Phương trình bậc hai một ẩn là một chương rất quan trọng ở chương trình toán lớp 9 cũng như áp dụng của nó vào thực tiễn và đời sống. Ngoài ra còn là kiến thức nền tảng để các em có thêm kiến thức học tốt toán cấp 3
Đồ thị hàm số \(y=ax^2 (a\neq 0)\) là tập hợp gồm tất cả các điểm \(M(x_{M}; ax_{M}^{2})\). Để xác định một điểm thuộc đồ thị, ta lấy một giá trị của x làm hoành độ và thay vào phương trình \(y=ax^2\) để tìm ra giá trị tung độ.
Phương trình bậc hai một ẩn (gọi tắt là phương trình bậc hai) là phương trình có dạng \(ax^2+bx+c=0\)
Trong đó, x là ẩn; các hệ số a, b, c là các số cho trước và \(a\neq 0\)
Với phương trình \(ax^2+bx+c=0 (a\neq 0)\) và biệt thức \(\Delta =b^2-4ac\):
\(\Delta>0\) thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt:
\(x_{1}=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}\); \(x_{2}=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}\)
\(\Delta=0\) thì phương trình có nghiệm kép \(x=x_{1}=x_{2}=-\frac{b}{2a}\)
\(\Delta<0\) phương trình vô nghiệm.
Với các phương trình bậc hai \(ax^2+bx+c=0(a\neq 0)\) và \(b=2b'\), \(\Delta '=b'^2-ac\) thì:
Nếu \(\Delta '>0\) thì phương trình có hai nghiệm phân biệt
\(x_{1}=\frac{-b'+\sqrt{\Delta '}}{a}; x_{2}=\frac{-b'-\sqrt{\Delta '}}{a}\)
Nếu \(\Delta '=0\) thì phương trình có nghiệm kép \(x=\frac{-b'}{a}\)
Nếu \(\Delta '<0\) thì phương trình vô nghiệm.
Phương trình bậc hai \(ax^2+bx+c=0(a\neq 0)\) có 2 nghiệm phân biệt
\(x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}; x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}\)
Ta có: \(x_1+x_2=\frac{-2b+\sqrt{\Delta }-\sqrt{\Delta }}{2a}=-\frac{b}{a}\)
\(x_1.x_2=\frac{b^2-\Delta }{4a^2}=\frac{4ac}{4a^2}=\frac{c}{a}\)
Nếu \(x_1;x_2\) là hai nghiệm của phương trình \(ax^2+bx+c=0 (a\neq 0)\) thì:
\(x_1+x_2=-\frac{b}{a}\)
và \(x_1.x_2=\frac{c}{a}\)
Nếu phương trình \(ax^2+bx+c=0 (a\neq 0)\) có \(a+b+c=0\) thì phương trình có một nghiệm là \(x_1=1\) và nghiệm kia là \(x_2=\frac{c}{a}\).
Nếu phương trình \(ax^2+bx+c=0 (a\neq 0)\) có \(a-b+c=0\) thì phương trình có một nghiệm là \(x_1=-1\) và nghiệm kia là \(x_2=-\frac{c}{a}\).
a. Phương trình trùng phương
Định nghĩa
Phương trình trùng phương là phương trình có dạng: \(ax^4+bx^2+c=0 (a\neq 0)\)
b. Phương trình chứa ẩn ở mẫu
Các bước để giải phương trình chứa ẩn ở mẫu đã học ở lớp 8
Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình
Bước 2: Quy đồng hai vế rồi khử mẫu
Bước 3: Giải phương trình vừa nhận được
Bước 4: So sánh điều kiện ban đầu rồi kết luận nghiệm
c. Phương trình tích
Nhắc lại kiến thức đã học ở lớp dưới:
Biến đổi phương trình về dạng \(A.B.C.....=0\) rồi suy ra hoặc \(A=0\) hoặc \(B=0\) hoặc.....
Phương pháp giải
Để giải bài toán bằng cách lập phương trình, chúng ta làm theo các bước sau:
Bước 1: Lập phương trình
Chọn ẩn và đặt điều kiện cho ẩn
Biểu đạt các đại lượng khác nhau theo ẩn
Dựa vào đề bài toán, lập phương trình theo dạng đã học
Bước 2: Giải phương trình
Bước 3: So sánh kết quả tìm được và chọn nghiệm thích hợp
Bài 1: Cho hàm số \(y=-x^2\) và đường thẳng \(y=-4x+4\). Tìm giao điểm của hai đồ thị đó bằng hình vẽ và đồ thị
Hướng dẫn:Vẽ hình HS tự vẽ.
Tìm giao điểm: Phương trình hoành độ giao điểm: \(-x^2=-4x+4\Leftrightarrow x^2-4x+4=0\)
Tính biệt thức \(\Delta=0\) suy ra phương trình có nghiệm kép \(x=2\Rightarrowy=-4\).
Vậy khi vẽ hình, ta chỉ nhận được một giao điểm. Sau này lên cấp trên, các em sẽ được biết đường thẳng trên là tiếp tuyến của hàm số.
Bài 2: Giải phương trình bằng cách phân tích đa thức thành nhân tử: \(x^2-11x-12=0\)
Hướng dẫn:\(x^2-11x-12=0\)
\(\Leftrightarrow x^2-12x+x-12=0\)
\(\Leftrightarrow x(x-12)+x-12=0\)
\(\Leftrightarrow (x+1)(x-12)=0\)
Vậy phương trình trên có hai nghiệm phân biệt là \(x=-1;x=12\)
Bài 3:
Giải phương trình: \(x^2+10x+25=0\); \(x^2-4x-9=0\)
Hướng dẫn: \(x^2+10x+25=0\)
Giải: \(\Delta =10^2-4.1.25=0\) \(\Rightarrow x=\frac{-0}{2}=-5\)
\(x^2-4x-9=0\)
Giải: \(\Delta =(-4)^2-4.1.(-9)=52\Rightarrow \sqrt{\Delta }=2\sqrt{13}>0\)
\(\Rightarrow x_{1}=\frac{-(-4)+2\sqrt{13}}{2}=2+\sqrt{13};x_{2}=\frac{-(-4)-2\sqrt{13}}{2}=2-\sqrt{13}\)
Bài 4:
Tìm hai số biết hiệu của chúng là 5 và tích của chúng là 150
Hướng dẫn: Gọi hai số cần tim là a, b
Ta có \(\left\{\begin{matrix} a-b=5\\ ab=150 \end{matrix}\right.\)
Thế \(a=5+b\) vào phương trình tích, ta được \(b(b+5)=150\Leftrightarrow b^2+5b-150=0\)
\(\Rightarrow b=-15\) hoặc \(b=10\)
\(b=-15\Rightarrow a=-10\)
\(b=10\Rightarrow a=15\)
Bài 5:
Giải phương trình trùng phương sau: \(x^4-4x^2-5=0\)
Hướng dẫn: Đặt \(t=x^2 (t\geq 0)\)
Khi đó, phương trình trở thành: \(t^2-4t-5=0\)
Giải phương trình bậc hai cơ bản trên, ta được:
\(t=-1\) (loại)
\(t=5\) (nhận)\(\Rightarrow x=\pm \sqrt{5}\)
Để cũng cố bài học, xin mời các em cũng làm bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 9 Chương 4 Bài 9 với những câu hỏi củng cố bám sát nội dung bài học. Bên cạnh đó các em có thể nêu thắc mắc của mình thông qua phần Hỏi đáp Toán 9 Chương 4 Bài 9 cộng đồng Toán DapAnHay sẽ sớm giải đáp cho các em.
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 9 Chương 4 Bài 9 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Toán 9
-- Mod Toán Học 9 DapAnHay
Tọa độ giao điểm của phương trình hàm số \(y=x^2\) và đường thẳng \(y=8\) là:
Tập nghiệm của phương trình \(x^2< 100\) là:
Với giá trị nào của m thì phương trình bậc hai \(x^2+6x-m=0\) vô nghiệm?
Tổng và tích 2 nghiệm của phương trình \(x^2+2016x-2017=0\) lần lượt là:
Tìm hai số biết tổng bằng 30 và tổng bình phương bằng 468.
Hãy vẽ đồ thị của các hàm số \(y = 2x^2, y = -2x^2.\) Dựa vào đồ thị để trả lời các câu hỏi sau:
a) Nếu a > 0 thì hàm số \(y = ax^2\) đồng biến khi nào? Nghịch biến khi nào?
Với giá trị nào của x thì hàm số đạt giá trị nhỏ nhất? Có giá trị nào của x để hàm số đạt giá trị lớn nhất không?
Nếu a < 0 thì hàm số đồng biến khi nào? Nghịch biến khi nào? Với giá trị nào của x thì hàm số đạt giá trị lớn nhất? Có giá trị nào của x để hàm số đạt giá trị nhỏ nhất không?
b) Đồ thị của hàm số \(y = ax^2\) có những đặc điểm gì (trường hợp a > 0 , trường hợp a < 0)
Đối với phương trình bậc hai \(ax^2 + bx + c = 0 (a ≠ 0),\) hãy viết công thức tính \(Δ, Δ'.\)
Khi nào thì phương trình vô nghiệm?
Khi nào phương trình có hai nghiệm phân biệt? Viết công thức nghiệm.
Khi nào phương trình có nghiệm kép? Viết công thức nghiệm.
Vì sao khi a và c trái dấu thì phương trình có hai nghiệm phân biệt?
Viết hệ thức Vi-et đối với các nghiệm của phương trình bậc hai \(ax^2 + bx + c = 0 (a ≠ 0),\)
Nêu điều kiện để phương trình \(ax^2 + bx + c = 0 (a ≠ 0),\) có một nghiệm bằng 1. Khi đó, viết công thức nghiệm thứ hai. Áp dụng: nhẩm nghiệm của phương trình \(1954x^2 + 21x – 1975 = 0\)
Nêu điều kiện để phương trình \(ax^2 + bx + c = 0 (a ≠ 0),\) có một nghiệm bằng -1. Khi đó, viết công thức nghiệm thứ hai. Áp dụng: nhẩm nghiệm của phương trình \(2005x^2 + 104x – 1901 = 0\)
Nêu cách tìm hai số, biết tổng S và tích P của chúng.
Tìm hai số u và v trong mỗi trường hợp sau:
\(\begin{array}{l}
a)\left\{ \begin{array}{l}
u + v = 3\\
uv = - 8
\end{array} \right.\\
b)\left\{ \begin{array}{l}
u + v = 5\\
uv = 10
\end{array} \right.
\end{array}\)
Nêu cách giải phương trình trùng phương \(ax^4 + bx^2 + c = 0,(a ≠ 0)\)
Vẽ đồ thị của hàm số \(\displaystyle y = {1 \over 4}{x^2}\) và \(\displaystyle y = - {1 \over 4}{x^2}\) trên cùng một hệ trục tọa độ
a) Qua điểm \(B(0; 4)\) kẻ đường thẳng song song với trục Ox. Nó cắt đồ thị của hàm số \(\displaystyle y = {1 \over 4}{x^2}\) tại hai điểm M và M’. Tìm hoành độ của M và M’.
b) Tìm trên đồ thị của hàm số \(\displaystyle y = - {1 \over 4}{x^2}\) điểm N có cùng hoành độ với M, điểm N’ có cùng hoành độ với M’. Đường thẳng NN’ có song song với Ox không? Vì sao? Tìm tung độ của N và N’ bằng hai cách:
- Ước lượng trên hình vẽ:
- Tính toán theo công thức.
Cho phương trình: x2 - x - 2 = 0.
a) Giải phương trình.
b) Vẽ hai đồ thị y = x2 và y = x + 2 trên cùng một hệ trục tọa độ.
c) Chứng tỏ rằng hai nghiệm tìm được trong câu a) là hoành độ giao điểm của hai đồ thị.
Giải các phương trình:
a) 3x4 – 12x2 + 9 = 0;
b) 2x4 + 3x2 – 2 = 0;
c) x4 + 5x2 + 1 = 0.
Giải các phương trình:
a) \(5{{\rm{x}}^2} - 3{\rm{x}} + 1 = 2{\rm{x}} + 11\)
b) \({{{x^2}} \over 5} - {{2{\rm{x}}} \over 3} = {{x + 5} \over 6}\)
c) \({x \over {x - 2}} = {{10 - 2{\rm{x}}} \over {{x^2} - 2{\rm{x}}}}\)
d) \({{x + 0,5} \over {3{\rm{x}} + 1}} = {{7{\rm{x}} + 2} \over {9{{\rm{x}}^2} - 1}}\)
e) \(2\sqrt 3 {x^2} + x + 1 = \sqrt 3 \left( {x + 1} \right)\)
f) \({x^2} + 2\sqrt 2 x + 4 = 3\left( {x + \sqrt 2 } \right)\)
Giải các phương trình
a) \(1,2{{\rm{x}}^3} - {x^2} - 0,2{\rm{x}} = 0\)
b) \(5{{\rm{x}}^3} - {x^2} - 5{\rm{x}} + 1 = 0\)
Giải các phương trình bằng cách đặt ẩn phụ:
a) \(2{\left( {{x^2} - 2{\rm{x}}} \right)^2} + 3\left( {{x^2} - 2{\rm{x}}} \right) + 1 = 0\)
b) \({\left( {x + {1 \over x}} \right)^2} - 4\left( {x + {1 \over x}} \right) + 3 = 0\)
Với mỗi phương trình sau, đã biết một nghiệm (ghi kèm theo), hãy tìm nghiệm kia:
a) \(12{{\rm{x}}^2} - 8{\rm{x}} + 1 = 0;{x_1} = {1 \over 2}\)
b) \(2{{\rm{x}}^2} - 7{\rm{x}} - 39 = 0;{x_1} = - 3\)
c) \({x^2} + x - 2 + \sqrt 2 = 0;{x_1} = - \sqrt 2 \)
d) \({x^2} - 2m{\rm{x}} + m - 1 = 0;{x_1} = 2\)
Tìm hai số u và v trong mỗi trường hợp sau:
a) \(u + v = 12\); \(uv = 28\) và \(u > v\)
b) \(u + v = 3; uv = 6\)
Cho phương trình \(7x^2 + 2(m – 1)x – m^2= 0\)
a) Với giá trị nào của \(m\) thì phương trình có nghiệm?
b) Trong trường hợp phương trình có nghiệm, dùng hệ thức Vi-ét, hãy tính tổng các bình phương hai nghiệm của phương trình theo \(m\).
Sau hai năm, số dân của một thành phố tăng từ \(2 000 000\) người lên \(2 020 050\) người. Hỏi trung bình mỗi năm dân số của thành phố đó tăng bao nhiêu phần trăm?
Bài toán yêu cầu tìm tích của một số dương với một số lớn hơn nó 2 đơn vị, nhưng bạn Quân nhầm đầu bài lại tính tích của một số dương với một số bé hơn nó 2 đơn vị. Kết quả của bạn Quân là 120. Hỏi nếu làm đúng đầu bài đã cho thì kết quả phải là bao nhiêu?
Một xe lửa đi từ Hà Nội vào Bình Sơn (Quảng Ngãi). Sau đó 1 giờ, một xe lửa khác đi từ Bình Sơn ra Hà Nội với vận tốc lớn hơn vận tốc của xe lửa thứ nhất là 5km/h. Hai xe gặp nhau tại một ga ở chính giữa quãng đường. Tìm vận tốc của mỗi xe, giả thiết rằng quãng đường Hà Nội – Bình Sơn dài 900km.
Cho tam giác ABC có BC = 16cm , đường cao AH = 12 cm. Một hình chữ nhật MNPQ có đỉnh M thuộc cạnh AB, đỉnh N thuộc cạnh AC còn hai đỉnh P và Q thuộc cạnh BC (h.17). Xác định vị trí của điểm M trên cạnh AB sao cho diện tích của hình chữ nhật đó bằng 36cm2.
Cho hai hàm số: \(y = 2x - 3\) và \(y = - {x^2}\)
a) Vẽ đồ thị hai hàm số này trong cùng một mặt phẳng tọa độ.
b) Tìm tọa độ các giao điểm của hai đồ thị.
c) Kiểm nghiệm rằng tọa độ của mỗi giao điểm đều là nghiệm chung của hai phương trình hai ẩn y = 2x – 3 và \(y = - {x^2}\)
Giải các phương trình:
a) \(3{x^2} + 4\left( {x - 1} \right) = {\left( {x - 1} \right)^2} + 3\)
b) \({x^2} + x + \sqrt 3 = \sqrt 3 x + 6\)
c) \({{x + 2} \over {1 - x}} = {{4{x^2} - 11x - 2} \over {\left( {x + 2} \right)\left( {x - 1} \right)}}\)
d) \({{{x^2} + 14x} \over {{x^3} + 8}} = {x \over {x + 2}}\)
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
Cho x,y thỏa mãn : x>8y>0
Tìm min của P= x+\(\dfrac{1}{y\left(x-8y\right)}\)
Câu trả lời của bạn
vì x>8y>0 nên x-8y>0
Ta có : P=\(x+\dfrac{1}{y\left(x-8y\right)}\)= x-8y+8y+ \(\dfrac{1}{y\left(x-8y\right)}\)
ÁP dụng BĐT côsy cho 3 số dương dạng a+b+c\(\ge\) 3\(\sqrt[3]{abc}\) ta đc:
P \(\ge\)3\(\sqrt[3]{\left(x-8y\right).8y.\dfrac{1}{y\left(x-8y\right)}}\)\(\ge\) 3.2=6
Vậy Pmin=6 khi đó dấu "=" xẫy ra khi : \(x-8y=8y=\dfrac{1}{y\left(x-8y\right)}\)
<=> \(\left\{{}\begin{matrix}x=4\\y=\dfrac{1}{4}\end{matrix}\right.\)
Lập 1 phương trình bậc hai với các hệ số nguyên , trong đó :
a) \(2+\sqrt{3}\) là 1 nghiệm của phương trình
b) \(6-4\sqrt{2}\) là 1 nghiệm của phương trình
Câu trả lời của bạn
Phùng Khánh LinhDƯƠNG PHAN KHÁNH DƯƠNGAki TsukiMặc Chinh VũNào Ai BiếtNhã DoanhAkai Haruma
Lời giải:
Với dạng pt \(ax^2+bx+c=0\) (\(a,b,c\in\mathbb{Z})\) thì pt sẽ có 2 nghiệm:
\(x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}; x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\)
a) \(x=2+\sqrt{3}\) là một nghiệm:
Do \(\frac{-b}{2a}\in\mathbb{Q}\)\(\Rightarrow \frac{-b}{2a}=2; \frac{\sqrt{\Delta}}{2a}=\sqrt{3}\)
Suy ra nghiệm còn lại là: \(x_2=2-\sqrt{3}\)
Ta có: \(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=2+\sqrt{3}+2-\sqrt{3}=4\\ x_1x_2=1\end{matrix}\right.\)
Theo đl Viete đảo, $x_1,x_2$ là nghiệm của: \(x^2-4x+1=0\)
b) Tương tự như phần a
Phương trình: \(x^2-12x+4=0\)
Tìm tất cả các cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn PT: \(x^4+y^3=xy^3+1\)
Câu trả lời của bạn
Lời giải:
Ta có:
\(x^4+y^3=xy^3+1\)
\(\Leftrightarrow (x^4-1)+(y^3-xy^3)=0\)
\(\Leftrightarrow (x-1)(x+1)(x^2+1)-y^3(x-1)=0\)
\(\Leftrightarrow (x-1)[(x+1)(x^2+1)-y^3]=0\)
TH1: \(x-1=0\Leftrightarrow x=1\)
Thay vào PT ban đầu suy ra \(1+y^3=y^3+1\) (đúng với mọi số nguyên $y$)
TH2: \((x+1)(x^2+1)-y^3=0\)
\(\Leftrightarrow y^3=x^3+x^2+x+1\)
Ta thấy: \(x^2+x+1=(x+\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}\geq \frac{3}{4}>0\)
Suy ra \(y^3=x^3+x^2+x+1>x^3\)
Mặt khác xét
\((x+2)^3-(x^3+x^2+x+1)=5x^2+11x+7=5(x+\frac{11}{10})^2+\frac{19}{20}>0\)
\(\Rightarrow (x+2)^3>x^3+x^2+x+1\Leftrightarrow (x+2)^3> y^3\)
Do đó \((x+2)^3> y^3> x^3\Rightarrow \) theo nguyên lý kẹp thì \(y^3=(x+1)^3\)
\(\Leftrightarrow x^3+x^2+x+1=(x+1)^3\)
\(\Leftrightarrow 2x^2+2x=0\Leftrightarrow x=0; x=-1\)
Nếu \(x=0\Rightarrow y^3=1\Rightarrow y=1\)
Nếu \(x=-1\Rightarrow y^3=0\Leftrightarrow y=0\)
Vậy \((x,y)\in \left\{(1;y); (0; 1); (-1; 0)\right\}\)
1) viet phuong trinh duong thang di qua M(-1;1) va vuong goc voi duong thang y=2x-1
2)viet phuong trinh duong thang (d) song song duong thang y=3x+1 cat truc tung tai diem co tung do la 4
3) tim m de y=mx+1 va y=2x-1 cat nhau tai diem thuoc y=-x
Câu trả lời của bạn
1) gọi đường thẳng cần tìm là y=ax+b(d1)
vì đt d1 vuông góc vs đt y=2x-1 nên:
a.2=-1 <=> a= \(\dfrac{-1}{2}\)
vì đt d1 đi qua điểm M (-1;1) nên ta có pt:
1=\(\dfrac{-1}{2}\) .(-1)+b <=> b=\(\dfrac{1}{2}\)
Vậy h/s cần tìm là y=\(\dfrac{-1}{2}\) x+\(\dfrac{1}{2}\)
2) gọi đường thẳng cần tìm là y=ax+b(d)
vì đt d // đt y=3x+1 nên:
a=3
vì đt d cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 4 nên : b=4
vậy h/s cần tìm là y=3x+4
3) đk :m\(\ne\)2
vì đt y=2x-1 cắt tại tung độ tại điểm có tung độ bằng -x nên ta có pt :
-x=2x-1 <=> x=\(\dfrac{1}{3}\)
Ta có đt y=mx+1 cắt tại tung độ tại điểm có tung độ bằng -x nên ta có pt :
-\(\dfrac{1}{3}\) =m.\(\dfrac{1}{3}\) +1 <=> m=-4 (tmđk )
Vậy để y=mx+1 va y=2x-1 cắt nhau tại điểm thuộc y=-x thì m= -4
Tìm nghiệm nguyên dương của pt \(\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{50}\)
Câu trả lời của bạn
Ta có : \(\sqrt{x}+\sqrt{y}=5\sqrt{2}\)
Mà \(5\sqrt{2}\) là số vô tỷ nên => VT phải có căn thức đồng dạng chứa \(\sqrt{2}\)
Đặt: \(\sqrt{x}=a\sqrt{2}\) ; \(\sqrt{y}=b\sqrt{2}\) \(\Rightarrow a+b=5\)
Xét các TH :
a = 1=> b = 4
a = 2 => b = 3
a = 3 => b= 2
a= 4 => b = 1
Thay a và b vào thì ta sẽ tìm được giá trị nguyên dương của x và y
(X2 -16)2= 16x+1
Giúp mình bài này với!!! Cần gấp ạ
Cảm ơn nhiều!!!
Câu trả lời của bạn
khai triển ra đc:
\(x^4-32x-16x+16^2-1=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-5\right)\left(x^3+5x^2-7x-51\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-5\right)\left(x-3\right)\left(x^2+8x+17\right)=0\)
21. Cho pt x2-2x+k-1=0. Xác định k để:
a) Phương trình có 2 nghiệm phân biệt cùng dấu
b) Phương trình có 2 nghiệm trái dấu
Câu trả lời của bạn
Lời giải:
Trước tiên, để pt có hai nghiệm phân biệt thì :
\(\Delta'=1-(k-1)>0\Leftrightarrow 2-k>0\Leftrightarrow k< 2(*)\)
Khi đó, áp dụng định lý Viete cho pt bậc 2 , với $x_1,x_2$ là hai nghiệm của pt ta có: \(x_1x_2=k-1\)
a) PT có hai nghiệm cùng dấu khi mà:
\(x_1x_2>0\Leftrightarrow k-1>0\Leftrightarrow k>1\)
Kết hợp với điều kiện \((*)\Rightarrow 1< k< 2\)
b) PT có hai nghiệm trái dấu khi mà:
\(x_1x_2< 0\Leftrightarrow k-1< 0\Leftrightarrow k< 1\)
Kết hợp với \((*)\Rightarrow k< 1\)
\(x^4-2mx^2+2m-1=0 \) (1)
Tìm m để pt (1) có 4 nghiệm x1; x2 ;x3 ;x4 sao cho x1<x2<x3<x4 và x4 - x1= 3
Câu trả lời của bạn
a, Đặt x2=t(t≥0)x2=t(t≥0)
x4−2mx2+2m−1=0x4−2mx2+2m−1=0
⟺t2−2mt+2m−1=0⟺t2−2mt+2m−1=0 (**)
Để phương trình có 4 nghiệm phân biệt thì Δ′>0⟺m2−2m+1>0⟺(m−1)2>0⟺m≠1Δ′>0⟺m2−2m+1>0⟺(m−1)2>0⟺m≠1 (1)
Và {t1t2=2m−1>0t1+t2=2m>0 (∗){t1t2=2m−1>0t1+t2=2m>0 (∗)
⟺m>12⟺m>12 (2)
Phương trình bậc 4 trùng phương thì có 4 nghiệm trong đó có 2 cặp nghiệm là số đối của nhau.
Mà x1<x2<x3<x4→{x1=−x4x2=−x3x1<x2<x3<x4→{x1=−x4x2=−x3
x4−x3=x3−x2→x4=3x3x4−x3=x3−x2→x4=3x3
TT: x1=3x2x1=3x2
→x1.x4=9x2.x3→t1=9t2→x1.x4=9x2.x3→t1=9t2 ( với t1;t2t1;t2 là 2 nghiệm của pt(**))
Đến đây thay vào (*) bên trên ta được hệ:
⟺{9t22=2m−15t2=m⟺{9t22=2m−15t2=m
→9(2)2−25(1)⟺9m2−50m+25=0⟺(9m−5)(m−5)=0→9(2)2−25(1)⟺9m2−50m+25=0⟺(9m−5)(m−5)=0
⟺m=59⟺m=59 v m=5m=5 (cả 2 đều thỏa mãn)
∙∙ Với m=59⟺x=±1m=59⟺x=±1 v x=±13x=±13
∙∙ Với m=5⟺x=±1m=5⟺x=±1 v x=±3
Cho PT : \(x^2-2\left(m+4\right)+m^2+8=0\) .Xác định m để phương trình 2 nghiệm x1 và x2 thõa mãn :
a) \(A=x_1+x_2+x_1\cdot x_2\)đạt giá trị lớn nhất
b)\(B=x_1^2+x_2^2-2\) đạt giá trị nhỏ nhất
c) Tìm hệ thức liên hệ x1 và x2
Câu trả lời của bạn
đề có thiếu không bạn
Tích các nghiệm của phương trình:
\(\sqrt{x-2\sqrt{x}+1}+\sqrt{x}=1\)
Câu trả lời của bạn
điều kiện xác định \(x\ge0\)
ta có : \(\sqrt{x-2\sqrt{x}+1}+\sqrt{x}=1\Leftrightarrow\sqrt{\left(\sqrt{x}-1\right)^2}+\sqrt{x}-1=0\)
\(\Leftrightarrow\left|\sqrt{x}-1\right|+\sqrt{x}-1=0\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}2\sqrt{x}-2=0\left(x\ge1\right)\\0=0\left(0\le x< 1\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\\1>x\ge0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow0\le x\le1\)
\(\Rightarrow\) thằng nào tìm được tất cả các tích tao cho money
Giải bất phương trình :
\(\left\{{}\begin{matrix}-\dfrac{3}{x-y}+\dfrac{2}{2x+y}=-2\\\dfrac{4}{x-y}-\dfrac{10}{2x+y}=2\end{matrix}\right.\)
Câu trả lời của bạn
Đây là hệ phương trình bạn nhé :v
Đặt : \(\dfrac{1}{x-y}=a\) ; \(\dfrac{1}{2x+y}=b\) . Phương trình trở thành :
\(\left\{{}\begin{matrix}-3a+2b=-2\\4a-10b=2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-15a+10b=-10\left(1\right)\\4a-10b=2\left(2\right)\end{matrix}\right.\)
Lấy \(\left(1\right)+\left(2\right)\Leftrightarrow-11a=-8\Leftrightarrow a=\dfrac{8}{11}\)
Thay \(a=\dfrac{8}{11}\) vào phương trình (2) ta được :
\(4.\dfrac{8}{11}-10b=2\Rightarrow b=\dfrac{\dfrac{32}{11}-2}{10}=\dfrac{1}{11}\)
Ta tiếp tục có hệ :
\(\left\{{}\begin{matrix}a=\dfrac{8}{11}\\b=\dfrac{1}{11}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x-y}=\dfrac{8}{11}\\\dfrac{1}{2x+y}=\dfrac{1}{11}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-y=\dfrac{11}{8}\\2x+y=11\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{33}{8}\\y=\dfrac{11}{4}\end{matrix}\right.\)
Vậy \(x=\dfrac{33}{8};y=\dfrac{11}{4}\)
Câu 1: Tìm các giá trị của m để phương trình 2x2 - ( 4m + 3)x + 2m2 - 1 = 0 có nghiệm ?
Câu 2: Tìm các giá trị của n để phương trình 2x2 + 3x + n = 0 có nghiệm ?
Câu trả lời của bạn
Câu 1 :
\(\Delta=\left(4m+3\right)^2-4.2.\left(2m^2-1\right)\)
\(=16m^2+24m+9-16m^2+8\)
\(=24m+17\)
Để phương trình có nghiệm thì :
\(24m+17\ge0\)
\(\Leftrightarrow24m\ge-17\)
\(\Leftrightarrow m\ge-\dfrac{17}{24}\)
Câu 2 :
\(\Delta=3^2-4.2.n\)
\(=9-8n\)
Để phương trình có nghiệm thì :
\(9-8n\ge0\)
\(\Leftrightarrow-8n\ge-9\)
\(\Leftrightarrow n\le\dfrac{9}{8}\)
Giải phương trình :
(-4x+1)(3x-7)=0
(2-3x)(x+4)=0
Câu trả lời của bạn
Giải:
a) \(\left(-4x+1\right)\left(3x-7\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}-4x+1=0\\3x-7=0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{1}{4}\\x=\dfrac{7}{3}\end{matrix}\right.\)
Vậy ...
b) \(\left(2-3x\right)\left(x+4\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}2-3x=0\\x+4=0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{2}{3}\\x=-4\end{matrix}\right.\)
Vậy ...
Cho phương trình \(x^2-2x-2m-1=0\) (1) (với x là ẩn, m là tham số). Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt \(x_1;x_2\) thỏa mãn: \(\dfrac{x^2_1+\left(2m+5\right)x_2+2m}{2}+\dfrac{2}{x^2_2+\left(2m+5\right)x_1+2m}=\dfrac{122}{11}\)
Câu trả lời của bạn
phương trình đâu vậy bạn
cho phương trình : \(x^2-2\left(m-1\right)x-3=0\)
a, chứng minh rằng : phương trình luôn có hai nghiệm với m
b, tìm m để phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1,x2 thỏa mãn \(x1^2+x2^2\ge10\)
Câu trả lời của bạn
a) vì ac = -3 < 0 nên pt luôn có 2 nghiệm với mọi m
b) Theo đl Vi-et: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m-2\\x_1x_2=-3\end{matrix}\right.\)
\(x_1^2+x_2^2\ge10\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2\ge10\)
\(\Leftrightarrow4\left(m-1\right)^2+6\ge10\Leftrightarrow m^2-2m\ge0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m\le0\\m\ge2\end{matrix}\right.\)
kl:......
Cho (p) y = \(\dfrac{1}{4}x^2\) , (d) y = mx + 1
a. C/minh m sao cho d luôn cắt p tại 2 điểm phân biệt
b. A, B là 2 giao điểm của (d) và (p). Tính diện tích tam giác AOB
P/s: cần câu b câu giải đc
Câu trả lời của bạn
1) giải phương trình giao điểm của 2 đường tức giải phương trinh
1/4x^2=mx+1<=> 1/4^2-mx-1=0
tính denta =m^2+1/4 >0 mọi m
suy ra phương trình đã cho luôn có nghiệm tức 2 parabol luôn cắt đường thẳng d
2)thứ nhất bạn tìm khoảng cách từ điểm O tới đường thẳng d
khi do dO/d=1/căn (m^2+1)
gọi x1,x2 là tọa độ giao điểm, vì A,B là giao điểm của 2 đường nên A,B thuộc P suy ra
A(x1, 1/4 X1^2) B(x2,1/4X2^2)
độ dai đoạn AB = căn [( x2-x1)^2 + 1/16(x2^2-x1^2)^2]
tới đây b có thể tự giải được rồi chứ, m khuyên b nên dùng định lí viet giải nha. x1 , x2 chính là nghiệm của phương trinh trong phần 1,
còn diện tích thì tính khoảng cáh từ O tời d nhân với độ dài đoạn AB chia đôi là xong rồi đấy
Tìm nghiệm nguyên của PT: \(x\left(1+x+x^2\right)=4xy\)
Câu trả lời của bạn
+) Với x = 0 pt đúng với mọi y \(\in\) Z
+) Xét x \(\ne\) 0:
pt <=> 1 + x + x2 = 4y
<=> 1 + x(x + 1) = 4y (1)
Dễ thấy: với mọi số nguyên x thì VT (1) chia 2 dư 1, VP (1) chia hết cho 2 với mọi số nguyên y. Do đó (1) vô nghiệm
Vậy pt có nghiệm nguyên \(\left\{{}\begin{matrix}x=0\\y\in Z\end{matrix}\right.\)
Giải bất phương trình :
\(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x+3}-2\sqrt{y+1}=2\\2\sqrt{x+3}+\sqrt{y+1}=4\end{matrix}\right.\)
Câu trả lời của bạn
Cái này là hệ phương trình bạn nhé :
\(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x+3}-2\sqrt{y+1}=2\\2\sqrt{x+3}+\sqrt{y+1}=4\end{matrix}\right.\) (I)
ĐKXĐ : \(x\ge-3;y\ge-1\)
Hệ (I) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2\sqrt{x+3}-4\sqrt{y+1}=4\left(1\right)\\2\sqrt{x+3}+\sqrt{y+1}=4\left(2\right)\end{matrix}\right.\)
Trừ phương trình (1) cho phương trình (2)
\(\Rightarrow-5\sqrt{y+1}=0\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{y+1}=0\)
\(\Leftrightarrow y+1=0\)
\(\Leftrightarrow y=-1\left(TM\right)\)
Thay y = 1 vào (2). ta được :
\(2\sqrt{x+3}+\sqrt{-1+1}=4\)
\(\Leftrightarrow2\sqrt{x+3}=4\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{x+3}=2\)
\(\Rightarrow x+3=4\)
\(\Leftrightarrow x=1\left(TM\right)\)
Vậy (x;y) là (1;-1)
Giúp em bài này với: Cho parabol (P) : y=x2 . Tìm toạ độ các điểm M thuộc (P) trog các trg hợp sau, biết M có:
1) Tung độ bằng 2 lần hoành độ
2) tung độ gấp 3 lần hoành độ
3) tung độ và hoành độ bằng nhau
4) tug độ và hoành độ là 2 số đối nhau
5) 2 lần tung độ bằng 3 lần hoành độ
Câu trả lời của bạn
1) y =2 x <=> x^2 = 2x => x =0(l) ; x =2 => M1(2;4)
2) y =3 x <=> x^2 = 3x => x =0(l) ; x =2 => M2(3;9)
3) y = x <=> x^2 = x => x =0 ; x =1 =>M31(0;0); M32(1;1)
4) y =- x <=> x^2 = -x => ; x =-1 => M1(-1;1)
5) 2y =3 x <=> 2x^2 = 3x => ; x =3/2 => M5(3/2;9/4)
tìm nghiệm nguyên dương của phương trình
x6-x4+2x3+2x2=y2
Câu trả lời của bạn
Lời giải:
PT \(\Leftrightarrow x^4(x^2-1)+2x^2(x+1)=y^2\)
\(\Leftrightarrow x^4(x-1)(x+1)+2x^2(x+1)=y^2\)
\(\Leftrightarrow x^2(x+1)(x^3-x^2+2)=y^2\)
\(\Leftrightarrow x^2(x+1)[(x^3+1)-(x^2-1)]=y^2\)
\(\Leftrightarrow x^2(x+1)(x+1)(x^2-x+1-x+1)=y^2\)
\(\Leftrightarrow x^2(x+1)^2(x^2-2x+2)=y^2\)
Do đó $x^2-2x+2=t^2$ ( \(t\in\mathbb{N}^*)\)
\(\Leftrightarrow (x-1)^2+1=t^2\Rightarrow (t-x+1)(t+x-1)=1\)
Xét TH ta dễ dàng suy ra \(x=1\)
Thay vào pt ban đầu suy ra \(y^2=4\Rightarrow y=2\) (do $y$ dương)
Vậy $(x,y)=(1,2)$
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *