Cũng như phương pháp thế, Phương pháp cộng đại số cũng là một phương pháp rất quan trọng và hiệu quả khi giải hệ phương trình.
Quy tắc cộng đại số dùng để biến đổi một hệ phương trình thành hệ phương trình tương đương. Quy tắc cộng đại số gồm hai bước:
Bước 1: Cộng hay trừ từng vế hai phương trình của hệ phương trình đã cho để được một phương trình mới.
Bước 2: Dùng phương trình mới ấy thay thế cho một trong hai phương trình của hệ (và giữ nguyên phương trình kia).
1.2. Tóm tắt cách giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số.
Bước 1: Nhân các vế của hai phương trình với số thích hợp (nếu cần) sao cho các hệ số của một ẩn nào đó trong hai phương trình của hệ bằng nhau hoặc đối nhau.
Bước 2: Sử dụng quy tắc cộng đại số để được hệ phương trình mới, trong đó có một phương trình mà hệ số của một trong hai ẩn bằng 0 (tức là phương trình một ẩn).
Bước 3: Giải phương trình một ẩn vừa thu được rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho.
Bài 1: Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số \(\left\{\begin{matrix} x-2y=1\\ x+y=4 \end{matrix}\right.\)
Hướng dẫn: Lấy phương trình dưới trừ phương trình trên theo vế ta được 3y=3.
Vậy hệ đã cho tương đương \(\left\{\begin{matrix} 3y=3\\ x+y=4 \end{matrix}\right.<=>\left\{\begin{matrix} y=1\\ x=3 \end{matrix}\right.\)
Bài 2: Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số \(\left\{\begin{matrix} (x+3)(y-5)=xy\\ (x-2)(y+5)=xy \end{matrix}\right.\)
Hướng dẫn: Ta có \(\left\{\begin{matrix} (x+3)(y-5)=xy\\ (x-2)(y+5)=xy \end{matrix}\right.<=>\left\{\begin{matrix} -5x+3y=15\\ 5x-2y=10 \end{matrix}\right.\)
Cộng hai phương trình theo vế ta được \(y=25\), Thế vào một trong hai phương trình của hệ tìm được \(x=12\).
Bài 3: Ta biết rằng: Một đa thức bằng đa thức 0 khi và chỉ khi tất cả các hệ số của nó bằng 0. Hãy tìm các giá trị của m và n để đa thức sau (với biến số x) bằng đa thức 0:
\(P(x) = (3m - 5n +18)x + (4m - n -10)\).
Hướng dẫn: \(P(x)=0<=>\left\{\begin{matrix} 3m - 5n +18 = 0 \\ 4m - n -10=0 \end{matrix}\right. <=>\left\{\begin{matrix} 3m-5n=-18\\ 20m-5n=50 \end{matrix}\right. <=>\left\{\begin{matrix} 17m=68\\ 3m-5n=-18 \end{matrix}\right.\)\(<=>\left\{\begin{matrix} m=4\\ 3.4-5.n=-18 \end{matrix}\right. <=>\left\{\begin{matrix} m=4\\ n=6 \end{matrix}\right.\)
Bài 1: Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số \(\left\{\begin{matrix} \frac{x}{y}-\frac{x}{y+12}=1\\ \frac{x}{y-12}-\frac{x}{y}=2 \end{matrix}\right.\)
Hướng dẫn: ĐKXĐ: \(y \neq 0, y \neq 12, y \neq -12\)
Ta có: \(\left\{\begin{matrix} \frac{x}{y}-\frac{x}{y+12}=1\\ \frac{x}{y-12}-\frac{x}{y}=2 \end{matrix}\right. <=>\left\{\begin{matrix} 12x=y(y+12)\\ 12x=2y(y-12) \end{matrix}\right. <=>\left\{\begin{matrix} 12x=y^2+12y\\ 2y(y-12)-y(y+12)=0 \end{matrix}\right.\)\(<=>\left\{\begin{matrix} 12x=y^2+12y\\ y^2-36y=0 \end{matrix}\right. <=>\left\{\begin{matrix} 12x=36^2+12.36\\ y=36 \end{matrix}\right. <=>\left\{\begin{matrix} x=144\\ y=36 \end{matrix}\right.\)
Bài 2: Giải hệ phương trình \(\left\{\begin{matrix} \left | x \right |+x+y=25 (1)\\ \left | y \right |+x-y=30 (2) \end{matrix}\right.\)
Hướng dẫn: Xét \(x <0\), hệ trở thành \(\left\{\begin{matrix} -x+x+y=25\\ \left | y \right |+x-y=30 \end{matrix}\right. <=>\left\{\begin{matrix} y=25\\ x=30 \end{matrix}\right.\) (loại vì \(x <0\))
Xét \(y\geq 0\), hệ trở thành \(\left\{\begin{matrix} \left |x \right |+x+y=25\\ y+x-y=30 \end{matrix}\right. <=>\left\{\begin{matrix} 30+30+y=25\\ x=30 \end{matrix}\right. <=>\left\{\begin{matrix} y=-35\\ x=30 \end{matrix}\right.\) (loại vì \(y\geq 0\))
Xét \(x \geq 0, y<0\), hệ trở thành \(\left\{\begin{matrix} 2x+y=25\\ x-2y=30 \end{matrix}\right. <=>\left\{\begin{matrix} 4x+2y=50\\ x-2y=30 \end{matrix}\right. <=>\left\{\begin{matrix} x-2y=30\\ 5x=80 \end{matrix}\right. <=>\left\{\begin{matrix} 16-2y=30\\ x=16 \end{matrix}\right.\)\(<=>\left\{\begin{matrix} y=-7\\ x=16 \end{matrix}\right.\)
Qua bài giảng Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số này, các em cần hoàn thành 1 số mục tiêu mà bài đưa ra như :
Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 9 Bài 4để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.
Tìm nghiệm của hệ phương trình \(\left\{\begin{matrix} x+y=2\\ x-y=2 \end{matrix}\right.\)
Tìm số nghiệm của hệ phương trình \(\left\{\begin{matrix} x+2y=3\\ 2x+4y=0 \end{matrix}\right.\)
Câu 3-5: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 9 Bài 4 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Toán 9 tập 2
Bài tập 20 trang 19 SGK Toán 9 Tập 2
Bài tập 21 trang 19 SGK Toán 9 Tập 2
Bài tập 22 trang 19 SGK Toán 9 Tập 2
Bài tập 23 trang 19 SGK Toán 9 Tập 2
Bài tập 24 trang 19 SGK Toán 9 Tập 2
Bài tập 25 trang 19 SGK Toán 9 Tập 2
Bài tập 26 trang 19 SGK Toán 9 Tập 2
Bài tập 27 trang 20 SGK Toán 9 Tập 2
Bài tập 25 trang 11 SBT Toán 9 Tập 2
Bài tập 26 trang 11 SBT Toán 9 Tập 2
Bài tập 27 trang 11 SBT Toán 9 Tập 2
Bài tập 28 trang 11 SBT Toán 9 Tập 2
Bài tập 29 trang 11 SBT Toán 9 Tập 2
Bài tập 30 trang 11 SBT Toán 9 Tập 2
Bài tập 31 trang 12 SBT Toán 9 Tập 2
Bài tập 32 trang 12 SBT Toán 9 Tập 2
Bài tập 33 trang 12 SBT Toán 9 Tập 2
Bài tập 34 trang 12 SBT Toán 9 Tập 2
Bài tập 4.1 trang 12 SBT Toán 9 Tập 2
Bài tập 4.2 trang 12 SBT Toán 9 Tập 2
Bài tập 4.3 trang 12 SBT Toán 9 Tập 2
Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán DapAnHay sẽ sớm trả lời cho các em.
-- Mod Toán Học 9 DapAnHay
Tìm nghiệm của hệ phương trình \(\left\{\begin{matrix} x+y=2\\ x-y=2 \end{matrix}\right.\)
Tìm số nghiệm của hệ phương trình \(\left\{\begin{matrix} x+2y=3\\ 2x+4y=0 \end{matrix}\right.\)
Tìm m để hệ phương trình \(\left\{\begin{matrix} x-y=1\\ mx+y=2 \end{matrix}\right.\) vô nghiệm
Tìm số nguyên m nhỏ nhất sao cho nghiệm của hệ phương trình \(\left\{\begin{matrix} mx-y=1\\ 2x+y=3 \end{matrix}\right.\) là các số dương
Tìm nghiệm dương của hệ phương trình sau \(\left\{\begin{matrix} x^2+xy+zx=1\\ y^2+yz+xy=1\\ z^2+zx+yz=2 \end{matrix}\right.\)
Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số.
a) \(\left\{\begin{matrix} 3x + y =3 & & \\ 2x - y = 7 & & \end{matrix}\right.\)
b)
c)
d)
e)
Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số.
a) \(\left\{\begin{matrix} x\sqrt{2} - 3y = 1 & & \\ 2x + y\sqrt{2}=-2 & & \end{matrix}\right.\)
b)
Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số:
a) \(\left\{\begin{matrix} -5x + 2y = 4 & & \\ 6x - 3y =-7 & & \end{matrix}\right.\)
b)
c)
Giải hệ phương trình sau:
\(\left\{\begin{matrix} (1 + \sqrt{2})x+ (1 - \sqrt{2})y = 5& & \\ (1 + \sqrt{2})x + (1 + \sqrt{2})y = 3& & \end{matrix}\right.\)
Giải hệ các phương trình:
a) \(\left\{\begin{matrix} 2(x + y)+ 3(x - y)=4 & & \\ (x + y)+2 (x - y)= 5& & \end{matrix}\right.\)
b) \(\left\{\begin{matrix} 2(x -2)+ 3(1+ y)=-2 & & \\ 3(x -2)-2 (1+ y)=-3& & \end{matrix}\right.\)
Ta biết rằng: Một đa thức bằng đa thức 0 khi và chỉ khi tất cả các hệ số của nó bằng 0. Hãy tìm các giá trị của m và n để đa thức sau (với biến số x) bằng đa thức 0: \(P(x) = (3m - 5n + 1)x + (4m - n -10)\).
Xác định a và b để đồ thị của hàm số \(y = ax + b\) đi qua điểm A và B trong mỗi trường hợp sau:
a) \(A(2; -2)\) và \(B(-1; 3)\)
b) \(A(-4; -2)\) và \(B(2; 1)\)
c) \(A(3; -1)\) và \(B(-3; 2)\)
d) \(A(\sqrt{3}; 2)\) và \(B(0; 2)\)
Bằng cách đặt ẩn phụ (theo hướng dẫn), đưa các hệ phương trình sau về dạng hệ hai phương trình bậc nhật hai ẩn rồi giải:
a) \(\left\{\begin{matrix} \frac{1}{x} - \frac{1}{y} = 1& & \\ \frac{3}{x} + \frac{4}{y} = 5& & \end{matrix}\right.\). Hướng dẫn. Đặt \(u=\frac{1}{x};v=\frac{1}{y}\)
b) \(\left\{\begin{matrix} \frac{1}{x - 2} + \frac{1}{y -1} = 2 & & \\ \frac{2}{x - 2} - \frac{3}{y - 1} = 1 & & \end{matrix}\right.\). Hướng dẫn. Đặt \(u=\frac{1}{x-2};v=\frac{1}{y-1}\)
Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số:
\(a)\left\{ {\matrix{
{2x - 11y = - 7} \cr
{10x + 11y = 31} \cr} } \right.\)
\(b)\left\{ {\matrix{
{4x + 7y = 16} \cr
{4x - 3y = - 24} \cr} } \right.\)
\(c)\left\{ {\matrix{
{0,35x + 4y = - 2,6} \cr
{0,75x - 6y = 9} \cr} } \right.\)
\(d)\left\{ {\matrix{
{\sqrt 2 x + 2\sqrt 3 y = 5} \cr
{4x - 3y = - 24} \cr} } \right.\)
\(e)\left\{ {\matrix{
{10x - 9y = 8} \cr
{15x + 21y = 0,5} \cr} } \right.\)
\(f)\left\{ {\matrix{
{3,3x + 4,2y = 1} \cr
{9x + 14y = 4} \cr} } \right.\)
Giải các hệ phương trình sau:
\(a)\left\{ {\matrix{
{8x - 7y = 5} \cr
{12x + 13y = - 8} \cr} } \right.\)
\(b)\left\{ {\matrix{
{3\sqrt 5 x - 4y = 15 - 2\sqrt 7 } \cr
{ - 2\sqrt 5 x + 8\sqrt 7 y = 18} \cr} } \right.\)
Giải các hệ phương trình:
\(a)\left\{ {\matrix{
{5\left( {x + 2y} \right) = 3x - 1} \cr
{2x + 4 = 3\left( {x - 5y} \right) - 12} \cr} } \right.\)
\(b)\left\{ {\matrix{
{4{x^2} - 5\left( {y + 1} \right) = {{\left( {2x - 3} \right)}^2}} \cr
{3\left( {7x + 2} \right) = 5\left( {2y - 1} \right) - 3x} \cr} } \right.\)
\(c)\left\{ {\matrix{
{{{2x + 1} \over 4} - {{y - 2} \over 3} = {1 \over {12}}} \cr
{{{x + 5} \over 2} = {{y + 7} \over 3} - 4} \cr} } \right.\)
\(d)\left\{ {\matrix{
{{{3s - 2t} \over 5} + {{5s - 3t} \over 3} = s + 1} \cr
{{{2s - 3t} \over 3} + {{4s - 3t} \over 2} = t + 1} \cr} } \right.\)
Tìm hai số \(a\) và \(b\) sao cho \(5a – 4b = -5\) và đường thẳng \(ax + by = -1\) đi qua điểm \(A (-7; 4).\)
Tìm giá trị của \(a\) và \(b\) để đường thẳng \(ax–by = 4\) đi qua hai điểm \(A (4; 3); B(-6; -7).\)
Giải các hệ phương trình sau theo hai cách (cách thứ nhất: đưa hệ phương trình về dạng
\(\left\{ {\matrix{
{ax + by = c} \cr
{a'x + b'y = c'} \cr} } \right.\);
cách thứ hai: đặt ẩn phụ, chẳng hạn 3x – 2 = s, 3y + 2 = t):
\(a)\left\{ {\matrix{
{2\left( {3x - 2} \right) - 4 = 5\left( {3y + 2} \right)} \cr
{4\left( {3x - 2} \right) + 7\left( {3y + 2} \right) = - 2} \cr} } \right.\)
\(b)\left\{ {\matrix{
{3\left( {x + y} \right) + 5\left( {x - y} \right) = 12} \cr
{ - 5\left( {x + y} \right) + 2\left( {x - y} \right) = 11} \cr} } \right.\)
Tìm giá trị của \(m\) để nghiệm của hệ phương trình
\(\left\{ {\matrix{\displaystyle
{{{x + 1} \over 3} - {{y + 2} \over 4} = {{2\left( {x - y} \right)} \over 5}} \cr
\displaystyle{{{x - 3} \over 4} - {{y - 3} \over 3} = 2y - x} \cr} } \right.\)
cũng là nghiệm của phương trình \(3mx – 5y = 2m + 1.\)
Tìm giá trị của \(m\) để đường thẳng \((d)\): \(y = \left( {2m - 5} \right)x - 5m\) đi qua giao điểm của hai đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right):2x + 3y = 7\) và \(\left( {{d_2}} \right):3x + 2y = 13\)
Tìm giá trị của \(m\) để ba đường thẳng sau đồng quy:
\(\eqalign{
& \left( {{d_1}} \right):5x + 11y = 8 \cr
& \left( {{d_2}} \right):10x - 7y = 74 \cr
& \left( {{d_3}} \right):4mx + \left( {2m - 1} \right)y = m + 2 \cr} \)
Nghiệm chung của ba phương trình đã cho được gọi là nghiệm của hệ gồm ba phương trình ấy. Giải hệ phương trình là tìm nghiệm chung của tất cả các phương trình trong hệ. Hãy giải các hệ phương trình sau:
\(a)\left\{ {\matrix{
{3x + 5y = 34} \cr
{4x - 5y = - 13} \cr
{5x - 2y = 5} \cr} } \right.\)
\(b)\left\{ {\matrix{
{6x - 5y = - 49} \cr
{ - 3x + 2y = 22} \cr
{7x + 5y = 10} \cr} } \right.\)
Giải các hệ phương trình:
\(a)\left\{ {\matrix{ \displaystyle
{{3 \over x} + {5 \over y} = - {3 \over 2}} \cr
\displaystyle{{5 \over x} - {2 \over y} = {8 \over 3}} \cr} } \right.\)
\(b)\left\{ {\matrix{\displaystyle
{{2 \over {x + y - 1}} - {4 \over {x - y + 1}} = - {{14} \over 5}} \cr
\displaystyle {{3 \over {x + y - 1}} + {2 \over {x - y + 1}} = - {{13} \over 5}} \cr} } \right.\)
Hãy xác định hàm số bậc nhất thỏa mãn mỗi điều kiện sau:
\(a)\) Đồ thị của hàm số đi qua hai điểm \(M(-3; 1)\) và \(N(1; 2)\)
\(b)\) Đồ thị của hàm số đi qua hai điểm \(M\left( {\sqrt 2 ;1} \right)\) và \(N\left( {3;3\sqrt 2 - 1} \right)\)
\(c)\) Đồ thị đi qua điểm \(M(-2; 9)\) và cắt đường thẳng \((d): 3x – 5y = 1\) tại điểm có hoành độ bằng \(2.\)
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
Bài: Một người lái xe dự định đi quãng đường AB dài 120km trong một thời gian quy định. Khi bắt đầu xuất phát thấy đường xấu, thời tiết không thuận lợi, người lái xe quyết định giảm tốc độ mỗi giờ 10km, vì vậy người đó đến B chậm hơn 1 giờ so với dự định. Tinh vận tốc mà lúc đầu người lái xe dự định đi.
Câu trả lời của bạn
- Gọi S là quảng đường người đó đi , t là thời gian dự định đi , t1 là thời gian người đó đi thực tế khi gặp vấn đề , v là vận tốc người đi khi không gặp vấn đề .
- Thời gian người đó dự định đi là :
- Thời gian người đó đi thực tế là :
- Vì người đó đến chậm hơn dự định 1h nên ta có :
=> v = -30km/h ( loại ) hoặc v = 40 km/h ( chọn )
vậy vận tốc ban đầu người dự định đi là 40km/h
Câu trả lời của bạn
Cộng từng vế hai phương trình của hệ đã cho, ta được \(5x = 10\). Do đó
\(\left\{ \begin{array}{l}3x + y = 3\\2x - y = 7\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5x = 10\\2x - y = 7\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\2.2 - y = 7\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = - 3\end{array} \right.\)
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất \(\left( {x;y} \right) = \left( {2; - 3} \right)\)
Câu trả lời của bạn
Ta giải bằng cách nhân hai vế của phương trình thứ nhất với \(\sqrt 2 \) rồi trừ từng vế của hai phương trình:
\(\left\{ \begin{array}{l}x\sqrt 2 - 3y = 1\\2x + y\sqrt 2 = - 2\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x - 3\sqrt 2 y = \sqrt 2 \\2x + y\sqrt 2 = - 2\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 4\sqrt 2 y = 2 + \sqrt 2 \\2x + y\sqrt 2 = - 2\end{array} \right. \)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = - \dfrac{{\sqrt 2 \left( {\sqrt 2 + 1} \right)}}{{4\sqrt 2 }}\\2x + y\sqrt 2 = - 2\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = - \dfrac{{\sqrt 2 + 1}}{4}\\2x - \dfrac{{\sqrt 2 + 1}}{4}.\sqrt 2 = - 2\end{array} \right. \)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = - \dfrac{{\sqrt 2 + 1}}{4}\\2x = \dfrac{{\sqrt 2 - 6}}{4}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = - \dfrac{{\sqrt 2 + 1}}{4}\\x = \dfrac{{\sqrt 2 - 6}}{8}\end{array} \right.\)
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất \(\left( {x;y} \right) = \left( {\dfrac{{\sqrt 2 - 6}}{8}; - \dfrac{{\sqrt 2 + 1}}{4}} \right)\)
Câu trả lời của bạn
Cách 1: Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với \(4\) rồi cộng từng vế của hai phương trình
\(\left\{ \begin{array}{l}0,3x + 0,5y = 3\\1,5x - 2y = 1,5\end{array} \right. \)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1,2x + 2y = 12\\1,5x - 2y = 1,5\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2,7x = 13,5\\1,5x - 2y = 1,5\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 5\\1,5.5 - 2.y = 1,5\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 5\\2y = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 5\\y = 3\end{array} \right.\)
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất \(\left( {x;y} \right) = \left( {5;3} \right)\)
Cách 2: Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với \(5\) rồi trừ từng vế của hai phương trình:
\(\left\{ \begin{array}{l}0,3x + 0,5y = 3\\1,5x - 2y = 1,5\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1,5x + 2,5y = 15\\1,5x - 2y = 1,5\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4,5y = 13,5\\1,5x - 2y = 1,5\end{array} \right. \)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 3\\1,5x - 2.3 = 1,5\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 3\\1,5x = 7,5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 3\\x = 5\end{array} \right.\)
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất \(\left( {x;y} \right) = \left( {5;3} \right)\)
Câu trả lời của bạn
Ta giải hệ phương trình bằng cách nhân hai vế của phương trình thứ nhất với \(2,\) nhân hai vế của phương trình thứ hai với \(3\) rồi cộng từng vế hai phương trình:
\(\left\{ \begin{array}{l}2x + 3y = - 2\\3x - 2y = - 3\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4x + 6y = - 4\\9x - 6y = - 9\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}13x = - 13\\2x + 3y = - 2\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 1\\y = 0\end{array} \right.\)
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất \(\left( {x;y} \right) = \left( { - 1;0} \right)\)
Câu trả lời của bạn
Ta giải hệ phương trình bằng cách nhân hai vế của phương trình thứ hai với \(2\) rồi trừ từng vế của hai phương trình:
\(\left\{ \begin{array}{l}4x + 3y = 6\\2x + y = 4\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4x + 3y = 6\\4x + 2y = 8\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4x + 3y = 6\\y = - 2\end{array} \right. \)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4x + 3\left( { - 2} \right) = 6\\y = - 2\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = - 2\end{array} \right.\)
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất \(\left( {x;y} \right) = \left( {3; - 2} \right)\)
Câu trả lời của bạn
Trừ từng vế hai phương trình của hệ đã cho, ta được \(8y = 8\). Do đó
\(\left\{ \begin{array}{l}2x + 5y = 8\\2x - 3y = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}8y = 8\\2x - 3y = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 1\\2x - 3.1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 1\\x = \dfrac{3}{2}\end{array} \right.\)
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất \(\left( {x;y} \right) = \left( {\dfrac{3}{2};1} \right)\)
Câu trả lời của bạn
Đường thẳng \(y = ax + b\) đi qua hai điểm \(A\left( {\sqrt 3 ;2} \right)\) và \(B\left( {0;2} \right)\) khi và chỉ khi \(a\) và \(b\) thỏa mãn hệ sau \(\left\{ \begin{array}{l}\sqrt 3 a + b = 2\\0.a + b = 2\end{array} \right.\)
Giải hệ \(\left\{ \begin{array}{l}\sqrt 3 a + b = 2\\0.a + b = 2\end{array} \right. \)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 2\\\sqrt 3 .a + 2 = 2\end{array} \right. \)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 0\\b = 2\end{array} \right.\) , ta được \(a = 0\) và \(b = 2\).
Vậy \(a = 0;b = 2\).
Câu trả lời của bạn
Đường thẳng \(y = ax + b\) đi qua hai điểm \(A\left( {3; - 1} \right)\) và \(B\left( { - 3;2} \right)\) khi và chỉ khi \(a\) và \(b\) thỏa mãn hệ sau:
\(\left\{ \begin{array}{l}3a + b = - 1\\ - 3a + b = 2\end{array} \right. \)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3a + b = - 1\\2b = 1\end{array} \right. \)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - \dfrac{1}{2}\\b = \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\)
Vậy \(a = - \dfrac{1}{2};b = \dfrac{1}{2}\)
Câu trả lời của bạn
Đường thẳng \(y = ax + b\) đi qua hai điểm \(A\left( { - 4; - 2} \right)\) và \(B\left( {2;1} \right)\) khi và chỉ khi \(a\) và \(b\) thỏa mãn hệ sau:
\(\left\{ \begin{array}{l} - 4a + b = - 2\\2a + b = 1\end{array} \right. \)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 6a = - 3\\2a + b = 1\end{array} \right. \)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \dfrac{1}{2}\\b = 0\end{array} \right.\)
Vậy \(a = \dfrac{1}{2};b = 0\)
Câu trả lời của bạn
Đường thẳng \(y = ax + b\) đi qua hai điểm \(A\left( {2; - 2} \right)\) và \(B\left( { - 1;3} \right)\) khi và chỉ khi \(a\) và \(b\) thỏa mãn hệ sau:
\(\left\{ \begin{array}{l}2a + b = - 2\\ - a + b = 3\end{array} \right. \)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3a = - 5\\ - a + b = 3\end{array} \right. \)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - \dfrac{5}{3}\\b = \dfrac{4}{3}\end{array} \right.\)
Vậy \(a = - \dfrac{5}{3};b = \dfrac{4}{3}\)
Câu trả lời của bạn
Đa thức \(P\left( x \right) = 0\) khi và chỉ khi tất cả các hệ số của nó bằng \(0\) hay \(m\) và \(n\) thỏa mãn hệ phương trình
\(\left\{ \begin{array}{l}3m - 5n + 1 = 0\\4m - n - 10 = 0\end{array} \right. \)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3m - 5n + 1 = 0\\20m - 5n - 50 = 0\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3m - 5n + 1 = 0\\ - 17m = - 51\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 3\\3.3 - 5n + 1 = 0\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 3\\5n = 10\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 3\\n = 2\end{array} \right.\)
Trả lời: Vậy \(m = 3;n = 2.\)
Câu trả lời của bạn
\(\left\{ \begin{array}{l}\left( {1 + \sqrt 2 } \right)x + \left( {1 - \sqrt 2 } \right)y = 5\\\left( {1 + \sqrt 2 } \right)x + \left( {1 + \sqrt 2 } \right)y = 3\end{array} \right.\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {1 + \sqrt 2 } \right)x+\left( {1 - \sqrt 2 } \right)y -\left( {1 + \sqrt 2 } \right)x- \left( {1 + \sqrt 2 } \right)y = 5-3\\\left( {1 + \sqrt 2 } \right)x + \left( {1 + \sqrt 2 } \right)y = 3\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2\sqrt 2 y = 2\\\left( {1 + \sqrt 2 } \right)x + \left( {1 + \sqrt 2 } \right)y = 3\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = - \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\\\left( {1 + \sqrt 2 } \right)x + \left( {1 + \sqrt 2 } \right).\left( { - \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}} \right) = 3\end{array} \right.\end{array}\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = - \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\\\left( {1 + \sqrt 2 } \right)x = 3 + \dfrac{{2 + \sqrt 2 }}{2}\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = - \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\\x = \dfrac{{8 + \sqrt 2 }}{{2\left( {\sqrt 2 + 1} \right)}}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = - \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\\x = \dfrac{{ - 6 + 7\sqrt 2 }}{2}\end{array} \right.\)
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất \(\left( {x;y} \right) = \left( {\dfrac{{ - 6 + 7\sqrt 2 }}{2}; - \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)\)
Câu trả lời của bạn
Ta giải bằng cách nhân hai vế của phương trình thứ nhất với \(\sqrt 2 \) rồi cộng từng vế của hai phương trình:
\(\left\{ \begin{array}{l}5x\sqrt 3 + y = 2\sqrt 2 \\x\sqrt 6 - y\sqrt 2 = 2\end{array} \right. \)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5x\sqrt 6 + y\sqrt 2 = 4\\x\sqrt 6 - y\sqrt 2 = 2\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}6x\sqrt 6 = 6\\x\sqrt 6 - y\sqrt 2 = 2\end{array} \right. \)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{1}{{\sqrt 6 }}\\\dfrac{1}{{\sqrt 6 }}.\sqrt 6 - y\sqrt 2 = 2\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{1}{{\sqrt 6 }}\\1 - y\sqrt 2 = 2\end{array} \right. \)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{1}{{\sqrt 6 }}\\y\sqrt 2 = - 1\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{\sqrt 6 }}{6}\\y = - \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\end{array} \right.\)
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất \(\left( {x;y} \right) = \left( {\dfrac{{\sqrt 6 }}{6}; - \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)\)
Câu trả lời của bạn
Đặt \(\dfrac{1}{{x - 2}} = u;\dfrac{1}{{y - 1}} = v\,\), ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}u + v = 2\\2u - 3v = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}u + v = 2\\ - 5v = - 3\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}v = \dfrac{3}{5}\\u = \dfrac{7}{5}\end{array} \right.\)
Do đó, hệ phương trình đã cho tương đương với hệ \(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{{x - 2}} = \dfrac{7}{5}\\\dfrac{1}{{y - 1}} = \dfrac{3}{5}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 2 = \dfrac{5}{7}\\y - 1 = \dfrac{5}{3}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{19}}{7}\\y = \dfrac{8}{3}\end{array} \right.\)
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất \(\left( {x;y} \right) = \left( {\dfrac{{19}}{7};\dfrac{8}{3}} \right)\)
Câu trả lời của bạn
Đặt \(\dfrac{1}{x} = u;\dfrac{1}{y} = v,\) ta có hệ phương trình\(\left\{ \begin{array}{l}u - v = 1\\3u + 4v = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3u - 3v = 3\\3u + 4v = 5\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3u+4v-(3u - 3v) = 5-3\\3u + 4v = 5\end{array} \right.\\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}7v = 2\\u - v = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}v = \dfrac{2}{7}\\u = \dfrac{9}{7}\end{array} \right.\)
Do đó hệ phương trình đã cho tương đương với hệ \(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{x} = \dfrac{9}{7}\\\dfrac{1}{y} = \dfrac{2}{7}\end{array} \right.\)
Giải hệ này, ta được \(x = \dfrac{7}{9}\) và \(y = \dfrac{7}{2}.\)
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất \(\left( {x;y} \right) = \left( {\dfrac{7}{9};\dfrac{7}{2}} \right)\)
Hãy giải hệ phương trình sau đây bằng phương pháp cộng đại số: \(\left\{ \begin{array}{l}x\sqrt 2 - 3y = 1\\2x + y\sqrt 2 = - 2\end{array} \right.\)
Câu trả lời của bạn
Ta giải bằng cách nhân hai vế của phương trình thứ nhất với \(\sqrt 2 \) rồi trừ từng vế của hai phương trình:
\(\left\{ \begin{array}{l}x\sqrt 2 - 3y = 1\\2x + y\sqrt 2 = - 2\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x - 3\sqrt 2 y = \sqrt 2 \\2x + y\sqrt 2 = - 2\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 4\sqrt 2 y = 2 + \sqrt 2 \\2x + y\sqrt 2 = - 2\end{array} \right. \)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = - \dfrac{{\sqrt 2 \left( {\sqrt 2 + 1} \right)}}{{4\sqrt 2 }}\\2x + y\sqrt 2 = - 2\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = - \dfrac{{\sqrt 2 + 1}}{4}\\2x - \dfrac{{\sqrt 2 + 1}}{4}.\sqrt 2 = - 2\end{array} \right. \)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = - \dfrac{{\sqrt 2 + 1}}{4}\\2x = \dfrac{{\sqrt 2 - 6}}{4}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = - \dfrac{{\sqrt 2 + 1}}{4}\\x = \dfrac{{\sqrt 2 - 6}}{8}\end{array} \right.\)
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất \(\left( {x;y} \right) = \left( {\dfrac{{\sqrt 2 - 6}}{8}; - \dfrac{{\sqrt 2 + 1}}{4}} \right)\)
Hãy giải hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số: \(\left\{ \begin{array}{l}0,3x + 0,5y = 3\\1,5x - 2y = 1,5\end{array} \right.\)
Câu trả lời của bạn
Cách 1: Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với \(4\) rồi cộng từng vế của hai phương trình
\(\left\{ \begin{array}{l}0,3x + 0,5y = 3\\1,5x - 2y = 1,5\end{array} \right. \)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1,2x + 2y = 12\\1,5x - 2y = 1,5\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2,7x = 13,5\\1,5x - 2y = 1,5\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 5\\1,5.5 - 2.y = 1,5\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 5\\2y = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 5\\y = 3\end{array} \right.\)
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất \(\left( {x;y} \right) = \left( {5;3} \right)\)
Cách 2: Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với \(5\) rồi trừ từng vế của hai phương trình:
\(\left\{ \begin{array}{l}0,3x + 0,5y = 3\\1,5x - 2y = 1,5\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1,5x + 2,5y = 15\\1,5x - 2y = 1,5\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4,5y = 13,5\\1,5x - 2y = 1,5\end{array} \right. \)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 3\\1,5x - 2.3 = 1,5\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 3\\1,5x = 7,5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 3\\x = 5\end{array} \right.\)
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất \(\left( {x;y} \right) = \left( {5;3} \right)\)
Hãy giải hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số: \(\left\{\begin{array}{l}2x + 3y = - 2\\3x - 2y = - 3\end{array} \right.\)
Câu trả lời của bạn
Ta giải hệ phương trình bằng cách nhân hai vế của phương trình thứ nhất với \(2,\) nhân hai vế của phương trình thứ hai với \(3\) rồi cộng từng vế hai phương trình:
\(\left\{ \begin{array}{l}2x + 3y = - 2\\3x - 2y = - 3\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4x + 6y = - 4\\9x - 6y = - 9\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}13x = - 13\\2x + 3y = - 2\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 1\\y = 0\end{array} \right.\)
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất \(\left( {x;y} \right) = \left( { - 1;0} \right)\)
Hãy giải hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số: \(\left\{ \begin{array}{l}2x + 5y = 8\\2x - 3y = 0\end{array} \right.\)
Câu trả lời của bạn
Trừ từng vế hai phương trình của hệ đã cho, ta được \(8y = 8\). Do đó
\(\left\{ \begin{array}{l}2x + 5y = 8\\2x - 3y = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}8y = 8\\2x - 3y = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 1\\2x - 3.1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 1\\x = \dfrac{3}{2}\end{array} \right.\)
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất \(\left( {x;y} \right) = \left( {\dfrac{3}{2};1} \right)\)
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *