Ở chương II, chúng ta đã biết về hàm số bậc nhất, nó được viết dưới dạng phương trình của một đường thẳng, bài học ôn tập chương Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn cho chúng ta hệ gồm 2 phương trình bậc nhất, chúng có các vị trí tương đối như song song, cắt nhau hoặc trùng nhau... điều đó ảnh hưởng trực tiếp đến số nghiệm của hệ. Chúng ta cùng củng cố lại kiến thức về Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn nhé
Phương trình bậc nhất hai ẩn là phương trình đường thẳng có dạng \(ax+by=c\)
Trong đó: hệ số a, b, c cho trước và a;b không đồng thời bằng 0.
Về tập nghiệm:
Phương trình bậc nhất hai ẩn có vô số nghiệm nhưng đều phụ thuộc lẫn nhau
Nói cách khác, nghiệm của hệ được viết dưới dạng \(\left\{\begin{matrix} x\epsilon \mathbb{R}\\ y=-\frac{a}{b}x+\frac{c}{b} \end{matrix}\right. (b\neq 0)\)
Hệ được viết dưới dạng:
\(\left\{\begin{matrix} ax+by=c\\ a'x+b'y=c' \end{matrix}\right.(1)\)
Chúng là các phương trình đường thẳng
Các vị trí tương đối của hai phương trình đường thẳng gồm:
2 đường thẳng cắt nhau thì (1) có nghiệm duy nhất
2 đường thẳng trùng nhau thì (1) có vô số nghiệm
2 đường thẳng song song thì (1) vô nghiệm
1. Phương pháp thế:
-Biến đổi hệ phương trình đã cho thành hệ mới, và trong đó một phương trình có một ẩn
-Tìm ra ẩn đó rồi suy ra nghiệm của hệ
2. Phương pháp cộng đại số
Nhân hai vế của một phương trình với hằng số thích hợp sao cho hệ số một ẩn nào đó bằng nhau hoặc đối nhau
-Cộng hoặc trừ theo vế nhằm triệt tiêu một ẩn
-Tìm ra ẩn đó rồi suy ra nghiệm của hệ
Bước 1: Lập hệ phương trình
Chọn ẩn và đặt điều kiện cho ẩn
Biểu đạt các đại lượng khác nhau theo ẩn
Dựa vào đề bài toán, lập phương trình theo dạng đã học
Bước 2: Giải hệ phương trình
Bước 3: So sánh kết quả tìm được và chọn nghiệm thích hợp
Bài 1: Trong các cặp số sau \((-2;1),(-3;-4),(4;3),(3;0)\) cặp nào là nghiệm của phương trình \(2x-3y=6\)
Hướng dẫn:
Thế lần lượt các nghiệm vào phương trình trên, ta được
\(2(-2)-3.1=-7\)
\(2(-3)-3.(-4)=6\)
\(2.4-3.3=1\)
\(2.3-3.0=6\)
Vậy, ta chỉ nhận hai cặp đó là \((-3;-4),(3;0)\)
Bài 2: Không vẽ hình, hãy cho biết số nghiệm của mỗi hệ sau và giải thích
\(\left\{\begin{matrix} y=2x-5\\ y=3-x \end{matrix}\right.\)
\(\left\{\begin{matrix} y=\frac{1}{2}x+6\\ y=5-2x \end{matrix}\right.\)
\(\left\{\begin{matrix} y=10x+2017\\ y=10x-3 \end{matrix}\right.\)
\(\left\{\begin{matrix} y=2x+1\\ 2x-y+1=0 \end{matrix}\right.\)
Hướng dẫn:
\(\left\{\begin{matrix} y=2x-5\\ y=3-x \end{matrix}\right.\)
Nhận thấy rằng hệ trên gồm 2 đường thằng, có hệ số góc khác nhau, nên cắt nhau tại 1 điểm, vậy hệ có 1 nghiệm
\(\left\{\begin{matrix} y=\frac{1}{2}x+6\\ y=5-2x \end{matrix}\right.\)
Tương tự với hệ trên, tuy nhiên có 1 điều đặc biệt đó là tích hai hệ số góc là \(\frac{1}{2}.(-2)=-1\) nên nếu dùng phương pháp hình học, ta thấy rằng chúng vuông góc với nhau.
\(\left\{\begin{matrix} y=10x+2017\\ y=10x-3 \end{matrix}\right.\)
Hệ này gồm hai phương trình có hệ số \(a=a';b\neq b'\) nên chúng song song với nhau vô nghiệm.
\(\left\{\begin{matrix} y=2x+1\\ 2x-y+1=0 \end{matrix}\right.\)
Biến đổi tương đương ta được: \(\left\{\begin{matrix} y=2x+1\\y=2x+1 \end{matrix}\right.\)
Hệ này gồm hai phương trình có hệ số \(a=a';b=b'\) nên chúng trùng nhau và có vô số nghiệm.
Bài 3: Giải hệ bằng phương pháp thế: \(\left\{\begin{matrix} x-y=8\\ 5x+4y=-2 \end{matrix}\right.\); \(\left\{\begin{matrix} 3x+2y=10\\ -x+4y=-9 \end{matrix}\right.\)
Hướng dẫn:
\(\left\{\begin{matrix} x-y=8\\ 5x+4y=-2 \end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=y+8\\ 5x+4y=-2 \end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=y+8\\ 5(y+8)+4y=-2 \end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=y+8\\ 9y=-42 \end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=y+8\\ y=-\frac{42}{9} \end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=\frac{10}{3}\\ y=-\frac{42}{9} \end{matrix}\right.\)
\(\left\{\begin{matrix} 3x+2y=10\\ -x+4y=-9 \end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 3x+2y=10 \\ x=9+4y \end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 3(4y+9)+2y=10 \\ x=9+4y \end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 14y=-17 \\ x=9+4y \end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} y=-\frac{17}{14} \\ x=9+4y \end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} y=\frac{29}{7} \\ y=-\frac{17}{14} \end{matrix}\right.\)
Bài 4: Giải hệ bằng phương pháp cộng đại số: \(\left\{\begin{matrix} x-3y=10\\ 2x+y=0 \end{matrix}\right.\);\(\left\{\begin{matrix} 4x-y=8\\ -x+2y=-2 \end{matrix}\right.\)
Hướng dẫn:
\(\left\{\begin{matrix} x-3y=10\\ 2x+y=0 \end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2x-6y=20\\ 2x+y=0 \end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} -7y=20\\ 2x+y=0 \end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} y=-\frac{20}{7}\\ 2x+y=0 \end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=\frac{10}{7}\\ y=-\frac{20}{7} \end{matrix}\right.\)
\(\left\{\begin{matrix} 4x-y=8\\ -x+2y=-2 \end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 8x-2y=16\\ -x+2y=-2 \end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 7x=14\\ -x+2y=-2 \end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=2\\ -x+2y=-2 \end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=2\\ y=0 \end{matrix}\right.\)
Bài 5: Tìm hai số tự nhiên, biết rằng tổng của chúng là 1006, nếu lấy số lớn chia cho số nhỏ ta được thương là 2 và dư 124
Hướng dẫn:
Gọi hai số tự nhiên cần tìm là \(a,b(a,b\epsilon \mathbb{N};a>b>124)\)
Theo đề, ta có: \(\left\{\begin{matrix} a+b=1006\\ a=2b+124 \end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2b+124+b=1006\\ a=2b+124 \end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 3b=882\\ a=2b+124 \end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} b=294\\ a=2b+124 \end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} b=294\\ a=712 \end{matrix}\right.\)
Để cũng cố bài học, xin mời các em cũng làm bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 9 Chương 3 Bài 7 với những câu hỏi củng cố bám sát nội dung bài học. Bên cạnh đó các em có thể nêu thắc mắc của mình thông qua phần Hỏi đáp Toán 9 Chương 3 Bài 7 cộng đồng Toán DapAnHay sẽ sớm giải đáp cho các em.
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 9 Chương 3 Bài 7 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Toán 9
-- Mod Toán Học 9 DapAnHay
Cho hai phương trình đường thẳng \(y=2x-3\) và \(x-y=1\).
Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng đó là:
Giải hệ phương trình: \(\left\{\begin{matrix} x=2y+1\\ x-2y+5=0 \end{matrix}\right.\) ta nhận được nghiệm của hệ là:
Nghiệm của hệ \(\left\{\begin{matrix} x-y\sqrt{3}=0\\ x\sqrt{3}+2y=3\sqrt{2} \end{matrix}\right.\) là:
Tính độ dài hai cạnh góc vuông, biết rằng tăng mỗi cạnh lên \(3(cm)\) thì diện tích sẽ tăng lên \(36(cm^2)\). Và nếu giảm một cạnh đi \(2(cm)\) một cạnh đi \(4(cm)\) thì diện tích sẽ giảm \(26(cm^2)\).
Tìm một số có hai chữ số, biết rằng: Nếu lấy số đó nhân với tổng hai chữ số ấy ta được tích là 115. Nếu lấy số đó đảo ngược lại và vẫn đem nhân cho tổng hai chữ số ấy ta được tích là 60.
Giải các hệ phương trình sau và minh họa hình học kết quả tìm được:
a)\(\left\{ \matrix{2{\rm{x}} + 5y = 2 \hfill \cr {2 \over 5}x + y = 1 \hfill \cr} \right.\)
b) \(\left\{ \matrix{0,2{\rm{x}} + 0,1y = 0,3 \hfill \cr 3{\rm{x}} + y = 5 \hfill \cr} \right.\)
c) \(\left\{ \matrix{{3 \over 2}x - y = {1 \over 2} \hfill \cr 3{\rm{x}} - 2y = 1 \hfill \cr} \right.\)
Giải các hệ phương trình sau:
a)
\(\left\{ \matrix{
x\sqrt 5 - \left( {1 + \sqrt 3 } \right)y = 1 \hfill \cr
\left( {1 - \sqrt 3 } \right)x + y\sqrt 5 = 1 \hfill \cr} \right.\)
b)
\(\left\{ \matrix{
{{2{\rm{x}}} \over {x + 1}} + {y \over {y + 1}} = \sqrt 2 \hfill \cr
{x \over {x + 1}} + {{3y} \over {y + 1}} = - 1 \hfill \cr} \right.\)
Giải hệ phương trình\(\left\{ \matrix{2{\rm{x}} - y = m \hfill \cr 4{\rm{x}} - {m^2}y = 2\sqrt 2 \hfill \cr} \right.\) trong mỗi trường hợp sau:
a) \(m = -\sqrt{2}\)
b) \(m = \sqrt{2}\)
c) \(m = 1\)
Hai người ở hai địa điểm A và B cách nhau \(3,6\) km, khởi hành cùng một lúc, đi ngược chiều nhau và gặp nhau ở một địa điểm cách A là \(2\) km. Nếu cả hai cùng giữ nguyên vận tốc như trường hợp trên, nhưng người đi chậm hơn xuất phát trước người kia \(6\) phút thì họ sẽ gặp nhau ở chính giữa quãng đường. Tính vận tốc của mỗi người.
Một vật có khối lượng 124 g và thể tích 15 \(c{m^3}\) là hợp kim của đồng và kẽm. Tính xem trong đó có bao nhiêu gam đồng và bao nhiêu gam kẽm, biết rằng cứ 89 g đồng thì có thể tích là 10cm3 và 7g kẽm có thể tích là 1cm3
Hai đội xây dựng làm chung một công việc và dự định hoàn thành trong 12 ngày. Nhưng khi làm chung được 8 ngày thì đội I được điều động đi làm việc khác. Tuy chỉ còn một mình độ II làm việc nhưng do cải tiến cách làm, năng suất của đội II tăng gấp đôi nên họ làm xong phần việc còn lại trong 3,5 ngày. Hỏi với năng suất ban đầu, nếu mỗi đội làm một mình thì phải làm trong bao nhiêu ngày mới xong công việc trên?
Năm ngoái, hai đơn vị sản xuất nông nghiệp thu hoạch được 720 tấn thóc. Năm nay, đơn vị thứ nhất làm vượt mức 15% , đơn vị thứ hai làm vượt mức 12% so với năm ngoái. Do đó cả hai đơn vị thu hoạch được 819 tấn thóc. Hỏi mỗi năm, mỗi đơn vị thu hoạch được bao nhiêu tấn thóc?
Giải các hệ phương trình sau:
\(a)\left\{ {\matrix{
{4x + y = - 5} \cr
{3x - 2y = - 12} \cr} } \right.\)
\(b)\left\{ {\matrix{
{x + 3y = 4y - x + 5} \cr
{2x - y = 3x - 2\left( {y + 1} \right)} \cr} } \right.\)
\(c)\left\{ {\matrix{
{3\left( {x + y} \right) + 9 = 2\left( {x - y} \right)} \cr
{2\left( {x + y} \right) = 3\left( {x - y} \right) - 11} \cr} } \right.\)
\(d)\left\{ {\matrix{
{2\left( {x + 3} \right) = 3\left( {y + 1} \right) + 1} \cr
{3\left( {x - y + 1} \right) = 2\left( {x - 2} \right) + 3} \cr} } \right.\)
Giải các hệ phương trình sau:
\(a)\left\{ {\matrix{
{\sqrt 3 x - 2\sqrt 2 y = 7} \cr
{\sqrt 2 x + 3\sqrt 3 y = - 2\sqrt 6 } \cr} } \right.\)
\(b)\left\{ {\matrix{
{\left( {\sqrt 2 + 1} \right)x - \left( {2 - \sqrt 3 } \right)y = 2} \cr
{\left( {2 + \sqrt 3 } \right)x + \left( {\sqrt 2 - 1} \right)y = 2} \cr} } \right.\)
Tìm các giá trị của \(a\) và \(b\) để hệ phương trình:
\(\left\{ {\matrix{
{ax + by = 3} \cr
{2ax - 3by = 36} \cr} } \right.\)
có nghiệm là \((3; -2).\)
Tìm một số có hai chữ số biết rằng \(2\) lần chữ số hàng chục lớn hơn \(5\) lần chữ số hàng đơn vị là \(1\) và chữ số hàng chục chia cho chữ số hàng đơn vị được thương là \(2\) và dư cũng là \(2.\)
Một xe lửa phải vận chuyển một lượng hàng. Nếu xếp vào mỗi toa \(15\) tấn hàng thì còn thừa lại \(3\) tấn, nếu xếp vào mỗi toa \(16\) tấn thì còn có thể chở thêm \(5\) tấn nữa. Hỏi xe lửa có mấy toa và phải chở bao nhiêu tấn hàng?
Hai đội xe chở cát để san lấp một khu đất. Nếu hai đội cùng làm thì trong \(12\) ngày xong việc. Nhưng hai đội chỉ cùng làm trong \(8\) ngày. Sau đó đội thứ nhất làm tiếp một mình trong \(7\) ngày nữa thì xong việc. Hỏi mỗi đội làm một mình thì bao lâu xong việc.
Hai xe lửa khởi hành đồng thời từ hai ga cách nhau \(750km\) và đi ngược chiều nhau, sau \(10\) giờ chúng gặp nhau. Nếu xe thứ nhất khởi hành trước xe thứ hai \(3\) giờ \(45\) phút thì sau khi xe thứ hai đi được \(8\) giờ chúng gặp nhau. Tính vận tốc của mỗi xe.
Giải các hệ phương trình:
\(a)\left\{ {\matrix{
{\left( {x + 3} \right)\left( {y + 5} \right) = \left( {x + 1} \right)\left( {y + 8} \right)} \cr
{\left( {2x - 3} \right)\left( {5y + 7} \right) = 2\left( {5x - 6} \right)\left( {y + 1} \right)} \cr} } \right.\)
\(b)\left\{ {\matrix{
{{{2x - 3} \over {2y - 5}} = {{3x + 1} \over {3y - 4}}} \cr
{2\left( {x - 3} \right) - 3\left( {y + 2} \right) = - 16} \cr} } \right.\)
Năm nay người ta áp dụng kĩ thuật mới trên hai cánh đồng trồng lúa ở ấp Minh Châu. Vì thế lượng lúa thu được trên cánh đồng thứ nhất tăng lên 30% so với năm ngoái, trên cánh đồng thứ hai lượng lúa thu được tăng 20%. Tổng cộng cả hai cánh đồng thu được \(630\) tấn. Hỏi trên mỗi cánh đồng năm nay thu được bao nhiêu lúa, biết rằng trên cả hai cánh đồng này năm ngoái chỉ thu được \(500\) tấn?
Người ta trộn hai loại quặng sắt với nhau, một loại chứa 72% sắt, loại thứ hai chứa 58% sắt được một loại quặng chứa 62% sắt. Nếu tăng khối lượng của mỗi loại quặng thêm \(15\) tấn thì được một loại quặng chứa 63,25% sắt. Tìm khối lượng quặng của mỗi loại đã trộn.
Một người đi ngựa và một người đi bộ đều đi từ bản \(A\) đến bản \(B\). Người đi ngựa đến \(B\) trước người đi bộ \(50\) phút rồi lập tức quay trở về \(A\) và gặp người đi bộ tại một địa điểm cách \(B\) là \(2km\). Trên cả quãng đường từ \(A\) đến \(B\) và ngược lại, người đi ngựa đi hết \(1\) giờ \(40\) phút. Hãy tính khoảng cách \(AB\) và vận tốc của mỗi người.
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
Giải hệ: \(\left\{ \begin{array}{l}\sqrt {x - 1} - 2y = 9\\3\sqrt {x - 1} + y = 6\end{array} \right.\) .
Câu trả lời của bạn
Điều kiện: \(x \ge 1\)
Đặt \(\sqrt {x - 1} = u\left( {u \ge 0} \right)\), ta có hệ phương trình:
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}u - 2y = 9\\3u + y = 6\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}u - 2y = 9\\6u + 2y = 12\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}u - 2y = 9\\7u = 21\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}u = 3\\3 - 2y = 9\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}u = 3\\ - 2y = 6\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}u = 3\left( {tm} \right)\\y = - 3\end{array} \right.\end{array}\)
Với \(u = 3\) ta có \(\sqrt {x - 1} = 3\) \( \Leftrightarrow x - 1 = 9\)\( \Leftrightarrow x = 10\) (thỏa mãn)
Vậy hệ phương trình có nghiệm \(\left( {x;y} \right) = \left( {10; - 3} \right)\)
Cho phương trình \({x^2} - \left( {m + 2} \right)x + m = 0\). Chứng minh rằng phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi \(m.\)
Câu trả lời của bạn
Phương trình \({x^2} - \left( {m + 2} \right)x + m = 0\) là phương trình bậc hai có:
\(\Delta = {\left( {m + 2} \right)^2} - 4m\) \( = {m^2} + 4m + 4 - 4m\) \( = {m^2} + 4\)
Vì \({m^2} \ge 0\) với mọi \(m\) nên \({m^2} + 4 \ge 4 > 0\) với mọi \(m\).
Suy ra phương trình \({x^2} - \left( {m + 2} \right)x + m = 0\) luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi \(m.\)
Cho phương trình \({x^2} - \left( {m + 2} \right)x + m = 0\). Tìm giá trị \(m\) để phương trình có 2 nghiệm phân biệt \({x_1};{x_2}\) thỏa mãn \(x_1^2 + x_2^2 = 7\)
Câu trả lời của bạn
ta có phương trình \({x^2} - \left( {m + 2} \right)x + m = 0\) luôn có 2 nghiệm phân biệt \({x_1};{x_2}\) với mọi \(m.\)
Theo hệ thức Vi-et ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = m + 2\\{x_1}.{x_2} = m\end{array} \right.\)
Ta có: \(x_1^2 + x_2^2 = 7\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_2}{x_2} = 7\\ \Leftrightarrow {\left( {m + 2} \right)^2} - 2m = 7\\ \Leftrightarrow {m^2} + 4m + 4 - 2m - 7 = 0\\ \Leftrightarrow {m^2} + 2m - 3 = 0\\ \Leftrightarrow {m^2} - m + 3m - 3 = 0\\ \Leftrightarrow m\left( {m - 1} \right) + 3\left( {m - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {m - 1} \right)\left( {m + 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m - 1 = 0\\m + 3 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = - 3\end{array} \right.\end{array}\)
Vậy \(m = 1;m = - 3\) thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Hãy giải : \(\sqrt {2x - 5} + 2\sqrt {7 - x} \) \( = \sqrt 3 {x^2} - 8\sqrt 3 x + 19\sqrt 3 \)
Câu trả lời của bạn
ĐK: \(\left\{ \begin{array}{l}2x - 5 \ge 0\\7 - x \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge \dfrac{5}{2}\\x \le 7\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \dfrac{5}{2} \le x \le 7\)
Áp dụng BĐT Bunhia ta có:
\(\begin{array}{l}V{T^2} = {\left( {\sqrt {2x - 5} + 2\sqrt {7 - x} } \right)^2}\\ = {\left( {1.\sqrt {2x - 5} + \sqrt 2 .\sqrt {14 - 2x} } \right)^2}\\ \le \left[ {{1^2} + {{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2}} \right]\left[ {{{\left( {\sqrt {2x - 5} } \right)}^2} + {{\left( {\sqrt {14 - 2x} } \right)}^2}} \right]\\ = \left( {1 + 2} \right)\left( {2x - 5 + 14 - 2x} \right)\\ = 3.9 = 27\\ \Rightarrow V{T^2} \le 27\\ \Rightarrow VT \le 3\sqrt 3 \end{array}\)
Lại có,
\(\begin{array}{l}VP = \sqrt 3 {x^2} - 8\sqrt 3 x + 19\sqrt 3 \\ = \sqrt 3 \left( {{x^2} - 8x + 16} \right) + 3\sqrt 3 \\ = \sqrt 3 {\left( {x - 4} \right)^2} + 3\sqrt 3 \\ \ge \sqrt 3 .0 + 3\sqrt 3 \\ = 3\sqrt 3 \\ \Rightarrow VP \ge \sqrt 3 \end{array}\)
Do đó \(VT \le 3\sqrt 3 \le VP\).
Dấu “=” xảy ra khi \(VT = 3\sqrt 3 = VP\)
\( \Leftrightarrow {\left( {x - 4} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow x = 4\).
Có \(A = \dfrac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x - 3}}\). Tính giá trị của A khi \(x = 36.\)
Câu trả lời của bạn
Thay \(x = 36\) (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức A ta được
\(A = \dfrac{{\sqrt {36} - 1}}{{\sqrt {36} - 3}}\) \( = \dfrac{{6 - 1}}{{6 - 3}} = \dfrac{5}{3}\)
Vậy với \(x = 36\) thì \(A = \dfrac{5}{3}\)
Rút gọn biểu thức B, biết \(B = \dfrac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x + 1}} - \dfrac{5}{{1 - \sqrt x }} + \dfrac{4}{{x - 1}}\) với \(x \ge 0;x \ne 1;x \ne 9\)
Câu trả lời của bạn
Với \(x \ge 0;x \ne 1;x \ne 9\), ta có:
\(B = \dfrac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x + 1}} - \dfrac{5}{{1 - \sqrt x }} + \dfrac{4}{{x - 1}}\)
\( = \dfrac{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}} + \dfrac{{5\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}\) \( + \dfrac{4}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}\)
\( = \dfrac{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right) + 5\left( {\sqrt x + 1} \right) + 4}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}\)
\(\begin{array}{l} = \dfrac{{x + 2\sqrt x - 3 + 5\sqrt x + 5 + 4}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}\\ = \dfrac{{x + 7\sqrt x + 6}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}\\ = \dfrac{{x + 6\sqrt x + \sqrt x + 6}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}\\ = \dfrac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 6} \right) + \left( {\sqrt x + 6} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}\\ = \dfrac{{\left( {\sqrt x + 6} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}\\ = \dfrac{{\sqrt x + 6}}{{\sqrt x - 1}}\end{array}\)
Vậy \(B = \dfrac{{\sqrt x + 6}}{{\sqrt x - 1}}\) với \(x \ge 0;x \ne 1;x \ne 9\)
Khi uống trà sữa, người ta thường dùng ống hút bằng nhựa hình trụ có đường kính đáy 0,9cm, độ dài trục 21cm. Cho biết khi thải ra ngoài môi trường, diện tích nhựa gây ô nhiễm môi trường do 1000 ống hút gây ra là bao nhiêu?
Câu trả lời của bạn
Bán kính đáy ống hút là: \(0,9:2 = 0,45cm\)
Diện tích nhựa gây ô nhiễm do 1000 ống hút gây ra bằng với diện tích xung quanh của 1000 ống hút hình trụ có bán kính đáy 0,45cm và chiều cao 21cm.
Diện tích gây ô nhiễm cùa 1000 ống hút là: \(S = 1000.\left( {2\pi .0,45.21} \right)\) \( = 18900\pi \left( {c{m^2}} \right)\)
Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình: Một người mua một cái bàn là và một cái quạt điện với tổng số tiền theo giá niêm yết là 850 nghìn đồng. Khi trả tiền người đó được khuyến mại giảm 20% đối với giá tiền bàn là và 10% đối với giá tiền quạt điện so với giá niêm yết. Vì vậy, người đó phải trả tổng cộng 740 nghìn đồng. Hãy tính giá tiền của cái bàn là và cái quạt điện theo giá niêm yết.
Câu trả lời của bạn
Gọi giá tiền của 1 cái bàn là và 1 cái quạt điện lần lượt là \(x;y\) (nghìn đồng) \(\left( {0 < x,y < 840} \right)\)
Vì 1 cái bàn là và 1 cái quạt điện có tổng số tiền theo giá niêm yết là 850 nghìn đồng nên ta có phương trình:
\(x + y = 850\) (1)
Thực tế, giá tiền 1 cái bàn là là: \(\left( {100\% - 20\% } \right).x = 0,8x\) nghìn đồng
Thực tế, giá tiền 1 cái quạt điện là \(\left( {100\% - 10\% } \right)y = 0,9y\) nghìn đồng
Vì thực tế người đó phải trả tổng cộng 740 nghìn đồng nên ta có phương trình:
\(0,8x + 0,9y = 740\) (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:
\(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 850\\0,8x + 0,9y = 740\end{array} \right.\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}0,8x + 0,8y = 680\\0,8x + 0,9y = 740\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}0,1y = 60\\x + y = 850\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 600\\x + 600 = 850\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 600\left( {tm} \right)\\x = 250\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)
Vậy giá tiền niêm yết của 1 cái bàn là là 250 nghìn đồng
Giá niêm yết của 1 cái quạt điện là 600 nghìn đồng.
Giải: \(\left\{ \begin{array}{l} - 3\left( {x + 1} \right) - y = 5\\4x - 5\left( {y - 2} \right) = 12\end{array} \right.\)
Câu trả lời của bạn
\(\left\{ \begin{array}{l} - 3\left( {x + 1} \right) - y = 5\\4x - 5\left( {y - 2} \right) = 12\end{array} \right.\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 3x - 3 - y - 5 = 0\\4x - 5y + 10 - 12 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 3x - y - 8 = 0\\4x - 5y - 2 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 15x - 5y - 40 = 0\\4x - 5y - 2 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}19x + 38 = 0\\4x - 5y - 2 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}19x = - 38\\4x - 5y - 2 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 2\\4.\left( { - 2} \right) - 5y - 2 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 2\\ - 5y - 10 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 2\\ - 5y = 10\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 2\\y = - 2\end{array} \right.\end{array}\)
Vậy hệ phương trình có nghiệm \(\left( {x;y} \right) = \left( { - 2; - 2} \right)\)
Giải: \(3{x^2} + 4\left( {x - 2} \right) = 7\).
Câu trả lời của bạn
\(3{x^2} + 4\left( {x - 2} \right) = 7\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 3{x^2} + 4x - 8 - 7 = 0\\ \Leftrightarrow 3{x^2} + 4x - 15 = 0\end{array}\)
Ta có: \(\Delta ' = {2^2} - 3.\left( { - 15} \right)\)\( = 49 > 0\)
Nên phương trình có hai nghiệm:
\(\left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{{ - 2 + \sqrt {49} }}{3}\\x = \dfrac{{ - 2 - \sqrt {49} }}{3}\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{5}{3}\\x = - 3\end{array} \right.\)
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là \(x = - 3;x = \dfrac{5}{3}.\)
Cho ba số thực \(x,y,z > 0\) thỏa mãn \(x + y + z \ge 6.\) Xác định giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau \(P = \dfrac{{{x^3} + {y^3}}}{{{x^2} + {y^2}}} + \dfrac{{{y^3} + {z^3}}}{{{y^2} + {z^2}}}\) \( + \dfrac{{{z^3} + {x^3}}}{{{z^2} + {x^2}}}\)
Câu trả lời của bạn
Ta chứng minh \(\dfrac{{{x^3} + {y^3}}}{{{x^2} + {y^2}}} \ge \dfrac{1}{2}\left( {x + y} \right)\)
Thật vậy, ta có:
\(\dfrac{{{x^3} + {y^3}}}{{{x^2} + {y^2}}} \ge \dfrac{1}{2}\left( {x + y} \right)\)
\( \Leftrightarrow 2\left( {{x^3} + {y^3}} \right) \ge \left( {x + y} \right)\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\) (vì \({x^2} + {y^2} > 0\))
\( \Leftrightarrow 2\left( {x + y} \right)\left( {{x^2} - xy + {y^2}} \right)\) \( - \left( {x + y} \right)\left( {{x^2} + {y^2}} \right) \ge 0\)
\( \Leftrightarrow \left( {x + y} \right)\left( {2{x^2} - 2xy + 2{y^2} - {x^2} - {y^2}} \right) \ge 0\)
\( \Leftrightarrow \left( {x + y} \right)\left( {{x^2} - 2xy + {y^2}} \right) \ge 0\)
\( \Leftrightarrow \left( {x + y} \right){\left( {x - y} \right)^2} \ge 0\) (luôn đúng với mọi \(x,y > 0\))
Vậy \(\dfrac{{{x^3} + {y^3}}}{{{x^2} + {y^2}}} \ge \dfrac{1}{2}\left( {x + y} \right)\)
Tương tự ta có \(\dfrac{{{y^3} + {z^3}}}{{{y^2} + {z^2}}} \ge \dfrac{1}{2}\left( {y + z} \right)\) và \(\dfrac{{{x^3} + {z^3}}}{{{x^2} + {z^2}}} \ge \dfrac{1}{2}\left( {x + z} \right)\)
Suy ra \(\dfrac{{{x^3} + {y^3}}}{{{x^2} + {y^2}}} + \dfrac{{{y^3} + {z^3}}}{{{y^2} + {z^2}}} + \dfrac{{{x^3} + {z^3}}}{{{x^2} + {z^2}}}\) \( \ge \dfrac{1}{2}\left( {x + y} \right)\)\( + \dfrac{1}{2}\left( {y + z} \right) + \dfrac{1}{2}\left( {x + z} \right)\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow P \ge \dfrac{1}{2}\left( {2x + 2y + 2z} \right)\\ \Leftrightarrow P \ge x + y + z \ge 6\\ \Leftrightarrow P \ge 6\end{array}\)
Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = y\\y = z\\x = z\\x + y + z = 6\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow x = y = z = 2\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của \(P\) là \(6\) khi \(x = y = z = 2\).
Cho \({x^4} - 2m{x^2} + {m^2} - 4 = 0\). Giải phương trình với \(m = 3.\)
Câu trả lời của bạn
Thay \(m = 3\) vào phương trình (*) ta được:
\(\begin{array}{l}{x^4} - 6{x^2} + 5 = 0\\ \Leftrightarrow {x^4} - 5{x^2} - {x^2} + 5 = 0\\ \Leftrightarrow {x^2}\left( {{x^2} - 5} \right) - \left( {{x^2} - 5} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {{x^2} - 1} \right)\left( {{x^2} - 5} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} = 1\\{x^2} = 5\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \pm 1\\x = \pm \sqrt 5 \end{array} \right.\end{array}\)
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm \(S = \left\{ { \pm 1; \pm \sqrt 5 } \right\}\) với \(m = 3.\)
Giải hệ pt sau: \(\left\{ \begin{array}{l}2\sqrt {x - 2} + \sqrt {y - 1} = 5\\\sqrt {x - 2} + \sqrt {y - 1} = 3\end{array} \right.\)
Câu trả lời của bạn
Điều kiện: \(x \ge 2;y \ge 1\)
\(\left\{ \begin{array}{l}2\sqrt {x - 2} + \sqrt {y - 1} = 5\\\sqrt {x - 2} + \sqrt {y - 1} = 3\end{array} \right.\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt {x - 2} = 2\\\sqrt {x - 2} + \sqrt {y - 1} = 3\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 2 = 4\\2 + \sqrt {y - 1} = 3\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 6\\\sqrt {y - 1} = 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 6\\y - 1 = 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 6\left( {tm} \right)\\y = 2\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)
Vậy hệ phương trình có nghiệm \(\left( {x;y} \right) = \left( {6;2} \right)\)
Cho \({x^4} - 2m{x^2} + {m^2} - 4 = 0\). Tìm m để phương trình có 3 nghiệm phân biệt.
Câu trả lời của bạn
Đặt \({x^2} = t\left( {t \ge 0} \right)\) ta có phương trình:
\({t^2} - 2mt + {m^2} - 4 = 0\) (1)
Để phương trình (*) có 3 nghiệm phân biệt thì phương trình (1) có 1 nghiệm \({t_1} = 0\) và một ngiệm \({t_2} > 0\)
Thay \(t = 0\) vào phương trình (1) ta được: \({m^2} - 4 = 0 \Leftrightarrow {m^2} = 4\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 2\\m = - 2\end{array} \right.\)
Với \(m = - 2\) ta có phương trình \({t^2} + 2t = 0 \Leftrightarrow t\left( {t + 2} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 0\\t = - 2\end{array} \right.\) (loại vì \(t = - 2 < 0\))
Với \(m = 2\) ta có phương trình \({t^2} - 2t = 0 \Leftrightarrow t\left( {t - 2} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 0\\t = 2\end{array} \right.\) (thỏa mãn)
Vậy với \(m = 2\) thì phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt.
Có \({x^2} - \left( {m - 3} \right)x + m - 4 = 0\). Tìm \(m\) để phương trình có 2 nghiệm thỏa: \(x_1^2 + x_2^2 + 5{x_1} + 5{x_2} = 30\).
Câu trả lời của bạn
Vì phương trình (*) luôn có nghiệm với mọi \(m\) (theo câu a) nên gọi \({x_1};{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình, theo hệ thức Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = m - 3\\{x_1}{x_2} = m - 4\end{array} \right.\)
Xét \(x_1^2 + x_2^2 + 5{x_1} + 5{x_2} = 30\)
\( \Leftrightarrow x_1^2 + x_2^2 + 2{x_1}{x_2} - 2{x_1}{x_2}\) \( + 5{x_1} + 5{x_2} = 30\)
\( \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2}\) \( + 5\left( {{x_1} + {x_2}} \right) = 30\)
\( \Leftrightarrow {\left( {m - 3} \right)^2} - 2\left( {m - 4} \right)\) \( + 5\left( {m - 3} \right) = 30\)
\( \Leftrightarrow {m^2} - 6m + 9 - 2m + 8\) \( + 5m - 15 - 30 = 0\)
\( \Leftrightarrow {m^2} - 3m - 28 = 0\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {m^2} - 7m + 4m - 28 = 0\\ \Leftrightarrow m\left( {m - 7} \right) + 4\left( {m - 7} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {m - 7} \right)\left( {m + 4} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m - 7 = 0\\m + 4 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 7\\m = - 4\end{array} \right.\end{array}\)
Vậy \(m = 7;m = - 4\) thỏa mãn yêu cầu đề bài.
A. \(2\) B. \( - 2\)
C. \(1\) D. \( - 1\)
Câu trả lời của bạn
Ta có: \(\Delta ' = {2^2} - \left( { - 2} \right).\left( { - 1} \right) = 2 > 0\) nên phương trình đã cho có hai nghiệm \({x_1};{x_2}.\)
Theo hệ thức Vi-ét ta có: \({x_1} + {x_2} = - \dfrac{b}{a}\) \( = - \dfrac{4}{{ - 2}} = 2\)
Chọn A
A. \(\left( {x;y} \right) = \left( {1; - 1} \right)\)
B. \(\left( {x;y} \right) = \left( { - 1;1} \right)\)
C. \(\left( {x;y} \right) = \left( { - 2;0} \right)\)
D. \(\left( {x;y} \right) = \left( {0; - 1} \right)\)
Câu trả lời của bạn
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}x - y = - 2\\2x + y = - 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x = - 3\\x - y = - 2\end{array} \right.\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 1\\ - 1 - y = - 2\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 1\\y = 1\end{array} \right.\end{array}\)
Vậy nghiệm của hệ phương trình là \(\left( {x;y} \right) = \left( { - 1;1} \right)\)
Chọn B
Có \({x^2} - \left( {m - 3} \right)x + m - 4 = 0\). Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi \(m\).
Câu trả lời của bạn
Phương trình \({x^2} - \left( {m - 3} \right)x + m - 4 = 0\) (*) có hệ số \(a = 1 \ne 0\) nên là phương trình bậc hai một ẩn.
Ta có: \(\Delta = {\left( {m - 3} \right)^2} - 4.1.\left( {m - 4} \right)\) \( = {m^2} - 6m + 9 - 4m + 16\) \( = {m^2} - 10m + 25\) \( = {\left( {m - 5} \right)^2}\)
Vì \(\Delta = {\left( {m - 5} \right)^2} \ge 0\) với mọi \(m\) nên phương trình (*) luôn có nghiệm với mọi \(m.\)
Một máy kéo nông nghiệp có bánh xe sau to hơn bánh xe trước. Bánh xe sau có đường kính là \(1,672\,m\) và bánh xe trước có đường kính là \(88\,cm\). Hỏi khi xe chạy trên đoạn đường thẳng, bánh xe sau lăn được \(10\) vòng thì xe di chuyển được bao nhiêu mét và khi đó bánh xe trước lăn được mấy vòng?
Câu trả lời của bạn
Đổi \(1,672\,m = 167,2\,cm\).
Chu vi bánh xe sau là: \({C_s} = \pi .167,2 = 167,2\pi \,\,\left( {cm} \right)\)
Chu vi bánh xe trước là: \({C_t} = \pi .88 = 88\pi \,\,\left( {cm} \right)\)
Khi bánh xe sau lăn được \(10\) vòng thì xe di chuyển được quãng đường là:
\(10.167,2\pi = 1672\pi \left( {cm} \right)\) \( \approx 5253\left( {cm} \right) = 52,53\left( m \right)\)
Bánh xe trước lăn được số vòng là:
\(1672\pi :88\pi = 19\) (vòng)
Vậy xe đi được quãng đường \(52,53m\) và bánh trước lăn được \(19\) vòng.
Hãy giải pt sau \({x^4} + {x^2} - 6 = 0\).
Câu trả lời của bạn
Đặt \({x^2} = t\left( {t \ge 0} \right)\), ta được phương trình \({t^2} + t - 6 = 0\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {t^2} + 3t - 2t - 6 = 0\\ \Leftrightarrow t\left( {t + 3} \right) - 2\left( {t + 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {t - 2} \right)\left( {t + 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 2\left( {tm} \right)\\t = - 3\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)
Với \(t = 2 \Rightarrow {x^2} = 2\) \( \Leftrightarrow x = \pm \sqrt 2 \)
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm \(S = \left\{ { - \sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right\}\)
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *