Hôm nay chúng ta sẽ đi sang bài học Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình, bài học này sẽ hướng dẫn các em giải quyết bài toán bằng cách lập hệ phương trình. Thay vì cho hệ thuần phương trình hai ẩn, đề bài thường cho các dạng toán như nước chảy, quãng đường vật di chuyển,... ta đưa nó về hệ rồi giải.
Để giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình, chúng ta làm theo các bước sau:
Chọn ẩn và đặt điều kiện cho ẩn
Biểu đạt các đại lượng khác nhau theo ẩn
Dựa vào đề bài toán, lập phương trình theo dạng đã học
Dạng toán chuyển động
Dạng toán kết hợp các đại lượng hình học
Dạng toán làm việc chung 1 tập thể, làm việc cá nhân
Dạng toán nước chảy
Dạng toán tìm số
Dạng toán kết hợp vật lý, hóa học
...
Bài 1: Hình chữ nhật có diện tích là \(100cm\), nếu tăng chiều dài lên \(5cm\), giảm chiều rộng đi \(1cm\) thì diện tích không đổi. Tính chu vi hình chữ nhật ban đầu
Hướng dẫn: Gọi chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật lần lượt là \(a;b(a>b>0)\) theo đề, ta có:
\(\left\{\begin{matrix} ab=100\\ (a+5)(b-1)=100 \end{matrix}\right.\)
Giải hệ phương trình, ta được \(a=20cm; b=5cm\)
Vậy chu vi ban đầu của hình chữ nhật là \(50cm\)
Bài 2: Hai ô tô chạy từ A đến B dài 120km. Mỗi giờ ô tô thứ nhất hơn ô tô thứ 2 là 10km nên đến sớm hơn ô tô thứ hai là 24 phút. Tính vận tốc mỗi ô tô.
Hướng dẫn:
Gọi vận tốc của ô tô thứ nhất và thứ hai lần lượt là \(x;y(km/h)(x>y)\)
Theo đề, ta có:
24 phút \(=\frac{2}{5}\) giờ
\(\left\{\begin{matrix} x-y=10\\ \frac{120}{x}+\frac{2}{5}=\frac{120}{y} \end{matrix}\right.\)
Giải hệ ta tìm được \(x=60km/h,y=50km/h\)
Bài 3: Tìm một số có hai chữ số, biết rằng chữ số hàng đơn vị hơn chữ số hàng chục là 2, tích hai chữ số hơn tổng của chúng là 7
Hướng dẫn:
Gọi số đó là \(\bar{ab},(a,b\epsilon \mathbb{N})\)
Theo đề, ta có hệ phương trình: \(\left\{\begin{matrix} a+2=b\\ ab=a+b+7 \end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a=3\\ b=5 \end{matrix}\right.\)
Vậy, số cần tìm là 35
Bài 1: Tìm một số có ba chữ số, biết rằng khi chia số đó cho 11 ta được thương bằng tổng các chữ số của số bị chia
Hướng dẫn: Gọi số cần tìm là \(\bar{abc}(a,b,c>0; a,b,c \epsilon \begin{Bmatrix} 1;10 \end{Bmatrix})\)
Theo đề, ta có: \(100a+10b+c=11(a+b+c)\)
\(\Leftrightarrow 100a+10b+c=11a+11b+11c\)
\(\Leftrightarrow 89a=b+10c\)
Nếu \(a>1\Rightarrow 89a\) có ít nhất 3 chữ số, mà vế phải là một tổng có hai chữ số.
Vậy \(a=1\)\(\Rightarrow 89=10c+b\)
Mà \(10c+b\) chính là \(\bar{cb}\).
Vậy số cần tìm là 198
Bài 2: Đem một số có hai chữ số nhân với tổng của các chữ số với nhau thì được kết quả là 405. Nếu viết ngược lại bằng cách như vậy thì tích nhận được là 468. Tìm số đó
Hướng dẫn:
Gọi số cần tìm là \(\bar{ab}(a;b\epsilon \mathbb{N})\)
Theo đề, ta có hệ phương trình \(\left\{\begin{matrix} (10a+b).(a+b)=405\\ (10b+a).(b+a)=486 \end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 10a^2+11ab+b^2=405(1)\\ 10b^2+11ab+a^2=486(2) \end{matrix}\right.\)
Lấy (2) trừ cho (1) ta được: \(b^2-a^2=9\Leftrightarrow (b-a)(a+b)=9\)
Mà a, b là các số tự nhiên, dễ dàng suy ra \(a=4;b=5\)
Vậy số cần tìm là 45
Qua bài giảng Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình này, các em cần hoàn thành 1 số mục tiêu mà bài đưa ra như :
Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 9 Bài 5để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.
Khu vườn hình chữ nhật có chu vi là \(48m\). Nếu tăng chiều rộng lên 4 lần và chiều dài lên 3 lần thì chu vi khu vườn sẽ thành \(162m\). Diện tích khu vườn ban đầu là:
Một miếng đất hình chữ nhật có diện tích là \(300(m^2)\), nếu tăng chiều rộng lên \(5m\) và giảm chiều dài đi \(5m\) thì diện tích không đổi. Chu vi của miếng đất ban đầu là:
Câu 3-5: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 9 Bài 5 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Toán 9 tập 2
Bài tập 28 trang 22 SGK Toán 9 Tập 2
Bài tập 29 trang 22 SGK Toán 9 Tập 2
Bài tập 30 trang 22 SGK Toán 9 Tập 2
Bài tập 35 trang 13 SBT Toán 9 Tập 2
Bài tập 36 trang 13 SBT Toán 9 Tập 2
Bài tập 37 trang 13 SBT Toán 9 Tập 2
Bài tập 38 trang 13 SBT Toán 9 Tập 2
Bài tập 39 trang 13 SBT Toán 9 Tập 2
Bài tập 40 trang 13 SBT Toán 9 Tập 2
Bài tập 41 trang 13 SBT Toán 9 Tập 2
Bài tập 42 trang 14 SBT Toán 9 Tập 2
Bài tập 43 trang 14 SBT Toán 9 Tập 2
Bài tập 44 trang 14 SBT Toán 9 Tập 2
Bài tập 45 trang 14 SBT Toán 9 Tập 2
Bài tập 46 trang 14 SBT Toán 9 Tập 2
Bài tập 47 trang 14 SBT Toán 9 Tập 2
Bài tập 48 trang 14 SBT Toán 9 Tập 2
Bài tập 49 trang 14 SBT Toán 9 Tập 2
Bài tập 50 trang 15 SBT Toán 9 Tập 2
Bài tập 5.1 trang 15 SBT Toán 9 Tập 2
Bài tập 5.2 trang 15 SBT Toán 9 Tập 2
Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán DapAnHay sẽ sớm trả lời cho các em.
-- Mod Toán Học 9 DapAnHay
Khu vườn hình chữ nhật có chu vi là \(48m\). Nếu tăng chiều rộng lên 4 lần và chiều dài lên 3 lần thì chu vi khu vườn sẽ thành \(162m\). Diện tích khu vườn ban đầu là:
Một miếng đất hình chữ nhật có diện tích là \(300(m^2)\), nếu tăng chiều rộng lên \(5m\) và giảm chiều dài đi \(5m\) thì diện tích không đổi. Chu vi của miếng đất ban đầu là:
Tìm một số có hai chữ số, biết rằng chữ số hàng đơn vị nhỏ hơn chữ số hàng chục là 3, tích của hai chữ số đó lớn hơn tổng của chúng là 27.
Có hai hộp bi, nếu lấy số bi từ hộp thứ nhất một số bi bằng số bi hộp thứ hai rồi bỏ vào hộp thứ hai, rồi lại lấy từ hộp thứ hai một số bi bằng số bi còn lại của hộp thứ nhất và bỏ vào hộp thứ nhất, cuối cùng lấy từ hộp thứ nhất số bi bằng số bị còn lại của hộp thứ hai bỏ vào hộp thứ hai, ta được mỗi hộp đều 16 viên. Số viên bi ban đầu của các hộp lần lượt là:
Lấy một số có hai chữ số nhân với tổng các chữ số ta được tích là 684. Nếu lấy số được viết bởi hai số theo thứ tự ngược lại nhân với tổng các chữ số, ta được tích là 900. Số cần tim ban đầu là:
Tìm hai số tự nhiên, biết rằng tổng của chúng bằng 1006 và nếu lấy số lớn chia cho số nhỏ thì được thương là 2 và số dư là 124
Giải bài toán cổ sau:
Quýt, cam mười bảy quả tươi
Đem chia cho mọt trăm người cùng vui.
Chia ba mỗi quả quýt rồi
Còn cam mỗi quả chia mười vừa xinh.
Trăm người, trăm miếng ngọt lành.
Quýt, cam mỗi loại tính rành là bao?
Một ô tô đi từ A và dự định đến B lúc 12 giờ trưa. Nếu xe chạy với vận tốc 35 km/h thì sẽ đến B chậm 2 giờ so với quy định. Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h thì sẽ đến B sớm 1 giờ so với quy định. Tính độ dài quãng đường AB và thời điểm xuất phát của ôtô tại A.
Tổng của hai số bằng \(59\). Hai lần của số này bé hơn ba lần của số kia là \(7\). Tìm hai số đó.
Bảy năm trước tuổi mẹ bằng năm lần tuổi con cộng thêm \(4\). Năm nay tuổi mẹ vừa đúng gấp ba lần tuổi con. Hỏi năm nay mỗi người bao nhiêu tuổi?
Cho một số có hai chữ số. Nếu đổi chỗ hai chữ số của nó thì được một số lớn hơn số đã cho là \(63\). Tổng của số đã cho và số mới tạo thành bằng \(99\). Tìm số đã cho.
Hai anh Quang và Hùng góp vốn cùng kinh doanh. Anh Quang góp \(15\) triệu đồng, anh Hùng góp \(13\) triệu đồng. Sau một thời gian được lãi \(7\) triệu đồng. Lãi được chia tỉ lệ với vốn đã góp. Em hãy dùng cách giải hệ phương trình để tính tiền lãi mà mỗi anh được hưởng.
Hôm qua mẹ của Lan đi chợ mua năm quả trứng gà và năm quả trứng vịt hết \(10 000\) đồng. Hôm nay mẹ Lan mua ba quả trứng gà và bảy quả trứng vịt chỉ hết \(9 600\) đồng mà giá trứng thì vẫn như cũ. Hỏi giá một quả trứng mỗi loại là bao nhiêu?
Một sân trường hình chữ nhật có chu vi \(340m\). Ba lần chiều dài hơn bốn lần chiều rộng là \(20m.\) Tính chiều dài và chiều rộng của sân trường.
Làm trần tầng một của nhà văn hóa xã phải dùng \(30\) cây sắt \(∅18\) (đọc là sắt “phi \(18\)”; tức là đường kính thiết diện cây sắt bằng \(18mm\)) và \(350kg\) sắt \(∅8\) hết một khoản tiền. Vì trần tầng hai hẹp hơn nên chỉ cần \(20\) cây sắt \(∅18\) và \(250kg\) sắt \(∅8\), do đó chỉ hết một khoản tiền ít hơn khoản tiền lần trước là \(1 440 000 \) đồng. Tính giá tiền của một cây sắt \(∅18\) và giá tiền \(1kg\) sắt \(∅8\), biết rằng giá tiền một cây sắt \(∅18\) đắt gấp \(22\) lần giá tiền \(1kg\) sắt \(∅8.\)
Trong phòng học có một số ghế dài. Nếu xếp mỗi ghế ba học sinh thì sáu học sinh không có chỗ. Nếu xếp mỗi ghế bốn học sinh thì thừa một ghế. Hỏi lớp có bao nhiêu ghế và bao nhiêu học sinh?
Trên một cánh đồng cấy \(60\) ha lúa giống mới và \(40\) ha lúa giống cũ. Thu hoạch được tất cả \(460\) tấn thóc. Hỏi năng suất mỗi loại lúa trên một ha là bao nhiêu biết rằng \(3\) ha trồng lúa mới thu hoạch được ít hơn \(4\) ha trồng lúa cũ là \(1\) tấn.
Hai người thợ cùng xây một bức tường trong \(7\) giờ \(12\) phút thì xong (vôi vữa và gạch có công nhân khác vận chuyển). Nếu người thứ nhất làm trong \(5\) giờ và người thứ hai làm trong \(6\) giờ thì cả hai xây được \(\displaystyle{3 \over 4}\) bức tường. Hỏi mỗi người làm một mình thì bao lâu xây xong bức tường?
Hai công nhân cùng sơn cửa cho một công trình trong bốn ngày thì xong việc. Nếu người thứ nhất làm một mình trong chín ngày rồi người thứ hai đến cùng làm tiếp trong một ngày nữa thì xong việc. Hỏi mỗi người làm một mình thì bao lâu xong việc?
Hai cần cẩu lớn bốc dỡ một lô hàng ở cảng Sài Gòn. Sau \(3\) giờ có thêm năm cần cẩu bé (công suất bé hơn) cùng làm việc. Cả bảy cần cẩu làm việc \(3\) giờ nữa thì xong. Hỏi mỗi cần cẩu làm việc một mình thì bao lâu xong việc, biết rằng nếu cả bảy cần cẩu cùng làm việc từ đầu thì trong \(4\) giờ xong việc.
Bác Toàn đi xe đạp từ thị xã về làng, cô Ba Ngần cũng đi xe đạp, nhưng từ làng lên thị xã. Họ gặp nhau khi bác Toàn đã đi được \(1\) giờ rưỡi, còn cô Ba Ngần đã đi được \(2\) giờ. Một lần khác hai người cũng đi từ hai địa điểm như thế nhưng họ khởi hành đồng thời; sau \(1\) giờ \(15\) phút họ còn cách nhau \(10,5km\). Tính vận tốc của mỗi người, biết rằng làng cách thị xã \(38km\).
Ga Sài Gòn cách ga Dầu Giây \(65km\). Xe khách ở Thành phố Hồ Chí Minh, xe hàng ở Dầu Giây đi ngược chiều nhau và xe khách khởi hành sau xe hàng \(36\) phút, sau khi xe khách khởi hành \(24\) phút nó gặp xe hàng. Nếu hai xe khởi hành đồng thời và cùng đi Hà Nội thì sau \(13\) giờ hai xe gặp nhau. Tính vận tốc của mỗi xe, biết rằng xe khách đi nhanh hơn xe hàng.
Để sửa một ngôi nhà cần một số thợ làm việc trong một thời gian quy định. Nếu giảm ba người thì thời gian kéo dài sáu ngày. Nếu tăng thêm hai người thì xong sớm hai ngày. Hỏi theo quy định cần bao nhiêu thợ và làm trong bao nhiêu ngày, biết rằng khả năng lao động của mọi thợ đều như nhau?
Cho hình vuông \(ABCD\) cạnh \(y (cm)\). Điểm \(E\) thuộc cạnh \(AB\). Điểm \(G\) thuộc tia \(AD\) sao cho \(AG = AD +\displaystyle {3 \over 2}EB.\) Dựng hình chữ nhật \(GAEF.\)
Đặt \(EB = 2x (cm)\). Tính \(x\) và \(y\) để diện tích của hình chữ nhật bằng diện tích hình vuông và ngũ giác \(ABCFG\) có chu vi bằng \(100 + 4\sqrt {13}(cm) \)
Tổng số tuổi của tôi và của em tôi năm nay bằng \(26\). Khi tổng số tuổi của chúng tôi gấp \(5\) lần tuổi của tôi hiện nay thì tuổi của tôi khi đó sẽ gấp \(3\) lần tuổi của em tôi hiện nay. Hãy tính tuổi hiện nay của mỗi người chúng tôi.
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
Câu trả lời của bạn
Bước 1: Gọi số lớn là \(x;\) số nhỏ là \(y\,.\) Điều kiện là \(x > y;\,x;y \in \mathbb{N}.\)
Theo điều kiện thứ nhất, tổng của hai số bằng \(1006\) nên ta có phương trình \(x + y = 1006\)
Theo điều kiện thứ hai, khi lấy số lớn chia cho số nhỏ ta được thương là \(2\) và số dư là \(124\) nên ta có phương trình \(x = 2y + 124\) với điều kiện \(y > 124\).
Do đó, ta có hệ phương trình:\(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 1006\\x = 2y + 124\end{array} \right.\)
Bước 2: Giải hệ phương trình này
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x + y = 1006\\x = 2y + 124\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2y + 124 + y = 1006\\x = 2y + 124\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 294\\x = 2.294 + 124\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 294\\x = 712\end{array} \right.\,\left( {TM} \right)\end{array}\)
Bước 3: Các số tìm được \(294;712.\)
Vậy số lớn là \(712\) và số nhỏ là \(294.\)
Chú ý: Nói chia \(a\) cho \(b\) (\(a,b\) nguyên dương) được thương là \(q\) và dư \(r,\) tức là ta có đẳng thức \(a = bq + r\) với \(0 \le r < b.\)
Câu trả lời của bạn
Giả sử khi chảy riêng vòi thứ nhất chảy đầy bể trong \(x\) (phút) và vòi thứ hai chảy đầy bể trong \(y\) (phút). Điều kiện là: \(x;y > 80\).
Vòi thứ nhất chảy một mình trong 1 phút được \(\dfrac{1}{x}\) bể
Vòi thứ hai chảy một mình trong 1 phút được \(\dfrac{1}{y}\) bể
Nên hai vòi cùng chảy trong 1 phút được \(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}\) (bể)
Vì hai vòi cũng chảy vào bể cạn thì sau \(1\) giờ 20 phút \( = 80\) phút thì đầy bể nên ta có phương trình
\(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{{80}}\) (1)
Từ giả thiết mở vòi thứ nhất trong 10 phút và mở vòi thứ hai trong 12 phút thì được \(\dfrac{2}{{15}}\) bể nước nên ta có phương trình \(10.\dfrac{1}{x} + 12.\dfrac{1}{y} = \dfrac{2}{{15}}\) (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{{80}}\\10.\dfrac{1}{x} + 12.\dfrac{1}{y} = \dfrac{2}{{15}}\end{array} \right.\)
Đặt \(\dfrac{1}{x} = u;\dfrac{1}{y} = v\) ta có hệ
\(\left\{ \begin{array}{l}u + v = \dfrac{1}{{80}}\\10u + 12v = \dfrac{2}{{15}}\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}u = \dfrac{1}{{80}} - v\\10\left( {\dfrac{1}{{80}} - v} \right) + 12v = \dfrac{2}{{15}}\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}u = \dfrac{1}{{80}} - v\\\dfrac{1}{8} - 10v + 12v = \dfrac{2}{{15}}\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}u = \dfrac{1}{{80}} - v\\2v = \dfrac{1}{{120}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}v = \dfrac{1}{{240}}\\u = \dfrac{1}{{120}}\end{array} \right.\,\left( {\,thỏa\, mãn} \right)\)
Thay về cách đặt, ta được
\(x=\dfrac{1}{u} = 120 (\,thỏa\, mãn)\) và \({y} = \dfrac{1}{v}=240 (\,thỏa\, mãn)\)
Vậy vòi thứ nhất chảy riêng trong \(120\) phút thì đầy bể, vòi thứ hai chảy riêng trong \(240\) phút thì đầy bể.
Câu trả lời của bạn
Gọi \(x\) là số luống và \(y\) là số cây cải bắp trên mỗi luống. Điều kiện: \(x > 4;y > 3;x,y \in N\).
Khi đó số cây cải bắp ban đầu có trong vườn là \(N = xy\) (cây)
Nếu tăng thêm 8 luống rau, nhưng mỗi luống trồng ít đi 3 cây thì số cây rau trong vườn sẽ là \(\left( {x + 8} \right)\left( {y - 3} \right)\) cây, lúc này số cây ít hơn 54 cây so với N. Điều đó được thể hiện bởi phương trình \(\left( {x + 8} \right)\left( {y - 3} \right) + 54 = xy\)
Nếu giảm đi 4 luống rau, nhưng mỗi luống trồng tăng thêm 2 cây thì số cây rau trong vườn sẽ là \(\left( {x - 4} \right)\left( {y + 2} \right)\) cây, lúc này số cây tăng thêm 32 cây so với N. Điều đó được thể hiện bởi phương trình \(\left( {x - 4} \right)\left( {y + 2} \right) - 32 = xy\)
Ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {x + 8} \right)\left( {y - 3} \right) + 54 = xy\\\left( {x - 4} \right)\left( {y + 2} \right) - 32 = xy\end{array} \right.\) , thu gọn là \(\left\{ \begin{array}{l} - 3x + 8y + 30 = 0\\2x - 4y - 40 = 0\end{array} \right.\)
Ta giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số:
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l} - 3x + 8y + 30 = 0\\2x - 4y - 40 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 3x + 8y + 30 = 0\\4x - 8y - 80 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 3x + 8y + 30 = 0\\x - 50 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 50\\ - 3.50 + 8y + 30 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 50\\8y = 120\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 50\\y = 15\end{array} \right.\left( {tm} \right)\end{array}\)
Trả lời: Vậy số cây cải trong vườn ban đầu là \(15.50 = 750\) cây.
Câu trả lời của bạn
Bước 1: Giả sử nếu làm riêng thì người thứ nhất hoàn thành công việc trong \(x\) (giờ); người thứ hai trong \(y\) (giờ) (điều kiện là: \(x;y > 16\))
Khi đó, trong 1 giờ người thứ nhất làm được \(\dfrac{1}{x}\) công việc; người thứ hai làm được \(\dfrac{1}{y}\) công việc nên cả hai người làm được \(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}\) công việc.
Hai người cùng làm trong 16 giờ thì xong nên ta có phương trình \(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{{16}}\)
Người thứ nhất làm trong 3 giờ và người thứ hai làm trong 6 giờ thì chỉ hoàn thành được \(25\% = \dfrac{1}{4}\) công việc. Điều đó dẫn đến phương trình \(3.\dfrac{1}{x} + 6.\dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{4}\)
Ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{{16}}\\3.\dfrac{1}{x} + 6.\dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{4}\end{array} \right.\)
Bước 2: Đặt \(\dfrac{1}{x} = u;\dfrac{1}{y} = v\,\), ta được hệ phương trình bậc nhất hai ẩn \(u\) và \(v\).
\(\left\{ \begin{array}{l}u + v = \dfrac{1}{{16}}\\3u + 6v = \dfrac{1}{4}\end{array} \right.\)
Ta giải hệ phương trình này bằng phương pháp cộng đại số:
\(\left\{ \begin{array}{l}u + v = \dfrac{1}{{16}}\\3u + 6v = \dfrac{1}{4}\end{array} \right. \)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3u + 3v = \dfrac{3}{{16}}\\3u + 6v = \dfrac{1}{4}\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}u + v = \dfrac{1}{{16}}\\3v = \dfrac{1}{{16}}\end{array} \right. \)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}v = \dfrac{1}{{48}}\\u = \dfrac{1}{{24}}\end{array} \right.\,\left( {\,thỏa\, mãn} \right)\)
Trở về phương trình đầu, ta được \(x = \dfrac{1}{u} = 24\left( {\,thỏa\, mãn} \right)\) và \(y = \dfrac{1}{v} = 48\left( {\,thỏa\, mãn} \right)\)
Bước 3: Vậy người thứ nhất làm riêng trong \(24\) giờ thì xong công việc, người thứ hai làm riêng trong \(48\) giờ thì xong công việc.
Câu trả lời của bạn
Bước 1: Gọi \(x\) (giờ) là thời gian để riêng vòi thứ nhất chảy đầy bể; \(y\) (giờ) là thời gian để riêng vòi thứ hai chảy đầy bể. Điều kiện của ẩn là: \(x;y > \dfrac{{24}}{5}\).
Khi đó, riêng vòi thứ nhất chảy trong 1 giờ thì được \(\dfrac{1}{x}\) bể.
Riêng vòi thứ hai chảy trong 1 giờ thì được \(\dfrac{1}{y}\) bể
Vậy hai vòi cùng chảy từ đầu trong \(4\dfrac{4}{5}\) giờ (tức \(\dfrac{{24}}{5}\) giờ) thì được \(\dfrac{{24}}{5}\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}} \right)\) bể nước và đầy bể theo giả thiết ta có phương trình \(\dfrac{{24}}{5}\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}} \right) = 1 \Leftrightarrow \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{5}{{24}}\)
Giả thiết thứ hai có nghĩa là mở vòi thứ nhất chảy trong \(\left( {9 + \dfrac{6}{5}} \right)\) giờ cộng với vòi thứ hai chảy trong \(\dfrac{6}{5}\) giờ nữa thì đầy bể. Điều đó được mô tả bởi phương trình \(\dfrac{{51}}{5}.\dfrac{1}{x} + \dfrac{6}{5}.\dfrac{1}{y} = 1\)
Ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{5}{{24}}\\\dfrac{{51}}{5}.\dfrac{1}{x} + \dfrac{6}{5}.\dfrac{1}{y} = 1\end{array} \right.\)
Bước 2: Đặt \(\dfrac{1}{x} = u;\dfrac{1}{y} = v\,\) ta có hệ phương trình bậc nhất hai ẩn \(u\) và \(v:\) \(\left\{ \begin{array}{l}u + v = \dfrac{5}{{24}}\\\dfrac{{51}}{5}u + \dfrac{6}{5}v = 1\end{array} \right.\)
Ta giải hệ này bằng phương pháp cộng đại số
\(\left\{ \begin{array}{l}u + v = \dfrac{5}{{24}}\\\dfrac{{51}}{5}u + \dfrac{6}{5}v = 1\end{array} \right. \)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{6}{5}u + \dfrac{6}{5}v = \dfrac{1}{4}\\\dfrac{{51}}{5}u + \dfrac{6}{5}v = 1\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}u + v = \dfrac{5}{{24}}\\9u = \dfrac{3}{4}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}u = \dfrac{1}{{12}}\\v = \dfrac{1}{8}\end{array} \right.\,\left( {tm} \right)\)
Trở về phương trình ban đầu, ta có \(x = \dfrac{1}{u} = 12\left( {tm} \right)\) và \(y = \dfrac{1}{v} = 8\left( {tm} \right)\)
Bước 3: Giá trị \(x\) và \(y\) tìm được lần lượt là \(12\) và \(8.\)
Vậy vòi thứ nhất chảy riêng trong \(12\) giờ thì đầy bể, vòi thứ hai chảy riêng trong \(8\) giờ thì đầy bể.
Câu trả lời của bạn
Bước 1: Gọi độ dài hai cạnh góc vuông của tam giác vuông lần lượt là \(x;y\,\,\,\left( {cm} \right);\,\left( {x;y > 0} \right)\)
Diện tích tam giác vuông ban đầu là \(S = \dfrac{1}{2}xy\,\left( {c{m^2}} \right)\)
Nếu tăng mỗi cạnh lên 3cm thì ta được tam giác vuông mới có hai cạnh góc vuông là \(\left( {x + 3} \right)\,cm;\,\left( {y + 3} \right)\,cm\) nên diện tích tam giác vuông mới là \(\dfrac{1}{2}\left( {x + 3} \right)\left( {y + 3} \right)\,\left( {c{m^2}} \right)\), mà diện tích tam giác vuông lúc này tăng thêm \(36\,c{m^2}\) so với ban đầu nên ta có phương trình \(\dfrac{1}{2}\left( {x + 3} \right)\left( {y + 3} \right) - 36 = \dfrac{1}{2}xy\) (1)
Nếu giảm một cạnh 2cm và giảm cạnh kia 4cm thì ta được tam giác vuông mới có hai cạnh góc vuông là \(\left( {x - 2} \right)\,cm;\,\left( {y - 4} \right)\,cm\) \(\left( {x > 2;y > 4} \right)\) nên diện tích tam giác vuông mới là \(\dfrac{1}{2}\left( {x - 2} \right)\left( {y - 4} \right)\,\left( {c{m^2}} \right)\), mà diện tích tam giác vuông lúc này giảm đi \(26\,c{m^2}\) so với ban đầu nên ta có phương trình \(\dfrac{1}{2}\left( {x - 2} \right)\left( {y - 4} \right) + 26 = \dfrac{1}{2}xy\) (2)
Bước 2: Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình
\(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{2}\left( {x + 3} \right)\left( {y + 3} \right) - 36 = \dfrac{1}{2}xy\\\dfrac{1}{2}\left( {x - 2} \right)\left( {y - 4} \right) + 26 = \dfrac{1}{2}xy\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}xy + 3x + 3y + 9 - 72 = xy\\xy - 4x - 2y + 8 + 52 = xy\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x + 3y = 63\\ - 4x - 2y = - 60\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 21 - y\\ - 4\left( {21 - y} \right) - 2y = - 60\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 21 - y\\ - 84 + 4y - 2y = - 60\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 21 - y\\2y = 24\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 12\\x = 21 - 12\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 12\\x = 9\end{array} \right.\left( {TM} \right)\)
Bước 3: Vậy độ dài hai cạnh góc vuông của tam giác vuông ban đầu là \(9cm;12cm.\)
Một chiếc ô tô đi từ A và dự định đến B lúc 12 giờ trưa. Nếu xe chạy với vận tốc 35 km/h thì sẽ đến B chậm mất 2 giờ so với dự định. Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h thì sẽ đến B sớm hơn 1 giờ so với dự định. Hãy tính độ dài quãng đường AB và thời điểm xuất phát của ô tô tại A.
Câu trả lời của bạn
Bước 1: Gọi \(x\left( {km} \right)\) là độ dài quãng đường \(AB\) và \(y\) (giờ) là thời gian đi theo dự định để đến \(B\) lúc \(12\) giờ trưa. Điều kiện của ẩn là \(x > 0;y > 1.\)
Nếu xe chạy với vận tốc \(35km/h\) thì thời gian đi từ A đến B là \(\dfrac{x}{{35}}\) (giờ). Khi đó xe đến B chậm mất 2 giờ so với dự định nên ta có phương trình \(\dfrac{x}{{35}} - 2 = y\)
Nếu xe chạy với vận tốc \(50km/h\) thì thời gian đi từ A đến B là \(\dfrac{x}{{50}}\,\) (giờ). Khi đó xe đến B sớm 1 giờ so với dự định nên ta có phương trình \(\dfrac{x}{{50}} + 1 = y\)
Bài toán dẫn đến việc giải hệ phương trình:
\(\left( I \right):\left\{ \begin{array}{l}y = \dfrac{x}{{35}} - 2\\y = \dfrac{x}{{50}} + 1\end{array} \right.\)
Bước 2: Giải hệ phương trình
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình
\(\begin{array}{l}\left( I \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = \dfrac{x}{{35}} - 2\\\dfrac{x}{{35}} - 2 = \dfrac{x}{{50}} + 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = \dfrac{x}{{35}} - 2\\10x - 700 = 7x + 350\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = \dfrac{x}{{35}} - 2\\3x = 1050\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 350\\y = 8\end{array} \right.\left( {tm} \right)\end{array}\)
Bước 3: Các giá trị tìm được của \(x\) và \(y\) lần lượt là \(350\) và \(8.\)
Trả lời: Quãng đường \(AB\) dài \(350\,km\).
Thời gian dự định để đến A lúc \(12\) giờ trưa là \(8h\) nên thời điểm xuất phát của xe là \(12 - 8 = 4\,\) giờ.
Câu trả lời của bạn
Giả sử khi không kể thuế VAT, người đó phải trả \(x\) triệu đồng cho loại hàng thứ nhất, \(y\) triệu đồng cho loại hàng thứ hai. (điều kiện là: \(x;y > 0\))
Khi đó, số tiền phải trả cho loại hàng thứ nhất, kể cả thuế VAT \(10\% \) là \(\left( {100 + 10\% } \right)x = 1,1x\) triệu đồng.
Và số tiền phải trả cho loại hàng thứ hai, kể cả thuế VAT \(8\% \) là \(\left( {100 + 8\% } \right)y = 1,08y\) triệu đồng.
Ta có phương trình \(1,1x + 1,08y = 2,17\)
Khi thuế VAT là \(9\% \) cho cả hai loại hàng thì số tiền phải trả là 2,18 triệu đồng nên ta có phương trình \(1,09x + 1,09y = 2,18\)
Ta có hệ phương trình
\(\left\{ \begin{array}{l}1,1x + 1,08y = 2,17\\1,09x + 1,09y = 2,18\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1,1x + 1,08y = 2,17\\x + y = 2\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2 - y\\1,1\left( {2 - y} \right) + 1,08y = 2,17\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2 - y\\0,02y = 0,03\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 1,5\\x = 0,5\end{array} \right.\,\,\left( {TM} \right)\)
Trả lời: Vậy khi không kể thuế VAT, người đó phải trả \(0,5\) triệu đồng cho loại hàng thứ nhất, \(1,5\) triệu đồng cho loại hàng thứ hai.
Câu trả lời của bạn
Câu trả lời của bạn
Hai đội công nhân cùng sửa một đoạn đường dự định trong 4 ngày thì xong công việc . Nhưng mới làm chung được 1 ngày thì đội Hai được điều đi làm công việc khác , còn lại đội Một làm một mình trong 9 ngày nữa mới hoàn thành đoạn đường . Hỏi nếu mỗi đội làm riêng thì sau bao lâu sẽ xong đoạn đường ?
Câu trả lời của bạn
Câu trả lời của bạn
Đổi 24phut = 0.4(h)
Gọi vận tốc ô tô thứ nhất là x (km/h) x>0
Vận tốc ô tô thứ hai x-10 (km/h)
Thời gian ô tô thứ nhất đi hết quãng đường là 120/x (h)
Thời gian ô tô thứ nhất đi hết quãng đường là 120/x-10 (h)
Theo đề , ta có phương trình
120/x-10 -120/x =0,4
... giải pt
x=60 (Nhận) hoặc x=-50(Loại)
Vậy vận tốc xe thứ nhất là 60 km/h, vận tốc xe thứ hai là 60-10=50km/h
Câu trả lời của bạn
Câu trả lời của bạn
Bước 1: Gọi số lớn là \(x;\) số nhỏ là \(y\,.\) Điều kiện là \(x > y;\,x;y \in \mathbb{N}.\)
Theo điều kiện thứ nhất, tổng của hai số bằng \(1006\) nên ta có phương trình \(x + y = 1006\)
Theo điều kiện thứ hai, khi lấy số lớn chia cho số nhỏ ta được thương là \(2\) và số dư là \(124\) nên ta có phương trình \(x = 2y + 124\) với điều kiện \(y > 124\).
Do đó, ta có hệ phương trình:\(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 1006\\x = 2y + 124\end{array} \right.\)
Bước 2: Giải hệ phương trình này
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x + y = 1006\\x = 2y + 124\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2y + 124 + y = 1006\\x = 2y + 124\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 294\\x = 2.294 + 124\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 294\\x = 712\end{array} \right.\,\left( {TM} \right)\end{array}\)
Bước 3: Các số tìm được \(294;712.\)
Vậy số lớn là \(712\) và số nhỏ là \(294.\)
Chú ý: Nói chia \(a\) cho \(b\) (\(a,b\) nguyên dương) được thương là \(q\) và dư \(r,\) tức là ta có đẳng thức \(a = bq + r\) với \(0 \le r < b.\)
Có một chiếc ô tô đi từ A và dự định đến B lúc 12 giờ trưa. Nếu xe chạy với vận tốc 35 km/h thì sẽ đến B chậm mất 2 giờ so với dự định. Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h thì sẽ đến B sớm hơn 1 giờ so với dự định. Tính độ dài quãng đường AB và thời điểm xuất phát của ô tô tại A.
Câu trả lời của bạn
Bước 1: Gọi \(x\left( {km} \right)\) là độ dài quãng đường \(AB\) và \(y\) (giờ) là thời gian đi theo dự định để đến \(B\) lúc \(12\) giờ trưa. Điều kiện của ẩn là \(x > 0;y > 1.\)
Nếu xe chạy với vận tốc \(35km/h\) thì thời gian đi từ A đến B là \(\dfrac{x}{{35}}\) (giờ). Khi đó xe đến B chậm mất 2 giờ so với dự định nên ta có phương trình \(\dfrac{x}{{35}} - 2 = y\)
Nếu xe chạy với vận tốc \(50km/h\) thì thời gian đi từ A đến B là \(\dfrac{x}{{50}}\,\) (giờ). Khi đó xe đến B sớm 1 giờ so với dự định nên ta có phương trình \(\dfrac{x}{{50}} + 1 = y\)
Bài toán dẫn đến việc giải hệ phương trình:
\(\left( I \right):\left\{ \begin{array}{l}y = \dfrac{x}{{35}} - 2\\y = \dfrac{x}{{50}} + 1\end{array} \right.\)
Bước 2: Giải hệ phương trình
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình
\(\begin{array}{l}\left( I \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = \dfrac{x}{{35}} - 2\\\dfrac{x}{{35}} - 2 = \dfrac{x}{{50}} + 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = \dfrac{x}{{35}} - 2\\10x - 700 = 7x + 350\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = \dfrac{x}{{35}} - 2\\3x = 1050\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 350\\y = 8\end{array} \right.\left( {tm} \right)\end{array}\)
Bước 3: Các giá trị tìm được của \(x\) và \(y\) lần lượt là \(350\) và \(8.\)
Trả lời: Quãng đường \(AB\) dài \(350\,km\).
Thời gian dự định để đến A lúc \(12\) giờ trưa là \(8h\) nên thời điểm xuất phát của xe là \(12 - 8 = 4\,\) giờ.
Chú ý:
Các em lưu ý rằng nếu ngay từ đầu ta đặt ẩn \(y\) là thời điểm xe xuất phát thì ta lại phải xác định thời gian theo dự định mà xe đi từ A đến B đúng 12h. Rồi mới suy ra được hệ phương trình. Như vậy sẽ rất dễ nhầm lẫn và hệ suy ra cũng phức tạp hơn.
Hãy tính dộ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông, biết rằng nếu tăng mỗi cạnh lên 3 cm thì diện tích tam giác sẽ tăng thêm 36 cm2. Và mếu một cạnh giảm đi 2 cm, cạnh kia giảm đi 4 cm thì diện tích tam giác giảm đi 26 cm2
Câu trả lời của bạn
Bước 1: Gọi độ dài hai cạnh góc vuông của tam giác vuông lần lượt là \(x;y\,\,\,\left( {cm} \right);\,\left( {x;y > 0} \right)\)
Diện tích tam giác vuông ban đầu là \(S = \dfrac{1}{2}xy\,\left( {c{m^2}} \right)\)
Nếu tăng mỗi cạnh lên 3cm thì ta được tam giác vuông mới có hai cạnh góc vuông là \(\left( {x + 3} \right)\,cm;\,\left( {y + 3} \right)\,cm\) nên diện tích tam giác vuông mới là \(\dfrac{1}{2}\left( {x + 3} \right)\left( {y + 3} \right)\,\left( {c{m^2}} \right)\), mà diện tích tam giác vuông lúc này tăng thêm \(36\,c{m^2}\) so với ban đầu nên ta có phương trình \(\dfrac{1}{2}\left( {x + 3} \right)\left( {y + 3} \right) - 36 = \dfrac{1}{2}xy\) (1)
Nếu giảm một cạnh 2cm và giảm cạnh kia 4cm thì ta được tam giác vuông mới có hai cạnh góc vuông là \(\left( {x - 2} \right)\,cm;\,\left( {y - 4} \right)\,cm\) \(\left( {x > 2;y > 4} \right)\) nên diện tích tam giác vuông mới là \(\dfrac{1}{2}\left( {x - 2} \right)\left( {y - 4} \right)\,\left( {c{m^2}} \right)\), mà diện tích tam giác vuông lúc này giảm đi \(26\,c{m^2}\) so với ban đầu nên ta có phương trình \(\dfrac{1}{2}\left( {x - 2} \right)\left( {y - 4} \right) + 26 = \dfrac{1}{2}xy\) (2)
Bước 2: Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình
\(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{2}\left( {x + 3} \right)\left( {y + 3} \right) - 36 = \dfrac{1}{2}xy\\\dfrac{1}{2}\left( {x - 2} \right)\left( {y - 4} \right) + 26 = \dfrac{1}{2}xy\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}xy + 3x + 3y + 9 - 72 = xy\\xy - 4x - 2y + 8 + 52 = xy\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x + 3y = 63\\ - 4x - 2y = - 60\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 21 - y\\ - 4\left( {21 - y} \right) - 2y = - 60\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 21 - y\\ - 84 + 4y - 2y = - 60\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 21 - y\\2y = 24\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 12\\x = 21 - 12\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 12\\x = 9\end{array} \right.\left( {TM} \right)\)
Bước 3: Vậy độ dài hai cạnh góc vuông của tam giác vuông ban đầu là \(9cm;12cm.\)
Nhà bạn Lan có một mảnh vườn trồng rau cải bắp. Vườn được đánh thành nhiều luống, mỗi luống trồng cùng một số rau cải bắp. Lan tính rằng: nếu tăng thêm 8 luống rau nhưng mỗi luống trồng ít đi 3 cây thì số cây rau toàn vườn ít đi 54 cây; Nếu giảm đi 4 luống, nhưng mỗi luống trồng tăng thêm 2 cây thì số rau toàn vườn sẽ tăng thêm 32 cây. Hỏi vườn nhà Lan trồng bao nhiêu câu rau cải bắp ?
Câu trả lời của bạn
Gọi \(x\) là số luống và \(y\) là số cây cải bắp trên mỗi luống. Điều kiện: \(x > 4;y > 3;x,y \in N\).
Khi đó số cây cải bắp ban đầu có trong vườn là \(N = xy\) (cây)
Nếu tăng thêm 8 luống rau, nhưng mỗi luống trồng ít đi 3 cây thì số cây rau trong vườn sẽ là \(\left( {x + 8} \right)\left( {y - 3} \right)\) cây, lúc này số cây ít hơn 54 cây so với N. Điều đó được thể hiện bởi phương trình \(\left( {x + 8} \right)\left( {y - 3} \right) + 54 = xy\)
Nếu giảm đi 4 luống rau, nhưng mỗi luống trồng tăng thêm 2 cây thì số cây rau trong vườn sẽ là \(\left( {x - 4} \right)\left( {y + 2} \right)\) cây, lúc này số cây tăng thêm 32 cây so với N. Điều đó được thể hiện bởi phương trình \(\left( {x - 4} \right)\left( {y + 2} \right) - 32 = xy\)
Ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {x + 8} \right)\left( {y - 3} \right) + 54 = xy\\\left( {x - 4} \right)\left( {y + 2} \right) - 32 = xy\end{array} \right.\) , thu gọn là \(\left\{ \begin{array}{l} - 3x + 8y + 30 = 0\\2x - 4y - 40 = 0\end{array} \right.\)
Ta giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số:
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l} - 3x + 8y + 30 = 0\\2x - 4y - 40 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 3x + 8y + 30 = 0\\4x - 8y - 80 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 3x + 8y + 30 = 0\\x - 50 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 50\\ - 3.50 + 8y + 30 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 50\\8y = 120\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 50\\y = 15\end{array} \right.\left( {tm} \right)\end{array}\)
Trả lời: Vậy số cây cải trong vườn ban đầu là \(15.50 = 750\) cây.
Cho hai vòi nước cùng chảy vào một bể nước cạn (không có nước) thì sau \(4\dfrac{4}{5}\) giờ đầy bể. Nếu ngay từ đầu, chỉ mở vòi thứ nhất và 9 giờ sau mới mở thêm vòi thứ hai thì phải \(\dfrac{6}{5}\) giờ nữa mới đầy bể. Hỏi nếu ngay từ đầu, chỉ mở vòi thứ hai thì phải bao lâu mới đầy bể ?
Câu trả lời của bạn
Bước 1: Gọi \(x\) (giờ) là thời gian để riêng vòi thứ nhất chảy đầy bể; \(y\) (giờ) là thời gian để riêng vòi thứ hai chảy đầy bể. Điều kiện của ẩn là: \(x;y > \dfrac{{24}}{5}\).
Khi đó, riêng vòi thứ nhất chảy trong 1 giờ thì được \(\dfrac{1}{x}\) bể.
Riêng vòi thứ hai chảy trong 1 giờ thì được \(\dfrac{1}{y}\) bể
Vậy hai vòi cùng chảy từ đầu trong \(4\dfrac{4}{5}\) giờ (tức \(\dfrac{{24}}{5}\) giờ) thì được \(\dfrac{{24}}{5}\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}} \right)\) bể nước và đầy bể theo giả thiết ta có phương trình \(\dfrac{{24}}{5}\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}} \right) = 1 \Leftrightarrow \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{5}{{24}}\)
Giả thiết thứ hai có nghĩa là mở vòi thứ nhất chảy trong \(\left( {9 + \dfrac{6}{5}} \right)\) giờ cộng với vòi thứ hai chảy trong \(\dfrac{6}{5}\) giờ nữa thì đầy bể. Điều đó được mô tả bởi phương trình \(\dfrac{{51}}{5}.\dfrac{1}{x} + \dfrac{6}{5}.\dfrac{1}{y} = 1\)
Ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{5}{{24}}\\\dfrac{{51}}{5}.\dfrac{1}{x} + \dfrac{6}{5}.\dfrac{1}{y} = 1\end{array} \right.\)
Bước 2: Đặt \(\dfrac{1}{x} = u;\dfrac{1}{y} = v\,\) ta có hệ phương trình bậc nhất hai ẩn \(u\) và \(v:\) \(\left\{ \begin{array}{l}u + v = \dfrac{5}{{24}}\\\dfrac{{51}}{5}u + \dfrac{6}{5}v = 1\end{array} \right.\)
Ta giải hệ này bằng phương pháp cộng đại số
\(\left\{ \begin{array}{l}u + v = \dfrac{5}{{24}}\\\dfrac{{51}}{5}u + \dfrac{6}{5}v = 1\end{array} \right. \)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{6}{5}u + \dfrac{6}{5}v = \dfrac{1}{4}\\\dfrac{{51}}{5}u + \dfrac{6}{5}v = 1\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}u + v = \dfrac{5}{{24}}\\9u = \dfrac{3}{4}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}u = \dfrac{1}{{12}}\\v = \dfrac{1}{8}\end{array} \right.\,\left( {tm} \right)\)
Trở về phương trình ban đầu, ta có \(x = \dfrac{1}{u} = 12\left( {tm} \right)\) và \(y = \dfrac{1}{v} = 8\left( {tm} \right)\)
Bước 3: Giá trị \(x\) và \(y\) tìm được lần lượt là \(12\) và \(8.\)
Vậy vòi thứ nhất chảy riêng trong \(12\) giờ thì đầy bể, vòi thứ hai chảy riêng trong \(8\) giờ thì đầy bể.
Hai người thợ cùng làm một công việc trong 16 giờ thì xong. Nếu người thứ nhất làm 3 giờ và người thứ hai làm 6 giờ thì chỉ hoàn thành được 25% công việc. Cho biết nếu làm riêng thì mỗi người hoàn thành công việc đó trong bao lâu ?
Câu trả lời của bạn
Bước 1: Giả sử nếu làm riêng thì người thứ nhất hoàn thành công việc trong \(x\) (giờ); người thứ hai trong \(y\) (giờ) (điều kiện là: \(x;y > 16\))
Khi đó, trong 1 giờ người thứ nhất làm được \(\dfrac{1}{x}\) công việc; người thứ hai làm được \(\dfrac{1}{y}\) công việc nên cả hai người làm được \(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}\) công việc.
Hai người cùng làm trong 16 giờ thì xong nên ta có phương trình \(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{{16}}\)
Người thứ nhất làm trong 3 giờ và người thứ hai làm trong 6 giờ thì chỉ hoàn thành được \(25\% = \dfrac{1}{4}\) công việc. Điều đó dẫn đến phương trình \(3.\dfrac{1}{x} + 6.\dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{4}\)
Ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{{16}}\\3.\dfrac{1}{x} + 6.\dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{4}\end{array} \right.\)
Bước 2: Đặt \(\dfrac{1}{x} = u;\dfrac{1}{y} = v\,\), ta được hệ phương trình bậc nhất hai ẩn \(u\) và \(v\).
\(\left\{ \begin{array}{l}u + v = \dfrac{1}{{16}}\\3u + 6v = \dfrac{1}{4}\end{array} \right.\)
Ta giải hệ phương trình này bằng phương pháp cộng đại số:
\(\left\{ \begin{array}{l}u + v = \dfrac{1}{{16}}\\3u + 6v = \dfrac{1}{4}\end{array} \right. \)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3u + 3v = \dfrac{3}{{16}}\\3u + 6v = \dfrac{1}{4}\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}u + v = \dfrac{1}{{16}}\\3v = \dfrac{1}{{16}}\end{array} \right. \)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}v = \dfrac{1}{{48}}\\u = \dfrac{1}{{24}}\end{array} \right.\,\left( {\,thỏa\, mãn} \right)\)
Trở về phương trình đầu, ta được \(x = \dfrac{1}{u} = 24\left( {\,thỏa\, mãn} \right)\) và \(y = \dfrac{1}{v} = 48\left( {\,thỏa\, mãn} \right)\)
Bước 3: Vậy người thứ nhất làm riêng trong \(24\) giờ thì xong công việc, người thứ hai làm riêng trong \(48\) giờ thì xong công việc.
Nếu hai vòi nước cùng chảy vào một bể cạn (không có nước) thì bể sẽ đầy trong 1 giờ 20 phút. Nếu mở vòi thứ nhất trong 10 phút và vòi thứ hai trong 12 phút thì chỉ được \(\dfrac{2}{{15}}\) bể nước. Cho biết nếu mở riêng từng vòi thì thời gian mỗi vòi chảy đầy bể là bao nhiêu ?
Câu trả lời của bạn
Giả sử khi chảy riêng vòi thứ nhất chảy đầy bể trong \(x\) (phút) và vòi thứ hai chảy đầy bể trong \(y\) (phút). Điều kiện là: \(x;y > 80\).
Vòi thứ nhất chảy một mình trong 1 phút được \(\dfrac{1}{x}\) bể
Vòi thứ hai chảy một mình trong 1 phút được \(\dfrac{1}{y}\) bể
Nên hai vòi cùng chảy trong 1 phút được \(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}\) (bể)
Vì hai vòi cũng chảy vào bể cạn thì sau \(1\) giờ 20 phút \( = 80\) phút thì đầy bể nên ta có phương trình
\(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{{80}}\) (1)
Từ giả thiết mở vòi thứ nhất trong 10 phút và mở vòi thứ hai trong 12 phút thì được \(\dfrac{2}{{15}}\) bể nước nên ta có phương trình \(10.\dfrac{1}{x} + 12.\dfrac{1}{y} = \dfrac{2}{{15}}\) (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{{80}}\\10.\dfrac{1}{x} + 12.\dfrac{1}{y} = \dfrac{2}{{15}}\end{array} \right.\)
Đặt \(\dfrac{1}{x} = u;\dfrac{1}{y} = v\) ta có hệ
\(\left\{ \begin{array}{l}u + v = \dfrac{1}{{80}}\\10u + 12v = \dfrac{2}{{15}}\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}u = \dfrac{1}{{80}} - v\\10\left( {\dfrac{1}{{80}} - v} \right) + 12v = \dfrac{2}{{15}}\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}u = \dfrac{1}{{80}} - v\\\dfrac{1}{8} - 10v + 12v = \dfrac{2}{{15}}\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}u = \dfrac{1}{{80}} - v\\2v = \dfrac{1}{{120}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}v = \dfrac{1}{{240}}\\u = \dfrac{1}{{120}}\end{array} \right.\,\left( {\,thỏa\, mãn} \right)\)
Thay về cách đặt, ta được
\(x=\dfrac{1}{u} = 120 (\,thỏa\, mãn)\) và \({y} = \dfrac{1}{v}=240 (\,thỏa\, mãn)\)
Vậy vòi thứ nhất chảy riêng trong \(120\) phút thì đầy bể, vòi thứ hai chảy riêng trong \(240\) phút thì đầy bể.
Chú ý:
Một số em không đổi đúng đơn vị thời gian dẫn đến không ra đáp án
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *