Ở chương II, chúng ta đã biết về hàm số bậc nhất, nó được viết dưới dạng phương trình của một đường thẳng, bài học ôn tập chương Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn cho chúng ta hệ gồm 2 phương trình bậc nhất, chúng có các vị trí tương đối như song song, cắt nhau hoặc trùng nhau... điều đó ảnh hưởng trực tiếp đến số nghiệm của hệ. Chúng ta cùng củng cố lại kiến thức về Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn nhé
Phương trình bậc nhất hai ẩn là phương trình đường thẳng có dạng \(ax+by=c\)
Trong đó: hệ số a, b, c cho trước và a;b không đồng thời bằng 0.
Về tập nghiệm:
Phương trình bậc nhất hai ẩn có vô số nghiệm nhưng đều phụ thuộc lẫn nhau
Nói cách khác, nghiệm của hệ được viết dưới dạng \(\left\{\begin{matrix} x\epsilon \mathbb{R}\\ y=-\frac{a}{b}x+\frac{c}{b} \end{matrix}\right. (b\neq 0)\)
Hệ được viết dưới dạng:
\(\left\{\begin{matrix} ax+by=c\\ a'x+b'y=c' \end{matrix}\right.(1)\)
Chúng là các phương trình đường thẳng
Các vị trí tương đối của hai phương trình đường thẳng gồm:
2 đường thẳng cắt nhau thì (1) có nghiệm duy nhất
2 đường thẳng trùng nhau thì (1) có vô số nghiệm
2 đường thẳng song song thì (1) vô nghiệm
1. Phương pháp thế:
-Biến đổi hệ phương trình đã cho thành hệ mới, và trong đó một phương trình có một ẩn
-Tìm ra ẩn đó rồi suy ra nghiệm của hệ
2. Phương pháp cộng đại số
Nhân hai vế của một phương trình với hằng số thích hợp sao cho hệ số một ẩn nào đó bằng nhau hoặc đối nhau
-Cộng hoặc trừ theo vế nhằm triệt tiêu một ẩn
-Tìm ra ẩn đó rồi suy ra nghiệm của hệ
Bước 1: Lập hệ phương trình
Chọn ẩn và đặt điều kiện cho ẩn
Biểu đạt các đại lượng khác nhau theo ẩn
Dựa vào đề bài toán, lập phương trình theo dạng đã học
Bước 2: Giải hệ phương trình
Bước 3: So sánh kết quả tìm được và chọn nghiệm thích hợp
Bài 1: Trong các cặp số sau \((-2;1),(-3;-4),(4;3),(3;0)\) cặp nào là nghiệm của phương trình \(2x-3y=6\)
Hướng dẫn:
Thế lần lượt các nghiệm vào phương trình trên, ta được
\(2(-2)-3.1=-7\)
\(2(-3)-3.(-4)=6\)
\(2.4-3.3=1\)
\(2.3-3.0=6\)
Vậy, ta chỉ nhận hai cặp đó là \((-3;-4),(3;0)\)
Bài 2: Không vẽ hình, hãy cho biết số nghiệm của mỗi hệ sau và giải thích
\(\left\{\begin{matrix} y=2x-5\\ y=3-x \end{matrix}\right.\)
\(\left\{\begin{matrix} y=\frac{1}{2}x+6\\ y=5-2x \end{matrix}\right.\)
\(\left\{\begin{matrix} y=10x+2017\\ y=10x-3 \end{matrix}\right.\)
\(\left\{\begin{matrix} y=2x+1\\ 2x-y+1=0 \end{matrix}\right.\)
Hướng dẫn:
\(\left\{\begin{matrix} y=2x-5\\ y=3-x \end{matrix}\right.\)
Nhận thấy rằng hệ trên gồm 2 đường thằng, có hệ số góc khác nhau, nên cắt nhau tại 1 điểm, vậy hệ có 1 nghiệm
\(\left\{\begin{matrix} y=\frac{1}{2}x+6\\ y=5-2x \end{matrix}\right.\)
Tương tự với hệ trên, tuy nhiên có 1 điều đặc biệt đó là tích hai hệ số góc là \(\frac{1}{2}.(-2)=-1\) nên nếu dùng phương pháp hình học, ta thấy rằng chúng vuông góc với nhau.
\(\left\{\begin{matrix} y=10x+2017\\ y=10x-3 \end{matrix}\right.\)
Hệ này gồm hai phương trình có hệ số \(a=a';b\neq b'\) nên chúng song song với nhau vô nghiệm.
\(\left\{\begin{matrix} y=2x+1\\ 2x-y+1=0 \end{matrix}\right.\)
Biến đổi tương đương ta được: \(\left\{\begin{matrix} y=2x+1\\y=2x+1 \end{matrix}\right.\)
Hệ này gồm hai phương trình có hệ số \(a=a';b=b'\) nên chúng trùng nhau và có vô số nghiệm.
Bài 3: Giải hệ bằng phương pháp thế: \(\left\{\begin{matrix} x-y=8\\ 5x+4y=-2 \end{matrix}\right.\); \(\left\{\begin{matrix} 3x+2y=10\\ -x+4y=-9 \end{matrix}\right.\)
Hướng dẫn:
\(\left\{\begin{matrix} x-y=8\\ 5x+4y=-2 \end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=y+8\\ 5x+4y=-2 \end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=y+8\\ 5(y+8)+4y=-2 \end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=y+8\\ 9y=-42 \end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=y+8\\ y=-\frac{42}{9} \end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=\frac{10}{3}\\ y=-\frac{42}{9} \end{matrix}\right.\)
\(\left\{\begin{matrix} 3x+2y=10\\ -x+4y=-9 \end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 3x+2y=10 \\ x=9+4y \end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 3(4y+9)+2y=10 \\ x=9+4y \end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 14y=-17 \\ x=9+4y \end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} y=-\frac{17}{14} \\ x=9+4y \end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} y=\frac{29}{7} \\ y=-\frac{17}{14} \end{matrix}\right.\)
Bài 4: Giải hệ bằng phương pháp cộng đại số: \(\left\{\begin{matrix} x-3y=10\\ 2x+y=0 \end{matrix}\right.\);\(\left\{\begin{matrix} 4x-y=8\\ -x+2y=-2 \end{matrix}\right.\)
Hướng dẫn:
\(\left\{\begin{matrix} x-3y=10\\ 2x+y=0 \end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2x-6y=20\\ 2x+y=0 \end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} -7y=20\\ 2x+y=0 \end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} y=-\frac{20}{7}\\ 2x+y=0 \end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=\frac{10}{7}\\ y=-\frac{20}{7} \end{matrix}\right.\)
\(\left\{\begin{matrix} 4x-y=8\\ -x+2y=-2 \end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 8x-2y=16\\ -x+2y=-2 \end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 7x=14\\ -x+2y=-2 \end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=2\\ -x+2y=-2 \end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=2\\ y=0 \end{matrix}\right.\)
Bài 5: Tìm hai số tự nhiên, biết rằng tổng của chúng là 1006, nếu lấy số lớn chia cho số nhỏ ta được thương là 2 và dư 124
Hướng dẫn:
Gọi hai số tự nhiên cần tìm là \(a,b(a,b\epsilon \mathbb{N};a>b>124)\)
Theo đề, ta có: \(\left\{\begin{matrix} a+b=1006\\ a=2b+124 \end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2b+124+b=1006\\ a=2b+124 \end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 3b=882\\ a=2b+124 \end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} b=294\\ a=2b+124 \end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} b=294\\ a=712 \end{matrix}\right.\)
Để cũng cố bài học, xin mời các em cũng làm bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 9 Chương 3 Bài 7 với những câu hỏi củng cố bám sát nội dung bài học. Bên cạnh đó các em có thể nêu thắc mắc của mình thông qua phần Hỏi đáp Toán 9 Chương 3 Bài 7 cộng đồng Toán DapAnHay sẽ sớm giải đáp cho các em.
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 9 Chương 3 Bài 7 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Toán 9
-- Mod Toán Học 9 DapAnHay
Cho hai phương trình đường thẳng \(y=2x-3\) và \(x-y=1\).
Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng đó là:
Giải hệ phương trình: \(\left\{\begin{matrix} x=2y+1\\ x-2y+5=0 \end{matrix}\right.\) ta nhận được nghiệm của hệ là:
Nghiệm của hệ \(\left\{\begin{matrix} x-y\sqrt{3}=0\\ x\sqrt{3}+2y=3\sqrt{2} \end{matrix}\right.\) là:
Tính độ dài hai cạnh góc vuông, biết rằng tăng mỗi cạnh lên \(3(cm)\) thì diện tích sẽ tăng lên \(36(cm^2)\). Và nếu giảm một cạnh đi \(2(cm)\) một cạnh đi \(4(cm)\) thì diện tích sẽ giảm \(26(cm^2)\).
Tìm một số có hai chữ số, biết rằng: Nếu lấy số đó nhân với tổng hai chữ số ấy ta được tích là 115. Nếu lấy số đó đảo ngược lại và vẫn đem nhân cho tổng hai chữ số ấy ta được tích là 60.
Giải các hệ phương trình sau và minh họa hình học kết quả tìm được:
a)\(\left\{ \matrix{2{\rm{x}} + 5y = 2 \hfill \cr {2 \over 5}x + y = 1 \hfill \cr} \right.\)
b) \(\left\{ \matrix{0,2{\rm{x}} + 0,1y = 0,3 \hfill \cr 3{\rm{x}} + y = 5 \hfill \cr} \right.\)
c) \(\left\{ \matrix{{3 \over 2}x - y = {1 \over 2} \hfill \cr 3{\rm{x}} - 2y = 1 \hfill \cr} \right.\)
Giải các hệ phương trình sau:
a)
\(\left\{ \matrix{
x\sqrt 5 - \left( {1 + \sqrt 3 } \right)y = 1 \hfill \cr
\left( {1 - \sqrt 3 } \right)x + y\sqrt 5 = 1 \hfill \cr} \right.\)
b)
\(\left\{ \matrix{
{{2{\rm{x}}} \over {x + 1}} + {y \over {y + 1}} = \sqrt 2 \hfill \cr
{x \over {x + 1}} + {{3y} \over {y + 1}} = - 1 \hfill \cr} \right.\)
Giải hệ phương trình\(\left\{ \matrix{2{\rm{x}} - y = m \hfill \cr 4{\rm{x}} - {m^2}y = 2\sqrt 2 \hfill \cr} \right.\) trong mỗi trường hợp sau:
a) \(m = -\sqrt{2}\)
b) \(m = \sqrt{2}\)
c) \(m = 1\)
Hai người ở hai địa điểm A và B cách nhau \(3,6\) km, khởi hành cùng một lúc, đi ngược chiều nhau và gặp nhau ở một địa điểm cách A là \(2\) km. Nếu cả hai cùng giữ nguyên vận tốc như trường hợp trên, nhưng người đi chậm hơn xuất phát trước người kia \(6\) phút thì họ sẽ gặp nhau ở chính giữa quãng đường. Tính vận tốc của mỗi người.
Một vật có khối lượng 124 g và thể tích 15 \(c{m^3}\) là hợp kim của đồng và kẽm. Tính xem trong đó có bao nhiêu gam đồng và bao nhiêu gam kẽm, biết rằng cứ 89 g đồng thì có thể tích là 10cm3 và 7g kẽm có thể tích là 1cm3
Hai đội xây dựng làm chung một công việc và dự định hoàn thành trong 12 ngày. Nhưng khi làm chung được 8 ngày thì đội I được điều động đi làm việc khác. Tuy chỉ còn một mình độ II làm việc nhưng do cải tiến cách làm, năng suất của đội II tăng gấp đôi nên họ làm xong phần việc còn lại trong 3,5 ngày. Hỏi với năng suất ban đầu, nếu mỗi đội làm một mình thì phải làm trong bao nhiêu ngày mới xong công việc trên?
Năm ngoái, hai đơn vị sản xuất nông nghiệp thu hoạch được 720 tấn thóc. Năm nay, đơn vị thứ nhất làm vượt mức 15% , đơn vị thứ hai làm vượt mức 12% so với năm ngoái. Do đó cả hai đơn vị thu hoạch được 819 tấn thóc. Hỏi mỗi năm, mỗi đơn vị thu hoạch được bao nhiêu tấn thóc?
Giải các hệ phương trình sau:
\(a)\left\{ {\matrix{
{4x + y = - 5} \cr
{3x - 2y = - 12} \cr} } \right.\)
\(b)\left\{ {\matrix{
{x + 3y = 4y - x + 5} \cr
{2x - y = 3x - 2\left( {y + 1} \right)} \cr} } \right.\)
\(c)\left\{ {\matrix{
{3\left( {x + y} \right) + 9 = 2\left( {x - y} \right)} \cr
{2\left( {x + y} \right) = 3\left( {x - y} \right) - 11} \cr} } \right.\)
\(d)\left\{ {\matrix{
{2\left( {x + 3} \right) = 3\left( {y + 1} \right) + 1} \cr
{3\left( {x - y + 1} \right) = 2\left( {x - 2} \right) + 3} \cr} } \right.\)
Giải các hệ phương trình sau:
\(a)\left\{ {\matrix{
{\sqrt 3 x - 2\sqrt 2 y = 7} \cr
{\sqrt 2 x + 3\sqrt 3 y = - 2\sqrt 6 } \cr} } \right.\)
\(b)\left\{ {\matrix{
{\left( {\sqrt 2 + 1} \right)x - \left( {2 - \sqrt 3 } \right)y = 2} \cr
{\left( {2 + \sqrt 3 } \right)x + \left( {\sqrt 2 - 1} \right)y = 2} \cr} } \right.\)
Tìm các giá trị của \(a\) và \(b\) để hệ phương trình:
\(\left\{ {\matrix{
{ax + by = 3} \cr
{2ax - 3by = 36} \cr} } \right.\)
có nghiệm là \((3; -2).\)
Tìm một số có hai chữ số biết rằng \(2\) lần chữ số hàng chục lớn hơn \(5\) lần chữ số hàng đơn vị là \(1\) và chữ số hàng chục chia cho chữ số hàng đơn vị được thương là \(2\) và dư cũng là \(2.\)
Một xe lửa phải vận chuyển một lượng hàng. Nếu xếp vào mỗi toa \(15\) tấn hàng thì còn thừa lại \(3\) tấn, nếu xếp vào mỗi toa \(16\) tấn thì còn có thể chở thêm \(5\) tấn nữa. Hỏi xe lửa có mấy toa và phải chở bao nhiêu tấn hàng?
Hai đội xe chở cát để san lấp một khu đất. Nếu hai đội cùng làm thì trong \(12\) ngày xong việc. Nhưng hai đội chỉ cùng làm trong \(8\) ngày. Sau đó đội thứ nhất làm tiếp một mình trong \(7\) ngày nữa thì xong việc. Hỏi mỗi đội làm một mình thì bao lâu xong việc.
Hai xe lửa khởi hành đồng thời từ hai ga cách nhau \(750km\) và đi ngược chiều nhau, sau \(10\) giờ chúng gặp nhau. Nếu xe thứ nhất khởi hành trước xe thứ hai \(3\) giờ \(45\) phút thì sau khi xe thứ hai đi được \(8\) giờ chúng gặp nhau. Tính vận tốc của mỗi xe.
Giải các hệ phương trình:
\(a)\left\{ {\matrix{
{\left( {x + 3} \right)\left( {y + 5} \right) = \left( {x + 1} \right)\left( {y + 8} \right)} \cr
{\left( {2x - 3} \right)\left( {5y + 7} \right) = 2\left( {5x - 6} \right)\left( {y + 1} \right)} \cr} } \right.\)
\(b)\left\{ {\matrix{
{{{2x - 3} \over {2y - 5}} = {{3x + 1} \over {3y - 4}}} \cr
{2\left( {x - 3} \right) - 3\left( {y + 2} \right) = - 16} \cr} } \right.\)
Năm nay người ta áp dụng kĩ thuật mới trên hai cánh đồng trồng lúa ở ấp Minh Châu. Vì thế lượng lúa thu được trên cánh đồng thứ nhất tăng lên 30% so với năm ngoái, trên cánh đồng thứ hai lượng lúa thu được tăng 20%. Tổng cộng cả hai cánh đồng thu được \(630\) tấn. Hỏi trên mỗi cánh đồng năm nay thu được bao nhiêu lúa, biết rằng trên cả hai cánh đồng này năm ngoái chỉ thu được \(500\) tấn?
Người ta trộn hai loại quặng sắt với nhau, một loại chứa 72% sắt, loại thứ hai chứa 58% sắt được một loại quặng chứa 62% sắt. Nếu tăng khối lượng của mỗi loại quặng thêm \(15\) tấn thì được một loại quặng chứa 63,25% sắt. Tìm khối lượng quặng của mỗi loại đã trộn.
Một người đi ngựa và một người đi bộ đều đi từ bản \(A\) đến bản \(B\). Người đi ngựa đến \(B\) trước người đi bộ \(50\) phút rồi lập tức quay trở về \(A\) và gặp người đi bộ tại một địa điểm cách \(B\) là \(2km\). Trên cả quãng đường từ \(A\) đến \(B\) và ngược lại, người đi ngựa đi hết \(1\) giờ \(40\) phút. Hãy tính khoảng cách \(AB\) và vận tốc của mỗi người.
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
Hãy giải pt sau \({x^4} + {x^2} - 6 = 0\).
Câu trả lời của bạn
Đặt \({x^2} = t\left( {t \ge 0} \right)\), ta được phương trình \({t^2} + t - 6 = 0\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {t^2} + 3t - 2t - 6 = 0\\ \Leftrightarrow t\left( {t + 3} \right) - 2\left( {t + 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {t - 2} \right)\left( {t + 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 2\left( {tm} \right)\\t = - 3\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)
Với \(t = 2 \Rightarrow {x^2} = 2\) \( \Leftrightarrow x = \pm \sqrt 2 \)
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm \(S = \left\{ { - \sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right\}\)
A. \(3\) B. \( - 3\)
C. \(2\) D. \(5\)
Câu trả lời của bạn
Ta có: \(\Delta = {b^2} - 4ac\) \( = {1^2} - 4.1.\left( { - 1} \right) = 5\)
Chọn D
Hãy giải hệ sau \(\left\{ \begin{array}{l}2x - y = 3\\x + y = 0\end{array} \right.\)
Câu trả lời của bạn
Ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}2x - y = 3\\x + y = 0\end{array} \right.\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x = 3\\x + y = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\1 + y = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = - 1\end{array} \right.\end{array}\)
Vậy hệ phương trình có nghiệm \(\left( {x;y} \right) = \left( {1; - 1} \right)\)
Cho phương trình như sau \({x^2} - 2mx + m - 2 = 0\,\,\left( 1 \right)\) (1) (\(x\) là ẩn, \(m\) là tham số). Chứng minh phương trình (1) có nghiệm với mọi \(m\).
Câu trả lời của bạn
Ta thấy phương trình \(\left( 1 \right)\) có \(a = 1 \ne 0\) nên nó là phương trình bậc hai một ẩn
Lại có \(\Delta ' = {\left( { - m} \right)^2} - 1.\left( {m - 2} \right)\) \( = {m^2} - m + 2\) \( = {m^2} - 2m.\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{7}{4}\) \( = {\left( {m - \dfrac{1}{2}} \right)^2} + \dfrac{7}{4}\)
Vì \({\left( {m - \dfrac{1}{2}} \right)^2} \ge 0\) với mọi \(m\) nên \({\left( {m - \dfrac{1}{2}} \right)^2} + \dfrac{7}{4} \ge \dfrac{7}{4} > 0\) với mọi \(m.\)
Suy ra \(\Delta ' > 0\) với mọi \(m\) nên phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi \(m.\)
Theo kế hoạch trong tháng 3 năm 2020, hai tổ công nhân dự kiến may \(7000\) chiếc khẩu trang để phục vụ cho công tác phòng chống dịch Covid-19. Nhưng thực tế tổ I đã may vượt mức kế hoạch 10%, tổ II may vượt mức kế hoạch 12% nên cả hai tổ đã may được \(7780\) chiếc khẩu trang. Hãy cho biết theo kế hoạch mỗi tổ phải may bao nhiêu chiếc khẩu trang?
Câu trả lời của bạn
Gọi số khẩu trang mà tổ 1 và tổ 2 phải may theo kế hoạch lần lượt là \(x;y\) (chiếc) \(\left( {0 < x,y < 7000} \right)\)
Vì hai tổ dự kiến may 7000 chiếc khẩu trang nên ta có phương tình \(x + y = 7000\) (1)
Thực tế tổ 1 may vượt kế hoạch 10% nên tổ 1 may được \(\left( {1 + 10\% } \right)x = 1,1x\) chiếc
Thực tế tổ 2 may vượt kế hoạch 12% nên tổ 2 may được \(\left( {1 + 12\% } \right)y = 1,12y\) chiếc
Thực tế cả hai tổ may được \(7780\) chiếc nên ta có phương trình \(1,1x + 1,12y = 7780\) (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:
\(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 7000\\1,1x + 1,12y = 7780\end{array} \right.\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1,1x + 1,1y = 7700\\1,1x + 1,12y = 7780\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}0,02y = 80\\x + y = 7000\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 4000\\x + 4000 = 7000\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 4000\left( {tm} \right)\\x = 3000\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)
Vậy theo kế hoạch, tổ 1 phải may 3000 chiếc khẩu trang và tổ 2 phải may 4000 chiếc khẩu trang.
Cho biết rằng \(a,b,c\) là các số thực dương thỏa mãn \(a + b + c = 3\). Chứng minh rằng \(\dfrac{{{a^2}\left( {b + 1} \right)}}{{a + b + ab}} + \dfrac{{{b^2}\left( {c + 1} \right)}}{{b + c + bc}} + \dfrac{{{c^2}\left( {a + 1} \right)}}{{c + a + ca}} \ge 2\)
Câu trả lời của bạn
Cho \(a,b,c\) là các số thực dương thỏa mãn \(a + b + c = 3\). Chứng minh rằng \(\dfrac{{{a^2}\left( {b + 1} \right)}}{{a + b + ab}} + \dfrac{{{b^2}\left( {c + 1} \right)}}{{b + c + bc}} + \dfrac{{{c^2}\left( {a + 1} \right)}}{{c + a + ca}} \ge 2\)
Trước hết ta chứng minh BĐT \(\dfrac{{{x^2}}}{a} + \dfrac{{{y^2}}}{b} + \dfrac{{{z^2}}}{c} \ge \dfrac{{{{\left( {x + y + z} \right)}^2}}}{{a + b + c}}\) (*)
Áp dụng BĐT Bunhia cho các bộ số \(\left( {\dfrac{x}{{\sqrt a }},\dfrac{y}{{\sqrt b }},\dfrac{z}{{\sqrt c }}} \right)\) và \(\left( {\sqrt a ;\sqrt b ;\sqrt c } \right)\) ta có:
\(\begin{array}{l}\left( {\dfrac{{{x^2}}}{a} + \dfrac{{{y^2}}}{b} + \dfrac{{{z^2}}}{c}} \right)\left( {a + b + c} \right)\\ \ge {\left( {\dfrac{x}{{\sqrt a }}.\sqrt a + \dfrac{y}{{\sqrt b }}.\sqrt b + \dfrac{z}{{\sqrt c }}.\sqrt c } \right)^2}\\ = {\left( {x + y + z} \right)^2}\\ \Rightarrow \left( {\dfrac{{{x^2}}}{a} + \dfrac{{{y^2}}}{b} + \dfrac{{{z^2}}}{c}} \right)\left( {a + b + c} \right) \ge {\left( {x + y + z} \right)^2}\\ \Rightarrow \dfrac{{{x^2}}}{a} + \dfrac{{{y^2}}}{b} + \dfrac{{{z^2}}}{c} \ge \dfrac{{{{\left( {x + y + z} \right)}^2}}}{{a + b + c}}\end{array}\)
Vậy (*) được chứng minh.
Ta có:
\(\begin{array}{l}P = \dfrac{{{a^2}\left( {b + 1} \right)}}{{a + b + ab}} + \dfrac{{{b^2}\left( {c + 1} \right)}}{{b + c + bc}} + \dfrac{{{c^2}\left( {a + 1} \right)}}{{c + a + ca}}\\ = \dfrac{{{a^2}\left( {b + 1} \right)}}{{b + a\left( {b + 1} \right)}} + \dfrac{{{b^2}\left( {c + 1} \right)}}{{c + b\left( {c + 1} \right)}} + \dfrac{{{c^2}\left( {a + 1} \right)}}{{a + c\left( {a + 1} \right)}}\\ = \dfrac{{{a^2}}}{{\dfrac{b}{{b + 1}} + a}} + \dfrac{{{b^2}}}{{\dfrac{c}{{c + 1}} + b}} + \dfrac{{{c^2}}}{{\dfrac{a}{{a + 1}} + c}}\\ \ge \dfrac{{{{\left( {a + b + c} \right)}^2}}}{{\dfrac{b}{{b + 1}} + a + \dfrac{c}{{c + 1}} + b + \dfrac{a}{{a + 1}} + c}}\\ = \dfrac{9}{{3 + \dfrac{b}{{b + 1}} + \dfrac{c}{{c + 1}} + \dfrac{a}{{a + 1}}}}\\ = \dfrac{9}{{3 + 1 - \dfrac{1}{{b + 1}} + 1 - \dfrac{1}{{c + 1}} + 1 - \dfrac{1}{{a + 1}}}}\\ = \dfrac{9}{{6 - \left( {\dfrac{1}{{a + 1}} + \dfrac{1}{{b + 1}} + \dfrac{1}{{c + 1}}} \right)}}\end{array}\)
Áp dụng (*) ta có:
\(\begin{array}{l}\dfrac{1}{{a + 1}} + \dfrac{1}{{b + 1}} + \dfrac{1}{{c + 1}}\\ \ge \dfrac{{{{\left( {1 + 1 + 1} \right)}^2}}}{{a + 1 + b + 1 + c + 1}}\\ = \dfrac{{{3^2}}}{{3 + 3}} = \dfrac{3}{2}\end{array}\)
\( \Rightarrow P \ge \dfrac{9}{{6 - \dfrac{3}{2}}} = 2 \Rightarrow P \ge 2\)
Dấu “=” xảy ra khi \(a = b = c = 1\).
Vậy \(\dfrac{{{a^2}\left( {b + 1} \right)}}{{a + b + ab}} + \dfrac{{{b^2}\left( {c + 1} \right)}}{{b + c + bc}} + \dfrac{{{c^2}\left( {a + 1} \right)}}{{c + a + ca}} \ge 2\)
Với \(A = \frac{2}{{\sqrt x - 2}}\). Tìm giá trị biểu thức A khi x = 9.
Câu trả lời của bạn
Thay \(x = 9\) (t/m đk) vào A ta được:
\(A = \frac{2}{{\sqrt 9 - 2}} = 2\)
Vậy khi \(x = 9\) thì \(A = 2\).
Có \(B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}} + \frac{{4\sqrt x }}{{x - 4}}\) với \(x \ge 0\) và \(x \ne 4\). Chứng minh \(B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}}\).
Câu trả lời của bạn
\(\begin{array}{l}B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}} + \frac{{4\sqrt x }}{{x - 4}}\\ = \frac{{\sqrt x (\sqrt x - 2) + 4\sqrt x }}{{(\sqrt x + 2)(\sqrt x - 2)}}\\ = \frac{{x + 2\sqrt x }}{{(\sqrt x + 2)(\sqrt x - 2)}}\\ = \frac{{\sqrt x (\sqrt x + 2)}}{{(\sqrt x + 2)(\sqrt x - 2)}}\\ = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}}\end{array}\)
Trong kì thi tuyển sinh vào lớp 10, hai trường A và B có tất cả 750 học sinh dự thi. Trong số học sinh trường A dự thi có 80% số học sinh trúng tuyển, còn trong số học sinh trường B dự thi có 70% số học sinh trúng tuyển. Biết tổng số học sinh trúng tuyển của cả hai trường là 560 học sinh. Hãy cho biết số học sinh dự thi của môi trường?
Câu trả lời của bạn
Gọi số HS trúng tuyển của trường A và B lần lượt là x và y(\(x,y \in {\mathbb{N}^*};\,\,x,y < 750\)).
Ta có phương trình: \(x + y = 750\,\,(1)\)
Do trường A có \(80\% \) số HS trúng tuyển nên số HS trúng tuyển của trường A là: \(0,8x\) (học sinh)
Do trường A có \(70\% \) số HS trúng tuyển nên số HS trúng tuyển của trường A là: \(0,7y\) (học sinh)
Vì tổng số HS trúng tuyển của hai trường là 560 học sinh nên ta có pt:
\(0,8x + 0,7y = 560\,\,(2)\)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + y = 750}\\{0,8x + 0,7y = 560}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 350}\\{y = 400}\end{array}} \right.} \right.\)
Vậy số học sinh trúng tuyển của trường A và B lần lượt là: 350 học sinh và 400 học sinh.
Giải hệ phương trình cho sau: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{2}{{x - y}} + \sqrt {y + 1} = 4}\\{\frac{1}{{x - y}} - 3\sqrt {y + 1} = - 5}\end{array}} \right.\)
Câu trả lời của bạn
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{2}{{x - y}} + \sqrt {y + 1} = 4}\\{\frac{1}{{x - y}} - 3\sqrt {y + 1} = - 5}\end{array}} \right.\) điều kiện: \(y \ge - 1,\,\,x \ne y\).
Đặt \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{1}{{x - y}} = a}\\{\sqrt {y + 1} = b\,(b \ge 0)}\end{array}} \right.\) ta có hpt:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2a + b = 4}\\{a - 3b = - 5}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 1}\\{b = 2}\end{array}} \right.} \right.\) suy ra:
\(\begin{array}{l}\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{1}{{x - y}} = 1}\\{\sqrt {y + 1} = 2}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{1}{{x - y}} = 1}\\{y + 1 = 4}\end{array}} \right.} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 4(t/m)}\\{y = 3(t/m)}\end{array}} \right.\end{array}\)
Vậy hệ phương trình có nghiệm \((4;\,3)\).
Rút gọn biểu thức cho sau \(B = \left( {\dfrac{{x - \sqrt x }}{{\sqrt x - 1}} - \dfrac{{\sqrt x + 1}}{{x + \sqrt x }}} \right):\dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x }}\) với \(x > 0,\,\,x \ne 1\)và tính giá trị của B khi \(x = 12 + 8\sqrt 2 \)
Câu trả lời của bạn
\(\begin{gathered}
B = \left( {\frac{{x - \sqrt x }}{{\sqrt x - 1}} - \frac{{\sqrt x + 1}}{{x + \sqrt x }}} \right):\frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x }}{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {x > 0,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} x \ne 1} \right)\; \hfill \\
= \left( {\frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}}{{\sqrt x - 1}} - \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)}}} \right):\frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x }}\; \hfill \\
= \left( {\sqrt x - \frac{1}{{\sqrt x }}} \right).\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}}\;\;\; \hfill \\
= \frac{{x - 1}}{{\sqrt x }}.\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}}\; = \frac{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}{{\sqrt x + 1}}{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} = \sqrt x - 1 \hfill \\
\end{gathered} \)
Ta có
\(\begin{array}{l}x = 12 + 8\sqrt 2 = {\left( {2\sqrt 2 } \right)^2} + 2.2\sqrt 2 .2 + {2^2} = {\left( {2\sqrt 2 + 2} \right)^2}\\ \Rightarrow \sqrt x = \sqrt {{{\left( {2\sqrt 2 + 2} \right)}^2}} = \left| {2\sqrt 2 + 2} \right| = 2\sqrt 2 + 2\\\left( {Do\,\,2\sqrt 2 + 2 > 0} \right)\end{array}\)
Thay \(\sqrt x = 2\sqrt 2 + 2\) vào B ta có \(B = \sqrt x - 1 = 2\sqrt 2 + 2 - 1 = 2\sqrt 2 + 1\).
Vậy khi \(x = 12 + 8\sqrt 2 \) thì \(B = 2\sqrt 2 + 1\)
Rút gọn biểu thức cho sau \(A = {\left( {\sqrt 5 - \sqrt 2 } \right)^2} + \sqrt {40} \)
Câu trả lời của bạn
\(\begin{gathered}
{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} A = {\left( {\sqrt 5 - \sqrt 2 } \right)^2} + \sqrt {40} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \hfill \\
= {\left( {\sqrt 5 } \right)^2} - 2\sqrt 5 .\sqrt 2 + {\left( {\sqrt 2 } \right)^2} + \sqrt {{2^2}.10} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \hfill \\
= 5 - 2\sqrt {10} + 2 + 2\sqrt {10} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \hfill \\
= 7 \hfill \\
\end{gathered} \)
Tìm GTNN của biểu thức sau đây: \(P = 2{x^2} - 2xy + {y^2} - 3x + \frac{1}{x} + 2\sqrt {x - 2} + 2021\).
Câu trả lời của bạn
\(\begin{array}{l}P = 2{x^2} - 2xy + {y^2} - 3x + \frac{1}{x} + 2\sqrt {x - 2} + 2021\\P = ({x^2} - 2xy + {y^2}) + 2\sqrt {x - 2} + ({x^2} - 4x + 4) + \frac{1}{x} + x + 2017\\P = {(x - y)^2} + 2\sqrt {x - 2} + {(x - 2)^2} + \left( {\frac{1}{x} + \frac{x}{4}} \right) + \frac{{3x}}{4} + 2017\\ \Rightarrow P \ge {(2 - y)^2} + 0 + 0 + 2\sqrt {\frac{1}{x}.\frac{x}{4}} + \frac{{3.2}}{4} + 2017\,\,\\ \Rightarrow P \ge 0 + 0 + 0 + 1 + \frac{3}{2} + 2017\\ \Rightarrow P \ge \frac{{4039}}{2}\end{array}\)
Dấu “=” xảy ra khi \(x = 2\).
Vậy GTNN của P bằng \(\frac{{4039}}{2}\) khi \(x = 2\).
\(\)
Có parabol (P): \(y = {x^2}\)và đường thẳng (d): \(y = 2(m - 1)x - {m^2} + 2m\) (m là tham số). Tìm tọa độ giao điểm của parabol (P) và đường thẳng (d) khi m = 2.
Câu trả lời của bạn
Khi \(m = 2\) ta có:
\(\begin{array}{l}y = 2.(2 - 1)x - {2^2} + 2.2\\ \Leftrightarrow y = 2x\end{array}\)
\(\begin{array}{l}{{\rm{x}}^2} = 2x\\ \Leftrightarrow {x^2} - 2x = 0\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{x = 2}\end{array}} \right.\end{array}\)
+) Với x = 0 thì y = 0
+) Với x = 2 thì y = 2.2 = 4
Suy ra tọa độ giao điểm của \((d)\) và \((P)\) là (0; 0) và (2; 4)
Có parabol (P): \(y = {x^2}\)và đường thẳng (d): \(y = 2(m - 1)x - {m^2} + 2m\) (m là tham số). Tìm giá trị của m để đường thẳng (d) và parabol (P) cắt nhau tại hai điểm phân biệt có hoành độ \({x_1};{x_2}\) là hai số đối nhau.
Câu trả lời của bạn
Xét phương trình hoành độ giao điểm của \((d)\) và \((P)\):
\(\begin{array}{l}{x^2} = 2(m - 1) - {m^2} + 2m\,\,\,\\ \Leftrightarrow {x^2} - 2(m - 1)x + {m^2} - 2m = 0\,\,(1)\end{array}\)
Để \((d)\) và \((P)\) cắt nhau tại hai điểm phân biệt thì phương trình (1) có: \(\Delta ' > 0\)
\( \Leftrightarrow {(m - 1)^2} - {m^2} + 2m > 0\)
\( \Leftrightarrow 1 > 0\)(luôn đúng)
Vậy phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt.
+) Để \((d)\) và \((P)\) cắt nhau tại hai điểm phân biệt có hoành độ là hai số đối nhau thì:
\({x_1} = - {x_2} \Leftrightarrow {x_1} + {x_2} = 0\)
Mặt khác, theo Vi-ét ta có: \({x_1} + {x_2} = 2(m - 1)\) nên:
\(2(m - 1) = 0 \Leftrightarrow m = 1\)
Vậy \(m = 1\) thỏa mãn đề bài.
Một người dự định đi xe máy từ tỉnh A đến tỉnh B cách nhau 90 km trong một thời gian đã định. Sau khi đi được 1 giờ, người đó nghỉ 9 phút. Do đó, để đến tỉnh B đúng hẹn, người ấy phải tăng vận tốc thêm 4 km/h. Cho biết vận tốc lúc đấy của người đó.
Câu trả lời của bạn
Gọi vận tốc ban đầu của người đó là \(x\;\;\left( {km/h} \right),\;\;\left( {x > 0} \right).\)
Thời gian dự định người đó đi hết quãn đường là: \(\dfrac{{90}}{x}\;\;\left( h \right).\)
Quãng đường người đó đi được sau 1 giờ là: \(x\;\;\left( {km} \right).\)
Quãng đường còn lại người đó phải tăng tốc là: \(90 - x\;\;\left( {km} \right).\)
Vận tốc của người đó sau khi tăng tốc là: \(x + 4\;\;\left( {km/h} \right),\) thời gian người đó đi hết quãng đường còn lại là: \(\dfrac{{90 - x}}{{x + 4}}\;\;\left( h \right).\)
Theo đề bài ta có phương trình:
\(\begin{array}{l}\dfrac{{90}}{x} = 1 + \dfrac{9}{{60}} + \dfrac{{90 - x}}{{x + 4}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{90}}{x} = \dfrac{{23}}{{20}} + \dfrac{{90 - x}}{{x + 4}}\\ \Leftrightarrow 90.20\left( {x + 4} \right) = 23x\left( {x + 4} \right) + 20.\left( {90 - x} \right).x\\ \Leftrightarrow 1800x + 7200 = 23{x^2} + 92x + 1800x - 20{x^2}\\ \Leftrightarrow 3{x^2} + 92x - 7200 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 36} \right)\left( {3x + 200} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 36 = 0\\3x + 200 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 36\;\;\left( {tm} \right)\\x = - \dfrac{{200}}{3}\;\;\left( {ktm} \right)\end{array} \right..\end{array}\)
Vậy vận tốc lúc đầu của người đó là \(36\;km/h.\)
Phương trình: \({x^2} - 2\left( {m + 2} \right)x + {m^2} + 3m - 2 = 0\,\,\left( 1 \right)\), (m là tham số). Tìm các giá trị của tham số m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\) sao cho biểu thức \(A = 2018 + 3{x_1}{x_2} - x_1^2 - x_2^2\) đạt giá trị nhỏ nhất.
Câu trả lời của bạn
Tìm các giá trị của tham số m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\) sao cho biểu thức \(A = 2018 + 3{x_1}{x_2} - x_1^2 - x_2^2\) đạt giá trị nhỏ nhất.
+) Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\) khi và chỉ khi \(\Delta ' > 0\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left[ { - \left( {m + 2} \right)} \right]^2} - \left( {{m^2} + 3m - 2} \right) > 0\\ \Leftrightarrow {m^2} + 4m + 4 - {m^2} - 3m + 2 > 0\\ \Leftrightarrow m > - 6\end{array}\)
+) Áp dụng hệ thức Viet cho phương trình (1) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\left( {m + 2} \right)\\{x_1}{x_2} = {m^2} + 3m - 2\end{array} \right.\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}A = 2018 + 3{x_1}{x_2} - x_1^2 - x_2^2\\\,\,\,\,\, = 2018 + 3{x_1}{x_2} - \left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 2{x_1}{x_2}} \right]\\\,\,\,\,\, = 2018 + 5{x_1}{x_2} - {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2}\end{array}\)
Thay Viet vào A ta được:
\(\begin{array}{l}A = 2018 + 5{x_1}{x_2} - {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2}\\ = 2018 + 5\left( {{m^2} + 3m - 2} \right) - 4{\left( {m + 2} \right)^2}\\ = 2018 + 5{m^2} + 15m - 10 - 4{m^2} - 16m - 16\\ = {m^2} - m + 1992\\ = {\left( {m - \dfrac{1}{2}} \right)^2} + \dfrac{{7967}}{4}\,\,\,\,\,\end{array}\)
Ta có: \(A \ge \dfrac{{7967}}{4}\). Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(m = \dfrac{1}{2}\left( {tm} \right)\)
Vậy \(m = \dfrac{1}{2}\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Cho phương trình: \({x^2} - 2\left( {m + 2} \right)x + {m^2} + 3m - 2 = 0\,\,\left( 1 \right)\), (m là tham số). Hãy giải phương trình (1) khi m = 3.
Câu trả lời của bạn
Cho phương trình: \({x^2} - 2\left( {m + 2} \right)x + {m^2} + 3m - 2 = 0\,\,\left( 1 \right)\), ( m là tham số)
a) Giải phương trình (1) khi m = 3.
Với m = 3 ta có (1) trở thành:
\({x^2} - 10x + 16 = 0\,\,\left( 2 \right)\)
Ta có: \(\Delta ' = {\left( { - 5} \right)^2} - 16 = 9 > 0\)
Khi đó phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt là:
\(\left[ \begin{array}{l}{x_1} = 5 - 3 = 2\\{x_2} = 5 + 3 = 8\end{array} \right.\)
Vậy với m = 3 thì phương trình (1) có tập nghiệm là: \(S = \left\{ {2;8} \right\}\)
Giải hệ phương trình sau đây: \(\left\{ \begin{array}{l}9x + y = 11\\5x + 2y = 9\end{array} \right.\)
Câu trả lời của bạn
Ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}9x + y = 11\\5x + 2y = 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 11 - 9x\\5x + 2y = 9\end{array} \right. \)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 11 - 9x\\5x + 2\left( {11 - 9x} \right) = 9\end{array} \right. \)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 11 - 9x\\5x + 22 - 18x - 9 = 0\end{array} \right. \)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 11 - 9x\\x = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 2\\x = 1\end{array} \right.\)
Vậy hệ phương trình có 1 nghiệm duy nhất \(\left( {x;y} \right) = \left( {1;2} \right)\)
Rút gọn biểu thức sau \(2\sqrt {75} + 3\sqrt {48} - 4\sqrt {27} \)
Câu trả lời của bạn
Ta có:
\(\begin{array}{l}\;\;\;2\sqrt {75} + 3\sqrt {48} - 4\sqrt {27} \\ = 2\sqrt {{5^2}.3} + 3\sqrt {{4^2}.3} - 4\sqrt {{3^2}.3} \\ = 10\sqrt 3 + 12\sqrt 3 - 12\sqrt 3 \\ = 10\sqrt 3 .\end{array}\)
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *