Chương ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số được xem là nội dung trọng tâm quan trọng bậc nhất trong chương trình phổ thông, thể hiện rõ nhất cho điều đó là trong các kì thi THPT QG môn Toán đây luôn là phần chiếm tỉ lệ điểm số cao nhất. Nội dung bài ôn tập chương sẽ giúp các em hệ thống lại kiến thức đã được học, ôn tập một số dạng toán điển hình và phương pháp giải, rèn luyện kĩ năng giải bài tập, từng bước chinh phục các bài toán khó hơn.
Cho hàm số: \(y=\frac{1}{3}x^3-mx^2+(m^2-m+1)x+1\). Tìm m để hàm số:
a) Có cực đại và cực tiểu.
b) Đạt cực đại tại điểm x=1.
TXĐ: \(D=\mathbb{R}.\)
Đạo hàm: \(y'=x^2-2mx+m^2-m+1\).
a) Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu.
Hàm số có cực đại và cực tiểu khi và chỉ khi: y'=0 có 2 nghiệm phân biệt.
Điều này xảy ra khi: \(\left\{\begin{matrix} a_{y'}\neq 0\\ \Delta '_{y'}>0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 1\neq 0\\ (-m)^2-(m^2-m+1)>0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow m-1>0\Leftrightarrow m>1\)
b) Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 1
\(y'=x^2-2mx+m^2-m+1\) và \(y''=2x-2m\)
Ta có: \(\left\{\begin{matrix} y'(1)=0\\ y''(1)<0 \end{matrix}\right. \ \ \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m^2-3m+2=0\\ 2-2m<0 \end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m=1\vee m=2\\ m>1 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow m=2\)
Thử lại với m=2 hàm số đạt cực đại tại x=1.
Định m để hàm số \(y=x^3+3x^2+(m+1)x+4m\) nghịch biến trên khoảng (-1;1).
TXĐ: \(D=\mathbb{R}.\)
Đạo hàm: \(y'=3x^2+6x+m+1\)
Hàm số nghịch biến trên khoảng (-1;1) khi và chỉ khi \(y'\leq 0,\forall x\in (-1;1)\)
\(\Leftrightarrow 3x^2+6x+m+1\leq 0, \forall x\in (-1;1) \ \ (1)\)
Xét BPT (1) \(\Leftrightarrow m\leq -3x^2-6x-1=g(x)\)
Xét hàm số \(g(x), x\in (-1;1)\)
Có: \(g'(x)=-6x-6\leq 0, \forall x\in (-1;1)\)
BBT:
Từ BBT suy ra \(m\leq g(x), \forall x\in (-1;1)\Leftrightarrow m\leq -10\)
Vậy, hàm số nghịch biến trên khoảng \((-1;1)\) khi và chỉ khi \(m\leq 10.\)
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f(x)=x^2-ln4x\) trên đoạn [1;e].
Để cũng cố bài học, xin mời các em cũng làm bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 12 Ôn tập chương 1 Ứng dụng đạo hàm đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với những câu hỏi củng cố từ cơ bản đến nâng cao. Bên cạnh đó các em có thể nêu thắc mắc của mình thông qua phần Hỏi đáp Toán 12 Ôn tập chương 1 cộng đồng Toán DapAnHay sẽ sớm giải đáp cho các em.
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 12 Ôn tập chương 1 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Giải tích 12 Cơ bản và Nâng cao.
Nội dung bài giảng đã giúp các em có các nhìn tổng quát về nội dung của chương 1 Giải tích lớp 12 và ôn tập phương pháp giải một số dạng bài tập trọng tâm.
Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 12 Ôn tập chương 1Ứng dụng đạo hàm đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục và có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\) biết \(f'\left( x \right) = x{\left( {x - 1} \right)^2}.\) Khẳng định nào sau đây là đúng?
Tìm tất cả các điểm cực đại của hàm số \(y = - {x^4} + 2{x^2} + 1.\)
Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số \(y = \frac{x}{{{x^2} + 1}}\) trên đoạn [0;2].
Câu 4 - 10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 12 Ôn tập chương 1 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Giải tích 12 Cơ bản và Nâng cao.
Bài tập 1 trang 45 SGK Giải tích 12
Bài tập 2 trang 45 SGK Giải tích 12
Bài tập 3 trang 45 SGK Giải tích 12
Bài tập 4 trang 45 SGK Giải tích 12
Bài tập 5 trang 45 SGK Giải tích 12
Bài tập 6 trang 45 SGK Giải tích 12
Bài tập 7 trang 45 SGK Giải tích 12
Bài tập 8 trang 46 SGK Giải tích 12
Bài tập 9 trang 46 SGK Giải tích 12
Bài tập 10 trang 46 SGK Giải tích 12
Bài tập 11 trang 46 SGK Giải tích 12
Bài tập 12 trang 47 SGK Giải tích 12
Bài tập 1 trang 47 SGK Giải tích 12
Bài tập 2 trang 47 SGK Giải tích 12
Bài tập 3 trang 47 SGK Giải tích 12
Bài tập 4 trang 47 SGK Giải tích 12
Bài tập 5 trang 47 SGK Giải tích 12
Bài tập 1.75 trang 39 SBT Toán 12
Bài tập 1.76 trang 40 SBT Toán 12
Bài tập 1.77 trang 40 SBT Toán 12
Bài tập 1.78 trang 40 SBT Toán 12
Bài tập 1.79 trang 40 SBT Toán 12
Bài tập 1.80 trang 40 SBT Toán 12
Bài tập 1.81 trang 41 SBT Toán 12
Bài tập 1.82 trang 41 SBT Toán 12
Bài tập 1.83 trang 41 SBT Toán 12
Bài tập 1.84 trang 41 SBT Toán 12
Bài tập 1.85 trang 41 SBT Toán 12
Bài tập 1.86 trang 41 SBT Toán 12
Bài tập 1.87 trang 41 SBT Toán 12
Bài tập 1.88 trang 42 SBT Toán 12
Bài tập 1.89 trang 42 SBT Toán 12
Bài tập 1.90 trang 42 SBT Toán 12
Bài tập 1.91 trang 42 SBT Toán 12
Bài tập 1.92 trang 42 SBT Toán 12
Bài tập 1.93 trang 42 SBT Toán 12
Bài tập 1.94 trang 42 SBT Toán 12
Bài tập 1.95 trang 43 SBT Toán 12
Bài tập 1.96 trang 43 SBT Toán 12
Bài tập 68 trang 61 SGK Toán 12 NC
Bài tập 69 trang 61 SGK Toán 12 NC
Bài tập 70 trang 61 SGK Toán 12 NC
Bài tập 71 trang 62 SGK Toán 12 NC
Bài tập 72 trang 62 SGK Toán 12 NC
Bài tập 73 trang 62 SGK Toán 12 NC
Bài tập 74 trang 62 SGK Toán 12 NC
Bài tập 75 trang 62 SGK Toán 12 NC
Bài tập 76 trang 62 SGK Toán 12 NC
Bài tập 77 trang 62 SGK Toán 12 NC
Bài tập 78 trang 62 SGK Toán 12 NC
Bài tập 79 trang 62 SGK Toán 12 NC
Bài tập 80 trang 64 SGK Toán 12 NC
Bài tập 81 trang 64 SGK Toán 12 NC
Bài tập 82 trang 64 SGK Toán 12 NC
Bài tập 83 trang 64 SGK Toán 12 NC
Bài tập 84 trang 65 SGK Toán 12 NC
Bài tập 85 trang 65 SGK Toán 12 NC
Bài tập 86 trang 65 SGK Toán 12 NC
Bài tập 87 trang 65 SGK Toán 12 NC
Bài tập 88 trang 65 SGK Toán 12 NC
Bài tập 89 trang 65 SGK Toán 12 NC
Bài tập 90 trang 65 SGK Toán 12 NC
Bài tập 91 trang 65 SGK Toán 12 NC
Bài tập 92 trang 66 SGK Toán 12 NC
Bài tập 93 trang 66 SGK Toán 12 NC
Bài tập 94 trang 66 SGK Toán 12 NC
Bài tập 95 trang 66 SGK Toán 12 NC
Bài tập 96 trang 66 SGK Toán 12 NC
Bài tập 97 trang 67 SGK Toán 12 NC
Bài tập 98 trang 67 SGK Toán 12 NC
Bài tập 99 trang 67 SGK Toán 12 NC
Bài tập 100 trang 67 SGK Toán 12 NC
Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán DapAnHay sẽ sớm trả lời cho các em.
-- Mod Toán Học 12 DapAnHay
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục và có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\) biết \(f'\left( x \right) = x{\left( {x - 1} \right)^2}.\) Khẳng định nào sau đây là đúng?
Tìm tất cả các điểm cực đại của hàm số \(y = - {x^4} + 2{x^2} + 1.\)
Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số \(y = \frac{x}{{{x^2} + 1}}\) trên đoạn [0;2].
Cho hàm số \(y = \frac{x}{{x - 1}}.\) Mệnh đề nào sau đây là đúng?
Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số \(y = \cos 2x + 4\cos x + 1.\)
Cho hàm số \(y = \frac{{\left( {m - 1} \right)\sin x - 2}}{{\sin x - m}}.\) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( {0;\frac{\pi }{2}} \right).\)
Tìm tất cả các giá trị nguyên của tham số thực m để hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} + \frac{1}{2}m{x^2}\) có điểm cực đại x1 điểm cực tiểu x2 sao cho \(- 2 < {x_1} < - 1;\,\,1 < {x_2} < 2.\)
Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m để phương trình \({x^3} + {x^2} + x = m{\left( {{x^2} + 1} \right)^2}\) có nghiệm thuộc đoạn [0;1].
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số \(y = \frac{{x - 1}}{{{x^2} - mx + m}}\) có đúng một tiệm cận đứng.
Cho hàm số \(y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\) có đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Phát biểu các điều kiện đồng biến, nghịch biến của hàm số. Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số:
\(y=-x^3+2x^2-x-7\); \(y=\frac{x-5}{1-x}\)
Nêu cách tìm cực đại, cực tiểu của hàm số nhờ đạo hàm. Tìm các cực trị của hàm số \(y=x^4-2x^2+2\).
Nêu cách tìm tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. Áp dụng để tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số: \(y=\frac{2x+3}{2-x}\)
Nhắc lại sơ đồ khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
Cho hàm số y = 2x2 + 2mx + m -1 có đồ thị là (Cm), m là tham số
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1.
b) Xác định m để hàm số:
- Đồng biến trên khoảng \((-1, +\infty )\).
- Có cực trị trên khoảng \((-1, +\infty )\).
c) Chứng minh rằng (Cm) luôn cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt với mọi m.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C) của hàm số:
\(f(x) = -x^3+3x^2+9x+2\)
b) Giải bất phương trình f’(x-1) > 0
c) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ x0, biết rằng f’’(x0) = - 6.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số: y = x3 + 3x2 + 1
b) Dựa vào đồ thị (C), biện luận số nghiệm của phương trình sau theo m: \(x^3+3x^2+1=\frac{m}{2}\).
c) Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại và điểm cực tiểu của đồ thị (C).
Cho hàm số f(x)= x3 – 3mx2 + 3(2m-1)x + 1 (m là tham số).
a) Xác định m để hàm số đồng biến trên một tập xác định.
b) Với giá trị nào của tham số m, hàm số có một cực đại và một cực tiểu.
c) Xác định m để f’’(x) > 6x.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
\(f(x)=\frac{1}{2}x^4-3x^2+\frac{3}{2}\)
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình f’’(x) = 0.
c) Biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình: x4 – 6x2 + 3 = m.
Cho hàm số \(y=-{{x}^{4}}+2m{{x}^{2}}-2m+1\) với (m tham số) có đồ thị \(\left( {{C}_{m}} \right)\).
a) Biện luận theo m số cực trị của hàm số.
b) Với giá trị nào của m thì \(\left( {{C}_{m}} \right)\) cắt trục hoành?
c) Xác định m để \(\left( {{C}_{m}} \right)\) có cực đại, cực tiểu.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số \(y=\frac{x+3}{x+1}\)
b) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, đường thẳng y = 2x + m luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt M và N.
c) Xác định m sao cho độ dài MN là nhỏ nhất.
d) Tiếp tuyến tại một điểm S bất kỳ của (C) luôn cắt hai tiệm cận của (C) tại P và Q. Chứng minh rằng S là trung điểm của PQ.
Cho hàm số \(f(x)=\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{2}x^2-4x+6\)
a) Giải phương trình f'(sinx) = 0.
b) Giải phương trình f''(cosx) = 0.
c) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho tại điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình f''(x) = 0.
Số điểm cực trị của hàm số \(y=-\frac{1}{3}x^3-x+7\) là:
(A) 1;
(B) 0;
(C) 3;
(D) 2.
Số điểm cực đại của hàm số y = x4 + 100 là:
(A) 0;
(B) 1;
(C) 2;
(D) 3.
Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số \(y=\frac{1-x}{1+x}\) là:
(A) 1;
(B) 2;
(C) 3;
(D) 0;
Hàm số \(y=\frac{2x-5}{x+3}\) đồng biến trên:
(A) \(\mathbb{R}\)
(B) \((-\infty ;3)\)
(C) \((-3;+\infty)\)
(D) \(R\setminus \left \{ -3 \right \}\)
Tiếp tuyến tại điểm cực tiểu của đồ thị hàm số \(y=\frac{1}{3}x^3-2x^2+3x-5\) là đường thẳng:
(A) Song song với đường thẳng x = 1;
(B) Song song với trục hoành;
(C) Có hệ số góc dương;
(D) Có hệ số góc bằng -1.
Cho hàm số: \(y = 4{x^3} + mx\) (m là tham số) (1)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số ứng với m = 1.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) song song với đường thẳng \(y = 13x + 1\).
c) Xét sự biến thiên của hàm số (1) tùy thuộc giá trị của m.
Cho hàm số: \(y = - ({m^2} + 5m){x^3} + 6m{x^2} + 6x - 5\)
a) Xác định m để hàm số đơn điệu trên R. Khi đó, hàm số đồng biến hay nghịch biến? Tại sao?
b) Với giá trị nào của m thì hàm số đạt cực đại tại x = 1?
Cho hàm số \(y = \frac{{(a - 1){x^3}}}{3} + a{x^2} + (3a - 2)x\).
a) Xác định a để hàm số luôn luôn đồng biến.
b) Xác định a để đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt.
c) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số ứng với \(a = \frac{3}{2}\).
Từ đó suy ra đồ thị của hàm số: \(y = \left| {\frac{{{x^3}}}{6} + \frac{{3{x^2}}}{2} + \frac{{5x}}{2}} \right|\)
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
Cho hàm số \(y = x^4 - mx^2 + m - 1\), với m là tham số.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho khi m = 2
2) Tìm các giá trị của m để tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho tại các điểm có hoành độ bằng 1 và -1 vuông góc với nhau.
Câu trả lời của bạn
/:)
1. Học sinh tự làm…..
2.
Ta có: \(y'=4x^3-2mx.\)
Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm có hoành độ bằng 1 là \(y'(1) = 4- 2m\)
Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm có hoành độ bằng 1 là \(y'(1) = -4+ 2m\)
Hai tiếp tuyến này vuông góc với nhau khi và chỉ khi
\(y'(1).y'(-1)=-1\Leftrightarrow (4-2m)(-4+2m)=-1\Leftrightarrow (4-2m)^2\Leftrightarrow\bigg \lbrack \begin{matrix} m=\frac{3}{2}\\ m=\frac{5}{2} \end{matrix}\)
Cho hàm số \(y=\frac{x-1}{x+1}\ (H)\)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (H) của hàm số.
b) Viết phương trình đường thẳng d song song với đường thẳng: \(x+y+2=0\) và cắt (H) tại hai điểm phân biệt A , B sao cho diện tích tam giác IAB bằng \(2\sqrt{3}\) với I là giao điểm hai tiệm cận của (H).
Câu trả lời của bạn
a)
- Tập xác định và tiệm cận
- Tính đơn điệu và bảng biến thiên
- Đồ thị
b)
Phương trình d có dạng \(y=-x+m(m\neq -2)\) và I(-1;1) là giao điểm hai đường tiệm cận của (H)
Phương trình hoành độ giao điểm của d và (H) là \(\frac{x-1}{x+1}=-x+m\Leftrightarrow x^2+(2-m)x-m-1=0\) (do x = - 1 không thỏa mãn)
Ta có \(\Delta =m^2+8> 0\) nên (H) và d luôn cắt nhau tại hai điểm A, B phân biệt với \(A(x_1;-x_1+m), B(x_2;-x_2+m)\) trong đó x1, x2 là hai nghiệm của (1) nên \(x_1+x_2=m-2, \ x_1.x_2=-m-1\)
\(S_{IAB}=2\sqrt{3}\Leftrightarrow AB.d(I(d))=4\sqrt{3}\Leftrightarrow \frac{\left | m \right |}{\sqrt{2}}\sqrt{2(x_1+x_2)^2}=4\sqrt{3}\)
Đối chiếu điều kiện thì m = 2 là giá trị cần tìm.
Giải hệ phương trình: \(\left\{\begin{matrix} \frac{16\sqrt{2x}}{\sqrt{y+6x}}+\frac{y}{2x}-9=0\\ y\sqrt{x}(\sqrt{xy-6}-1)=\sqrt{5x(2x^2-6)} \end{matrix}\right.; x,y\in R\)
Câu trả lời của bạn
Đặt \(t=\frac{y}{2x},t>0\). PT trở thành \(\frac{16}{\sqrt{t+3}}+t-9=0 \ \ (*)\)
Xét \(f(t)=\frac{16}{\sqrt{t+3}}+t-9\) trên \((0;+\infty )\). Ta có \(f'(t)=\frac{-8}{(t+3)\sqrt{t+3}}+1, f'(t)=0\Leftrightarrow t=1\)
BBT:
Thay vào (2) ta có:
\(2x\sqrt{x}(\sqrt{2x^2-6}-1)=\sqrt{5x(2x^2-6)}\) (vì \(x\geq \sqrt{3}\))
\(\Leftrightarrow 2x\sqrt{2x^2-6}-1=\sqrt{5(2x^2-6)}\)
\(\Leftrightarrow (2x^2-6)(4x^2-4x\sqrt{5}+5)=4x^2\)
\(\Leftrightarrow (x-\sqrt{5})(8x^3-18x+6\sqrt{5})=0\)
\(\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} x=\sqrt{5}\\ 8x^3-18x+6\sqrt{5}=0 \ (3) \end{matrix}\)
Vì \(8x^3-18x=2x(4x^2-9)2.\sqrt{3}.3> 0\) nên phương trình (3) vô nghiệm.
Đối chiếu điều kiện hệ có nghiệm \((x;y)=(\sqrt{5};2\sqrt{5})\)
Cho hàm số \(y=\frac{1}{4}x^4-2x^2-1\)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
b) Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm thực của phương trình \(-x^4 + 8x^2 + 4m + 4 = 0\)
Câu trả lời của bạn
đúng
a)
* TXĐ: D = R
* Giới hạn: \(\lim_{x\rightarrow +\infty }y=+\infty ;\lim_{x\rightarrow -\infty }y=+\infty\)
* Chiều biến thiên:
\(y'=x^3-4x;y'=0\Leftrightarrow x^3-4x=0\Leftrightarrow x(x^2-4)=0\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} x=0\\ x=\pm 2 \end{matrix}\)
- Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (-2;0) và \((2;+ \infty )\)
- Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng \((- \infty;-2 )\) và (0;2)
- Hàm số đạt cực đại tại xCĐ = 0, yCĐ =y(0) = -1
- Hàm số đạt cực tiểu tại xCT \(= \pm 2\), yCT = \(y(\pm2) = -5\)
*Bảng biến thiên
*Đồ thị:
b)
Ta có: \(-x^4+8x^2+4m+4=0\Leftrightarrow \frac{1}{4}x^4-2x^2-1=m (*)\)
Số nghiệm của phương trình (*) bằng số giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng d: y = m
- Nếu m>-1 hoặc m = -5 thì d cắt (C) tại 2 điểm nên phương trình (*) có 2 nghiệm.
- Nếu m = -1 thì d cắt (C) tại 3 điểm nên phương trình (*) có 3 nghiệm.
- Nếu m \(\in\) (-5;-1) thì d cắt (C) tại 4 điểm phân biệt nên phương trình (*) có 4 nghiệm phân biệt.
- Nếu m < -5 thì d không cắt (C) nên phương trình (*) vô nghiệm.
Cho hàm số \(y=x^3-(2m+3)x^2+(m^2+5m+2)x-2m(m+1)\)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với m = 1.
b) Hãy tìm m để hàm số có cực trị thỏa mãn ymax.ymin < 0
Câu trả lời của bạn
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
b) Ta có y = (1x – 2)(1x – 1m)(1x – m – 1)
Hàm số có cực trị thỏa mãn ymax.ymin < 0 \(\Leftrightarrow\) đồ thị cắt trục hoành tại điểm phân biệt
\(\Leftrightarrow m\neq 2,m\neq 1\)
Cho hàm số \(y = - x^3 + mx^2 - (m - 3)x - 1\) (1) m là tham số. Tìm m để đường thẳng d: y = 3x – 2 cắt đồ thị hàm số (1) tại ba điểm phân biệt A, B, C sao cho tổng hệ số góc của các tiếp tuyến với đồ thị hàm số (1) tại A, B, C bằng 5.
Câu trả lời của bạn
Phương trình hoành độ giao điểm của d và đồ thị hàm số (1) là
\(-x^3+mx^2-(m-3)x-1=3x-2\Leftrightarrow x^3-mx^2+mx-1=0\)
\(\Leftrightarrow (x-1)\left [ x^2-(m-1)x+1 \right ]=0\)
\(\Leftrightarrow \bigg \lbrack \begin{matrix} x=1\\ x^2-(m-1)x+1=2 \ \ \ (2) \end{matrix}\)
d cắt đồ thị hàm số (1) tại ba điểm phân biệt
\(\Leftrightarrow\) Phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt \(\neq\) 1
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \Delta =m^2-2m-3> 0\\ 3-m\neq 0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \bigg \lbrack \begin{matrix} m< -1\\ m> 3 \end{matrix} (*)\)
Gọi hoành độ của A, B lần lượt là x1, x2 với x1, x2 là hai nghiệm của (2)
Gọi k1, k2, k3 lần lượt là hệ số góc của tiếp tuyến đồ thị hàm số (1) tại A, B và C.
\(y'=-3x^2+2mx-m+3\)
Ta có: \(k_1=-3x_1^2+2mx_1-m+3, k_2=-3x_2^2+2mx_2-m+3, k_3=m\)
Do đó: \(\small k_1+k_2+k_3=5\Leftrightarrow -3(x_1^2+x_2^2)+2m(x_1+x_2)-m+1=0\) (3)
Theo hệ thức Vi ét: \(\small \left\{\begin{matrix} x_1+x_2=m-1\\ x_1.x_2=1 \end{matrix}\right. \ \ (4)\)
Từ (3) và (4) ta có:\(\small -m^2+3m+4=0\Leftrightarrow \bigg \lbrack \begin{matrix} m=-1\\ m=4 \end{matrix}\)
Kết hợp với (*) m phải tìm là: m = 4
Cho hàm số \(y=x^3-3x^2+2\) có đồ thị là (C).
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Định m để đường thẳng (d): y = mx + 2 và (C) có ba giao điểm phân biệt.
Câu trả lời của bạn
a.
* Tập xác định: D = R
* Giới hạn: \(\lim_{x\rightarrow +\infty }y=+\infty; \lim_{x\rightarrow -\infty }y=-\infty\)
* \(y'=3x^2-6x\)
\(y'=0\Leftrightarrow \bigg \lbrack \begin{matrix} x=0\Rightarrow y=2\\ x=2\Rightarrow y=-2 \end{matrix}\)
*Bảng biến thiên:
* Các điểm đặc biệt: (-1;-2); (0;2); (1;0); (2;-2); (3;2)
* Đồ thị:
b.
Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d) là:
\(x^3-3x^2+2=mx+2\Leftrightarrow x(x^2-3x-m)=0\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} x=0\\ g(x)=x^2-3x-m=0 \ (*) \end{matrix}\)
(C) và (d) có 3 giao điểm phân biệt
\(\Leftrightarrow (*)\) có hai nghiệm phân biệt khác \(0 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \Delta >0\\ g(0)\neq 0 \end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 9+4m> 0\\ -m\neq 0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m>-\frac{9}{4}\\ m\neq 0 \end{matrix}\right.\)
Vậy m thỏa mãn YCBT \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m>-\frac{9}{4}\\ m\neq 0 \end{matrix}\right.\)
Cho hàm số \(\small y=x^3-3x^2\)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
b) Tìm m để đường thẳng \(y=mx\) cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt.
Câu trả lời của bạn
a)
Tập xác định: D = R
Giới hạn \(\lim_{x\rightarrow +\infty }y=+\infty,\lim_{x\rightarrow -\infty }y=-\infty\)
* Sự biến thiên \(y'=0\Leftrightarrow x=0\) hoặc x = 2
Hàm số nghịch biến trên khoảng (0; 2) đồng biến trên mỗi khoảng \((-\infty;0), (2;+\infty)\)
Hàm số đạt cực đại tại x = 0 , giá trị cực đại: y(0) = 0.
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 , giá trị cực tiểu: y(2) = 0
Bảng biến thiên
Đồ thị:
b)
Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và đường thẳng y = mx là:
\(x^3-3x^2=mx\)
\(\Leftrightarrow x(x^2-3x-m)=0\Leftrightarrow \bigg \lbrack \begin{matrix} x=0\\ x^2-3x-m=0\ \ \ (*) \end{matrix}\)
Đường thẳng y = mx cắt đồ thị (C) tại 3 điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt khác 0 , tức là
\(\left\{\begin{matrix} \Delta > 0\\ m\neq 0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 9+4m> 0\\ m\neq 0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow m> -\frac{9}{4}\)
Cho hàm số \(\small y=x^3-6x^2+9x-4\), có đồ thị (C)
1)Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2)Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp tuyến đó song song với đường thẳng có phương trình y = 9x – 4.
Câu trả lời của bạn
1)
+ Tập xác định: D = R.
+ Sự biến thiên
Đạo hàm \(y' = 3x^2 - 12x + 9.\)
\(y'=0\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} x=1\\ x=3 \end{matrix}\)
- Giới hạn \(\lim_{x\rightarrow -\infty }y=-\infty ;\lim_{x\rightarrow +\infty }y=+\infty\)
- Bảng biến thiên.
- Hàm số nghịch biến trên khoảng (1;3); Hàm số đồng biến trên khoảng \((-\infty ;1)\) và khoảng \((3; +\infty ).\)
- Hàm số đạt cực đại tại điểm x = 1, yCĐ = 0. Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 3, yCT = -4.
+ Đồ thị.
2)
+ Gọi d là tiếp tuyến của (C) tại M(x0;y0) và d song song với đường thẳng y = 9x – 4. Suy ra d có hệ số góc bằng 9.
+ Giải Pt: y’(x0) = 9 ⇔ x0 = 0 hoặc x0 = 4. Suy ra M(0;-4); M(4; 0)
+ Tại M(0; -4), d: y = 9x – 4 (loại)
+ Tại M(4; 0), d: y = 9x - 36
Kết luận: pttt d: y = 9x - 36
Giải hệ phương trình: \(\left\{\begin{matrix}x^{2}(x-3)-y\sqrt{y+3}=-2 \\ 3\sqrt{x-2}=\sqrt{y(y+8)} \end{matrix}\right.\)
Câu trả lời của bạn
Điều kiện: \(\left\{\begin{matrix}y+3\geq 0 \\y^{2}+8y\geq 0 \\ x-2\geq 0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x\geq 2 \\ y\geq 0 \end{matrix}\right.\)
Ta có: \(x^{2}(x-3)-y\sqrt{y+3}=-2\)
\(\Leftrightarrow x^{3}-3x^{3}+2=\sqrt{y^{3}+3y^{2}}\)
\(\Leftrightarrow (x-1)^{3}-3(x-1)=(\sqrt{y+3})^{3}-3\sqrt{y+3}\)
\(\Leftrightarrow f(x-1)=f(\sqrt{y+3})\) Với hàm số \(f(t)=t^{3}-3t\)
Xét hàm số \(f(t)=t^{3}-3t\) với \(t\in \lbrack 1;+\infty )\) có \(f'(t)=3t^{2}-3=3(t^{2}-1)\geq 0\)
Hàm số \(f(t)=t^{3}-3t\) đồng biến trên \(\lbrack 1;+\infty )\)
Nên từ \(f(x-1)=f(\sqrt{y+3})\Rightarrow x-1=\sqrt{y+3}\Leftrightarrow x-2=\sqrt{y+3}-1\)
Từ \(3\sqrt{x-2}=\sqrt{y^{2}+8y}\Rightarrow 9(x-2)=y^{2}+8y\)
\(\Leftrightarrow 9(\sqrt{y+3}-1)=y^{2}+8y\)
\(\Leftrightarrow 9\sqrt{y+3}=y^{2}+8y+9\) (*)
\(\Leftrightarrow 9(\sqrt{y+3}-2)=y^{2}+8y-9\)
\(\Leftrightarrow 9\frac{y-1}{\sqrt{y+3}+2}=(y-1)(y+9)\)
\(\Leftrightarrow (y-1)(\frac{9}{\sqrt{y+3}+2}-y-9)= 0\)
Với điều kiện \(y\geq 0,\) thì \(\frac{9}{\sqrt{y+3}+2}-y-9< 0\)
=> PT (*) có nghiệm duy nhất là y = 1
Với y = 1 => x = 3
Kết luận: Hệ có nghiệm duy nhất: (3; 1)
Cho hàm số: \(y=-x^{3}+3x^{2}+2\). Gọi Δ là đường thẳng đi qua A (1; 4) có hệ số góc k. Tìm giá trị của k để đường thẳng Δ cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt A, B, D. Chứng minh rằng các tiếp tuyến của (C) tại các điểm B và D có hệ số góc bằng nhau.
Câu trả lời của bạn
Phương trình đường thẳng Δ: y = k (x – 1) + 4 Δ cắt (C) tại 3 điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt.
\(-x^{3}+3x^{2}+2=k(x-1)+4\)
\(\Leftrightarrow x^{3}-3x^{2}+k(x-1)+2=0\) (1)
\(\Leftrightarrow (x-1)(x^{2}-2x+k-2)=0\)
\(\Leftrightarrow \lbrack\begin{matrix}x=1 \\ x^{2}-2x+k-2=0 \end{matrix}\)
PT (1) có 3 nghiệm phân biệt \(\Leftrightarrow PT x^{2}-2x+k-2=0\) (2) có 2 nghiệm phân biệt khác 1.
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}\Delta '=1-(k-2)> 0 \\ 1-2+k-2\neq 0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow k< 3\)
Gọi \(x_{B};x_{D}\) là nghiệm của PT (2). Theo hệ thức Vi ét ta có: \(x_{B}+x_{D}=2\) (*)
Ta có \(y'=-3x^{2}+6x.\) Hệ số góc của các tiếp tuyến của (C) tại các điểm B, D là:
\(k_{B}=y'(x_{B})=-3x_{B^{2}}+6x_{B}\)
\(k_{D}=y'(x_{D})=-3x_{D^{2}}+6x_{D}\)
Sử dụng kết quả (*) ta có: \(k_{B}-k_{D}=-3(x_{B^{2}}-x_{D^{2}})+6(x_{B}-x_{D})\)
\(=-3(x_{B}-x_{D})(x_{B}+x_{D}-2)=0\)
Vậy hệ số góc của tiếp tuyến của (C) tại 2 điểm B và D bằng nhau.
Cho ba số thực không âm x, y, z. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức.
\(\small P=\frac{4}{\sqrt{x^2+y^2+z^2+4}}-\frac{4}{(x+y)\sqrt{(x+2z)(y+2z)}}-\frac{5}{(y+z)\sqrt{(y+2x)(z+2x)}}\)
Câu trả lời của bạn
\((x+y)\sqrt{(x+2z)(y+2z)}\leq ^{AM-GM} (x+y)\frac{x+y+4z}{2}\)
\(=\frac{x^2+y^2+2xy+4yz+4zx}{2}\leq 2(x^2+y^2+z^2) \ (1)\)
Và
\((y+z)\sqrt{(y+2x)(z+2x)}\leq ^{AM-GM}(y+z)\frac{y+z+4x}{2}\)
\(= \frac{y^2+z^2+2yz+4zx+4xy}{2}\leq 2(x^2+y^2+z^2) \ (2)\)
Thật vậy, với mọi \(x, y, z \geq 0\) ta luôn có:
\((1)\Leftrightarrow (x-y)^2+2(x-z)^2+2(y-z)^2\geq 0\)
\((2)\Leftrightarrow (y-z)^2+2(y-x)^2+2(z-x)^2\geq 0\)
Khi đó biểu thức P trở thành
\(P\leq \frac{4}{\sqrt{x^2+y^2+z^2+4}}-\frac{4}{2(x^2+y^2+z^2)}-\frac{5}{2(x^2+y^2+z^2)}\)
\(\leq \frac{4}{\sqrt{x^2+y^2+z^2+4}}-\frac{9}{2(x^2+y^2+z^2)}\)
Đặt \(t=\sqrt{x^2+y^2+z^2+4}\Rightarrow t> 2\) . Nên \(P\leq \frac{4}{t}-\frac{9}{2(t^2-4)}\)
Xét hàm số \(y=f(t)= \frac{4}{t}-\frac{9}{2(t^2-4)}\) với t > 2
Có \(f'(t)= \frac{-4}{t^2}+\frac{9}{(t^2-4)^2}=\frac{(4-t)(4t^3+7t^2-4t-16)}{t^2(t^2-4)^2}\)
Do t > 2 nên \(4t^3+7t^2-4t-16=4(t^3-4)+t(7t-4)>0\)
Suy ra \(f'(t)=0\Leftrightarrow t=4\)
Lập bảng biến thiên \(\Rightarrow P\leq \frac{5}{8}\)
Vậy GTLN của P là \(\frac{5}{8}\Leftrightarrow x=y=z=2\)
Cho hàm số \(y=x^3-3x+2 \ \(1)\)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1).
b) Tìm m để phương trình \(x^3-3x+1-m=0\) có ba nghiệm phân biệt.
Câu trả lời của bạn
:0
a)
* Tập xác định: D= R
* Sự biến thiên:
- Chiều biến thiên \(y'=3x^2-3;y'=0\Leftrightarrow x=\pm 1\)
\(\Rightarrow\) Hàm số đồng biến trên \((-\infty;-1)\) và \((1;+\infty)\); Hàm số nghịch biến trên (-1; 1).
- Cực trị:
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1; yCT = 0; Hàm số đạt cực đại tại x = -1; yCĐ = 4
- Giới hạn tại vô cực: \(\lim_{x\rightarrow +\infty }y=+\infty; \lim_{x\rightarrow -\infty }y=-\infty\)
\(\Rightarrow\) Hàm số không có tiệm cận
- Bảng biến thiên:
Đồ thị:
Nhận xét: Đồ thị nhận điểm uốn I(0;2) làm tâm đối xứng
b)
\(x^3-3x+1-m=0 \ \ (2)\)
\(\Leftrightarrow x^3-3x+2=m+1\)
Ta có số nghiệm của phương trình (2) bằng số giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng d: y = m +1. Phương trình (2) có 3 nghiệm phân biệt khi đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt.
Dựa vào đồ thị ta có điều kiện: \(0< m+1< 4\Leftrightarrow -1< m< 3\)
Vậy \(m \in (-1;3)\) thỏa mãn yêu cầu bài toán
Cho hàm số \(y=\frac{3x-2}{x-1}\). Tìm các giá trị của m để đường thẳng d: y = -x + m cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt.
Câu trả lời của bạn
Phương trình tương giao: \(\frac{3x-2}{x-1}=x+m \ \ (x\neq 1)\)
\(\Leftrightarrow f(x)=x^2+(2-m)+m-2=0 \ \ (1)\)
ĐK: (1) có 2 nghiệm phân biệt khác 1\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \Delta > 0\\ f(1)\neq 0 \end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow m^2-4m-12> 0\)
\(\Leftrightarrow m> 6; \ \ m< 2\)
Giải bất phương trình: \(x-\sqrt{x}-2> \sqrt{x^3-4x^2+5x}-\sqrt{x^3-3x^2+4}\)
Câu trả lời của bạn
BPT \(\Leftrightarrow x-\sqrt{x}-2>\sqrt{x[(x-2)^2+1] }-\sqrt{(x-2)^2 (x+1)} (x\geq 0)\)
\(\Leftrightarrow (x-2)+\left | x-2 \right |\sqrt{x+1}> \sqrt{x}\left [ 1+\sqrt{(x-2)^2+1} \right ] \ \(1)\)
+ \(x=2: \ \ (1)\Leftrightarrow 0> 2\sqrt{2}\) (loại) \(x=0: \ (1)\Leftrightarrow-2> -2\) (loại)
+ \(x> 2: \ (1)\Leftrightarrow (x-2)(1+\sqrt{x+1})> \sqrt{x}\left [ 1+\sqrt{(x-2)^2+1} \right ]\)
Chia 2 vế cho \(\sqrt{x},(x-2)> 0\) ta được: (1) \(\Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{x}}+\sqrt{1+\frac{1}{x}}> \frac{1}{x-2}+\sqrt{1+\frac{1}{(x-2)^2}}\)
Xét hàm số \(f(x)=t+\sqrt{1+t^2},t> 0\Rightarrow f'(x)=1+\frac{1}{\sqrt{1+t^2}}> 0\forall t> 0\Rightarrow f(t)\)đồng biến \(\forall t> 0\)
\((1) \ \ \frac{1}{\sqrt{x}}> \frac{1}{x-2}\)
\(\Leftrightarrow x-2> \sqrt{x}\Leftrightarrow x^2-5x+4> 0\Leftrightarrow x> 4;x< 1\)
Kết hợp \(x > 2 \Rightarrow x > 4\)
+ \(0 < x < 2:\)
(1) \(\Leftrightarrow (x-2)(1-\sqrt{(x+1}))>\sqrt{x}[1+\sqrt{(x-2)^2+1}]\)
Chia 2 vế cho \(\sqrt{x}(x-2)< 0\) ta được: \((1)\Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{x}}-\sqrt{1+\frac{1}{x}}< \frac{1}{x-2}-\sqrt{1+\frac{1}{(x-2)^2}}\)
Xét hàm \(f(t)=t-\sqrt{1+t^2},t\in R\Rightarrow f'(t)=1-\frac{1}{\sqrt{1+t^2}}=\frac{\sqrt{1+t^2}-t}{\sqrt{1+t^2}}> 0\)
\(\forall t\Rightarrow f(t)\) đồng biến ∀t.
Từ đó \((1) \Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{x}}< \frac{1}{x-2}\). Trường hợp này vô nghiệm \(\frac{1}{x-2}< 0\)
Đáp số: \(x > 4\)
Cho hàm số \(y=x^{3}-3x^{2}+2\)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho
2. Tìm a để phương trình \(x^{3}-3x^{2}+a=0\) có 3 nghiệm thực phân biệt
Câu trả lời của bạn
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số \(y=x^{3}-3x^{2}+2\)
- TXĐ: R
- Sự biến thiên:
+ Chiều biến thiên: \(y'=3x^{2}-6x;y'=0\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} x=0\\x=2 \end{matrix}\)
Hàm số nghịch biến trên khoảng (-2;0); đồng biến trên các khoảng \((-\infty ;-2)\) và \((0;+\infty )\)
+ Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x = -2, \(y_{CT}=3\), đạt cực tiểu tại x = 0, \(y_{CD}=-1\)
+ Giới hạn: \(\lim_{x\rightarrow -\infty }=+\infty ;\lim_{x\rightarrow +\infty }=-\infty\)
+ Bảng biến thiên:
+ Đồ thị
2. Tìm a để phương trình \(x^{3}-3x^{2}+a\) có 3 nghiệm thực phân biệt
Phương trình \(x^{3}-3x^{2}+a=0\Leftrightarrow x^{3}-3x^{2}+2=2-a\)
Số nghiệm của phương trình bằng số giao điểm của (C) và đường thẳng y = 2 - a, suy ra a thuộc (0; 4)
Cho hàm số \(y=\frac{2x-1}{1-x}\) có đồ thị (C). Tìm giá trị của tham số m để đường thẳng x- y+ m= 0 cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt.
Câu trả lời của bạn
Phương trình hoành độ giao điểm
\(\frac{2x-1}{1-x}=x+m\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\neq 1\\ g(x)=x^2+(m+1)x-m-1=0 \ \ (1) \end{matrix}\right.\)
Đường thẳng d cắt đồ thi (C) tại hai điểm phân biệt khi (1) có hai nghiệm phân biệt khác 1
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \Delta _g> 0\\ g(1)\neq 0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (m+1)(m+5)> 0\\ \forall m\in R \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} m< -5\\ m> -1 \end{matrix}\)
Cho hàm số \(y=-x^3+3x+1\)
a/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (C).
b/ Dựa vào đồ thị (C), tìm tất cả các giá trị của m để phương trình \(-x^3+3x+m-3=0\) có 3 nghiệm phân biệt.
Câu trả lời của bạn
a.
Hàm số: \(y=-x^3+3x+1\)
TXĐ: D = R
\(y'=-3x^2+3, y'=0\Leftrightarrow x=\pm 1\)
Hàm số nghịch biến trên các khoảng \((-\infty ;-1)\) và \((1;+\infty)\) đồng biến trên khoảng (-1;1)
Hàm số đạt cực đại tại x = 1, yCĐ= 3, đạt cực tiểu tại x = - 1, yCT = -1
\(\lim_{x\rightarrow +\infty }y=-\infty ,\lim_{x\rightarrow -\infty }y=+\infty\)
* Bảng biến thiên
Đồ thị:
b.
Ta có: \(x^3-3x+m-3=0\Leftrightarrow m-2=-x^3+3x+1(*)\)
Số nghiệm của phương trình (*) bằng số giao điểm của đồ thị hàm số
\(y=-x^3-3x+1\) và đường thẳng \(d: y=m-2\)
Dựa vào đồ thị (C), ta suy ra phương trình (*) có 3 nghiệm phân biệt \(\Leftrightarrow 1< m< 5\) KL đúng tham số m
Cho hàm số \(y=x^{3}-3x^{2}+2\)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số. Chứng minh rằng điểm uốn là tâm đối xứng của đồ thị.
b) Có tồn tại hay không tiếp tuyến của đồ thị có hệ số góc k < -3. Chứng minh rằng có duy nhất một tiếp tuyến của đồ thị đi qua điểm uốn.
Câu trả lời của bạn
a) + Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
Ta có: \(y''=6x-6\Rightarrow y''=0\Leftrightarrow x=0\Rightarrow x_{u}=1,y_{u}=0\)
Đổi trục tọa độ \(x=X+1,y=Y\) ta được hệ trục UXY.
Phương trình của đường cong trong hệ trục tọa độ mới là \(Y=X^{3}-3X.\)
Hàm số mới là hàm lẻ nên đồ thị của nó nhận điểm uốn U(1; 0) làm tâm đối xứng
b) Hệ số góc của tiếp tuyến \(k=3x^{2}-6x\)
Ta có \(k\geq k(1)=-3\forall x\Rightarrow\) không tồn tại tiếp tuyến có hệ số góc k < -3
Phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ \(x_{0}\) là \(y=({3x_{0}}^{2}-6x_{0})(x-x_{0})+{x_{0}}^{3}-{3x_{0}}^{2}+2\Rightarrow y=({3x_{0}}^{2}-6x_{0})x-{2x_{0}}^{3}+{3x_{0}}^{2}+2.\)
Tiếp tuyến đi qua điểm uốn U(1; 0)
\(\Leftrightarrow 0=({3x_{0}}^{2}-6x_{0})-{2x_{0}}^{3}+{3x_{0}}^{2}+2\Leftrightarrow x_{0}=1.\)
Cho hàm số \(\small y=x^3-3x^2+1 \ \ \ \ (C)\)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (C).
b) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình \(\small x^3-3x^2-2m=0\) có 3 nghiệm phân biệt.
Câu trả lời của bạn
TXĐ: D = R
\(\small y'=3x^2-6x, y'=0\Leftrightarrow x=0 \ \ or \ \ x =2\)
Hàm số đồng biến trên các khoảng \(\small (-\infty ;0 ),(2;+\infty )\), nghịch biến trên khoảng (0;2)
Hàm số đạt cực đại tại x = 0, yCĐ = 1, đạt cực tiểu tại x = 2 , yCT = - 3
\(\small \lim_{x\rightarrow -\infty }y=-\infty , \lim_{x\rightarrow +\infty }y=+\infty\)
* Bảng biến thiên
* Đồ thị (hs tự vẽ)
b.
\(\small x^3-3x^2-2m=0\Leftrightarrow x^3-3x^2+1=2m+1(*)\)
Từ (*) suy ra số nghiệm của pt đã cho bằng số giao điểm của hai đồ thị hàm số \(\small y=x^3-3x^2-2m=0\) và \(\small y=2m+1\)
Vẽ hai đồ thị hàm số \(\small y=x^3-3x^2-2m=0\) và \(\small y=2m+1\) cùng trên cùng một hệ trục tọa độ.
Dựa vào đồ thị 2 hàm số \(\small \Rightarrow\) điều kiện để pt có 3 nghiệm phân biệt là \(\small -3< 2m+1< 1\Leftrightarrow -2< m< 0\)
Vậy giá trị cần tìm là \(\small -2< m< 0\)
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *