Nội dung bài học sẽ giúp các em nắm được các yếu tố liên quan đến hàm số lũy thừa như khái niệm, tập xác định, tính đợn điệu, cách tính đạo hàm, các dạng đồ thị của hàm số lũy thừa qua đó sẽ tạo nên tảng kiến thức phục vụ cho các em trong quá trình giải các dạng bài tập liên quan đến hàm số lũy thừa.
Hàm số luỹ thừa là hàm số có dạng \(y=x^{\alpha}\), trong đó \(\alpha\) là một hằng số tuỳ ý.
Từ định nghĩa các luỹ thừa, ta thấy:
Hàm số \(y=x^n\) với n nguyên dương, xác định với mọi \(x \in \mathbb{R}\).
Hàm số \(y=x^n\), với n nguyên âm hoặc n = 0, xác định với mọi \(x \in \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}\).
Hàm số \(y=x^{\alpha}\), với \(\alpha\) không nguyên, có tập xác định là tập hợp các số thực dương \(\left( {0; + \infty } \right)\)
Người ta chứng minh được rằng hàm số lũy thừa liên tục trên tập xác định của nó.
♦ Chú ý:
Theo định nghĩa, đẳng thức \(\sqrt[n]{x} = {x^{\frac{1}{n}}}\) chỉ xảy ra nếu \(x>0\) do đó, hàm số \(y=x^\frac{1}{n}\) không đồng nhất với hàm số \(y = \sqrt[n]{x}(n \in {\mathbb{N}^*})\). Chẳng hạn, hàm số \(y = \sqrt[3]{x}\) là hàm số căn bậc ba, xác định với mọi \(x \in \mathbb{R}\); còn hàm số luỹ thừa \(y=x^\frac{1}{3}\) chỉ xác định trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).
Hàm số luỹ thừa \(y = {x^\alpha }(\alpha \in \mathbb{R})\) có đạo hàm tại mọi điểm \(x>0\) và \(\left( {{x^\alpha }} \right)' = \alpha {x^{\alpha - 1}}\).
Nếu hàm số \(u=u(x)\) nhận giá trị dương và có đạo hàm trên \(J\) thì hàm số \(y = {u^\alpha }(x).\) cũng có đạo hàm trên \(J\) và \(\left( {{u^\alpha }\left( x \right)} \right)' = \alpha .{u^{\alpha - 1}}(x).u'(x)\).
Áp dụng định lí trên, ta dễ dàng chứng minh công thức đạo hàm của hàm số căn bậc n sau đây: \(\left( {\sqrt[n]{x}} \right)' = \frac{1}{{n\sqrt[n]{{{x^{n - 1}}}}}}\) (với mọi \(x>0\) nếu n chẵn, với mọi \(x\ne0\) nếu n lẻ).
Nếu \(u=u(x)\) là hàm số có đạo hàm trên \(J\) và thoả mãn điều kiện \(u(x)>0\) với mọi \(x \in J\) khi n chẵn, \(u(x)\ne0\) với mọi \(x \in J\) khi n lẻ thì:
\(\left( {\sqrt[n]{{u(x)}}} \right)' = \frac{{u'(x)}}{{n\sqrt[n]{{{u^{n - 1}}(x)}}}}\,\left( {\forall x \in J} \right)\)
♦ Nhận xét: Do \(1^\alpha =1\) với mọi \(\alpha\) nên đồ thị của mọi hàm số lũy thừa đều đi qua điểm (1;1).
♦ Chú ý:
Khi khảo sát hàm số lũy thừa với số mũ cụ thể, ta phải xét hàm số đó trên toàn bộ tập xác định của nó.
Tìm tập xác định của các hàm số sau:
a) \(y=x^6\)
b) \(y=(1-x)^{\sqrt2}\)
c) \(y=(x+2)^{-3}\)
a) Hàm số \(y=x^6\) xác định với mọi \(x\in\mathbb{R}\).
Vậy tập xác định của hàm số là \(D=\mathbb{R}.\)
b) Hàm số \(y=(1-x)^{\sqrt2}\) xác định khi \(1 - x > 0 \Leftrightarrow x < 1.\)
Vậy tập xác định của hàm số là \(D = \left( { - \infty ;1} \right)\).
c) Hàm số \(y=(x+2)^{-3}\) xác định khi \(x + 2 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne - 2\)
Vậy tập xác định của hàm số là \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 2} \right\}.\)
Tính đạo hàm các hàm số
a) \(y = {x^{\sqrt 2 + 1}}\)
b) \(y = {x^{3\pi }}\)
c) \(y=x^{-0,9}\)
a) \(y' = - \frac{1}{2}{x^{ - \frac{1}{2} - 1}} = - \frac{1}{2}{x^{ - \frac{3}{2}}} = - \frac{1}{{2\sqrt {{x^3}} }}.\)
b) \(y' = 3\pi .{x^{3\pi - 1}}\).
c) \(y' = - 0,9{x^{ - 0,9 - 1}} = - 0,9{x^{ - 1,9}}.\)
Ví dụ 3:
Tính đạo hàm các hàm số sau:
a) \(y = {(2x + 1)^\pi }\)
b) \(y = {(3{x^2} - 1)^{ - \sqrt 2 }}\)
c) \(y = {\left( {2{x^2} + x - 1} \right)^{\frac{2}{3}}}\)
a) \(y' = \pi {(2x + 1)^{\pi - 1}}(2x + 1)' = 2\pi {(2x + 1)^{\pi - 1}}.\)
b) \(y' = - \sqrt 2 {\left( {3{x^2} - 1} \right)^{ - \sqrt 2 - 1}}(3{x^2} - 1)' = - 6\sqrt 2 x{(3{x^2} - 1)^{ - \sqrt 2 - 1}}.\)
c) \(y' = \frac{2}{3}{(2{x^2} + x - 1)^{ - \frac{1}{3}}}(4x + 1).\)
Trong bài học Hàm số lũy thừa DapAnHay giới thiệu đến các em những nội dung cơ bản nhất về khái niệm hàm số lũy thừa, đạo hàm của hàm số lũy thừa, khảo sát hàm số lũy thừa. Vận dụng kiến thức đã học để làm một số bài tập liên quan đến hàm số lũy thừa.
Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 12 Chương 2 Bài 2để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.
Tập xác định của hàm số \(y = {\left( {1 - 2x} \right)^{\frac{1}{3}}}\) là:
Tìm tập xác định của hàm số \(y = {\left( {{x^2} + 2x - 3} \right)^{\sqrt 2 }}.\)
Cho \(\alpha ,\beta\) là các số thực. Đồ thị hàm số \(y = {x^\alpha },y = {x^\beta }\) trên khoảng \((0;+\infty )\) được cho trong hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây là đúng?
Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 12 Chương 2 Bài 2 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Giải tích 12 Cơ bản và Nâng cao.
Bài tập 1 trang 60 SGK Giải tích 12
Bài tập 2 trang 61 SGK Giải tích 12
Bài tập 3 trang 61 SGK Giải tích 12
Bài tập 4 trang 61 SGK Giải tích 12
Bài tập 5 trang 61 SGK Giải tích 12
Bài tập 2.6 trang 104 SBT Toán 12
Bài tập 2.7 trang 104 SBT Toán 12
Bài tập 2.8 trang 104 SBT Toán 12
Bài tập 2.9 trang 104 SBT Toán 12
Bài tập 2.10 trang 104 SBT Toán 12
Bài tập 2.11 trang 104 SBT Toán 12
Bài tập 2.12 trang 104 SBT Toán 12
Bài tập 2.13 trang 104 SBT Toán 12
Bài tập 2.14 trang 104 SBT Toán 12
Bài tập 57 trang 117 SGK Toán 12 NC
Bài tập 58 trang 117 SGK Toán 12 NC
Bài tập 59 trang 117 SGK Toán 12 NC
Bài tập 60 trang 117 SGK Toán 12 NC
Bài tập 61 trang 118 SGK Toán 12 NC
Bài tập 62 trang 118 SGK Toán 12 NC
Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán DapAnHay sẽ sớm trả lời cho các em.
-- Mod Toán Học 12 DapAnHay
Tập xác định của hàm số \(y = {\left( {1 - 2x} \right)^{\frac{1}{3}}}\) là:
Tìm tập xác định của hàm số \(y = {\left( {{x^2} + 2x - 3} \right)^{\sqrt 2 }}.\)
Cho \(\alpha ,\beta\) là các số thực. Đồ thị hàm số \(y = {x^\alpha },y = {x^\beta }\) trên khoảng \((0;+\infty )\) được cho trong hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây là đúng?
Tính đạo hàm của hàm số \(y = {2^{\ln x + {x^2}}}.\)
Tính đạo hàm của hàm số \(y = \sqrt[3]{{{x^2}.\sqrt {{x^3}} }}.\)
Tìm đạo hàm của hàm số \(y = \sqrt {x\sqrt {x\sqrt x } } \)
Cho hàm số \(y = {x^{\frac{1}{4}}}\left( {10 - x} \right),x > 0\)
Khẳng định nào sau đây là đúng?
Số nào sau đây là lớn hơn 1?
Số nào lớn nhất trong các số được liệt kê trong bốn phương án A,B,C,D dưới đây?
Tính tổng các nghiệm của phương trình \(\sqrt[4]{x} = \frac{{12}}{{7 - \sqrt[4]{x}}}\)
Tìm tập xác định của các hàm số:
a) \(\small y=\left ( 1-x \right )^{\frac{-1}{3}}\).
b) \(y=\left ( 2-x^{2} \right )^{\frac{3}{5}}\).
c) \(y=\left ( x^{2}-1 \right )^{-2}\).
d) \(y=\left ( x^{2}-x-2\right )^{\sqrt{2}}\).
Tìm các đạo hàm của các hàm số:
a) \(\small y=\left ( 2x^{2} -x+1\right )^{\frac{1}{3}}\).
b) \(y=\left ( 4-x-x^{2}\right )^{\frac{1}{4}}\).
c) \(y=\left ( 3x+1\right )^{\frac{\pi }{2}}\).
d) \(y=\left ( 5-x\right )^{\sqrt{3}}\).
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số:
a) \(y=x^\frac{4}{3}\).
b) \(\small y=x^{-3}\).
Hãy so sánh các số sau với 1:
a) \(\left ( 4,1 \right )^{2,7}\).
b) \(\left ( 0,2 \right )^{0,3}\).
c) \(\left ( 0,7 \right )^{3,2}\).
d) \(\left ( \sqrt{3} \right )^{0,4}\).
Hãy so sánh các cặp số sau:
a) \(\left ( 3,1 \right )^{7,2}\) và \(\left ( 4,3 \right )^{7,2}\);
b) \(\left ( \frac{10}{11} \right )^{2,3}\) và \(\left ( \frac{12}{11} \right )^{2,3}\);
c) \(\left ( 0,3 \right )^{0,3}\) và \(\left ( 0,2 \right )^{0,3}\).
Tìm tập xác định của các hàm số sau :
a) \(y = {({x^2} - 4x + 3)^{ - 2}}\)
b) \(y = {({x^3} - 8)^{\frac{\pi }{3}}}\)
c) \(y = {({x^3} - 3{x^2} + 2x)^{\frac{1}{4}}}\)
d) \(y = {({x^2} + x - 6)^{ - \frac{1}{3}}}\)
Tính đạo hàm của các hàm số cho ở bài tập 2.6
a) \(y = {({x^2} - 4x + 3)^{ - 2}}\)
b) \(y = {({x^3} - 8)^{\frac{\pi }{3}}}\)
c) \(y = {({x^3} - 3{x^2} + 2x)^{\frac{1}{4}}}\)
d) \(y = {({x^2} + x - 6)^{ - \frac{1}{3}}}\)
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau :
a) \(y = {x^{ - 3}}\)
b) \(y = {x^{ - \frac{1}{2}}}\)
c) \(y = {x^{\frac{\pi }{4}}}\)
Vẽ đồ thị của các hàm số \(y = {x^2}\) và \(y = {x^{\frac{1}{2}}}\) trên cùng một hệ trục tọa độ. Hãy so sánh giá trị của các hàm số đó khi \(x = 0,5;1;\frac{3}{2};2;3;4\)
Tìm x, sao cho \({x^{ - 4}} = 16\).
A.
B.
C. \(x = \frac{1}{2}\)
D.
Tìm số lớn nhất trong các số: \(0,{3^\pi };0,{3^{0,5}};0,{3^{\frac{2}{3}}};0,{3^{3,1415}}\)
A. \(0,{3^\pi }\)
B. \(0,{3^{0,5}}\)
C. \(0,{3^{\frac{2}{3}}}\)
D. \(0,{3^{3,1415}}\)
Tìm khẳng định sai trong các khẳng định sau :
A. \(0,{5^{ - \frac{2}{3}}} > 0,{6^{ - \frac{2}{3}}}\)
B. \({36^{ - \frac{4}{5}}} < {\pi ^{ - \frac{4}{5}}}\)
C. \({e^{\frac{1}{2}}} < 2\)
D. \({(\sqrt 2 )^{ - \frac{3}{4}}} < 1\)
Trên hình bên cho hai đường cong (C1) (đường nét liền) và (C2) (đường nét đứt) được vẽ trên cùng một mặt phẳng tọa độ. Biết rằng mỗi đường cong ấy là đồ thị của ột trong hai hàm số lũy thừa y = x - 2 và \(y = {x^{ - \frac{1}{2}}}\) (x > 0). Chỉ dựa vào tính chất của lũy thừa, có thể nhận biết đường cong nào là đồ thị của hàm số nào được không?
Hãy nêu rõ lập luận.
Tìm đạo hàm của các hàm số sau:
a) \(y = {\left( {2x + 1} \right)^\pi }\)
b) \(y = 5\sqrt[3]{{{{\ln }^3}5x}}\)
c) \(y = \sqrt[3]{{\frac{{1 + {x^3}}}{{1 - {x^3}}}}}\)
d) \(y = {\left( {\frac{x}{b}} \right)^a}{\left( {\frac{a}{x}} \right)^b}\) với a > 0, b > 0
Tính giá trị gần đúng đạo hàm của mỗi hàm số sau tại điểm đã cho (chính xác đến hàng phần trăm):
a) \(y = {\log _3}\left( {\sin x} \right)\) tại \(x = \frac{\pi }{4}\)
b) \(y = \frac{{{2^x}}}{{{x^2}}}\) tạo x = 1
a) Chứng minh rằng đồ thị của hai hàm số \(y = {a^x};y = {\left( {\frac{1}{a}} \right)^x}\) đối xứng với nhau qua trục tung.
b) Chứng minh rằng đồ thị của hai hàm số \(y = {\log _a}x;y = {\log _{\frac{1}{a}}}x\) đối xứng với nhau qua trục hoành.
a) Vẽ đồ thị hàm số \(y = {\log _{0,5}}x > 0\)
b) \( - 3 \le {\log _{0,5}}x \le - 1\)
Vẽ đồ thị của hàm số \(y = {\left( {\sqrt 3 } \right)^x}\). Dựa vào đồ thị, hãy giải thích các bất phương trình sau:
a) \({\left( {\sqrt 3 } \right)^x} \le 1\)
b) \({\left( {\sqrt 3 } \right)^x} > 3\)
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
Câu trả lời của bạn
\(y = {({x^2} - 4x + 3)^{ - 2}} \)
Vì \(-2 \in Z\) nên hàm số xác định khi
\({x^2} - 4x + 3 \ne 0\) \( \Leftrightarrow (x-1)(x-3) \ne 0 \) \( \Leftrightarrow x \ne 1;x \ne 3\).
Vậy tập xác định của hàm số đã cho là \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {1;3} \right\}\).
Câu trả lời của bạn
Vì \({1 \over 4}\notin Z\) nên
Hàm số xác định khi \({x^3} - 3{x^2} + 2x > 0\) \(\Leftrightarrow x(x – 1)(x – 2) > 0\)
\(\Leftrightarrow\) \(0 < x < 1\) hoặc \(x > 2\).
Vậy tập xác định là \((0;1) \cup (2; + \infty )\).
Câu trả lời của bạn
Vì \({\pi \over 3} \notin Z\) nên
Hàm số xác định khi \({x^3}-8 > 0\) \(\Leftrightarrow x > 2\).
Vậy tập xác định của hàm số là \( D= (2; + \infty )\).
Câu trả lời của bạn
\(y' = - 2\left( {{x^2} - 4x + 3} \right)'.{\left( {{x^2} - 4x + 3} \right)^{ - 3}} \) \(= - 2\left( {2x - 4} \right){\left( {{x^2} - 4x + 3} \right)^{ - 3}} \) \(= - 4\left( {x - 2} \right){\left( {{x^2} - 4x + 3} \right)^{ - 3}}\)
Câu trả lời của bạn
Vì \(- {1 \over 3} \notin Z\) nên
Hàm số xác định khi \({x^2} + x - 6 > 0\) \( \Leftrightarrow x < -3 \) hoặc \(x > 2\).
Vậy tập xác định là \(( - \infty ; - 3) \cup (2; + \infty).\)
Câu trả lời của bạn
\(y' = \dfrac{1}{4}{\left( {{x^3} - 3{x^2} + 2x} \right)^{\frac{1}{4} - 1}}\left( {{x^3} - 3{x^2} + 2x} \right)' \) \( = \dfrac{1}{4}{\left( {{x^3} - 3{x^2} + 2x} \right)^{ - \frac{3}{4}}}\left( {3{x^2} - 6x + 2} \right)\)
Câu trả lời của bạn
\(y' = \dfrac{\pi }{3}{\left( {{x^3} - 8} \right)^{\frac{\pi }{3} - 1}}.\left( {{x^3} - 8} \right)' \) \(= \dfrac{\pi }{3}{\left( {{x^3} - 8} \right)^{\frac{\pi }{3} - 1}}.3{x^2} \) \(= \pi {x^2}{\left( {{x^3} - 8} \right)^{\frac{\pi }{3} - 1}}\)
Câu trả lời của bạn
Ta có: \({x^{ - 4}} = 16 \Leftrightarrow \dfrac{1}{{{x^4}}} = 16\)\( \Leftrightarrow {x^4} = \dfrac{1}{{16}} = {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^4}\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{1}{2}\\x = - \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\).
Câu trả lời của bạn
\(y' = - \dfrac{1}{3}{\left( {{x^2} + x - 6} \right)^{ - \frac{1}{3} - 1}}\left( {{x^2} + x - 6} \right)' \) \(= - \dfrac{1}{3}{\left( {{x^2} + x - 6} \right)^{ - \frac{4}{3}}}\left( {2x + 1} \right)\).
Câu trả lời của bạn
Ta có: \(\sqrt {{2^\pi }} = {\left( {\sqrt 2 } \right)^\pi }\)
Vì \(\dfrac{1}{{\sqrt 2 }} < \sqrt 2 < 1,9 < \pi \) và \(\pi > 0\) nên \({\left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right)^\pi } < {(\sqrt 2 )^\pi } < 1,{9^\pi } < {\pi ^\pi }\).
Vậy số nhỏ nhất là \({\left( {\dfrac{1}{{\sqrt 2 }}} \right)^\pi }\).
Câu trả lời của bạn
Vì cơ số \(a = 0,3 < 1\) và \(\pi > 3,1415 > \dfrac{2}{3} > 0,5\) nên \(0,{3^\pi } < 0,{3^{3,1415}} < 0,{3^{\frac{2}{3}}} < 0,{3^{0,5}}\)
Vậy số lớn nhất là \(0,{3^{0,5}}\).
Câu trả lời của bạn
\(y = {({x^2} - 4x + 3)^{ - 2}} \)
Vì \(-2 \in Z\) nên hàm số xác định khi
\({x^2} - 4x + 3 \ne 0\) \( \Leftrightarrow (x-1)(x-3) \ne 0 \) \( \Leftrightarrow x \ne 1;x \ne 3\).
Vậy tập xác định của hàm số đã cho là \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {1;3} \right\}\).
Câu trả lời của bạn
Vì \({\pi \over 3} \notin Z\) nên
Hàm số xác định khi \({x^3}-8 > 0\) \(\Leftrightarrow x > 2\).
Vậy tập xác định của hàm số là \( D= (2; + \infty )\).
Câu trả lời của bạn
Vì \({1 \over 4}\notin Z\) nên
Hàm số xác định khi \({x^3} - 3{x^2} + 2x > 0\) \(\Leftrightarrow x(x – 1)(x – 2) > 0\)
\(\Leftrightarrow\) \(0 < x < 1\) hoặc \(x > 2\).
Vậy tập xác định là \((0;1) \cup (2; + \infty )\).
Câu trả lời của bạn
Vì \(- {1 \over 3} \notin Z\) nên
Hàm số xác định khi \({x^2} + x - 6 > 0\) \( \Leftrightarrow x < -3 \) hoặc \(x > 2\).
Vậy tập xác định là \(( - \infty ; - 3) \cup (2; + \infty).\)
Câu trả lời của bạn
\(y' = \dfrac{\pi }{3}{\left( {{x^3} - 8} \right)^{\frac{\pi }{3} - 1}}.\left( {{x^3} - 8} \right)' \) \(= \dfrac{\pi }{3}{\left( {{x^3} - 8} \right)^{\frac{\pi }{3} - 1}}.3{x^2} \) \(= \pi {x^2}{\left( {{x^3} - 8} \right)^{\frac{\pi }{3} - 1}}\)
Câu trả lời của bạn
\(y' = - 2\left( {{x^2} - 4x + 3} \right)'.{\left( {{x^2} - 4x + 3} \right)^{ - 3}} \) \(= - 2\left( {2x - 4} \right){\left( {{x^2} - 4x + 3} \right)^{ - 3}} \) \(= - 4\left( {x - 2} \right){\left( {{x^2} - 4x + 3} \right)^{ - 3}}\)
Câu trả lời của bạn
\(y' = - \dfrac{1}{3}{\left( {{x^2} + x - 6} \right)^{ - \frac{1}{3} - 1}}\left( {{x^2} + x - 6} \right)' \) \(= - \dfrac{1}{3}{\left( {{x^2} + x - 6} \right)^{ - \frac{4}{3}}}\left( {2x + 1} \right)\)
Câu trả lời của bạn
\(y' = \dfrac{1}{4}{\left( {{x^3} - 3{x^2} + 2x} \right)^{\frac{1}{4} - 1}}\left( {{x^3} - 3{x^2} + 2x} \right)' \) \( = \dfrac{1}{4}{\left( {{x^3} - 3{x^2} + 2x} \right)^{ - \frac{3}{4}}}\left( {3{x^2} - 6x + 2} \right)\)
Câu trả lời của bạn
Ta có: \({x^{ - 4}} = 16 \Leftrightarrow \dfrac{1}{{{x^4}}} = 16\)\( \Leftrightarrow {x^4} = \dfrac{1}{{16}} = {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^4}\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{1}{2}\\x = - \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\).
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *