Ở chương II, chúng ta đã biết về hàm số bậc nhất, nó được viết dưới dạng phương trình của một đường thẳng, bài học ôn tập chương Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn cho chúng ta hệ gồm 2 phương trình bậc nhất, chúng có các vị trí tương đối như song song, cắt nhau hoặc trùng nhau... điều đó ảnh hưởng trực tiếp đến số nghiệm của hệ. Chúng ta cùng củng cố lại kiến thức về Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn nhé
Phương trình bậc nhất hai ẩn là phương trình đường thẳng có dạng \(ax+by=c\)
Trong đó: hệ số a, b, c cho trước và a;b không đồng thời bằng 0.
Về tập nghiệm:
Phương trình bậc nhất hai ẩn có vô số nghiệm nhưng đều phụ thuộc lẫn nhau
Nói cách khác, nghiệm của hệ được viết dưới dạng \(\left\{\begin{matrix} x\epsilon \mathbb{R}\\ y=-\frac{a}{b}x+\frac{c}{b} \end{matrix}\right. (b\neq 0)\)
Hệ được viết dưới dạng:
\(\left\{\begin{matrix} ax+by=c\\ a'x+b'y=c' \end{matrix}\right.(1)\)
Chúng là các phương trình đường thẳng
Các vị trí tương đối của hai phương trình đường thẳng gồm:
2 đường thẳng cắt nhau thì (1) có nghiệm duy nhất
2 đường thẳng trùng nhau thì (1) có vô số nghiệm
2 đường thẳng song song thì (1) vô nghiệm
1. Phương pháp thế:
-Biến đổi hệ phương trình đã cho thành hệ mới, và trong đó một phương trình có một ẩn
-Tìm ra ẩn đó rồi suy ra nghiệm của hệ
2. Phương pháp cộng đại số
Nhân hai vế của một phương trình với hằng số thích hợp sao cho hệ số một ẩn nào đó bằng nhau hoặc đối nhau
-Cộng hoặc trừ theo vế nhằm triệt tiêu một ẩn
-Tìm ra ẩn đó rồi suy ra nghiệm của hệ
Bước 1: Lập hệ phương trình
Chọn ẩn và đặt điều kiện cho ẩn
Biểu đạt các đại lượng khác nhau theo ẩn
Dựa vào đề bài toán, lập phương trình theo dạng đã học
Bước 2: Giải hệ phương trình
Bước 3: So sánh kết quả tìm được và chọn nghiệm thích hợp
Bài 1: Trong các cặp số sau \((-2;1),(-3;-4),(4;3),(3;0)\) cặp nào là nghiệm của phương trình \(2x-3y=6\)
Hướng dẫn:
Thế lần lượt các nghiệm vào phương trình trên, ta được
\(2(-2)-3.1=-7\)
\(2(-3)-3.(-4)=6\)
\(2.4-3.3=1\)
\(2.3-3.0=6\)
Vậy, ta chỉ nhận hai cặp đó là \((-3;-4),(3;0)\)
Bài 2: Không vẽ hình, hãy cho biết số nghiệm của mỗi hệ sau và giải thích
\(\left\{\begin{matrix} y=2x-5\\ y=3-x \end{matrix}\right.\)
\(\left\{\begin{matrix} y=\frac{1}{2}x+6\\ y=5-2x \end{matrix}\right.\)
\(\left\{\begin{matrix} y=10x+2017\\ y=10x-3 \end{matrix}\right.\)
\(\left\{\begin{matrix} y=2x+1\\ 2x-y+1=0 \end{matrix}\right.\)
Hướng dẫn:
\(\left\{\begin{matrix} y=2x-5\\ y=3-x \end{matrix}\right.\)
Nhận thấy rằng hệ trên gồm 2 đường thằng, có hệ số góc khác nhau, nên cắt nhau tại 1 điểm, vậy hệ có 1 nghiệm
\(\left\{\begin{matrix} y=\frac{1}{2}x+6\\ y=5-2x \end{matrix}\right.\)
Tương tự với hệ trên, tuy nhiên có 1 điều đặc biệt đó là tích hai hệ số góc là \(\frac{1}{2}.(-2)=-1\) nên nếu dùng phương pháp hình học, ta thấy rằng chúng vuông góc với nhau.
\(\left\{\begin{matrix} y=10x+2017\\ y=10x-3 \end{matrix}\right.\)
Hệ này gồm hai phương trình có hệ số \(a=a';b\neq b'\) nên chúng song song với nhau vô nghiệm.
\(\left\{\begin{matrix} y=2x+1\\ 2x-y+1=0 \end{matrix}\right.\)
Biến đổi tương đương ta được: \(\left\{\begin{matrix} y=2x+1\\y=2x+1 \end{matrix}\right.\)
Hệ này gồm hai phương trình có hệ số \(a=a';b=b'\) nên chúng trùng nhau và có vô số nghiệm.
Bài 3: Giải hệ bằng phương pháp thế: \(\left\{\begin{matrix} x-y=8\\ 5x+4y=-2 \end{matrix}\right.\); \(\left\{\begin{matrix} 3x+2y=10\\ -x+4y=-9 \end{matrix}\right.\)
Hướng dẫn:
\(\left\{\begin{matrix} x-y=8\\ 5x+4y=-2 \end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=y+8\\ 5x+4y=-2 \end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=y+8\\ 5(y+8)+4y=-2 \end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=y+8\\ 9y=-42 \end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=y+8\\ y=-\frac{42}{9} \end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=\frac{10}{3}\\ y=-\frac{42}{9} \end{matrix}\right.\)
\(\left\{\begin{matrix} 3x+2y=10\\ -x+4y=-9 \end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 3x+2y=10 \\ x=9+4y \end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 3(4y+9)+2y=10 \\ x=9+4y \end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 14y=-17 \\ x=9+4y \end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} y=-\frac{17}{14} \\ x=9+4y \end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} y=\frac{29}{7} \\ y=-\frac{17}{14} \end{matrix}\right.\)
Bài 4: Giải hệ bằng phương pháp cộng đại số: \(\left\{\begin{matrix} x-3y=10\\ 2x+y=0 \end{matrix}\right.\);\(\left\{\begin{matrix} 4x-y=8\\ -x+2y=-2 \end{matrix}\right.\)
Hướng dẫn:
\(\left\{\begin{matrix} x-3y=10\\ 2x+y=0 \end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2x-6y=20\\ 2x+y=0 \end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} -7y=20\\ 2x+y=0 \end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} y=-\frac{20}{7}\\ 2x+y=0 \end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=\frac{10}{7}\\ y=-\frac{20}{7} \end{matrix}\right.\)
\(\left\{\begin{matrix} 4x-y=8\\ -x+2y=-2 \end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 8x-2y=16\\ -x+2y=-2 \end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 7x=14\\ -x+2y=-2 \end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=2\\ -x+2y=-2 \end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=2\\ y=0 \end{matrix}\right.\)
Bài 5: Tìm hai số tự nhiên, biết rằng tổng của chúng là 1006, nếu lấy số lớn chia cho số nhỏ ta được thương là 2 và dư 124
Hướng dẫn:
Gọi hai số tự nhiên cần tìm là \(a,b(a,b\epsilon \mathbb{N};a>b>124)\)
Theo đề, ta có: \(\left\{\begin{matrix} a+b=1006\\ a=2b+124 \end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2b+124+b=1006\\ a=2b+124 \end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 3b=882\\ a=2b+124 \end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} b=294\\ a=2b+124 \end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} b=294\\ a=712 \end{matrix}\right.\)
Để cũng cố bài học, xin mời các em cũng làm bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 9 Chương 3 Bài 7 với những câu hỏi củng cố bám sát nội dung bài học. Bên cạnh đó các em có thể nêu thắc mắc của mình thông qua phần Hỏi đáp Toán 9 Chương 3 Bài 7 cộng đồng Toán DapAnHay sẽ sớm giải đáp cho các em.
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 9 Chương 3 Bài 7 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Toán 9
-- Mod Toán Học 9 DapAnHay
Cho hai phương trình đường thẳng \(y=2x-3\) và \(x-y=1\).
Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng đó là:
Giải hệ phương trình: \(\left\{\begin{matrix} x=2y+1\\ x-2y+5=0 \end{matrix}\right.\) ta nhận được nghiệm của hệ là:
Nghiệm của hệ \(\left\{\begin{matrix} x-y\sqrt{3}=0\\ x\sqrt{3}+2y=3\sqrt{2} \end{matrix}\right.\) là:
Tính độ dài hai cạnh góc vuông, biết rằng tăng mỗi cạnh lên \(3(cm)\) thì diện tích sẽ tăng lên \(36(cm^2)\). Và nếu giảm một cạnh đi \(2(cm)\) một cạnh đi \(4(cm)\) thì diện tích sẽ giảm \(26(cm^2)\).
Tìm một số có hai chữ số, biết rằng: Nếu lấy số đó nhân với tổng hai chữ số ấy ta được tích là 115. Nếu lấy số đó đảo ngược lại và vẫn đem nhân cho tổng hai chữ số ấy ta được tích là 60.
Giải các hệ phương trình sau và minh họa hình học kết quả tìm được:
a)\(\left\{ \matrix{2{\rm{x}} + 5y = 2 \hfill \cr {2 \over 5}x + y = 1 \hfill \cr} \right.\)
b) \(\left\{ \matrix{0,2{\rm{x}} + 0,1y = 0,3 \hfill \cr 3{\rm{x}} + y = 5 \hfill \cr} \right.\)
c) \(\left\{ \matrix{{3 \over 2}x - y = {1 \over 2} \hfill \cr 3{\rm{x}} - 2y = 1 \hfill \cr} \right.\)
Giải các hệ phương trình sau:
a)
\(\left\{ \matrix{
x\sqrt 5 - \left( {1 + \sqrt 3 } \right)y = 1 \hfill \cr
\left( {1 - \sqrt 3 } \right)x + y\sqrt 5 = 1 \hfill \cr} \right.\)
b)
\(\left\{ \matrix{
{{2{\rm{x}}} \over {x + 1}} + {y \over {y + 1}} = \sqrt 2 \hfill \cr
{x \over {x + 1}} + {{3y} \over {y + 1}} = - 1 \hfill \cr} \right.\)
Giải hệ phương trình\(\left\{ \matrix{2{\rm{x}} - y = m \hfill \cr 4{\rm{x}} - {m^2}y = 2\sqrt 2 \hfill \cr} \right.\) trong mỗi trường hợp sau:
a) \(m = -\sqrt{2}\)
b) \(m = \sqrt{2}\)
c) \(m = 1\)
Hai người ở hai địa điểm A và B cách nhau \(3,6\) km, khởi hành cùng một lúc, đi ngược chiều nhau và gặp nhau ở một địa điểm cách A là \(2\) km. Nếu cả hai cùng giữ nguyên vận tốc như trường hợp trên, nhưng người đi chậm hơn xuất phát trước người kia \(6\) phút thì họ sẽ gặp nhau ở chính giữa quãng đường. Tính vận tốc của mỗi người.
Một vật có khối lượng 124 g và thể tích 15 \(c{m^3}\) là hợp kim của đồng và kẽm. Tính xem trong đó có bao nhiêu gam đồng và bao nhiêu gam kẽm, biết rằng cứ 89 g đồng thì có thể tích là 10cm3 và 7g kẽm có thể tích là 1cm3
Hai đội xây dựng làm chung một công việc và dự định hoàn thành trong 12 ngày. Nhưng khi làm chung được 8 ngày thì đội I được điều động đi làm việc khác. Tuy chỉ còn một mình độ II làm việc nhưng do cải tiến cách làm, năng suất của đội II tăng gấp đôi nên họ làm xong phần việc còn lại trong 3,5 ngày. Hỏi với năng suất ban đầu, nếu mỗi đội làm một mình thì phải làm trong bao nhiêu ngày mới xong công việc trên?
Năm ngoái, hai đơn vị sản xuất nông nghiệp thu hoạch được 720 tấn thóc. Năm nay, đơn vị thứ nhất làm vượt mức 15% , đơn vị thứ hai làm vượt mức 12% so với năm ngoái. Do đó cả hai đơn vị thu hoạch được 819 tấn thóc. Hỏi mỗi năm, mỗi đơn vị thu hoạch được bao nhiêu tấn thóc?
Giải các hệ phương trình sau:
\(a)\left\{ {\matrix{
{4x + y = - 5} \cr
{3x - 2y = - 12} \cr} } \right.\)
\(b)\left\{ {\matrix{
{x + 3y = 4y - x + 5} \cr
{2x - y = 3x - 2\left( {y + 1} \right)} \cr} } \right.\)
\(c)\left\{ {\matrix{
{3\left( {x + y} \right) + 9 = 2\left( {x - y} \right)} \cr
{2\left( {x + y} \right) = 3\left( {x - y} \right) - 11} \cr} } \right.\)
\(d)\left\{ {\matrix{
{2\left( {x + 3} \right) = 3\left( {y + 1} \right) + 1} \cr
{3\left( {x - y + 1} \right) = 2\left( {x - 2} \right) + 3} \cr} } \right.\)
Giải các hệ phương trình sau:
\(a)\left\{ {\matrix{
{\sqrt 3 x - 2\sqrt 2 y = 7} \cr
{\sqrt 2 x + 3\sqrt 3 y = - 2\sqrt 6 } \cr} } \right.\)
\(b)\left\{ {\matrix{
{\left( {\sqrt 2 + 1} \right)x - \left( {2 - \sqrt 3 } \right)y = 2} \cr
{\left( {2 + \sqrt 3 } \right)x + \left( {\sqrt 2 - 1} \right)y = 2} \cr} } \right.\)
Tìm các giá trị của \(a\) và \(b\) để hệ phương trình:
\(\left\{ {\matrix{
{ax + by = 3} \cr
{2ax - 3by = 36} \cr} } \right.\)
có nghiệm là \((3; -2).\)
Tìm một số có hai chữ số biết rằng \(2\) lần chữ số hàng chục lớn hơn \(5\) lần chữ số hàng đơn vị là \(1\) và chữ số hàng chục chia cho chữ số hàng đơn vị được thương là \(2\) và dư cũng là \(2.\)
Một xe lửa phải vận chuyển một lượng hàng. Nếu xếp vào mỗi toa \(15\) tấn hàng thì còn thừa lại \(3\) tấn, nếu xếp vào mỗi toa \(16\) tấn thì còn có thể chở thêm \(5\) tấn nữa. Hỏi xe lửa có mấy toa và phải chở bao nhiêu tấn hàng?
Hai đội xe chở cát để san lấp một khu đất. Nếu hai đội cùng làm thì trong \(12\) ngày xong việc. Nhưng hai đội chỉ cùng làm trong \(8\) ngày. Sau đó đội thứ nhất làm tiếp một mình trong \(7\) ngày nữa thì xong việc. Hỏi mỗi đội làm một mình thì bao lâu xong việc.
Hai xe lửa khởi hành đồng thời từ hai ga cách nhau \(750km\) và đi ngược chiều nhau, sau \(10\) giờ chúng gặp nhau. Nếu xe thứ nhất khởi hành trước xe thứ hai \(3\) giờ \(45\) phút thì sau khi xe thứ hai đi được \(8\) giờ chúng gặp nhau. Tính vận tốc của mỗi xe.
Giải các hệ phương trình:
\(a)\left\{ {\matrix{
{\left( {x + 3} \right)\left( {y + 5} \right) = \left( {x + 1} \right)\left( {y + 8} \right)} \cr
{\left( {2x - 3} \right)\left( {5y + 7} \right) = 2\left( {5x - 6} \right)\left( {y + 1} \right)} \cr} } \right.\)
\(b)\left\{ {\matrix{
{{{2x - 3} \over {2y - 5}} = {{3x + 1} \over {3y - 4}}} \cr
{2\left( {x - 3} \right) - 3\left( {y + 2} \right) = - 16} \cr} } \right.\)
Năm nay người ta áp dụng kĩ thuật mới trên hai cánh đồng trồng lúa ở ấp Minh Châu. Vì thế lượng lúa thu được trên cánh đồng thứ nhất tăng lên 30% so với năm ngoái, trên cánh đồng thứ hai lượng lúa thu được tăng 20%. Tổng cộng cả hai cánh đồng thu được \(630\) tấn. Hỏi trên mỗi cánh đồng năm nay thu được bao nhiêu lúa, biết rằng trên cả hai cánh đồng này năm ngoái chỉ thu được \(500\) tấn?
Người ta trộn hai loại quặng sắt với nhau, một loại chứa 72% sắt, loại thứ hai chứa 58% sắt được một loại quặng chứa 62% sắt. Nếu tăng khối lượng của mỗi loại quặng thêm \(15\) tấn thì được một loại quặng chứa 63,25% sắt. Tìm khối lượng quặng của mỗi loại đã trộn.
Một người đi ngựa và một người đi bộ đều đi từ bản \(A\) đến bản \(B\). Người đi ngựa đến \(B\) trước người đi bộ \(50\) phút rồi lập tức quay trở về \(A\) và gặp người đi bộ tại một địa điểm cách \(B\) là \(2km\). Trên cả quãng đường từ \(A\) đến \(B\) và ngược lại, người đi ngựa đi hết \(1\) giờ \(40\) phút. Hãy tính khoảng cách \(AB\) và vận tốc của mỗi người.
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
Cho hàm số \(y = {x^2}\,\,\left( P \right)\) và \(y = 3x - 2\,\,\left( d \right)\); \(\left( d \right)\) cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm \(A\), \(B\) với \(A\) là điểm có hoành độ nhỏ hơn. HÃy tìm tọa độ điểm \(A\) và \(B\).
Câu trả lời của bạn
Gọi \(A\left( {{x_A};\,\,{y_A}} \right),\,\,B\left( {{x_B};\,\,{y_B}} \right)\) là giao điểm của \(\left( P \right)\) và \(\left( d \right)\) \(\left( {{x_A} < {x_B}} \right)\).
Xét phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( P \right)\) và \(\left( d \right)\) ta có:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,{x^2} = 3x - 2\\ \Leftrightarrow {x^2} - 3x + 2 = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} - x - 2x + 2 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {{x^2} - x} \right) - \left( {2x - 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow x\left( {x - 1} \right) - 2\left( {x - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {x - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 2 = 0\\x - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 2\end{array} \right.\end{array}\)
Vì \({x_A} < {x_B}\) nên \({x_A} = 1,\,\,{x_B} = 2\).
+) \({x_A} = 1\)\( \Rightarrow {y_A} = {1^2} = 1\)\( \Rightarrow A\left( {1;\,\,1} \right)\)
+) \({x_B} = 2\)\( \Rightarrow {y_B} = {2^2} = 4\)\( \Rightarrow B\left( {2;\,\,4} \right)\)
Vậy \(A\left( {1;\,\,1} \right),\,\,B\left( {2;\,\,4} \right)\).
Biết hai tổ sản xuất cùng nhận chung được một đơn hàng, nếu hai tổ cùng làm thì sau \(15\) ngày sẽ xong. Tuy nhiên, sau khi cùng làm được \(6\) ngày thì tổ I có việc bận phải chuyển công việc khác, do đổ tổ II làm một mình \(24\) ngày nữa thì hoàn thành đơn hàng. Hỏi nếu làm một mình thì mỗi tổ làm xong trong bao nhiều ngày?
Câu trả lời của bạn
Gọi thời gian để tổ I làm một mình hoàn thành xong đơn hàng là \(x\) (ngày); \(\left( {x > 15} \right).\)
Gọi thời gian để tổ II làm một mình hoàn thành xong đơn hàng là \(y\)(ngày); \(\left( {y > 15} \right).\)
Trong một ngày, tổ I làm được \(\frac{1}{x}\) đơn hàng.
Trong một ngày, tổ II làm được \(\frac{1}{y}\) đơn hàng.
Vì hai tổ cùng làm trong \(15\) ngày thì hoàn thành xong đơn hàng, nên trong một ngày cả hai tổ làm được \(\frac{1}{{15}}\) đơn hàng. Khi đó, ta có phương trình: \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{{15}}\) \(\left( 1 \right)\)
Trong \(6\) ngày, cả hai tổ làm được \(\frac{6}{{15}} = \frac{2}{5}\) đơn hàng.
Trong \(24\) ngày, tổ II làm được \(\frac{{24}}{y}\) đơn hàng.
Vì sau khi cùng làm được \(6\) ngày thì tổ II làm một mình trong \(24\) ngày nữa thì hoàn thành xong đơn hàng nên ta có phương trình: \(\frac{2}{5} + \frac{{24}}{y} = 1\) \(\left( 2 \right)\)
Từ \(\left( 1 \right)\)và \(\left( 2 \right)\)ta có hệ phương trình:
\(\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{{15}}\\\frac{2}{5} + \frac{{24}}{y} = 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{{15}}\\\frac{{24}}{y} = \frac{3}{5}\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{{15}}\\y = 40\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x} + \frac{1}{{40}} = \frac{1}{{15}}\\y = 40\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 24\left( {tm} \right)\\y = 40\left( {tm} \right)\end{array} \right.\)
Vậy thời gian để tổ I làm một mình hoàn thành xong đơn hàng là \(24\) ngày.
Thời gian để tổ II làm một mình hoàn thành xong đơn hàng là \(40\) ngày.
Cho \(x > 0,\,\,y > 0\) và \(x + y \le 1\). Cho biết giá trị nhỏ nhất của \(T = \frac{1}{{{x^2} + xy}} + \frac{1}{{{y^2} + xy}}\).
Câu trả lời của bạn
Cho \(x > 0,\,\,y > 0\) và \(x + y \le 1\). Tính giá trị nhỏ nhất của \(T = \frac{1}{{{x^2} + xy}} + \frac{1}{{{y^2} + xy}}\).
Với mọi \(x > 0,\,\,y > 0\) và \(x + y \le 1\) ta có:
\({\left( {x - y} \right)^2} \ge 0\)
\( \Leftrightarrow {x^2} - 2xy + {y^2} \ge 0\)
\( \Leftrightarrow {x^2} + 2xy + {y^2} - 4xy \ge 0\)
\( \Leftrightarrow {\left( {x + y} \right)^2} - 4xy \ge 0\)
\( \Leftrightarrow {\left( {x + y} \right)^2} \ge 4xy\)
\( \Leftrightarrow xy \le \frac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{4}\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow xy \le \frac{1}{4}\\ \Leftrightarrow \frac{1}{{xy}} \ge 4\end{array}\)
Ta có: \(T = \frac{1}{{{x^2} + xy}} + \frac{1}{{{y^2} + xy}}\)
\(\begin{array}{l} = \frac{1}{{x\left( {x + y} \right)}} + \frac{1}{{y\left( {x + y} \right)}}\\ = \frac{y}{{xy\left( {x + y} \right)}} + \frac{x}{{xy\left( {x + y} \right)}}\\ = \frac{{x + y}}{{xy\left( {x + y} \right)}}\\ = \frac{1}{{xy}} \ge 4\end{array}\)
Dấu “\( = \)” xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 1\\x = y\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow x = y = \frac{1}{2}\)
Vậy \(Min\,T = 4\)\( \Leftrightarrow x = y = \frac{1}{2}\).
Giải hệ phương trình sau đây: \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{3}{{x - 4}} + 2\sqrt {y + 1} = \frac{{15}}{2}\\\frac{2}{{x - 4}} - \sqrt {y + 1} = - 2\end{array} \right..\)
Câu trả lời của bạn
\(\left\{ \begin{array}{l}\frac{3}{{x - 4}} + 2\sqrt {y + 1} = \frac{{15}}{2}\\\frac{2}{{x - 4}} - \sqrt {y + 1} = - 2\end{array} \right.\) ĐKXĐ: \(x \ne 4,\,\,y \ge - 1\)
Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{{x - 4}} = u\\\sqrt {y + 1} = v\end{array} \right.\,\,\left( {u \ne 0,\,\,v \ge 0} \right)\).
Khi đó, ta có hệ phương trình:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}3u + 2v = \frac{{15}}{2}\\2u - v = - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3u + 2v = \frac{{15}}{2}\\4u - 2v = - 4\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3u + 2v = \frac{{15}}{2}\\7u = \frac{7}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3u + 2v = \frac{{15}}{2}\\u = \frac{1}{2}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3 \cdot \frac{1}{2} + 2v = \frac{{15}}{2}\\u = \frac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}v = 3\,\,\,\left( {tm} \right)\\u = \frac{1}{2}\,\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{{x - 4}} = \frac{1}{2}\\\sqrt {y + 1} = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 4 = 2\\y + 1 = 9\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 6\,\,\,\left( {tm} \right)\\y = 8\,\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là \(\left( {x;\,\,y} \right) = \left( {6;\,\,8} \right)\).
Có hai công nhân làm chung trong \(12\) ngày thì hoàn thành công việc đã định. Họ làm chung với nhau \(4\) ngày thì người thứ nhất được điều đi làm việc khác, người thứ hai làm công việc còn lại trong \(10\) ngày. Hỏi người thứ nhất làm một mình thì sau bao lâu thì hoàn thành công việc?
Câu trả lời của bạn
Gọi thời gian người thứ nhất làm một mình hoàn thành công việc là \(x\) (ngày); \(\left( {x > 12} \right).\)
Thời gian người thứ hai làm một mình hoàn thành công việc là \(y\) (ngày); \(\left( {y > 12} \right).\)
Trong \(1\) ngày người thứ nhất làm được \(\frac{1}{x}\) công việc.
Trong \(1\) ngày người thứ hai làm được \(\frac{1}{y}\) công việc.
Hai công nhân làm chung trong \(12\) ngày thì hoàn thành công việc nên trong \(1\) ngày hai công nhân làm được \(\frac{1}{{12}}\) công việc.
Khi đó, ta có phương trình : \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{{12}}\) \(\left( 1 \right)\)
Trong \(4\) ngày, cả hai người làm được \(\frac{4}{{12}} = \frac{1}{3}\) công việc.
Trong \(10\) ngày, người thứ hai làm được \(\frac{{10}}{y}\) công việc.
Vì hai công nhân làm chung với nhau \(4\) ngày thì người thứ nhất được điều đi làm việc khác, người thứ hai làm hoàn thành công việc còn lại trong \(10\) ngày nên ta có phương trình : \(\frac{1}{3} + \frac{{10}}{y} = 1\) \(\left( 2 \right)\)
Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) ta có hệ phương trình :
\(\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{{12}}\\\frac{1}{3} + \frac{{10}}{y} = 1\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{{12}}\\\frac{{10}}{y} = \frac{2}{3}\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{{12}}\\y = 15\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x} = \frac{1}{{12}} - \frac{1}{{15}}\\y = 15\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x} = \frac{1}{{60}}\\y = 15\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 60\,\,\,\left( {tm} \right)\\y = 15\,\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\)
Vậy người thứ nhất làm một mình trong \(60\) ngày thì hoàn thành công việc.
Với \(x,\,\,y,\,\,z\) là các số thực dương thỏa mãn đẳng thức \(xy + yz + zx = 5\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(P = \frac{{3x + 3y + 2z}}{{\sqrt {6\left( {{x^2} + 5} \right)} + \sqrt {6\left( {{y^2} + 5} \right)} + \sqrt {{z^2} + 5} }}\).
Câu trả lời của bạn
Với \(x,\,\,y,\,\,z\) là các số thực dương thỏa mãn đẳng thức \(xy + yz + zx = 5\).
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
\(P = \frac{{3x + 3y + 2z}}{{\sqrt {6\left( {{x^2} + 5} \right)} + \sqrt {6\left( {{y^2} + 5} \right)} + \sqrt {{z^2} + 5} }}\)
Vì \(x,\,\,y,\,\,z\) là các số thực dương nên ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}x + y > 0\\x + z > 0\\y + z > 0\end{array} \right.\)
\({x^2} + 5 = {x^2} + xy + yz + xz\)\( = \left( {{x^2} + xy} \right) + \left( {yz + xz} \right)\)
\( = x\left( {x + y} \right) + z\left( {x + y} \right)\)\( = \left( {x + y} \right)\left( {x + z} \right)\)
\({y^2} + 5 = {y^2} + xy + yz + xz\)\( = \left( {{y^2} + xy} \right) + \left( {yz + xz} \right)\)
\( = y\left( {x + y} \right) + z\left( {x + y} \right)\)\( = \left( {y + z} \right)\left( {x + y} \right)\)
\({z^2} + 5 = {z^2} + xy + yz + xz\)\( = \left( {{z^2} + xz} \right) + \left( {yz + xy} \right)\)
\( = z\left( {x + z} \right) + y\left( {x + z} \right)\)\( = \left( {y + z} \right)\left( {x + z} \right)\)
Khi đó, ta có:
\(P = \frac{{3x + 3y + 2z}}{{\sqrt {6\left( {x + y} \right)\left( {x + z} \right)} + \sqrt {6\left( {x + y} \right)\left( {y + z} \right)} + \sqrt {\left( {x + z} \right)\left( {y + z} \right)} }}\)
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta được:
\(\sqrt {6\left( {x + y} \right)\left( {x + z} \right)} \)\( = \sqrt {3\left( {x + y} \right).2\left( {x + z} \right)} \)
\( \le \left( {\frac{{3\left( {x + y} \right) + 2\left( {x + z} \right)}}{2}} \right)\) \( = \frac{{3x + 3y + 2x + 2z}}{2}\)\( = \frac{{5x + 3y + 2z}}{2}\)
\(\sqrt {6\left( {x + y} \right)\left( {y + z} \right)} \)\( = \sqrt {3\left( {x + y} \right).2\left( {y + z} \right)} \)
\( \le \left( {\frac{{3\left( {x + y} \right) + 2\left( {y + z} \right)}}{2}} \right)\)\( = \frac{{3x + 3y + 2y + 2z}}{2}\)\( = \frac{{3x + 5y + 2z}}{2}\)
\(\sqrt {\left( {x + z} \right)\left( {y + z} \right)} = \sqrt {\left( {x + z} \right).\left( {y + z} \right)} \)
\( \le \frac{{\left( {x + z} \right) + \left( {y + z} \right)}}{2}\)\( = \frac{{x + y + 2z}}{2}\)
\( \Rightarrow \sqrt {6\left( {x + y} \right)\left( {x + z} \right)} \)\( + \sqrt {6\left( {x + y} \right)\left( {y + z} \right)} \)\( + \sqrt {\left( {x + z} \right)\left( {y + z} \right)} \)
\( \le \frac{{5x + 3y + 2z}}{2}\)\( + \frac{{3x + 5y + 2z}}{2}\)\( + \frac{{x + y + 2z}}{2}\)
\( \Leftrightarrow \sqrt {6\left( {x + y} \right)\left( {x + z} \right)} \)\( + \sqrt {6\left( {x + y} \right)\left( {y + z} \right)} \)\( + \sqrt {\left( {x + z} \right)\left( {y + z} \right)} \)
\( \le \frac{{9x + 9y + 6z}}{2}\)
\( \Leftrightarrow \sqrt {6\left( {x + y} \right)\left( {x + z} \right)} \)\( + \sqrt {6\left( {x + y} \right)\left( {y + z} \right)} \)\( + \sqrt {\left( {x + z} \right)\left( {y + z} \right)} \)
\( \le \frac{{3.\left( {3x + 3y + 2z} \right)}}{2}\)
\( \Leftrightarrow \frac{{\sqrt {6\left( {x + y} \right)\left( {x + z} \right)} + \sqrt {6\left( {x + y} \right)\left( {y + z} \right)} + \sqrt {\left( {x + z} \right)\left( {y + z} \right)} }}{{\left( {3x + 3y + 2z} \right)}} \le \frac{3}{2}\)
\( \Leftrightarrow \frac{{3x + 3y + 2z}}{{\sqrt {6\left( {x + y} \right)\left( {x + z} \right)} + \sqrt {6\left( {x + y} \right)\left( {y + z} \right)} + \sqrt {\left( {x + z} \right)\left( {y + z} \right)} }} \ge \frac{2}{3}\)
\( \Leftrightarrow P \ge \frac{2}{3}\)
Dấu “\( = \)” xảy ra khi và chỉ khi
\(\left\{ \begin{array}{l}3\left( {x + y} \right) = 2\left( {x + z} \right)\\3\left( {x + z} \right) = 2\left( {y + z} \right)\\x + z = y + z\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = y = 1\\z = 2\end{array} \right.\).
Vậy \(Min\,P = \frac{2}{3} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = y = 1\\z = 2\end{array} \right.\).
Hãy giải hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{{x + 1}} - \sqrt {y - 1} = - 1\\\frac{3}{{x + 1}} + 2\sqrt {y - 1} = 7\end{array} \right.\)
Câu trả lời của bạn
Điều kiện:\(\left\{ \begin{array}{l}x + 1 \ne 0\\y - 1 \ge 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne - 1\\y \ge 1\end{array} \right.\)
Đặt \(\frac{1}{{x + 1}} = u\,\,\left( {u \ne 0} \right)\), \(\sqrt {y - 1} = v\,\,\left( {v \ge 0} \right)\).
Khi đó, hệ phương trình trở thành:
\(\left\{ \begin{array}{l}u - v = - 1\\3u + 2v = 7\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2u - 2v = - 2\\3u + 2v = 7\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5u = 5\\3u + 2v = 7\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}u = 1\\3.1 + 2v = 7\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}u = 1\\v = 2\end{array} \right.\)\(\left( {tm} \right)\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{{x + 1}} = 1\\\sqrt {y - 1} = 2\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 1 = 1\\y - 1 = 4\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 5\end{array} \right.\)\(\left( {tm} \right)\)
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất \(\left( {x;\,\,y} \right) = \left( {0;\,\,5} \right)\)
Có một nhóm gồm \(15\) học sinh nam và nữ, tham gia buổi lao động trồng cây. Cuối buổi lao động, thầy giáo nhận thấy các bạn nam trồng được \(30\) cây, các bạn nữ trồng được \(36\) cây. Mỗi bạn nam trồng được số cây như nhau và mỗi bạn nữ trồng được số cây như nhau. Tính số học sinh nam và số học sinh nữ của nhóm, biết rằng mỗi bạn nam trồng được nhiều hơn mỗi bạn nữ \(1\) cây.
Câu trả lời của bạn
Gọi số học sinh nam của nhóm là \(x\) (học sinh), \(\left( {x \in {\mathbb{N}^*},\,\,x < 15} \right).\)
Số học sinh nữ của nhóm là \(y\) (học sinh), \(\left( {y \in {\mathbb{N}^*},\,\,y < 15} \right).\)
Vì nhóm gồm \(15\) học sinh nên ta có phương trình: \(x + y = 15\) \(\left( 1 \right)\)
Vì mỗi bạn nam trồng được số cây như nhau nên mỗi bạn nam trồng được số cây là: \(\frac{{30}}{x}\) (cây)
Vì mỗi bạn nữ trồng được số cây như nhau nên mỗi bạn nữ trồng được số cây là: \(\frac{{36}}{y}\) (cây)
Vì mỗi bạn nam trồng được nhiều hơn mỗi bạn nữ \(1\) cây nên ta có phương trình: \(\frac{{30}}{x} - \frac{{36}}{y} = 1\) \(\left( 2 \right)\)
Từ \(\left( 1 \right)\)và \(\left( 2 \right)\)ta có hệ phương trình:
\(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 15\\\frac{{30}}{x} - \frac{{36}}{y} = 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 15 - x\\\frac{{30}}{x} - \frac{{36}}{y} = 1\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow \frac{{30}}{x} - \frac{{36}}{{15 - x}} = 1\)\( \Leftrightarrow {x^2} - 81x + 450 = 0\)
\( \Leftrightarrow \left( {x - 75} \right)\left( {x - 6} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 75 = 0\\x - 6 = 0\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 75\,\,\left( {ktm} \right)\\x = 6\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\)
Với \(x = 6 \Rightarrow y = 15 - 6 = 9\)
Vậy số học sinh nam của nhóm là \(6\) học sinh , số học sinh nữ của nhóm là \(9\) học sinh.
Cho biết \(a,\,\,b,\,\,c\) là các số thực không âm thỏa mãn \(a + b + c = 1\). Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = {a^2} + {b^2} + {c^2} - 3ab\).
Câu trả lời của bạn
Vì \(a,\,\,b,\,\,c\) là các số thực không âm thỏa mãn \(a + b + c = 1\) nên \(0 \le a,\,\,b,\,\,c \le 1\).
*) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = {a^2} + {b^2} + {c^2} - 3ab\)
\(\begin{array}{l}P = {a^2} + {b^2} + {c^2} - 3ab\\P = {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2ab + 2bc + 2ac - 2ab - 2bc - 2ac - 3ab\\P = {\left( {a + b + c} \right)^2} - 5ab - 2bc - 2ac\\P = 1 - 5ab - 2bc - 2ac\\P = 1 - \left( {5ab + 2bc + 2ac} \right)\end{array}\)
\( \Rightarrow P \le 1\) với \(0 \le a,\,\,b,\,\,c \le 1\)
Dấu “\( = \)” xảy ra \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = b = 0,\,\,c = 1\\a = c = 0,\,\,b = 1\\b = c = 0,\,\,a = 1\end{array} \right.\)
Vậy \(P\) đạt giá lớn nhất bằng 1 khi
\(\left[ \begin{array}{l}a = b = 0,\,\,c = 1\\a = c = 0,\,\,b = 1\\b = c = 0,\,\,a = 1\end{array} \right.\)
*) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = {a^2} + {b^2} + {c^2} - 3ab\)
\(\begin{array}{l}P = {a^2} + {b^2} + {c^2} - 3ab\\P = {a^2} - 2ab + {b^2} + {c^2} - ab\\P = {\left( {a - b} \right)^2} + {c^2} - ab\end{array}\)
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm \(a\) và \(b\) ta có:
\(a + b \ge 2\sqrt {ab} \)\( \Leftrightarrow \sqrt {ab} \le \frac{{a + b}}{2}\)
\( \Leftrightarrow ab \le \frac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{4}\)\( \Leftrightarrow - ab \ge - \frac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{4}\)
\( \Leftrightarrow - ab \ge - \frac{{{{\left( {1 - c} \right)}^2}}}{4}\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow P = {\left( {a - b} \right)^2} + {c^2} - ab \ge {\left( {a - b} \right)^2} + {c^2} - \frac{{{{\left( {1 - c} \right)}^2}}}{4}\\ \Leftrightarrow P \ge {\left( {a - b} \right)^2} + {c^2} - \frac{1}{4}\left( {1 - 2c + {c^2}} \right)\\ \Leftrightarrow P \ge {\left( {a - b} \right)^2} + {c^2} - \frac{1}{4}{c^2} + \frac{1}{2}c - \frac{1}{4}\\ \Leftrightarrow P \ge {\left( {a - b} \right)^2} + \frac{3}{4}{c^2} + \frac{1}{2}c - \frac{1}{4}\\ \Leftrightarrow P \ge {\left( {a - b} \right)^2} + \frac{3}{4}\left( {{c^2} + \frac{2}{3}c} \right) - \frac{1}{4}\\ \Leftrightarrow P \ge {\left( {a - b} \right)^2} + \frac{3}{4}\left( {{c^2} + 2.c.\frac{1}{3} + \frac{1}{9}} \right) - \frac{1}{{12}} - \frac{1}{4}\\ \Leftrightarrow P \ge {\left( {a - b} \right)^2} + \frac{3}{4}{\left( {c + \frac{1}{3}} \right)^2} - \frac{1}{3} \ge - \frac{1}{3}\end{array}\)
Dấu “\( = \)” xảy ra khi và chỉ khi
\(\left\{ \begin{array}{l}a - b = 0\\c + \frac{1}{3} = 0\\a + b + c = 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = b = \frac{2}{3}\\c = - \frac{1}{3}\end{array} \right.\)
Vậy \(P\) đạt giá nhỏ nhất bằng \( - \frac{1}{3}\) khi \(a = b = \frac{2}{3}\), \(c = - \frac{1}{3}\).
Giải hệ sau: \(\left\{ \begin{array}{l}3\left( {x + 1} \right) - y = 6 - 2y\\2x - y = 7\end{array} \right.\)
Câu trả lời của bạn
\(\left\{ \begin{array}{l}3\left( {x + 1} \right) - y = 6 - 2y\\2x - y = 7\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x + y = 3\\2x - y = 7\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x + y = 3\\5x = 10\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x + y = 3\\x = 2\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3.2 + y = 3\\x = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = - 3\\x = 2\end{array} \right.\)
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất \(\left( {x;\,\,y} \right) = \left( {2;\,\, - 3} \right)\).
Giải hệ sau: \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{7}{{\sqrt x - 7}} - \frac{4}{{\sqrt y + 6}} = \frac{5}{3}\\\frac{5}{{\sqrt x - 7}} + \frac{3}{{\sqrt y + 6}} = 2\frac{1}{6}\end{array} \right.\)
Câu trả lời của bạn
\(\left\{ \begin{array}{l}\frac{7}{{\sqrt x - 7}} - \frac{4}{{\sqrt y + 6}} = \frac{5}{3}\\\frac{5}{{\sqrt x - 7}} + \frac{3}{{\sqrt y + 6}} = 2\frac{1}{6}\end{array} \right.\)
ĐKXĐ \(x,\,\,y \ge 0\), \(x \ne 49\)
Đặt \(u = \frac{1}{{\sqrt x - 7}};\,\,v = \frac{1}{{\sqrt y + 6}}\,\,\left( {u,\,\,v \ne 0} \right)\).
Khi đó, ta có hệ phương trình:
\(\left\{ \begin{array}{l}7u - 4v = \frac{5}{3}\\5u + 3v = 2\frac{1}{6}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}35u - 20v = \frac{{25}}{3}\\35u + 21v = \frac{{91}}{6}\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}35u - 20v = \frac{{25}}{3}\\ - 41v = - \frac{{41}}{6}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}35u - 20v = \frac{{25}}{3}\\v = \frac{1}{6}\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}35u - 20.\frac{1}{6} = \frac{{25}}{3}\\v = \frac{1}{6}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}u = \frac{1}{3}\,\,\left( {tm} \right)\\v = \frac{1}{6}\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{{\sqrt x - 7}} = \frac{1}{3}\\\frac{1}{{\sqrt y + 6}} = \frac{1}{6}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt x - 7 = 3\\\sqrt y + 6 = 6\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt x = 10\\\sqrt y = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 100\,\,\,\left( {tm} \right)\\y = 0\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\)
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là \(\left( {x;\,\,y} \right) = \left( {100;\,\,0} \right)\).
Cho biết có hai tổ sản xuất trong tháng thứ nhất làm được \(1000\) sản phẩm. Sang tháng thứ hai, do cải tiến kĩ thuật nên tổ một vượt mức \(20\% \), tổ hai vượt mức 15% so với tháng thứ nhất. Vì vậy, cả hai tổ sản xuất được \(1170\) sản phẩm. Hỏi tháng thứ nhất, mỗi tổ sản xuất được bao nhiêu sản phẩm?
Câu trả lời của bạn
Gọi số sản phẩm tổ một sản xuất được trong tháng thứ nhất là \(x\) (sản phẩm, \(x \in {\mathbb{N}^*}\), \(x < 1000\)).
Số sản phẩm tổ hai sản xuất được trong tháng thứ hai là \(y\) (sản phẩm, \(y \in {\mathbb{N}^*}\), \(y < 1000\)).
Trong tháng thứ nhất cả hai tổ làm được \(1000\) sản phẩm nên ta có phương trình:
\(x + y = 1000\) (1)
Số sản phẩm tổ một sản xuất được trong tháng thứ hai là \(100\% .x + 20\% .x = 120\% x\) sản phẩm
Số sản phẩm tổ hai sản xuất được trong tháng thứ hai là \(100\% .y + 15\% .y = 115\% y\) sản phẩm.
Trong tháng thứ hai, cả hai tổ sản xuất được \(1170\) sản phẩm nên ta có phương trình:
\(120\% x + 115\% y = 1170\) \( \Leftrightarrow 1,2x + 1,15y = 1170\,\,\,\left( 2 \right)\)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:
\(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 1000\\1,2x + 1,15y = 1170\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1000 - y\\1,2\left( {1000 - y} \right) + 1,15y = 1170\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1000 - y\\ - 0,05y = - 30\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1000 - y\\y = 600\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 400\,\,\,\left( {tm} \right)\\y = 600\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\)
Vậy trong tháng thứ nhất tổ một sản phẩm được \(400\) sản phẩm, tổ hai sản xuất được \(600\) sản phẩm.
Có đường thẳng \(\left( d \right)\) có phương trình \(y = ax + b\). Hãy tìm \(a,\,\,b\) biết \(\left( d \right)\) song song với đường thẳng \(\left( {d'} \right)\) có phương trình \(y = - 3x + 5\) và đi qua điểm \(A\) thuộc parabol \(\left( P \right)\) có phương trình \(y = {x^2}\) có hoành độ bằng \( - 2\).
Câu trả lời của bạn
Đường thẳng \(\left( d \right)\) có phương trình: \(y = ax + b\)
Vì \(\left( d \right)\) song song với đường thẳng \(\left( {d'} \right):y = - 3x + 5\) nên \(a = - 3\) và \(b \ne 5\)
Gọi \(A\left( {{x_A};\,\,{y_A}} \right) \in \left( P \right):y = {x^2}\) .
Ta có: \({x_A} = - 2 \Rightarrow {y_A} = {\left( { - 2} \right)^2} = 4\)
\( \Rightarrow A\left( { - 2;\,\,4} \right)\)
Vì đường thẳng \(\left( d \right)\) đi qua \(A\left( { - 2;\,\,4} \right)\) nên ta có: \(4 = - 2a + b\) (1)
Thay \(a = - 3\) vào (1) ta có: \(4 = - 2.\left( { - 3} \right) + b \Leftrightarrow b = - 2\) (thỏa mãn)
Vậy \(a = - 3,\,\,b = - 2\).
Cho biểu thức: \(A = \dfrac{{4\sqrt x }}{{\sqrt x - 5}}\). Tính giá trị của biểu thức A tại x = 9.
Câu trả lời của bạn
Thay \(x = 9\) (TMĐK) vào biểu thức A ta được:
\(A = \dfrac{{4\sqrt 9 }}{{\sqrt 9 - 5}} = \dfrac{{4.3}}{{3 - 5}} = \dfrac{{12}}{{ - 2}} = - 6\)
Vậy với x = 9 thì \(A = - 6\).
Cho các số không âm sau \(x,\,\,y,\,\,z\) thỏa mãn \(x + y + z = 1\). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: \(Q = \sqrt {2{x^2} + x + 1} + \sqrt {2{y^2} + y + 1} + \sqrt {2{z^2} + z + 1} \)
Câu trả lời của bạn
Vì \(x,\,\,y,\,\,z\) là các số không âm và \(x + y + z = 1\) nên \(0 \le x,\,y,\,\,z \le 1\).
Chứng minh \(\sqrt {2{x^2} + x + 1} \le x + 1\).
\(\begin{array}{l}\sqrt {2{x^2} + x + 1} \le x + 1\\ \Leftrightarrow {\left( {\sqrt {2{x^2} + x + 1} } \right)^2} \le {\left( {x + 1} \right)^2}\\ \Leftrightarrow 2{x^2} + x + 1 \le {x^2} + 2x + 1\\ \Leftrightarrow 2{x^2} + x + 1 - {x^2} - 2x - 1 \le 0\\ \Leftrightarrow {x^2} - x \le 0\\ \Leftrightarrow x\left( {x - 1} \right) \le 0\end{array}\)
Ta có: \(x\left( {x - 1} \right) \le 0\) luôn đúng với \(0 \le x \le 1\).
Chứng minh tương tự ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}\sqrt {2{y^2} + y + 1} \le y + 1\\\sqrt {2{z^2} + z + 1} \le x + 1\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow Q = \sqrt {2{x^2} + x + 1} + \sqrt {2{y^2} + y + 1} + \sqrt {2{z^2} + z + 1} \)
\( \le \left( {x + 1} \right) + \left( {y + 1} \right) + \left( {z + 1} \right)\)\( = \left( {x + y + z} \right) + 3\)
Mà \(x + y + z = 1\) nên \(Q \le 4\).
Dấu “\( = \)” xảy ra \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = y = 0,\,\,z = 1\\x = z = 0,\,\,y = 1\\y = z = 0,\,\,x = 1\end{array} \right.\)
Vậy \(Q\) đạt giá trị lớn nhất bằng \(4\) khi \(\left( {x;y;z} \right) \in \left\{ {\left( {0;\,\,0;\,\,1} \right),\,\,\left( {0;\,\,1;\,\,0} \right),\,\,\left( {1;\,\,0;\,\,0} \right)} \right\}\).
Với \(B = \dfrac{{\sqrt x + 5}}{{\sqrt x + 2}}\) với \(x \ge 0;x \ne 9\). Tính giá trị của \(B\) khi \(x = 4.\)
Câu trả lời của bạn
Thay \(x = 4\) (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức \(B\) ta được:
\(B = \dfrac{{\sqrt 4 + 5}}{{\sqrt 4 + 2}}\) \( = \dfrac{{2 + 5}}{{2 + 2}} = \dfrac{7}{4}\)
Vậy với \(x = 4\) thì \(B = \dfrac{7}{4}\).
Có \(B = \dfrac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x - 1}} + \dfrac{1}{{\sqrt x + 2}} + \dfrac{{5 - 2\sqrt x }}{{x + \sqrt x - 2}}\) với \(x > 0,x \ne 1,x \ne 25\). Rút gọn biểu thức B.
Câu trả lời của bạn
Với \(x > 0,x \ne 1,x \ne 25\) ta có:
\(\begin{array}{l}B = \dfrac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x - 1}} + \dfrac{1}{{\sqrt x + 2}} + \dfrac{{5 - 2\sqrt x }}{{x + \sqrt x - 1}}\\ = \dfrac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x - 1}} + \dfrac{1}{{\sqrt x + 2}} + \dfrac{{5 - 2\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}\\ = \dfrac{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right) + \sqrt x - 1 + 5 - 2\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}\\ = \dfrac{{x - 4 + \sqrt x - 1 + 5 - 2\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}\\ = \dfrac{{x - \sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}\\ = \dfrac{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}\\ = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}}\end{array}\)
Vậy \(B = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}}\)
Giải hệ: \(\left\{ \begin{array}{l}\sqrt {x - 1} - 2y = 9\\3\sqrt {x - 1} + y = 6\end{array} \right.\) .
Câu trả lời của bạn
Điều kiện: \(x \ge 1\)
Đặt \(\sqrt {x - 1} = u\left( {u \ge 0} \right)\), ta có hệ phương trình:
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}u - 2y = 9\\3u + y = 6\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}u - 2y = 9\\6u + 2y = 12\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}u - 2y = 9\\7u = 21\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}u = 3\\3 - 2y = 9\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}u = 3\\ - 2y = 6\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}u = 3\left( {tm} \right)\\y = - 3\end{array} \right.\end{array}\)
Với \(u = 3\) ta có \(\sqrt {x - 1} = 3\) \( \Leftrightarrow x - 1 = 9\)\( \Leftrightarrow x = 10\) (thỏa mãn)
Vậy hệ phương trình có nghiệm \(\left( {x;y} \right) = \left( {10; - 3} \right)\)
Người ta làm các viên đá hình cầu có bán kính là 2cm. Cho 6 viên đá như vậy vào một cốc thủy tinh hình trụ rồi rót nước giải khát vào cho đầy cốc. Biết rằng cột nước hình trụ ở cốc có bán kính đáy là 3cm và chiều cao cột nước là 12cm. Hãy tính thể tích nước giải khát rót vào cốc? (Lấy \(\pi \approx 3,14\), kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).
Câu trả lời của bạn
Thể tích cốc nước hình trụ có bán kính đáy \(3cm\) và chiều cao \(12cm\) là \({V_1} = \pi {.3^2}.12 = 108\pi \left( {c{m^3}} \right)\)
Thể tích 6 viên đá hình cầu bán kính 2cm là \({V_2} = 6.\dfrac{4}{3}\pi {.2^3} = 64\pi \left( {c{m^3}} \right)\)
Thể tích nước giải khát rót vào cốc là \(V = {V_1} - {V_2}\)\( = 108\pi - 64\pi \) \( = 44\pi \approx 138,16\left( {c{m^3}} \right)\)
Một công nhân phải may 120 chiếc khẩu trang vải trong 1 thời gian quy định. Khi thực hiện, nhờ cải tiến kỹ thuật nên mỗi giờ người đó may thêm được 3 chiếc khẩu trang và hoàn thành kế hoạch sớm hơn 2 giờ. Cho biết số khẩu trang công nhân phải may trong 1 giờ theo quy định?
Câu trả lời của bạn
Gọi số khẩu trang công nhân phải may trong 1 giờ theo quy định là \(x\left( {x > 0} \right)\)(chiếc)
Thời gian công nhân may 120 chiếc khẩu trang theo quy định là \(\dfrac{{120}}{x}\) giờ
Theo thực tế, mỗi giờ công nhân may được số khẩu trang là \(x + 3\) chiếc
Thời gian công nhân may 120 chiếc khẩu trang theo thực tế là \(\dfrac{{120}}{{x + 3}}\) giờ
Vì công nhân hoành thành kế hoạch sớm hơn 2 giờ nên ta có phương trình:
\(\dfrac{{120}}{x} - \dfrac{{120}}{{x + 3}} = 2\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \dfrac{{120\left( {x + 3} \right) - 120x}}{{x\left( {x + 3} \right)}} = 2\\ \Leftrightarrow \dfrac{{120x + 360 - 120x}}{{x\left( {x + 3} \right)}} = 2\\ \Leftrightarrow \dfrac{{360}}{{{x^2} + 3x}} = 2\\ \Rightarrow 360 = 2{x^2} + 6x\\ \Leftrightarrow 2{x^2} + 6x - 360 = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} + 3x - 180 = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} - 12x + 15x - 180 = 0\\ \Leftrightarrow x\left( {x - 12} \right) + 15\left( {x - 12} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 12} \right)\left( {x + 15} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 12 = 0\\x + 15 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 12\left( {tm} \right)\\x = - 15\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)
Vậy số khẩu trang công nhân phải may trong 1 giờ theo quy định là \(12\) chiếc.
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *