Trong bài trước chúng ta đã được tìm hiểu khái niệm về phương trình bậc hai, có phương trình có 1 nghiệm, 2 nghiệm, đôi khi vô nghiệm. Vậy có các công thức nào để tính các nghiệm ấy không?
Ta có phương trình tổng quát: \(ax^2+bx+c=0 (a\neq 0)\)
Chuyển hạng tử c sang vế phải, ta có: \(ax^2+bx=-c\)
Vì \(a\neq 0\) nên chia cả hai vế cho a, ta có: \(x^2+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}\)
Biến đổi để thành hằng đẳng thức: \(x^2+2.\frac{1}{2}\frac{b}{a}x+\frac{b^2}{4a}-\frac{b^2}{4a}=-\frac{c}{a}\)
\(\Leftrightarrow \left ( x+\frac{b}{2a} \right )^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}\)
Đặt \(\Delta =b^2-4ac\)
Với phương trình \(ax^2+bx+c=0 (a\neq 0)\) và biệt thức \(\Delta =b^2-4ac\):
\(\Delta>0\) thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt:
\(x_{1}=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}\); \(x_{2}=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}\)
\(\Delta=0\) thì phương trình có nghiệm kép \(x=x_{1}=x_{2}=-\frac{b}{2a}\)
\(\Delta<0\) phương trình vô nghiệm.
Chúng ta cùng xét các ví dụ sau:
Giải phương trình: \(x^2+5x-15=0\)
Giải: Dễ dàng xác định được hệ số của phương trình trên là: \(a=1;b=5;c=-15\)
Tính \(\Delta =b^2-4ac=5^2-4.1.(-15)=85>0\)
Vậy phương trình trên có các nghiệm là: \(x_{1}=\frac{-5+\sqrt{85}}{2}\); \(x_{2}=\frac{-5-\sqrt{85}}{2}\)
Không giải phương trình, hãy cho biết phương trình sau có bao nhiêu nghiệm:
\(9x^2+6x+1=0\)
Giải: Ta có: \(\Delta =6^2-4.9.1=0\)
Vậy phương trình trên có 1 nghiệm duy nhất.
Bài 1: Không giải phương trình, hãy cho biết số nghiệm của phương trình sau:
\(x^2+5x-34=0\); \(2x^2-3x+15=0\)
Hướng dẫn:\(x^2+5x-34=0\)
\(\Delta =5^2-4.1(-34)=161>0\)
Vậy phương trình trên có 2 nghiệm phân biệt
Tương tự đối với phương trình: \(2x^2-3x+15=0\)
\(\Delta =(-3)^2-4.2.15=-111<0\)
Vậy phương trình trên vô nghiệm
Bài 2: Giải phương trình: \(x^2+14x+49=0\); \(x^2-2x-5=0\)
Hướng dẫn: \(x^2+14x+49=0\)
Giải: \(\Delta =14^2-4.1.49=0\) \(\Rightarrow x=\frac{-14}{2}=-7\)
\(x^2-2x-5=0\)
Giải: \(\Delta =(-2)^2-4.1.(-5)=24\Rightarrow \sqrt{\Delta }=2\sqrt{6}>0\)
\(\Rightarrow x_{1}=\frac{-(-2)+2\sqrt{6}}{2}=1+\sqrt{6};x_{2}=\frac{-(-2)-2\sqrt{6}}{2}=1-\sqrt{6}\)
Bài 3: Giải phương trình bằng 2 cách: \(x^2+8x+18=0\)
Hướng dẫn: Cách 1 dùng biệt thức \(\Delta \Rightarrow \Delta <0\Rightarrow\)phương trình vô nghiệm
Cách 2: Biến đổi \(x^2+8x+18=(x+4)^2+2> 0\Rightarrow\)phương trình vô nghiệm
Bài 1: Cho phương trình: \(-x^2+2x+2017^{2017}=0\). Không giải phương trình , hãy cho biết phương trình trên có bao nhiêu nghiệm.
Hướng dẫn: Ta có, \(\Delta =b^2-4ac\).
Nhận thấy \(b^2>0\); \(ac=-2017^{2017}<0\Rightarrow 4ac>0\)
Vậy \(\Delta >0\forall x\epsilon \mathbb{R}\)
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt.
Bài 2: Tương tự câu trên, cho phương trình: \(x^2+2x-2018^{2018}=0\). Không giải phương trình, hãy cho biết phương trình trên có bao nhiêu nghiệm. Kết hợp bài 1 và 2 phần nâng cao, các bạn có nhận xét gì?
Hướng dẫn: Tương tự câu trên, ta cũng suy ra được phương trình \(x^2+2x-2018^{2018}=0\) có 2 nghiệm phân biệt.
Nhận xét: với a, c trái dấu, phương trình \(ax^2+bx+c=0 (a\neq 0)\) luôn có 2 nghiệm phân biệt!
Qua bài giảng Công thức nghiệm của phương trình bậc hai này, các em cần hoàn thành 1 số mục tiêu mà bài đưa ra như :
Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 9 Bài 4để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.
Nghiệm của phương trình \(x^2+100x+2500=0\) là:
Nghiệm của phương trình \(x^2-12x+36=0\) là:
Câu 3-5: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 9 Bài 4 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Toán 9 tập 2
Bài tập 15 trang 45 SGK Toán 9 Tập 2
Bài tập 16 trang 45 SGK Toán 9 Tập 2
Bài tập 20 trang 53 SBT Toán 9 Tập 2
Bài tập 21 trang 53 SBT Toán 9 Tập 2
Bài tập 22 trang 53 SBT Toán 9 Tập 2
Bài tập 23 trang 53 SBT Toán 9 Tập 2
Bài tập 24 trang 54 SBT Toán 9 Tập 2
Bài tập 25 trang 54 SBT Toán 9 Tập 2
Bài tập 26 trang 54 SBT Toán 9 Tập 2
Bài tập 4.1 trang 54 SBT Toán 9 Tập 2
Bài tập 4.2 trang 54 SBT Toán 9 Tập 2
Bài tập 4.3 trang 54 SBT Toán 9 Tập 2
Bài tập 4.4 trang 55 SBT Toán 9 Tập 2
Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán DapAnHay sẽ sớm trả lời cho các em.
-- Mod Toán Học 9 DapAnHay
Nghiệm của phương trình \(x^2+100x+2500=0\) là:
Nghiệm của phương trình \(x^2-12x+36=0\) là:
Không giải phương trình, hãy cho biết phương trình \(5x^2+9x-1=0\) có bao nhiêu nghiệm?
Cho m là tham số của phương trình bậc hai ẩn x: \(x^2-2(m-1)x-3-m=0\) có nghiệm
Với giá trị nào của m thì phương trình bậc hai \(x^2+5x-m=0\) có đúng 1 nghiệm?
Không giải phương trinh, hãy xác định các hệ số a, b, c, tính biệt thức ∆ và xác định số nghiệm của mỗi phương trình sau:
a) \(7x^2 - 2x + 3 = 0\)
b) \(5x^2 + 2\sqrt{10}x + 2 = 0\)
c) \(\frac{1}{2}x^2 + 7x +\frac{2}{3}=0\)
d) \(1,7x^2 - 1,2x -2,1 = 0\)
Dùng công thức nghiệm của phương trình bậc hai để giải các phương trình sau:
a) \(2x^2 - 7x + 3 = 0\)
b) \(6x^2 + x + 5 = 0\)
c) \(6x^2 + x - 5 = 0\)
d) \(3x^2 + 5x + 2 = 0\)
e) \(y^2 - 8y + 16 = 0\)
f) \(16z^2 + 24z + 9 = 0\)
Xác định các hệ số a, b, c; tính biệt thức ∆ rồi tìm nghiệm của các phương trình:
a) \(2{x^2} - 5x + 1 = 0\)
b) \(4{x^2} + 4x + 1 = 0\)
c) \(5{x^2} - x + 2 = 0\)
d) \( - 3{x^2} + 2x + 8 = 0\)
Xác định các hệ số a, b, c rồi giải phương trình:
a) \(2{x^2} - 2\sqrt 2 x + 1 = 0\)
b) \(2{x^2} - \left( {1 - 2\sqrt 2 } \right)x - \sqrt 2 = 0\)
c) \({1 \over 3}{x^2} - 2x - {2 \over 3} = 0\)
d) \(3{x^2} + 7,9x + 3,36 = 0\)
Giải phương trình bằng đồ thị.
Cho phương trình \(2{x^2} + x - 3 = 0\)
a) Vẽ các đồ thị của hai hàm số: \(y = 2{x^2},y = - x + 3\) trong cùng một mặt phẳng tọa độ.
b) Tìm hoành độ của mỗi giao điểm của hai đồ thị. Hãy giải thích vì sao các hoành độ này đều là nghiệm của phương trình đã cho.
c) Giải phương trình đã cho công thức nghiệm, so sánh với kết quả tìm được trong câu b.
Cho phương trình \({1 \over 2}{x^2} - 2x + 1 = 0\)
a) Vẽ đồ thị của hàm số \(y = {1 \over 2}{x^2}\) và \(y = 2x - 1\) trên cùng một mặt phẳng tọa độ. Dùng đồ thị tìm giá trị gần đúng nghiệm của phương trình (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).
b) Giải phương trình đã cho bằng công thức nghiệm, so sánh với kết quả tìm được trong câu a.
Đối với mỗi phương trình sau, hãy tìm giá trị của m để phương trình có nghiệm kép:
a) \(m{x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + 2 = 0\)
b) \(3{x^2} + \left( {m + 1} \right)x + 4 = 0\)
Đối với mỗi phương trình sau, hãy tìm các giá trị của m để phương trình có nghiệm; tính nghiệm của phương trình theo m:
a) \(m{x^2} + \left( {2x - 1} \right)x + m + 2 = 0\)
b) \(2{x^2} - \left( {4m + 3} \right)x + 2{m^2} - 1 = 0\)
Vì sao khi phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\) có các hệ số a và c trái dấu thì nó có nghiệm?
Áp dụng. Không tính ∆, hãy giải thích vì sao mỗi phương trình sau có nghiệm:
a) \(3{x^2} - x - 8 = 0\)
b) \(2004{x^2} + 2x - 1185\sqrt 5 = 0\)
c) \(3\sqrt 2 {x^2} + \left( {\sqrt 3 - \sqrt 2 } \right)x + \sqrt 2 - \sqrt 3 = 0\)
d) \(2010{x^2} + 5x - {m^2} = 0\)
Giải các phương trình sau bằng cách (chuyển các số hạng tự do sang vế phải; bằng công thức nghiệm) và so sánh kết quả tìm được:
a) \(4{x^2} - 9 = 0\)
b) \(5{x^2} + 20 = 0\)
c) \(2{x^2} - 2 + \sqrt 3 = 0\)
d) \(3{x^2} - 12 + \sqrt {145} = 0\)
Giải các phương trình sau bằng hai cách (giải phương trình tích; bằng công thức nghiệm) và so sánh kết quả tìm được:
a) \(5{x^2} - 3x = 0\)
b) \(3\sqrt 5 {x^2} + 6x = 0\)
c) \(2{x^2} + 7x = 0\)
d) \(2{x^2} - \sqrt 2 x = 0\)
Giải các phương trình:
a) \({x^2} = 14 - 5x\)
b) \(3{x^2} + 5x = {x^2} + 7x - 2\)
c) \({\left( {x + 2} \right)^2} = 3131 - 2x\)
d) \(\displaystyle {{{{\left( {x + 3} \right)}^2}} \over 5} + 1 = {{{{\left( {3x - 1} \right)}^2}} \over 5} \)\(\,\displaystyle+ {{x\left( {2x - 3} \right)} \over 2}\)
Chứng minh rằng nếu phương trình \(a{x^2} + bx + c = x(a \ne 0)\) vô nghiệm thì phương trình \(a{\left( {a{x^2} + bx + c} \right)^2} + b\left( {a{x^2} + bx + c} \right)\)\(\, + c = x\) cũng vô nghiệm.
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
Câu trả lời của bạn
\(a = 7;b = - 2;c = 3\)
\(\Delta = {b^2} - 4ac = {\left( { - 2} \right)^2} - 4.7.3 \)\(= - 80 < 0\)
Phương trình \(7{x^2} - 2x + 3 = 0\) vô nghiệm.
(A) Hai nghiệm phân biệt
(B) Nghiệm kép
(C) Một nghiệm
(D) Vô nghiệm
Khoanh tròn vào chữ cái trước đáp án đúng
Câu trả lời của bạn
Phương trình \(19{x^2} - 8x - 1945 = 0\) có hệ số \(a = 19;b = - 8;c = - 1945\)
Nhận thấy \(a\) và \(c\) trái dấu nên phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Chọn A.
(A) Nếu phương trình có hai nghiệm dương thì \(\Delta > 0\)
(B) Nếu phương trình có hai nghiệm bằng nhau thì \(\Delta = 0\)
(C) Nếu phương trình có hai nghiệm âm thì \(\Delta < 0\)
(D) Nếu phương trình có hai nghiệm trái dấu thì \(\Delta \) có thể âm hoặc dương
Câu trả lời của bạn
Nếu phương trình có hai nghiệm bằng nhau tức là phương trình có nghiệm kép nên \(\Delta = 0.\)
Chọn B.
Câu trả lời của bạn
\(\Delta = {1^2} - 4.6.\left( { - 5} \right) = 121 > 0;\)\(\sqrt \Delta = \sqrt {121} = 11\)
Phương trình có hai nghiệm phân biệt
\({x_1} = \dfrac{{ - b + \sqrt \Delta }}{{2a}} \)\(= \dfrac{{ - 1 + \sqrt {121} }}{{2.6}} = \dfrac{5}{6};\,\) \({x_2} = \dfrac{{ - b - \sqrt \Delta }}{{2a}} \)\(= \dfrac{{ - 1 - \sqrt {121} }}{{2.6}} = - 1.\,\)
Câu trả lời của bạn
\(\Delta = {1^2} - 4.6.5 = - 119 < 0\)
Phương trình vô nghiệm.
Câu trả lời của bạn
\(\Delta = {\left( { - 7} \right)^2} - 4.2.3 = 25 > 0;\)\(\sqrt \Delta = \sqrt {25} = 5\)
Phương trình có hai nghiệm phân biệt
\({x_1} = \dfrac{{ - b + \sqrt \Delta }}{{2a}} \)\(= \dfrac{{ - \left( { - 7} \right) + \sqrt {25} }}{{2.2}} = 3;\,\) \({x_2} = \dfrac{{ - b - \sqrt \Delta }}{{2a}} \)\(= \dfrac{{ - \left( { - 7} \right) - \sqrt {25} }}{{2.2}} \)\(= \dfrac{1}{2}.\,\)
Câu trả lời của bạn
\(a = 1,7;b = - 1,2;c = - 2,1\)
\(\Delta = {b^2} - 4ac \)\(= {\left( { - 1,2} \right)^2} - 4.1,7.\left( { - 2,1} \right) \)\(= 15,72 > 0\)
Phương trình \(1,7{x^2} - 1,2x - 2,1 = 0\) có hai nghiệm phân biệt.
Câu trả lời của bạn
\(a = \dfrac{1}{2};b = 7;c = \dfrac{2}{3}\)
\(\Delta = {b^2} - 4ac \)\(= {7^2} - 4.\dfrac{1}{2}.\dfrac{2}{3} \)\(= \dfrac{{143}}{3} > 0\)
Phương trình \(\dfrac{1}{2}{x^2} + 7x + \dfrac{2}{3} = 0\) có hai nghiệm phân biệt.
Câu trả lời của bạn
\(a = 5;b = 2\sqrt {10} ;c = 2\)
\(\Delta = {b^2} - 4ac = {\left( {2\sqrt {10} } \right)^2} - 4.5.2 \)\(= 40 - 40 = 0\)
Phương trình \(5{x^2} + 2\sqrt {10} x + 2 = 0\) có nghiệm kép.
Câu trả lời của bạn
\(\Delta = {\left( { - 8} \right)^2} - 4.1.16 = 64 - 64 = 0\)
Phương trình có nghiệm kép \({y_1} = {y_2} = \dfrac{{ - b}}{{2a}} \)\(= \dfrac{{ - \left( { - 8} \right)}}{{2.1}} = 4\,\)
Câu trả lời của bạn
\(\Delta = {5^2} - 4.2.3 = 1 > 0;\sqrt \Delta = 1\)
Phương trình có hai nghiệm phân biệt
\({x_1} = \dfrac{{ - b + \sqrt \Delta }}{{2a}} \)\(= \dfrac{{ - 5 + \sqrt 1 }}{{2.3}} \)\(= - \dfrac{2}{3};\,\) \({x_2} = \dfrac{{ - b - \sqrt \Delta }}{{2a}} \)\(= \dfrac{{ - 5 - \sqrt 1 }}{{2.3}} = - 1.\,\)
Câu trả lời của bạn
\(\Delta = {24^2} - 4.16.9 \)\(= 576 - 576 = 0\)
Phương trình có nghiệm kép \({z_1} = {z_2} = \dfrac{{ - b}}{{2a}} \)\(= \dfrac{{ - 24}}{{2.16}} \)\(= - \dfrac{3}{4}.\,\)
Câu trả lời của bạn
(A) Nếu a và b trái dấu thì phương trình có hai nghiệm phân biệt
(B) Nếu a và c trái dấu thì phương trình có hai nghiệm phân biệt
(C) Nếu b và c trái dấu thì phương trình có hai nghiệm phân biệt
(D) Nếu a và c cùng dấu thì phương trình có hai nghiệm bằng nhau
Câu trả lời của bạn
Xét \(a{x^2} + bx + c = 0\,\,(a \ne 0)\) có \(\Delta = {b^2} - 4ac\)
Nhận thấy rằng nếu \(a\) và \(c\) trái dấu thì \(a.c < 0 \Rightarrow {b^2} - ac > 0\) với mọi \(a;b;c;\,a \ne 0.\)
Nên \(\Delta > 0\) hay phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\,\,(a \ne 0)\) có hai nghiệm phân biệt.
Vậy nếu \(a\) và \(c\) trái dấu thì phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\,\,(a \ne 0)\) có hai nghiệm phân biệt.
Chọn B.
Chứng minh trình sau luôn có 2 nghiệm phân biệt : \((m-2)x^2-(3-2m)x m-1=0\)
Câu trả lời của bạn
(A) Nếu phương trình có hai nghiệm dương thì \(\Delta > 0\)
(B) Nếu phương trình có hai nghiệm bằng nhau thì \(\Delta = 0\)
(C) Nếu phương trình có hai nghiệm âm thì \(\Delta < 0\)
(D) Nếu phương trình có hai nghiệm trái dấu thì \(\Delta \) có thể âm hoặc dương
Câu trả lời của bạn
Nếu phương trình có hai nghiệm bằng nhau tức là phương trình có nghiệm kép nên \(\Delta = 0.\)
Chọn B.
(A) Hai nghiệm phân biệt
(B) Nghiệm kép
(C) Một nghiệm
(D) Vô nghiệm
Khoanh tròn vào chữ cái trước đáp án đúng.
Câu trả lời của bạn
Phương trình \(19{x^2} - 8x - 1945 = 0\) có hệ số \(a = 19;b = - 8;c = - 1945\)
Nhận thấy \(a\) và \(c\) trái dấu nên phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Chọn A.
(A) Nếu \(\Delta > 0\) thì phương trình có hai nghiệm phân biệt là:
\({x_1} = - \dfrac{{b - \sqrt \Delta }}{{2a}}\) và \({x_2} = - \dfrac{{b + \sqrt \Delta }}{{2a}}\)
(B) Nếu \(\Delta = 0\) thì phương trình có nghiệm là
\({x_1} = \dfrac{{ - b + \sqrt \Delta }}{{2a}}\) và \({x_2} = \dfrac{{ - b - \sqrt \Delta }}{{2a}}\)
(C) Nếu \(\Delta > 0\) thì phương trình có hai nghiệm phân biệt là:
\({x_1} = \dfrac{{b + \sqrt \Delta }}{{2a}}\) và \({x_2} = \dfrac{{ - b + \sqrt \Delta }}{{2a}}\)
(D) Nếu \(\Delta = 0\) thì phương trình có nghiệm là
\({x_1} = - \dfrac{{b + \sqrt \Delta }}{{2a}}\) và \({x_2} = \dfrac{{ - b + \sqrt \Delta }}{{2a}}\)
Câu trả lời của bạn
Ta thấy A, B, D đều đúng.
C sai vì nếu \(\Delta > 0\) thì phương trình có hai nghiệm phân biệt: \({x_1} = \dfrac{{ - b + \sqrt \Delta }}{{2a}};{x_2} = \dfrac{{ - b - \sqrt \Delta }}{{2a}}\)
Chọn C.
Hãy dùng công thức nghiệm của phương trình bậc hai để giải phương trình sau đây: \(6{x^2} + x - 5 = 0\)
Câu trả lời của bạn
\(\Delta = {1^2} - 4.6.\left( { - 5} \right) = 121 > 0;\)\(\sqrt \Delta = \sqrt {121} = 11\)
Phương trình có hai nghiệm phân biệt
\({x_1} = \dfrac{{ - b + \sqrt \Delta }}{{2a}} \)\(= \dfrac{{ - 1 + \sqrt {121} }}{{2.6}} = \dfrac{5}{6};\,\) \({x_2} = \dfrac{{ - b - \sqrt \Delta }}{{2a}} \)\(= \dfrac{{ - 1 - \sqrt {121} }}{{2.6}} = - 1.\,\)
Không cần giải phương trình, hãy xác định các hệ số a, b, c, tính biểu thức \(\Delta \) và xác định số nghiệm của phương trình sau: \(7{x^2} - 2x + 3 = 0\)
Câu trả lời của bạn
\(a = 7;b = - 2;c = 3\)
\(\Delta = {b^2} - 4ac = {\left( { - 2} \right)^2} - 4.7.3 \)\(= - 80 < 0\)
Phương trình \(7{x^2} - 2x + 3 = 0\) vô nghiệm.
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *