Phương trình bậc hai một ẩn là một chương rất quan trọng ở chương trình toán lớp 9 cũng như áp dụng của nó vào thực tiễn và đời sống. Ngoài ra còn là kiến thức nền tảng để các em có thêm kiến thức học tốt toán cấp 3
Đồ thị hàm số \(y=ax^2 (a\neq 0)\) là tập hợp gồm tất cả các điểm \(M(x_{M}; ax_{M}^{2})\). Để xác định một điểm thuộc đồ thị, ta lấy một giá trị của x làm hoành độ và thay vào phương trình \(y=ax^2\) để tìm ra giá trị tung độ.
Phương trình bậc hai một ẩn (gọi tắt là phương trình bậc hai) là phương trình có dạng \(ax^2+bx+c=0\)
Trong đó, x là ẩn; các hệ số a, b, c là các số cho trước và \(a\neq 0\)
Với phương trình \(ax^2+bx+c=0 (a\neq 0)\) và biệt thức \(\Delta =b^2-4ac\):
\(\Delta>0\) thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt:
\(x_{1}=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}\); \(x_{2}=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}\)
\(\Delta=0\) thì phương trình có nghiệm kép \(x=x_{1}=x_{2}=-\frac{b}{2a}\)
\(\Delta<0\) phương trình vô nghiệm.
Với các phương trình bậc hai \(ax^2+bx+c=0(a\neq 0)\) và \(b=2b'\), \(\Delta '=b'^2-ac\) thì:
Nếu \(\Delta '>0\) thì phương trình có hai nghiệm phân biệt
\(x_{1}=\frac{-b'+\sqrt{\Delta '}}{a}; x_{2}=\frac{-b'-\sqrt{\Delta '}}{a}\)
Nếu \(\Delta '=0\) thì phương trình có nghiệm kép \(x=\frac{-b'}{a}\)
Nếu \(\Delta '<0\) thì phương trình vô nghiệm.
Phương trình bậc hai \(ax^2+bx+c=0(a\neq 0)\) có 2 nghiệm phân biệt
\(x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}; x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}\)
Ta có: \(x_1+x_2=\frac{-2b+\sqrt{\Delta }-\sqrt{\Delta }}{2a}=-\frac{b}{a}\)
\(x_1.x_2=\frac{b^2-\Delta }{4a^2}=\frac{4ac}{4a^2}=\frac{c}{a}\)
Nếu \(x_1;x_2\) là hai nghiệm của phương trình \(ax^2+bx+c=0 (a\neq 0)\) thì:
\(x_1+x_2=-\frac{b}{a}\)
và \(x_1.x_2=\frac{c}{a}\)
Nếu phương trình \(ax^2+bx+c=0 (a\neq 0)\) có \(a+b+c=0\) thì phương trình có một nghiệm là \(x_1=1\) và nghiệm kia là \(x_2=\frac{c}{a}\).
Nếu phương trình \(ax^2+bx+c=0 (a\neq 0)\) có \(a-b+c=0\) thì phương trình có một nghiệm là \(x_1=-1\) và nghiệm kia là \(x_2=-\frac{c}{a}\).
a. Phương trình trùng phương
Định nghĩa
Phương trình trùng phương là phương trình có dạng: \(ax^4+bx^2+c=0 (a\neq 0)\)
b. Phương trình chứa ẩn ở mẫu
Các bước để giải phương trình chứa ẩn ở mẫu đã học ở lớp 8
Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình
Bước 2: Quy đồng hai vế rồi khử mẫu
Bước 3: Giải phương trình vừa nhận được
Bước 4: So sánh điều kiện ban đầu rồi kết luận nghiệm
c. Phương trình tích
Nhắc lại kiến thức đã học ở lớp dưới:
Biến đổi phương trình về dạng \(A.B.C.....=0\) rồi suy ra hoặc \(A=0\) hoặc \(B=0\) hoặc.....
Phương pháp giải
Để giải bài toán bằng cách lập phương trình, chúng ta làm theo các bước sau:
Bước 1: Lập phương trình
Chọn ẩn và đặt điều kiện cho ẩn
Biểu đạt các đại lượng khác nhau theo ẩn
Dựa vào đề bài toán, lập phương trình theo dạng đã học
Bước 2: Giải phương trình
Bước 3: So sánh kết quả tìm được và chọn nghiệm thích hợp
Bài 1: Cho hàm số \(y=-x^2\) và đường thẳng \(y=-4x+4\). Tìm giao điểm của hai đồ thị đó bằng hình vẽ và đồ thị
Hướng dẫn:Vẽ hình HS tự vẽ.
Tìm giao điểm: Phương trình hoành độ giao điểm: \(-x^2=-4x+4\Leftrightarrow x^2-4x+4=0\)
Tính biệt thức \(\Delta=0\) suy ra phương trình có nghiệm kép \(x=2\Rightarrowy=-4\).
Vậy khi vẽ hình, ta chỉ nhận được một giao điểm. Sau này lên cấp trên, các em sẽ được biết đường thẳng trên là tiếp tuyến của hàm số.
Bài 2: Giải phương trình bằng cách phân tích đa thức thành nhân tử: \(x^2-11x-12=0\)
Hướng dẫn:\(x^2-11x-12=0\)
\(\Leftrightarrow x^2-12x+x-12=0\)
\(\Leftrightarrow x(x-12)+x-12=0\)
\(\Leftrightarrow (x+1)(x-12)=0\)
Vậy phương trình trên có hai nghiệm phân biệt là \(x=-1;x=12\)
Bài 3:
Giải phương trình: \(x^2+10x+25=0\); \(x^2-4x-9=0\)
Hướng dẫn: \(x^2+10x+25=0\)
Giải: \(\Delta =10^2-4.1.25=0\) \(\Rightarrow x=\frac{-0}{2}=-5\)
\(x^2-4x-9=0\)
Giải: \(\Delta =(-4)^2-4.1.(-9)=52\Rightarrow \sqrt{\Delta }=2\sqrt{13}>0\)
\(\Rightarrow x_{1}=\frac{-(-4)+2\sqrt{13}}{2}=2+\sqrt{13};x_{2}=\frac{-(-4)-2\sqrt{13}}{2}=2-\sqrt{13}\)
Bài 4:
Tìm hai số biết hiệu của chúng là 5 và tích của chúng là 150
Hướng dẫn: Gọi hai số cần tim là a, b
Ta có \(\left\{\begin{matrix} a-b=5\\ ab=150 \end{matrix}\right.\)
Thế \(a=5+b\) vào phương trình tích, ta được \(b(b+5)=150\Leftrightarrow b^2+5b-150=0\)
\(\Rightarrow b=-15\) hoặc \(b=10\)
\(b=-15\Rightarrow a=-10\)
\(b=10\Rightarrow a=15\)
Bài 5:
Giải phương trình trùng phương sau: \(x^4-4x^2-5=0\)
Hướng dẫn: Đặt \(t=x^2 (t\geq 0)\)
Khi đó, phương trình trở thành: \(t^2-4t-5=0\)
Giải phương trình bậc hai cơ bản trên, ta được:
\(t=-1\) (loại)
\(t=5\) (nhận)\(\Rightarrow x=\pm \sqrt{5}\)
Để cũng cố bài học, xin mời các em cũng làm bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 9 Chương 4 Bài 9 với những câu hỏi củng cố bám sát nội dung bài học. Bên cạnh đó các em có thể nêu thắc mắc của mình thông qua phần Hỏi đáp Toán 9 Chương 4 Bài 9 cộng đồng Toán DapAnHay sẽ sớm giải đáp cho các em.
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 9 Chương 4 Bài 9 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Toán 9
-- Mod Toán Học 9 DapAnHay
Tọa độ giao điểm của phương trình hàm số \(y=x^2\) và đường thẳng \(y=8\) là:
Tập nghiệm của phương trình \(x^2< 100\) là:
Với giá trị nào của m thì phương trình bậc hai \(x^2+6x-m=0\) vô nghiệm?
Tổng và tích 2 nghiệm của phương trình \(x^2+2016x-2017=0\) lần lượt là:
Tìm hai số biết tổng bằng 30 và tổng bình phương bằng 468.
Hãy vẽ đồ thị của các hàm số \(y = 2x^2, y = -2x^2.\) Dựa vào đồ thị để trả lời các câu hỏi sau:
a) Nếu a > 0 thì hàm số \(y = ax^2\) đồng biến khi nào? Nghịch biến khi nào?
Với giá trị nào của x thì hàm số đạt giá trị nhỏ nhất? Có giá trị nào của x để hàm số đạt giá trị lớn nhất không?
Nếu a < 0 thì hàm số đồng biến khi nào? Nghịch biến khi nào? Với giá trị nào của x thì hàm số đạt giá trị lớn nhất? Có giá trị nào của x để hàm số đạt giá trị nhỏ nhất không?
b) Đồ thị của hàm số \(y = ax^2\) có những đặc điểm gì (trường hợp a > 0 , trường hợp a < 0)
Đối với phương trình bậc hai \(ax^2 + bx + c = 0 (a ≠ 0),\) hãy viết công thức tính \(Δ, Δ'.\)
Khi nào thì phương trình vô nghiệm?
Khi nào phương trình có hai nghiệm phân biệt? Viết công thức nghiệm.
Khi nào phương trình có nghiệm kép? Viết công thức nghiệm.
Vì sao khi a và c trái dấu thì phương trình có hai nghiệm phân biệt?
Viết hệ thức Vi-et đối với các nghiệm của phương trình bậc hai \(ax^2 + bx + c = 0 (a ≠ 0),\)
Nêu điều kiện để phương trình \(ax^2 + bx + c = 0 (a ≠ 0),\) có một nghiệm bằng 1. Khi đó, viết công thức nghiệm thứ hai. Áp dụng: nhẩm nghiệm của phương trình \(1954x^2 + 21x – 1975 = 0\)
Nêu điều kiện để phương trình \(ax^2 + bx + c = 0 (a ≠ 0),\) có một nghiệm bằng -1. Khi đó, viết công thức nghiệm thứ hai. Áp dụng: nhẩm nghiệm của phương trình \(2005x^2 + 104x – 1901 = 0\)
Nêu cách tìm hai số, biết tổng S và tích P của chúng.
Tìm hai số u và v trong mỗi trường hợp sau:
\(\begin{array}{l}
a)\left\{ \begin{array}{l}
u + v = 3\\
uv = - 8
\end{array} \right.\\
b)\left\{ \begin{array}{l}
u + v = 5\\
uv = 10
\end{array} \right.
\end{array}\)
Nêu cách giải phương trình trùng phương \(ax^4 + bx^2 + c = 0,(a ≠ 0)\)
Vẽ đồ thị của hàm số \(\displaystyle y = {1 \over 4}{x^2}\) và \(\displaystyle y = - {1 \over 4}{x^2}\) trên cùng một hệ trục tọa độ
a) Qua điểm \(B(0; 4)\) kẻ đường thẳng song song với trục Ox. Nó cắt đồ thị của hàm số \(\displaystyle y = {1 \over 4}{x^2}\) tại hai điểm M và M’. Tìm hoành độ của M và M’.
b) Tìm trên đồ thị của hàm số \(\displaystyle y = - {1 \over 4}{x^2}\) điểm N có cùng hoành độ với M, điểm N’ có cùng hoành độ với M’. Đường thẳng NN’ có song song với Ox không? Vì sao? Tìm tung độ của N và N’ bằng hai cách:
- Ước lượng trên hình vẽ:
- Tính toán theo công thức.
Cho phương trình: x2 - x - 2 = 0.
a) Giải phương trình.
b) Vẽ hai đồ thị y = x2 và y = x + 2 trên cùng một hệ trục tọa độ.
c) Chứng tỏ rằng hai nghiệm tìm được trong câu a) là hoành độ giao điểm của hai đồ thị.
Giải các phương trình:
a) 3x4 – 12x2 + 9 = 0;
b) 2x4 + 3x2 – 2 = 0;
c) x4 + 5x2 + 1 = 0.
Giải các phương trình:
a) \(5{{\rm{x}}^2} - 3{\rm{x}} + 1 = 2{\rm{x}} + 11\)
b) \({{{x^2}} \over 5} - {{2{\rm{x}}} \over 3} = {{x + 5} \over 6}\)
c) \({x \over {x - 2}} = {{10 - 2{\rm{x}}} \over {{x^2} - 2{\rm{x}}}}\)
d) \({{x + 0,5} \over {3{\rm{x}} + 1}} = {{7{\rm{x}} + 2} \over {9{{\rm{x}}^2} - 1}}\)
e) \(2\sqrt 3 {x^2} + x + 1 = \sqrt 3 \left( {x + 1} \right)\)
f) \({x^2} + 2\sqrt 2 x + 4 = 3\left( {x + \sqrt 2 } \right)\)
Giải các phương trình
a) \(1,2{{\rm{x}}^3} - {x^2} - 0,2{\rm{x}} = 0\)
b) \(5{{\rm{x}}^3} - {x^2} - 5{\rm{x}} + 1 = 0\)
Giải các phương trình bằng cách đặt ẩn phụ:
a) \(2{\left( {{x^2} - 2{\rm{x}}} \right)^2} + 3\left( {{x^2} - 2{\rm{x}}} \right) + 1 = 0\)
b) \({\left( {x + {1 \over x}} \right)^2} - 4\left( {x + {1 \over x}} \right) + 3 = 0\)
Với mỗi phương trình sau, đã biết một nghiệm (ghi kèm theo), hãy tìm nghiệm kia:
a) \(12{{\rm{x}}^2} - 8{\rm{x}} + 1 = 0;{x_1} = {1 \over 2}\)
b) \(2{{\rm{x}}^2} - 7{\rm{x}} - 39 = 0;{x_1} = - 3\)
c) \({x^2} + x - 2 + \sqrt 2 = 0;{x_1} = - \sqrt 2 \)
d) \({x^2} - 2m{\rm{x}} + m - 1 = 0;{x_1} = 2\)
Tìm hai số u và v trong mỗi trường hợp sau:
a) \(u + v = 12\); \(uv = 28\) và \(u > v\)
b) \(u + v = 3; uv = 6\)
Cho phương trình \(7x^2 + 2(m – 1)x – m^2= 0\)
a) Với giá trị nào của \(m\) thì phương trình có nghiệm?
b) Trong trường hợp phương trình có nghiệm, dùng hệ thức Vi-ét, hãy tính tổng các bình phương hai nghiệm của phương trình theo \(m\).
Sau hai năm, số dân của một thành phố tăng từ \(2 000 000\) người lên \(2 020 050\) người. Hỏi trung bình mỗi năm dân số của thành phố đó tăng bao nhiêu phần trăm?
Bài toán yêu cầu tìm tích của một số dương với một số lớn hơn nó 2 đơn vị, nhưng bạn Quân nhầm đầu bài lại tính tích của một số dương với một số bé hơn nó 2 đơn vị. Kết quả của bạn Quân là 120. Hỏi nếu làm đúng đầu bài đã cho thì kết quả phải là bao nhiêu?
Một xe lửa đi từ Hà Nội vào Bình Sơn (Quảng Ngãi). Sau đó 1 giờ, một xe lửa khác đi từ Bình Sơn ra Hà Nội với vận tốc lớn hơn vận tốc của xe lửa thứ nhất là 5km/h. Hai xe gặp nhau tại một ga ở chính giữa quãng đường. Tìm vận tốc của mỗi xe, giả thiết rằng quãng đường Hà Nội – Bình Sơn dài 900km.
Cho tam giác ABC có BC = 16cm , đường cao AH = 12 cm. Một hình chữ nhật MNPQ có đỉnh M thuộc cạnh AB, đỉnh N thuộc cạnh AC còn hai đỉnh P và Q thuộc cạnh BC (h.17). Xác định vị trí của điểm M trên cạnh AB sao cho diện tích của hình chữ nhật đó bằng 36cm2.
Cho hai hàm số: \(y = 2x - 3\) và \(y = - {x^2}\)
a) Vẽ đồ thị hai hàm số này trong cùng một mặt phẳng tọa độ.
b) Tìm tọa độ các giao điểm của hai đồ thị.
c) Kiểm nghiệm rằng tọa độ của mỗi giao điểm đều là nghiệm chung của hai phương trình hai ẩn y = 2x – 3 và \(y = - {x^2}\)
Giải các phương trình:
a) \(3{x^2} + 4\left( {x - 1} \right) = {\left( {x - 1} \right)^2} + 3\)
b) \({x^2} + x + \sqrt 3 = \sqrt 3 x + 6\)
c) \({{x + 2} \over {1 - x}} = {{4{x^2} - 11x - 2} \over {\left( {x + 2} \right)\left( {x - 1} \right)}}\)
d) \({{{x^2} + 14x} \over {{x^3} + 8}} = {x \over {x + 2}}\)
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
Bài 1: Cho hàm số y = ax\(^2\) (d)
a, Tìm a để đồ thị hàm số đi qua A( 2;\(\dfrac{-4}{3}\) )
b, Viết phương trình đường thẳng qua A và cắt đồ thị hàm số trên tại B có hoành độ là -3
Bài 2: Cho y=\(\dfrac{-1}{2}\)x\(^2\)
Lập phương trình đường thẳng d qua A (-2;-2) và tiếp xúc (P)
Câu trả lời của bạn
bài 1 : a) vì đồ thị hàm số đi qua \(A\left(2;\dfrac{-4}{3}\right)\) nên ta có :
\(\dfrac{-4}{3}=4a\Leftrightarrow a=\dfrac{-1}{3}\) vậy \(a=\dfrac{-1}{3}\)
b) phương trình đường thẳng cần tìm có dạng : \(y=ax+b\)
vì nó đi qua \(A\left(2;\dfrac{-4}{3}\right)\) \(\Rightarrow2a+b=\dfrac{-4}{3}\) .........(1)
nó cắt đồ thị hàm số \(y=\dfrac{-1}{3}x^2\) tại \(B\) có hoành độ là \(-3\)
\(\Rightarrow\) nó đi qua điểm : \(\left(-3;-3\right)\) \(\Rightarrow-3a+b=-3\) ..............(2)
từ (1) và (2) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=\dfrac{1}{3}\\b=-2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\) đường thẳng cần tìm là \(y=\dfrac{1}{3}x-2\)
vậy ............................................................................................
bài 2 : phương trình đường thẳng cần tìm có dạng : \(y=ax+b\)
vì nó đi qua \(A\left(-2;-2\right)\Rightarrow-2a+b=-2\) ......................(1)
ta lại có nó tiếp xúc với \(\left(P\right)\) \(\Rightarrow\) phương trình : \(\dfrac{1}{2}x^2+ax+b=0\) có nghiệm duy nhất \(\Leftrightarrow a^2-2b=0\) .....................(2)
từ (1) và (2) ta có : \(\left\{{}\begin{matrix}a=2\\b=2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\) đường thẳng cần tìm là \(y=2x+2\)
vậy ......................................................................................................
Cho phương trình \(3x^{2^{ }}-5x-7m=0\)
Hãy tìm giá trị của tham số m để phương trình có nghiệm dương.
Câu trả lời của bạn
Lời giải:
Để PT có nghiệm thì \(\Delta=25+84m\geq 0\Leftrightarrow m\geq -\frac{25}{84}(1)\)
Khi đó áp dụng định lý Viete, với $x_1,x_2$ là hai nghiệm của PT (không cần phân biệt) thì:
\(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=\frac{5}{3}\\ x_1x_2=\frac{-7m}{3}\end{matrix}\right.\)
Để PT có nghiệm dương thì: \(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=\frac{5}{3}>0\\ x_1x_2=\frac{-7m}{3}>0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow m<0\) (2)
Từ (1); (2) suy ra \(\frac{-25}{84}\leq m< 0\)
chứng minh đẳng thức: \(\left(\dfrac{\sqrt{a}}{1-\sqrt{a}}+\dfrac{\sqrt{a}}{1+\sqrt{a}}\right):\dfrac{2\sqrt{a}}{a-1}=-1\) (với a>0;a\(\ne\)1)
Câu trả lời của bạn
\(VT=\left(\dfrac{\sqrt{a}}{1-\sqrt{a}}+\dfrac{\sqrt{a}}{1+\sqrt{a}}\right):\dfrac{2\sqrt{a}}{a-1}\)
\(=\left(\dfrac{-\sqrt{a}\left(\sqrt{a}+1\right)+\sqrt{a}\left(\sqrt{a}-1\right)}{a-1}\right).\dfrac{a-1}{2\sqrt{a}}\)
\(=\left(\dfrac{-a-\sqrt{a}+a-\sqrt{a}}{a-1}\right).\dfrac{a-1}{2\sqrt{a}}=\dfrac{-2\sqrt{a}}{a-1}.\dfrac{a-1}{2\sqrt{a}}=-1=VP\)
Cho đường tròn (O) có đường kính AB cố định, M là 1 điểm thuộc đường tròn (M khác A,B). Các tiếp tuyến của (O) tai A và M cắt nhau tại C. Đường tròn (I) qua M và tiếp xúc với đường thẳng AC tại C, CD là đường kính của (I). Chứng minh
a, O,M,D thẳng hàng
b, Tam giác COD cân
c, Đường thẳng qua D và vuông góc với BC luôn đi qua 1 điểm cố định khi M di động trên (O)
Câu trả lời của bạn
Bạn tự vẽ hình nha
Gọi E và F thứ tự là giao điểm của CD với BM và AM; AM cắt OE tại S
Đường thẳng qua D vuông góc với BC tại H; cắt AO tại N
Ta sẽ chứng minh:
1) E thuộc đường tròn đường kính OC từ đó suy ra tứ giác SMOB và tứ giác MHOB nội tiếp. Từ đó suy ra S; D; H thẳng hàng
2) D là trung điểm của EF. Từ đó suy ra N là trung điểm của AO
Vậy đường thẳng qua D vuông góc với BC đi qua điểm N cố định.
3)chứng minh: E thuộc đường tròn đường kính OC từ đó suy ra tứ giác SMOB và tứ giác MHOB nội tiếp. Từ đó suy ra S; D; H thẳng hàng
Vì đường tròn (I) tiếp xúc với AC nên CI vuông góc với AC. Do đó CI // AB ; từ đó và tính chất của tiếp tuyến ta có các góc CEM ; ABM ; CAM bằng nhau. Từ đó ta có E thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác ACM , hay E nằm trên đường tròn đường kính OC. Do đó AOEC là hình chữ nhật. Hay EO vuông góc với OB.
Vì AOEC là hình chữ nhật và tứ giác CHBM nội tiếp nên các góc DMH ; DCH và OBH bằng nhau. Do đó tứ giác HMBO nội tiếp. Mặt khác tứ giác SMOB cũng là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính BS. Vậy H nằm trên đường tròn đường kính BS. Từ đó ta cũng có S ; D ; H thẳng hàng.
Ta chứng minh: D là trung điểm của EF. Từ đó suy ra N là trung điểm của AO
tại N. Do đó N là trung điểm của AO.
Vậy đường thẳng qua D vuông góc với BC đi qua điểm N cố định.
Tìm nghiệm nguyên của PT: \(x^4+x^2-y^2+y+10=0\)
Câu trả lời của bạn
\(x^4+x^2-y^2+y+10=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^4-y^2\right)+x^2+y+10=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2+y\right)\left(x^2-y\right)+x^2+y=-10\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2+y\right)\left(x^2-y+1\right)=-10\)
Suy ra
\(x^2+y\) | 1 | -1 | 10 | -10 | 2 | -2 | 5 | -5 |
\(x^2-y+1\) | -10 | 10 | -1 | 1 | 5 | -5 | 2 | -2 |
Giải từng hệ phương trình tìm đc các cặp nghiệm x;y theo yêu cầu
cho phương trình : \(3x^2-2x-m+1=0\) , tìm m để phương trình:
a) Có nghiệm
b) Có hai nghiệm trái dấu
c) có hai nghiệm dương
Câu trả lời của bạn
dau tien ducbạn làm sai hết rồi
a) có nghiệm \(\Delta\ge0\Leftrightarrow1+3\left(m-1\right)=3m-2\ge0\Rightarrow m\ge\dfrac{2}{3}\)
b) \(a.c< 0\Leftrightarrow3\left(-m+1\right)< 0\Leftrightarrow m-1>0\Leftrightarrow m>1\)
c) \(\left\{{}\begin{matrix}\Delta\ge0\\-\dfrac{b}{a}>0\\\dfrac{c}{a}>0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\dfrac{2}{3}\le m< 1\)
\(Cho\) \(a,b,c>0.CMR:\)
\(\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge9abc\)
Câu trả lời của bạn
Lời giải:
Áp dụng BĐT Cô-si cho 3 dương:
\(a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc}\)
\(a^2+b^2+c^2\geq 3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}\)
Nhân theo vế thu được:
\((a+b+c)(a^2+b^2+c^2)\geq 3\sqrt[3]{abc}.3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}=9abc\)
Ta có đpcm.
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$
\(Cho\) \(a,b,c\ge0.CMR:\)
\(a+b+c\ge\dfrac{3}{2}\sqrt[3]{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\)
Câu trả lời của bạn
Lời giải:
Áp dụng BĐT Cô-si cho các số dương ta có:
\((a+b)+(b+c)+(c+a)\geq 3\sqrt[3]{(a+b)(b+c)(c+a)}\)
\(\Leftrightarrow 2(a+b+c)\geq 3\sqrt[3]{(a+b)(b+c)(c+a)}\)
\(\Rightarrow a+b+c\ge \frac{3}{2}\sqrt[3]{(a+b)(b+c)(c+a)}\)
Ta có đpcm.
Dấu "=" xảy ra khi $a+b=b+c=c+a$ hay $a=b=c$
Cho phương trình x2+mx+m-2=0 có 2 nghiệm x1, x2
Tìm m để phương trình thỏa mãn \(\left|x_1-x_2\right|=2\)
Câu trả lời của bạn
Lời giải:
Ta thấy \(\Delta=m^2-4(m-2)=(m-2)^2+4>0, \forall m\in\mathbb{R}\) nên pt luôn có hai nghiệm pb với mọi $m$
Áp dụng định lý Viete , với $x_1,x_2$ là hai nghiệm của pt ta có:
\(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=-m\\ x_1x_2=m-2\end{matrix}\right.\)
Khi đó:
\(|x_1-x_2|=2\)
\(\Leftrightarrow \sqrt{(x_1-x_2)^2}=2\)
\(\Leftrightarrow \sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}=2\)
\(\Leftrightarrow \sqrt{(-m)^2-4(m-2)}=2\)
\(\Leftrightarrow \sqrt{m^2-4m+8}=2\)
\(\Rightarrow m^2-4m+8=4\)
\(\Leftrightarrow (m-2)^2=0\Leftrightarrow m=2\) (thỏa mãn)
Vậy \(m=2\)
Cho\(A=\sqrt{2012^2+2012^2\times2013^2+2013^2}\)
Chứng minh: A là số tự nhiên
Câu trả lời của bạn
\(A^2=2012^2+2012^2.2013^2+2013^2\)
\(A^2=\left(2013-1\right)^2+2013^2+2012^2.2013^2\)
\(A^2=2.1013^2-2.2013+1+2012^2.2013^2\)
\(A^2=2012^2.2013^2+2.2013\left(2013-1\right)+1\)
\(A^2=\left(2012.2013+1\right)^2\)
\(\Rightarrow A=2012.2013+1\) là số tự nhiên
Cho ba số duong a, b, c thỏa mãn abc = 1. CMR:
\(\dfrac{1}{a^2+2b^2+3}+\dfrac{1}{b^2+2c^2+3}+\dfrac{1}{c^2+2a^2+3}\le\dfrac{1}{2}\)
Câu trả lời của bạn
Lời giải:
Áp dụng BĐT Cauchy ta có:
\(a^2+b^2\geq 2ab\)
\(b^2+1\geq 2b\)
Suy ra \(a^2+2b^2+3\geq 2(ab+b+1)\) \(\Rightarrow \frac{1}{a^2+2b^2+3}\leq \frac{1}{2(ab+b+1)}\)
Thực hiện toàn toàn tương tự với các phân thức còn lại và cộng theo vế:
\(\text{VT}\leq \frac{1}{2}\underbrace{\left(\frac{1}{ab+b+1}+\frac{1}{bc+c+1}+\frac{1}{ca+a+1}\right)}_{M}(1)\)
Lại có: \(M=\frac{1}{ab+b+1}+\frac{1}{bc+c+1}+\frac{1}{ca+a+1}=\frac{ac}{ab.ac+b.ac+ac}+\frac{a}{bc.a+c.a+a}+\frac{1}{ca+a+1}\)
\(=\frac{ac}{a+1+ac}+\frac{a}{1+ac+a}+\frac{1}{ac+a+1}=\frac{ac+a+1}{ac+a+1}=1(2)\)
Từ \((1); (2)\Rightarrow \text{VT}\leq \frac{1}{2}\) (đpcm)
Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c=1\)
Giải phương trình sau:
\((X+1)^4 + (3-X)^4= 82\)
Câu trả lời của bạn
Ta có: \(\left(x+1\right)^4+\left(3-x\right)^4=82\)
\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)^4+\left(x-3\right)^4=82\) (1)
Đặt \(y=x-1\)
Khi đó: \(\left(1\right)\Leftrightarrow\left(y+2\right)^4+\left(y-2\right)^4=82\)
\(\Leftrightarrow\left(y^4+8y^3+24y^2+32y+16\right)+\left(y^4-8y^3+24y^2-32y+16\right)=82\)
\(\Leftrightarrow2y^4+48y^2-50=0\)
\(\Leftrightarrow y^4+24y^2-25=0\)
\(\Leftrightarrow y^4+25y^2-y^2-25=0\)
\(\Leftrightarrow y^2\left(y^2-1\right)+25\left(y^2-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(y^2+25\right)\left(y^2-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow y=\pm1\)
\(\Rightarrow x=2;x=0\)
Vậy \(x\in\left\{0;2\right\}\)
Cho n \(\in\) N; n \(\ge\) 2. CMR:
\(\sqrt{n}< \dfrac{1}{\sqrt{1}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}+.....+\dfrac{1}{\sqrt{n}}< 2\sqrt{n}\)
Câu trả lời của bạn
Lời giải
Với mọi $n\in\mathbb{N}$ ta có:
\(\frac{1}{\sqrt{1}}> \frac{1}{\sqrt{n}}\)
\(\frac{1}{\sqrt{2}}> \frac{1}{\sqrt{n}}\)
.....
Do đó:
\(\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}}> \underbrace{\frac{1}{\sqrt{n}}+\frac{1}{\sqrt{n}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}}}_{\text{n số}}=\frac{n}{\sqrt{n}}=\sqrt{n}\)
(chứng minh xong vế 1)
Vế 2:
\(\frac{1}{2\sqrt{1}}+\frac{1}{2\sqrt{2}}+...+\frac{1}{2\sqrt{n}}< \frac{1}{\sqrt{0}+\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{n-1}+\sqrt{n}}\)
\(=\frac{\sqrt{1}-\sqrt{0}}{1-0}+\frac{\sqrt{2}-\sqrt{1}}{2-1}+\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{3-2}+...+\frac{\sqrt{n}-\sqrt{n-1}}{n-(n-1)}\)
\(=\sqrt{1}-\sqrt{0}+\sqrt{2}-\sqrt{1}+...+\sqrt{n}-\sqrt{n-1}=\sqrt{n}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}}< 2\sqrt{n}\) (đpcm)
Vậy....
Cho a, b, c, d >0. CMR:
\(\sqrt{\left(a+b\right)\left(c+d\right)}\ge\sqrt{ac}+\sqrt{bd}\)
Câu trả lời của bạn
Lời giải:
Ta có:
\(\sqrt{(a+b)(c+d)}\geq \sqrt{ac}+\sqrt{bd}\)
\(\Leftrightarrow (a+b)(c+d)\geq (\sqrt{ac}+\sqrt{bd})^2\)
\(\Leftrightarrow ac+ad+bc+bd\geq ac+bd+2\sqrt{acbd}\)
\(\Leftrightarrow ad+bc-2\sqrt{acbd}\geq 0\)
\(\Leftrightarrow (\sqrt{ad}-\sqrt{bc})^2\geq 0\) (luôn đúng)
Ta có đpcm. Dấu "=" xảy ra khi $ad=bc$
Hoặc có thể áp dụng trực tiếp BĐT Bunhiacopxky:
\((a+b)(c+d)=[(\sqrt{a})^2+(\sqrt{b})^2][(\sqrt{c})^2+(\sqrt{d})^2]\)
\(\geq (\sqrt{ac}+\sqrt{bd})^2\)
\(\Rightarrow \sqrt{(a+b)(c+d)}\geq \sqrt{ac}+\sqrt{bd}\) (đpcm)
Cho phương trình \(\left(m-4\right)x^2-2\left(m-2\right)x+m-1=0\)
Xác định m để phương trình có 2 nghiệm dương nhỏ hơn 1 ?
Câu trả lời của bạn
\(Cho\) \(y>0,\) x là số thực bất kì. CMR:
\(\dfrac{x^6+y^9}{4}\ge3x^2y^3-16\)
Câu trả lời của bạn
bđt tương đương
\(x^6+y^9+4^3\ge3.4.x^2y^3\)
đây chính là bđt cô si 3 số
vì y>0 ; x>=0 4>0
\(Cho\) \(x,y,z>0.CMR:\)
\(x+\dfrac{1}{\left(x-y\right)y}\ge3\)
Câu trả lời của bạn
Lời giải:
ĐK phải sửa là \(x>y>0\), vì nếu $x< y$ thì biểu thức vế trái có thể nhỏ hơn $0$, vô lý.
Áp dụng BĐT Cô-si cho các số dương ta có:
\(x+\frac{1}{(x-y)y}=(x-y)+y+\frac{1}{(x-y).y}\)
\(\geq 3\sqrt[3]{(x-y).y.\frac{1}{(x-y).y}}=3\sqrt[3]{1}=3\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(x-y=y=\frac{1}{(x-y)y}\Leftrightarrow x=2; y=1\)
Chứng minh: \(a^n+b^n⋮a+b\)
Câu trả lời của bạn
ta có : \(3^2+2^2⋮̸5\) \(\Rightarrow\) đề sai
Trong mặt phẳng tọa độ, cho đồ thị (P): \(y=\dfrac{1}{2}x^2\)
a. Vẽ đồ thị (P) nói trên
b. Cho đường thẳng (d) có phương trình: \(y=mx+2m\). Tìm m để đường thẳng (d) tiếp xúc với Parabol (P) nói trên
Câu trả lời của bạn
Câu a bạn tự làm nhé!
b)(d):\(y=mx+2m\) là hàm số bậc nhất khi \(m\ne0\)
phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là:
\(\dfrac{1}{2}x^2=mx+2m\Leftrightarrow\dfrac{1}{2}x^2-mx-2m=0\)
Ta có:\(\Delta=\left(-m\right)^2-4\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\left(-2m\right)\)
\(=m^2+4m=m\left(m+4\right)\)
Đường thẳng (d) tiếp xúc với parabol (P) khi phương trình hoành độ giao điểm có nghiệm kép⇔\(\Delta=0\Leftrightarrow m\left(m+4\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=0\\m+4=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=0\\m=-4\end{matrix}\right.\)
Ta có \(\left[{}\begin{matrix}m=0\left(loai\right)\\m=-4\left(thoaman\right)\end{matrix}\right.\)Vậy \(m=-4\)thì (d) tiếp xúc với (P)
Cho phương trình bậc hai \(x^2+5x+3=0\) có hai nghiệm \(x_1;x_2\). Hãy lập 1 pt bậc hai có hai nghiệm (\(x^2_1+1\)) và (\(x_2^2\)+1)
Câu trả lời của bạn
Lời giải:
Với $x_1,x_2$ là hai nghiệm của \(x^2+5x+3=0\) thì áp dụng định lý Viete ta có:
\(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=-5\\ x_1x_2=3\end{matrix}\right.\)
Khi đó:
Đặt \(t_1=x_1^2+1; t_2=x_2^2+1\)
\(\Rightarrow t_1+t_2=x_1^2+x_2^2+2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2+2\)
\(=(-5)^2-2.3+2=21\)
Và: \(t_1t_2=(x_1^2+1)(x_2^2+1)=(x_1x_2)^2+x_1^2+x_2^2+1\)
\(=(x_1x_2)^2+(x_1+x_2)^2-2x_1x_2+1\)
\(3^2+(-5)^2-2.3+1=29\)
Do đó theo định lý Viete đảo thì $t_1,t_2$ là nghiệm của pt:
\(X^2-21X+29=0\)
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *