2 nghiệm phân biệt khác 1. Điều kiện cần và đủ là:
\(\left\{\begin{matrix} \Delta >0\\1-1-2-m\neq 0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 1+8+4m>0\\ m\neq 2 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m>-\frac{9}{4}\\m\neq 2 \end{matrix}\right.\)
Khi đó gọi các nghiệm của phương trình (3) là x1; x2. Tọa độ các giao điểm A(x1; x1 + 2); B(x2; x2 + 2)
\(AB=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(x_{2}-x_{1})^{2}}=\sqrt{2(x_{2}+x_{1})^{2}-4x_{1}x_{2}}=\sqrt{2(1-4(-2-m))}=\sqrt{2(9+4m)}\)
\(d:y=x+2\Leftrightarrow x-y+2=0.\) Khoảng cách từ O đến đường thẳng d là \(d(O;d)=\frac{\left | 2 \right |}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}\)
Diện tích tam giác \(OAB=\sqrt{21}\Leftrightarrow \frac{1}{2}d(O;d).AB=\sqrt{21}\)
\(\Leftrightarrow \frac{1}{2}\sqrt{2}.\sqrt{2(9+4m)}=\sqrt{21}\Leftrightarrow 9+4m=21\Leftrightarrow m=3\)
Cho hàm số \(y=\frac{2x-1}{1-x}\)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1).
b. Lập phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng 4x + y + 3 = 0.
Câu trả lời của bạn
a,
Học sinh tự giải
b,
Gọi \(M\left ( x_0;\frac{2x_0-1}{1-x_0} \right )\in (C)\)
Tiếp tuyến của (C) tại \(M: y=\frac{1}{(1-x_0)^2}(x-x_0)+\frac{2x_0-1}{1-x_0}\)
Do tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d nên hệ số góc của tiếp tuyến là \(k=\frac{1}{4}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{(1-x_0)^2}=\frac{1}{4}\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 1-x_0=2\\ 1-x_0=-2 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x_0=-1\\ x_0=3 \end{matrix}\right.\)
Với \(x_0=-1\Rightarrow PTTT: y=\frac{1}{4}(x_0+1)-\frac{3}{2}\Leftrightarrow y=\frac{1}{4}x-\frac{5}{4}\)
Với \(x_0=3\Rightarrow PTTT: y=\frac{1}{4}(x_0-3)-\frac{5}{2}\Leftrightarrow y=\frac{1}{4}x-\frac{13}{4}\)
Cho hàm số \(y=\frac{2x+1}{x+2} \ \ (2)\)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1).
b) Viết phương trình tiếp tuyến d của (C) biết d song song với đường thẳng 3x - y +14 = 0.
Câu trả lời của bạn
+ TXĐ: D = R \ {-2}.
+ Giới hạn và tiệm cận:
\(\lim_{x\rightarrow\pm \infty }y=2; \lim_{x\rightarrow2^+ }y=-\infty ;\lim_{x\rightarrow2^- }y=+\infty\)
\(\Rightarrow\) Tiệm cận đứng x = -2, tiệm cận ngang y = 2
+ Sự biến thiên: \(y'=\frac{3}{(x+2)^2}>0,\forall x\in R\left \{ -2 \right \}\)
\(\Rightarrow\) Hàm số đồng biến trên từng khoảng \((-\infty ;-2); (-2;+\infty )\)
+ Bảng biến thiên:
+ Hàm số không có cực trị
+ Đồ thị:
b,
Gọi \(M(x_0;y_0)\) là tiếp điểm của tiếp tuyến d với đồ thị (C). Khi đó \(y'(x_0)=3\)
Ta có phương trình \(\frac{3}{(x_0+2)^2 }=3\Leftrightarrow(x_0+2)^2=1\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} x_0=-1\\ x_0=-3 \end{matrix}\)
Phương trình tiếp tuyến d của đồ thị (C) tại các điểm (-1;-1) và ( -3;5) lần lượt là:
y = 3x + 2, y= 3x +14
Từ giả thiết ta được:y = 3x + 2,
Giải bất phương trình \(3(x^2-2)+\frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{x^2-x+1}}>\sqrt{x}(\sqrt{x-1}+3\sqrt{x^2-1})\)
Câu trả lời của bạn
ĐK: \(\small x\geq 1\)
BPT \(\small \Leftrightarrow 6(x^2-2)+\frac{8\sqrt{2}}{\sqrt{x^2-x+1}}-2\sqrt{x^2-x}-6\sqrt{x}\sqrt{x^2-1}>0\)
\(\small \Leftrightarrow 3(\sqrt{x^2-1}-\sqrt{x})^2+(\sqrt{x^2-1}-1)^2+2\left ( \frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{x^2-x+1}} +x^2-x-5\right )>0\)
Xét hàm số \(\small f(t)=\frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{t+1}}+1-5\) với \(\small t\geq 5\). Ta có \(\small f'(t)=1-\frac{2\sqrt{2}}{(t+1)\sqrt{t+1}}\)
+ \(\small f'(t)=0\Leftrightarrow t=1\)
+ Bảng xét dấu
Suy ra \(\small f(x)\geq f(1), \forall t\in [ 0;+\infty )\). Dấu “=” xảy ra \(\small \Leftrightarrow\) t=1
Do \(\small x^2-x\geq 0,\forall x \in [ 0;+\infty )\Rightarrow \frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{x^2-x+1}}+x^2-x-5\geq 0,\forall x\in [ 0;+\infty )\)
Dấu “=” xảy ra khi \(\small x^2-x+1=0\Leftrightarrow \frac{1+\sqrt{5}}{2}\)
Khi đó: \(\small 3(\sqrt{x^2-1}-\sqrt{x})^2+(\sqrt{x^2-x}-1)^2+2\left ( \frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{x^2-x+1}} +x62-x-5\right )>0\)
\(\small \Leftrightarrow \Bigg \lbrack\begin{matrix} \sqrt{x^2-1}-\sqrt{x}\neq 0\\ \sqrt{x^2-x}-1\neq 0\\ \frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{x^2-x+1}}+x^2-x-5\neq 0 \end{matrix}\Leftrightarrow x\neq \frac{1+\sqrt{5}}{2}\)
Tập nghiệm của bất phương trình đã cho là: \(\small S=[ 1;+\infty )\)\ \(\small \left \{ \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right \}\)
Cho hàm số \(y=x^{3}-3x^{2}+2\) có đồ thị là (C)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 9x + 2
3. Tìm m để đường thẳng (d)y = mx - 2m - 2 cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt có hoành độ x1, x2, x3 thỏa mãn \({x_{1}}^{2}+{x_{2}}^{2}+{x_{3}}^{2}=5\)
Câu trả lời của bạn
m = -2
áas
.
1.
+ Tập xác định: D = R
+ Chiều biến thiên
\(\lim _{x\rightarrow \pm \infty}y=\lim _{x\rightarrow \pm \infty}(x^{3}-3x^{2}+2)=\lim _{x\rightarrow \pm \infty}(1-\frac{3}{x}+\frac{2}{x^{3}})=\pm \infty\)
Đồ thị hàm số không có tiệm cận
+ Đồ thị:
2.
+ Gọi \(M(x_{0};y_{0})\in (C):y_{0}={x_{0}}^{3}-3{x_{0}}^{2}+2.\) Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M là:
\(y=({3x_{0}}^{2}-6x_{0})(x-x_{0})+{x_{0}}^{3}-{3x_{0}}^{2}+2\)
Theo giả thiết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 9x + 2, ta có:
\({3x_{0}}^{2}-6x_{0}=9\Leftrightarrow {3x_{0}}^{2}-6x_{0}-9=0\Leftrightarrow \big \lbrack\begin{matrix} x_{0}=-1\\x_{0}=3 \end{matrix}\)
+ Với x0 = -1, phương trình tiếp tuyến là: y = 9x0 + 7
+ Với x0 = 3, phương trình tiếp tuyến là: y = 9x0 - 25
3.
+ Xét phương trình hoành độ giao điểm \(x^{3}-3x^{2}+2=mx-2m-2\)
\(\Leftrightarrow x^{3}-3x^{2}-mx+2m+4=0\)
\(\Leftrightarrow (x-2)(x^{2}-x-m-2)=0\; \; (1)\)
\(\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} x=2\\x^{2}-x-m-2=0\; \; (2) \end{matrix}\)
+ Đường thẳng (d): y = mx - 2m - 2 cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt có hoành độ x1, x2, x3 thỏa mãn \({x_{1}}^{2}+{x_{2}}^{2}+{x_{3}}^{2}=5\)
\(\Leftrightarrow (1)\) có 3 nghiệm phân biệt x1, x2, x3 thỏa mãn \({x_{1}}^{2}+{x_{2}}^{2}+{x_{3}}^{2}=5\)
\(\Leftrightarrow (2)\) có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn \({x_{1}}^{2}+{x_{2}}^{2}+2^{2}=5\)
(2) có 2 nghiệm phân biệt \(x_{1}, x_{2} \Leftrightarrow \Delta >0\Leftrightarrow 9+4m>0\Leftrightarrow m>-\frac{4}{9}\; (*)\)
Theo định lý Vi ét, ta có: \(\left\{\begin{matrix} x_{1}+x_{2}=1\\ x_{1}.x_{2}=-m-2 \end{matrix}\right.\)
Lại có: \({x_{1}}^{2}+{x_{2}}^{2}+2^{2}=5\Leftrightarrow (x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}.x_{2}-1=0\)
\(\Leftrightarrow 1^{2}-2(-m-2)-1=0\Leftrightarrow m=-2\)
Vậy m = -2 là giá trị cần tìm
Giải hệ phương trình \(\small \left\{\begin{matrix} x^3-6x^2+13x=y^3+y+10\\ \sqrt{2x+y+5}-\sqrt{3-x-y}=x^3-3x^2-10y-x \end{matrix}\right.\)
Câu trả lời của bạn
\(\small \left\{\begin{matrix} x^3-6x^2+13x=y^3+y+10 \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1)\\ \sqrt{2x+y+5}-\sqrt{3-x-y}=x^3-3x^2-10y-x \ (2) \end{matrix}\right.\)
\((1)\Leftrightarrow (x-2)^3+(x-2)=y^3+y\)
Xét hàm số \(f(t)=t^3+t,t\in R\) có \(f'(t)=3t^2+1>0,\ \forall t\in R\)
\(\Rightarrow f(t)\) đồng biến trên R và \((1)\Leftrightarrow x-2=y \ (3)\)
Thay (3) vào (2): \(\sqrt{3x+3}-\sqrt{5-2x}=x^3-3x^2-10x+26\ \ (4);\ -1\leq x\leq \frac{5}{2}\)
+ Chứng minh \(g(x)=\sqrt{3x+3}-\sqrt{5-2x}\) đồng biến trên đoạn \(\left [ -1;\frac{5}{2} \right ]\)
+ Chứng minh \(h(x)=x^3-3x^2-10x+26\) nghịch biến trên đoạn \(\left [ -1;\frac{5}{2} \right ]\)
\(g(2)=h(2)=2\Rightarrow x=2\) là nghiệm duy nhất của phương trình (4)
Đáp số (x;y) = (2;0)
Cho hàm số \(y=\frac{x-3}{x-2}\; \; (1)\)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1).
b) Gọi A là điểm nằm trên đồ thị (C) có tung độ bằng 2. Tiếp tuyến của (C) tại điểm A cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại B, C. Tính diện tích tam giác BCD, với D(-2; 3).
Câu trả lời của bạn
a) Học sinh tự giải
b) Ta có A(1; 2). Tiếp tuyến của (C) tại điểm A là đường thẳng d có phương trình
\(y=f'(x_{A}).(x-x_{A})+y_{A}=1.(x-1)+2=x+1\)
Gọi giao điểm của d với trục hoành trục tung lần lượt là B(-1; 0), C(0; 1).
Suy ra \(\overrightarrow{CD}=(-2;2),CD=2\sqrt{2},\overrightarrow{BC}=(1;1),BC=\sqrt{2}.\) Mà \(\overrightarrow{CD}.\overrightarrow{BC}=0\Rightarrow CD \perp BC.\)
Do vậy \(S_{\triangle BCD}=\frac{1}{2}.CD.BC=2\) (đvdt).
Nhận xét: Để tính diện tích tam giác BCD khi biết tọa độ 3 đỉnh có nhiều cách khác nhau. Tuy nhiên, để lời giải được gọn đẹp và đơn giản hóa việc tính toán, học sinh cần nhận ra được tam giác BCD vuông tại C.
Cho hàm số \(y=x^{4}+(m-3)x^{2}+2-m\; (1),\) với m là tham số thực.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 1.
b) Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt có hoành độ nhỏ hơn 2.
Câu trả lời của bạn
a)
TXĐ: D = R. \(\lim _{x\rightarrow -\infty}y=+\infty;\lim _{x\rightarrow +\infty}y=+\infty\)
Đạo hàm: \(y'=4x^{3}-4x;y'=0\Leftrightarrow x=0\) hoặc \(x=\pm 1.\)
Các khoảng đồng biến: \((-1;0);(1;+\infty).\) Khoảng nghịch biến: \((-\infty;-1);(0;1)\)
Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=\pm 1,y_{CT}=0;\) đạt cực đại tại x = 0; yCĐ = 1
Bảng biến thiên:
Đồ thị: (HS có thể lấy thêm điểm (-2; 9); (2; 9))
b)
Phương trình hoành độ giao điểm \(x^{4}+(m-3)x^{2}+2-m=0\; (1)\)
Đặt \(t=x^{2}\geq 0\Rightarrow t^{2}+(m-3)t+2-m=0\; \; (2)\)
Để (1) có 4 nghiệm phân biệt thì (2) có 2 nghiệm thỏa mãn điều kiện \(\Delta >0,S>0,P>0\)
\(\Leftrightarrow m<2;m\neq 1\)
Điều kiện: Phương trình (2) phải có nghiệm thỏa mãn điều kiện \(0<t_{1},t_{2}<4\)
Phương trình (2) có t1 = 1 (thỏa mãn), t2 = 2 - m
Điều kiện: \(2 - m < 4 \Leftrightarrow m >-2\)
Đáp số: \(-2<m<2,m\neq 1\)
Cho hàm số \(\small y=\frac{1}{3}mx^3+(m-1)x^2+(2-3m)x+1(C_m)\)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C2) khi m = 2
b. Tìm tất cả các giá trị m sao cho trên đồ thị (Cm) tồn tại đúng 2 điểm có hoành độ dương mà tiếp tuyến tại đó vuông góc với đường thẳng (d): x - y - 3 = 0.
Câu trả lời của bạn
a,
Khi m = 2 ta có \(y=\frac{2}{3}x^3+x^2-4x+1\)
TXĐ: D = R
Sự biến thiên \(y '=2x^2+2x-4;y'=0\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} x=1\Rightarrow y=-\frac{4}{3}\\ x=-2\Rightarrow y=\frac{23}{3} \end{matrix}\)
Hàm số giảm trên (-2;1) và tăng \((-\infty ;-2);(1;+\infty )\)
+ Giới hạn: \(\lim_{x\rightarrow -\infty }y=-\infty ;\lim_{x\rightarrow +\infty }y=+\infty\)
+ Bảng biến thiên:
- Hàm số đạt cực đại tại x = -2; yCĐ=\(\frac{23}{3}\) và đạt cực tiểu tại x = 1; yCT=-\(\frac{4}{3}\)
Đồ thị
b,
Ta có: \(y'=mx^2+2(m-1)x+2-3m;k_d=1\)
Từ yêu cầu bài toán dẫn đến: y’.kd = -1 có đúng 2 nghiệm dương phân biệt.
\(\Leftrightarrow mx^2+2(m-1)x+2-3m=0\) có 2 nghiệm dương phân biệt
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m\neq 0\\ \Delta '>0\\ S>0\\ P>0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m\neq 0\\ 4m^2-5m+1>0\\ \frac{m-1}{m}<0\\ \frac{3-3m}{m}>0 \end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m<\frac{1}{4}vm>1\\ 0<m<1\\ 0<m<1 \end{matrix}\right.\)
Vậy \(0<m<\frac{1}{4}\)
Cho hàm số \(y=x^{3}-3mx^{2}+2(C_{m}),y=-x+2(d),\) với m là tham số thực.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (Cm) khi m = 1.
b) Tìm các giá trị m để (Cm) có hai điểm cực trị và khoảng cách từ điểm cực tiểu của (Cm) đến đường thẳng (d) bằng \(\sqrt{2}\).
Câu trả lời của bạn
a)
Tập xác định: D = R, \(\lim_{x\rightarrow -\infty}y=-\infty;\lim _{x\rightarrow +\infty}y=+\infty\)
Đạo hàm: \(y'=3x^{2}-6x;y'=0\Leftrightarrow x=0\) hoặc x = 2
Khoảng đồng biến: \((-\infty;0);(2;+\infty).\) Khoảng nghịch biến: (0; 2)
Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2, yCT = -2;
Đạt cực đại tại x = 0, yCĐ = 2
Bảng biến thiên:
Đồ thị: (Hs có thể lấy thêm điểm (-1; -2); (1; 0); (3; 2))
b)
\(y'=3x^{2}-6mx=3x(x-2m),y'=0\Leftrightarrow x=0;x=2m\)
Điều kiện để hàm số có hai cực trị là \(m\neq 0.\)
Tọa độ hai điểm cực trị: \(A(0;2)\) và \(B(2m;2-4m^{3})\)
+ m < 0: A là điểm cực tiểu. Khi đó \(d(A,d)=0\neq \sqrt{2}\) (loại)
+ m > 0: B là điểm cực tiểu. Khi đó:
\(d(B,d)=\sqrt{2}\Leftrightarrow \left | 2m^{3}-m \right |=1\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} 2m^{3}-m=1\\ 2m^{3}-m=-1 \end{matrix}\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} m=1\; (tm)\\m=-1\; (ktm) \end{matrix}\)
Đáp số: m = 1
Giải hệ phương trình: \(\left \{\begin{matrix} x^{2}-2x-2(x^{2}-x)\sqrt{3-2y}=(2y-3)x^{2}-1\\\! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \sqrt{2-\sqrt{3-2y}}=\frac{\sqrt[3]{2x^{2}+x^{3}}+x+2}{2x+1} \end{matrix}\right.\)
Câu trả lời của bạn
ĐK: \(x\neq -\frac{1}{2};-\frac{1}{2}\leq y\leq \frac{3}{2}\)
\(PT\Leftrightarrow x^{2}-2x+1-2(x-1)x\sqrt{3-2y}+x^{2}(3-2y)=0\)
\(\Leftrightarrow (x-1)^{2}-2(x-1)x\sqrt{3-2y}+x^{2}(3-2y)=0\)
\(\Leftrightarrow (x-1-x\sqrt{3-2y})^{2}=0\Leftrightarrow x\sqrt{3-2y}=x-1\; (3)\)
Nhận thấy x = 0 không là nghiệm của phương trình suy ra \(x\neq 0\)
Suy ra \((3)\Leftrightarrow \sqrt{3-2y}=\frac{x-1}{x}=1-\frac{1}{x}\)
Thay vào PT (2) ta được:
\(\sqrt{1+\frac{1}{x}}=\frac{\sqrt[3]{2x^{2}+x^{3}}+x+2}{2x+1}\Leftrightarrow (2x+1)\sqrt{1+\frac{1}{x}}=x+2\sqrt[3]{2x^{2}+x^{3}}\)
\(\Leftrightarrow (2+\frac{1}{x})\sqrt{1+\frac{1}{x}}=1+\frac{2}{x}+\sqrt[3]{1+\frac{2}{x}}\)
\(\Leftrightarrow (\sqrt{1+\frac{1}{x}})^{3}+\sqrt{1+\frac{1}{x}}=1+\frac{2}{x}+\sqrt[3]{1+\frac{2}{x}}\; \; (4)\)
Xét hàm số \(f(t)=t^{3}+t\) với \(t\in R\)
Ta có \(f'(t)=3t^{2}+1>0,\forall t\in R\Rightarrow\) Hàm số f(t) đồng biến trên R
Do đó, \((4)\Leftrightarrow f(\sqrt{1+\frac{1}{x}})=f(\sqrt[3]{1+\frac{2}{x}})\Leftrightarrow \sqrt{1+\frac{1}{x}}=\sqrt[3]{1+\frac{2}{x}}\)
Đặt \(a=\frac{1}{x}(a\neq 0)\Rightarrow (5)\) trở thành:
\(\sqrt{1+a}=\sqrt[2]{1+2a}\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 1+2a\geq 0\\ (1+a)^{3}=(1+2a)^{2} \end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a\geq -\frac{1}{2}\\ a^{3}-a^{2}-a=0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a\geq -\frac{1}{2}\\ a^{2}-a-1=0 \end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a\geq -\frac{1}{2}\\ \bigg \lbrack\begin{matrix} a=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\Leftrightarrow a=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\\ a=\frac{1-\sqrt{5}}{2} \end{matrix} \end{matrix}\right.\)
- Với \(a=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\Rightarrow x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}\Rightarrow (3)\Leftrightarrow \sqrt{3-2y}=\frac{1-\sqrt{5}}{2}<0\; (l)\)
Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm
Giải hệ phương trình \(\left\{\begin{matrix} (x^{2}+5y^{2})^{2}=2\sqrt{xy}(6-x^{2}-5y^{2})+36\\ \sqrt{5y^{4}-x^{4}}=6x^{2}+2xy-6y^{2} \end{matrix}\right.\)
Câu trả lời của bạn
Điều kiện \(xy\geq 0,5y^{4}-x^{4}\geq 0.\) Xét phương trình (1) xem \(x^{2}+5y^{2}\) là ẩn chính ta có \((5y^{2}+x^{2})^{2}+2\sqrt{xy}(5y^{2}+x^{2})-12\sqrt{xy}-36=0,\Delta =(\sqrt{xy}+6)^{2}\)
Do đó:
\(x^{2}+5y^{2}=6,x^{2}+5y^{2}=-2\sqrt{xy}-6\) (loại)
Thay \(x^{2}+5y^{2}=6\) vào (2) ta có \(\sqrt{5y^{4}-x^{4}}-(x^{2}+5y^{2})(x^{2}-y^{2})=2xy\)
\(\Leftrightarrow \sqrt{5y^{4}-x^{4}}+(5y^{4}-5x^{4})=4x^{2}y^{2}+2xy\)
Xét \(f(t)=t^{2}+t,t\geq 0.\) Hàm số này đồng biến do đó \(\sqrt{5y^{4}-x^{4}}=2xy\Leftrightarrow x=y\)
Thay vào \(x^{2}+5y^{2}=6\) giải ra ta có \(x= \pm 1,y= \pm 1.\) Vậy hệ đã cho có nghiệm \((x;y)=(1;1),(-1;-1)\)
Cho hàm số \(y=\frac{1}{3}x^3-(m+1)x^2+(m^2-7)x-4 \ \ (1)\) (Với m là tham số thực).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m =- 2
2. Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị x1; x2 ; thỏa mãn: x1=3x2.
Câu trả lời của bạn
1.
Khi m = -2 hàm số có dạng: \(y=\frac{1}{3}x^{3}+x^{2}-3x-4\)
+ Tập xác định: D = R
+ Khảo sát sự biến thiên:
\(\lim _{x\rightarrow -\infty}\left ( \frac{1}{3}x^{3}+x^{2}-3x-4 \right )=-\infty; \lim _{x\rightarrow +\infty}\left ( \frac{1}{3}x^{3}+x^{2}-3x-4 \right )=+\infty\)
Đồ thị hàm số không có tiệm cận.
\(y'=x^{2}+2x-3,\)
\(y'=0\Leftrightarrow x^{2}+2x-3=0\Leftrightarrow \big \lbrack\begin{matrix} x=1\\ x=-3 \end{matrix}\)
Với \(x=1\Rightarrow y=-\frac{17}{3};x=-3\Rightarrow y=5\)
Bảng biến thiên:
Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \((-\infty;-3),(1;+\infty)\)
Hàm số nghịch biến trên khoảng (-3; 1).
Hàm số có hai cực trị: \((-3;5),(1;-\frac{17}{3}).\)
+ Đồ thị:
Đồ thị hàm số đi qua (0; -4).
2.
Ta có: \(y'=x^{2}-2(m+1)x+m^{2}-7\)
\(y'=0\Leftrightarrow x^{2}-2(m+1)x+m^{2}-7=0\; \; \; \; (1)\)
Để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị thì phương trình (1) phải có hai nghiệm phân biệt \(\Leftrightarrow \Delta '>0\Leftrightarrow (m+1)^{2}-(m^{2}-7)>0\Leftrightarrow m>-4\; \; (*)\)
Khi đó đồ thị hàm số có hai điểm cực trị x1; x2 là nghiệm của (1) nên thỏa mãn: \(\left\{\begin{matrix} x_{1}+x_{2}=2(m+1)\\\! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! x_{1}x_{2}=m^{2}-7 \end{matrix}\right.\; \; \; (I)\)
Với \(x_{1}=3x_{2}\) thế vào \((I)\) ta được:
\(\left\{\begin{matrix} 4x_{2}=2(m+1)\\ 3x_{2}^{2}=m^{2}-7 \end{matrix}\right.\Rightarrow 3\left ( \frac{m+1}{2} \right )^{2}=m^{2}-7\)
\(\Leftrightarrow m^{2}-6m-31=0 \Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} m=3+2\sqrt{10}\\ m=3-2\sqrt{10} \end{matrix}\) (thỏa mãn điều kiện \((I)\)).
Vậy \(m=3 \pm 2\sqrt{10}\) là giá trị cần tìm.
Cho hàm số \(y=x^{3}-3x^{2}+2\; (1)\)
a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (1)
b. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số (1) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng (d): x + 9y - 1 = 0
Câu trả lời của bạn
a. HS tự làm
b. Gọi \(M(a;a^{3}-3a^{2}+2)\) là tiếp điểm, do tiếp tuyến vuông góc với (d). Nên có y'(a) = 9
Hay \(3a^{2}-6a-9=0\Leftrightarrow a=-1\) hoặc a = 3
Với a = -1 PTTT là y = 9x + 7
Với a = 3 PTTT là y = 9x - 25
Giải hệ phương trình \(\left\{\begin{matrix} \sqrt{x^{2}+xy+2y^{2}}+\sqrt{y^{2}+xy+2x^{2}}=2(x+y)\\ (8y-6)\sqrt{x-1}=(2+\sqrt{y-2})(y+4\sqrt{x-2}+3) \end{matrix}\right.\)
Câu trả lời của bạn
\(PT(1)\Leftrightarrow \sqrt{(\frac{x}{y})^{2}+\frac{x}{y}+2}+\sqrt{2(\frac{x}{y})^{2}+\frac{x}{y}+1}=2(\frac{x}{y}+1)\)
Đặt \(\frac{x}{y}=t,t>0\) ta được PT \(\sqrt{t^{2}+t+2}+\sqrt{2t^{2}+t+1}=2(t+1)\; (3)\) với t > 0
Bình phương hai vế của (3) giải ra ta được x = y
Thay x = y vào (2) ta được \((8x-6)\sqrt{x-1}=(2+\sqrt{x-2})(x+4\sqrt{x-2}+3)\)
\(\Leftrightarrow \sqrt{4x-4}[(\sqrt{4x-4})^{2}+1]=(2+\sqrt{x-2})[(2+\sqrt{x-2})^{2}+1]\; (4)\)
Xét hàm số \(f(t)=t^{3}+t\) luôn đồng biến trên R nên
\((4)\Leftrightarrow \sqrt{4x-4}=2+\sqrt{x-2}\; (5)\)
Giải (5) ta được x = 2 hoặc \(x=\frac{34}{9}\)
Vậy hệ có 2 nghiệm (x; y) = (2; 2) hoặc \((\frac{34}{9};\frac{34}{9})\)
Bài này phải làm sao mọi người?
Giải hệ phương trình \(\left\{\begin{matrix} 8x^3+\sqrt{y-2}=y\sqrt{y-2}-2x\\ (\sqrt{y-2}-1)=\sqrt{2x+1}=8x^3-13(y-2)+82x-29 \end{matrix}\right.\)
Câu trả lời của bạn
Điều kiện: \(\left\{\begin{matrix} 2x+1\geq 0\\ y-2\geq 0 \ \ \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\geq -\frac{1}{2}\\ y\geq 2 \ \ \end{matrix}\right.\)
Phương trình \(8x^3+\sqrt{y-2}=y\sqrt{y-2}-2x\Leftrightarrow (2x)^3+(2x)=(\sqrt{y-1})^3+\sqrt{y-2}\)
Xét hàm đặc trưng: \(f(t)=t^3+t,f'(t)=3t^2+1>0\forall t\)
Hàm số f(t) liên tục và đồng biến trên R. Suy ra: \(2x=\sqrt{y-2}\)
Thế \(2x=\sqrt{y-2}\) vào phương trình thứ hai ta được:
\((2x-1)\sqrt{2x+1}=8x^3-52x^2+82x-29\)
\(\Leftrightarrow (2x-1)\sqrt{2x+1}=(2x-1)(4x^2-24x+29)\)
\(\Leftrightarrow (2x-1)(\sqrt{2x+1}-4x^2-24x+29)=0\)
\(\Leftrightarrow \bigg \lbrack \begin{matrix} 2x-1=0\Rightarrow x=\frac{1}{2}\Rightarrow y=3\\ \sqrt{2x+1}-4x^2+24x-29=0 \end{matrix}\)
Giải phương trình: \(\sqrt{2x+1}-4x^2+24x-29=0\)
Đặt \(t=\sqrt{2x+1},t\geq 0\Rightarrow 2x=t^2-1\)
Ta được phương trình: \(t-(t^2-1)^2+12(t^2-1)-29=0\Leftrightarrow t^4-14t^2-t+42=0\)
\(\Leftrightarrow (t-2)(t+3)(t^2-t-7)=0\Leftrightarrow \Bigg \lbrack\begin{matrix} t=2 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ t=-3 \ \ \ (loai) \\ t=\frac{1-\sqrt{29}}{2} \ (loai)\\ t=\frac{1+\sqrt{29}}{2} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \end{matrix}\)
Với \(t=2\Rightarrow x=\frac{3}{2}\Rightarrow y=11\)
Với \(t=\frac{1+\sqrt{29}}{2}\Rightarrow x=\frac{13+\sqrt{29}}{4}\Rightarrow y=\frac{103+13\sqrt{29}}{2}\)
Vậy hệ phương trình đã cho có 3 cặp nghiệm: \(\left ( \frac{1}{2};3 \right );\left ( \frac{3}{2};11 \right );\left ( \frac{13+\sqrt{29}}{4} ;\frac{103+13\sqrt{29}}{2}\right )\)
Giải phương trình: \(x\sqrt{x-1}=(2x-3)^2(2x-2)+x-2\)
Câu trả lời của bạn
TXĐ \(D=[ 1;+\infty )\)
Phương trình \(\Leftrightarrow (x-1)\sqrt{x-1}+(x-1)+\sqrt{x-1}=(2x-3)^3+(2x-3)^2+2x-3\)
Xét hàm số \(f(t)=t^3+t^2+t\Rightarrow f'(t)=3t^2+2t+1\Rightarrow f'(t)>0,\forall t\in R\) suy ra hàm số f(t) đồng biến trên R.
Phương trình (1) có dạng \(f(\sqrt{x-1})=f(2x-3)\). Từ hai điều trên phương trình (1)
\(\Leftrightarrow \sqrt{x-1}=2x-3\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\geq \frac{3}{2}\\ x-1=4x^2-12x+9 \end{matrix}\right.\left\{\begin{matrix} x\geq \frac{3}{2}\\\ 4x^2-13x+10=0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=2\)
Cho hàm số \(y=\frac{2x+3}{x+1}\) có đồ thị (C). Gọi (d) là đường thẳng qua H(3,3) và có hệ số góc k. Tìm k để (d) cắt (C) tại 2 điểm phân biệt M,N sao cho tam giác MAN vuông tại A(2,1)
Câu trả lời của bạn
(d): \(y = k(x - 3) + 3\)
Pt hoành độ giao điểm của (C) và (d):
\(\frac{2x+3}{x+1}=kx-3k+3\Leftrightarrow kx^2+(1-2k)x-3k=0(x\neq -1)\)
(d) cắt (C) tại 2 điểm phân biệt
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} k\neq 0\\ \Delta =16k^2-4k+1>0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow k\neq 0\)
\(M (x_1 ,kx_1 -3k+3) , N (x_2, kx_2 -3k +3)\)
Với \(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=\frac{2k-1}{k}\\ x_1.x_2=-3 \ \ \ \ \end{matrix}\right.\)
\(\Delta\)AMN vuông tại A\(\Leftrightarrow \overrightarrow{AM}.\overrightarrow{AN} =0\)
\(\Leftrightarrow -5k^2-k+2=0\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} k=\frac{-1-\sqrt{41}}{10} \ (n)\\ k=\frac{-1+\sqrt{41}}{10} \ (n) \end{matrix}\)
Cho hàm số: \(y=-x^3+3x^2-4\)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến có hệ số góc k = -9.
Câu trả lời của bạn
a.
Tập xác định: D = R
\(y'=-3x^2+6x;y'=0\Leftrightarrow \bigg \lbrack \begin{matrix} x=0\\ x=2 \end{matrix}\)
\(\lim_{x\rightarrow -\infty }y=+\infty\ ;\lim_{x\rightarrow +\infty }y=-\infty\)
Bảng biến thiên:
Hàm số đồng biến trên khoảng (0; 2)
Hàm số nghịch biến trên \((-\infty ; 0); (2; +\infty )\)
Hàm số đạt cực đại tại x = 2; yCĐ = 0;
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0; yCT = -4
b.
Tiếp tuyến có hệ số góc k= - 9
\(\Rightarrow\) Pttiếp tuyến có dạng \((\Delta ):y=9x+b\)
\((\Delta )\) tiếp xúc với (C) \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} -x^3+3x^2-4=-9x+b\\ -3x^2+6x=-9 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \end{matrix}\right.\) có nghiệm.
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=-1\\ b=-9 \end{matrix}\right.\vee \left\{\begin{matrix} x=3\\ b=23 \end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} (\Delta ):y=-9x-9\\ (\Delta ):y=-9x+23 \end{matrix}\)
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *