Lũy thừa là một khái niệm quen thuộc đã được học từ lớp 7, đến chương trình giải tích 12 khái niệm lũy thừa được mở rộng và học sinh được tìm hiểu sâu hơn. Nội dung bài học cung cấp đến các em những vấn đề lý thuyết trọng tâm cũng như phương pháp giải bài tập sẽ giúp các em học tập tốt phần này.
Cho \(n\) là một số nguyên dương.
Trong biểu thức \(a^m\), ta gọi \(a\) là cơ số, số nguyên \(m\) là số mũ.
Cho \(a\) là số thực dương và số hữu tỉ \(r=\frac{m}{n}\) trong đó \(m\in\mathbb{Z},n\in\mathbb{N},n\geq 2.\) Lũy thừa với số mũ \(r\) là số \(a^r\) xác đinh bởi: \({a^r} = {a^{\frac{m}{n}}} = \sqrt[n]{{{a^m}}}\).
Cho \(a\) là một số dương, \(\alpha\) là một số vô tỉ:
Ta gọi giới hạn của dãy số \(\left( {{a^{{r_n}}}} \right)\) là lũy thừa của \(a\) với số mũ \(\alpha\), kí hiệu là \(a^{\alpha}.\)
\({a^\alpha } = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {a^{{r_n}}}\) với \(a = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {r_n}\).
Với số thực \(a>0\) ta có các tính chất sau:
Cho số thực \(a\):
Rút gọn biểu thức: \(A = \frac{{{a^{ - n}} + {b^{ - n}}}}{{{a^{ - n}} - {b^{ - n}}}} - \frac{{{a^{ - n}} - {b^{ - n}}}}{{{a^{ - n}} + {b^{ - n}}}}\left( {ab \ne 0;a \ne \pm b} \right)\)
\(A = \frac{{{a^{ - n}} + {b^{ - n}}}}{{{a^{ - n}} - {b^{ - n}}}} - \frac{{{a^{ - n}} - {b^{ - n}}}}{{{a^{ - n}} + {b^{ - n}}}} = \frac{{{a^n} + {b^n}}}{{{a^n}{b^n}\left( {\frac{{{b^n} - {a^n}}}{{{a^n}{b^n}}}} \right)}} - \frac{{{b^n} - {a^n}}}{{{a^n}{b^n}\left( {\frac{{{a^n} + {b^n}}}{{{a^n}{b^n}}}} \right)}}\)
\(= \frac{{{{\left( {{a^n} + {b^n}} \right)}^2} - {{\left( {{b^n} - {a^n}} \right)}^2}}}{{\left( {{a^n} + {b^n}} \right)\left( {{b^n} - {a^n}} \right)}} = \frac{{4{a^n}{b^n}}}{{{b^{2n}} - {a^{2n}}}}\)
Cho a,b là các số thực dương .Rút gọn biểu thức sau:
a) \(\left( {1 - 2\sqrt {\frac{a}{b}} + \frac{b}{a}} \right):{\left( {{a^{\frac{1}{2}}} - {b^{\frac{1}{2}}}} \right)^2}\)
b) \(\frac{{{a^{\frac{1}{4}}} - {a^{\frac{9}{4}}}}}{{{a^{\frac{1}{4}}} - {a^{\frac{5}{4}}}}} - \frac{{{b^{ - \frac{1}{2}}} - {b^{\frac{3}{2}}}}}{{{b^{\frac{1}{2}}} + {b^{ - \frac{1}{2}}}}}\)
a) \(\left( {1 - 2\sqrt {\frac{a}{b}} + \frac{b}{a}} \right):{\left( {{a^{\frac{1}{2}}} - {b^{\frac{1}{2}}}} \right)^2} = {\left( {1 - \sqrt {\frac{a}{b}} } \right)^2}:\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)\)
\(= \frac{{{{\left( {\sqrt b - \sqrt a } \right)}^2}}}{b}.\frac{1}{{{{\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)}^2}}} = \frac{1}{b}\)
b) \(\frac{{{a^{\frac{1}{4}}} - {a^{\frac{9}{4}}}}}{{{a^{\frac{1}{4}}} - {a^{\frac{5}{4}}}}} - \frac{{{b^{ - \frac{1}{2}}} - {b^{\frac{3}{2}}}}}{{{b^{\frac{1}{2}}} + {b^{ - \frac{1}{2}}}}} = \frac{{{a^{\frac{1}{4}}}\left( {1 - {a^2}} \right)}}{{{a^{\frac{1}{4}}}\left( {1 - a} \right)}} - \frac{{{b^{ - \frac{1}{2}}}\left( {1 - {b^2}} \right)}}{{{b^{ - \frac{1}{2}}}\left( {{b^2} - 1} \right)}} = 1 + a + 1 = a + 2\)
Viết dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỷ các biểu thức sau:
a) \(A = \sqrt[5]{{2\sqrt[3]{{2\sqrt 2 }}}}\)
b) \(B = \sqrt {a\sqrt {a\sqrt {a\sqrt a } } } :{a^{\frac{{11}}{{16}}}}\quad \left( {a > 0} \right)\)
a) \(A = \sqrt[5]{{2\sqrt[3]{{2\sqrt 2 }}}} = \left\{ {{{\left[ {{{\left( {{2^{\frac{1}{2}}}.2} \right)}^{\frac{1}{3}}}.2} \right]}^{\frac{1}{5}}}} \right\}\)
\(= {\left[ {{{\left( {{2^{\frac{3}{2}}}} \right)}^{\frac{1}{3}}}.2} \right]^{\frac{1}{5}}} = {\left( {{2^{\frac{1}{2}}}.2} \right)^{\frac{1}{5}}} = {2^{\frac{3}{2}\frac{1}{5}}} = {2^{\frac{3}{{10}}}}\)
b) \(B = \sqrt {a\sqrt {a\sqrt {a\sqrt a } } } :{a^{\frac{{11}}{{16}}}} = {\left\{ {{{\left[ {{{\left( {{a^{\frac{3}{2}}}} \right)}^{\frac{1}{2}}}a} \right]}^{\frac{1}{2}}}.a} \right\}^{\frac{1}{2}}}:{a^{\frac{{11}}{{16}}}}\)
\(= {\left[ {{{\left( {{a^{\frac{3}{4} + 1}}} \right)}^{\frac{1}{2}}}.a} \right]^{\frac{1}{2}}}:{a^{\frac{{11}}{6}}} = {\left( {{a^{\frac{7}{8} + 1}}} \right)^{\frac{1}{2}}}:{a^{\frac{{11}}{{16}}}} = \frac{{{a^{\frac{{15}}{{16}}}}}}{{{a^{\frac{{11}}{{16}}}}}} = {a^{\frac{1}{4}}}\)
Cho a là số thực dương, đơn giản các biểu thức sau:
a) \({a^{\sqrt 2 }}.{\left( {\frac{1}{a}} \right)^{\sqrt 2 - 1}}\)
b) \(\frac{{{a^{2\sqrt 2 }} - {b^{2\sqrt 3 }}}}{{{{\left( {{a^{\sqrt 2 }} - {b^{\sqrt 3 }}} \right)}^2}}} + 1\)
a) \({a^{\sqrt 2 }}.{\left( {\frac{1}{a}} \right)^{\sqrt 2 - 1}} = {a^{\sqrt 2 }}{\left( {{a^{ - 1}}} \right)^{\sqrt 2 - 1}} = {a^{\sqrt 2 }}{a^{1 - \sqrt 2 }} = a\)
b) \(\frac{{{a^{2\sqrt 2 }} - {b^{2\sqrt 3 }}}}{{{{\left( {{a^{\sqrt 2 }} - {b^{\sqrt 3 }}} \right)}^2}}} + 1 = \frac{{\left( {{a^{\sqrt 2 }} - {b^{\sqrt 3 }}} \right)\left( {{a^{\sqrt 2 }} + {b^{\sqrt 3 }}} \right)}}{{{{\left( {{a^{\sqrt 2 }} - {b^{\sqrt 3 }}} \right)}^2}}} + 1\)
\(= \frac{{{a^{\sqrt 2 }} + {b^{\sqrt 3 }} + {a^{\sqrt 2 }} - {b^{\sqrt 3 }}}}{{\left( {{a^{\sqrt 2 }} - {b^{\sqrt 3 }}} \right)}} = \frac{{2{a^{\sqrt 2 }}}}{{{a^{\sqrt 2 }} - {b^{\sqrt 3 }}}}\)
Không dùng máy tính bỏ túi, hãy so sánh các cặp số sau:
a) \(\sqrt[4]{{13}}\; \vee \;\sqrt[5]{{23}}\)
b) \({\left( {\frac{1}{3}} \right)^{\sqrt 3 }}\; \vee \;{\left( {\frac{1}{3}} \right)^{\sqrt 2 }}\)
a) Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} \sqrt[4]{{13}} = \sqrt[{20}]{{{{13}^5}}} = \sqrt[{20}]{{371.293}}\\ \sqrt[5]{{23}} = \sqrt[{20}]{{{{23}^4}}} = \sqrt[{20}]{{279.841}} \end{array} \right. \Rightarrow \sqrt[4]{{13}} > \sqrt[5]{{23}}\)
b) Ta có: \(\sqrt 3 > \sqrt 2 \Rightarrow {\left( {\frac{1}{3}} \right)^{\sqrt 3 }} < {\left( {\frac{1}{3}} \right)^{\sqrt 2 }}\)
Trong phạm vi bài học DapAnHay chỉ giới thiệu đến các em những nội dung cơ bản nhất về lũy thừa, tính chất cơ bản của lũy thừa. Đây là một dạng toán nền tảng không chỉ trong phạm vi hàm số mũ mà còn được ứng dụng trong việc giải phương trình, chứng minh bất đẳng thức,....các em cần tìm hiểu thêm.
Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 12 Chương 2 Bài 1để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.
Biểu diễn biểu thức \(K = \sqrt[3]{{\frac{2}{3}\sqrt[3]{{\frac{2}{3}\sqrt {\frac{2}{3}} }}}}\) dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ.
Giả sử a là số thực dương, khác 1. Biểu thức \(\sqrt {a\sqrt[3]{a}}\) được viết dưới dạng \({a^\alpha }\). Khẳng định nào sau đây là đúng?
Cho biểu thức \(P = \frac{{{a^{\frac{1}{3}}}{b^{ - \frac{1}{3}}} - {a^{ - \frac{1}{3}}}{b^{\frac{1}{3}}}}}{{\sqrt[3]{{{a^2}}} - \sqrt[3]{{{b^2}}}}}\). Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 12 Chương 2 Bài 1 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Giải tích 12 Cơ bản và Nâng cao.
Bài tập 1 trang 55 SGK Giải tích 12
Bài tập 2 trang 55 SGK Giải tích 12
Bài tập 3 trang 56 SGK Giải tích 12
Bài tập 5 trang 57 SGK Giải tích 12
Bài tập 4 trang 57 SGK Giải tích 12
Bài tập 2.1 trang 99 SBT Toán 12
Bài tập 2.2 trang 99 SBT Toán 12
Bài tập 2.3 trang 100 SBT Toán 12
Bài tập 2.4 trang 100 SBT Toán 12
Bài tập 2.5 trang 100 SBT Toán 12
Bài tập 1 trang 75 SGK Toán 12 NC
Bài tập 2 trang 75 SGK Toán 12 NC
Bài tập 2 trang 75 SGK Toán 12 NC
Bài tập 3 trang 76 SGK Toán 12 NC
Bài tập 4 trang 76 SGK Toán 12 NC
Bài tập 5 trang 76 SGK Toán 12 NC
Bài tập 6 trang 76 SGK Toán 12 NC
Bài tập 6 trang 76 SGK Toán 12 NC
Bài tập 7 trang 76 SGK Toán 12 NC
Bài tập 8 trang 78 SGK Toán 12 NC
Bài tập 9 trang 78 SGK Toán 12 NC
Bài tập 10 trang 78 SGK Toán 12 NC
Bài tập 11 trang 78 SGK Toán 12 NC
Bài tập 12 trang 81 SGK Toán 12 NC
Bài tập 13 trang 81 SGK Toán 12 NC
Bài tập 14 trang 81 SGK Toán 12 NC
Bài tập 15 trang 81 SGK Toán 12 NC
Bài tập 16 trang 81 SGK Toán 12 NC
Bài tập 17 trang 81 SGK Toán 12 NC
Bài tập 18 trang 81 SGK Toán 12 NC
Bài tập 19 trang 82 SGK Toán 12 NC
Bài tập 20 trang 82 SGK Toán 12 NC
Bài tập 21 trang 82 SGK Toán 12 NC
Bài tập 22 trang 82 SGK Toán 12 NC
Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán DapAnHay sẽ sớm trả lời cho các em.
-- Mod Toán Học 12 DapAnHay
Biểu diễn biểu thức \(K = \sqrt[3]{{\frac{2}{3}\sqrt[3]{{\frac{2}{3}\sqrt {\frac{2}{3}} }}}}\) dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ.
Giả sử a là số thực dương, khác 1. Biểu thức \(\sqrt {a\sqrt[3]{a}}\) được viết dưới dạng \({a^\alpha }\). Khẳng định nào sau đây là đúng?
Cho biểu thức \(P = \frac{{{a^{\frac{1}{3}}}{b^{ - \frac{1}{3}}} - {a^{ - \frac{1}{3}}}{b^{\frac{1}{3}}}}}{{\sqrt[3]{{{a^2}}} - \sqrt[3]{{{b^2}}}}}\). Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Cho \(K = {\left( {{x^{\frac{1}{2}}} - {y^{\frac{1}{2}}}} \right)^2}{\left( {1 - 2\sqrt {\frac{y}{x}} + \frac{y}{x}} \right)^{ - 1}}.\)
Khẳng định nào sau đây là đúng?
Tìm tất cả các giá trị của a để
\(\sqrt[{21}]{{{a^5}}} > \sqrt[7]{{{a^2}}}?\)
Tính giá trị biểu thức
\(P = \left( {\frac{1}{{16}}} \right){a^0} + {\left( {\frac{1}{{16a}}} \right)^0} - {64^{ - \frac{1}{2}}} - {\left( { - 32} \right)^{ - \frac{4}{5}}}\)
Rút gọn biểu thức \(P = \frac{{{a^2}b{{\left( {a{b^{ - 2}}} \right)}^{ - 3}}}}{{{{\left( {{a^{ - 2}}{b^{ - 1}}} \right)}^{ - 2}}}}\) viết kết quả sao cho các lũy thừa đều dương
Rút gọn biểu thức \(P = \frac{{{2^{n + 4}} - 2\left( {{2^n}} \right)}}{{2\left( {{9^{n + 3}}} \right)}}\)
Tính số nguyên n lớn nhất thỏa mãn n200 < 5300
Tính giá trị biểu thức 2560,16.2560,09
Tính:
a) \(9^{\frac{2}{5}}.27^{\frac{2}{5}}\) .
b) \(144^{\frac{3}{4}}: 9^{\frac{3}{4}}\) .
c) \(\left ( \frac{1}{16} \right )^{-0,75}+\left ( 0,25 \right )^{\frac{-5}{2}}\) .
d) \(\left ( 0,04 \right )^{-1,5}-\left ( 0,125 \right )^{\frac{-2}{3}}\) .
Cho a, b là những số thực dương. Viết các biểu thức dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ:
a) \(a^{\frac{1}{3}}.\sqrt{a}\).
b) \(b^{\frac{1}{2}}.b ^{\frac{1}{3}}. \sqrt[6]{b}\).
c) \(a^{\frac{4}{3}}:\sqrt[3]{a}\).
d) \(\sqrt[3]{b}: b^{\frac{1}{6}}\).
Viết các số sau theo thứ tự tăng dần:
a) \(1^{3,75}\) ; \(2^{-1}\) ; .
b) \(98^{0}\) ; \(\left ( \frac{3}{7} \right )^{-1}\) ; .
Chứng minh rằng:
a) \(\left ( \frac{1}{3} \right )^{2\sqrt{5}} <\left ( \frac{1}{3} \right )^{3\sqrt{2}}\).
b) \(7^{\sqrt[6]{3}}> 7^{\sqrt[3]{6}}\).
Cho a, b là những số thực dương. Rút gọn các biểu thức sau:
a) \(\frac{a^{\frac{4}{3}}\left ( a^{\frac{-1}{3}}+ a^{\frac{2}{3}} \right )}{a^{\frac{1}{4}}\left ( a^{\frac{3}{4}}+ a^{\frac{-1}{4}} \right )}\).
b) \(\frac{b^{\frac{1}{5}}\left ( \sqrt[5]{b^{4}}- \sqrt[5]{b^{-1}} \right )}{b^{\frac{2}{3}}\left (\sqrt[3]{b}- \sqrt[3]{b^{-2}} \right )}\).
c) \(\frac{a^\frac{1}{3}.b^{-\frac{1}{3}}-a^{-\frac{1}{3}}.b^\frac{1}{3}}{\sqrt[3]{a^2}-\sqrt[3]{b^2}}\).
d) \(\frac{a^\frac{1}{3}.\sqrt{b}+b^{\frac{1}{3}}.\sqrt{a}}{\sqrt[6]{a^2}+\sqrt[6]{b^2}}\).
Tính
a) \(\frac{{{{10}^{2 + \sqrt 7 }}}}{{{2^{2 + \sqrt 7 }}{{.5}^{1 + \sqrt 7 }}}}\)
b) \(({4^{2\sqrt 3 }} - {4^{\sqrt 3 - 1}}){.2^{ - 2\sqrt 3 }}\)
Tính
a) \({27^{\frac{2}{3}}} - {( - 2)^{ - 2}} + {\left( {3\frac{3}{8}} \right)^{ - \frac{1}{3}}}\)
b) \({( - 0,5)^{ - 4}} - {625^{0,25}} - {\left( {2\frac{1}{4}} \right)^{ - 1\frac{1}{2}}}\)
Cho a và b là các số dương. Đơn giản các biểu thức sau:
a) \(\frac{{{a^{\frac{4}{3}}}\left( {{a^{ - \frac{1}{3}}} + {a^{\frac{2}{3}}}} \right)}}{{{a^{\frac{1}{4}}}\left( {{a^{\frac{3}{4}}} + {a^{ - \frac{1}{4}}}} \right)}}\)
b) \(\frac{{{a^{\frac{1}{3}}}\sqrt b + {b^{\frac{1}{3}}}\sqrt a }}{{\sqrt[6]{a} + \sqrt[6]{b}}}\)
c) \(\left( {\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}} \right)\left( {{a^{\frac{2}{3}}} + {b^{\frac{2}{3}}} - \sqrt[3]{{ab}}} \right)\)
d) \(\left( {{a^{\frac{1}{3}}} + {b^{\frac{1}{3}}}} \right):\left( {2 + \sqrt[3]{{\frac{a}{b}}} + \sqrt[3]{{\frac{b}{a}}}} \right)\)
Tìm khẳng định sai trong các khẳng định sau :
A. \({2^{ - 2}} < 1\)
B. \({(0,013)^{ - 1}} > 75\)
C. \({\left( {\frac{\pi }{4}} \right)^{\sqrt 5 - 2}} > 1\)
D. \({\left( {\frac{1}{3}} \right)^{\sqrt 8 - 3}} < 3\)
Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau :
A. \(\sqrt {17} < \sqrt[3]{{28}}\)
B. \(\sqrt[4]{{13}} > \sqrt[5]{{23}}\)
C. \({\left( {\frac{1}{3}} \right)^{\sqrt 3 }} > {\left( {\frac{1}{3}} \right)^{\sqrt 2 }}\)
D. \({4^{\sqrt 5 }} > {4^{\sqrt 7 }}\)
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng, khẳng định nào sai?
a) Với số thực a và các số nguyên m, n, ta có: \({a^m}.{a^n} = {a^{m.n}};\frac{{{a^m}}}{{{a^n}}} = {a^{m - n}}\)
b) Với hai số thực a, b cùng khác 0 và số nguyên n, ta có:
\({\left( {ab} \right)^n} = {a^n}.{b^n};{\left( {\frac{a}{b}} \right)^n} = \frac{{{a^n}}}{{{b^n}}}\)
c) Với hai số thực a, b thỏa mãn 0 < a < b và số nguyên n, ta có an < bn
d) Với số thực a khác 0 và hai số nguyên m, n, ta có: Nếu m > n thì am > an
Xét khẳng định: “Với số thực a và hai số hữu tỉ r, s, ta có \({\left( {{a^r}} \right)^s} = {a^{rs}}\)
Với điều kiện nào trong các điều kiện sau thì khẳng định trên đúng?
(A) a bất kì
(B) a ≠ 0
(C) a > 0
(D) a < 1.
Viết các số sau dưới dạng số nguyên hay phân số tối giản:
\({7^{ - 1}}.14;\frac{4}{{{3^{ - 2}}}};{\left( {\frac{4}{5}} \right)^{ - 2}};\frac{{{{\left( { - 18} \right)}^2}.5}}{{{{15}^2}.3}}\)
Thực hiện phép tính:
a) \({81^{ - 0,75}} + {\left( {\frac{1}{{125}}} \right)^{\frac{{ - 1}}{3}}} - {\left( {\frac{1}{{32}}} \right)^{\frac{{ - 3}}{5}}};\)
b) \(0,{001^{\frac{{ - 1}}{3}}} - {\left( { - 2} \right)^{ - 2}}{.64^{\frac{2}{3}}} - {8^{ - 1\frac{1}{3}}} + {\left( {{9^0}} \right)^2}\)
c) \({27^{\frac{2}{3}}} + {\left( {\frac{1}{{16}}} \right)^{ - 0,75}} - {25^{0,5}}\)
d) \({( - 0,5)^{ - 4}} - {625^{0,25}} - {\left( {2\frac{1}{4}} \right)^{ - 1\frac{1}{2}}} + 19.{\left( { - 3} \right)^{ - 3}}\)
Đơn giản biểu thức ( với a, b là những số dương)
a) \(\frac{{{{\left( {\sqrt[4]{{{a^3}{b^2}}}} \right)}^4}}}{{\sqrt[3]{{\sqrt {{a^{12}}{b^6}} }}}}\)
b) \(\frac{{{a^{\frac{1}{3}}} - {a^{\frac{7}{3}}}}}{{{a^{\frac{1}{3}}} - {a^{\frac{4}{3}}}}} - \frac{{{a^{ - \frac{1}{3}}} - {a^{\frac{5}{3}}}}}{{{a^{\frac{2}{3}}} + {a^{ - \frac{1}{3}}}}}\)
So sánh các số
a) \(\sqrt 2 \) và \(\sqrt[3]{3}\)
b) \(\sqrt 3 + \sqrt[3]{{30}}\) và \(\sqrt[3]{{63}}\)
c) \(\sqrt[3]{7} + \sqrt {15} \) và \(\sqrt {10} + \sqrt[3]{{28}}\)
Chứng minh \(\sqrt[3]{{7 + 5\sqrt 2 }} + \sqrt[3]{{7 - 5\sqrt 2 }} = 2\)
Đơn giản biểu thức
a) \(\frac{{\sqrt a - \sqrt b }}{{\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{b}}} - \frac{{\sqrt a + \sqrt[4]{{ab}}}}{{\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}}}\)
b) \(\frac{{a - b}}{{\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}}} - \frac{{a + b}}{{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}}}\)
c) \(\left( {\frac{{a + b}}{{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}}} - \sqrt[3]{{ab}}} \right):{\left( {\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}} \right)^2}\)
d) \(\frac{{a - 1}}{{{a^{\frac{3}{4}}} + {a^{\frac{1}{2}}}}}.\frac{{\sqrt a + \sqrt[4]{a}}}{{\sqrt a + 1}}.{a^{\frac{1}{4}}} + 1\)
Từ tính chất của lũy thừa với số mũ nguyên dương, chứng minh:
\(\sqrt[n]{{ab}} = \sqrt[n]{a}.\sqrt[n]{b},\left( {a \ge 0,b \ge 0} \right)\), n nguyên dương
Chứng minh
a) \(\sqrt {4 + 2\sqrt 3 } - \sqrt {4 - 2\sqrt 3 } = 2\)
b) \(\sqrt[3]{{9 + \sqrt {80} }} + \sqrt[3]{{9 - \sqrt {80} }} = 3\)
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
Câu trả lời của bạn
\( ( 4^{2\sqrt{3}} - 4^{\sqrt{3} - 1}). 2^{-2\sqrt{3}}\)
\( = 4^{2\sqrt{3}}.2^{-2\sqrt{3}} - 4^{\sqrt{3} - 1}.2^{-2\sqrt{3}}\)
\(= \Big(2^{2}\Big)^{2\sqrt{3}}.2^{-2\sqrt{3}} - \Big(2^{2}\Big)^{\sqrt{3} - 1}. 2^{-2\sqrt{3}}\)
\(= 2^{4\sqrt{3}}.2^{-2\sqrt{3}} - 2^{2\sqrt{3} - 2}. 2^{-2\sqrt{3}}\)
\(= 2^{2\sqrt{3}} - 2^ {-2}\)
\(= 2^{2\sqrt{3}} - \dfrac{1}{4}\)
Câu trả lời của bạn
\( \dfrac{10^{2+ \sqrt{7}}}{2^{2 + \sqrt{7}}. 5^{1+\sqrt{7}}}\)
\( = \dfrac{ (2.5)^{2+ \sqrt{7}}}{2^{2 + \sqrt{7}}. 5^{1+\sqrt{7}}}\)
\(= \dfrac{2^{2+ \sqrt{7}}. 5^{2+ \sqrt{7}}}{2^{2 + \sqrt{7}}. 5^{1+\sqrt{7}}}\)
\( = \dfrac{5^{2+ \sqrt{7}}}{5^{1+\sqrt{7}}} \)
\( = 5^{(2+ \sqrt{7}) - ( 1+ \sqrt{7})} \)
\( = 5^1 =5 \).
Câu trả lời của bạn
\( ( - 0.5)^{{-4}} - 625^{0,25} - \Big(2\dfrac{1}{4}\Big)^{-1\dfrac{1}{2}} \)
\(=\Big( \dfrac{-1}{2}\Big)^{-4} - \Big( 5^{4}\Big)^{0,25} - \Big(\dfrac{9}{4}\Big)^{\dfrac{-3}{2}}\)
\(\begin{array}{l}
= \frac{1}{{{{\left( { - \frac{1}{2}} \right)}^4}}} - {5^{4.0,25}} - {\left( {{{\left( {\frac{3}{2}} \right)}^2}} \right)^{ - \frac{3}{2}}}\\
= \frac{1}{{\frac{1}{{16}}}} - {5^1} - {\left( {\frac{3}{2}} \right)^{2.\left( { - \frac{3}{2}} \right)}}
\end{array}\)
\(= 16 - 5 - \Big( \dfrac{3}{2}\Big)^{-3}\)
\(\begin{array}{l}
= 11 - \frac{1}{{{{\left( {\frac{3}{2}} \right)}^3}}}\\
= 11 - \frac{1}{{\frac{{27}}{8}}}
\end{array}\)
\(= 11 - \dfrac{8}{27} =\dfrac{289}{27}\)
Câu trả lời của bạn
\( 27^{\dfrac{2}{3}} - \Big(-2\Big)^{-2} +\Big(3\dfrac{3}{8}\Big)^{-\dfrac{1}{3}} \)
\( = \Big(3^3\Big)^{\dfrac{2}{3}} - \dfrac{1}{(-2)^2} + \Big(\dfrac{27}{8}\Big)^{-\dfrac{1}{3}} \)
\(= 3^{3.\dfrac{2}{3}} - \dfrac{1}{4} + \Big(\Big(\dfrac{3}{2} \Big)^{3}\Big)^{{-\dfrac{1}{3}}} \)
\( = 3^2 - \dfrac{1}{4} + \Big(\dfrac{3}{2}\Big)^{-1}\)
\(=9 - \dfrac{1}{4} + \dfrac{2}{3}\)
\(= \dfrac{113}{12} \)
Câu trả lời của bạn
\( \dfrac{ a^{\dfrac{1}{3}}\sqrt{b} + b^{\dfrac{1}{3}}\sqrt{a}}{\sqrt[6]{a} + \sqrt[6]{b}} \)
\(= \dfrac{a^{\dfrac{1}{3}}b^{\dfrac{1}{2}} + b^{\dfrac{1}{3}}a^{\dfrac{1}{2}}}{ a^{\dfrac{1}{6}} + b^{\dfrac{1}{6}}}\)
\(= \dfrac{a^{\dfrac{1}{3}}b^{\dfrac{1}{3}}\Big(b^{\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3}}+ a^{\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3}} \Big)}{a^{\dfrac{1}{6}} + b^{\dfrac{1}{6}}}\)
\(= \dfrac{a^{\dfrac{1}{3}}b^{\dfrac{1}{3}}\Big(b^{\dfrac{1}{6}} +a^{ \dfrac{1}{6}} \Big)}{a^{\dfrac{1}{6}} + b^{\dfrac{1}{6}}}\)
\( = {a^{\frac{1}{3}}}{b^{\frac{1}{3}}} = {\left( {ab} \right)^{\frac{1}{3}}}\) \(=\sqrt[3]{ab} \)
Câu trả lời của bạn
Với a và b là các số dương ta có:
\( \dfrac{a^{\dfrac{4}{3}}\Big( a^{\dfrac{-1}{3}} + a^{\dfrac{2}{3}} \Big)} {a^{\dfrac{1}{4}}\Big( a^{\dfrac{3}{4}} + a^{\dfrac{-1}{4}} \Big)}\)
\(= \dfrac{a^{\dfrac{4}{3}}. a^{\dfrac{-1}{3}} + a^{\dfrac{2}{3}}.a^{\dfrac{4}{3}} } {a^{\dfrac{1}{4}}. a^{\dfrac{3}{4}} + a^{\dfrac{1}{4}}. a^{\dfrac{-1}{4}}}\)
\(= \dfrac{a^1 + a^2}{a^1 + a^0} = \dfrac{a\Big( a + 1\Big)}{a + 1} =a \)
Câu trả lời của bạn
\(\Big( \sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b} \Big)( a^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{2}{3} }- \sqrt[3]{ab} \Big) \)
\(\begin{array}{l}
= \left( {{a^{\frac{1}{3}}} + {b^{\frac{1}{3}}}} \right)\left( {{a^{\frac{2}{3}}} - \sqrt[3]{{ab}} + {b^{\frac{2}{3}}}} \right)\\
= \left( {{a^{\frac{1}{3}}} + {b^{\frac{1}{3}}}} \right)\left( {{a^{\frac{2}{3}}} - {{\left( {ab} \right)}^{\frac{1}{3}}} + {b^{\frac{2}{3}}}} \right)
\end{array}\)
\(= \Big( a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}\Big) \Big( a^{\frac{2}{3}} - a^{\frac{1}{3}}. b^{\frac{1}{3}}+ b^{\frac{2}{3}}\Big)\)
\( = \left( {{a^{\frac{1}{3}}} + {b^{\frac{1}{3}}}} \right)\left[ {{{\left( {{a^{\frac{1}{3}}}} \right)}^2} - {a^{\frac{1}{3}}}{b^{\frac{1}{3}}} + {{\left( {{b^{\frac{1}{3}}}} \right)}^2}} \right]\)
\(= {\Big( a^{\frac{1}{3}} \Big) }^{3} + {\Big( b^{\frac{1}{3}} \Big) }^{3}\)
\(= a + b\)
Câu trả lời của bạn
\(\begin{array}{l}
= \left( {\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}} \right):\left( {2 + \frac{{\sqrt[3]{a}}}{{\sqrt[3]{b}}} + \frac{{\sqrt[3]{b}}}{{\sqrt[3]{a}}}} \right)\\
= \left( {\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}} \right):\frac{{2\sqrt[3]{a}.\sqrt[3]{b} + {{\left( {\sqrt[3]{a}} \right)}^2} + {{\left( {\sqrt[3]{b}} \right)}^2}}}{{\sqrt[3]{{ab}}}}\\
= \left( {\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}} \right):\frac{{{{\left( {\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}} \right)}^2}}}{{\sqrt[3]{{ab}}}}\\
= \left( {\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}} \right).\frac{{\sqrt[3]{{ab}}}}{{{{\left( {\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}} \right)}^2}}}\\
= \frac{{\sqrt[3]{{ab}}}}{{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}}}
\end{array}\)
11^n=121 ; 8^x=2^6 ; 3^2x=9 ; 2^3x+13=15 ; 16.4^x=4^5 ; 3^4.3^x=3^26.9 ; 9<3^x<81
Câu trả lời của bạn
Tính giá trị nhỏ nhất:
a) A=x^2+4x-5
b) B=4x^2 -8x+9
Câu trả lời của bạn
Câu trả lời của bạn
\( \dfrac{10^{2+ \sqrt{7}}}{2^{2 + \sqrt{7}}. 5^{1+\sqrt{7}}}\)
\( = \dfrac{ (2.5)^{2+ \sqrt{7}}}{2^{2 + \sqrt{7}}. 5^{1+\sqrt{7}}}\)
\(= \dfrac{2^{2+ \sqrt{7}}. 5^{2+ \sqrt{7}}}{2^{2 + \sqrt{7}}. 5^{1+\sqrt{7}}}\)
\( = \dfrac{5^{2+ \sqrt{7}}}{5^{1+\sqrt{7}}} \)
\( = 5^{(2+ \sqrt{7}) - ( 1+ \sqrt{7})} \)
\( = 5^1 =5 \).
Câu trả lời của bạn
\( ( 4^{2\sqrt{3}} - 4^{\sqrt{3} - 1}). 2^{-2\sqrt{3}}\)
\( = 4^{2\sqrt{3}}.2^{-2\sqrt{3}} - 4^{\sqrt{3} - 1}.2^{-2\sqrt{3}}\)
\(= \Big(2^{2}\Big)^{2\sqrt{3}}.2^{-2\sqrt{3}} - \Big(2^{2}\Big)^{\sqrt{3} - 1}. 2^{-2\sqrt{3}}\)
\(= 2^{4\sqrt{3}}.2^{-2\sqrt{3}} - 2^{2\sqrt{3} - 2}. 2^{-2\sqrt{3}}\)
\(= 2^{2\sqrt{3}} - 2^ {-2}\)
\(= 2^{2\sqrt{3}} - \dfrac{1}{4}\)
Câu trả lời của bạn
\( 27^{\dfrac{2}{3}} - \Big(-2\Big)^{-2} +\Big(3\dfrac{3}{8}\Big)^{-\dfrac{1}{3}} \)
\( = \Big(3^3\Big)^{\dfrac{2}{3}} - \dfrac{1}{(-2)^2} + \Big(\dfrac{27}{8}\Big)^{-\dfrac{1}{3}} \)
\(= 3^{3.\dfrac{2}{3}} - \dfrac{1}{4} + \Big(\Big(\dfrac{3}{2} \Big)^{3}\Big)^{{-\dfrac{1}{3}}} \)
\( = 3^2 - \dfrac{1}{4} + \Big(\dfrac{3}{2}\Big)^{-1}\)
\(=9 - \dfrac{1}{4} + \dfrac{2}{3}\)
\(= \dfrac{113}{12} \)
Câu trả lời của bạn
Với a và b là các số dương ta có:
\( \dfrac{a^{\dfrac{4}{3}}\Big( a^{\dfrac{-1}{3}} + a^{\dfrac{2}{3}} \Big)} {a^{\dfrac{1}{4}}\Big( a^{\dfrac{3}{4}} + a^{\dfrac{-1}{4}} \Big)}\)
\(= \dfrac{a^{\dfrac{4}{3}}. a^{\dfrac{-1}{3}} + a^{\dfrac{2}{3}}.a^{\dfrac{4}{3}} } {a^{\dfrac{1}{4}}. a^{\dfrac{3}{4}} + a^{\dfrac{1}{4}}. a^{\dfrac{-1}{4}}}\)
\(= \dfrac{a^1 + a^2}{a^1 + a^0} = \dfrac{a\Big( a + 1\Big)}{a + 1} =a \)
Câu trả lời của bạn
\( ( - 0.5)^{{-4}} - 625^{0,25} - \Big(2\dfrac{1}{4}\Big)^{-1\dfrac{1}{2}} \)
\(=\Big( \dfrac{-1}{2}\Big)^{-4} - \Big( 5^{4}\Big)^{0,25} - \Big(\dfrac{9}{4}\Big)^{\dfrac{-3}{2}}\)
\(\begin{array}{l}
= \frac{1}{{{{\left( { - \frac{1}{2}} \right)}^4}}} - {5^{4.0,25}} - {\left( {{{\left( {\frac{3}{2}} \right)}^2}} \right)^{ - \frac{3}{2}}}\\
= \frac{1}{{\frac{1}{{16}}}} - {5^1} - {\left( {\frac{3}{2}} \right)^{2.\left( { - \frac{3}{2}} \right)}}
\end{array}\)
\(= 16 - 5 - \Big( \dfrac{3}{2}\Big)^{-3}\)
\(\begin{array}{l}
= 11 - \frac{1}{{{{\left( {\frac{3}{2}} \right)}^3}}}\\
= 11 - \frac{1}{{\frac{{27}}{8}}}
\end{array}\)
\(= 11 - \dfrac{8}{27} =\dfrac{289}{27}\)
Câu trả lời của bạn
\(\begin{array}{l}
= \left( {\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}} \right):\left( {2 + \frac{{\sqrt[3]{a}}}{{\sqrt[3]{b}}} + \frac{{\sqrt[3]{b}}}{{\sqrt[3]{a}}}} \right)\\
= \left( {\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}} \right):\frac{{2\sqrt[3]{a}.\sqrt[3]{b} + {{\left( {\sqrt[3]{a}} \right)}^2} + {{\left( {\sqrt[3]{b}} \right)}^2}}}{{\sqrt[3]{{ab}}}}\\
= \left( {\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}} \right):\frac{{{{\left( {\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}} \right)}^2}}}{{\sqrt[3]{{ab}}}}\\
= \left( {\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}} \right).\frac{{\sqrt[3]{{ab}}}}{{{{\left( {\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}} \right)}^2}}}\\
= \frac{{\sqrt[3]{{ab}}}}{{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}}}
\end{array}\)
Câu trả lời của bạn
\(\begin{array}{l}
= \left( {{a^{\frac{1}{3}}} + {b^{\frac{1}{3}}}} \right)\left( {{a^{\frac{2}{3}}} - \sqrt[3]{{ab}} + {b^{\frac{2}{3}}}} \right)\\
= \left( {{a^{\frac{1}{3}}} + {b^{\frac{1}{3}}}} \right)\left( {{a^{\frac{2}{3}}} - {{\left( {ab} \right)}^{\frac{1}{3}}} + {b^{\frac{2}{3}}}} \right)
\end{array}\)
\(= \Big( a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}\Big) \Big( a^{\frac{2}{3}} - a^{\frac{1}{3}}. b^{\frac{1}{3}}+ b^{\frac{2}{3}}\Big)\)
\( = \left( {{a^{\frac{1}{3}}} + {b^{\frac{1}{3}}}} \right)\left[ {{{\left( {{a^{\frac{1}{3}}}} \right)}^2} - {a^{\frac{1}{3}}}{b^{\frac{1}{3}}} + {{\left( {{b^{\frac{1}{3}}}} \right)}^2}} \right]\)
\(= {\Big( a^{\frac{1}{3}} \Big) }^{3} + {\Big( b^{\frac{1}{3}} \Big) }^{3}\)
\(= a + b\)
Câu trả lời của bạn
\( \dfrac{ a^{\dfrac{1}{3}}\sqrt{b} + b^{\dfrac{1}{3}}\sqrt{a}}{\sqrt[6]{a} + \sqrt[6]{b}} \)
\(= \dfrac{a^{\dfrac{1}{3}}b^{\dfrac{1}{2}} + b^{\dfrac{1}{3}}a^{\dfrac{1}{2}}}{ a^{\dfrac{1}{6}} + b^{\dfrac{1}{6}}}\)
\(= \dfrac{a^{\dfrac{1}{3}}b^{\dfrac{1}{3}}\Big(b^{\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3}}+ a^{\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3}} \Big)}{a^{\dfrac{1}{6}} + b^{\dfrac{1}{6}}}\)
\(= \dfrac{a^{\dfrac{1}{3}}b^{\dfrac{1}{3}}\Big(b^{\dfrac{1}{6}} +a^{ \dfrac{1}{6}} \Big)}{a^{\dfrac{1}{6}} + b^{\dfrac{1}{6}}}\)
\( = {a^{\frac{1}{3}}}{b^{\frac{1}{3}}} = {\left( {ab} \right)^{\frac{1}{3}}}\) \(=\sqrt[3]{ab} \)
Chứng minh tính chất sau: \(\root n \of a .\root n \of b = \root n \of {ab} \)
Câu trả lời của bạn
Đặt \(\root n \of a = x;\,\root n \of b = y\).
Khi đó: \({x^n} = a;\,\,{y^n} = b\)
Ta có \({(xy)^n} = {x^n}.{y^n} = a.b\). Vậy xy là căn bậc n của ab.
Suy ra \(\root n \of {ab} = xy = \root n \of a .\root n \of b \)
Hãy tính: \({(1,5)^4},{({{ - 2} \over 3})^3},{(\sqrt 3 )^5}\).
Câu trả lời của bạn
\(\eqalign{
& {(1,5)^4} = 5.0625 \cr
& {({{ - 2} \over 3})^3} = {{ - 8} \over {27}} \cr
& {(\sqrt 3 )^5} = 9\sqrt 3 \cr} \)
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *