Ở chương II, chúng ta đã biết về hàm số bậc nhất, nó được viết dưới dạng phương trình của một đường thẳng, bài học ôn tập chương Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn cho chúng ta hệ gồm 2 phương trình bậc nhất, chúng có các vị trí tương đối như song song, cắt nhau hoặc trùng nhau... điều đó ảnh hưởng trực tiếp đến số nghiệm của hệ. Chúng ta cùng củng cố lại kiến thức về Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn nhé
Phương trình bậc nhất hai ẩn là phương trình đường thẳng có dạng \(ax+by=c\)
Trong đó: hệ số a, b, c cho trước và a;b không đồng thời bằng 0.
Về tập nghiệm:
Phương trình bậc nhất hai ẩn có vô số nghiệm nhưng đều phụ thuộc lẫn nhau
Nói cách khác, nghiệm của hệ được viết dưới dạng \(\left\{\begin{matrix} x\epsilon \mathbb{R}\\ y=-\frac{a}{b}x+\frac{c}{b} \end{matrix}\right. (b\neq 0)\)
Hệ được viết dưới dạng:
\(\left\{\begin{matrix} ax+by=c\\ a'x+b'y=c' \end{matrix}\right.(1)\)
Chúng là các phương trình đường thẳng
Các vị trí tương đối của hai phương trình đường thẳng gồm:
2 đường thẳng cắt nhau thì (1) có nghiệm duy nhất
2 đường thẳng trùng nhau thì (1) có vô số nghiệm
2 đường thẳng song song thì (1) vô nghiệm
1. Phương pháp thế:
-Biến đổi hệ phương trình đã cho thành hệ mới, và trong đó một phương trình có một ẩn
-Tìm ra ẩn đó rồi suy ra nghiệm của hệ
2. Phương pháp cộng đại số
Nhân hai vế của một phương trình với hằng số thích hợp sao cho hệ số một ẩn nào đó bằng nhau hoặc đối nhau
-Cộng hoặc trừ theo vế nhằm triệt tiêu một ẩn
-Tìm ra ẩn đó rồi suy ra nghiệm của hệ
Bước 1: Lập hệ phương trình
Chọn ẩn và đặt điều kiện cho ẩn
Biểu đạt các đại lượng khác nhau theo ẩn
Dựa vào đề bài toán, lập phương trình theo dạng đã học
Bước 2: Giải hệ phương trình
Bước 3: So sánh kết quả tìm được và chọn nghiệm thích hợp
Bài 1: Trong các cặp số sau \((-2;1),(-3;-4),(4;3),(3;0)\) cặp nào là nghiệm của phương trình \(2x-3y=6\)
Hướng dẫn:
Thế lần lượt các nghiệm vào phương trình trên, ta được
\(2(-2)-3.1=-7\)
\(2(-3)-3.(-4)=6\)
\(2.4-3.3=1\)
\(2.3-3.0=6\)
Vậy, ta chỉ nhận hai cặp đó là \((-3;-4),(3;0)\)
Bài 2: Không vẽ hình, hãy cho biết số nghiệm của mỗi hệ sau và giải thích
\(\left\{\begin{matrix} y=2x-5\\ y=3-x \end{matrix}\right.\)
\(\left\{\begin{matrix} y=\frac{1}{2}x+6\\ y=5-2x \end{matrix}\right.\)
\(\left\{\begin{matrix} y=10x+2017\\ y=10x-3 \end{matrix}\right.\)
\(\left\{\begin{matrix} y=2x+1\\ 2x-y+1=0 \end{matrix}\right.\)
Hướng dẫn:
\(\left\{\begin{matrix} y=2x-5\\ y=3-x \end{matrix}\right.\)
Nhận thấy rằng hệ trên gồm 2 đường thằng, có hệ số góc khác nhau, nên cắt nhau tại 1 điểm, vậy hệ có 1 nghiệm
\(\left\{\begin{matrix} y=\frac{1}{2}x+6\\ y=5-2x \end{matrix}\right.\)
Tương tự với hệ trên, tuy nhiên có 1 điều đặc biệt đó là tích hai hệ số góc là \(\frac{1}{2}.(-2)=-1\) nên nếu dùng phương pháp hình học, ta thấy rằng chúng vuông góc với nhau.
\(\left\{\begin{matrix} y=10x+2017\\ y=10x-3 \end{matrix}\right.\)
Hệ này gồm hai phương trình có hệ số \(a=a';b\neq b'\) nên chúng song song với nhau vô nghiệm.
\(\left\{\begin{matrix} y=2x+1\\ 2x-y+1=0 \end{matrix}\right.\)
Biến đổi tương đương ta được: \(\left\{\begin{matrix} y=2x+1\\y=2x+1 \end{matrix}\right.\)
Hệ này gồm hai phương trình có hệ số \(a=a';b=b'\) nên chúng trùng nhau và có vô số nghiệm.
Bài 3: Giải hệ bằng phương pháp thế: \(\left\{\begin{matrix} x-y=8\\ 5x+4y=-2 \end{matrix}\right.\); \(\left\{\begin{matrix} 3x+2y=10\\ -x+4y=-9 \end{matrix}\right.\)
Hướng dẫn:
\(\left\{\begin{matrix} x-y=8\\ 5x+4y=-2 \end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=y+8\\ 5x+4y=-2 \end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=y+8\\ 5(y+8)+4y=-2 \end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=y+8\\ 9y=-42 \end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=y+8\\ y=-\frac{42}{9} \end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=\frac{10}{3}\\ y=-\frac{42}{9} \end{matrix}\right.\)
\(\left\{\begin{matrix} 3x+2y=10\\ -x+4y=-9 \end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 3x+2y=10 \\ x=9+4y \end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 3(4y+9)+2y=10 \\ x=9+4y \end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 14y=-17 \\ x=9+4y \end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} y=-\frac{17}{14} \\ x=9+4y \end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} y=\frac{29}{7} \\ y=-\frac{17}{14} \end{matrix}\right.\)
Bài 4: Giải hệ bằng phương pháp cộng đại số: \(\left\{\begin{matrix} x-3y=10\\ 2x+y=0 \end{matrix}\right.\);\(\left\{\begin{matrix} 4x-y=8\\ -x+2y=-2 \end{matrix}\right.\)
Hướng dẫn:
\(\left\{\begin{matrix} x-3y=10\\ 2x+y=0 \end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2x-6y=20\\ 2x+y=0 \end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} -7y=20\\ 2x+y=0 \end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} y=-\frac{20}{7}\\ 2x+y=0 \end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=\frac{10}{7}\\ y=-\frac{20}{7} \end{matrix}\right.\)
\(\left\{\begin{matrix} 4x-y=8\\ -x+2y=-2 \end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 8x-2y=16\\ -x+2y=-2 \end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 7x=14\\ -x+2y=-2 \end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=2\\ -x+2y=-2 \end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=2\\ y=0 \end{matrix}\right.\)
Bài 5: Tìm hai số tự nhiên, biết rằng tổng của chúng là 1006, nếu lấy số lớn chia cho số nhỏ ta được thương là 2 và dư 124
Hướng dẫn:
Gọi hai số tự nhiên cần tìm là \(a,b(a,b\epsilon \mathbb{N};a>b>124)\)
Theo đề, ta có: \(\left\{\begin{matrix} a+b=1006\\ a=2b+124 \end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2b+124+b=1006\\ a=2b+124 \end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 3b=882\\ a=2b+124 \end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} b=294\\ a=2b+124 \end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} b=294\\ a=712 \end{matrix}\right.\)
Để cũng cố bài học, xin mời các em cũng làm bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 9 Chương 3 Bài 7 với những câu hỏi củng cố bám sát nội dung bài học. Bên cạnh đó các em có thể nêu thắc mắc của mình thông qua phần Hỏi đáp Toán 9 Chương 3 Bài 7 cộng đồng Toán DapAnHay sẽ sớm giải đáp cho các em.
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 9 Chương 3 Bài 7 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Toán 9
-- Mod Toán Học 9 DapAnHay
Cho hai phương trình đường thẳng \(y=2x-3\) và \(x-y=1\).
Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng đó là:
Giải hệ phương trình: \(\left\{\begin{matrix} x=2y+1\\ x-2y+5=0 \end{matrix}\right.\) ta nhận được nghiệm của hệ là:
Nghiệm của hệ \(\left\{\begin{matrix} x-y\sqrt{3}=0\\ x\sqrt{3}+2y=3\sqrt{2} \end{matrix}\right.\) là:
Tính độ dài hai cạnh góc vuông, biết rằng tăng mỗi cạnh lên \(3(cm)\) thì diện tích sẽ tăng lên \(36(cm^2)\). Và nếu giảm một cạnh đi \(2(cm)\) một cạnh đi \(4(cm)\) thì diện tích sẽ giảm \(26(cm^2)\).
Tìm một số có hai chữ số, biết rằng: Nếu lấy số đó nhân với tổng hai chữ số ấy ta được tích là 115. Nếu lấy số đó đảo ngược lại và vẫn đem nhân cho tổng hai chữ số ấy ta được tích là 60.
Giải các hệ phương trình sau và minh họa hình học kết quả tìm được:
a)\(\left\{ \matrix{2{\rm{x}} + 5y = 2 \hfill \cr {2 \over 5}x + y = 1 \hfill \cr} \right.\)
b) \(\left\{ \matrix{0,2{\rm{x}} + 0,1y = 0,3 \hfill \cr 3{\rm{x}} + y = 5 \hfill \cr} \right.\)
c) \(\left\{ \matrix{{3 \over 2}x - y = {1 \over 2} \hfill \cr 3{\rm{x}} - 2y = 1 \hfill \cr} \right.\)
Giải các hệ phương trình sau:
a)
\(\left\{ \matrix{
x\sqrt 5 - \left( {1 + \sqrt 3 } \right)y = 1 \hfill \cr
\left( {1 - \sqrt 3 } \right)x + y\sqrt 5 = 1 \hfill \cr} \right.\)
b)
\(\left\{ \matrix{
{{2{\rm{x}}} \over {x + 1}} + {y \over {y + 1}} = \sqrt 2 \hfill \cr
{x \over {x + 1}} + {{3y} \over {y + 1}} = - 1 \hfill \cr} \right.\)
Giải hệ phương trình\(\left\{ \matrix{2{\rm{x}} - y = m \hfill \cr 4{\rm{x}} - {m^2}y = 2\sqrt 2 \hfill \cr} \right.\) trong mỗi trường hợp sau:
a) \(m = -\sqrt{2}\)
b) \(m = \sqrt{2}\)
c) \(m = 1\)
Hai người ở hai địa điểm A và B cách nhau \(3,6\) km, khởi hành cùng một lúc, đi ngược chiều nhau và gặp nhau ở một địa điểm cách A là \(2\) km. Nếu cả hai cùng giữ nguyên vận tốc như trường hợp trên, nhưng người đi chậm hơn xuất phát trước người kia \(6\) phút thì họ sẽ gặp nhau ở chính giữa quãng đường. Tính vận tốc của mỗi người.
Một vật có khối lượng 124 g và thể tích 15 \(c{m^3}\) là hợp kim của đồng và kẽm. Tính xem trong đó có bao nhiêu gam đồng và bao nhiêu gam kẽm, biết rằng cứ 89 g đồng thì có thể tích là 10cm3 và 7g kẽm có thể tích là 1cm3
Hai đội xây dựng làm chung một công việc và dự định hoàn thành trong 12 ngày. Nhưng khi làm chung được 8 ngày thì đội I được điều động đi làm việc khác. Tuy chỉ còn một mình độ II làm việc nhưng do cải tiến cách làm, năng suất của đội II tăng gấp đôi nên họ làm xong phần việc còn lại trong 3,5 ngày. Hỏi với năng suất ban đầu, nếu mỗi đội làm một mình thì phải làm trong bao nhiêu ngày mới xong công việc trên?
Năm ngoái, hai đơn vị sản xuất nông nghiệp thu hoạch được 720 tấn thóc. Năm nay, đơn vị thứ nhất làm vượt mức 15% , đơn vị thứ hai làm vượt mức 12% so với năm ngoái. Do đó cả hai đơn vị thu hoạch được 819 tấn thóc. Hỏi mỗi năm, mỗi đơn vị thu hoạch được bao nhiêu tấn thóc?
Giải các hệ phương trình sau:
\(a)\left\{ {\matrix{
{4x + y = - 5} \cr
{3x - 2y = - 12} \cr} } \right.\)
\(b)\left\{ {\matrix{
{x + 3y = 4y - x + 5} \cr
{2x - y = 3x - 2\left( {y + 1} \right)} \cr} } \right.\)
\(c)\left\{ {\matrix{
{3\left( {x + y} \right) + 9 = 2\left( {x - y} \right)} \cr
{2\left( {x + y} \right) = 3\left( {x - y} \right) - 11} \cr} } \right.\)
\(d)\left\{ {\matrix{
{2\left( {x + 3} \right) = 3\left( {y + 1} \right) + 1} \cr
{3\left( {x - y + 1} \right) = 2\left( {x - 2} \right) + 3} \cr} } \right.\)
Giải các hệ phương trình sau:
\(a)\left\{ {\matrix{
{\sqrt 3 x - 2\sqrt 2 y = 7} \cr
{\sqrt 2 x + 3\sqrt 3 y = - 2\sqrt 6 } \cr} } \right.\)
\(b)\left\{ {\matrix{
{\left( {\sqrt 2 + 1} \right)x - \left( {2 - \sqrt 3 } \right)y = 2} \cr
{\left( {2 + \sqrt 3 } \right)x + \left( {\sqrt 2 - 1} \right)y = 2} \cr} } \right.\)
Tìm các giá trị của \(a\) và \(b\) để hệ phương trình:
\(\left\{ {\matrix{
{ax + by = 3} \cr
{2ax - 3by = 36} \cr} } \right.\)
có nghiệm là \((3; -2).\)
Tìm một số có hai chữ số biết rằng \(2\) lần chữ số hàng chục lớn hơn \(5\) lần chữ số hàng đơn vị là \(1\) và chữ số hàng chục chia cho chữ số hàng đơn vị được thương là \(2\) và dư cũng là \(2.\)
Một xe lửa phải vận chuyển một lượng hàng. Nếu xếp vào mỗi toa \(15\) tấn hàng thì còn thừa lại \(3\) tấn, nếu xếp vào mỗi toa \(16\) tấn thì còn có thể chở thêm \(5\) tấn nữa. Hỏi xe lửa có mấy toa và phải chở bao nhiêu tấn hàng?
Hai đội xe chở cát để san lấp một khu đất. Nếu hai đội cùng làm thì trong \(12\) ngày xong việc. Nhưng hai đội chỉ cùng làm trong \(8\) ngày. Sau đó đội thứ nhất làm tiếp một mình trong \(7\) ngày nữa thì xong việc. Hỏi mỗi đội làm một mình thì bao lâu xong việc.
Hai xe lửa khởi hành đồng thời từ hai ga cách nhau \(750km\) và đi ngược chiều nhau, sau \(10\) giờ chúng gặp nhau. Nếu xe thứ nhất khởi hành trước xe thứ hai \(3\) giờ \(45\) phút thì sau khi xe thứ hai đi được \(8\) giờ chúng gặp nhau. Tính vận tốc của mỗi xe.
Giải các hệ phương trình:
\(a)\left\{ {\matrix{
{\left( {x + 3} \right)\left( {y + 5} \right) = \left( {x + 1} \right)\left( {y + 8} \right)} \cr
{\left( {2x - 3} \right)\left( {5y + 7} \right) = 2\left( {5x - 6} \right)\left( {y + 1} \right)} \cr} } \right.\)
\(b)\left\{ {\matrix{
{{{2x - 3} \over {2y - 5}} = {{3x + 1} \over {3y - 4}}} \cr
{2\left( {x - 3} \right) - 3\left( {y + 2} \right) = - 16} \cr} } \right.\)
Năm nay người ta áp dụng kĩ thuật mới trên hai cánh đồng trồng lúa ở ấp Minh Châu. Vì thế lượng lúa thu được trên cánh đồng thứ nhất tăng lên 30% so với năm ngoái, trên cánh đồng thứ hai lượng lúa thu được tăng 20%. Tổng cộng cả hai cánh đồng thu được \(630\) tấn. Hỏi trên mỗi cánh đồng năm nay thu được bao nhiêu lúa, biết rằng trên cả hai cánh đồng này năm ngoái chỉ thu được \(500\) tấn?
Người ta trộn hai loại quặng sắt với nhau, một loại chứa 72% sắt, loại thứ hai chứa 58% sắt được một loại quặng chứa 62% sắt. Nếu tăng khối lượng của mỗi loại quặng thêm \(15\) tấn thì được một loại quặng chứa 63,25% sắt. Tìm khối lượng quặng của mỗi loại đã trộn.
Một người đi ngựa và một người đi bộ đều đi từ bản \(A\) đến bản \(B\). Người đi ngựa đến \(B\) trước người đi bộ \(50\) phút rồi lập tức quay trở về \(A\) và gặp người đi bộ tại một địa điểm cách \(B\) là \(2km\). Trên cả quãng đường từ \(A\) đến \(B\) và ngược lại, người đi ngựa đi hết \(1\) giờ \(40\) phút. Hãy tính khoảng cách \(AB\) và vận tốc của mỗi người.
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
Câu trả lời của bạn
Khi \(m = - \sqrt 2 \), ta có hệ phương trình
\(\left\{ \begin{array}{l}2x - y = - \sqrt 2 \\4x - {\left( { - \sqrt 2 } \right)^2}y = 2\sqrt 2 \end{array} \right.\) hay \(\left\{ \begin{array}{l}0 = - 2\sqrt 2 \,(vô\, lý)\\2x - y = \sqrt 2 \end{array} \right.\)
Dễ dàng thấy hệ phương trình đã cho vô nghiệm khi \(m = - \sqrt 2 \).
Câu trả lời của bạn
Với điều kiện \(x + 1 \ne 0\) và \(y + 1 \ne 0\) đặt \(u = \dfrac{x}{{x + 1}};\,v = \dfrac{y}{{y + 1}}\) ta được hệ phương trình
(I) \(\left\{ \begin{array}{l}2u + v = \sqrt 2 \\u + 3v = - 1\end{array} \right.\)
Giải (I):
\(\left\{ \begin{array}{l}2u + v = \sqrt 2 \\u + 3v = - 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2u + v = \sqrt 2 \\2u + 6v = - 2\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 5v = \sqrt 2 + 2\\u + 3v = - 1\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}v = - \dfrac{{2 + \sqrt 2 }}{5}\\u - 3.\dfrac{{2 + \sqrt 2 }}{5} = - 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}v = - \dfrac{{2 + \sqrt 2 }}{5}\\u - \dfrac{{6 + 3\sqrt 2 }}{5} = - 1\end{array} \right.\)
Do đó, hệ phương trình đã cho tương đương với hệ sau:
(II) \(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{x}{{x + 1}} = \dfrac{{1 + 3\sqrt 2 }}{5}\\\dfrac{y}{{y + 1}} = - \dfrac{{2 + \sqrt 2 }}{5}\end{array} \right.\)
Giải (II), ta được:
\(\displaystyle \left\{ \matrix{
{x \over {x + 1}} = {{1 + 3\sqrt 2 } \over 5} \hfill \cr
{y \over {y + 1}} = {{ - 2 - \sqrt 2 } \over 5} \hfill \cr} \right.\)
\(\displaystyle \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = \left( {x + 1} \right)\left( {{{1 + 3\sqrt 2 } \over 5}} \right) \hfill \cr
y = \left( {y + 1} \right){{ { - 2 - \sqrt 2 } } \over 5} \hfill \cr} \right.\)
\(\displaystyle \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
5{\rm{x}} = \left( {x + 1} \right)\left( {1 + 3\sqrt 2 } \right) \hfill \cr
5y = \left( {y + 1} \right)\left( { - 2 - \sqrt 2 } \right) \hfill \cr} \right.\)
\(\displaystyle \begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
5x = x\left( {3\sqrt 2 + 1} \right) + 3\sqrt 2 + 1\\
5y = y\left( { - 2 - \sqrt 2 } \right) - 2 - \sqrt 2
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
5x - \left( {3\sqrt 2 + 1} \right)x = 3\sqrt 2 + 1\\
5y - \left( { - 2 - \sqrt 2 } \right)y = - 2 - \sqrt 2
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left( {4 - 3\sqrt 2 } \right)x = 3\sqrt 2 + 1\\
\left( {7 + \sqrt 2 } \right)y = - 2 - \sqrt 2
\end{array} \right.
\end{array}\)
\(\displaystyle \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = {{1 + 3\sqrt 2 } \over {4 - 3\sqrt 2 }} \hfill \cr
y = {{-2 - \sqrt 2 } \over {7 + \sqrt 2 }} \hfill \cr} \right.\)
\(\displaystyle \begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = \dfrac{{\left( {3\sqrt 2 + 1} \right)\left( {4 + 3\sqrt 2 } \right)}}{{\left( {4 - 3\sqrt 2 } \right)\left( {4 + 3\sqrt 2 } \right)}}\\
y = \dfrac{{\left( { - 2 - \sqrt 2 } \right)\left( {7 - \sqrt 2 } \right)}}{{\left( {7 + \sqrt 2 } \right)\left( {7 - \sqrt 2 } \right)}}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = \dfrac{{ - 22 - 15\sqrt 2 }}{2}\,(tmđk)\\
y = \dfrac{{ - 12 - 5\sqrt 2 }}{{47}}\,(tmđk)
\end{array} \right.
\end{array}\)
Kết luận : Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất \(\left( {x;y} \right) \)\(=\displaystyle \left( {\dfrac{{ - 22 - 15\sqrt 2 }}{2};\dfrac{{ - 12 - 5\sqrt 2 }}{{47}}} \right)\)
Câu trả lời của bạn
Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với \(\sqrt 5 \) , ta được \(5.x - \sqrt 5 \left( {1 + \sqrt 3 } \right)y = \sqrt 5 \)
Nhân hai vế của phương trình thứ hai với \(\left( {1 + \sqrt 3 } \right)\), ta được \( - 2x + y\sqrt 5 \left( {1 + \sqrt 3 } \right) = \left( {1 + \sqrt 3 } \right)\)
Cộng từng vế của hai phương trình mới nhận được, ta có \(3x = 1 + \sqrt 5 + \sqrt 3 \) suy ra \(x = \dfrac{{1 + \sqrt 5 + \sqrt 3 }}{3}\)
Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với \(1 - \sqrt 3 \) , ta được \(x\sqrt 5 \left( {1 - \sqrt 3 } \right) + 2y = 1 - \sqrt 3 \)
Nhân hai vế của phương trình thứ hai với \( - \sqrt 5 \) , ta được \( - \sqrt 5 \left( {1 - \sqrt 3 } \right)x - 5y = - \sqrt 5 \)
Cộng từng vế của hai phương trình mới nhận được, ta có \( - 3y = 1 - \sqrt 5 - \sqrt 3 \) suy ra \(x = \dfrac{{ - 1 + \sqrt 5 + \sqrt 3 }}{3}\)
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất \(\left( {x;y} \right) = \left( {\dfrac{{\sqrt 5 + \sqrt 3 + 1}}{3};\dfrac{{\sqrt 5 + \sqrt 3 - 1}}{3}} \right)\)
Câu trả lời của bạn
Khi \(m = \sqrt 2 \), ta có hệ phương trình
\(\left\{ \begin{array}{l}2x - y = \sqrt 2 \\4x - {\left( {\sqrt 2 } \right)^2}y = 2\sqrt 2 \end{array} \right.\) hay \(\left\{ \begin{array}{l}2x-y=\sqrt2\\2x -y=\sqrt 2 \end{array} \right.\)
Dễ thấy rằng hệ phương trình có vô số nghiệm, tập nghiệm của hệ là \(S = \left\{ {\left( {x;2x - \sqrt 2 } \right)|x \in \mathbb{R}} \right\}\)
Câu trả lời của bạn
Khi \(m = 1\) ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}2x - y = 1\\4x - {1^2}.y = 2\sqrt 2 \end{array} \right.\)
Giải hệ phương trình này:
\(\left\{ \begin{array}{l}2x - y = 1\\4x - {1^2}.y = 2\sqrt 2 \end{array} \right. \)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x - y = 1\\4x - y = 2\sqrt 2 \end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x - y = 1\\2x = 2\sqrt 2 - 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{2\sqrt 2 - 1}}{2}\\y = 2.\dfrac{{2\sqrt 2 - 1}}{2} - 1\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{2\sqrt 2 - 1}}{2}\\y = 2\sqrt 2 - 2\end{array} \right.\)
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất \(\left( {x;y} \right) = \left( {\dfrac{{2\sqrt 2 - 1}}{2};2\sqrt 2 - 2} \right)\)
Ông Xuân có 55 tấn gạo cần vận chuyển về kho .Ông Xuân dùng 3 chiếc xe tải lớn (có tải trọng như nhau ) và 1 chiếc xe tải nhỏ để chở hết số hàng đó (mỗi xe chạy 1 lượt ). Biết rằng nếu hai chiếc xe tải nhỏ chở được nhiều hơn 1 xe tải lớn là 5 tấn gạo . hỏi hai loại xe tải này, mỗi loại chở được bao nhiêu tấn gạo ?
Câu trả lời của bạn
số gạo xe tải to chở là 3x
số gạo 1 xe tải nhỏ chở là x+5
xe nhỏ 14
3x+2(x+5)=55
=> x=9 OKK
Hãy giải hệ phương trình sau đây: \(\left\{ \begin{array}{l}x\sqrt 5 - \left( {1 + \sqrt 3 } \right)y = 1\\\left( {1 - \sqrt 3 } \right)x + y\sqrt 5 = 1\end{array} \right.\)
Câu trả lời của bạn
Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với \(\sqrt 5 \) , ta được \(5.x - \sqrt 5 \left( {1 + \sqrt 3 } \right)y = \sqrt 5 \)
Nhân hai vế của phương trình thứ hai với \(\left( {1 + \sqrt 3 } \right)\), ta được \( - 2x + y\sqrt 5 \left( {1 + \sqrt 3 } \right) = \left( {1 + \sqrt 3 } \right)\)
Cộng từng vế của hai phương trình mới nhận được, ta có \(3x = 1 + \sqrt 5 + \sqrt 3 \) suy ra \(x = \dfrac{{1 + \sqrt 5 + \sqrt 3 }}{3}\)
Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với \(1 - \sqrt 3 \) , ta được \(x\sqrt 5 \left( {1 - \sqrt 3 } \right) + 2y = 1 - \sqrt 3 \)
Nhân hai vế của phương trình thứ hai với \( - \sqrt 5 \) , ta được \( - \sqrt 5 \left( {1 - \sqrt 3 } \right)x - 5y = - \sqrt 5 \)
Cộng từng vế của hai phương trình mới nhận được, ta có \( - 3y = 1 - \sqrt 5 - \sqrt 3 \) suy ra \(x = \dfrac{{ - 1 + \sqrt 5 + \sqrt 3 }}{3}\)
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất \(\left( {x;y} \right) = \left( {\dfrac{{\sqrt 5 + \sqrt 3 + 1}}{3};\dfrac{{\sqrt 5 + \sqrt 3 - 1}}{3}} \right)\)
Hãy giải hệ phương trình sau đây: \(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{2x}}{{x + 1}} + \dfrac{y}{{y + 1}} = \sqrt 2 \\\dfrac{x}{{x + 1}} + \dfrac{{3y}}{{y + 1}} = - 1\end{array} \right.\)
Câu trả lời của bạn
Với điều kiện \(x + 1 \ne 0\) và \(y + 1 \ne 0\) đặt \(u = \dfrac{x}{{x + 1}};\,v = \dfrac{y}{{y + 1}}\) ta được hệ phương trình
(I) \(\left\{ \begin{array}{l}2u + v = \sqrt 2 \\u + 3v = - 1\end{array} \right.\)
Giải (I):
\(\left\{ \begin{array}{l}2u + v = \sqrt 2 \\u + 3v = - 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2u + v = \sqrt 2 \\2u + 6v = - 2\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 5v = \sqrt 2 + 2\\u + 3v = - 1\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}v = - \dfrac{{2 + \sqrt 2 }}{5}\\u - 3.\dfrac{{2 + \sqrt 2 }}{5} = - 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}v = - \dfrac{{2 + \sqrt 2 }}{5}\\u - \dfrac{{6 + 3\sqrt 2 }}{5} = - 1\end{array} \right.\)
Do đó, hệ phương trình đã cho tương đương với hệ sau:
(II) \(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{x}{{x + 1}} = \dfrac{{1 + 3\sqrt 2 }}{5}\\\dfrac{y}{{y + 1}} = - \dfrac{{2 + \sqrt 2 }}{5}\end{array} \right.\)
Giải (II), ta được:
\(\displaystyle \left\{ \matrix{
{x \over {x + 1}} = {{1 + 3\sqrt 2 } \over 5} \hfill \cr
{y \over {y + 1}} = {{ - 2 - \sqrt 2 } \over 5} \hfill \cr} \right.\)
\(\displaystyle \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = \left( {x + 1} \right)\left( {{{1 + 3\sqrt 2 } \over 5}} \right) \hfill \cr
y = \left( {y + 1} \right){{ { - 2 - \sqrt 2 } } \over 5} \hfill \cr} \right.\)
\(\displaystyle \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
5{\rm{x}} = \left( {x + 1} \right)\left( {1 + 3\sqrt 2 } \right) \hfill \cr
5y = \left( {y + 1} \right)\left( { - 2 - \sqrt 2 } \right) \hfill \cr} \right.\)
\(\displaystyle \begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
5x = x\left( {3\sqrt 2 + 1} \right) + 3\sqrt 2 + 1\\
5y = y\left( { - 2 - \sqrt 2 } \right) - 2 - \sqrt 2
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
5x - \left( {3\sqrt 2 + 1} \right)x = 3\sqrt 2 + 1\\
5y - \left( { - 2 - \sqrt 2 } \right)y = - 2 - \sqrt 2
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left( {4 - 3\sqrt 2 } \right)x = 3\sqrt 2 + 1\\
\left( {7 + \sqrt 2 } \right)y = - 2 - \sqrt 2
\end{array} \right.
\end{array}\)
\(\displaystyle \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = {{1 + 3\sqrt 2 } \over {4 - 3\sqrt 2 }} \hfill \cr
y = {{-2 - \sqrt 2 } \over {7 + \sqrt 2 }} \hfill \cr} \right.\)
\(\displaystyle \begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = \dfrac{{\left( {3\sqrt 2 + 1} \right)\left( {4 + 3\sqrt 2 } \right)}}{{\left( {4 - 3\sqrt 2 } \right)\left( {4 + 3\sqrt 2 } \right)}}\\
y = \dfrac{{\left( { - 2 - \sqrt 2 } \right)\left( {7 - \sqrt 2 } \right)}}{{\left( {7 + \sqrt 2 } \right)\left( {7 - \sqrt 2 } \right)}}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = \dfrac{{ - 22 - 15\sqrt 2 }}{2}\,(tmđk)\\
y = \dfrac{{ - 12 - 5\sqrt 2 }}{{47}}\,(tmđk)
\end{array} \right.
\end{array}\)
Kết luận : Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất \(\left( {x;y} \right) \)\(=\displaystyle \left( {\dfrac{{ - 22 - 15\sqrt 2 }}{2};\dfrac{{ - 12 - 5\sqrt 2 }}{{47}}} \right)\)
Giải hệ phương trình sau \(\left\{ \begin{array}{l}2x - y = m\\4x - {m^2}y = 2\sqrt 2 \end{array} \right.\) trong trường hợp: \(m = - \sqrt 2 \)
Câu trả lời của bạn
Khi \(m = - \sqrt 2 \), ta có hệ phương trình
\(\left\{ \begin{array}{l}2x - y = - \sqrt 2 \\4x - {\left( { - \sqrt 2 } \right)^2}y = 2\sqrt 2 \end{array} \right.\) hay \(\left\{ \begin{array}{l}0 = - 2\sqrt 2 \,(vô\, lý)\\2x - y = \sqrt 2 \end{array} \right.\)
Dễ dàng thấy hệ phương trình đã cho vô nghiệm khi \(m = - \sqrt 2 \)
Giải hệ phương trình sau \(\left\{ \begin{array}{l}2x - y = m\\4x - {m^2}y = 2\sqrt 2 \end{array} \right.\) trong trường hợp: \(m = 1\)
Câu trả lời của bạn
Khi \(m = 1\) ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}2x - y = 1\\4x - {1^2}.y = 2\sqrt 2 \end{array} \right.\)
Giải hệ phương trình này:
\(\left\{ \begin{array}{l}2x - y = 1\\4x - {1^2}.y = 2\sqrt 2 \end{array} \right. \)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x - y = 1\\4x - y = 2\sqrt 2 \end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x - y = 1\\2x = 2\sqrt 2 - 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{2\sqrt 2 - 1}}{2}\\y = 2.\dfrac{{2\sqrt 2 - 1}}{2} - 1\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{2\sqrt 2 - 1}}{2}\\y = 2\sqrt 2 - 2\end{array} \right.\)
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất \(\left( {x;y} \right) = \left( {\dfrac{{2\sqrt 2 - 1}}{2};2\sqrt 2 - 2} \right)\)
Một vật có khối lượng 124g và thể tích 15 cm3 là hợp kim của đồng và kẽm. Tính xem trong đó có bao nhiêu gam đồng và bao nhiêu gam kẽm, biết rằng cứ 89g đồng thì có thể tích là 10 cm3 và 7 g kẽm thì có thể tích là 1 cm3
Câu trả lời của bạn
Gọi \(x\) và \(y\) lần lượt là số gam đồng và kẽm có trong vật đó (điều kiện là \(0 < x;y < 24\))
Vì vật có khối lượng 124g nên ta có phương trình \(x + y = 124\)
Biết cứ 89g đồng thì có thể tích là \(10c{m^3}\) nên 1g đồng có thể tích là \(\dfrac{{10}}{{89}}\,c{m^3}\)
Suy ra \(x\) gam đồng có thể tích là \(\dfrac{{10}}{{89}}x\,\,\left( {c{m^3}} \right)\)
Biết cứ 7g kẽm thì có thể tích là \(1c{m^3}\) nên 1g kẽm có thể tích là \(\dfrac{1}{7}\,c{m^3}\)
Suy ra \(y\) gam kẽm có thể tích là \(\dfrac{1}{7}y\,\,\left( {c{m^3}} \right)\)
Vì thể tích vật đã cho là \(15\,c{m^3}\) nên ta có phương trình \(\dfrac{{10}}{{89}}x + \dfrac{1}{7}y = 15\)
Từ đó, ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 124\\\dfrac{{10}}{{89}}x + \dfrac{1}{7}y = 15\end{array} \right.\)
Giải hệ phương trình này:
\(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 124\\\dfrac{{10}}{{89}}x + \dfrac{1}{7}y = 15\end{array} \right. \)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 124 - x\\70x + 89\left( {124 - x} \right) = 15.7.89\end{array} \right. \)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 124 - x\\ - 19x = - 1691\end{array} \right. \)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 89\\y = 35\end{array} (TM )\right.\)
Trả lời: khối lượng đồng và kẽm trong vật đã cho lần lượt là 89g và 35g.
Có hai người ở hai địa điểm A và B cách nhau 3,6km, khởi hành cùng một lúc, đi ngược chiều nhau và gặp nhau ở một địa điểm cách A là 2km. Nếu cả hai cùng giữ nguyên vận tốc như trường hợp trên, nhưng người đi chậm hơn xuất phát trước người kia 6 phút thì họ sẽ gặp nhau ở chính giữa quãng đường. Tính vận tốc của mỗi người.
Câu trả lời của bạn
Gọi vận tốc của người đi từ A là \({v_1}\) (m/phút), vận tốc của người đi từ B là \({v_2}\) (m/phút). Điều kiện là \({v_1};{v_2} > 0\)
Do hai người cùng xuất phát nên ta có phương trình: \(\dfrac{{2000}}{{{v_1}}} = \dfrac{{1600}}{{{v_2}}}\) (1)
Điều đó còn cho thấy người đi từ B đi chậm hơn. Nếu người đi chậm hơn, tức là người đi từ B xuất phát trước người kia 6 phút thì hai người gặp nhau ở chính giữa quãng đường. Khi đó mỗi người đi được \(1800m\) .
Do đó, ta có phương trình: \(\dfrac{{1800}}{{{v_1}}} + 6 = \dfrac{{1800}}{{{v_2}}}\) (2)
Bài toán dẫn đến hệ gồm hai phương trình (1) và (2)
Đặt \(\dfrac{{100}}{{{v_1}}} = x\) và \(\dfrac{{100}}{{{v_2}}} = y\) , từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:
(I) \(\left\{ \begin{array}{l}20x = 16y\\18x + 6 = 18y\end{array} \right.\)
Giải hệ phương trình (I)
\(\begin{array}{l}
\left( I \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = \dfrac{4}{5}y\\
18.\dfrac{4}{5}y + 6 = 18y
\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = \dfrac{4}{5}y\\
\dfrac{{18}}{5}y = 6
\end{array} \right.
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = \dfrac{4}{3}\\
y = \dfrac{5}{3}
\end{array} \right.
\end{array}\)
Nghiệm của hệ (I) là \(\left( {x;y} \right) = \left( {\dfrac{4}{3};\dfrac{5}{3}} \right)\) . Cuối cùng, ta có
\(\dfrac{{100}}{{{v_1}}} = \dfrac{4}{3} \Leftrightarrow {v_1} = 75\)
\(\dfrac{{100}}{{{v_2}}} = \dfrac{5}{3} \Leftrightarrow {v_2} = 60\)
Trả lời: Vậy vận tốc người đi từ A là \(75m/phút\) , vận tốc người đi từ B là \(60m/phút.\)
Giải hệ phương trình sau \(\left\{ \begin{array}{l}2x - y = m\\4x - {m^2}y = 2\sqrt 2 \end{array} \right.\) trong trường hợp: \(m = \sqrt 2 \)
Câu trả lời của bạn
Khi \(m = \sqrt 2 \), ta có hệ phương trình
\(\left\{ \begin{array}{l}2x - y = \sqrt 2 \\4x - {\left( {\sqrt 2 } \right)^2}y = 2\sqrt 2 \end{array} \right.\) hay \(\left\{ \begin{array}{l}2x-y=\sqrt2\\2x -y=\sqrt 2 \end{array} \right.\)
Dễ thấy rằng hệ phương trình có vô số nghiệm, tập nghiệm của hệ là \(S = \left\{ {\left( {x;2x - \sqrt 2 } \right)|x \in \mathbb{R}} \right\}\)
(A) (0 ; 1) (B) (-2 ; 4)
(C) (2; -2) (D) (-4 ; 5)
Câu trả lời của bạn
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}3x + 2y = 2\\\left( {2 - \sqrt 5 } \right)x + \left( {1 - \sqrt 5 } \right)y = 2\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = \dfrac{{2 - 3x}}{2}\\\left( {2 - \sqrt 5 } \right)x + \left( {1 - \sqrt 5 } \right).\dfrac{{2 - 3x}}{2} = 2\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = \dfrac{{2 - 3x}}{2}\\\left( {4 - 2\sqrt 5 } \right)x + \left( {1 - \sqrt 5 } \right)\left( {2 - 3x} \right) = 4\end{array} \right. \)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = \dfrac{{2 - 3x}}{2}\\\left( {4 - 2\sqrt 5 } \right)x - \left( {3 - 3\sqrt 5 } \right)x + 2 - 2\sqrt 5 = 4\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = \dfrac{{2 - 3x}}{2}\\\left( {1 + \sqrt 5 } \right)x = 2 + 2\sqrt 5 \end{array} \right. \)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = - 2\end{array} \right.\)
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất \(\left( {x;y} \right) = \left( {2; - 2} \right)\).
Ta có: \(B = \frac{{2x - 4\sqrt x + 6}}{{x - 2\sqrt x }} - \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 2}}\) với \(x > 0,\,\,x \ne 4,\,\,x \ne 9\). Hãy rút gọn biểu thức \(B\).
Câu trả lời của bạn
\(B = \frac{{2x - 4\sqrt x + 6}}{{x - 2\sqrt x }} - \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 2}}\) ĐKXĐ: \(x > 0,\,\,x \ne 4\)
\(\begin{array}{l}\,\,\,\, = \frac{{2x - 4\sqrt x + 6}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right)}} - \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 2}}\\\,\,\,\,\, = \frac{{2x - 4\sqrt x + 6}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right)}} - \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right)}}\\\,\,\,\,\, = \frac{{2x - 4\sqrt x + 6 - x - \sqrt x }}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right)}}\\\,\,\,\,\, = \frac{{x - 5\sqrt x + 6}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right)}}\,\,\,\,\,\end{array}\)
\(\begin{array}{l} = \frac{{\left( {x - 2\sqrt x } \right) - \left( {3\sqrt x - 6} \right)}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right)}}\\ = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right) - 3\left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right)}}\\ = \frac{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right)}}\\ = \frac{{\sqrt x - 3}}{{\sqrt x }}\end{array}\)
Vậy \(B = \frac{{\sqrt x - 3}}{{\sqrt x }}\).
Cho biểu thức sau \(A = \frac{{x - 3\sqrt x + 16}}{{\sqrt x - 3}}\). Tính giá trị của \(A\) khi \(x = 36\).
Câu trả lời của bạn
\(A = \frac{{x - 3\sqrt x + 16}}{{\sqrt x - 3}}\) ĐKXĐ: \(x > 0\), \(x \ne 9\)
Thay \(x = 36\)\(\left( {tm} \right)\) vào biểu thức \(A\) ta được:
\(A = \frac{{36 - 3.\sqrt {36} + 16}}{{\sqrt {36} - 3}}\)\( = \frac{{36 - 18 + 16}}{{6 - 3}} = \frac{{34}}{3}\)
Vậy \(A = \frac{{34}}{3}\) khi \(x = 36\).
(A) Hệ (I) có một nghiệm duy nhất và hệ (II) có một nghiệm duy nhất.
(B) Hệ (I) có vô số nghiệm và hệ (II) có một nghiệm duy nhất.
(C) Hệ (I) có một nghiệm duy nhất và hệ (II) vô nghiệm.
(D) Hệ (I) có vô số nghiệm và hệ (II) vô nghiệm
Câu trả lời của bạn
Ta xét hệ (I) \(\left\{ \begin{array}{l}2x - y = 5\\2y - x = 5\end{array} \right. \)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 2x - 5\\2\left( {2x - 5} \right) - x = 5\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x = 15\\y = 2x - 5\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 5\\y = 5\end{array} \right.\)
Suy ra hệ (I) có nghiệm duy nhất \(\left( {x;y} \right) = \left( {5;5} \right)\)
Ta xét hệ (II) \(\left\{ \begin{array}{l}x = y + 1\\y = x + 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = y + 1\\y = y + 1 + 1\end{array} \right. \)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = y + 1\\0 = 2\,\end{array}\,(Vô \,\,nghiệm) \right.\)
Vậy hệ phương trình (II) vô nghiệm.
(A) \(S = \left\{ {\left( {x\,\,;\,\,1} \right)\left| {x \in R} \right.} \right\}\) (B) \(S = \left\{ {\left( { - 1\,\,;\,\,y} \right)\left| {y \in R} \right.} \right\}\)
(C) \(S = \left\{ {\left( {x\,\,;\,\, - 2} \right)\left| {x \in R} \right.} \right\}\) (D) \(S = \left\{ {\left( { - 1\,\,;\,\,1} \right);\left( { - 1\,\,;\,\, - 2} \right)} \right\}\)
Câu trả lời của bạn
Vì hai cặp số \(\left( { - 1;1} \right)\) và \(\left( { - 1; - 2} \right)\) là hai nghiệm của một phương trình bậc nhất hai ẩn nên các cặp số \(\left\{ \begin{array}{l}y \in R\\x = - 1\end{array} \right.\) đều là nghiệm của phương trình đó. Suy ra, tập nghiệm của phương trình này là \(S = \left\{ {\left( { - 1;y} \right)|y \in \mathbb{R}} \right\}\)
Năm ngoái, hai đơn vị sản xuất nông nghiệp thu hoạch được 720 tấn thóc. Năm nay, đơn vị thứ nhất làm vượt mức 15%, đơn vị thứ hai làm vượt mứa 12% so với năm ngoái; Do đó, cả hai đơn vụ thu hoạch được 819 tấn thóc. Hãy cho biết mỗi năm, mỗi đơn vị sản xuất được bao nhiêu tấn thóc ?
Câu trả lời của bạn
Gọi \(x\) và \(y\) lần lượt là số tấn thóc hai đơn vị thu hoạch được trong năm ngoái (điều kiện là \(0 < x,y < 720\))
Vì năm ngoái hai đơn vị thu hoạch được 720 tấn thóc nên ta có phương trình \(x + y = 720\) (1)
Năm nay, đơn vị thứ nhất vượt mức 15% nên thu hoạch được \(\left( {100 + 15\% } \right).x = 1,15x\) tấn
Và đơn vị thứ hai vượt mức 12% nên thu hoạch được \(\left( {100 + 12\% } \right).y = 1,12y\) tấn
Cả hai đơn vị thu hoạch được 819 tấn thóc nên ta có phương trình \(1,15x + 1,12y = 819\) (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình\(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 720\\1,15x + 1,12y = 819\end{array} \right.\)
Giải hệ phương trình này
\(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 720\\1,15x + 1,12y = 819\end{array} \right. \)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 720 - y\\1,15\left( {720 - y} \right) + 1,12y = 819\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 720 - y\\ - 1,15y + 1,12y = - 9\end{array} \right. \)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 720 - y\\y = 300\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 420\\y = 300\end{array} \right.\) (TM )
Suy ra \(1,15x = 483;\,1,12y = 336\) .
Các giá trị tìm được của x và y thỏa mãn điều kiện của ẩn
Vậy năm ngoái đơn vị thứ nhất và đơn vị thứ hai thu hoạch được số tấn thóc lần lượt là 420 tấn và 300 tấn.
Năm nay đơn vị thứ nhất và đơn vị thứ hai thu hoạch được số tấn thóc lần lượt là 483 tấn và 336 tấn
Trả lời ( bằng cách lập bảng)
Đội thứ nhất thu hoạch được | Đội thứ hai thu hoạch được | |
Năm ngoái | 420 | 300 |
Năm nay | 483 | 336 |
(A) \(S = \left\{ 3 \right\}\) (B) \(S = \left\{ {\left( {3\,\,;\,\,0} \right)} \right\}\)
(C) \(S = \left\{ {\left( {x\,\,;\,\,3} \right)\left| {x \in R} \right.} \right\}\) (D) \(S = \left\{ {\left( {3\,\,;\,\,y} \right)\left| {y \in R} \right.} \right\}\)
Câu trả lời của bạn
Ta có \(2x + 0y = 6 \Leftrightarrow x = 3\)
Phương trình có tập nghiệm \(S = \left\{ {\left( {3;y} \right)|y \in \mathbb{R}} \right\}\).
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *