Qua bài học các em sẽ nắm được hình dạng cũng như bước để khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số các hàm số phổ biến trong chương trình phổ thông như hàm số bậc ba, hàm số bậc bốn trùng phương và hàm số phân thức bậc nhất/ bậc nhất (hàm nhất biến).
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số \(y=f(x)\):
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + 2\).
\(y' = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - 6x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = 2 \end{array} \right.\)
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số \(y = - {x^4} + 2{x^2} + 1\).
\(y' = 0 \Leftrightarrow - 4{x^3} + 4x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ {x^2} = 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = \pm 1 \end{array} \right.\)
\(\begin{array}{l} y = 0 \Leftrightarrow - {x^4} + 2{x^2} + 1 = 0\\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} {x^2} = 1 + \sqrt 2 \\ {x^2} = 1 - \sqrt 2 (L) \end{array} \right. \Rightarrow x = \pm \sqrt {1 + \sqrt 2 } \end{array}.\)
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số \(y = \frac{{x + 1}}{{x - 1}}\)
Cho: \(x = 0 \Rightarrow y = - 1;y = 0 \Rightarrow x = - 1\).
Trong phạm vi bài học DapAnHay chỉ giới thiệu đến các em các hình dạng cũng như bước để khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số các hàm số phổ biến trong chương trình phổ thông như hàm số bậc ba, hàm số bậc bốn trùng phương và hàm số phân thức bậc nhất/ bậc nhất (hàm nhất biến).
Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 12 Chương 1 Bài 5để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.
Cho hàm số y= f(x) có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = 0\) và
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f(x) = + \infty .\) Mệnh đề nào sau đây đúng?
Cho hàm số \(y=(x)\) xác định, liên tục trên đoạn \(\left [ -2;2 \right ]\) và có đồ thị là đường cong trong hình vẽ bên. Hàm số f(x) đạt cực tiểu tại điểm nào dưới đây?
Đường cong ở hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê trong bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi đó là hàm số nào?
Câu 4 - 10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 12 Chương 1 Bài 5 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Giải tích 12 Cơ bản và Nâng cao.
Bài tập 1 trang 43 SGK Giải tích 12
Bài tập 2 trang 43 SGK Giải tích 12
Bài tập 3 trang 43 SGK Giải tích 12
Bài tập 4 trang 43 SGK Giải tích 12
Bài tập 5 trang 44 SGK Giải tích 12
Bài tập 6 trang 44 SGK Giải tích 12
Bài tập 7 trang 44 SGK Giải tích 12
Bài tập 8 trang 44 SGK Giải tích 12
Bài tập 9 trang 44 SGK Giải tích 12
Bài tập 1.56 trang 36 SBT Toán 12
Bài tập 1.57 trang 36 SBT Toán 12
Bài tập 1.58 trang 36 SBT Toán 12
Bài tập 1.59 trang 36 SBT Toán 12
Bài tập 1.60 trang 36 SBT Toán 12
Bài tập 1.61 trang 36 SBT Toán 12
Bài tập 1.62 trang 37 SBT Toán 12
Bài tập 1.63 trang 37 SBT Toán 12
Bài tập 1.64 trang 37 SBT Toán 12
Bài tập 1.65 trang 37 SBT Toán 12
Bài tập 1.66 trang 38 SBT Toán 12
Bài tập 1.67 trang 38 SBT Toán 12
Bài tập 1.68 trang 38 SBT Toán 12
Bài tập 1.69 trang 38 SBT Toán 12
Bài tập 1.70 trang 38 SBT Toán 12
Bài tập 1.71 trang 39 SBT Toán 12
Bài tập 1.72 trang 39 SBT Toán 12
Bài tập 1.73 trang 39 SBT Toán 12
Bài tập 1.74 trang 39 SBT Toán 12
Bài tập 29 trang 27 SGK Toán 12 NC
Bài tập 30 trang 27 SGK Toán 12 NC
Bài tập 31 trang 27 SGK Toán 12 NC
Bài tập 32 trang 28 SGK Toán 12 NC
Bài tập 33 trang 28 SGK Toán 12 NC
Bài tập 40 trang 43 SGK Toán 12 NC
Bài tập 41 trang 44 SGK Toán 12 NC
Bài tập 42 trang 45 SGK Toán 12 NC
Bài tập 43 trang 44 SGK Toán 12 NC
Bài tập 44 trang 44 SGK Toán 12 NC
Bài tập 45 trang 44 SGK Toán 12 NC
Bài tập 46 trang 44 SGK Toán 12 NC
Bài tập 47 trang 45 SGK Toán 12 NC
Bài tập 48 trang 45 SGK Toán 12 NC
Bài tập 49 trang 49 SGK Toán 12 NC
Bài tập 50 trang 49 SGK Toán 12 NC
Bài tập 51 trang 49 SGK Toán 12 NC
Bài tập 52 trang 50 SGK Toán 12 NC
Bài tập 53 trang 50 SGK Toán 12 NC
Bài tập 54 trang 50 SGK Toán 12 NC
Bài tập 55 trang 50 SGK Toán 12 NC
Bài tập 56 trang 50 SGK Toán 12 NC
Bài tập 57 trang 55 SGK Toán 12 NC
Bài tập 58 trang 56 SGK Toán 12 NC
Bài tập 59 trang 56 SGK Toán 12 NC
Bài tập 60 trang 56 SGK Toán 12 NC
Bài tập 61 trang 56 SGK Toán 12 NC
Bài tập 62 trang 57 SGK Toán 12 NC
Bài tập 63 trang 57 SGK Toán 12 NC
Bài tập 64 trang 57 SGK Toán 12 NC
Bài tập 65 trang 58 SGK Toán 12 NC
Bài tập 66 trang 58 SGK Toán 12 NC
Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán DapAnHay sẽ sớm trả lời cho các em.
-- Mod Toán Học 12 DapAnHay
Cho hàm số y= f(x) có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = 0\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f(x) = + \infty .\) Mệnh đề nào sau đây đúng?
Cho hàm số \(y=(x)\) xác định, liên tục trên đoạn \(\left [ -2;2 \right ]\) và có đồ thị là đường cong trong hình vẽ bên. Hàm số f(x) đạt cực tiểu tại điểm nào dưới đây?
Đường cong ở hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê trong bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi đó là hàm số nào?
Cho hàm số \(y=f(x)\) có bảng biến thiên như hình bên. Hỏi \(f(x)\) có bao nhiêu tiệm cận ngang?
Xác định a,b để hàm số \(y = \frac{{a - x}}{{x + b}}\) có đồ thị như hình vẽ:
Cho hàm số y = f(x) có đồ thị hàm số đường cong trong hình vẽ bên. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình \(\left |f(x) \right |=m\) có 4 nghiệm phân biệt.
Cho hàm số y = f (x) có đồ thị như hình vẽ bên. Xác định tất cả các giá trị của tham số m để phương trình \(\left| {f\left( x \right)} \right| = m\) có 6 nghiệm thực phân biệt.
Hình vẽ bên là đồ thị hàm số \(y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}.\) Mệnh đề nào sau đây là đúng?
Đường cong dưới đây là đồ thị của hàm số \(y = - {x^3} + 3{x^2} - 4\).
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình \({-x^3} + 3{x^2} - m = 0\) có hai nghiệm phân biệt.
Cho hàm số \(f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + 1\) có đồ thị (C). Hình bên là một phần của đồ thị hàm số \(g\left( x \right) = f'\left( x \right)\) trong đó a, b, c là các hằng số thực. Có bao nhiêu biểu thức nhận giá trị dương trong các biểu thức sau \(ab,ac,3a + 3b + c\) và \(a - b + c.\)
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số bậc ba sau:
a) \(\small y = 2 + 3x - x^3\).
b) \(\small y = x^3 + 4x^2 + 4x\).
c) \(\small y = x^3 + x^2+ 9x\).
d) \(\small y = -2x^3 + 5\).
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số bậc bốn sau:
a) \(\small y = -x^4 + 8x^2 - 1\).
b) \(\small y = x^4 - 2x^2 + 2\).
c) \(\small y=\frac{1}{2}x^4+x^2-\frac{3}{2}\).
d) \(\small y = -2x^2 - x^4 + 3\).
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số phân thức:
a) \(y=\frac{x+3}{x-1}\).
b) \(y=\frac{1-2x}{2x-4}\).
c) \(y=\frac{-x+2}{2x+1}\).
Bằng cách khảo sát hàm số, hãy tìm số nghiệm của các phương trình sau:
a) \(\small x^3 - 3x^2 + 5 = 0\).
b) \(\small -2x^3 + 3x^2 - 2 = 0\).
c) \(\small 2x^2 - x^4 = -1\).
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số \(\small y = -x^3 + 3x + 1\)
b) Dựa vào đồ thị (C), biện luận về số nghiệm của phương trình sau theo tham số m.
\(\small x^3 - 3x + m = 0.\)
Cho hàm số \(y=\frac{mx-1}{2x+m}\).
a) Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m, hàm số luôn đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó.
b) Xác định m để tiệm cận đứng đồ thị đi qua \(A(-1 ; \sqrt{2}).\)
c) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 2.
Cho hàm số \(y=\frac{1}{4}x^4+\frac{1}{2}x^2+m\).
a) Với giá trị nào của tham số m, đồ thị của hàm số đi qua điểm (-1;1)?
b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1.
c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có tung độ bằng \(\frac{7}{4}\).
Cho hàm số \(y=x^3+(m+3)x^2+1-m\) (m là tham số) có đồ thị là (Cm).
a) Xác định m để hàm số có điểm cực đại là x = -1.
b) Xác định m để đồ thị (Cm) cắt trục hoành tại x = -2.
Cho hàm số \(y = \frac{{\left( {m + 1} \right)x - 2m + 1}}{{x - 1}}\) (m là tham số) có đồ thị là (G).
a) Xác định m để đồ thị (G) đi qua điểm (0 ; -1).
b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với m tìm được.
c) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị trên tại giao điểm của nó với trục tung.
Khảo sát và vẽ đồ thị các hàm số:
b) \(y = {x^3} - {x^2} + x\)
c) \(y = - {x^4} + 2{x^3} + 3\)
Khảo sát và vẽ đồ thị các hàm số :
a) \(y = \frac{{x - 2}}{{x + 1}}\)
b) \(y = \frac{{2 - x}}{{2x - 1}}.\)
Tìm giá trị của tham số m để hàm số
a) \(y = {x^3} + (m + 3){x^2} + mx - 2\) đạt cực tiểu tại x = 1
b) \(y = - \frac{1}{3}({m^2} + 6m){x^3} - 2m{x^2} + 3x + 1\) đạt cực đại tại x = −1
Tìm giá trị của tham số m để hàm số \(y = (m - 1){x^4} - m{x^2} + 3\) có đúng một cực trị
Cho hàm số \(y = \frac{1}{4}{x^3} - \frac{3}{2}{x^2} + 5\)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho;
b) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình \({x^3} - 6{x^2} + m = 0\) có ba nghiệm phân biệt
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
\(y = - {x^3} + 3x + 1\)
b) Chỉ ra phép biến hình biến (C) thành đồ thị (C') của hàm số
\(y = {(x + 1)^3} - 3x - 4\)
c) Dựa vào đồ thị (C'), biện luận theo m số nghiệm của phương trình
\({(x + 1)^3} = 3x + m\)
d) Viết phương trình tiếp tuyến (d) của đồ thị (C'), biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng \(y = - \frac{x}{9} + 1\)
Biện luận theo k số nghiệm của phương trình
a) \({(x - 1)^2} = 2|x - k|\)
b) \({(x + 1)^2}(2 - x) = k\)
Cho hàm số
\(y = {x^3} - (m + 4){x^2} - 4x + m\) (1)
a) Tìm các điểm mà đồ thị của hàm số (1) đi qua với mọi giá trị của m.
b) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, đồ thị của hàm số (1) luôn luôn có cực trị.
c) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của (1) khi
d) Xác định
Cho hàm số \(y = 2{x^4} - 4{x^2}\)(1)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1).
b) Với giá trị nào của m, phương trình \({x^2}|{x^2} - 2| = m\) có đúng 6 nghiệm thực phân biệt?
Cho hàm số: \(y = \frac{{{x^4}}}{4} - 2{x^2} - \frac{9}{4}\)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại các giao điểm của nó với trục Ox.
c) Biện luận theo k số giao điểm của (C) với đồ thị (P) của hàm số: \(y = k - 2{x^2}\)
Cho hàm số \(y = \frac{{2x + 1}}{{x - 2}}\)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng - 5.
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
Câu trả lời của bạn
Ta viết hàm số thứ hai dưới dạng
\(y = - x + 1 - {2 \over {x - 1}}\)
Hoành độ của tiếp điểm (P) và (C) là nghiệm của hệ phương trình
\(\left\{ \matrix{- x + 1 - {2 \over {x - 1}} = {x^2} - 3x - 1 \hfill \cr - 1 + {2 \over {{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = 2x - 3 \hfill \cr} \right.\)
Phương trình thứ hai của hệ tương đương với phương trình
\(\eqalign{& {2 \over {{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = 2(x - 1) \cr & \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^3} = 1 \Leftrightarrow x = 2 \cr} \)
x = 2 cũng là nghiệm của phương trình đầu của hệ.
Hệ có nghiệm duy nhất là x = 2.
Do đó hai đường cong (P) và (C) tiếp xúc với nhau tại điểm A(2;-3).
Lại có: \(f'\left( 2 \right) = g'\left( 2 \right) = 1\) nên phương trình tiếp tuyến chung là:
\(y = 1.\left( {x - 2} \right) - 3\)\( \Leftrightarrow y = x - 5\)
Vậy phương trình tiếp tuyến chung của (P) và (C) là y = x – 5.
Câu trả lời của bạn
Ta có:
\(\begin{array}{l}f'\left( x \right) = - 3{x^2} + m\\f''\left( x \right) = - 6x\end{array}\)
Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = - 1\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}f'\left( { - 1} \right) = 0\\f''\left( { - 1} \right) > 0\end{array} \right.\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 3.{\left( { - 1} \right)^2} + m = 0\\ - 6.\left( { - 1} \right) > 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m - 3 = 0\\6 > 0\left( {dung} \right)\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow m = 3\end{array}\)
Do đó \(f\left( x \right) = - {x^3} + 3x + n\).
Đồ thị đi qua \(\left( {1;4} \right)\) \( \Leftrightarrow f\left( 1 \right) = 4\)
\( \Leftrightarrow - {1^3} + 3.1 + n = 4\)
\( \Leftrightarrow 2 + n = 4 \Leftrightarrow n = 2\)
Vậy \(m = 3,n = 2\).
Câu trả lời của bạn
bach dang
Toán 12 26/10/2022
Tìm các hệ số a, b, c sao cho đồ thị hàm số sau f(x)=x3+ax2+bx+c. Cắt trục tung tại điểm có tung độ là 2 và tiếp xúc với đường thẳng y = 1 tại điểm có hoành độ là –1
bach dang
Toán 12 26/10/2022
Tìm các hệ số a, b, c sao cho đồ thị hàm số sau f(x)=x3+ax2+bx+c. Cắt trục tung tại điểm có tung độ là 2 và tiếp xúc với đường thẳng y = 1 tại điểm có hoành độ là –1
bach dang
Toán 12 26/10/2022
Tìm các hệ số a, b, c sao cho đồ thị hàm số sau f(x)=x3+ax2+bx+c. Cắt trục tung tại điểm có tung độ là 2 và tiếp xúc với đường thẳng y = 1 tại điểm có hoành độ là –1
(C) cắt trục tung tại \(\left( {0;2} \right)\) nên \(2 = f\left( 0 \right)\)
\( \Leftrightarrow 2 = {0^3} + a{.0^2} + b.0 + c\)
\( \Leftrightarrow c = 2\)
Vì đồ thị của hàm số cần tìm đi qua điểm (-1;1) nên \(f\left( { - 1} \right) = - 1 + 1-b + 2 = 1\).
Do đó \(a = b\).
Ta có: \(f'\left( x \right) = 3{x^2} + 2ax + b\)
Vì đồ thị tiếp xúc với đường thẳng \(y = 1\) tại điểm có hoành độ là -1 nên \(f'( - 1) = 3 - 2a + b = 0\)
Hay \(-2a+b=-3\).
Ta có hệ:
\(\left\{ \begin{array}{l}a = b\\ - 2a + b = - 3\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = b\\ - 2a + a = - 3\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b = 3\end{array} \right.\)
Vậy \(a = 3,b = 3,c = 2\).
Câu trả lời của bạn
Hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số đã cho và trục hoành là nghiệm của phương trình
\(\eqalign{& {x^3} + 1 - 2m(x + 1) = 0 \cr& \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right) - 2m\left( {x + 1} \right) = 0\cr& \Leftrightarrow (x + 1)({x^2} - x + 1 - 2m) = 0 \cr} \)
\( \Leftrightarrow \left[ \matrix{x = - 1 \hfill \cr f(x) = {x^2} - x + 1 - 2m = 0(1) \hfill \cr} \right.\)
Đồ thị của hàm số đã cho cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt khi và chỉ khi khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác -1, tức là
\(\left\{ \matrix{\Delta > 0 \hfill \cr f( - 1) \ne 0 \hfill \cr} \right. \)
\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{8m - 3 > 0 \hfill \cr3 - 2m \ne 0 \hfill \cr} \right. \)
\(\Leftrightarrow m > {3 \over 8}\) và \(m \ne {3 \over 2}\).
Câu trả lời của bạn
Ta có:
\(\begin{array}{l}f'\left( x \right) = - \frac{1}{2}x + 1\\g'\left( x \right) = \frac{{2x - 1}}{{2\sqrt {{x^2} - x + 1} }}\end{array}\)
(P) và (C ) tiếp xúc nhau \( \Leftrightarrow \) hệ \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right) = g\left( x \right)\\f'\left( x \right) = g'\left( x \right)\end{array} \right.\) có nghiệm
Xét hệ: \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right) = g\left( x \right)\\f'\left( x \right) = g'\left( x \right)\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - \frac{1}{4}{x^2} + x + \frac{1}{4} = \sqrt {{x^2} - x + 1} \\ - \frac{1}{2}x + 1 = \frac{{2x - 1}}{{2\sqrt {{x^2} - x + 1} }}\end{array} \right.\)
Thay \(x = 1\) vào hệ trên ta thấy thỏa mãn.
Do đó hệ có nghiệm \(x = 1\).
Vậy (P) và (C ) tiếp xúc nhau tại điểm có hoành độ \(x = 1\).
Câu trả lời của bạn
Phương trình hoành độ giao điểm:
\(\begin{array}{l}{x^3} + 3{x^2} - 3x - 2 = {x^2} - 4x + 2\\ \Leftrightarrow {x^3} + 2{x^2} + x - 4 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + 3x + 4} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 1 = 0\\{x^2} + 3x + 4 = 0\,\,\left( {VN} \right)\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow x = 1 \Rightarrow y = - 1\end{array}\)
Vậy giao điểm \(\left( {1; - 1} \right)\).
Câu trả lời của bạn
Phương trình của đường thẳng đi qua điểm A và có hệ số góc k là
\(y = k\left( {x - {3 \over 2}} \right) - {5 \over 2}\) \(\left( {{D_k}} \right)\)
Hoành độ giao điểm của parabol và đường thẳng \(\left( {{D_k}} \right)\) là nghiệm của phương trình
\(\eqalign{& {x^2} - 3x = kx - {3 \over 2}k - {5 \over 2} \cr & \Leftrightarrow 2{x^2} - 2(k + 3)x + 3k + 5 = 0 \cr} \)
Đường thẳng \(\left( {{D_k}} \right)\) là tiếp tuyến của parabol khi và chỉ khi phương trình trên có nghiệm kép, tức là
\(\eqalign{& \Delta ' = {\left( {k + 3} \right)^2} - 2\left( {3k + 5} \right) = 0 \cr & \Leftrightarrow {k^2} - 1 = 0 \Leftrightarrow k = \pm 1 \cr} \)
Như vậy có hai tiếp tuyến của parabol đi qua điểm A.
Hệ số góc của hai tiếp tuyến đó là \({k_1} = 1\) và \({k_2} = - 1\).
Vì \(k_1.{k_2} = - 1\) nên hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau.
Câu trả lời của bạn
Đồ thị \(\left( {{H_m}} \right)\) của hàm số đã cho đi qua điểm \(\left( {{x_0},{y_0}} \right)\) khi và chỉ khi
\({y_0} = {{m{x_0} - 1} \over {{x_0} - m}}\)
Với mọi \(m \ne \pm 1\) , đường cong \(\left( {{H_m}} \right)\) luôn đi qua điểm \(\left( {{x_0},{y_0}} \right)\) khi và chỉ khi phương trình trên (với ẩn số m) nghiệm đúng với mọi \(m \ne \pm 1\).
Với mọi \(m \ne \pm 1\), phương trình trên tương đương với phương trình
\(\eqalign{& {y_0}\left( {{x_0} - m} \right) = m{x_0} - 1 \cr & \Leftrightarrow \left( {{x_0} + {y_0}} \right)m = {x_0}{y_0} + 1 \cr} \)
Phương trình nghiệm đúng với mọi \(m \ne \pm 1\) khi và chỉ khi
\(\left\{ \matrix{{x_0} + {y_0} = 0 \hfill \cr {x_0}{y_0} + 1 = 0 \hfill \cr} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{{y_0} = - {x_0} \hfill \cr - x_0^2 + 1 = 0 \hfill \cr} \right.\)
Hệ phương trình tương đương với mọi \(m \ne \pm 1\), đường cong \(\left( {{H_m}} \right)\) luôn đi qua hai điểm cố định A(-1;1) và B(1;-1).
Câu trả lời của bạn
Đường thẳng \(y = 3x - {1 \over 3}\) cắt trục tung tại điểm \(A\left( {0; - {1 \over 3}} \right)\)
Vì đồ thị (C) của hàm số đã cho đi qua điểm A nên \(f(0) = p = - {1 \over 3}\)
Ta có \(f'(x) = - {x^2} + 2mx + n\).
Vì (C) tiếp xúc với đường thẳng \(y = 3x - {1 \over 3}\) tại điểm A nên \(f'(0) = n = 3\)
Do hàm số đạt cực đại tại điểm x = 3 nên \(f'(3) = - 9 + 6m + 3 = 0\)
\(\Leftrightarrow m = 1\).
Với các giá trị m, n, p vừa tìm được, ta có hàm số
\(f(x) = - {1 \over 3}{x^3} + {x^2} + 3x + {1 \over 3}\)
Khi đó, \(f''(x) = - 2x + 2\) và \(f''(3) = - 4 < 0\).
Hàm số đạt cực đại tại điểm x = 3.
Câu trả lời của bạn
Phương trình hoành độ giao điểm của f(x) và g(x) là:
\(\eqalign{
& {x^2} - 3x + 4 = 1 + {1 \over x} \cr
& \Rightarrow {x^3} - 3{x^2} + 3x - 1 = 0 \cr
& \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^3} = 0 \cr
& \Leftrightarrow x = 1 \cr} \)
Vậy f(x) và g(x) giao nhau tại A (1; 2)
Ta có: \(-4.1+6.\sqrt 1=2\)
Do đó A thuộc đồ thị của hàm số h(x)
Mặt khác: \(f'\left( 1 \right) = g'\left( 1 \right) = h'\left( 1 \right) = - 1\)
Do đó ba hàm số đã cho tiếp xúc với nhau tại A (1; 2)
Biện luận số nnghiệm của phương trình \(x^3-2+m=0\)
Câu trả lời của bạn
Câu trả lời của bạn
\(y' = 3{x^2} + 2(m + 3)x + m\)
Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 1\) thì: \(y'(1) = 0 \Leftrightarrow 3m + 9 = 0 \Leftrightarrow m = - 3\)
Thử lại, \(m = - 3\) thì \(y = {x^3} - 3x - 2\).
Khi đó, \(y' = 3{x^2} - 3 = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1\).
\(y'' = 6x;y''(1) = 6 > 0\) nên \(x = 1\) là điểm cực tiểu của hàm số (thỏa mãn yêu cầu)
Suy ra hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 1\) khi \(m = 3\)
Câu trả lời của bạn
Ta có: \(y = {x^3} - (m + 4){x^2} - 4x + m\)
\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow y = {x^3} - m{x^2} - 4{x^2} - 4x + m\\
\Leftrightarrow y - {x^3} + m{x^2} + 4{x^2} + 4x - m = 0\\
\Leftrightarrow \left( {m{x^2} - m} \right) + y - {x^3} + 4{x^2} + 4x = 0
\end{array}\)
\( \Leftrightarrow \left( {{x^2} - 1} \right)m + y - {x^3} + 4{x^2} + 4x = 0\)
Đồ thị của hàm số (1) luôn luôn đi qua điểm \(A\left( {x;y} \right)\) với mọi \(m\) khi \(\left( {x;y} \right)\) là nghiệm của hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 1 = 0\\y - {x^3} + 4{x^2} + 4x = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \pm 1\\y = {x^3} - 4{x^2} - 4x\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1,y = - 7\\x = - 1;y = - 1\end{array} \right.\)
Vậy đồ thị của hàm số luôn luôn đi qua hai điểm \(\left( {1; - 7} \right)\) và \(\left( { - 1; - 1} \right).\)
Câu trả lời của bạn
+) Với \(m = 1\) thì \(y = - {x^2} + 3\) là hàm đa thức bậc hai luôn có một cực trị nên thỏa mãn.
+) Với \(m \ne 1\) thì hàm số đã cho là hàm bậc bốn trùng phương có:
\(y' = 4(m - 1){x^3} - 2mx\)\( = 2x\left[ {2(m - 1){x^2} - m} \right]\)
\(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\2\left( {m - 1} \right){x^2} - m = 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} = \dfrac{m}{{2\left( {m - 1} \right)}}\,\,\left( 1 \right)\end{array} \right.\)
Hàm số có đúng một cực trị khi \(y' = 0\) có đúng một nghiệm, tức là:
Phương trình \(\left( 1 \right)\) có nghiệm duy nhất \(x = 0\) hoặc vô nghiệm \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\\\dfrac{m}{{2\left( {m - 1} \right)}} < 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\\0 < m < 1\end{array} \right. \Leftrightarrow 0 \le m < 1\).
Kết hợp với \(m = 1\) ở trên ta được \(0 \le m \le 1\).
Vậy với \(0 \le m \le 1\) hàm số đã cho có một cực trị duy nhất.
Câu trả lời của bạn
\(y' = - ({m^2} + 6m){x^2} - 4mx + 3\)
\(y'( - 1) = - {m^2} - 6m + 4m + 3\)\( = ( - {m^2} - 2m - 1) + 4 = - {(m + 1)^2} + 4\)
Hàm số đạt cực đại tại \(x = - 1\) thì :
\(y'( - 1) = - {(m + 1)^2} + 4 = 0\)\( \Leftrightarrow {(m + 1)^2} = 4 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = - 3\\m = 1\end{array} \right.\)
Thử lại,
+) Với \(m = - 3\) ta có \(y' = 9{x^2} + 12x + 3\)
\( \Rightarrow y'' = 18x + 12\)\( \Rightarrow y''\left( { - 1} \right) = - 18 + 12 = - 6\; < 0\)
Suy ra hàm số đạt cực đại tại \(x = - 1\) (thỏa mãn).
+) Với \(m = 1\) ta có:
\(y' = - 7{x^2} - 4x + 3\)\( \Rightarrow y'' = - 14x - 4\) \( \Rightarrow y''( - 1) = 10 > 0\)
Suy ra hàm số đạt cực tiểu tại \(x = - 1\) (loại).
Kết luận: Hàm số đã cho đạt cực đại tại \(x = - 1\) khi \(m = - 3\).
Câu trả lời của bạn
Ta có: \(y' = 3{x^2} - 2(m + 4)x - 4\); \(\Delta ' = {(m + 4)^2} + 12 > 0,\forall m\)
Do dó phương trình \(y' = 0\) luôn luôn có hai nghiệm phân biệt (và đổi dấu khi qua hai nghiệm đó).
Từ đó suy ra đồ thị của (1) luôn luôn có cực trị.
Câu trả lời của bạn
TXĐ: \(\mathbb{R}\backslash \left\{ { - \dfrac{{3m}}{2}} \right\}\)
\(y' = \dfrac{{ - 2x - 3m - 2(4 - x)}}{{{{(2x + 3m)}^2}}} = \dfrac{{ - 3m - 8}}{{{{(2x + 3m)}^2}}}\)
+) Nếu \(m < - \dfrac{8}{3} \Rightarrow y' > 0\) suy ra hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - \dfrac{{3m}}{2}} \right),\left( { - \dfrac{{3m}}{2}; + \infty } \right)\)
+) Nếu \(m > - \dfrac{8}{3} \Rightarrow y' < 0\) suy ra hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - \dfrac{{3m}}{2}} \right),\left( { - \dfrac{{3m}}{2}; + \infty } \right)\)
+) Nếu \(m = - \dfrac{8}{3}\) thì \(y = - \dfrac{1}{2}\) khi \(x \ne 4\) là hàm hằng.
Câu trả lời của bạn
Ta có: \(y' = 4{x^3} + 2\left( {{m^2} - 4} \right)x\);
\(y' = 0 \Leftrightarrow 2x\left[ {2{x^2} + \left( {{m^2} - 4} \right)} \right] = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\2{x^2} + {m^2} - 4 = 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} = \dfrac{{4 - {m^2}}}{2}\,\,\,(*)\end{array} \right.\)
Hàm số đã cho có \(3\) điểm cực trị \( \Leftrightarrow \) phương trình \(y' = 0\) có ba nghiệm phân biệt
\( \Leftrightarrow \) \(\left( * \right)\) có hai nghiệm phân biệt khác \(0\) \( \Leftrightarrow \dfrac{{4 - {m^2}}}{2} > 0\)\( \Leftrightarrow 4 - {m^2} > 0\)\( \Leftrightarrow - 2 < m < 2\).
Câu trả lời của bạn
Ta có: \(y' = 3{x^2} + 2\left( {m + 3} \right)x + m\); \(y'' = 6x + 2\left( {m + 3} \right)\)
Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại \(x = 1\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y'\left( 1 \right) = 0\\y''\left( 1 \right) > 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3 + 2\left( {m + 3} \right) + m = 0\\6 + 2\left( {m + 3} \right) > 0\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
3m + 9 = 0\\
2m + 12 > 0
\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = - 3\\m > - 6\end{array} \right. \Leftrightarrow m = - 3\)
Câu trả lời của bạn
Ta có: \(y' = 3{x^2} - 6\left( {m - 1} \right)x - 3\left( {m + 1} \right)\).
Hàm số đã cho có cực trị \( \Leftrightarrow y' = 0\) có hai nghiệm phân biệt
\( \Leftrightarrow \Delta ' = 9{\left( {m - 1} \right)^2} + 9\left( {m + 1} \right) > 0\) \( \Leftrightarrow 9\left( {{m^2} - 2m + 1 + m + 1} \right) > 0\) \( \Leftrightarrow 9\left( {{m^2} - m + 2} \right) > 0\) \( \Leftrightarrow {m^2} - m + 2 > 0\)
Tam thức m2 - m + 2 luôn dương với mọi m ∈ R vì \({\Delta _m}\) = 1 - 8 < 0 và a = 1 > 0
Do đó phương y' = 0 luôn có hai nghiệm phân biệt.
Vậy với \(\forall m \in \mathbb{R}\), hàm số đã cho luôn có cực trị.
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *