Cho hàm số \(f(x)=\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{2}x^2-4x+6\)
a) Giải phương trình f'(sinx) = 0.
b) Giải phương trình f''(cosx) = 0.
c) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho tại điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình f''(x) = 0.
Câu a:
f'(x) = x2 - x - 4 ⇒ f'(sinx) = sin2 x - sinx - 4
f'(sinx) = 0 ⇔ sin2x - sinx - 4 = 0 (*)
Đặt: t = sinx , (|t| \(\leq\) 1)
Khi đó (*) trở thành: \(t^2-t-4=0\)
\(\Leftrightarrow \Bigg \lbrack \begin{matrix} t=\frac{1+\sqrt{17}}{2} >1 \ (loai)\\ \\ t=\frac{1-\sqrt{17}}{2} <-1 \ (loai) \end{matrix}\)
Vậy phương trình f'(sinx) = 0 vô nghiệm.
Câu b:
f''(x) = 2x - 1 ⇒ f''(cosx) = 2cosx - 1
f''(cosx) = 0 ⇔ 2cosx - 1 = 0
\( \Leftrightarrow \cos x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\
x = - \frac{\pi }{3} + k2\pi
\end{array} \right.(k \in Z)\)
Câu c:
\(f''(x)=0\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}\)
Ta có: \(f'(\frac{1}{2})=(\frac{1}{2})^2-\frac{1}{2}-4=-\frac{17}{4}\)
Với \(x=\frac{1}{2}\)
\(\begin{array}{l}
\Rightarrow y = \frac{1}{3}.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^3} - \frac{1}{2}.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} - 4.\frac{1}{2} + 6\\
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \frac{{47}}{{12}}
\end{array}\)
Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho tại điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình f''(x) = 0 là:
\(y=-\frac{17}{4}\left ( x-\frac{1}{2} \right )+\frac{47}{12}\)
\(\Leftrightarrow y=-\frac{17}{4}x+\frac{145}{24}\).
-- Mod Toán 12