Chương ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số được xem là nội dung trọng tâm quan trọng bậc nhất trong chương trình phổ thông, thể hiện rõ nhất cho điều đó là trong các kì thi THPT QG môn Toán đây luôn là phần chiếm tỉ lệ điểm số cao nhất. Nội dung bài ôn tập chương sẽ giúp các em hệ thống lại kiến thức đã được học, ôn tập một số dạng toán điển hình và phương pháp giải, rèn luyện kĩ năng giải bài tập, từng bước chinh phục các bài toán khó hơn.
Cho hàm số: \(y=\frac{1}{3}x^3-mx^2+(m^2-m+1)x+1\). Tìm m để hàm số:
a) Có cực đại và cực tiểu.
b) Đạt cực đại tại điểm x=1.
TXĐ: \(D=\mathbb{R}.\)
Đạo hàm: \(y'=x^2-2mx+m^2-m+1\).
a) Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu.
Hàm số có cực đại và cực tiểu khi và chỉ khi: y'=0 có 2 nghiệm phân biệt.
Điều này xảy ra khi: \(\left\{\begin{matrix} a_{y'}\neq 0\\ \Delta '_{y'}>0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 1\neq 0\\ (-m)^2-(m^2-m+1)>0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow m-1>0\Leftrightarrow m>1\)
b) Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 1
\(y'=x^2-2mx+m^2-m+1\) và \(y''=2x-2m\)
Ta có: \(\left\{\begin{matrix} y'(1)=0\\ y''(1)<0 \end{matrix}\right. \ \ \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m^2-3m+2=0\\ 2-2m<0 \end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m=1\vee m=2\\ m>1 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow m=2\)
Thử lại với m=2 hàm số đạt cực đại tại x=1.
Định m để hàm số \(y=x^3+3x^2+(m+1)x+4m\) nghịch biến trên khoảng (-1;1).
TXĐ: \(D=\mathbb{R}.\)
Đạo hàm: \(y'=3x^2+6x+m+1\)
Hàm số nghịch biến trên khoảng (-1;1) khi và chỉ khi \(y'\leq 0,\forall x\in (-1;1)\)
\(\Leftrightarrow 3x^2+6x+m+1\leq 0, \forall x\in (-1;1) \ \ (1)\)
Xét BPT (1) \(\Leftrightarrow m\leq -3x^2-6x-1=g(x)\)
Xét hàm số \(g(x), x\in (-1;1)\)
Có: \(g'(x)=-6x-6\leq 0, \forall x\in (-1;1)\)
BBT:
Từ BBT suy ra \(m\leq g(x), \forall x\in (-1;1)\Leftrightarrow m\leq -10\)
Vậy, hàm số nghịch biến trên khoảng \((-1;1)\) khi và chỉ khi \(m\leq 10.\)
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f(x)=x^2-ln4x\) trên đoạn [1;e].
Để cũng cố bài học, xin mời các em cũng làm bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 12 Ôn tập chương 1 Ứng dụng đạo hàm đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với những câu hỏi củng cố từ cơ bản đến nâng cao. Bên cạnh đó các em có thể nêu thắc mắc của mình thông qua phần Hỏi đáp Toán 12 Ôn tập chương 1 cộng đồng Toán DapAnHay sẽ sớm giải đáp cho các em.
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 12 Ôn tập chương 1 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Giải tích 12 Cơ bản và Nâng cao.
Nội dung bài giảng đã giúp các em có các nhìn tổng quát về nội dung của chương 1 Giải tích lớp 12 và ôn tập phương pháp giải một số dạng bài tập trọng tâm.
Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 12 Ôn tập chương 1Ứng dụng đạo hàm đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục và có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\) biết \(f'\left( x \right) = x{\left( {x - 1} \right)^2}.\) Khẳng định nào sau đây là đúng?
Tìm tất cả các điểm cực đại của hàm số \(y = - {x^4} + 2{x^2} + 1.\)
Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số \(y = \frac{x}{{{x^2} + 1}}\) trên đoạn [0;2].
Câu 4 - 10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 12 Ôn tập chương 1 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Giải tích 12 Cơ bản và Nâng cao.
Bài tập 1 trang 45 SGK Giải tích 12
Bài tập 2 trang 45 SGK Giải tích 12
Bài tập 3 trang 45 SGK Giải tích 12
Bài tập 4 trang 45 SGK Giải tích 12
Bài tập 5 trang 45 SGK Giải tích 12
Bài tập 6 trang 45 SGK Giải tích 12
Bài tập 7 trang 45 SGK Giải tích 12
Bài tập 8 trang 46 SGK Giải tích 12
Bài tập 9 trang 46 SGK Giải tích 12
Bài tập 10 trang 46 SGK Giải tích 12
Bài tập 11 trang 46 SGK Giải tích 12
Bài tập 12 trang 47 SGK Giải tích 12
Bài tập 1 trang 47 SGK Giải tích 12
Bài tập 2 trang 47 SGK Giải tích 12
Bài tập 3 trang 47 SGK Giải tích 12
Bài tập 4 trang 47 SGK Giải tích 12
Bài tập 5 trang 47 SGK Giải tích 12
Bài tập 1.75 trang 39 SBT Toán 12
Bài tập 1.76 trang 40 SBT Toán 12
Bài tập 1.77 trang 40 SBT Toán 12
Bài tập 1.78 trang 40 SBT Toán 12
Bài tập 1.79 trang 40 SBT Toán 12
Bài tập 1.80 trang 40 SBT Toán 12
Bài tập 1.81 trang 41 SBT Toán 12
Bài tập 1.82 trang 41 SBT Toán 12
Bài tập 1.83 trang 41 SBT Toán 12
Bài tập 1.84 trang 41 SBT Toán 12
Bài tập 1.85 trang 41 SBT Toán 12
Bài tập 1.86 trang 41 SBT Toán 12
Bài tập 1.87 trang 41 SBT Toán 12
Bài tập 1.88 trang 42 SBT Toán 12
Bài tập 1.89 trang 42 SBT Toán 12
Bài tập 1.90 trang 42 SBT Toán 12
Bài tập 1.91 trang 42 SBT Toán 12
Bài tập 1.92 trang 42 SBT Toán 12
Bài tập 1.93 trang 42 SBT Toán 12
Bài tập 1.94 trang 42 SBT Toán 12
Bài tập 1.95 trang 43 SBT Toán 12
Bài tập 1.96 trang 43 SBT Toán 12
Bài tập 68 trang 61 SGK Toán 12 NC
Bài tập 69 trang 61 SGK Toán 12 NC
Bài tập 70 trang 61 SGK Toán 12 NC
Bài tập 71 trang 62 SGK Toán 12 NC
Bài tập 72 trang 62 SGK Toán 12 NC
Bài tập 73 trang 62 SGK Toán 12 NC
Bài tập 74 trang 62 SGK Toán 12 NC
Bài tập 75 trang 62 SGK Toán 12 NC
Bài tập 76 trang 62 SGK Toán 12 NC
Bài tập 77 trang 62 SGK Toán 12 NC
Bài tập 78 trang 62 SGK Toán 12 NC
Bài tập 79 trang 62 SGK Toán 12 NC
Bài tập 80 trang 64 SGK Toán 12 NC
Bài tập 81 trang 64 SGK Toán 12 NC
Bài tập 82 trang 64 SGK Toán 12 NC
Bài tập 83 trang 64 SGK Toán 12 NC
Bài tập 84 trang 65 SGK Toán 12 NC
Bài tập 85 trang 65 SGK Toán 12 NC
Bài tập 86 trang 65 SGK Toán 12 NC
Bài tập 87 trang 65 SGK Toán 12 NC
Bài tập 88 trang 65 SGK Toán 12 NC
Bài tập 89 trang 65 SGK Toán 12 NC
Bài tập 90 trang 65 SGK Toán 12 NC
Bài tập 91 trang 65 SGK Toán 12 NC
Bài tập 92 trang 66 SGK Toán 12 NC
Bài tập 93 trang 66 SGK Toán 12 NC
Bài tập 94 trang 66 SGK Toán 12 NC
Bài tập 95 trang 66 SGK Toán 12 NC
Bài tập 96 trang 66 SGK Toán 12 NC
Bài tập 97 trang 67 SGK Toán 12 NC
Bài tập 98 trang 67 SGK Toán 12 NC
Bài tập 99 trang 67 SGK Toán 12 NC
Bài tập 100 trang 67 SGK Toán 12 NC
Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán DapAnHay sẽ sớm trả lời cho các em.
-- Mod Toán Học 12 DapAnHay
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục và có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\) biết \(f'\left( x \right) = x{\left( {x - 1} \right)^2}.\) Khẳng định nào sau đây là đúng?
Tìm tất cả các điểm cực đại của hàm số \(y = - {x^4} + 2{x^2} + 1.\)
Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số \(y = \frac{x}{{{x^2} + 1}}\) trên đoạn [0;2].
Cho hàm số \(y = \frac{x}{{x - 1}}.\) Mệnh đề nào sau đây là đúng?
Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số \(y = \cos 2x + 4\cos x + 1.\)
Cho hàm số \(y = \frac{{\left( {m - 1} \right)\sin x - 2}}{{\sin x - m}}.\) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( {0;\frac{\pi }{2}} \right).\)
Tìm tất cả các giá trị nguyên của tham số thực m để hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} + \frac{1}{2}m{x^2}\) có điểm cực đại x1 điểm cực tiểu x2 sao cho \(- 2 < {x_1} < - 1;\,\,1 < {x_2} < 2.\)
Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m để phương trình \({x^3} + {x^2} + x = m{\left( {{x^2} + 1} \right)^2}\) có nghiệm thuộc đoạn [0;1].
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số \(y = \frac{{x - 1}}{{{x^2} - mx + m}}\) có đúng một tiệm cận đứng.
Cho hàm số \(y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\) có đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Phát biểu các điều kiện đồng biến, nghịch biến của hàm số. Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số:
\(y=-x^3+2x^2-x-7\); \(y=\frac{x-5}{1-x}\)
Nêu cách tìm cực đại, cực tiểu của hàm số nhờ đạo hàm. Tìm các cực trị của hàm số \(y=x^4-2x^2+2\).
Nêu cách tìm tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. Áp dụng để tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số: \(y=\frac{2x+3}{2-x}\)
Nhắc lại sơ đồ khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
Cho hàm số y = 2x2 + 2mx + m -1 có đồ thị là (Cm), m là tham số
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1.
b) Xác định m để hàm số:
- Đồng biến trên khoảng \((-1, +\infty )\).
- Có cực trị trên khoảng \((-1, +\infty )\).
c) Chứng minh rằng (Cm) luôn cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt với mọi m.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C) của hàm số:
\(f(x) = -x^3+3x^2+9x+2\)
b) Giải bất phương trình f’(x-1) > 0
c) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ x0, biết rằng f’’(x0) = - 6.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số: y = x3 + 3x2 + 1
b) Dựa vào đồ thị (C), biện luận số nghiệm của phương trình sau theo m: \(x^3+3x^2+1=\frac{m}{2}\).
c) Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại và điểm cực tiểu của đồ thị (C).
Cho hàm số f(x)= x3 – 3mx2 + 3(2m-1)x + 1 (m là tham số).
a) Xác định m để hàm số đồng biến trên một tập xác định.
b) Với giá trị nào của tham số m, hàm số có một cực đại và một cực tiểu.
c) Xác định m để f’’(x) > 6x.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
\(f(x)=\frac{1}{2}x^4-3x^2+\frac{3}{2}\)
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình f’’(x) = 0.
c) Biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình: x4 – 6x2 + 3 = m.
Cho hàm số \(y=-{{x}^{4}}+2m{{x}^{2}}-2m+1\) với (m tham số) có đồ thị \(\left( {{C}_{m}} \right)\).
a) Biện luận theo m số cực trị của hàm số.
b) Với giá trị nào của m thì \(\left( {{C}_{m}} \right)\) cắt trục hoành?
c) Xác định m để \(\left( {{C}_{m}} \right)\) có cực đại, cực tiểu.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số \(y=\frac{x+3}{x+1}\)
b) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, đường thẳng y = 2x + m luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt M và N.
c) Xác định m sao cho độ dài MN là nhỏ nhất.
d) Tiếp tuyến tại một điểm S bất kỳ của (C) luôn cắt hai tiệm cận của (C) tại P và Q. Chứng minh rằng S là trung điểm của PQ.
Cho hàm số \(f(x)=\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{2}x^2-4x+6\)
a) Giải phương trình f'(sinx) = 0.
b) Giải phương trình f''(cosx) = 0.
c) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho tại điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình f''(x) = 0.
Số điểm cực trị của hàm số \(y=-\frac{1}{3}x^3-x+7\) là:
(A) 1;
(B) 0;
(C) 3;
(D) 2.
Số điểm cực đại của hàm số y = x4 + 100 là:
(A) 0;
(B) 1;
(C) 2;
(D) 3.
Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số \(y=\frac{1-x}{1+x}\) là:
(A) 1;
(B) 2;
(C) 3;
(D) 0;
Hàm số \(y=\frac{2x-5}{x+3}\) đồng biến trên:
(A) \(\mathbb{R}\)
(B) \((-\infty ;3)\)
(C) \((-3;+\infty)\)
(D) \(R\setminus \left \{ -3 \right \}\)
Tiếp tuyến tại điểm cực tiểu của đồ thị hàm số \(y=\frac{1}{3}x^3-2x^2+3x-5\) là đường thẳng:
(A) Song song với đường thẳng x = 1;
(B) Song song với trục hoành;
(C) Có hệ số góc dương;
(D) Có hệ số góc bằng -1.
Cho hàm số: \(y = 4{x^3} + mx\) (m là tham số) (1)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số ứng với m = 1.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) song song với đường thẳng \(y = 13x + 1\).
c) Xét sự biến thiên của hàm số (1) tùy thuộc giá trị của m.
Cho hàm số: \(y = - ({m^2} + 5m){x^3} + 6m{x^2} + 6x - 5\)
a) Xác định m để hàm số đơn điệu trên R. Khi đó, hàm số đồng biến hay nghịch biến? Tại sao?
b) Với giá trị nào của m thì hàm số đạt cực đại tại x = 1?
Cho hàm số \(y = \frac{{(a - 1){x^3}}}{3} + a{x^2} + (3a - 2)x\).
a) Xác định a để hàm số luôn luôn đồng biến.
b) Xác định a để đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt.
c) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số ứng với \(a = \frac{3}{2}\).
Từ đó suy ra đồ thị của hàm số: \(y = \left| {\frac{{{x^3}}}{6} + \frac{{3{x^2}}}{2} + \frac{{5x}}{2}} \right|\)
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
Cho hàm số \(y=\frac{2x+2}{2x+1} \ \ (C)\)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại giao điểm của đồ thị (C) với trục hoành.
c) Tìm m để đường thẳng \(d:y=2mx+m+1\) cắt (C) tại hai điểm phân biệt A và B sao cho biểu thức P = OA2 + OB2 đạt giá trị nhỏ nhất (với O là gốc tọa độ).
Câu trả lời của bạn
a.
*TXĐ R \ {\(-\frac{1}{2}\)}
*SBT: \(y'=\frac{-2}{(2x+1)^2}<0,\forall x\neq -\frac{1}{2}\)
Hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left ( -\infty ;-\frac{1}{2} \right );\left ( -\frac{1}{2};+\infty \right )\)
Tính giới hạn và tiệm cận
Lập bảng biến thiên
*Đồ thị: Giao Ox: (- 1; 0); Giao Oy: (0; 2) Vẽ đúng đồ thị
b.
\(y'=\frac{-2}{(2x+1)^2}\) , đồ thị ( C) giao với trục ox tại điểm M(-1;0)
c.
\(y'(1)=-1\), PTTT là \(y=-2(x-1)=-2x+2\)
* (d) cắt (C ) tại hai điểm phân biệt \(\Leftrightarrow\) PT (1) có hai nghiệm phân biệt khác -1/2
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m\neq 0\\ \Delta '=4m>0\Leftrightarrow m>0\\ g\left ( -\frac{1}{2} \right )\neq 0 \end{matrix}\right.\)
*Gọi hoành độ các giao điểm A và B là x1, x2 thì x1, x2 là các nghiệm của PT (1) \(\Rightarrow\)
\(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=-1\\ x_1.x_2=\frac{m-1}{4m} \end{matrix}\right.\)
Có \(OA^2+OB^2=x_1^2+(2mx_1+m+1)^2+x_2^2+(2mx_2+m+1)^2\)
\(=(4m^2+1)(x_1^2+x_2^2)+4m(m+1)(x_1+x_2)+2(m+1)^2\)
\(=(4m^2+1) \left (1-\frac{m-1}{2m} \right )+4m(m+1)+2(m+1)^2\)
\(=\frac{5}{2}+2m+\frac{1}{2m}\geq \frac{5}{2}+2=\frac{9}{2}\) (Áp dụng BĐT cô si vì m dương)
Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow m=\frac{1}{2}\) (thỏa mãn)
KL: \(m=\frac{1}{2}\) là giá trị cần tìm.
Giải hệ phương trình: \(\left\{\begin{matrix} x^3-y^3+8x-8y=3x^2-3y^2 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ (5x^2-5y+10)\sqrt{y+7}+(2y+6)\sqrt{x+2}=x^3+13y^2-6x+32 \end{matrix}\right.\)
Câu trả lời của bạn
Điều kiện: \(\left\{\begin{matrix} x+2\geq 0\\ y+7\geq 0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\geq -2\\ y\geq -7 \end{matrix}\right.\)
Từ phương trình (1) ta có: \((x-1)^3+5(x-1)=(y-1)^3+5(y-1) \ \ \ (3)\)
Xét hàm số \(f(t)=t^3+5t\), trên tập R \(f'(t)=3t^2+5>0\forall t\in R\Rightarrow\) hàm số f(t) đồng biến trên R.
Từ (3): \(f(x-1)=f(y-1)\Leftrightarrow x=y \ \ (4)\)
Thay (4) vào (2) ta được pt:
\((5x^2-5x+10)\sqrt{x+7}+(2x+6)\sqrt{x+2}=x^3+13x^2-6x+32 \ \ (5)\) \(DK : x\geq 2\)
\((5x^2-5x+10)(\sqrt{x+7}-3)+(2x+6)(\sqrt{x+2}-2)=x^3-2x^2+5x-10 \ \ (5)\)
\((x-2)\left ( \frac{5x^2-5x+10}{\sqrt{x+7}+3}+\frac{2x+6}{\sqrt{x+2}+2} \right )=(x-2)(x^2+5)\)
\((x-2)\left ( \frac{5x^2-5x+10}{\sqrt{x+7}+3}+\frac{2x+6}{\sqrt{x+2}+2}-(x^2+5) \right )=0\)
\(x=2\overset{(4)}{\rightarrow}y=2\Rightarrow (x;y)=(2;2)\) (thỏa mãn đ/k)
\(\frac{5x^2-5x+10}{\sqrt{x+7}+3}+\frac{2x+6}{\sqrt{x+2}+2}-\left (\frac{5x^2-5x+10}{5} +\frac{2x+6}{2} \right )=0\)
\(\small \left (\underbrace{ 5x^2-5x+10 }_{>0,\forall x\geq -2} \right )\left (\underbrace{\frac{1}{\sqrt{x+7}+3} -\frac{1}{5}}_{>0,\forall x\geq -2} \right )+\left (\underbrace{ 2x+6 }_{>0,\forall x\geq -2} \right )\left (\underbrace{ \frac{1}{\sqrt{x+2}+2} -\frac{1}{2}}_{>0,\forall x\geq -2} \right )=0\) (pt vô nghiệm)
Vậy hệ phương trình có một nghiệm duy nhất: \(\small (x;y)=(2;2)\)
Cho hàm số \(y=\frac{x+2}{x-1}\) có đồ thị kí hiệu là (C).
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
b) Tìm m để đường thẳng \(y=-x+m\) cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho AB = \(2\sqrt{2}\).
Câu trả lời của bạn
* TXĐ: D = R \ {1}
* Giới hạn, tiệm cận:
\(\lim_{x\rightarrow +\infty }y=\lim_{x\rightarrow -\infty }y=1\Rightarrow y=1\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
\(\lim_{x\rightarrow 1^+ }y=+\infty ;\lim_{x\rightarrow 1^-}y=-\infty \Rightarrow x=1\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Ta có \(y'=\frac{x-1-x-2}{(x-1)^2}=\frac{-3}{(x+1)^2}< 0\forall x\in D\), suy ra hàm số nghịch biến trên các khoảng \((-\infty ;1), (1;+\infty )\)
*BBT:
*Đồ thị
b.
Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d: y=-x+m là:
\(\frac{x+2}{x-1}=-x+m\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\neq 1\\ x+2=-x^2+mx+x-m \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\neq 1\\ x^2-mx+m+2=0 \end{matrix}\right.\)
d cắt (C) tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi (1) có hai nghiệm phân biệt khác 1
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 1-m+m+2\neq 0\\ m^2-4(m+2)>0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow m^2-4m-8>0(*)\)
Khi đó d cắt (C) tại \(A(x_1;-x_1+m),B(x_2;-x_2+m)\)với x1, x2, là nghiệm phương trình (1). Theo Viet, ta có
\(AB=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(x_1-x_2)^2}=\sqrt{2\left [ (x_1+x_2)^2-4x_1.x_2 \right ]}=\sqrt{2(m^2-4m-8)}\)
Yêu cầu bài toán tương đương với:
\(\sqrt{2(m^2-4m-8)}=2\sqrt{2}\Leftrightarrow m^2-4m-12=0\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} m=-2\\ m=6 \end{matrix}\) (thỏa mãn (*))
Vậy m = -2 hoặc m = 6
Cho hàm số \(y=\frac{2x+1}{1-x}\)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
b. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng x + 3y - 2 = 0
Câu trả lời của bạn
a.
Tập xác định: D = R\{1}
Sự biến thiên
Chiều biến thiên: \(y'=\frac{3}{(1-x)^2}>0,\forall x\in D\)
Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \((-\infty ;1);(1;+\infty )\)
Giới hạn:
\(\lim_{x\rightarrow 1^-}y=+\infty ;\lim_{x\rightarrow 1^+}y=-\infty\Rightarrow x=1\) là tiệm cận đứng
\(\lim_{x\rightarrow -\infty}y= \lim_{x\rightarrow +\infty}y=-2\Rightarrow y=-2\) là tiệm cận ngang
Bảng biến thiên:
Đồ thị.
Giao với Ox tại \((-\frac{1}{2};0)\); giao với Oy tại (0;1)
Nhận xét: đồ thị nhận I(1;-2) làm tâm đối xứng
b.
Ta có: \(y'=\frac{3}{(1-x)^2}\)
Từ giả thiết \(\Rightarrow\) tiếp tuyến d của (C) có hệ số góc k = 3
Vậy \(\frac{3}{(1-x)^2}=3\Leftrightarrow (1-x)^2=1\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} x=0\\ x=2 \end{matrix}\)
* Với \(x = 0 \Rightarrow y = 1\). Phương trình tiếp tuyến là: y = 3x + 1
* Với \(x = 2 \Rightarrow y = -5.\) Phương trình tiếp tuyến là: y = 3x - 11
Giải hệ phương trình \(\left\{\begin{matrix} 2x^3-4x^2+3x-1=2x^3(2-y)\sqrt{3-2y}\\ \sqrt{x+2}=\sqrt[3]{14-x\sqrt{3-2y}}+1 \end{matrix}\right.\)
Câu trả lời của bạn
Ta thấy x = 0 không phải là nghiệm của hệ, chia cả hai vế của (1) cho x3 ta được
\((1)\Leftrightarrow 2-\frac{4}{x}+\frac{3}{x^2}-\frac{1}{x^3}=2(2-y)\sqrt{3-2y}\)
\(\Leftrightarrow \left ( 1-\frac{1}{x} \right )^3+\left ( 1-\frac{1}{x} \right )=(3-2y)\sqrt{3-2y}+\sqrt{3-2y}\) (*)
Xét hàm \(f(t)=t^3+t\) luôn đồng biến trên R
\((*)\Leftrightarrow 1-\frac{1}{x}=\sqrt{3-2y}\) (3)
Thế (3) vào (2) ta được \(\sqrt{x+2}=\sqrt[3]{15-x}+1\Leftrightarrow \sqrt{x+2}-3+2-\sqrt[3]{15-x}=0\)
\(\Leftrightarrow (x-7)\left (\underbrace{\frac{1}{\sqrt{x+2+3}}+\frac{1}{4-2\sqrt[3]{x+15}+(\sqrt[3]{x+15})^2}}_{\substack{>0}} \right )=0\)
Vậy hệ đã cho có nghiệm \((x;y)=(7;\frac{111}{98})\)
Cho hàm số \(y=\frac{2x+4}{x+1}\)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Cho hai điểm A(1; 0) và B(-7; 4). Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến đi qua điểm trung diểm I của AB.
Câu trả lời của bạn
a. Học sinh giỏi
b.
Gọi \(\Delta\) qua I(-3;2) có hệ số góc k \(\Rightarrow \Delta :y=k(x+3)+2\)
Điều kiện \(\Delta\) tiếp xúc (C) \(\left\{\begin{matrix} \frac{2x+4}{x+1}=k(x+3)+2\\ \frac{-2}{(x+1)^2}=k \end{matrix}\right.\)
Giải hệ \(\Rightarrow x=-2\Rightarrow k=-2\)
Vậy phương trình tiếp tuyến: \(\Delta : y=-2x-4\)
Cho hàm số \(y=x^3+2(m-2)x^2+(8-5m)x+m-5\) có đồ thị \((C_m)\) và đường thẳng \(d:y=x-m+1\). Tìm m để d cắt \((C_m)\) tại 3 điểm phân biệt có hoành độ tại\(x_1, x_2, x_3\) thỏa mãn: \(x_1^2+ x_2^2+ x_3^2=20\).
Câu trả lời của bạn
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị (Cm) và đường thẳng d là:
\(x^3+2(m-2)x^2+(8-5m)x+m-5=x-m+1\)
\(\Leftrightarrow x^3+2(m-2)x^2+(7-5m)x+2m-6=0\)
\(\Leftrightarrow (x-2)\left [ x^2+2(m-1)x+3-m \right ]=0\) (1)
\(\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} x=2\\ x^2+2(m-1)x+3-m =0 \ (2) \end{matrix}\) Đặt f(x) = VT (2)
(Cm) cắt d tại 3 điểm phâm biệt khi và chỉ khi (2) có 2 nghiệm phân biệt khác 2
\(\left\{\begin{matrix} \Delta '=(m-1)^2-(3-m)>0\\ f(2)\neq 0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (m^2-m-2)>0\\ m\neq -1 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \bigg \lbrack \begin{matrix} m> 2\\ m< -1 \end{matrix} (3)\)
Khi đó giả sử \(x_1=2; x_2,x_3\) là nghiệm của (2). Ta có \(x_2+x_3=2(1-m), x_2.x_3=3-m\)
Ta có \(x_1^2+x_2^2+x_3^2=4+(x_2+x_3)^2-2x_2x_3=4m^2-6m+2\)
\(x_1^2+x_2^2+x_3^2=20\Rightarrow 4m^2-6m+2=20\)
\(\Leftrightarrow 2m^2-3m-9=0\Leftrightarrow m=3\) hoặc \(m=-\frac{3}{2}tm\)
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số \(y=x^4-2x^2+1\)
Câu trả lời của bạn
- TXĐ: D = R
- Giới hạn: \(\lim_{x\rightarrow \pm \infty }y=\lim_{x\rightarrow \pm \infty }x^4\left ( 1-\frac{2}{x^2} +\frac{1}{x^4}\right )=+\infty\)
- Sự biến thiên:
+) Ta có: \(y'=4x^3-4x\Rightarrow y'=0\Leftrightarrow x=0\vee x=\pm 1\)
+) Bảng biến thiên
Suy ra:
* Hàm số nghịch biến trên các khoảng \((-\infty ;-1),(0;1)\) và hàm đồng biến trên các khoảng \((-1;0)(1;+\infty )\)
* Cực trị: xCĐ=0, yCĐ=1
xCT=\(\pm\)1,yCT=0
Đồ thị
- NX: Đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng
Bài này phải làm sao mọi người?
Giải hệ phương trình: \(\left\{\begin{matrix} \sqrt{x+1}+\sqrt{(x+1)(y-2)}+x+5=2y+\sqrt{y-2}\\ \\ \frac{(x-8)(y+1)}{x^2-4x+7}=(y-2)(\sqrt{x+1}-3) \end{matrix}\right.\)
Câu trả lời của bạn
Điều kiện \(x\geq -1;y\geq 2\)
Đặt \(\sqrt{x+1}=a;\sqrt{y-2}=b(a,b\geq 0)\), từ (1) ta có:
\(a+ab+a^2-1+5=2(b^2+2)+b\Leftrightarrow a-b+ab-b^2+a^2-b^2=0\)
\(\Leftrightarrow (a-b)(1+2a+b)=0\)
\(\Leftrightarrow a=b(do \ \ a,b\geq 0\Rightarrow 1+2a+b> 0)\)
\(\Rightarrow \sqrt{x+1}=\sqrt{y-2}\Leftrightarrow y=x+3\)
Thế vào (2) ta được:
\(\frac{(x-8)(x+4)}{x^2-4x+7}=(x+1)(\sqrt{x+1}-3)\Leftrightarrow \frac{(x-8)(x+4)}{x^2-4x+7}=\frac{(x+1)(x-8)}{\sqrt{x+1}+3}\)
\(\Leftrightarrow \bigg \lbrack \begin{matrix} x=8\\ \frac{x+4}{x^2-4x+7}=\frac{x+1}{\sqrt{x+1}+3} \ \ (*)\end{matrix}\)
+ \(x=8\Rightarrow y=11\)
+ \((*)\Leftrightarrow (\sqrt{x+1}+3)(x+4)=(x+1)(x^2-4x+7)\)
\(\Leftrightarrow (\sqrt{x+1}+3)\left [ (\sqrt{x+1} )^2+3\right ]=\left [ (x-2)+3 \right ].\left [ (x-2)^2+3 \right ] \ \ (**)\)
Xét hám số \(f(t)=(t+3)(t^2+3)\) với \(t\in R\) có \(f'(t)=3(t+1)^2\geq 0 \ \ \forall t\in R\) nên f(t) đồng biến trên R.
Do đó \((**)\Leftrightarrow f(\sqrt{x+1})=f(x-2)\Leftrightarrow \sqrt{x+1}=x-2\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\geq 2\\ x+1=x^2-4x+4 \end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\geq 2\\ x^2-5x+3=0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=\frac{5+\sqrt{13}}{2} \ \ (T/M)\)
\(x=\frac{5+\sqrt{13}}{2}\Rightarrow y=\frac{11+\sqrt{13}}{2}\)
Vậy hệ đã cho có nghiệm (x;y) là (8;11) và \(\left (\frac{5+\sqrt{13}}{2};\frac{11+\sqrt{13}}{2} \right )\)
Cho hàm số \(y=x^3-3x^2\)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (C).
b) Tìm m để đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị của đồ thị (C) tạo với đường thẳng \(\Delta : x+my+3=0\) một góc \(\alpha\) biết \(cos\alpha =\frac{4}{5}\)
Câu trả lời của bạn
a.
TXĐ: D = R
Sự biến thiên: \(y'=3x^2-6x=3x(x-2)\)
\(y'=0\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} x=0\\ x=2 \end{matrix}\)
Hàm số đồng biến trên các khoảng \((-\infty ;0);(2;+\infty )\)
Hàm số nghịch biến trên khoảng (0;2).
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 \(\Rightarrow\)yCT = -4, cực đại tại x = 0 \(\Rightarrow\) yCĐ = 0
Giới hạn \(\lim_{x\rightarrow +\infty }y=+\infty ,\lim_{x\rightarrow -\infty }y=-\infty\)
Bảng biến thiên
Đồ thị
b.
Đường thẳng đi qua CĐ, CT là \(\Delta _1: 2x+y=0\Rightarrow VTPT \ \vec{n_1}(2;1)\)
Đường thẳng đã cho \(\Delta: x+my+3=0\) có \(VTPT \ \vec{n_2}(1;m)\)
Yêu cầu bài toán \(\Leftrightarrow cos(\Delta ;\Delta _1)=\left | cos\big ( \vec{n_1};\vec{n_2} \big) \right |=\frac{\left | m+2 \right |}{\sqrt{5}.\sqrt{m^2+1}}=\frac{4}{5}\)
\(\Leftrightarrow 25(m^2+4m+4)=5.16.(m^2+1)\)
\(\Leftrightarrow 11m^2-20m-4=0\)
\(\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} m=2\\ m=-\frac{2}{11} \end{matrix}\)
Mình giải ra đáp số rồi mà không biết đúng hay sai nữa, khó quá.
Giải phương trình
\(\sqrt{2x+1}+\sqrt{3-2x}+4+2\sqrt{3+4x-4x^2}=\frac{1}{4}(4x^2-4x+3)(2x-1)^2\) trên tập số thực.
Câu trả lời của bạn
ĐK: \(-\frac{1}{2}\leq x\leq \frac{3}{2}.\) Phương trình \(\Leftrightarrow (\sqrt{2x+1}+\sqrt{3-2x})^{2}+(\sqrt{2x+1}+\sqrt{3-2x})=\left [ \frac{(2x-1)^{2}}{2} \right ]+\frac{(2x-1)^{2}}{2}\; \; (*)\)
Xét hàm số \(f(t)=t^{2}+t\) trên \([0; +\infty)\) có \(f'(t)=2t+1>0 \; \forall t \in [0; +\infty)\) nên hàm số f(t) đồng biến trên \([0; +\infty)\)
Do đó pt (*) trở thành \(\left\{\begin{matrix} f\left ( \sqrt{2x+1}+\sqrt{3-2x} \right )=f\left ( \frac{(2x-1)^{2}}{2} \right )\\ f \end{matrix}\right.\) đồng biến
\(\Leftrightarrow \sqrt{2x+1}+\sqrt{3-2x}=\frac{(2x-1)^{2}}{2}\Leftrightarrow 8(\sqrt{2x+1}+\sqrt{3-2x})=4(2x-1)^{2}\)
\(\Leftrightarrow 8(\sqrt{2x+1}+\sqrt{3-2x})=[(2x+1)-(3-2x)]^{2}\; \; (**)\)
Đặt \(\left\{\begin{matrix} \sqrt{2x+1}=a\geq 0\\ \sqrt{3-2x}=b\geq 0 \end{matrix}\right.\) thì phương trình (**) trở thành \(\left\{\begin{matrix} 8(a+b)=(a^{2}-b^{2})^{2}\\ a^{2}+b^{2}=4 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 8(a+b)=(a^{2}+b^{2})^{2}-4a^{2}b^{2}\; \; (1)\\ a^{2}+b^{2}=4\; \; (2) \end{matrix}\right.\)
Từ \((1)\Rightarrow 8(a+b)=16-4a^{2}b^{2}\Leftrightarrow 2(a+b)=4-a^{2}b^{2}\)
\(\Leftrightarrow 4(a^{2}+b^{2}+2ab)=16-8a^{2}b^{2}+a^{4}b^{4}\; \; (***)\)
Đặt \(ab=t\, (0\leq t\leq 2)\) thì pt (***) trở thành
\(16+8t=16-8t^{2}+t^{4}\Leftrightarrow t(t+2)(t^{2}-2t-4)=0\)
\(\Leftrightarrow \Bigg \lbrack\begin{matrix} t=0\\ t=-2\; (loai) \\ t=1+\sqrt{5} \; (loai) \\ t=1-\sqrt{5}\; (loai) \end{matrix}\). Vậy \(t=0 \Rightarrow \left\{\begin{matrix} \sqrt{2x+1}+\sqrt{3-2x}=2\\ \sqrt{2x+1}.\sqrt{3-2x}=0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \Bigg \lbrack\begin{matrix} x=-\frac{1}{2}\\ x=\frac{3}{2} \end{matrix}\)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số \(y=-x^3+3x+2\)
b.Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ thỏa mãn phương trình \(y''_{(x_0)}=12\)
Câu trả lời của bạn
a.
* Tập xác định: D = R
* Sự biến thiên:
+ Chiều biến thiên: \(y'=-3x^2+3,y'=0\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} x=-1\\ x=1 \end{matrix}\)
Hàm số đồng biến trên khoảng (-1;1); nghịch biến trên mỗi khoảng \((-\infty ;-1);(1;+\infty )\)
Cực trị:
Hàm số đạt cực đại tại x = 1, yCĐ = 4
Hàm số đạt cực tiểu tại x = -1, yCT = 0
+ Giới hạn: \(\lim_{x\rightarrow -\infty }y=+\infty,\lim_{x\rightarrow +\infty }y=-\infty\)
+ Bảng biến thiên:
* Đồ thị:
b.
Có \(y'=-3x^2+3\Rightarrow y''=-6x\)
Theo giả thiết \(y''(x_0)=12\Leftrightarrow -6x_0=12\Leftrightarrow x_0=-2\)
Có \(y(-2)=4, y'(-2)=-9\)
Vậy phương trình tiếp tuyến là: \(y=-9x-14\)
Cho hàm số \(y=-x^{3}+3x^{2}.\)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp tuyến đó song song với đường thẳng \(y=3x+5.\)
Câu trả lời của bạn
a)
- Tập xác định: D = R
- Sự biến thiên:
Chiều biến thiên \(y'=-3x^{2}+6x; \; \; y'=0\Leftrightarrow x=0\; \vee x =2.\)
Các khoảng nghịch biến: \((-\infty;0)\) và \((2; +\infty);\) khoảng đồng biến: (0; 2).
Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0, yCT = 0; đạt cực đại tại x = 2, yCĐ = 4.
Giới hạn tại vô cực: \(\underset{x\rightarrow -\infty}{\lim} y=+\infty;\underset{x\rightarrow +\infty}{\lim }y =-\infty\)
Bảng biến thiên:
Đồ thị:
b)
Tiếp tuyến sog song với đường thẳng y = 3x + 5 nên có hệ số góc bằng 3.
Gọi M(x0; y0) là tiếp điểm, ta có \(-3x_{0}^{2}+6x_{0}=3\Leftrightarrow 3x_{0}^{2}-6x_{0}+3=0\Leftrightarrow x_{0}=1\)
Suy ra M(1; 2)
Phương trình tiếp tuyến là: y = 3x - 1.
Hôm nay thầy em giao bài này về nhà mà em không có biết làm, mn giúp em vs!
Cho hàm số \(y=\frac{2x+1}{x-1}\) (1)
a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1).
b. Tìm điểm M trên (C) để khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng bằng khoảng cách từ M đến trục Ox.
Câu trả lời của bạn
a.
- Tập xác định D=R\{1}
- Sự biến thiên \(y'=\frac{-3}{(x-1)^2}<0\) với \(\forall x\in D\)
+ Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng \((-\infty ;1),(1;+\infty )\)
+ \(\lim_{x\rightarrow \pm \infty }y(x)=2\), suy ra đường thẳng y = 2 là đường tiệm cận ngang của đồ thị
+ \(\lim_{x\rightarrow 1^+ }y(x)=+\infty ,\lim_{x\rightarrow 1^- }y(x)=-\infty\), suy ra đường thẳng x 1 là đường tiệm cận đứng của đồ thị
+ Bảng biến thiên
- Đồ thị
+ Đồ thị hàm số đi qua các điểm (0;-1), (-2;1), (4;3), (2;5)
+ Đồ thị nhận điểm I (1;2) làm tâm đối xứng.
b.
Gọi \(M(x_0;y_0),(x_0\neq 1),y_0=\frac{2x_0+1}{x_0-1}\), ta có \(d(M,\Delta _1)=d(M,Ox)\Leftrightarrow \left | x_0-1 \right |=\left | y_0 \right |\)
\(\Leftrightarrow \left | x_0-1 \right |=\left | \frac{2x_0+1}{x_0-1} \right |\Leftrightarrow (x_0-1)^2=\left | 2x_0+1 \right |\)
Với \(x_0\geq -\frac{1}{2}\), ta có pt \(x_0^2-2x_0+1=2x_0+1\Leftrightarrow\bigg \lbrack \begin{matrix} x_0=0\\ x_0=4 \end{matrix}\)
Với \(x_0< -\frac{1}{2}\), ta có pt \(x_0^2-2x_0+1=-2x_0-1\Leftrightarrow x_0^2+2=0\) (Vô nghiệm)
Vậy M (0;-1),(4;3)
Cứu với mọi người!
Tìm m để đường thẳng (d): y = x - m cắt đồ thị (C) của hàm số \(y=\frac{x+1}{x-1}\) tại hai điểm A, B sao cho \(AB=3\sqrt{2}\)
Câu trả lời của bạn
Pt hoành độ giao điểm \(\frac{x+1}{x-1}=x-m\Leftrightarrow x+1=(x-m)(x-1)\) (vì x = 1 không là nghiệm của pt) \(\Leftrightarrow x^{2}-(m+2)x+m-1=0\; \; (1)\)
Pt(1) có 2 nghiệm phân biệt \(x_{1},x_{2}\Leftrightarrow \Delta =m^{2}+8>0\Leftrightarrow \forall m \in \mathbb{R}.\)
Khi đó \(A(x_{1};x_{1}-m),B(x_{2};x_{2}-m).\) Theo hệ thức Viet ta có \(\left\{\begin{matrix} x_{1}+x_{2}=m+2\\ x_{1}x_{2}=m-1 \end{matrix}\right.\)
\(AB=3\sqrt{2}\Leftrightarrow AB^{2}=18\Leftrightarrow 2(x_{1}-x_{2})^{2}=18\Leftrightarrow (x_{1}-x_{2})^{2}=9\)
\(\Leftrightarrow (x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2}=9\Leftrightarrow (m+2)^{2}-4(m-1)=9\Leftrightarrow m=\pm 1\)
Cho hàm số \(y=\frac{x}{2x-1}(C).\)
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có tung độ bằng \(\frac{2}{3}.\)
Câu trả lời của bạn
a)
- TXĐ \(D = \mathbb{R} \setminus \left \{ \frac{1}{2} \right \}.\)
- \(\underset{x\rightarrow \pm \infty}{\lim} y=\frac{1}{2},\) đồ thị có TCN \(y=\frac{1}{2};\; \underset{x\rightarrow \left ( \frac{1}{2} \right )^{+}}{\lim} y=+\infty; \underset{x\rightarrow \left ( \frac{1}{2} \right )^{-}}{\lim} y=-\infty,\) đồ thị hàm số có TCĐ \(x=\frac{1}{2}.\)
- \(y'=-\frac{1}{(2x-1)^{2}}\Rightarrow y'<0, \forall x \in D.\)
- BBT
Hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left ( -\infty;\frac{1}{2} \right ),\left ( \frac{1}{2};+\infty \right ).\)
- Đồ thị
Đồ thị nhận \(I\left ( \frac{1}{2};\frac{1}{2} \right )\) là tâm đối xứng
b)
Với \(y_{0}=\frac{2}{3}\Rightarrow \frac{x_{0}}{2x_{0}-1}=\frac{2}{3}\Rightarrow 4x_{0}-2=3x_{0}\Rightarrow x_{0}=2\)
Ta có: \(f'(x)=-\frac{1}{(2x-1)^{2}}\Rightarrow f'(2)=-\frac{1}{9}\)
Vậy PT tiếp tuyến tại điểm \(\left ( 2;\frac{2}{3} \right )\) là: \(y=-\frac{1}{9}x+\frac{8}{9}\)
Hôm nay thầy em giao bài này về nhà mà em không có biết làm, mn giúp em vs!
Giải bất phương trình: \(\sqrt{x}\geq \frac{x^{4}-2x^{3}+2x-1}{x^{3}-2x^{2}+2x}(x \in \mathbb{R})\)
Câu trả lời của bạn
ĐK: x > 0, BPT tương đương:
\(\sqrt{x}\geq \frac{(x+1)(x-1)^{3}}{x[(x-1)^{2}+1]}\Leftrightarrow \frac{(\sqrt{x})^{3}}{x+1}\geq \frac{(x-1)^{3}}{(x-1)^{2}+1}\; (1)\)
Xét hàm số \(f(t)=\frac{t^{3}}{t^{2}+1}\) trên \(\mathbb{R}\)
Ta có: \(f'(t)=\frac{t^{4}+3t^{2}}{(t^{2}+1)^{2}}\geq 0 \, \forall t \in \mathbb{R}\)
Mà f(t) liên tục trên \(\mathbb{R}\) nên f(t) đồng biến trên \(\mathbb{R}\).
(1) có dạng: \(f(\sqrt{x})\geq f(x-1)\Leftrightarrow \sqrt{x}\geq x-1\Leftrightarrow 0<x\leq \frac{3+\sqrt{5}}{2}\)
Giải hệ PT \(\left\{\begin{matrix} xy(x+1)=x^{3}+y^{2}+x-y\\ 3y(2+\sqrt{9x^{2}+3})+(4y+2)(\sqrt{1+x+x^{2}}+1)=0 \end{matrix}\right.,(x,y \in \mathbb{R}).\)
Câu trả lời của bạn
ĐKXĐ: \(\forall x \in \mathbb{R}.\)
Ta có \(xy(x+1)=x^{3}+y^{2}+x-y\Leftrightarrow x^{3}-x^{2}y+y^{2}-xy+x-y=0\)
\(\Leftrightarrow (x-y)(x^{2}-y+1)=0\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} y=x\\ y=x^{2}+1 \end{matrix}\)
Với \(y=x^{2}+1\) thay vào PT thứ 2 ta được
\(3(x^{2}+1)(2+\sqrt{9x^{2}+3})+(4x^{2}+6)(\sqrt{1+x+x^{2}}+1)=0.\) Dễ thấy PT vô nghiệm.
Với y = x thay vào PT thứ 2 ta được
\(3x(2+\sqrt{9x^{2}+3})+(4x+2)(\sqrt{1+x+x^{2}}+1)=0\)
\(\Leftrightarrow 3x(2+\sqrt{9x^{2}+3})=-(2x+1)(\sqrt{3+(2x+1)^{2}}+2)\)
\(\Leftrightarrow 3x(2+\sqrt{9x^{2}+3})=-(2x+1)(\sqrt{3+(-2x-1)^{2}}+2)\)
Xét hàm số \(f(t)=t(\sqrt{t^{2}+2}+2)\) ta có \(f'(t)=\sqrt{t^{2}+2}+2+\frac{t^{2}}{\sqrt{t^{2}+2}}>0\) suy ra
hàm số đồng biến.
Từ đó suy ra \(3x=-2x-1\Leftrightarrow x=-\frac{1}{5}.\) Vậy HPT có nghiệm \((x;y)=\left ( -\frac{1}{5};-\frac{1}{5} \right )\)
Cho hàm số \(y=\frac{2x-3}{x+1}\; \; (C)\)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có tung độ bằng 1.
Câu trả lời của bạn
a)
TXĐ: R \ {-1}
\(y'=\frac{5}{(x+1)^{2}}>0,\, \forall x \neq -1\)
Hàm số đồng biến trên các khoảng \((-\infty;-1)\) và \((-1;+\infty)\)
Hàm số không có cực trị
\(\underset{x\rightarrow \pm \infty}{\lim} y=2\Rightarrow\) đồ thị có tiệm cận ngang y = 2
\(\underset{x\rightarrow -1^{-}}{\lim} y=+\infty;\underset{x\rightarrow -1^{+}}{\lim} y=-\infty\Rightarrow\) đồ thị có tiệm cận đứng x = -1
- Bảng biến thiên
- Đồ thị
b)
Với \(y=1\Rightarrow 2x-3=x+1\Rightarrow x=4;y'(4)=\frac{1}{5}\)
Phương trình tiếp tuyến tại điểm A(4; 1) là: \(y=\frac{1}{5}(x-4)+1=\frac{1}{5}x+\frac{1}{5}\)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số \(y=\frac{x-1}{x-2}\)
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ x = 3
Câu trả lời của bạn
a)
TXĐ: D = R\{2}
Sự biến thiên
+ Giới hạn – tiệm cận:
\(\lim_{x\rightarrow \pm \infty }y=1\) suy ra đường y =1 là tiệm cận ngang.
\(\lim_{x\rightarrow 2^+ }y=+\infty ;\lim_{x\rightarrow 2^- }y=-\infty\) suy ra đường x = 2 là tiệm cận đứng.
+) Chiều biến thiên: Ta có: \(y'=\frac{-1}{(x-2)^2}\), y ' không xác định tại x = 2
y' < 0 ∀x ≠ 2 nên hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định.
+) Bảng biến thiên
Đồ thị: Đồ thị hàm số đi qua các điểm
b)
Tại điểm có hoành độ x = 3 ta có tung độ tương ứng là y = 2
\(y'=\frac{-1}{(x-2)^2}\Rightarrow y_{(3)'}=-1\)
Pttt cần viết là \(y-2=-1(x-3)\Leftrightarrow y=-x+5\)
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *