Ở chương II, chúng ta đã biết về hàm số bậc nhất, nó được viết dưới dạng phương trình của một đường thẳng, bài học ôn tập chương Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn cho chúng ta hệ gồm 2 phương trình bậc nhất, chúng có các vị trí tương đối như song song, cắt nhau hoặc trùng nhau... điều đó ảnh hưởng trực tiếp đến số nghiệm của hệ. Chúng ta cùng củng cố lại kiến thức về Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn nhé
Phương trình bậc nhất hai ẩn là phương trình đường thẳng có dạng \(ax+by=c\)
Trong đó: hệ số a, b, c cho trước và a;b không đồng thời bằng 0.
Về tập nghiệm:
Phương trình bậc nhất hai ẩn có vô số nghiệm nhưng đều phụ thuộc lẫn nhau
Nói cách khác, nghiệm của hệ được viết dưới dạng \(\left\{\begin{matrix} x\epsilon \mathbb{R}\\ y=-\frac{a}{b}x+\frac{c}{b} \end{matrix}\right. (b\neq 0)\)
Hệ được viết dưới dạng:
\(\left\{\begin{matrix} ax+by=c\\ a'x+b'y=c' \end{matrix}\right.(1)\)
Chúng là các phương trình đường thẳng
Các vị trí tương đối của hai phương trình đường thẳng gồm:
2 đường thẳng cắt nhau thì (1) có nghiệm duy nhất
2 đường thẳng trùng nhau thì (1) có vô số nghiệm
2 đường thẳng song song thì (1) vô nghiệm
1. Phương pháp thế:
-Biến đổi hệ phương trình đã cho thành hệ mới, và trong đó một phương trình có một ẩn
-Tìm ra ẩn đó rồi suy ra nghiệm của hệ
2. Phương pháp cộng đại số
Nhân hai vế của một phương trình với hằng số thích hợp sao cho hệ số một ẩn nào đó bằng nhau hoặc đối nhau
-Cộng hoặc trừ theo vế nhằm triệt tiêu một ẩn
-Tìm ra ẩn đó rồi suy ra nghiệm của hệ
Bước 1: Lập hệ phương trình
Chọn ẩn và đặt điều kiện cho ẩn
Biểu đạt các đại lượng khác nhau theo ẩn
Dựa vào đề bài toán, lập phương trình theo dạng đã học
Bước 2: Giải hệ phương trình
Bước 3: So sánh kết quả tìm được và chọn nghiệm thích hợp
Bài 1: Trong các cặp số sau \((-2;1),(-3;-4),(4;3),(3;0)\) cặp nào là nghiệm của phương trình \(2x-3y=6\)
Hướng dẫn:
Thế lần lượt các nghiệm vào phương trình trên, ta được
\(2(-2)-3.1=-7\)
\(2(-3)-3.(-4)=6\)
\(2.4-3.3=1\)
\(2.3-3.0=6\)
Vậy, ta chỉ nhận hai cặp đó là \((-3;-4),(3;0)\)
Bài 2: Không vẽ hình, hãy cho biết số nghiệm của mỗi hệ sau và giải thích
\(\left\{\begin{matrix} y=2x-5\\ y=3-x \end{matrix}\right.\)
\(\left\{\begin{matrix} y=\frac{1}{2}x+6\\ y=5-2x \end{matrix}\right.\)
\(\left\{\begin{matrix} y=10x+2017\\ y=10x-3 \end{matrix}\right.\)
\(\left\{\begin{matrix} y=2x+1\\ 2x-y+1=0 \end{matrix}\right.\)
Hướng dẫn:
\(\left\{\begin{matrix} y=2x-5\\ y=3-x \end{matrix}\right.\)
Nhận thấy rằng hệ trên gồm 2 đường thằng, có hệ số góc khác nhau, nên cắt nhau tại 1 điểm, vậy hệ có 1 nghiệm
\(\left\{\begin{matrix} y=\frac{1}{2}x+6\\ y=5-2x \end{matrix}\right.\)
Tương tự với hệ trên, tuy nhiên có 1 điều đặc biệt đó là tích hai hệ số góc là \(\frac{1}{2}.(-2)=-1\) nên nếu dùng phương pháp hình học, ta thấy rằng chúng vuông góc với nhau.
\(\left\{\begin{matrix} y=10x+2017\\ y=10x-3 \end{matrix}\right.\)
Hệ này gồm hai phương trình có hệ số \(a=a';b\neq b'\) nên chúng song song với nhau vô nghiệm.
\(\left\{\begin{matrix} y=2x+1\\ 2x-y+1=0 \end{matrix}\right.\)
Biến đổi tương đương ta được: \(\left\{\begin{matrix} y=2x+1\\y=2x+1 \end{matrix}\right.\)
Hệ này gồm hai phương trình có hệ số \(a=a';b=b'\) nên chúng trùng nhau và có vô số nghiệm.
Bài 3: Giải hệ bằng phương pháp thế: \(\left\{\begin{matrix} x-y=8\\ 5x+4y=-2 \end{matrix}\right.\); \(\left\{\begin{matrix} 3x+2y=10\\ -x+4y=-9 \end{matrix}\right.\)
Hướng dẫn:
\(\left\{\begin{matrix} x-y=8\\ 5x+4y=-2 \end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=y+8\\ 5x+4y=-2 \end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=y+8\\ 5(y+8)+4y=-2 \end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=y+8\\ 9y=-42 \end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=y+8\\ y=-\frac{42}{9} \end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=\frac{10}{3}\\ y=-\frac{42}{9} \end{matrix}\right.\)
\(\left\{\begin{matrix} 3x+2y=10\\ -x+4y=-9 \end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 3x+2y=10 \\ x=9+4y \end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 3(4y+9)+2y=10 \\ x=9+4y \end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 14y=-17 \\ x=9+4y \end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} y=-\frac{17}{14} \\ x=9+4y \end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} y=\frac{29}{7} \\ y=-\frac{17}{14} \end{matrix}\right.\)
Bài 4: Giải hệ bằng phương pháp cộng đại số: \(\left\{\begin{matrix} x-3y=10\\ 2x+y=0 \end{matrix}\right.\);\(\left\{\begin{matrix} 4x-y=8\\ -x+2y=-2 \end{matrix}\right.\)
Hướng dẫn:
\(\left\{\begin{matrix} x-3y=10\\ 2x+y=0 \end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2x-6y=20\\ 2x+y=0 \end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} -7y=20\\ 2x+y=0 \end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} y=-\frac{20}{7}\\ 2x+y=0 \end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=\frac{10}{7}\\ y=-\frac{20}{7} \end{matrix}\right.\)
\(\left\{\begin{matrix} 4x-y=8\\ -x+2y=-2 \end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 8x-2y=16\\ -x+2y=-2 \end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 7x=14\\ -x+2y=-2 \end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=2\\ -x+2y=-2 \end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=2\\ y=0 \end{matrix}\right.\)
Bài 5: Tìm hai số tự nhiên, biết rằng tổng của chúng là 1006, nếu lấy số lớn chia cho số nhỏ ta được thương là 2 và dư 124
Hướng dẫn:
Gọi hai số tự nhiên cần tìm là \(a,b(a,b\epsilon \mathbb{N};a>b>124)\)
Theo đề, ta có: \(\left\{\begin{matrix} a+b=1006\\ a=2b+124 \end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2b+124+b=1006\\ a=2b+124 \end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 3b=882\\ a=2b+124 \end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} b=294\\ a=2b+124 \end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} b=294\\ a=712 \end{matrix}\right.\)
Để cũng cố bài học, xin mời các em cũng làm bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 9 Chương 3 Bài 7 với những câu hỏi củng cố bám sát nội dung bài học. Bên cạnh đó các em có thể nêu thắc mắc của mình thông qua phần Hỏi đáp Toán 9 Chương 3 Bài 7 cộng đồng Toán DapAnHay sẽ sớm giải đáp cho các em.
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 9 Chương 3 Bài 7 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Toán 9
-- Mod Toán Học 9 DapAnHay
Cho hai phương trình đường thẳng \(y=2x-3\) và \(x-y=1\).
Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng đó là:
Giải hệ phương trình: \(\left\{\begin{matrix} x=2y+1\\ x-2y+5=0 \end{matrix}\right.\) ta nhận được nghiệm của hệ là:
Nghiệm của hệ \(\left\{\begin{matrix} x-y\sqrt{3}=0\\ x\sqrt{3}+2y=3\sqrt{2} \end{matrix}\right.\) là:
Tính độ dài hai cạnh góc vuông, biết rằng tăng mỗi cạnh lên \(3(cm)\) thì diện tích sẽ tăng lên \(36(cm^2)\). Và nếu giảm một cạnh đi \(2(cm)\) một cạnh đi \(4(cm)\) thì diện tích sẽ giảm \(26(cm^2)\).
Tìm một số có hai chữ số, biết rằng: Nếu lấy số đó nhân với tổng hai chữ số ấy ta được tích là 115. Nếu lấy số đó đảo ngược lại và vẫn đem nhân cho tổng hai chữ số ấy ta được tích là 60.
Giải các hệ phương trình sau và minh họa hình học kết quả tìm được:
a)\(\left\{ \matrix{2{\rm{x}} + 5y = 2 \hfill \cr {2 \over 5}x + y = 1 \hfill \cr} \right.\)
b) \(\left\{ \matrix{0,2{\rm{x}} + 0,1y = 0,3 \hfill \cr 3{\rm{x}} + y = 5 \hfill \cr} \right.\)
c) \(\left\{ \matrix{{3 \over 2}x - y = {1 \over 2} \hfill \cr 3{\rm{x}} - 2y = 1 \hfill \cr} \right.\)
Giải các hệ phương trình sau:
a)
\(\left\{ \matrix{
x\sqrt 5 - \left( {1 + \sqrt 3 } \right)y = 1 \hfill \cr
\left( {1 - \sqrt 3 } \right)x + y\sqrt 5 = 1 \hfill \cr} \right.\)
b)
\(\left\{ \matrix{
{{2{\rm{x}}} \over {x + 1}} + {y \over {y + 1}} = \sqrt 2 \hfill \cr
{x \over {x + 1}} + {{3y} \over {y + 1}} = - 1 \hfill \cr} \right.\)
Giải hệ phương trình\(\left\{ \matrix{2{\rm{x}} - y = m \hfill \cr 4{\rm{x}} - {m^2}y = 2\sqrt 2 \hfill \cr} \right.\) trong mỗi trường hợp sau:
a) \(m = -\sqrt{2}\)
b) \(m = \sqrt{2}\)
c) \(m = 1\)
Hai người ở hai địa điểm A và B cách nhau \(3,6\) km, khởi hành cùng một lúc, đi ngược chiều nhau và gặp nhau ở một địa điểm cách A là \(2\) km. Nếu cả hai cùng giữ nguyên vận tốc như trường hợp trên, nhưng người đi chậm hơn xuất phát trước người kia \(6\) phút thì họ sẽ gặp nhau ở chính giữa quãng đường. Tính vận tốc của mỗi người.
Một vật có khối lượng 124 g và thể tích 15 \(c{m^3}\) là hợp kim của đồng và kẽm. Tính xem trong đó có bao nhiêu gam đồng và bao nhiêu gam kẽm, biết rằng cứ 89 g đồng thì có thể tích là 10cm3 và 7g kẽm có thể tích là 1cm3
Hai đội xây dựng làm chung một công việc và dự định hoàn thành trong 12 ngày. Nhưng khi làm chung được 8 ngày thì đội I được điều động đi làm việc khác. Tuy chỉ còn một mình độ II làm việc nhưng do cải tiến cách làm, năng suất của đội II tăng gấp đôi nên họ làm xong phần việc còn lại trong 3,5 ngày. Hỏi với năng suất ban đầu, nếu mỗi đội làm một mình thì phải làm trong bao nhiêu ngày mới xong công việc trên?
Năm ngoái, hai đơn vị sản xuất nông nghiệp thu hoạch được 720 tấn thóc. Năm nay, đơn vị thứ nhất làm vượt mức 15% , đơn vị thứ hai làm vượt mức 12% so với năm ngoái. Do đó cả hai đơn vị thu hoạch được 819 tấn thóc. Hỏi mỗi năm, mỗi đơn vị thu hoạch được bao nhiêu tấn thóc?
Giải các hệ phương trình sau:
\(a)\left\{ {\matrix{
{4x + y = - 5} \cr
{3x - 2y = - 12} \cr} } \right.\)
\(b)\left\{ {\matrix{
{x + 3y = 4y - x + 5} \cr
{2x - y = 3x - 2\left( {y + 1} \right)} \cr} } \right.\)
\(c)\left\{ {\matrix{
{3\left( {x + y} \right) + 9 = 2\left( {x - y} \right)} \cr
{2\left( {x + y} \right) = 3\left( {x - y} \right) - 11} \cr} } \right.\)
\(d)\left\{ {\matrix{
{2\left( {x + 3} \right) = 3\left( {y + 1} \right) + 1} \cr
{3\left( {x - y + 1} \right) = 2\left( {x - 2} \right) + 3} \cr} } \right.\)
Giải các hệ phương trình sau:
\(a)\left\{ {\matrix{
{\sqrt 3 x - 2\sqrt 2 y = 7} \cr
{\sqrt 2 x + 3\sqrt 3 y = - 2\sqrt 6 } \cr} } \right.\)
\(b)\left\{ {\matrix{
{\left( {\sqrt 2 + 1} \right)x - \left( {2 - \sqrt 3 } \right)y = 2} \cr
{\left( {2 + \sqrt 3 } \right)x + \left( {\sqrt 2 - 1} \right)y = 2} \cr} } \right.\)
Tìm các giá trị của \(a\) và \(b\) để hệ phương trình:
\(\left\{ {\matrix{
{ax + by = 3} \cr
{2ax - 3by = 36} \cr} } \right.\)
có nghiệm là \((3; -2).\)
Tìm một số có hai chữ số biết rằng \(2\) lần chữ số hàng chục lớn hơn \(5\) lần chữ số hàng đơn vị là \(1\) và chữ số hàng chục chia cho chữ số hàng đơn vị được thương là \(2\) và dư cũng là \(2.\)
Một xe lửa phải vận chuyển một lượng hàng. Nếu xếp vào mỗi toa \(15\) tấn hàng thì còn thừa lại \(3\) tấn, nếu xếp vào mỗi toa \(16\) tấn thì còn có thể chở thêm \(5\) tấn nữa. Hỏi xe lửa có mấy toa và phải chở bao nhiêu tấn hàng?
Hai đội xe chở cát để san lấp một khu đất. Nếu hai đội cùng làm thì trong \(12\) ngày xong việc. Nhưng hai đội chỉ cùng làm trong \(8\) ngày. Sau đó đội thứ nhất làm tiếp một mình trong \(7\) ngày nữa thì xong việc. Hỏi mỗi đội làm một mình thì bao lâu xong việc.
Hai xe lửa khởi hành đồng thời từ hai ga cách nhau \(750km\) và đi ngược chiều nhau, sau \(10\) giờ chúng gặp nhau. Nếu xe thứ nhất khởi hành trước xe thứ hai \(3\) giờ \(45\) phút thì sau khi xe thứ hai đi được \(8\) giờ chúng gặp nhau. Tính vận tốc của mỗi xe.
Giải các hệ phương trình:
\(a)\left\{ {\matrix{
{\left( {x + 3} \right)\left( {y + 5} \right) = \left( {x + 1} \right)\left( {y + 8} \right)} \cr
{\left( {2x - 3} \right)\left( {5y + 7} \right) = 2\left( {5x - 6} \right)\left( {y + 1} \right)} \cr} } \right.\)
\(b)\left\{ {\matrix{
{{{2x - 3} \over {2y - 5}} = {{3x + 1} \over {3y - 4}}} \cr
{2\left( {x - 3} \right) - 3\left( {y + 2} \right) = - 16} \cr} } \right.\)
Năm nay người ta áp dụng kĩ thuật mới trên hai cánh đồng trồng lúa ở ấp Minh Châu. Vì thế lượng lúa thu được trên cánh đồng thứ nhất tăng lên 30% so với năm ngoái, trên cánh đồng thứ hai lượng lúa thu được tăng 20%. Tổng cộng cả hai cánh đồng thu được \(630\) tấn. Hỏi trên mỗi cánh đồng năm nay thu được bao nhiêu lúa, biết rằng trên cả hai cánh đồng này năm ngoái chỉ thu được \(500\) tấn?
Người ta trộn hai loại quặng sắt với nhau, một loại chứa 72% sắt, loại thứ hai chứa 58% sắt được một loại quặng chứa 62% sắt. Nếu tăng khối lượng của mỗi loại quặng thêm \(15\) tấn thì được một loại quặng chứa 63,25% sắt. Tìm khối lượng quặng của mỗi loại đã trộn.
Một người đi ngựa và một người đi bộ đều đi từ bản \(A\) đến bản \(B\). Người đi ngựa đến \(B\) trước người đi bộ \(50\) phút rồi lập tức quay trở về \(A\) và gặp người đi bộ tại một địa điểm cách \(B\) là \(2km\). Trên cả quãng đường từ \(A\) đến \(B\) và ngược lại, người đi ngựa đi hết \(1\) giờ \(40\) phút. Hãy tính khoảng cách \(AB\) và vận tốc của mỗi người.
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
Hãy xác định các hệ số a, b để đồ thị hàm số \(y = ax + b\) đi qua hai điểm \(A\left( {2; - 2} \right)\) và \(B\left( { - 3;2} \right)\)
Câu trả lời của bạn
Đồ thị hàm số \(y = ax + b\) đi qua hai điểm \(A\left( {2; - 2} \right)\) và \(B\left( { - 3;2} \right)\) nên ta có hệ phương trình:
\(\left\{ \begin{array}{l}2a + b = - 2\\ - 3a + b = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5a = - 4\\b = 2 + 3a\end{array} \right. \)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - \dfrac{4}{5}\\b = - \dfrac{2}{5}\end{array} \right.\)
Vậy ta có \(a = - \dfrac{4}{5};\;\;b = - \dfrac{2}{5}.\)
Hãy rút gọn biểu thức \(P = \left( {\dfrac{{\sqrt x }}{{3 + \sqrt x }} + \dfrac{{9 + x}}{{9 - x}}} \right).\left( {3\sqrt x - x} \right)\) với \(x \ge 0\) và \(x \ne 9\)
Câu trả lời của bạn
Điều kiện: \(x \ge 0,\;\;x \ne 9.\)
\(\begin{array}{l}P = \left( {\dfrac{{\sqrt x }}{{3 + \sqrt x }} + \dfrac{{9 + x}}{{9 - x}}} \right).\left( {3\sqrt x - x} \right)\\\;\;\; = \left( {\dfrac{{\sqrt x .\left( {3 - \sqrt x } \right)}}{{\left( {3 - \sqrt x } \right)\left( {3 + \sqrt x } \right)}} + \dfrac{{9 + x}}{{\left( {3 - \sqrt x } \right)\left( {3 + \sqrt x } \right)}}} \right).\left( {3\sqrt x - x} \right)\\\;\;\; = \dfrac{{9 + 3\sqrt x }}{{\left( {3 - \sqrt x } \right)\left( {3 + \sqrt x } \right)}}.\left( {3\sqrt x - x} \right)\\\;\;\; = \dfrac{{3\left( {3 + \sqrt x } \right)}}{{3 + \sqrt x }}.\sqrt x \\\;\;\; = 3\sqrt x .\end{array}\)
Hãy thực hiện phép tính \(\dfrac{{\sqrt {27} }}{{\sqrt 3 }}\)
Câu trả lời của bạn
\(\dfrac{{\sqrt {27} }}{{\sqrt 3 }} = \sqrt {\dfrac{{27}}{3}} = \sqrt 9 = 3.\)
Cho phương trình sau \({x^2} + 5x + m = 0\left( * \right)\) (m là tham số ). Hãy tìm m để phương trình (*) có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn \(9{x_1} + 2{x_2} = 18\)
Câu trả lời của bạn
+) Phương trình (*) có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\) khi và chỉ khi \(\Delta \ge 0 \Leftrightarrow 25 - 4m \ge 0 \Leftrightarrow m \le \dfrac{{25}}{4}\)
+) Áp dụng hệ thức Vi-et cho phương trình (*) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - 5\,\,\left( 1 \right)\\{x_1}.{x_2} = m\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)
Kết hợp (1) và (3) ta được hệ phương trình:
\(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - 5\\9{x_1} + 2{x_2} = 18\end{array} \right. \)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2{x_1} + 2{x_2} = - 10\\9{x_1} + 2{x_2} = 18\end{array} \right. \)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 7{x_1} = - 28\\{x_2} = - 5 - {x_1}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} = 4\\{x_2} = - 9\end{array} \right.\)
Thay \({x_1} = 4;{x_2} = - 9\) vào (2) ta được: \(4.\left( { - 9} \right) = m \Leftrightarrow m = - 36\left( {tm} \right)\)
Vậy \(m = - 36\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Cho phương trình sau \({x^2} + 5x + m = 0\left( * \right)\) (m là tham số ). Giải phương trình (*) khi \(m = - 3\)
Câu trả lời của bạn
Thay \(m = - 3\) vào phương trình (*) ta có: \({x^2} + 5x - 3 = 0\)
Ta có: \(a = 1;b = 5;c = - 3;\)
\(\Delta = {b^2} - 4ac = {5^2} + 12 = 37 > 0\)
Khi đó phương trình có 2 nghiệm phân biệt: \(\left[ \begin{array}{l}{x_1} = \dfrac{{ - 5 - \sqrt {37} }}{2}\\{x_2} = \dfrac{{ - 5 + \sqrt {37} }}{2}\end{array} \right.\)
Vậy khi \(m = - 3\) thì phương trình (*) có tập nghiệm là: \(S = \left\{ {\dfrac{{ - 5 - \sqrt {37} }}{2};\dfrac{{ - 5 + \sqrt {37} }}{2}} \right\}\)
Giải hệ phương trình sau đây \(\left\{ \begin{array}{l}x + 2y = 12\\3x - y = 1\end{array} \right.\)
Câu trả lời của bạn
\(\left\{ \begin{array}{l}x + 2y = 12\\3x - y = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 2y = 12\\y = 3x - 1\end{array} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 2\left( {3x - 1} \right) = 12\\y = 3x - 1\end{array} \right. \)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}7x = 14\\y = 3x - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 5\end{array} \right.\)
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất \(\left( {x;\;y} \right) = \left( {2;\;5} \right).\)
Rút gọn biểu thức đã cho sau: \(B = \left( {\dfrac{1}{{\sqrt x - 1}} - \dfrac{1}{{\sqrt x + 1}}} \right):\dfrac{{x + 1}}{{x - 1}}\) với \(x \ge 0\) và \(x \ne \pm 1\)
Câu trả lời của bạn
\(B = \left( {\dfrac{1}{{\sqrt x - 1}} - \dfrac{1}{{\sqrt x + 1}}} \right):\dfrac{{x + 1}}{{x - 1}}\) với \(x \ge 0\) và \(x \ne \pm 1\)
\(\begin{array}{l}B = \left( {\dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} - \dfrac{{\sqrt x - 1}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}} \right):\dfrac{{x + 1}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}\\\;\; = \dfrac{{\sqrt x + 1 - \sqrt x + 1}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}.\dfrac{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{x + 1}}\\\;\; = \dfrac{2}{{x + 1}}.\end{array}\)
Rút gọn biểu thức đã cho sau: \(A = \sqrt {12} + \sqrt {27} - \sqrt {48} \)
Câu trả lời của bạn
\(\begin{array}{l}A = \sqrt {12} + \sqrt {27} - \sqrt {48} \\\,\,\,\,\, = \sqrt {{2^2}.3} + \sqrt {{3^2}.3} - \sqrt {{4^2}.3} \\\,\,\,\,\, = 2\sqrt 3 + 3\sqrt 3 - 4\sqrt 3 \\\,\,\,\,\, = \sqrt 3 .\end{array}\)
Giả sử có x, y là các số thực dương thỏa mãn \(xy + 1 \le x\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(Q = \dfrac{{x + y}}{{\sqrt {3{x^2} - xy + {y^2}} }}\)
Câu trả lời của bạn
Ta có: \(xy + 1 \le x,\,\,(x,y > 0) \Leftrightarrow y + \dfrac{1}{x} \le 1\)
Áp dụng BĐT Cô si, ta có: \(y + \dfrac{1}{x} \ge 2\sqrt {y.\dfrac{1}{x}} = 2\sqrt {\dfrac{y}{x}} \)
\(\Rightarrow 1 \ge 2\sqrt {\dfrac{y}{x}} \Leftrightarrow 0 < \dfrac{y}{x} \le \dfrac{1}{4}\)
\(Q = \dfrac{{x + y}}{{\sqrt {3{x^2} - xy + {y^2}} }} = \dfrac{{1 + \dfrac{y}{x}}}{{\sqrt {3 - \dfrac{y}{x} + \dfrac{{{y^2}}}{{{x^2}}}} }}\) . Đặt \(\dfrac{y}{x} = a,\,\,0 < a \le \dfrac{1}{4}\), ta có:
\(Q = \dfrac{{1 + a}}{{\sqrt {3 - a + {a^2}} }} = \sqrt {\dfrac{{{a^2} + 2a + 1}}{{{a^2} - a + 3}}} \) , \(0 < a \le \dfrac{1}{4}\)
Ta chứng minh: \(\dfrac{{{a^2} + 2a + 1}}{{{a^2} - a + 3}} \le \dfrac{5}{9}\,\,(*),\,\,\forall 0 < a \le \dfrac{1}{4}\)
\(\left( * \right) \Leftrightarrow 9({a^2} + 2a + 1) \le 5({a^2} - a + 3)\) ( do \({a^2} - a + 3 > 0,\,\,\forall a\))
\( \Leftrightarrow 4{a^2} + 23a - 6 \le 0 \)
\(\Leftrightarrow 4{a^2} - a + 24a - 6 \le 0\)
\(\Leftrightarrow a(4a - 1) + 6(4a - 1) \le 0\)
\(\Leftrightarrow (4a - 1)(a + 6) \le 0\)
Do \(0 < a \le \dfrac{1}{4}\) \( \Rightarrow 4a - 1 \le 0,\,\,a + 6 > 0 \Rightarrow (4a - 1)(a + 6) \le 0\)
\( \Rightarrow \dfrac{{{a^2} + 2a + 1}}{{{a^2} - a + 3}} \le \dfrac{5}{9}\,\,,\,\,\forall 0 < a \le \dfrac{1}{4}\)
\( \Rightarrow Q = \sqrt {\dfrac{{{a^2} + 2a + 1}}{{{a^2} - a + 3}}} \le \sqrt {\dfrac{5}{9}} = \dfrac{{\sqrt 5 }}{3}\),\(\forall 0 < a \le \dfrac{1}{4}\)
Vậy, \({Q_{max}} = \dfrac{{\sqrt 5 }}{3}\) khi và chỉ khi \(a = \dfrac{1}{4} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{y}{x} = \dfrac{1}{4}\\y + \dfrac{1}{x} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\)
Ta cho parabol \(\left( P \right):\;\;y = {x^2}\) và đường thẳng \(\left( d \right):\;\;y = 3x - 2.\) Tìm tọa độ giao điểm của \(\left( P \right)\) và \(\left( d \right)\) bằng phép tính.
Câu trả lời của bạn
Hoành độ giao điểm của \(\left( d \right)\) và \(\left( P \right)\) là nghiệm của phương trình:
\(\begin{array}{l}{x^2} = 3x - 2 \Leftrightarrow {x^2} - 3x + 2 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 1 = 0\\x - 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1 \Rightarrow y = 1\\x = 2 \Rightarrow y = 4\end{array} \right..\end{array}\)
Vậy đường thẳng \(\left( d \right)\) cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt: \(\left( {1;\;1} \right)\) và \(\left( {2;\;\;4} \right).\)
Cho đường tròn tâm \(\left( {O;R} \right)\) có đường kính AB vuông góc với dây cung MN tại H (H nằm giữa O và B). Trên tia MN lấy điểm C nằm ngoài đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) sao cho đoạn thẳng AC cắt đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) tại điểm K (K khác A), hai dây MN và BK cắt nhau ở E. Hãy chứng minh rằng tứ giác AHEK là tứ giác nội tiếp.
Câu trả lời của bạn
a) Chứng minh rằng tứ giác AHEK là tứ giác nội tiếp.
Ta có \(\widehat {AKB} = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) \( \Rightarrow \widehat {AKE} = {90^0}\).
Xét tứ giác AHEK có \(\widehat {AKE} + \widehat {AHE} = {90^0} + {90^0} = {180^0} \Rightarrow \) tứ giác AHEK là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 1800).
Mối quan hệ giữa thang nhiệt độ F (Fahrenheit) và thang nhiệt độ C (Celsius) được cho bởi công thức \({T_F} = 1,8.{T_C} + 32,\) trong đó \({T_C}\) là nhiệt độ tính theo độ C và \({T_F}\) là nhiệt độ tính theo độ F. Ví dụ \({T_C} = {0^0}\) C tương ứng với \({T_F} = {32^0}\) F. Cho biết \({25^0}\) C tương ứng với bao nhiêu độ F ?
Câu trả lời của bạn
Với \({T_C} = {25^0}\) C thay vào biểu thức \({T_F} = 1,8.{T_C} + 32,\) ta được \({T_F} = 1,8.25 + 32 = {77^0}\) F.
Vậy \({25^0}\) C tương ứng với 77 độ F.
A. \(\dfrac{1}{2}\)
B. \(1\)
C. \(\sqrt 2 \)
D. \(\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\)
Câu trả lời của bạn
Xét hình vuông ABCD có các cạnh là 1.
Tâm đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD là giao điểm O của hai đường chéo AC và BD.
Áp dụng định lý Pi-ta-go cho tam giác ABC vuông tại B ta có:
\(A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} = 1 + 1 = 2\) \( \Rightarrow AC = \sqrt 2 .\)
Có O là trung điểm của AC nên: \(OA = OC = R = \dfrac{{AC}}{2} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}.\)
Chọn D.
A. \(m = - 1\) B. \(m = 3\)
C. \(m = 0\) D. \(m = 1\)
Câu trả lời của bạn
Điểm \(E\left( {1;\;\;0} \right)\) thuộc đồ thị hàm số \(y = x + m - 2\) nên ta có:
\(0 = 1 + m - 2 \Leftrightarrow m = 1.\)
Chọn D.
Vào năm học 2017 – 2018, trường THCS Tiến Thành có ba lớp 9 gồm 9A, 9B, 9C trong đó lớp 9A có 35 học sinh và lớp 9B có 40 học sinh. Tổng kết cuối năm, lớp 9A có 15 học sinh đạt danh hiệu học sinh giỏi, lớp 9B có 12 học sinh đạt danh hiệu học sinh giỏi, lớp 9C có 20% học sinh đạt danh hiệu học sinh giỏi và toàn khối 9 có 30% học sinh đạt danh hiệu học sinh giỏi. Hãy cho biết lớp 9C có bao nhiêu học sinh?
Câu trả lời của bạn
Gọi số học sinh lớp 9C là \(x\) (học sinh) \(\left( {x \in N*} \right).\)
Khi đó số học sinh toàn khối 9 là: \(40 + 35 + x = 75 + x\) (học sinh).
Số học sinh giỏi lớp 9C là: \(20\% x = \dfrac{x}{5}\) (học sinh).
Số học sinh giỏi toàn khối là: \(15 + 12 + \dfrac{x}{5} = \dfrac{{x + 135}}{5}\) (học sinh).
Khối 9 có \(30\% \) số học sinh giỏi nên ta có phương trình:
\(\begin{array}{l}\;\;\;\;\dfrac{{x + 135}}{5}:\left( {x + 75} \right) = \dfrac{{30}}{{100}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{x + 135}}{{5\left( {x + 75} \right)}} = \dfrac{3}{{10}}\\ \Leftrightarrow 2\left( {x + 135} \right) = 3\left( {x + 75} \right)\\ \Leftrightarrow 2x + 270 = 3x + 225\\ \Leftrightarrow x = 45\;\;\left( {tm} \right).\end{array}\)
Vậy số học sinh lớp 9C là 45 học sinh.
Cho phương trình sau \(3{x^2} - x - 1 = 0\) có \(2\) nghiệm là \({x_1},{x_2}\). Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức \(A = x_1^2 + x_2^2\).
Câu trả lời của bạn
Áp dụng hệ thức Vi-et ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - \dfrac{b}{a} = \dfrac{1}{3}\\{x_1}{x_2} = \dfrac{c}{a} = - \dfrac{1}{3}\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow A = x_1^2 + x_2^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2}\)\(\, = {\left( {\dfrac{1}{3}} \right)^2} - 2.\left( { - \dfrac{1}{3}} \right) = \dfrac{1}{9} + \dfrac{2}{3} = \dfrac{7}{9}\).
Vậy \(A = \dfrac{7}{9}\).
A. 3 B. -3
C. 6 D. -6
Câu trả lời của bạn
Ta có: \(a = 1;\;b = - 3;\;c = - 6.\)
Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có: \({x_1} + {x_2} = - \dfrac{b}{a} = 3.\)
Chọn A.
Hãy tìm tọa độ giao điểm \(A,\;B\) của đồ thị hàm số \(y = {x^2}\) và \(y = x + 2.\) Gọi \(D,\;C\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của \(A,\;B\) lên trục hoành. Tính diện tích tứ giác \(ABCD.\)
Câu trả lời của bạn
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số là: \({x^2} = x + 2\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {x^2} - x - 2 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + 1 = 0\\x - 2 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1 \Rightarrow A\left( { - 1;\;1} \right)\\x = 2 \Rightarrow B\left( {2;\;4} \right)\end{array} \right..\end{array}\)
C là hình chiếu của B trên trục hoành \( \Rightarrow C\left( {2;\;0} \right).\)
D là hình chiếu của A trên trục hoành \( \Rightarrow D\left( { - 1;\;0} \right).\)
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy ABCD là hình thang vuông tại D và C.
\(\begin{array}{l} \Rightarrow {S_{ABCD}} = \dfrac{{\left( {AD + CB} \right).CD}}{2} \\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;= \dfrac{{\left( {AD + CB} \right).\left( {DO + OC} \right)}}{2}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;= \dfrac{{\left( {1 + 4} \right)\left( {1 + 2} \right)}}{2} \\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;= \dfrac{{15}}{2} = 7,5\;\;\left( {dvdt} \right).\end{array}\)
Vậy diện tích tứ giác ABCD là: \(7,5\;dvdt.\)
A.\({a^2}\)
B. \(a\)
C. \( \pm a\)
D. \( - a\)
Câu trả lời của bạn
Ta có: \(\dfrac{{\sqrt {{a^3}} }}{{\sqrt a }} = \sqrt {\dfrac{{{a^3}}}{a}} = \sqrt {{a^2}} = \left| a \right| = a\;\;\left( {do\;\;a > 0} \right).\)
Chọn B.
Nhân dịp Tết Thiếu nhi 01/06, một nhóm học sinh cần chia đều một số lượng quyển vở thành các phần quà để tặng cho các em nhỏ tại một mái ấm tình thương. Nếu mỗi phần quà giảm 2 quyển thì các em sẽ có thêm 2 phần quà nữa, còn nếu mỗi phần quà giảm 4 quyển thì các em sẽ có thêm 5 phần quà nữa. Cho biết ban đầu có bao nhiêu phần quà và mỗi phần quà có bao nhiêu quyển vở?
Câu trả lời của bạn
Gọi số phần quà ban đầu là \(x\) (phần) \(\left( {x \in N*} \right).\)
Gọi số quyển vở có trong mỗi phần quà là \(y\) (quyển vở) \(\left( {y \in N*} \right).\)
\( \Rightarrow \) Tổng số quyển vở của nhóm học sinh có là: \(xy\) (quyển).
Nếu mỗi phần quà giảm 2 quyển thì số có thêm 2 phần quà nữa nên ta có phương trình:
\(xy = \left( {x + 2} \right)\left( {y - 2} \right)\)
\(\Leftrightarrow 2y - 2x - 4 = 0 \)
\(\Leftrightarrow y - x = 2.\;\;\left( 1 \right)\)
Nếu mỗi phần quả giảm 4 quyển thì có thêm 5 phần quà nữa nên ta có phương trình:
\(xy = \left( {x + 5} \right)\left( {y - 4} \right) \)
\(\Leftrightarrow 5y - 4x - 20 = 0 \)
\(\Leftrightarrow 5y - 4x = 20\;\;\;\;\left( 2 \right)\)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:
\(\left\{ \begin{array}{l}y - x = 2\\5y - 4x = 20\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5y - 5x = 10\\5y - 4x = 20\end{array} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 10\\y = x + 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 10\;\;\left( {tm} \right)\\y = 12\;\;\;\left( {tm} \right)\end{array} \right..\)
Vậy ban đầu có 10 phần quà và mỗi phần quà có 12 quyển vở.
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *