Có hai bến xe khách \(P\) và \(Q\). Một người đi xe đạp từ \(P\) đến \(Q\) với vận tốc không đổi, nhận thấy cứ \(15\) phút lại có một xe khách đi cùng chiều vượt qua và cứ \(10\) phút lại gặp một xe khách đi ngược chiều. Giả thiết rằng các xe khách chạy với cùng một vận tốc, không dừng lại trên đường và ở cả hai bến, cứ \(x\) phút lại có một xe rời bến. Hỏi thời gian \(x\) là bao nhiêu phút và vận tốc xe khách bằng bao nhiêu lần vận tốc người đi xe đạp?
Hướng dẫn giải
Sử dụng:
- Cách giải bài toán bằng cách lập hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn :
Bước \(1\): Lập hệ phương trình
+ Chọn hai ẩn và đặt điều kiện thích hợp cho chúng
+ Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo các ẩn và các đại lượng đã biết
+ Lập hai phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.
Bước \(2\): Giải hệ phương trình nói trên.
Bước \(3\): Kiểm tra xem trong các nghiệm của hệ phương trình, nghiệm nào thích hợp với bài toán và kết luận.
- Công thức tính quãng đường đi được: \(S=v.t;\)
Trong đó \(S\) là quãng đường đi được \((km)\); \(v\) là vận tốc \((km/h)\); \(t\) là thời gian \((h)\).
Lời giải chi tiết
Gọi vận tốc người đi xe đạp là y (km/phút)
Vận tốc xe khách là z (km/phút)
Điều kiện: z > y > 0
Xét trường hợp các xe khách đi cùng chiều với xe đạp.
Giả sử xe khách thứ nhất vượt xe đạp ở điểm B thì xe khách thứ hai ở điểm A như hình vẽ.
Hai xe khởi hành cách nhau x phút nên quãng đường xe khách đi đoạn AB dài xz (km).
Gọi điểm xe khách thứ hai vượt xe đạp là C thì quãng đường BC người đi xe đạp hết 15 phút nên đoạn BC dài là: 15y (km). Quãng đường AC là quãng đường xe khách đi hết 15 phút nên đoạn AC dài 15z (km).
Ta có phương trình: xz + 15y = 15z
Xét trường hợp các xe khách đi ngược chiều với xe đạp.
Giả sử người đi xe đạp gặp xe khách thứ nhất tại điểm D thì xe khách thứ hai ở vị trí E như hình vẽ.
Hai xe khách khởi hành cách nhau x phút nên đoạn đường DE xe khách đi dài xz (km). Sau đó 10 phút xe đạp gặp xe khách thứ hai tại điểm F thì quãng đường hai xe đi bằng đoạn đường DE)
Ta có phương trình: 10y + 10z = xz
Ta có hệ phương trình:
\(\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{xz + 15y = 15z} \cr
{10y + 10z = xz} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{xz + 15y = 15z} \cr
{xz - 10y = 10z} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x + 15{y \over z} = 15} \cr
{x - 10{y \over z} = 10} \cr} } \right. \cr} \)
Đặt \({y \over z} = t\) ta có:
\(\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{x + 15t = 15} \cr
{x - 10t = 10} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{25t = 5} \cr
{x - 10t = 10} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{t = {1 \over 5}} \cr
{x - 10.{1 \over 5} = 10} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{t = {1 \over 5}} \cr
{x = 12} \cr} } \right. \cr} \)
Suy ra: \(x = 12;{y \over z} = {1 \over 5} \Rightarrow 5y = z\)
Cả hai giá trị đều thỏa mãn điều kiện bài toán.
Vậy cứ 12 phút lại có một chuyến xe khách rời bến và vấn tốc của xe khách gấp 5 lần vận tốc của xe đạp.
-- Mod Toán 9