Phương trình bậc hai một ẩn là một chương rất quan trọng ở chương trình toán lớp 9 cũng như áp dụng của nó vào thực tiễn và đời sống. Ngoài ra còn là kiến thức nền tảng để các em có thêm kiến thức học tốt toán cấp 3
Đồ thị hàm số \(y=ax^2 (a\neq 0)\) là tập hợp gồm tất cả các điểm \(M(x_{M}; ax_{M}^{2})\). Để xác định một điểm thuộc đồ thị, ta lấy một giá trị của x làm hoành độ và thay vào phương trình \(y=ax^2\) để tìm ra giá trị tung độ.
Phương trình bậc hai một ẩn (gọi tắt là phương trình bậc hai) là phương trình có dạng \(ax^2+bx+c=0\)
Trong đó, x là ẩn; các hệ số a, b, c là các số cho trước và \(a\neq 0\)
Với phương trình \(ax^2+bx+c=0 (a\neq 0)\) và biệt thức \(\Delta =b^2-4ac\):
\(\Delta>0\) thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt:
\(x_{1}=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}\); \(x_{2}=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}\)
\(\Delta=0\) thì phương trình có nghiệm kép \(x=x_{1}=x_{2}=-\frac{b}{2a}\)
\(\Delta<0\) phương trình vô nghiệm.
Với các phương trình bậc hai \(ax^2+bx+c=0(a\neq 0)\) và \(b=2b'\), \(\Delta '=b'^2-ac\) thì:
Nếu \(\Delta '>0\) thì phương trình có hai nghiệm phân biệt
\(x_{1}=\frac{-b'+\sqrt{\Delta '}}{a}; x_{2}=\frac{-b'-\sqrt{\Delta '}}{a}\)
Nếu \(\Delta '=0\) thì phương trình có nghiệm kép \(x=\frac{-b'}{a}\)
Nếu \(\Delta '<0\) thì phương trình vô nghiệm.
Phương trình bậc hai \(ax^2+bx+c=0(a\neq 0)\) có 2 nghiệm phân biệt
\(x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}; x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}\)
Ta có: \(x_1+x_2=\frac{-2b+\sqrt{\Delta }-\sqrt{\Delta }}{2a}=-\frac{b}{a}\)
\(x_1.x_2=\frac{b^2-\Delta }{4a^2}=\frac{4ac}{4a^2}=\frac{c}{a}\)
Nếu \(x_1;x_2\) là hai nghiệm của phương trình \(ax^2+bx+c=0 (a\neq 0)\) thì:
\(x_1+x_2=-\frac{b}{a}\)
và \(x_1.x_2=\frac{c}{a}\)
Nếu phương trình \(ax^2+bx+c=0 (a\neq 0)\) có \(a+b+c=0\) thì phương trình có một nghiệm là \(x_1=1\) và nghiệm kia là \(x_2=\frac{c}{a}\).
Nếu phương trình \(ax^2+bx+c=0 (a\neq 0)\) có \(a-b+c=0\) thì phương trình có một nghiệm là \(x_1=-1\) và nghiệm kia là \(x_2=-\frac{c}{a}\).
a. Phương trình trùng phương
Định nghĩa
Phương trình trùng phương là phương trình có dạng: \(ax^4+bx^2+c=0 (a\neq 0)\)
b. Phương trình chứa ẩn ở mẫu
Các bước để giải phương trình chứa ẩn ở mẫu đã học ở lớp 8
Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình
Bước 2: Quy đồng hai vế rồi khử mẫu
Bước 3: Giải phương trình vừa nhận được
Bước 4: So sánh điều kiện ban đầu rồi kết luận nghiệm
c. Phương trình tích
Nhắc lại kiến thức đã học ở lớp dưới:
Biến đổi phương trình về dạng \(A.B.C.....=0\) rồi suy ra hoặc \(A=0\) hoặc \(B=0\) hoặc.....
Phương pháp giải
Để giải bài toán bằng cách lập phương trình, chúng ta làm theo các bước sau:
Bước 1: Lập phương trình
Chọn ẩn và đặt điều kiện cho ẩn
Biểu đạt các đại lượng khác nhau theo ẩn
Dựa vào đề bài toán, lập phương trình theo dạng đã học
Bước 2: Giải phương trình
Bước 3: So sánh kết quả tìm được và chọn nghiệm thích hợp
Bài 1: Cho hàm số \(y=-x^2\) và đường thẳng \(y=-4x+4\). Tìm giao điểm của hai đồ thị đó bằng hình vẽ và đồ thị
Hướng dẫn:Vẽ hình HS tự vẽ.
Tìm giao điểm: Phương trình hoành độ giao điểm: \(-x^2=-4x+4\Leftrightarrow x^2-4x+4=0\)
Tính biệt thức \(\Delta=0\) suy ra phương trình có nghiệm kép \(x=2\Rightarrowy=-4\).
Vậy khi vẽ hình, ta chỉ nhận được một giao điểm. Sau này lên cấp trên, các em sẽ được biết đường thẳng trên là tiếp tuyến của hàm số.
Bài 2: Giải phương trình bằng cách phân tích đa thức thành nhân tử: \(x^2-11x-12=0\)
Hướng dẫn:\(x^2-11x-12=0\)
\(\Leftrightarrow x^2-12x+x-12=0\)
\(\Leftrightarrow x(x-12)+x-12=0\)
\(\Leftrightarrow (x+1)(x-12)=0\)
Vậy phương trình trên có hai nghiệm phân biệt là \(x=-1;x=12\)
Bài 3:
Giải phương trình: \(x^2+10x+25=0\); \(x^2-4x-9=0\)
Hướng dẫn: \(x^2+10x+25=0\)
Giải: \(\Delta =10^2-4.1.25=0\) \(\Rightarrow x=\frac{-0}{2}=-5\)
\(x^2-4x-9=0\)
Giải: \(\Delta =(-4)^2-4.1.(-9)=52\Rightarrow \sqrt{\Delta }=2\sqrt{13}>0\)
\(\Rightarrow x_{1}=\frac{-(-4)+2\sqrt{13}}{2}=2+\sqrt{13};x_{2}=\frac{-(-4)-2\sqrt{13}}{2}=2-\sqrt{13}\)
Bài 4:
Tìm hai số biết hiệu của chúng là 5 và tích của chúng là 150
Hướng dẫn: Gọi hai số cần tim là a, b
Ta có \(\left\{\begin{matrix} a-b=5\\ ab=150 \end{matrix}\right.\)
Thế \(a=5+b\) vào phương trình tích, ta được \(b(b+5)=150\Leftrightarrow b^2+5b-150=0\)
\(\Rightarrow b=-15\) hoặc \(b=10\)
\(b=-15\Rightarrow a=-10\)
\(b=10\Rightarrow a=15\)
Bài 5:
Giải phương trình trùng phương sau: \(x^4-4x^2-5=0\)
Hướng dẫn: Đặt \(t=x^2 (t\geq 0)\)
Khi đó, phương trình trở thành: \(t^2-4t-5=0\)
Giải phương trình bậc hai cơ bản trên, ta được:
\(t=-1\) (loại)
\(t=5\) (nhận)\(\Rightarrow x=\pm \sqrt{5}\)
Để cũng cố bài học, xin mời các em cũng làm bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 9 Chương 4 Bài 9 với những câu hỏi củng cố bám sát nội dung bài học. Bên cạnh đó các em có thể nêu thắc mắc của mình thông qua phần Hỏi đáp Toán 9 Chương 4 Bài 9 cộng đồng Toán DapAnHay sẽ sớm giải đáp cho các em.
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 9 Chương 4 Bài 9 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Toán 9
-- Mod Toán Học 9 DapAnHay
Tọa độ giao điểm của phương trình hàm số \(y=x^2\) và đường thẳng \(y=8\) là:
Tập nghiệm của phương trình \(x^2< 100\) là:
Với giá trị nào của m thì phương trình bậc hai \(x^2+6x-m=0\) vô nghiệm?
Tổng và tích 2 nghiệm của phương trình \(x^2+2016x-2017=0\) lần lượt là:
Tìm hai số biết tổng bằng 30 và tổng bình phương bằng 468.
Hãy vẽ đồ thị của các hàm số \(y = 2x^2, y = -2x^2.\) Dựa vào đồ thị để trả lời các câu hỏi sau:
a) Nếu a > 0 thì hàm số \(y = ax^2\) đồng biến khi nào? Nghịch biến khi nào?
Với giá trị nào của x thì hàm số đạt giá trị nhỏ nhất? Có giá trị nào của x để hàm số đạt giá trị lớn nhất không?
Nếu a < 0 thì hàm số đồng biến khi nào? Nghịch biến khi nào? Với giá trị nào của x thì hàm số đạt giá trị lớn nhất? Có giá trị nào của x để hàm số đạt giá trị nhỏ nhất không?
b) Đồ thị của hàm số \(y = ax^2\) có những đặc điểm gì (trường hợp a > 0 , trường hợp a < 0)
Đối với phương trình bậc hai \(ax^2 + bx + c = 0 (a ≠ 0),\) hãy viết công thức tính \(Δ, Δ'.\)
Khi nào thì phương trình vô nghiệm?
Khi nào phương trình có hai nghiệm phân biệt? Viết công thức nghiệm.
Khi nào phương trình có nghiệm kép? Viết công thức nghiệm.
Vì sao khi a và c trái dấu thì phương trình có hai nghiệm phân biệt?
Viết hệ thức Vi-et đối với các nghiệm của phương trình bậc hai \(ax^2 + bx + c = 0 (a ≠ 0),\)
Nêu điều kiện để phương trình \(ax^2 + bx + c = 0 (a ≠ 0),\) có một nghiệm bằng 1. Khi đó, viết công thức nghiệm thứ hai. Áp dụng: nhẩm nghiệm của phương trình \(1954x^2 + 21x – 1975 = 0\)
Nêu điều kiện để phương trình \(ax^2 + bx + c = 0 (a ≠ 0),\) có một nghiệm bằng -1. Khi đó, viết công thức nghiệm thứ hai. Áp dụng: nhẩm nghiệm của phương trình \(2005x^2 + 104x – 1901 = 0\)
Nêu cách tìm hai số, biết tổng S và tích P của chúng.
Tìm hai số u và v trong mỗi trường hợp sau:
\(\begin{array}{l}
a)\left\{ \begin{array}{l}
u + v = 3\\
uv = - 8
\end{array} \right.\\
b)\left\{ \begin{array}{l}
u + v = 5\\
uv = 10
\end{array} \right.
\end{array}\)
Nêu cách giải phương trình trùng phương \(ax^4 + bx^2 + c = 0,(a ≠ 0)\)
Vẽ đồ thị của hàm số \(\displaystyle y = {1 \over 4}{x^2}\) và \(\displaystyle y = - {1 \over 4}{x^2}\) trên cùng một hệ trục tọa độ
a) Qua điểm \(B(0; 4)\) kẻ đường thẳng song song với trục Ox. Nó cắt đồ thị của hàm số \(\displaystyle y = {1 \over 4}{x^2}\) tại hai điểm M và M’. Tìm hoành độ của M và M’.
b) Tìm trên đồ thị của hàm số \(\displaystyle y = - {1 \over 4}{x^2}\) điểm N có cùng hoành độ với M, điểm N’ có cùng hoành độ với M’. Đường thẳng NN’ có song song với Ox không? Vì sao? Tìm tung độ của N và N’ bằng hai cách:
- Ước lượng trên hình vẽ:
- Tính toán theo công thức.
Cho phương trình: x2 - x - 2 = 0.
a) Giải phương trình.
b) Vẽ hai đồ thị y = x2 và y = x + 2 trên cùng một hệ trục tọa độ.
c) Chứng tỏ rằng hai nghiệm tìm được trong câu a) là hoành độ giao điểm của hai đồ thị.
Giải các phương trình:
a) 3x4 – 12x2 + 9 = 0;
b) 2x4 + 3x2 – 2 = 0;
c) x4 + 5x2 + 1 = 0.
Giải các phương trình:
a) \(5{{\rm{x}}^2} - 3{\rm{x}} + 1 = 2{\rm{x}} + 11\)
b) \({{{x^2}} \over 5} - {{2{\rm{x}}} \over 3} = {{x + 5} \over 6}\)
c) \({x \over {x - 2}} = {{10 - 2{\rm{x}}} \over {{x^2} - 2{\rm{x}}}}\)
d) \({{x + 0,5} \over {3{\rm{x}} + 1}} = {{7{\rm{x}} + 2} \over {9{{\rm{x}}^2} - 1}}\)
e) \(2\sqrt 3 {x^2} + x + 1 = \sqrt 3 \left( {x + 1} \right)\)
f) \({x^2} + 2\sqrt 2 x + 4 = 3\left( {x + \sqrt 2 } \right)\)
Giải các phương trình
a) \(1,2{{\rm{x}}^3} - {x^2} - 0,2{\rm{x}} = 0\)
b) \(5{{\rm{x}}^3} - {x^2} - 5{\rm{x}} + 1 = 0\)
Giải các phương trình bằng cách đặt ẩn phụ:
a) \(2{\left( {{x^2} - 2{\rm{x}}} \right)^2} + 3\left( {{x^2} - 2{\rm{x}}} \right) + 1 = 0\)
b) \({\left( {x + {1 \over x}} \right)^2} - 4\left( {x + {1 \over x}} \right) + 3 = 0\)
Với mỗi phương trình sau, đã biết một nghiệm (ghi kèm theo), hãy tìm nghiệm kia:
a) \(12{{\rm{x}}^2} - 8{\rm{x}} + 1 = 0;{x_1} = {1 \over 2}\)
b) \(2{{\rm{x}}^2} - 7{\rm{x}} - 39 = 0;{x_1} = - 3\)
c) \({x^2} + x - 2 + \sqrt 2 = 0;{x_1} = - \sqrt 2 \)
d) \({x^2} - 2m{\rm{x}} + m - 1 = 0;{x_1} = 2\)
Tìm hai số u và v trong mỗi trường hợp sau:
a) \(u + v = 12\); \(uv = 28\) và \(u > v\)
b) \(u + v = 3; uv = 6\)
Cho phương trình \(7x^2 + 2(m – 1)x – m^2= 0\)
a) Với giá trị nào của \(m\) thì phương trình có nghiệm?
b) Trong trường hợp phương trình có nghiệm, dùng hệ thức Vi-ét, hãy tính tổng các bình phương hai nghiệm của phương trình theo \(m\).
Sau hai năm, số dân của một thành phố tăng từ \(2 000 000\) người lên \(2 020 050\) người. Hỏi trung bình mỗi năm dân số của thành phố đó tăng bao nhiêu phần trăm?
Bài toán yêu cầu tìm tích của một số dương với một số lớn hơn nó 2 đơn vị, nhưng bạn Quân nhầm đầu bài lại tính tích của một số dương với một số bé hơn nó 2 đơn vị. Kết quả của bạn Quân là 120. Hỏi nếu làm đúng đầu bài đã cho thì kết quả phải là bao nhiêu?
Một xe lửa đi từ Hà Nội vào Bình Sơn (Quảng Ngãi). Sau đó 1 giờ, một xe lửa khác đi từ Bình Sơn ra Hà Nội với vận tốc lớn hơn vận tốc của xe lửa thứ nhất là 5km/h. Hai xe gặp nhau tại một ga ở chính giữa quãng đường. Tìm vận tốc của mỗi xe, giả thiết rằng quãng đường Hà Nội – Bình Sơn dài 900km.
Cho tam giác ABC có BC = 16cm , đường cao AH = 12 cm. Một hình chữ nhật MNPQ có đỉnh M thuộc cạnh AB, đỉnh N thuộc cạnh AC còn hai đỉnh P và Q thuộc cạnh BC (h.17). Xác định vị trí của điểm M trên cạnh AB sao cho diện tích của hình chữ nhật đó bằng 36cm2.
Cho hai hàm số: \(y = 2x - 3\) và \(y = - {x^2}\)
a) Vẽ đồ thị hai hàm số này trong cùng một mặt phẳng tọa độ.
b) Tìm tọa độ các giao điểm của hai đồ thị.
c) Kiểm nghiệm rằng tọa độ của mỗi giao điểm đều là nghiệm chung của hai phương trình hai ẩn y = 2x – 3 và \(y = - {x^2}\)
Giải các phương trình:
a) \(3{x^2} + 4\left( {x - 1} \right) = {\left( {x - 1} \right)^2} + 3\)
b) \({x^2} + x + \sqrt 3 = \sqrt 3 x + 6\)
c) \({{x + 2} \over {1 - x}} = {{4{x^2} - 11x - 2} \over {\left( {x + 2} \right)\left( {x - 1} \right)}}\)
d) \({{{x^2} + 14x} \over {{x^3} + 8}} = {x \over {x + 2}}\)
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
Cho biểu thức \(P = \dfrac{{3x + \sqrt {9x} - 3}}{{x + \sqrt x - 2}} - \dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x + 2}} + \dfrac{{\sqrt x - 2}}{{1 - \sqrt x }}\) với \(x \ge 0,x \ne 1\). Hãy so sánh \(P\) với \(\sqrt P \) với điều kiện \(\sqrt P \)có nghĩa
Câu trả lời của bạn
\(\sqrt P \) có nghĩa \( \Leftrightarrow \dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}} \ge 0 \Leftrightarrow \sqrt x - 1 > 0\;\;\left( {do\;\;\sqrt x + 1 > 0\;\forall x \ge 0,\;\;x \ne 1} \right)\)
\( \Leftrightarrow \sqrt x > 1 \Leftrightarrow x > 1.\)
Xét hiệu: \(P - \sqrt P = \dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}} - \sqrt {\dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}}} \).
\(\begin{array}{l} \Rightarrow P - \sqrt P = \dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}} - \sqrt {\dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}}} = \dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}} - \dfrac{{\sqrt {\sqrt x + 1} }}{{\sqrt {\sqrt x - 1} }}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = \dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}} - \dfrac{{\sqrt {\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)} }}{{{{\left( {\sqrt {\sqrt x - 1} } \right)}^2}}} = \dfrac{{\sqrt x + 1 - \sqrt {x - 1} }}{{\sqrt x - 1}}.\end{array}\)
Ta có: \(\sqrt x - \sqrt {x - 1} = \dfrac{{\left( {\sqrt x + \sqrt {x - 1} } \right)\left( {\sqrt x - \sqrt {x - 1} } \right)}}{{\sqrt x + \sqrt {x - 1} }} \)\(\,= \dfrac{{x - \left( {x - 1} \right)}}{{\sqrt x + \sqrt {x - 1} }} = \dfrac{1}{{\sqrt x + \sqrt {x + 1} }} > 0\)
Mà có: \(\sqrt x - 1 > 0\) (cmt)
\( \Rightarrow P - \sqrt P > 0 \Rightarrow P > \sqrt P \) với mọi \(x > 1.\) \(\)\(\)
Hãy tìm giá trị \(x\) để biểu thức sau xác định: \(\sqrt {x - 3} \)
Câu trả lời của bạn
\(\sqrt {x - 3} \)
Biểu thức \(\sqrt {x - 3} \) xác định \( \Leftrightarrow x - 3 \ge 0\) \( \Leftrightarrow x \ge 3.\)
Vậy \(x \ge 3\) thì biểu thức \(\sqrt {x - 3} \) xác định.
Hãy tìm giá trị \(x\) để biểu thức sau xác định: \(\sqrt { - \frac{2}{{2x - 1}}} \)
Câu trả lời của bạn
\(\sqrt { - \frac{2}{{2x - 1}}} \)
Biểu thức \(\sqrt { - \frac{2}{{2x - 1}}} \) xác định \( \Leftrightarrow - \frac{2}{{2x - 1}} \ge 0\) \( \Leftrightarrow 2x - 1 <0\) \( \Leftrightarrow x < \frac{1}{2}\)
Vậy với \(x < \frac{1}{2}\) thì biểu thức \(\sqrt { - \frac{2}{{2x - 1}}} \) xác định.
Giải phương trình cho sau: \(\dfrac{5}{3}\sqrt {9x - 18} - \dfrac{1}{2}\sqrt {16x - 32} - 15 = 0\).
Câu trả lời của bạn
ĐKXĐ: \(x \ge 2\). Với điều kiện này ta có:
\(\begin{array}{l}\;\;\;\;\;\dfrac{5}{3}\sqrt {9x - 18} - \dfrac{1}{2}\sqrt {16x - 32} - 15 = 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{5}{3}\sqrt {{3^2}\left( {x - 2} \right)} - \dfrac{1}{2}\sqrt {{4^2}\left( {x - 2} \right)} = 15\\ \Leftrightarrow 5\sqrt {x - 2} - 2\sqrt {x - 2} = 15\\ \Leftrightarrow 3\sqrt {x - 2} = 15 \Leftrightarrow \sqrt {x - 2} = 5\\ \Leftrightarrow {\left( {\sqrt {x - 2} } \right)^2} = {5^2} \Leftrightarrow x - 2 = 25\\ \Leftrightarrow x = 27\end{array}\)
Nhận thấy \(x = 27\) thỏa mãn ĐKXĐ
Vậy \(x = 27\)là nghiệm của phương trình.
Tháng 11 vừa qua có ngày Black Friday, phần lớn các trung tâm thương mại đều giảm giá rất nhiều mặt hàng. Mẹ bạn An có dẫn An đến một trung tâm thương mại để mua một đôi giày. Biết đôi giày đang khuyến mại giảm giá 40%, mẹ bạn An có thẻ khách hàng thân thiết của trung tâm thương mại nên được giảm thêm 5% trên giá đã giảm nữa, do đó mẹ bạn An phải trả 684.000 đ cho đôi giày. Cho biết giá ban đầu của đôi giày nếu không khuyến mại là bao nhiêu?
Câu trả lời của bạn
Gọi số tiền ban đầu của đôi giày là \(A\;\left( {A > 684.000} \right)\)(đồng).
Vì đôi giày đang khuyến mại giảm giá 40% nên giá tiền của đôi giày là: \(A - A.40\% = 0,6A\)
Vì mẹ bạn An có thẻ khách hàng thân thiết của trung tâm thương mại nên được giảm thêm 5% trên giá đã giảm nữa nên giá tiền của đôi giày là: \(0,6A - 0,6A.5\% = 0,57A\)
Vì mẹ bạn An phải trả 684.000 đ cho đôi giày nên ta có:
\(0,57A = 684000 \) \(\Rightarrow A = \dfrac{{684000}}{{0,57}} = 1200000\;\;\left( {tm} \right)\) (đồng)
Vậy số tiền ban đầu của đôi giày là 1.200.000 đồng
Thu gọn biểu thức B sau: \(B = \sqrt {{{\left( {\sqrt 7 - 1} \right)}^2}} - \dfrac{6}{{\sqrt 7 - 1}}\).
Câu trả lời của bạn
\(\begin{array}{l}B = \sqrt {{{\left( {\sqrt 7 - 1} \right)}^2}} - \dfrac{6}{{\sqrt 7 - 1}} \\\;\;\;= \left| {\sqrt 7 - 1} \right| - \dfrac{{6\left( {\sqrt 7 + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt 7 - 1} \right)\left( {\sqrt 7 + 1} \right)}}\\\;\;\; = \sqrt 7 - 1 - \dfrac{{6\left( {\sqrt 7 + 1} \right)}}{{{{\left( {\sqrt 7 } \right)}^2} - 1}} \\\;\;\;= \sqrt 7 - 1 - \left( {\sqrt 7 + 1} \right)\\\;\;\; = \sqrt 7 - 1 - \sqrt 7 - 1 = - 2.\end{array}\)
Vậy \(B = - 2\).
Thực hiện phép tính (thu gọn) sau đây: \(\dfrac{{6 - \sqrt 6 }}{{\sqrt 6 - 1}} - 9\sqrt {\dfrac{2}{3}} - \dfrac{4}{{2 - \sqrt 6 }}\).
Câu trả lời của bạn
\(\begin{array}{l}\;\dfrac{{6 - \sqrt 6 }}{{\sqrt 6 - 1}} - 9\sqrt {\dfrac{2}{3}} - \dfrac{4}{{2 - \sqrt 6 }}\\ = \dfrac{{\sqrt 6 .\sqrt 6 - \sqrt 6 }}{{\sqrt 6 - 1}} - 3.{\left( {\sqrt 3 } \right)^2}\dfrac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt 3 }} - \dfrac{{4\left( {2 + \sqrt 6 } \right)}}{{\left( {2 - \sqrt 6 } \right)\left( {2 + \sqrt 6 } \right)}}\\ = \dfrac{{\sqrt 6 \left( {\sqrt 6 - 1} \right)}}{{\sqrt 6 - 1}} - 3.\sqrt 3 .\sqrt 2 - \dfrac{{4\left( {2 + \sqrt 6 } \right)}}{{{2^2} - {{\left( {\sqrt 6 } \right)}^2}}}\\ = \sqrt 6 - 3\sqrt 6 - \dfrac{{4\left( {2 + \sqrt 6 } \right)}}{{ - 2}}\\ = - 2\sqrt 6 + 2\left( {2 + \sqrt 6 } \right) = 4\end{array}\).
Vậy \(\dfrac{{6 - \sqrt 6 }}{{\sqrt 6 - 1}} - 9\sqrt {\dfrac{2}{3}} - \dfrac{4}{{2 - \sqrt 6 }} = 4\).
Biết một cửa hàng có hai loại quạt, giá tiền như nhau. Quạt màu xanh được giảm giá hai lần, mỗi lần giảm giá 10% so với giá đang bán. Quạt màu đỏ được giảm giá một lần 20%. Hỏi sau khi giảm giá như trên thì loại quạt nào rẻ hơn.
Câu trả lời của bạn
Gọi số tiền ban đầu của hai quạt là A
+) Sau khi giảm giá 10% lần đầu thì giá tiền chiếc quạt màu xanh là : \({A_1} = A - A.10\% = 0.9A\)
+)Sau khi tiếp tục giảm giá 10% lần thứ 2 thì giá tiền chiếc quạt là:\({A_2} = {A_1} - {A_1}.10\% = 0.9A - 0,9A.10\% = 0,81A\)
+) Sau khi giảm giá chiếc quạt màu đỏ 20% thì giá tiền chiếc quạt đỏ là:\({A_1} = A - A.20\% = 0,8A\)
Nhận thấy sau khi giảm giá thì quạt màu đỏ rẻ hơn quạt màu xanh \(\left( {0,8A < 0,81A} \right)\)
Vậy sau khi giảm giá thì quạt màu đỏ có giá rẻ hơn.
Thực hiện phép tính (thu gọn) sau đây: \(2\sqrt {48} + \dfrac{1}{3}\sqrt {108} - 5\sqrt 3 - 3\sqrt {27} \).
Câu trả lời của bạn
\(\begin{array}{l}\;2\sqrt {48} + \dfrac{1}{3}\sqrt {108} - 5\sqrt 3 - 3\sqrt {27} \\ = 2.\sqrt {{4^2}.3} + \dfrac{1}{3}\sqrt {{6^2}.3} - 5\sqrt 3 - 3.\sqrt {{3^2}.3} \\ = 8\sqrt 3 + 2\sqrt 3 - 5\sqrt 3 - 9\sqrt 3 = - 4\sqrt 3 \end{array}\)
Vậy \(2\sqrt {48} + \dfrac{1}{3}\sqrt {108} - 5\sqrt 3 - 3\sqrt {27} = - 4\sqrt 3 \).
Có tàu ngầm đang ở trên mặt biển bỗng đột ngột lặn xuống theo phương tạo với mặt nước biển một góc\({21^o}\). Nếu tàu chuyển động theo phương lặn xuống được 300m thì nó ở độ sâu bao nhiêu? Khi đó khoảng cách theo phương nằm ngang so với nơi xuất phát là bao nhiêu mét ? (kết quả làm tròn đến mét)
Câu trả lời của bạn
+) Đoạn AC là quãng đường tàu di chuyển trong quá trình lặn,
+) Đoạn BC là độ sâu mà tàu lặn được.
+) Đoạn AB là khoảng cách theo phương ngang tính từ vị trí xuất phát tới vị trí của tàu sau khi lặn.
+) \(\alpha \) là góc tạo bởi quãng đường tàu chuyển động và mặt biển.
Xét tam giác vuông ABC vuông tại B có:
+) \(\sin \alpha = \dfrac{{BC}}{{AC}}\) \( \Rightarrow BC = AC.\sin \alpha = 300.\sin {21^o} \approx 107\left( m \right)\)
+) \(\cos \alpha = \dfrac{{AB}}{{AC}}\) \( \Rightarrow AB = AC.\cos \alpha = 300.cos{21^o} = 280\left( m \right)\)
Vậy tàu lặn xuống độ sâu 107 (m) và khoảng cách theo phương ngang từ vị trí ban đầu tới vị trí sau khi lặn là 280 (m).
Thực hiện phép tính sau đây: \(A = \sqrt {12} - 2\sqrt {48} + \dfrac{7}{5}\sqrt {75} \)
Câu trả lời của bạn
\(\begin{array}{l}\;\;A = \sqrt {12} - 2\sqrt {48} + \dfrac{7}{5}\sqrt {75} \\\;\;\; = \sqrt {{2^2}.3} - 2\sqrt {{4^2}.3} + \dfrac{7}{5}\sqrt {{5^2}.3} \\\;\;\; = 2\sqrt 3 - 2.4\sqrt 3 + \dfrac{7}{5}.5\sqrt 3 = \sqrt 3 .\end{array}\)
Vậy \(A = \sqrt 3 \).\(\)
Thực hiện phép tính sau đây: \(B = \sqrt {14 - 6\sqrt 5 } + \sqrt {{{\left( {2 - \sqrt 5 } \right)}^2}} \)
Câu trả lời của bạn
\(\begin{array}{l}\;\;B = \sqrt {14 - 6\sqrt 5 } + \sqrt {{{\left( {2 - \sqrt 5 } \right)}^2}} \\\;\;\;\;\;\;\; = \sqrt {{3^2} + 2.3.\sqrt 5 + {{\left( {\sqrt 5 } \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {2 - \sqrt 5 } \right)}^2}} \\\;\;\;\;\;\;\; = \sqrt {{{\left( {3 + \sqrt 5 } \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {2 - \sqrt 5 } \right)}^2}} \\\;\;\;\;\;\;\; = \left| {3 + \sqrt 5 } \right| + \left| {2 - \sqrt 5 } \right|\\\;\;\;\;\;\;\; = 3 + \sqrt 5 + \sqrt 5 - 2\; = 2\sqrt {5 + 1} .\;\;\;\left( {do\;\;\;\sqrt 5 - 2 > 0} \right)\end{array}\)
Vậy \(B = 2\sqrt 5 + 1\)
Cho biết biểu thức \(A = \dfrac{{\sqrt x + 4}}{{\sqrt x + 2}}\left( {x \ge 0} \right)\). Tính giá trị biểu thức \(A\) khi \(x = 36\).
Câu trả lời của bạn
Thay \(x = 36\) vào biểu thức ta có: \(A = \dfrac{{\sqrt {36} + 4}}{{\sqrt {36} + 2}} = \dfrac{{6 + 4}}{{6 + 2}} = \dfrac{5}{4}\).
Vậy khi \(x = 36\)thì \(A = \dfrac{5}{4}\).\(\)
Ở trong một tòa nhà ngoài thang máy người ta còn xây thêm một cầu thang đi bộ. Từ tầng 1 đến tầng 2 có 30 bậc thang. Các tầng còn lại cứ hai tầng liên tiếp cách nhau 21 bậc thang. Do thang máy bị hư nên bạn Vy đi bộ bắt đầu từ tầng 1 về căn hộ của mình. Tổng số bậc thang Vy đã đi là 135. Hỏi căn hộ của Vy ở tầng thứ bao nhiêu của tòa nhà?
Câu trả lời của bạn
Giả sử nhà bạn Vy ở tầng thứ \(n\) của tòa nhà\(\left( {n > 1,\;n \in {N^*}} \right).\)
Suy ra sốtầng mà bạn Vy phải đi là \(n - 1\)tầng.
\( \Rightarrow \)số tầng mà bạn Vy phải đi có 21 bậc thang là: \(n - 2\) (do cầu thang tầng 1 có 30 bậc thang)
Suy ra số bậc thang mà bạn Vy phải đi bộ là: \(30 + 21.\left( {n - 2} \right)\) bậc.
Theo đề bài ta có phương trình:
\(30 + 21\left( {n - 2} \right) = 135 \Leftrightarrow n - 2 = 5 \Leftrightarrow n = 7\;\;\left( {tm} \right)\).
Vậy nhà bạn Vy ở tầng 7 của tòa nhà.\(\)
Hãy rút gọn biểu thức \(B = \left( {\dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 4}} + \dfrac{4}{{\sqrt x - 4}}} \right):\dfrac{{x + 16}}{{\sqrt x + 2}}\) (với \(x \ge 0,x \ne 16\)).
Câu trả lời của bạn
ĐKXĐ: \(x \ge 0,x \ne 16\)
\(\begin{array}{l}B = \left( {\dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 4}} + \dfrac{4}{{\sqrt x - 4}}} \right):\dfrac{{x + 16}}{{\sqrt x + 2}}\\\;\;\; = \left( {\dfrac{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 4} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 4} \right)\left( {\sqrt x - 4} \right)}} + \dfrac{{4\left( {\sqrt x + 4} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 4} \right)\left( {\sqrt x - 4} \right)}}} \right):\dfrac{{x + 16}}{{\sqrt x + 2}}\\\;\;\; = \dfrac{{x - 4\sqrt x + 4\sqrt x + 16}}{{{{\left( {\sqrt x } \right)}^2} - {4^2}}}.\dfrac{{\sqrt x + 2}}{{x + 16}} = \dfrac{{\sqrt x + 2}}{{x - 16}}\end{array}\)
Vậy \(B = \dfrac{{\sqrt x + 2}}{{x - 16}}\).
Cho tam giác ABC vuông tại A có AH là đường cao. Biết \(BH = 9\)cm, \(HC = 16\)cm. Hãy tính độ dài AH, AC, số đo \(\angle ABC\) (số đo làm tròn đến độ).
Câu trả lời của bạn
Xét tam giác ABC vuông tại A có AH là đường cao.
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:
\(\begin{array}{l} + )A{H^2} = BH.HC \Rightarrow AH = \sqrt {9.16} = 12\\ + )A{C^2} = CH.BC = CH.\left( {CH + BH} \right) \Rightarrow AC = \sqrt {16.\left( {9 + 16} \right)} = 20\end{array}\)
Xét tam giác ABC vuông tại A có:
\(\sin \left( {\angle ABC} \right) = \dfrac{{AC}}{{BC}} = \dfrac{{AC}}{{CH + BH}} = \dfrac{{20}}{{16 + 9}} = \dfrac{4}{5} \Rightarrow \angle ABC = \arcsin \dfrac{4}{5} \approx {53^o}\).
Cho biết \(a,b,c\)là các số dương thỏa mãn điều kiện \(a + b + c + ab + bc + ca = 6\). Chứng minh rằng: \(\dfrac{{{a^3}}}{b} + \dfrac{{{b^3}}}{c} + \dfrac{{{c^3}}}{a} \ge {a^2} + {b^2} + {c^2} \ge 3\)
Câu trả lời của bạn
+) Chứng minh bất đẳng thức phụ: Với \(a,b,c\)là các số dương ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{{a^2}}}{2} + \dfrac{{{b^2}}}{2} \ge 2\sqrt {\dfrac{{{a^2}}}{2}.\dfrac{{{b^2}}}{2}} = ab\\\dfrac{{{b^2}}}{2} + \dfrac{{{c^2}}}{2} \ge 2\sqrt {\dfrac{{{b^2}}}{2}.\dfrac{{{c^2}}}{2}} = bc\\\dfrac{{{c^2}}}{2} + \dfrac{{{a^2}}}{2} \ge 2\sqrt {\dfrac{{{c^2}}}{2}.\dfrac{{{a^2}}}{2}} = ac\end{array} \right.\) \( \Rightarrow 2\left( {\dfrac{{{a^2}}}{2} + \dfrac{{{b^2}}}{2} + \dfrac{{{c^2}}}{2}} \right) \ge ab + bc + ca \Rightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} \ge ab + bc + ca\)
Từ bất đẳng thức trên ta dễ chứng minh được bất đẳng thức thứ hai.
Ta có:
\(\begin{array}{l}\;\;\;\;{a^2} + {b^2} + {c^2} \ge ab + bc + ca\\ \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2ab + 2bc + 2ca \ge 3\left( {ab + bc + ca} \right)\\ \Leftrightarrow {\left( {a + b + c} \right)^2} \ge 3\left( {ab + bc + ca} \right)\end{array}\)
+) Xét bất đẳng thức \(\dfrac{{{a^3}}}{b} + \dfrac{{{b^3}}}{c} + \dfrac{{{c^3}}}{a} \ge {a^2} + {b^2} + {c^2}\)\(\)
Áp dụng bất đẳng thức Co-si ta có:
\(\begin{array}{l} + )\dfrac{{{a^3}}}{b} + ab \ge 2\sqrt {\dfrac{{{a^3}}}{b}.ab} = 2{a^2}\\ + )\dfrac{{{b^3}}}{c} + bc \ge 2\sqrt {\dfrac{{{b^3}}}{c}.bc} = 2{b^2}\\ + )\dfrac{{{c^3}}}{a} + ac \ge 2\sqrt {\dfrac{{{c^3}}}{a}.ac} = 2{c^2}\\ \Rightarrow \dfrac{{{a^3}}}{b} + \dfrac{{{b^3}}}{c} + \dfrac{{{c^3}}}{a} \ge 2\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) - \left( {ab + bc + ca} \right) = {a^2} + {b^2} + {c^2} + \left[ {{a^2} + {b^2} + {c^2} - \left( {ab + bc + ca} \right)} \right]\end{array}\)
Mà có: \({a^2} + {b^2} + {c^2} \ge ab + bc + ca \Rightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} - \left( {ab + bc + ca} \right) \ge 0\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} + \left( {{a^2} + {b^2} + {c^2} - \left( {ab + bc + ca} \right)} \right) \ge {a^2} + {b^2} + {c^2}\\ \Rightarrow \dfrac{{{a^3}}}{b} + \dfrac{{{b^3}}}{c} + \dfrac{{{c^3}}}{a} \ge {a^2} + {b^2} + {c^2}\end{array}\)
Xét bất đẳng thức: \({a^2} + {b^2} + {c^2} \ge 3\)
Theo đề bài có: \(a + b + c + ab + bc + ca = 6\)
Mà có: \(ab + bc + ca \le \dfrac{{{{\left( {a + b + c} \right)}^2}}}{3}\) (cmt)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left( {a + b + c} \right) + \dfrac{{{{\left( {a + b + c} \right)}^2}}}{3} \ge 6 \Leftrightarrow {\left( {a + b + c} \right)^2} + 3\left( {a + b + c} \right) - 18 \ge 0\\ \Leftrightarrow \left( {a + b + c - 3} \right)\left( {a + b + c + 6} \right) \ge 0 \Leftrightarrow a + b + c \ge 3\end{array}\)
Do \(a,b,c > 0 \Rightarrow a + b + c + 6 > 0\)
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski cho bộ ba số \(\left( {1;1;1} \right)\) và \(\left( {a;b;c} \right)\) có:
\(\left( {{1^2} + {1^2} + {1^2}} \right)\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) \ge {\left( {a.1 + b.1 + c.1} \right)^2} \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} \ge \dfrac{{{{\left( {a + b + c} \right)}^2}}}{3} \ge \dfrac{{{3^2}}}{3} = 3\).
Vậy ta chứng minh được \(\dfrac{{{a^3}}}{b} + \dfrac{{{b^3}}}{c} + \dfrac{{{c^3}}}{a} \ge {a^2} + {b^2} + {c^2} \ge 3\).
Cho biểu thức \(A = \dfrac{{\sqrt x - 5}}{{\sqrt x }}\). Hãy tính giá trị biểu thức \(A\) khi \(x = 81\).
Câu trả lời của bạn
Với\(x = 81\) ta có\(A = \dfrac{{\sqrt {81} - 5}}{{\sqrt {81} }} = \dfrac{{9 - 5}}{9} = \dfrac{4}{9}\).
Vậy với \(x = 81\) ta có\(A = \dfrac{4}{9}\).
Cho biết hai biểu thức \(A = \dfrac{{\sqrt x - 5}}{{\sqrt x }}\) và \(B = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 5}} - \dfrac{{3\sqrt x }}{{x - 25}}\) với\(x > 0,x \ne 25\). Cho \(P = A.B\), chứng minh rằng \(P = \dfrac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x + 5}}\)
Câu trả lời của bạn
\(\begin{array}{l}B = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 5}} - \dfrac{{3\sqrt x }}{{x - 25}}\\\;\;\; = \dfrac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 5} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 5} \right)\left( {\sqrt x + 5} \right)}} - \dfrac{{3\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 5} \right)\left( {\sqrt x + 5} \right)}}\\\;\;\; = \dfrac{{x + 5\sqrt x - 3\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 5} \right)\left( {\sqrt x + 5} \right)}} = \dfrac{{x - 2\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 5} \right)\left( {\sqrt x + 5} \right)}}.\end{array}\)
Xét\(P = A.B = \dfrac{{\sqrt x - 5}}{{\sqrt x }}.\dfrac{{x + 2\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 5} \right)\left( {\sqrt x + 5} \right)}} \)\(\;= \dfrac{{\sqrt x - 5}}{{\sqrt x }}.\dfrac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 5} \right)\left( {\sqrt x - 5} \right)}} \)\(\;= \dfrac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x + 5}}\).
Vậy \(P = \dfrac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x + 5}}\).\(\)
Cho các số dương \(x,y\) thoả mãn\(x + y \le \dfrac{4}{3}\). Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(S = x + y + \dfrac{3}{{4x}} + \dfrac{3}{{4y}}\)
Câu trả lời của bạn
Ta có: \(S = \left( {x + \dfrac{4}{{9x}}} \right) + \left( {y + \dfrac{4}{{9y}}} \right) + \dfrac{{11}}{{36}}\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}} \right)\).
Áp dụng bất đẳng thức Co-si có:
\(\begin{array}{l} + )\;x + \dfrac{4}{{9x}} \ge 2\sqrt {x.\dfrac{4}{{9x}}} = 2.\sqrt {\dfrac{4}{9}} = \dfrac{4}{3}\\ + )\;y + \dfrac{4}{{9y}} \ge 2\sqrt {y.\dfrac{4}{{9y}}} = 2\sqrt {\dfrac{4}{9}} = \dfrac{4}{3}\end{array}\)
Chứng minh bất đẳng thức phụ:
\(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} \ge \dfrac{4}{{x + y}} \Leftrightarrow \dfrac{{x + y}}{{xy}} \ge \dfrac{4}{{x + y}} \Leftrightarrow {\left( {x + y} \right)^2} \ge 4xy \Leftrightarrow {\left( {x - y} \right)^2} \ge 0\)(luôn đúng)
Áp dụng bất đẳng thức phụ trên có: \(\dfrac{{11}}{{36}}\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}} \right) \ge \dfrac{{11}}{{36}}.\dfrac{4}{{x + y}}\)
Mà có \(x + y \le \dfrac{4}{3} \Rightarrow \dfrac{{11}}{{36}}.\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}} \right) \ge \dfrac{{11}}{{36}}.\dfrac{4}{{x + y}} \ge \dfrac{{11}}{{36}}.\dfrac{4}{{\dfrac{4}{3}}} = \dfrac{{11}}{{12}}\).
\( \Rightarrow S = \left( {x + \dfrac{4}{{9x}}} \right) + \left( {y + \dfrac{4}{{9y}}} \right) + \dfrac{{11}}{{36}}\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}} \right) \ge \dfrac{4}{3} + \dfrac{4}{3} + \dfrac{{11}}{{12}} = \dfrac{{43}}{{12}}\).
Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{4}{{9x}}\\y = \dfrac{4}{{9y}}\\x + y = \dfrac{4}{3}\\x = y\end{array} \right. \Leftrightarrow x = y = \dfrac{2}{3}\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức là \(\dfrac{{43}}{{12}}\) khi\(x = y = \dfrac{2}{3}\).
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *