Phương trình bậc hai một ẩn là một chương rất quan trọng ở chương trình toán lớp 9 cũng như áp dụng của nó vào thực tiễn và đời sống. Ngoài ra còn là kiến thức nền tảng để các em có thêm kiến thức học tốt toán cấp 3
Đồ thị hàm số \(y=ax^2 (a\neq 0)\) là tập hợp gồm tất cả các điểm \(M(x_{M}; ax_{M}^{2})\). Để xác định một điểm thuộc đồ thị, ta lấy một giá trị của x làm hoành độ và thay vào phương trình \(y=ax^2\) để tìm ra giá trị tung độ.
Phương trình bậc hai một ẩn (gọi tắt là phương trình bậc hai) là phương trình có dạng \(ax^2+bx+c=0\)
Trong đó, x là ẩn; các hệ số a, b, c là các số cho trước và \(a\neq 0\)
Với phương trình \(ax^2+bx+c=0 (a\neq 0)\) và biệt thức \(\Delta =b^2-4ac\):
\(\Delta>0\) thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt:
\(x_{1}=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}\); \(x_{2}=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}\)
\(\Delta=0\) thì phương trình có nghiệm kép \(x=x_{1}=x_{2}=-\frac{b}{2a}\)
\(\Delta<0\) phương trình vô nghiệm.
Với các phương trình bậc hai \(ax^2+bx+c=0(a\neq 0)\) và \(b=2b'\), \(\Delta '=b'^2-ac\) thì:
Nếu \(\Delta '>0\) thì phương trình có hai nghiệm phân biệt
\(x_{1}=\frac{-b'+\sqrt{\Delta '}}{a}; x_{2}=\frac{-b'-\sqrt{\Delta '}}{a}\)
Nếu \(\Delta '=0\) thì phương trình có nghiệm kép \(x=\frac{-b'}{a}\)
Nếu \(\Delta '<0\) thì phương trình vô nghiệm.
Phương trình bậc hai \(ax^2+bx+c=0(a\neq 0)\) có 2 nghiệm phân biệt
\(x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}; x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}\)
Ta có: \(x_1+x_2=\frac{-2b+\sqrt{\Delta }-\sqrt{\Delta }}{2a}=-\frac{b}{a}\)
\(x_1.x_2=\frac{b^2-\Delta }{4a^2}=\frac{4ac}{4a^2}=\frac{c}{a}\)
Nếu \(x_1;x_2\) là hai nghiệm của phương trình \(ax^2+bx+c=0 (a\neq 0)\) thì:
\(x_1+x_2=-\frac{b}{a}\)
và \(x_1.x_2=\frac{c}{a}\)
Nếu phương trình \(ax^2+bx+c=0 (a\neq 0)\) có \(a+b+c=0\) thì phương trình có một nghiệm là \(x_1=1\) và nghiệm kia là \(x_2=\frac{c}{a}\).
Nếu phương trình \(ax^2+bx+c=0 (a\neq 0)\) có \(a-b+c=0\) thì phương trình có một nghiệm là \(x_1=-1\) và nghiệm kia là \(x_2=-\frac{c}{a}\).
a. Phương trình trùng phương
Định nghĩa
Phương trình trùng phương là phương trình có dạng: \(ax^4+bx^2+c=0 (a\neq 0)\)
b. Phương trình chứa ẩn ở mẫu
Các bước để giải phương trình chứa ẩn ở mẫu đã học ở lớp 8
Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình
Bước 2: Quy đồng hai vế rồi khử mẫu
Bước 3: Giải phương trình vừa nhận được
Bước 4: So sánh điều kiện ban đầu rồi kết luận nghiệm
c. Phương trình tích
Nhắc lại kiến thức đã học ở lớp dưới:
Biến đổi phương trình về dạng \(A.B.C.....=0\) rồi suy ra hoặc \(A=0\) hoặc \(B=0\) hoặc.....
Phương pháp giải
Để giải bài toán bằng cách lập phương trình, chúng ta làm theo các bước sau:
Bước 1: Lập phương trình
Chọn ẩn và đặt điều kiện cho ẩn
Biểu đạt các đại lượng khác nhau theo ẩn
Dựa vào đề bài toán, lập phương trình theo dạng đã học
Bước 2: Giải phương trình
Bước 3: So sánh kết quả tìm được và chọn nghiệm thích hợp
Bài 1: Cho hàm số \(y=-x^2\) và đường thẳng \(y=-4x+4\). Tìm giao điểm của hai đồ thị đó bằng hình vẽ và đồ thị
Hướng dẫn:Vẽ hình HS tự vẽ.
Tìm giao điểm: Phương trình hoành độ giao điểm: \(-x^2=-4x+4\Leftrightarrow x^2-4x+4=0\)
Tính biệt thức \(\Delta=0\) suy ra phương trình có nghiệm kép \(x=2\Rightarrowy=-4\).
Vậy khi vẽ hình, ta chỉ nhận được một giao điểm. Sau này lên cấp trên, các em sẽ được biết đường thẳng trên là tiếp tuyến của hàm số.
Bài 2: Giải phương trình bằng cách phân tích đa thức thành nhân tử: \(x^2-11x-12=0\)
Hướng dẫn:\(x^2-11x-12=0\)
\(\Leftrightarrow x^2-12x+x-12=0\)
\(\Leftrightarrow x(x-12)+x-12=0\)
\(\Leftrightarrow (x+1)(x-12)=0\)
Vậy phương trình trên có hai nghiệm phân biệt là \(x=-1;x=12\)
Bài 3:
Giải phương trình: \(x^2+10x+25=0\); \(x^2-4x-9=0\)
Hướng dẫn: \(x^2+10x+25=0\)
Giải: \(\Delta =10^2-4.1.25=0\) \(\Rightarrow x=\frac{-0}{2}=-5\)
\(x^2-4x-9=0\)
Giải: \(\Delta =(-4)^2-4.1.(-9)=52\Rightarrow \sqrt{\Delta }=2\sqrt{13}>0\)
\(\Rightarrow x_{1}=\frac{-(-4)+2\sqrt{13}}{2}=2+\sqrt{13};x_{2}=\frac{-(-4)-2\sqrt{13}}{2}=2-\sqrt{13}\)
Bài 4:
Tìm hai số biết hiệu của chúng là 5 và tích của chúng là 150
Hướng dẫn: Gọi hai số cần tim là a, b
Ta có \(\left\{\begin{matrix} a-b=5\\ ab=150 \end{matrix}\right.\)
Thế \(a=5+b\) vào phương trình tích, ta được \(b(b+5)=150\Leftrightarrow b^2+5b-150=0\)
\(\Rightarrow b=-15\) hoặc \(b=10\)
\(b=-15\Rightarrow a=-10\)
\(b=10\Rightarrow a=15\)
Bài 5:
Giải phương trình trùng phương sau: \(x^4-4x^2-5=0\)
Hướng dẫn: Đặt \(t=x^2 (t\geq 0)\)
Khi đó, phương trình trở thành: \(t^2-4t-5=0\)
Giải phương trình bậc hai cơ bản trên, ta được:
\(t=-1\) (loại)
\(t=5\) (nhận)\(\Rightarrow x=\pm \sqrt{5}\)
Để cũng cố bài học, xin mời các em cũng làm bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 9 Chương 4 Bài 9 với những câu hỏi củng cố bám sát nội dung bài học. Bên cạnh đó các em có thể nêu thắc mắc của mình thông qua phần Hỏi đáp Toán 9 Chương 4 Bài 9 cộng đồng Toán DapAnHay sẽ sớm giải đáp cho các em.
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 9 Chương 4 Bài 9 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Toán 9
-- Mod Toán Học 9 DapAnHay
Tọa độ giao điểm của phương trình hàm số \(y=x^2\) và đường thẳng \(y=8\) là:
Tập nghiệm của phương trình \(x^2< 100\) là:
Với giá trị nào của m thì phương trình bậc hai \(x^2+6x-m=0\) vô nghiệm?
Tổng và tích 2 nghiệm của phương trình \(x^2+2016x-2017=0\) lần lượt là:
Tìm hai số biết tổng bằng 30 và tổng bình phương bằng 468.
Hãy vẽ đồ thị của các hàm số \(y = 2x^2, y = -2x^2.\) Dựa vào đồ thị để trả lời các câu hỏi sau:
a) Nếu a > 0 thì hàm số \(y = ax^2\) đồng biến khi nào? Nghịch biến khi nào?
Với giá trị nào của x thì hàm số đạt giá trị nhỏ nhất? Có giá trị nào của x để hàm số đạt giá trị lớn nhất không?
Nếu a < 0 thì hàm số đồng biến khi nào? Nghịch biến khi nào? Với giá trị nào của x thì hàm số đạt giá trị lớn nhất? Có giá trị nào của x để hàm số đạt giá trị nhỏ nhất không?
b) Đồ thị của hàm số \(y = ax^2\) có những đặc điểm gì (trường hợp a > 0 , trường hợp a < 0)
Đối với phương trình bậc hai \(ax^2 + bx + c = 0 (a ≠ 0),\) hãy viết công thức tính \(Δ, Δ'.\)
Khi nào thì phương trình vô nghiệm?
Khi nào phương trình có hai nghiệm phân biệt? Viết công thức nghiệm.
Khi nào phương trình có nghiệm kép? Viết công thức nghiệm.
Vì sao khi a và c trái dấu thì phương trình có hai nghiệm phân biệt?
Viết hệ thức Vi-et đối với các nghiệm của phương trình bậc hai \(ax^2 + bx + c = 0 (a ≠ 0),\)
Nêu điều kiện để phương trình \(ax^2 + bx + c = 0 (a ≠ 0),\) có một nghiệm bằng 1. Khi đó, viết công thức nghiệm thứ hai. Áp dụng: nhẩm nghiệm của phương trình \(1954x^2 + 21x – 1975 = 0\)
Nêu điều kiện để phương trình \(ax^2 + bx + c = 0 (a ≠ 0),\) có một nghiệm bằng -1. Khi đó, viết công thức nghiệm thứ hai. Áp dụng: nhẩm nghiệm của phương trình \(2005x^2 + 104x – 1901 = 0\)
Nêu cách tìm hai số, biết tổng S và tích P của chúng.
Tìm hai số u và v trong mỗi trường hợp sau:
\(\begin{array}{l}
a)\left\{ \begin{array}{l}
u + v = 3\\
uv = - 8
\end{array} \right.\\
b)\left\{ \begin{array}{l}
u + v = 5\\
uv = 10
\end{array} \right.
\end{array}\)
Nêu cách giải phương trình trùng phương \(ax^4 + bx^2 + c = 0,(a ≠ 0)\)
Vẽ đồ thị của hàm số \(\displaystyle y = {1 \over 4}{x^2}\) và \(\displaystyle y = - {1 \over 4}{x^2}\) trên cùng một hệ trục tọa độ
a) Qua điểm \(B(0; 4)\) kẻ đường thẳng song song với trục Ox. Nó cắt đồ thị của hàm số \(\displaystyle y = {1 \over 4}{x^2}\) tại hai điểm M và M’. Tìm hoành độ của M và M’.
b) Tìm trên đồ thị của hàm số \(\displaystyle y = - {1 \over 4}{x^2}\) điểm N có cùng hoành độ với M, điểm N’ có cùng hoành độ với M’. Đường thẳng NN’ có song song với Ox không? Vì sao? Tìm tung độ của N và N’ bằng hai cách:
- Ước lượng trên hình vẽ:
- Tính toán theo công thức.
Cho phương trình: x2 - x - 2 = 0.
a) Giải phương trình.
b) Vẽ hai đồ thị y = x2 và y = x + 2 trên cùng một hệ trục tọa độ.
c) Chứng tỏ rằng hai nghiệm tìm được trong câu a) là hoành độ giao điểm của hai đồ thị.
Giải các phương trình:
a) 3x4 – 12x2 + 9 = 0;
b) 2x4 + 3x2 – 2 = 0;
c) x4 + 5x2 + 1 = 0.
Giải các phương trình:
a) \(5{{\rm{x}}^2} - 3{\rm{x}} + 1 = 2{\rm{x}} + 11\)
b) \({{{x^2}} \over 5} - {{2{\rm{x}}} \over 3} = {{x + 5} \over 6}\)
c) \({x \over {x - 2}} = {{10 - 2{\rm{x}}} \over {{x^2} - 2{\rm{x}}}}\)
d) \({{x + 0,5} \over {3{\rm{x}} + 1}} = {{7{\rm{x}} + 2} \over {9{{\rm{x}}^2} - 1}}\)
e) \(2\sqrt 3 {x^2} + x + 1 = \sqrt 3 \left( {x + 1} \right)\)
f) \({x^2} + 2\sqrt 2 x + 4 = 3\left( {x + \sqrt 2 } \right)\)
Giải các phương trình
a) \(1,2{{\rm{x}}^3} - {x^2} - 0,2{\rm{x}} = 0\)
b) \(5{{\rm{x}}^3} - {x^2} - 5{\rm{x}} + 1 = 0\)
Giải các phương trình bằng cách đặt ẩn phụ:
a) \(2{\left( {{x^2} - 2{\rm{x}}} \right)^2} + 3\left( {{x^2} - 2{\rm{x}}} \right) + 1 = 0\)
b) \({\left( {x + {1 \over x}} \right)^2} - 4\left( {x + {1 \over x}} \right) + 3 = 0\)
Với mỗi phương trình sau, đã biết một nghiệm (ghi kèm theo), hãy tìm nghiệm kia:
a) \(12{{\rm{x}}^2} - 8{\rm{x}} + 1 = 0;{x_1} = {1 \over 2}\)
b) \(2{{\rm{x}}^2} - 7{\rm{x}} - 39 = 0;{x_1} = - 3\)
c) \({x^2} + x - 2 + \sqrt 2 = 0;{x_1} = - \sqrt 2 \)
d) \({x^2} - 2m{\rm{x}} + m - 1 = 0;{x_1} = 2\)
Tìm hai số u và v trong mỗi trường hợp sau:
a) \(u + v = 12\); \(uv = 28\) và \(u > v\)
b) \(u + v = 3; uv = 6\)
Cho phương trình \(7x^2 + 2(m – 1)x – m^2= 0\)
a) Với giá trị nào của \(m\) thì phương trình có nghiệm?
b) Trong trường hợp phương trình có nghiệm, dùng hệ thức Vi-ét, hãy tính tổng các bình phương hai nghiệm của phương trình theo \(m\).
Sau hai năm, số dân của một thành phố tăng từ \(2 000 000\) người lên \(2 020 050\) người. Hỏi trung bình mỗi năm dân số của thành phố đó tăng bao nhiêu phần trăm?
Bài toán yêu cầu tìm tích của một số dương với một số lớn hơn nó 2 đơn vị, nhưng bạn Quân nhầm đầu bài lại tính tích của một số dương với một số bé hơn nó 2 đơn vị. Kết quả của bạn Quân là 120. Hỏi nếu làm đúng đầu bài đã cho thì kết quả phải là bao nhiêu?
Một xe lửa đi từ Hà Nội vào Bình Sơn (Quảng Ngãi). Sau đó 1 giờ, một xe lửa khác đi từ Bình Sơn ra Hà Nội với vận tốc lớn hơn vận tốc của xe lửa thứ nhất là 5km/h. Hai xe gặp nhau tại một ga ở chính giữa quãng đường. Tìm vận tốc của mỗi xe, giả thiết rằng quãng đường Hà Nội – Bình Sơn dài 900km.
Cho tam giác ABC có BC = 16cm , đường cao AH = 12 cm. Một hình chữ nhật MNPQ có đỉnh M thuộc cạnh AB, đỉnh N thuộc cạnh AC còn hai đỉnh P và Q thuộc cạnh BC (h.17). Xác định vị trí của điểm M trên cạnh AB sao cho diện tích của hình chữ nhật đó bằng 36cm2.
Cho hai hàm số: \(y = 2x - 3\) và \(y = - {x^2}\)
a) Vẽ đồ thị hai hàm số này trong cùng một mặt phẳng tọa độ.
b) Tìm tọa độ các giao điểm của hai đồ thị.
c) Kiểm nghiệm rằng tọa độ của mỗi giao điểm đều là nghiệm chung của hai phương trình hai ẩn y = 2x – 3 và \(y = - {x^2}\)
Giải các phương trình:
a) \(3{x^2} + 4\left( {x - 1} \right) = {\left( {x - 1} \right)^2} + 3\)
b) \({x^2} + x + \sqrt 3 = \sqrt 3 x + 6\)
c) \({{x + 2} \over {1 - x}} = {{4{x^2} - 11x - 2} \over {\left( {x + 2} \right)\left( {x - 1} \right)}}\)
d) \({{{x^2} + 14x} \over {{x^3} + 8}} = {x \over {x + 2}}\)
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
\(\left(x-1\right)\left(x+2\right)+2\sqrt{x^2-4x+9}-9=0\)
Giải pt trên
Câu trả lời của bạn
\(\left(x-1\right)\left(x-3\right)+2\sqrt{x^2-4x+9}-9=0\\ \Leftrightarrow x^2-4x-6+2\sqrt{x^2-4x+9}=0\\ \Leftrightarrow t^2-15+2t=0\left(t=\sqrt{x^2-4x+9}\right)\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}t=3\\t=-5\end{matrix}\right.\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=4\end{matrix}\right.\)
cho điểm A (0; 1 ) và điểm B ( -4;3). Viết phương trình đường thẳng (d)là đường trung trực của đoạn thẳng AB
Câu trả lời của bạn
Phương trình đường thẳng \(y=ax+b\) đi qua hai điểm \(A,B\) là
\(\left\{{}\begin{matrix}1=a\cdot0+b\\3=a\cdot\left(-4\right)+b\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=-\dfrac{1}{2}\\b=1\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow y=-\dfrac{1}{2}x+1\)
Tọa độ điểm \(M\left(x_M;y_M\right)\) là trung điểm của \(AB\)
\(x_M=\dfrac{x_A+x_B}{2}=\dfrac{0+\left(-4\right)}{2}=\dfrac{-4}{2}=-2\\ y_M=\dfrac{y_A+y_B}{2}=\dfrac{1+3}{2}=\dfrac{4}{2}=2\\ \Leftrightarrow M\left(-2;2\right)\)
Phương trình đường thẳng \(\left(d\right):y=a'x+b'\perp y=\dfrac{-1}{2}x+1\) và đi qua \(M\left(-2;2\right)\)
\(\left\{{}\begin{matrix}a'\cdot\dfrac{-1}{2}=-1\\2=a'\cdot\left(-2\right)+b'\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a'=2\\b'=6\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left(d\right):y=2x+6\)
Cho \(y=\dfrac{1}{2}x^2\left(P\right)\) . Tìm số giao điểm của đường thẳng \(\left(d\right)\) : \(y=x\sqrt{3}-\sqrt{3}\) và \(\left(P\right)\)
Câu trả lời của bạn
Lời giải:
Ta có phương trình hoành độ giao điểm của $(P)$ và $(d)$ là:
\(\frac{1}{2}x^2-(x\sqrt{3}-\sqrt{3})=0\)
\(\Leftrightarrow x^2-2\sqrt{3}x+2\sqrt{3}=0(*)\)
Ta thấy \(\Delta'_*=(\sqrt{3})^2-2\sqrt{3}=3-2\sqrt{3}< 0\)
Do đó phương trình \((*)\) không có nghiệm .
Suy ra số giao điểm của hai đồ thị hàm số bằng 0
CMR: Nếu x;y;z là nghiệm của hệ phương trình
\(\left\{{}\begin{matrix}x+y+z=5\\xy+yz+zx=7\end{matrix}\right.\)
Thì \(x;y;z\in\left[\dfrac{1}{3};3\right]\)
Câu trả lời của bạn
...
1) Cho phương trình: \(x^2-2mx+m^2-1=0\left(1\right)\) với m là tham số. Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m. Gọi x1 , x2 là 2 nghiệm của phương trình (1), lập phương trình bậc hai nhận \(x_1^3-2mx_1^2+m^2x_1-2\) và \(x_2^3-2mx_2^2+m^2x_2-2\) là nghiệm.
Câu trả lời của bạn
\(x^2-2mx+m^2-1=0\)
\(\text{Đặt }\left\{{}\begin{matrix}x_1^3-2mx_1^2+m^2x_1-2=a\\x_2^3-2mx_2^2+m^2x_2-2=b\end{matrix}\right.\)
\(\text{Suy ra a và b là hai nghiệm của phương trình:}\)
\(X^2-\left(a+b\right)X+ab=0\)
\(\text{Mặt khác, theo định lí Viète }\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}S=2m\\P=m^2-1\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1^2+x_2^2=S^2-2P=2m^2+2\\x_1^3+x_2^3=S^3-3SP=2m^3+6m\end{matrix}\right.\)
\(\text{Ta có: }\)
\(\text{Đặt }A=\left(x_1^3-2mx_1^2+m^2x_1\right)+\left(x_2^3-2mx_2^2+m^2x_2\right)\)
\(=\left(x_1^3+x_2^3\right)-2m\left(x_1^2+x_2^2\right)+m^2\left(x_1+x_2\right)\)
\(=\left(2m^3+6m\right)-2m\left(2m^2+2\right)+2m^3\)
\(=2m\)
\(\text{Đặt }B=\left(x_1^3-2mx_1^2+m^2x_1\right)\left(x_2^3-2mx_2^2+m^2x_2\right)\)
\(=\left[x_1\left(x_1-m\right)^2\right]\left[x_2\left(x_2-m\right)^2\right]\)
\(=x_1x_2\left[x_1x_2-m\left(x_1+x_2\right)+m^2\right]^2\)
\(=\left(m^2-1\right)\left(m^2-1-2m^2+m^2\right)^2=m^2-1\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b=A-4=2m-4\\ab=B-2A+4=m^2-4m+3\end{matrix}\right.\)
\(\text{Suy ra a và b là hai nghiệm của phương trình:}\)
\(X^2+\left(4-2m\right)X+m^2-4m+3=0\)
Tìm m để phương trình \(x^2-2\left(m-1\right)x+2m-3=0\) có 2 nghiệm x1 , x2 sao cho \(A=\left|\dfrac{x_1+x_2}{x_1-x_2}\right|\) đạt giá trị lớn nhất
Câu trả lời của bạn
Lời giải:
Trước tiên để pt có hai nghiệm phân biệt $x_1,x_2$ thì
\(\Delta'=(m-1)^2-(2m-3)=m^2-4m+4=(m-2)^2>0\)
\(\Leftrightarrow m\neq 2\)
Áp dụng định lý Viete cho pt bậc 2:
\(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=2(m-1)\\ x_1x_2=2m-3\end{matrix}\right.\)
Khi đó:
\(A=\left|\frac{x_1+x_2}{x_1-x_2}\right|=\frac{|x_1+x_2|}{\sqrt{(x_1-x_2)^2}}=\frac{|x_1+x_2|}{\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}}\)
\(A=\frac{|2(m-1)|}{\sqrt{4(m-1)^2-4(2m-3)}}=\frac{2|m-1|}{\sqrt{4(m-2)^2}}\)
\(A=\frac{|m-1|}{|m-2|}=\left|\frac{m-1}{m-2}\right|=\left|1+\frac{1}{m-2}\right|\)
Biểu thức này không có giá trị lớn nhất bạn nhé (chỉ có giá trị nhỏ nhất)
vì khi \(m>2\) và $m$ tiến sát đến $2$ thì giá trị \(\frac{1}{m-2}\to +\infty\Rightarrow |1+\frac{1}{m-2}|\to +\infty\) nên $A$ không có max.
Cho x,y,z là các số thực không âm thỏa mãn xy+yz+xz =1. Tìm giá trị nhỏ nhất của A = 36x2 + 36y2 + z2
Câu trả lời của bạn
Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(4x^2+4y^2\geq 2\sqrt{16x^2y^2}=8xy\)
\(32x^2+\frac{z^2}{2}\geq 2\sqrt{16x^2z^2}=8xz\)
\(32y^2+\frac{z^2}{2}\geq 2\sqrt{16y^2z^2}=8yz\)
Cộng theo vế thu được:
\(36x^2+36y^2+z^2\geq 8(xy+yz+xz)\)
\(\Leftrightarrow A\geq 8(xy+yz+xz)=8\)
Vậy \(A_{\min}=8\). Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=\sqrt{\frac{1}{17}}; z=\frac{8}{\sqrt{17}}\)
Cho x,y thỏa mãn \(\sqrt{x+2}-y^{3^{ }}=\sqrt{y+2}-x^3\)
Tìm giá trị B = x2 + 2xy - 2y2 + 2y + 10
Câu trả lời của bạn
bài của bọn mk như này cx khá giống của bạn nên bạn có thể tham khảo :
Cho x,y thỏa √x+2+y3=√y+2+y3
Tìm gtnn của B= x2 +2xy-2y2 +2y+10
GIẢI
√x+2+y3=√y+2+y3 => x=y
ta có : B= x2 + 2xy - 2y2 + 2y + 10 <=> B=x2 +2x2 - 2x2 + 2x + 10
B = x2 + 2x +10
B = (x+1)2 + 9 >= 9 vì (x+1)2 >= 0 với ∀ x
=> min B = 9 <=> x=y=1
cho x1 và x2 là 2 nghiệm của phương trình x2-x-1=0
Tính giá trị của biểu thức P= (x1-x2)2
Câu trả lời của bạn
theo định lí vi - ét : \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=1\\x_1.x_2=-1\end{matrix}\right.\)
P = ( x1 - x2 )2 = x12 - 2x1x2 + x22 = x12 +2x1x2 + x22 - 4x1x2
= ( x1 + x2 )2 - 4x1x2 = 12 - 4.(-1) = 5
vậy P = 5
gọi x1 x2 là 2 nghiệm của phương trình 2x^2-(2m+1)x-m-1=0.tìm GTNNcủa (x1-x2)^2
Câu trả lời của bạn
Lời giải:
Điều kiện để pt có nghiệm:
\(\Delta=(2m+1)^2-8(-m-1)\geq 0\Leftrightarrow (2m+3)^2\geq 0\)
(luôn đúng với mọi m)
Với $x_1,x_2$ là hai nghiệm của phương trình đã cho. Áp dụng hệ thức Viete ta có:
\(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=\frac{2m+1}{2}\\ x_1x_2=\frac{-(m+1)}{2}\end{matrix}\right.\)
Khi đó:
\((x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2\)
\(=\left(\frac{2m+1}{2}\right)^2+2(m+1)=\frac{4m^2+12m+9}{4}\)
Ta có:
\(4m^2+12m+9=(2m+3)^2\geq 0\)
\(\Rightarrow (x_1-x_2)^2\geq 0\)
Vậy \((x_1-x_2)^2_{\min}=0\Leftrightarrow m=\frac{-3}{2}\)
Tìm giá trị của a để phương trình sau chỉ có một nghiệm:
\(\dfrac{x+6a+3}{x+a+1}=\dfrac{-5a\left(2a+3\right)}{\left(x-a\right)\left(x+a+1\right)}\)
Câu trả lời của bạn
Điều kiện xác định tự làm:
Quy đồng chuyển vế rút gọn được
\(x^2+\left(5a+3\right)x+4a^2+12a=0\left(1\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(x+a+3\right)\left(x+4a\right)=0\)
Để phương trình có 1 nghiệm duy nhất thì:
TH 1: \(\left\{{}\begin{matrix}x+a+3=0\\x+4a=0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=1\\x=-4\end{matrix}\right.\)
TH 2: \(\left\{{}\begin{matrix}x+a+3=0\\x+4a=x+a\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=0\\x=-3\end{matrix}\right.\)
TH 3: \(\left\{{}\begin{matrix}x+a+3=x+a\\x+4a=0\end{matrix}\right.\) vô nghiệm
Vậy với \(a=0;1\) thì nó có 1 nghiệm duy nhất.
Bạn Minh cảm thấy chán nản khi học về dạng toán tổng dãy, nó quá dễ đối với Minh. Vì thế bạn Phương đã đố bạn Minh một bài toán như sau:
S1=1+2
S2=3+4+5
S3=6+7+8+9
S4=10+11+12+13+14
......
Hãy tính S=S1+S2+S3+S4+...+S100. Bạn Minh thấy bài toán lạ quá, chưa biết phải làm sao cả. Bạn hãy giúp Minh tìm S xem là bao nhiêu?
Câu trả lời của bạn
Lê Ngọc Bảo Châu
Viết thiếu đề
Bạn Minh cảm thấy chán nản khi học về dạng toán tổng dãy, nó quá dễ đối với Minh. Vì thế bạn Phương đã đố bạn Minh một bài toán như sau:
S1=1+2
S2=3+4+5
S3=6+7+8+9
S4=10+11+12+13+14
......
Hãy tínhS=S1+S2+S3+...+S100 . Bạn Minh thấy bài toán lạ quá, chưa biết phải làm sao cả. Bạn hãy giúp Minh tìm S xem là bao nhiêu?
Bài làm
S1 có 2 số
S2 có 3 số
S3 có 4 số
.....
S100 có 101 số
Số số hạng của S là \(2+3+4+...+101=\dfrac{101.102}{2}-1=5150\) số hạng
số đầu tiên của tổng S là 1.Gọi x là số cuối
\(\Rightarrow\dfrac{\left(x-1\right)}{1}+1=5150\)
\(S=\dfrac{\left(5150+1\right).5150}{2}=13263825\) ( kết quả đã được kiểm chứng )
P/s:Có gì ko hiểu thì cứ bình luận phía dưới :)
Tìm Max, Min của \(A=\dfrac{x^2+4x+6}{x^2+2x+3}\)
Câu trả lời của bạn
Lời giải:
ĐKXĐ: Với mọi số thực $x$
Ta có: \(A=\frac{x^2+4x+6}{x^2+2x+3}\Rightarrow A(x^2+2x+3)-(x^2+4x+6)=0\)
\(\Leftrightarrow x^2(A-1)+x(2A-4)+(3A-6)=0\)
+) Nếu \(A=1\Rightarrow x=\frac{-3}{2}\) (1)
+) Nếu \(A\neq 1\), pt trên là pt bậc 2
Vì PT luôn có nghiệm nên \(\Delta'=(A-2)^2-(3A-6)(A-1)\geq 0\)
\(\Leftrightarrow -2A^2+5A-2\geq 0\)
\(\Leftrightarrow \frac{1}{2}\leq A\leq 2\) (2)
Từ \((1);(2)\Rightarrow A_{\min}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow x=-3; A_{\max}=2\Leftrightarrow x=0\)
1. Cho phương trình: \(mx^2-2m+1=0\)
a) Tìm các giá trị của m để phương trình có nghiệm, tính các nghiệm của phương trình theo m
b) Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm sao cho nghiệm này gấp đôi nghiệm khác
2. Gọi x1, x2 là nghiệm của phương trình: x2 + (m - 4)x + m2 - 3m + 3 = 0. CMR: \(-7\le\dfrac{mx^2}{1-x_1}+\dfrac{mx^2}{1-x_2}\le\dfrac{49}{9}\)
Câu trả lời của bạn
bài 2) để phương trình có 2 nghiệm phân biệt \(\Leftrightarrow\Delta\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(m-4\right)^2-4\left(m^2-3m+3\right)\ge0\Leftrightarrow-3m^2+4m+4\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(m-2\right)\left(-3m-2\right)\ge0\Leftrightarrow\dfrac{-2}{3}\le x\le2\)
áp dụng hệ thức vi ét ta có : \(\left\{{}\begin{matrix}x_1x_2=m^2-3m+3\\x_1+x_2=4-m\end{matrix}\right.\)
ta có : \(\dfrac{mx_1^2}{1-x_1}+\dfrac{mx_2^2}{1-x_2}=\dfrac{mx_1^2\left(1-x_2\right)+mx_2^2\left(1-x_1\right)}{\left(1-x_1\right)\left(1-x_2\right)}\)
\(=\dfrac{mx^2_1+mx_2^2-mx_1^2x_2-mx_2^2x_1}{1-\left(x_1+x_2\right)+x_1x_2}=\dfrac{m\left(\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2\right)-mx_1x_2\left(x_1+x_2\right)}{1-\left(x_1+x_2\right)+x_1x_2}\)
\(=\dfrac{m\left(\left(4-m\right)^2-2\left(m^2-3m+3\right)\right)-m\left(m^2-3m+3\right)\left(4-m\right)}{1+m-4+m^2-3m+3}\)
\(=\dfrac{\left(m^2-2m\right)\left(m^2-6m+1\right)}{m^2-2m}=m^2-6m+1=\left(m-3\right)^2-8\)
kết hợp với điều kiện \(\dfrac{-2}{3}\le x\le2\) \(\Rightarrow\) (đpcm)
đâu "=" bên trái xảy ra khi \(x=2\) ; dấu "=" bên phải xảy ra khi \(x=\dfrac{-2}{3}\)
Cho biểu thức sau :
\(Y=\dfrac{x^2+\sqrt{x}}{x-\sqrt{x}+1}-1-\dfrac{2x+\sqrt{x}}{\sqrt{x}}\)
a/ Rút gọn Y .
b/ Tìm giá trị nhỏ nhất của Y .
c/ Cho \(x\) lớn hơn hoặc bằng 0 . Chứng minh :
\(Y-\left|Y\right|=0\)
help me !!!!!!!!
Câu trả lời của bạn
t
Tìm nghiệm nguyên của phương trình: \(x^3+y^3-12xy+51=0\)
Câu trả lời của bạn
Lời giải:
Biểu thức mũ ba làm ta liên tưởng đến đẳng thức quen thuộc:
\(x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz)\)
Áp dụng vào bài toán:
\(x^3+y^3-12xy+51=0\)
\(\Leftrightarrow (x^3+y^3+4^3-12xy)-13=0\)
\(\Leftrightarrow (x+y+4)(x^2+y^2+16-xy-4x-4y)=13\)
Biểu thức \(x^2+y^2+16-xy-4x-4y\) có dạng \(x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz\) nên hiển nhiên luôn không âm theo BĐT AM-GM.
Do đó ta chỉ xét các TH sau:
TH1: \(\left\{\begin{matrix} x+y+4=1\\ x^2+y^2+16-xy-4x-4y=13\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x+y=-3\\ (x+y)^2+16-3xy-4(x+y)=13\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x+y=-3\\ xy=8\end{matrix}\right.\)
Theo định lý Viete đảo $x,y$ là nghiệm của pt \(X^2+3X+8=0\Leftrightarrow (X+\frac{3}{2})^2+\frac{23}{4}=0\) (vô nghiệm)
TH2: \(\left\{\begin{matrix} x+y+4=13\\ x^2+y^2+16-xy-4x-4y=1\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x+y=9\\ (x+y)^2+16-3xy-4(x+y)=1\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x+y=9\\ xy=20\end{matrix}\right.\)
Khi đó $x,y$ là nghiệm của pt \(X^2-9X+20=0\)
\(\Rightarrow (x,y)=(4,5)\) và hoán vị
Vậy......
Cho hàm số y=\(\dfrac{1}{4}x^2\) cho đồ thị (P)
a. Vẽ đồ thị (P)
b. Xác định a,b để đường thẳng \(\left(d\right):y=ax+b\) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng -2 và cắt đồ thị (P) nói trên tại điểm của hoành độ bằng 2
Câu trả lời của bạn
a. Mình vẽ được rồi
b. y=ax+b cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng -2
=> -2=a.0 +b =>b=-2
------------
kết quả của a là \(\dfrac{3}{2}\) nhưng mình k ra được mấy bạn giúp mình với
tìm tất cả nghiệm nguyên của phương trình:
\(x^2+6xy+5y^2-4y-8=0\)
Câu trả lời của bạn
\(x^2+6xy+5y^2-4y-8=0\)
\(\Leftrightarrow x^2+6xy+5y^2-4y+a=8+a\)(với a thuộc R)
Xét phương trình:
\(x^2+6xy+5y^2-4y+a=0\)
\(\Delta'=\left(3y\right)^2-\left(5y^2-4y+a\right)=4y^2+4y-a\)
Chọn a= -1
\(\Delta'=\left(2y+1\right)^2\)
=> x1 = -y+1 ; x2 = -5y-1
từ đó ta có pt ước số: (x+y-1)(x+5y+1)=7
*** tới đây dễ rồi***
xét phương trình bậc hai ax²+bx+c=0 có hai nghiệm thuộc [0, 2]. tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P=(8a²-6ab+b²)/(4a²-2ab+ac)
Câu trả lời của bạn
Theo Vi- ét ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=\dfrac{-b}{a}\\x_1.x_2=\dfrac{c}{a}\end{matrix}\right.\)
Suy ra: P = \(\dfrac{8+6\left(x_1+x_2\right)+\left(x_1+x_2\right)^2}{4+2\left(x_1+x_2\right)+x_1x_2}\)
Giả sử 0 \(\le x_1\le x_2\le2\) ta có: \(x_1^2\le x_1x_2\); x22 \(\le4\)
Do đó: \(x_1^2+x_2^2\le x_1x_2+4\) suy ra \(x_1^2+x^2_2+2x_1x_2\le4+3x_1x_2\)
hay \(\left(x_1+x_2\right)^2\le4+3x_1x_2\)
Suy ra P \(\le\dfrac{8+6\left(x_1+x_2\right)+4+3x_1x_2}{4+2\left(x_1+x_2\right)+x_1x_2}\) = 3
cho a,b,c>0 và a2+b2+c2=3 tìm GTNN của bt :2(a+b+c) + (\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\))
Câu trả lời của bạn
\(3=a^2+b^2+c^2\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\Rightarrow a+b+c\le3\)
\(M=2\left(a+b+c\right)+\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\ge2\left(a+b+c\right)+\dfrac{9}{a+b+c}\)
\(=2\left[a+b+c+\dfrac{9}{a+b+c}\right]-\dfrac{9}{a+b+c}\ge2.\sqrt{9}-\dfrac{9}{3}=6-3=3\)Min = 3 khi a=b=c =1
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *