Phương trình bậc hai một ẩn là một chương rất quan trọng ở chương trình toán lớp 9 cũng như áp dụng của nó vào thực tiễn và đời sống. Ngoài ra còn là kiến thức nền tảng để các em có thêm kiến thức học tốt toán cấp 3
Đồ thị hàm số \(y=ax^2 (a\neq 0)\) là tập hợp gồm tất cả các điểm \(M(x_{M}; ax_{M}^{2})\). Để xác định một điểm thuộc đồ thị, ta lấy một giá trị của x làm hoành độ và thay vào phương trình \(y=ax^2\) để tìm ra giá trị tung độ.
Phương trình bậc hai một ẩn (gọi tắt là phương trình bậc hai) là phương trình có dạng \(ax^2+bx+c=0\)
Trong đó, x là ẩn; các hệ số a, b, c là các số cho trước và \(a\neq 0\)
Với phương trình \(ax^2+bx+c=0 (a\neq 0)\) và biệt thức \(\Delta =b^2-4ac\):
\(\Delta>0\) thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt:
\(x_{1}=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}\); \(x_{2}=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}\)
\(\Delta=0\) thì phương trình có nghiệm kép \(x=x_{1}=x_{2}=-\frac{b}{2a}\)
\(\Delta<0\) phương trình vô nghiệm.
Với các phương trình bậc hai \(ax^2+bx+c=0(a\neq 0)\) và \(b=2b'\), \(\Delta '=b'^2-ac\) thì:
Nếu \(\Delta '>0\) thì phương trình có hai nghiệm phân biệt
\(x_{1}=\frac{-b'+\sqrt{\Delta '}}{a}; x_{2}=\frac{-b'-\sqrt{\Delta '}}{a}\)
Nếu \(\Delta '=0\) thì phương trình có nghiệm kép \(x=\frac{-b'}{a}\)
Nếu \(\Delta '<0\) thì phương trình vô nghiệm.
Phương trình bậc hai \(ax^2+bx+c=0(a\neq 0)\) có 2 nghiệm phân biệt
\(x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}; x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}\)
Ta có: \(x_1+x_2=\frac{-2b+\sqrt{\Delta }-\sqrt{\Delta }}{2a}=-\frac{b}{a}\)
\(x_1.x_2=\frac{b^2-\Delta }{4a^2}=\frac{4ac}{4a^2}=\frac{c}{a}\)
Nếu \(x_1;x_2\) là hai nghiệm của phương trình \(ax^2+bx+c=0 (a\neq 0)\) thì:
\(x_1+x_2=-\frac{b}{a}\)
và \(x_1.x_2=\frac{c}{a}\)
Nếu phương trình \(ax^2+bx+c=0 (a\neq 0)\) có \(a+b+c=0\) thì phương trình có một nghiệm là \(x_1=1\) và nghiệm kia là \(x_2=\frac{c}{a}\).
Nếu phương trình \(ax^2+bx+c=0 (a\neq 0)\) có \(a-b+c=0\) thì phương trình có một nghiệm là \(x_1=-1\) và nghiệm kia là \(x_2=-\frac{c}{a}\).
a. Phương trình trùng phương
Định nghĩa
Phương trình trùng phương là phương trình có dạng: \(ax^4+bx^2+c=0 (a\neq 0)\)
b. Phương trình chứa ẩn ở mẫu
Các bước để giải phương trình chứa ẩn ở mẫu đã học ở lớp 8
Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình
Bước 2: Quy đồng hai vế rồi khử mẫu
Bước 3: Giải phương trình vừa nhận được
Bước 4: So sánh điều kiện ban đầu rồi kết luận nghiệm
c. Phương trình tích
Nhắc lại kiến thức đã học ở lớp dưới:
Biến đổi phương trình về dạng \(A.B.C.....=0\) rồi suy ra hoặc \(A=0\) hoặc \(B=0\) hoặc.....
Phương pháp giải
Để giải bài toán bằng cách lập phương trình, chúng ta làm theo các bước sau:
Bước 1: Lập phương trình
Chọn ẩn và đặt điều kiện cho ẩn
Biểu đạt các đại lượng khác nhau theo ẩn
Dựa vào đề bài toán, lập phương trình theo dạng đã học
Bước 2: Giải phương trình
Bước 3: So sánh kết quả tìm được và chọn nghiệm thích hợp
Bài 1: Cho hàm số \(y=-x^2\) và đường thẳng \(y=-4x+4\). Tìm giao điểm của hai đồ thị đó bằng hình vẽ và đồ thị
Hướng dẫn:Vẽ hình HS tự vẽ.
Tìm giao điểm: Phương trình hoành độ giao điểm: \(-x^2=-4x+4\Leftrightarrow x^2-4x+4=0\)
Tính biệt thức \(\Delta=0\) suy ra phương trình có nghiệm kép \(x=2\Rightarrowy=-4\).
Vậy khi vẽ hình, ta chỉ nhận được một giao điểm. Sau này lên cấp trên, các em sẽ được biết đường thẳng trên là tiếp tuyến của hàm số.
Bài 2: Giải phương trình bằng cách phân tích đa thức thành nhân tử: \(x^2-11x-12=0\)
Hướng dẫn:\(x^2-11x-12=0\)
\(\Leftrightarrow x^2-12x+x-12=0\)
\(\Leftrightarrow x(x-12)+x-12=0\)
\(\Leftrightarrow (x+1)(x-12)=0\)
Vậy phương trình trên có hai nghiệm phân biệt là \(x=-1;x=12\)
Bài 3:
Giải phương trình: \(x^2+10x+25=0\); \(x^2-4x-9=0\)
Hướng dẫn: \(x^2+10x+25=0\)
Giải: \(\Delta =10^2-4.1.25=0\) \(\Rightarrow x=\frac{-0}{2}=-5\)
\(x^2-4x-9=0\)
Giải: \(\Delta =(-4)^2-4.1.(-9)=52\Rightarrow \sqrt{\Delta }=2\sqrt{13}>0\)
\(\Rightarrow x_{1}=\frac{-(-4)+2\sqrt{13}}{2}=2+\sqrt{13};x_{2}=\frac{-(-4)-2\sqrt{13}}{2}=2-\sqrt{13}\)
Bài 4:
Tìm hai số biết hiệu của chúng là 5 và tích của chúng là 150
Hướng dẫn: Gọi hai số cần tim là a, b
Ta có \(\left\{\begin{matrix} a-b=5\\ ab=150 \end{matrix}\right.\)
Thế \(a=5+b\) vào phương trình tích, ta được \(b(b+5)=150\Leftrightarrow b^2+5b-150=0\)
\(\Rightarrow b=-15\) hoặc \(b=10\)
\(b=-15\Rightarrow a=-10\)
\(b=10\Rightarrow a=15\)
Bài 5:
Giải phương trình trùng phương sau: \(x^4-4x^2-5=0\)
Hướng dẫn: Đặt \(t=x^2 (t\geq 0)\)
Khi đó, phương trình trở thành: \(t^2-4t-5=0\)
Giải phương trình bậc hai cơ bản trên, ta được:
\(t=-1\) (loại)
\(t=5\) (nhận)\(\Rightarrow x=\pm \sqrt{5}\)
Để cũng cố bài học, xin mời các em cũng làm bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 9 Chương 4 Bài 9 với những câu hỏi củng cố bám sát nội dung bài học. Bên cạnh đó các em có thể nêu thắc mắc của mình thông qua phần Hỏi đáp Toán 9 Chương 4 Bài 9 cộng đồng Toán DapAnHay sẽ sớm giải đáp cho các em.
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 9 Chương 4 Bài 9 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Toán 9
-- Mod Toán Học 9 DapAnHay
Tọa độ giao điểm của phương trình hàm số \(y=x^2\) và đường thẳng \(y=8\) là:
Tập nghiệm của phương trình \(x^2< 100\) là:
Với giá trị nào của m thì phương trình bậc hai \(x^2+6x-m=0\) vô nghiệm?
Tổng và tích 2 nghiệm của phương trình \(x^2+2016x-2017=0\) lần lượt là:
Tìm hai số biết tổng bằng 30 và tổng bình phương bằng 468.
Hãy vẽ đồ thị của các hàm số \(y = 2x^2, y = -2x^2.\) Dựa vào đồ thị để trả lời các câu hỏi sau:
a) Nếu a > 0 thì hàm số \(y = ax^2\) đồng biến khi nào? Nghịch biến khi nào?
Với giá trị nào của x thì hàm số đạt giá trị nhỏ nhất? Có giá trị nào của x để hàm số đạt giá trị lớn nhất không?
Nếu a < 0 thì hàm số đồng biến khi nào? Nghịch biến khi nào? Với giá trị nào của x thì hàm số đạt giá trị lớn nhất? Có giá trị nào của x để hàm số đạt giá trị nhỏ nhất không?
b) Đồ thị của hàm số \(y = ax^2\) có những đặc điểm gì (trường hợp a > 0 , trường hợp a < 0)
Đối với phương trình bậc hai \(ax^2 + bx + c = 0 (a ≠ 0),\) hãy viết công thức tính \(Δ, Δ'.\)
Khi nào thì phương trình vô nghiệm?
Khi nào phương trình có hai nghiệm phân biệt? Viết công thức nghiệm.
Khi nào phương trình có nghiệm kép? Viết công thức nghiệm.
Vì sao khi a và c trái dấu thì phương trình có hai nghiệm phân biệt?
Viết hệ thức Vi-et đối với các nghiệm của phương trình bậc hai \(ax^2 + bx + c = 0 (a ≠ 0),\)
Nêu điều kiện để phương trình \(ax^2 + bx + c = 0 (a ≠ 0),\) có một nghiệm bằng 1. Khi đó, viết công thức nghiệm thứ hai. Áp dụng: nhẩm nghiệm của phương trình \(1954x^2 + 21x – 1975 = 0\)
Nêu điều kiện để phương trình \(ax^2 + bx + c = 0 (a ≠ 0),\) có một nghiệm bằng -1. Khi đó, viết công thức nghiệm thứ hai. Áp dụng: nhẩm nghiệm của phương trình \(2005x^2 + 104x – 1901 = 0\)
Nêu cách tìm hai số, biết tổng S và tích P của chúng.
Tìm hai số u và v trong mỗi trường hợp sau:
\(\begin{array}{l}
a)\left\{ \begin{array}{l}
u + v = 3\\
uv = - 8
\end{array} \right.\\
b)\left\{ \begin{array}{l}
u + v = 5\\
uv = 10
\end{array} \right.
\end{array}\)
Nêu cách giải phương trình trùng phương \(ax^4 + bx^2 + c = 0,(a ≠ 0)\)
Vẽ đồ thị của hàm số \(\displaystyle y = {1 \over 4}{x^2}\) và \(\displaystyle y = - {1 \over 4}{x^2}\) trên cùng một hệ trục tọa độ
a) Qua điểm \(B(0; 4)\) kẻ đường thẳng song song với trục Ox. Nó cắt đồ thị của hàm số \(\displaystyle y = {1 \over 4}{x^2}\) tại hai điểm M và M’. Tìm hoành độ của M và M’.
b) Tìm trên đồ thị của hàm số \(\displaystyle y = - {1 \over 4}{x^2}\) điểm N có cùng hoành độ với M, điểm N’ có cùng hoành độ với M’. Đường thẳng NN’ có song song với Ox không? Vì sao? Tìm tung độ của N và N’ bằng hai cách:
- Ước lượng trên hình vẽ:
- Tính toán theo công thức.
Cho phương trình: x2 - x - 2 = 0.
a) Giải phương trình.
b) Vẽ hai đồ thị y = x2 và y = x + 2 trên cùng một hệ trục tọa độ.
c) Chứng tỏ rằng hai nghiệm tìm được trong câu a) là hoành độ giao điểm của hai đồ thị.
Giải các phương trình:
a) 3x4 – 12x2 + 9 = 0;
b) 2x4 + 3x2 – 2 = 0;
c) x4 + 5x2 + 1 = 0.
Giải các phương trình:
a) \(5{{\rm{x}}^2} - 3{\rm{x}} + 1 = 2{\rm{x}} + 11\)
b) \({{{x^2}} \over 5} - {{2{\rm{x}}} \over 3} = {{x + 5} \over 6}\)
c) \({x \over {x - 2}} = {{10 - 2{\rm{x}}} \over {{x^2} - 2{\rm{x}}}}\)
d) \({{x + 0,5} \over {3{\rm{x}} + 1}} = {{7{\rm{x}} + 2} \over {9{{\rm{x}}^2} - 1}}\)
e) \(2\sqrt 3 {x^2} + x + 1 = \sqrt 3 \left( {x + 1} \right)\)
f) \({x^2} + 2\sqrt 2 x + 4 = 3\left( {x + \sqrt 2 } \right)\)
Giải các phương trình
a) \(1,2{{\rm{x}}^3} - {x^2} - 0,2{\rm{x}} = 0\)
b) \(5{{\rm{x}}^3} - {x^2} - 5{\rm{x}} + 1 = 0\)
Giải các phương trình bằng cách đặt ẩn phụ:
a) \(2{\left( {{x^2} - 2{\rm{x}}} \right)^2} + 3\left( {{x^2} - 2{\rm{x}}} \right) + 1 = 0\)
b) \({\left( {x + {1 \over x}} \right)^2} - 4\left( {x + {1 \over x}} \right) + 3 = 0\)
Với mỗi phương trình sau, đã biết một nghiệm (ghi kèm theo), hãy tìm nghiệm kia:
a) \(12{{\rm{x}}^2} - 8{\rm{x}} + 1 = 0;{x_1} = {1 \over 2}\)
b) \(2{{\rm{x}}^2} - 7{\rm{x}} - 39 = 0;{x_1} = - 3\)
c) \({x^2} + x - 2 + \sqrt 2 = 0;{x_1} = - \sqrt 2 \)
d) \({x^2} - 2m{\rm{x}} + m - 1 = 0;{x_1} = 2\)
Tìm hai số u và v trong mỗi trường hợp sau:
a) \(u + v = 12\); \(uv = 28\) và \(u > v\)
b) \(u + v = 3; uv = 6\)
Cho phương trình \(7x^2 + 2(m – 1)x – m^2= 0\)
a) Với giá trị nào của \(m\) thì phương trình có nghiệm?
b) Trong trường hợp phương trình có nghiệm, dùng hệ thức Vi-ét, hãy tính tổng các bình phương hai nghiệm của phương trình theo \(m\).
Sau hai năm, số dân của một thành phố tăng từ \(2 000 000\) người lên \(2 020 050\) người. Hỏi trung bình mỗi năm dân số của thành phố đó tăng bao nhiêu phần trăm?
Bài toán yêu cầu tìm tích của một số dương với một số lớn hơn nó 2 đơn vị, nhưng bạn Quân nhầm đầu bài lại tính tích của một số dương với một số bé hơn nó 2 đơn vị. Kết quả của bạn Quân là 120. Hỏi nếu làm đúng đầu bài đã cho thì kết quả phải là bao nhiêu?
Một xe lửa đi từ Hà Nội vào Bình Sơn (Quảng Ngãi). Sau đó 1 giờ, một xe lửa khác đi từ Bình Sơn ra Hà Nội với vận tốc lớn hơn vận tốc của xe lửa thứ nhất là 5km/h. Hai xe gặp nhau tại một ga ở chính giữa quãng đường. Tìm vận tốc của mỗi xe, giả thiết rằng quãng đường Hà Nội – Bình Sơn dài 900km.
Cho tam giác ABC có BC = 16cm , đường cao AH = 12 cm. Một hình chữ nhật MNPQ có đỉnh M thuộc cạnh AB, đỉnh N thuộc cạnh AC còn hai đỉnh P và Q thuộc cạnh BC (h.17). Xác định vị trí của điểm M trên cạnh AB sao cho diện tích của hình chữ nhật đó bằng 36cm2.
Cho hai hàm số: \(y = 2x - 3\) và \(y = - {x^2}\)
a) Vẽ đồ thị hai hàm số này trong cùng một mặt phẳng tọa độ.
b) Tìm tọa độ các giao điểm của hai đồ thị.
c) Kiểm nghiệm rằng tọa độ của mỗi giao điểm đều là nghiệm chung của hai phương trình hai ẩn y = 2x – 3 và \(y = - {x^2}\)
Giải các phương trình:
a) \(3{x^2} + 4\left( {x - 1} \right) = {\left( {x - 1} \right)^2} + 3\)
b) \({x^2} + x + \sqrt 3 = \sqrt 3 x + 6\)
c) \({{x + 2} \over {1 - x}} = {{4{x^2} - 11x - 2} \over {\left( {x + 2} \right)\left( {x - 1} \right)}}\)
d) \({{{x^2} + 14x} \over {{x^3} + 8}} = {x \over {x + 2}}\)
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
Có chiếc ca nô xuôi dòng sông 39 km, rồi ngược dòng 28 km hết một thời gian bằng thời gian nó đi 70 km trong nước hồ yên lặng. Tính vận tốc của ca nô trong nước yên lặng, biết rằng vận tốc nước chảy là 3 km/h.
Câu trả lời của bạn
Gọi vận tốc của ca nô trong nước yên lặng là \(x\left( {km/h} \right),x > 3\)
Vận tốc ca nô khi xuôi dòng là \(x + 3\left( {km/h} \right)\)
Vận tốc ca nô khi ngược dòng là \(x - 3\left( {km/h} \right)\)
Thời gian ca nô xuôi dòng 39km là \(\dfrac{{39}}{{x + 3}}\) (giờ)
Thời gian ca nô ngược dòng 28km là \(\dfrac{{28}}{{x - 3}}\) (giờ)
Thời gian ca nô đi 70km khi nước yên lặng là \(\dfrac{{70}}{x}\) (giờ)
Theo đề bài ta có phương trình \(\dfrac{{39}}{{x + 3}} + \dfrac{{28}}{{x - 3}} = \dfrac{{70}}{x}\)
\( \Leftrightarrow \dfrac{{39x\left( {x - 3} \right)}}{{x\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} + \dfrac{{28x\left( {x + 3} \right)}}{{x\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} \)\(= \dfrac{{70\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}{{x\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow 39{x^2} - 117x + 28{x^2} + 84x = 70{x^2} - 630\\ \Leftrightarrow 3{x^2} + 33x - 630 = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} + 11x - 210 = 0\,\,\,\left( 1 \right)\end{array}\)
Phương trình (1) có \(\Delta = {11^2} - 4.1.\left( { - 210} \right) = 961 > 0 \)\(\Rightarrow \sqrt \Delta = 31\)
Nên phương trình (1) có nghiệm \(\left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{{ - 11 + 31}}{2} = 10\left( N \right)\\x = \dfrac{{ - 11 - 31}}{2} = - 21\left( L \right)\end{array} \right.\)
Vậy vận tốc của ca nô khi nước yên lặng là \(10\,\left( {km/h} \right)\).
Hãy giải phương trình \({x^2} - \dfrac{{2x - 3{x^2}}}{{x - 1}} = \dfrac{{4x + 4}}{x} + 2x\)
Câu trả lời của bạn
ĐK: \(x \ne \left\{ {0;1} \right\}\)
Ta có \({x^2} - \dfrac{{2x - 3{x^2}}}{{x - 1}} = \dfrac{{4x + 4}}{x} + 2x\)
\( \Leftrightarrow \dfrac{{{x^2}.x\left( {x - 1} \right)}}{{x\left( {x - 1} \right)}} - \dfrac{{\left( {2x - 3{x^2}} \right)x}}{{x\left( {x - 1} \right)}}\)\( = \dfrac{{\left( {4x + 4} \right)\left( {x - 1} \right)}}{{x\left( {x - 1} \right)}} + \dfrac{{2x.x\left( {x - 1} \right)}}{{x\left( {x - 1} \right)}}\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow {x^4} - {x^3} - 2{x^2} + 3{x^3} = 4{x^2} - 4 + 2{x^3} - 2{x^2}\\ \Leftrightarrow {x^4} - 4{x^2} + 4 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {{x^2} - 2} \right)^2} = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} - 2 = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} = 2\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \sqrt 2 \\x = - \sqrt 2 \end{array} \right.\left( {TM} \right)\end{array}\)
Vậy phương trình đã cho có nghiệm \(x = \sqrt 2 ;x = - \sqrt 2 .\)
Cho hai đường thẳng như sau: \(\begin{gathered} y = (m + 1)x + 5\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,({d_1}) \hfill \\ y = 2x + n\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\;\;\;\;\;({d_2}) \hfill \\ \end{gathered} \) Với giá trị nào của m và n thì d1 trùng với d2?
Câu trả lời của bạn
\(\left( {{d_1}} \right)\) trùng \(\left( {{d_2}} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m + 1 = 2\\n = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 1\\n = 5\end{array} \right.\)
Vậy \(m = 1;n = 5.\)
Cho hai đường thẳng như sau: \(\begin{gathered} y = (m + 1)x + 5\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,({d_1}) \hfill \\ y = 2x + n\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\;\;\;\;\;({d_2}) \hfill \\ \end{gathered} \) Với giá trị nào của m và n thì d1 cắt d2?
Câu trả lời của bạn
\(\left( {{d_1}} \right)\) cắt \(\left( {{d_2}} \right) \Leftrightarrow m + 1 \ne 2 \Leftrightarrow m \ne 1\)
song với đường thẳng y = x + 5 và đi qua điểm C(1; 2)
Câu trả lời của bạn
Đường thẳng \(y = ax + b\) song song với đường thẳng \(y = x + 5\) có dạng \(y = x + b.\)
Thay \(x = 1;y = 2\) vào hàm số \(y = x + 5\) ta được \(2 = 1 + b \Leftrightarrow b = 1\)
Vậy đường thẳng cần tìm là \(y=x+1\), tức \(a = 1;b = 1.\)
Cho hai đường thẳng như sau: \(\begin{gathered} y = (m + 1)x + 5\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,({d_1}) \hfill \\ y = 2x + n\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\;\;\;\;\;({d_2}) \hfill \\ \end{gathered} \) Với giá trị nào của m và n thì d1 song song với d2?
Câu trả lời của bạn
\(\left( {{d_1}} \right)\) song song \(\left( {{d_2}} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m + 1 = 2\\n \ne 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 1\\n \ne 5\end{array} \right.\)
Vậy \(m = 1;n \ne 5.\)
Hãy giải hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l} 2x + 3\left| y \right| = 13\\ 3x - y = 3 \end{array} \right.\)
Câu trả lời của bạn
+ Với \(y \ge 0 \) ta có hệ phương trình
\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
2x + 3y = 13\\
3x - y = 3
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
y = 3x - 3\\
2x + 3\left( {3x - 3} \right) = 13
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
y = 3x - 3\\
2x + 9x - 9 = 13
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
y = 3x - 3\\
11x = 22
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 2\\
y = 3
\end{array} \right.
\end{array}\)
+ Với \(y < 0 \) ta có hệ phương trình
\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
2x - 3y = 13\\
3x - y = 3
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
y = 3x - 3\\
2x - 3\left( {3x - 3} \right) = 13
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
y = 3x - 3\\
2x - 9x + 9 = 13
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
y = 3x - 3\\
- 7x = 4
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = - \dfrac{4}{7}\\
y = - \dfrac{{33}}{7}
\end{array} \right.
\end{array}\)
Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm \(\left( {2;3} \right);\left( { - \dfrac{4}{7}; - \dfrac{{33}}{7}} \right)\)
Hãy giải hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l} 3\sqrt x - 2\sqrt y = - 2\\ 2\sqrt x + \sqrt y = 1 \end{array} \right.\)
Câu trả lời của bạn
Đặt \(\sqrt x = u\,\,\left( {u \ge 0} \right),\,\,\sqrt y = v\,\,\,\left( {v \ge 0} \right)\) ta có hệ
\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
3u - 2v = - 2\\
2u + v = 1
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
v = 1 - 2u\\
3u - 2\left( {1 - 2u} \right) = - 2
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
v = 1 - 2u\\
3u - 2 + 4u = - 2
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
v = 1 - 2u\\
7u = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
u = 0\\
v = 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 0\\
y = 1
\end{array} \right.
\end{array}\)
Vậy hệ phương trình có nghiệm \(\left( {x;y} \right) = \left( {0;1} \right)\).
Giải hệ phương trình sau: \(\left\{ \begin{array}{l} 2\sqrt {x - 1} - \sqrt {y - 1} = 1\\ \sqrt {x - 1} + \sqrt {y - 1} = 2 \end{array} \right.\)
Câu trả lời của bạn
Điều kiện: \(x \ge 1;y \ge 1\)
Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = \sqrt {x - 1} \,\\v = \sqrt {y - 1} \end{array} \right.\,\left( {u,v \ge 0} \right)\) ta có hệ phương trình
\(\left\{ \begin{array}{l}2u - v = 1\\u + v = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}u = 1\\v = 1\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt {x - 1} = 1\\\sqrt {y - 1} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 2\end{array} \right.\left( {TM} \right)\)
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm \(\left( {x;y} \right) = \left( {2;2} \right)\)
Giải hệ phương trình sau: \(\left\{ \begin{array}{l} {\left( {x - 1} \right)^2} - 2y = 2\\ 3{\left( {x - 1} \right)^2} + 3y = 1 \end{array} \right.\)
Câu trả lời của bạn
Đặt \(u = {\left( {x - 1} \right)^2}\,\left( {u \ge 0} \right)\) ta có hệ phương trình
\(\left\{ \begin{array}{l}u - 2y = 2\\3u + 3y = 1\end{array} \right. \)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3u - 6y = 6\\3u + 3y = 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 9y = 5\\3u + 3y = 1\end{array} \right. \)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = - \dfrac{5}{9}\\3u + 3.\left( { - \dfrac{5}{9}} \right) = 1\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}u = \dfrac{8}{9} (tm)\\y = -\dfrac{5}{9}\end{array} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 1 \pm \dfrac{{2\sqrt 2 }}{3}\\
y = - \dfrac{5}{9}
\end{array} \right.\)
Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm \(\left( {1 + \dfrac{{2\sqrt 2 }}{3}; - \dfrac{5}{9}} \right);\left( {1 - \dfrac{{2\sqrt 2 }}{3}; - \dfrac{5}{9}} \right)\).
Chú ý:
Với \(u = \dfrac{8}{9} \Rightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} = \dfrac{8}{9} \)\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 1 = \dfrac{{2\sqrt 2 }}{3}\\x - 1 = - \dfrac{{2\sqrt 2 }}{3}\end{array} \right. \)\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1 + \dfrac{{2\sqrt 2 }}{3}\\x = 1 - \dfrac{{2\sqrt 2 }}{3}\end{array} \right.\)
Cho hai giá sách có \(450\) cuốn. Nếu chuyển \(50\) cuốn từ giá thứ nhất sang giá thứ hai thì số sách ở giá thứ hai sẽ bằng \(\dfrac{4}{5}\) số sách ở giá thứ nhất. Tính số sách lúc đầu trong mỗi giá.
Câu trả lời của bạn
Gọi số sách ở giá thứ nhất là \(x\), số sách ở giá thứ hai là \(y\) \(\left( {x;y \in {\mathbb{N}^*}} \right)\)
Tổng số sách ở hai giá là \(450\) cuốn nên ta có
\(x + y = 450\)
Nếu chuyển \(50\) cuốn từ giá thứ nhất sang giá thứ hai thì giá thứ nhất còn \(x - 50\) cuốn và giá thứ hai có \(y + 50\) cuốn. Lúc này, số sách ở giá thứ hai bằng \(\dfrac{4}{5}\) số sách ở giá thứ nhất nên ta có
\(y + 50 = \dfrac{4}{5}\left( {x - 50} \right)\)
Như vậy, theo đề bài ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 450\\y + 50 = \dfrac{4}{5}\left( {x - 50} \right)\end{array} \right.\)
Giải hệ trên, ta được
\(\begin{array}{l}
\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{y = 450 - x}\\
{450 - x + 50 = \dfrac{4}{5}x - 40}
\end{array}} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{y = 450 - x}\\
{\dfrac{9}{5}x = 540}
\end{array}} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
y = 450 - x\\
x = 540:\dfrac{9}{5}
\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 300}\\
{y = 450 - 300}
\end{array}} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 300}\\
{y = 150}
\end{array}} \right.
\end{array}\)
Nghiệm tìm được thỏa mãn điều kiện nêu trên: \(300 \in\mathbb N^*,\,\,150 \in\mathbb N^*\)
Vậy số sách lúc đầu ở giá thứ nhất là \(300\) cuốn, ở giá thứ hai là \(150\) cuốn.
Đáp số: \(300\) cuốn, \(150\) cuốn.
Có một lớp học có \(40\) học sinh được sắp xếp ngồi đều nhau trên các ghế bằng. Nếu ta bớt đi \(2\) ghế băng thì mỗi ghế còn lại phải sắp xếp thêm một học sinh. Tính số ghế băng lúc đầu.
Câu trả lời của bạn
Gọi \(x\) là số ghế băng lúc đầu \(2<x \in N^*\)
Số ghế băng còn lại sau khi bớt đi 2 ghế là \(x-2\) ghế. Số học sinh ngồi trên một ghế băng lúc đầu là \(\dfrac{{40}}{x}\) học sinh, lúc sau là \(\dfrac{40}{x - 2}\) học sinh. Theo đề bài ta có phương trình:
\(\dfrac{{40}}{x} - \dfrac{{40}}{{x - 2}} = 1\)
Giải phương trình trên, ta có:
\(\begin{array}{l}
\dfrac{{40\left( {x - 2} \right)}}{{x\left( {x - 2} \right)}} - \dfrac{{40x}}{{x\left( {x - 2} \right)}} = \dfrac{{x\left( {x - 2} \right)}}{{x\left( {x - 2} \right)}}\\
\Rightarrow 40\left( {x - 2} \right) - 40x = x\left( {x - 2} \right)\\
\Leftrightarrow {x^2} - 2x - 80 = 0\\
\Leftrightarrow {x^2} - 10x + 8x - 80 = 0\\
\Leftrightarrow x\left( {x - 10} \right) + 8\left( {x - 10} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left( {x - 10} \right)\left( {x + 8} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 10\\
x = - 8
\end{array} \right.
\end{array}\)
Vì \(x>2\) nên nghiệm của phương trình là \(x=10\).
Vậy số ghế băng lúc đầu là \(10\) chiếc.
Đáp số: \(10\) ghế băng.
Ta có cạnh huyền của một tam giác vuông bằng \(10\, cm.\) Hai cạnh góc vuông có độ dài hơn kém nhau \(2\,cm.\) Tính độ dài các cạnh góc vuông của tam giác vuông đó.
Câu trả lời của bạn
Gọi độ dài hai cạnh góc vuông của tam giác vuông đó là \(x\,(cm)\) và \(y\,(cm)\) \((x>y>0)\).
Theo đề bài ta có hệ phương trình
\(\left\{ \begin{array}{l}
x - y = 2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\\
{x^2} + {y^2} = {10^2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)
\end{array} \right.\)
Từ (1) ta suy ra \(y=x-2\). Thay \(y=x-2\) vào (2):
\(\begin{array}{l}
{x^2} + {\left( {x - 2} \right)^2} = 100\\
\Leftrightarrow 2{x^2} - 4x - 96 = 0\\
\Leftrightarrow 2{x^2} + 12x - 16x - 96 = 0\\
\Leftrightarrow 2x\left( {x + 6} \right) - 16\left( {x + 6} \right) = 0\\
\Leftrightarrow 2\left( {x + 6} \right)\left( {x - 8} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = - 6\\
x = 8
\end{array} \right.
\end{array}\)
Vì \(x>0\) nên giá trị \(x=-6\) bị loại.
Vậy \(x=8,y=8-2=6\).
Độ dài hai cạnh góc vuông của tam giác vuông đó là \(8\;cm\) và \(6\,cm\).
Đáp số: \(8\;cm\) và \(6\,cm\).
Tìm nghiệm của: \(\begin{gathered} \,x(x + 1)(x + 4)(x + 5) = 12 \hfill \\ \end{gathered} \)
Câu trả lời của bạn
\(x\left( {x + 1} \right)\left( {x + 4} \right)\left( {x + 5} \right) = 12\)
\(\Leftrightarrow x\left( {x + 5} \right). \left( {x + 1} \right)\left( {x + 4} \right) = 12\)
\( \Leftrightarrow \left( {{x^2} + 5x} \right)\left( {{x^2} + 5x + 4} \right) = 12\)
Đặt \({x^2} + 5x + 2 = y\), ta có:
\(\left( {y - 2} \right)\left( {y + 2} \right) = 12 \Leftrightarrow {y^2} - 4 = 12 \Leftrightarrow y = \pm 4 \)
Với \( y = 4 \), giải phương trình \({x^2} + 5x + 2 = 4 \), ta được \(x_1= \dfrac{{ - 5 + \sqrt {33} }}{2}\); \(x_2 = \dfrac{{ - 5 - \sqrt {33} }}{2}\)
Với \(y=-4\), giải phương trình \({x^2} + 5x + 2 =- 4 \), ta được \(x_3=-2\); \(x_4=-3\).
Vậy tập nghiệm \(S = \left\{ { - 2; - 3;\dfrac{{ - 5 \pm \sqrt {33} }}{2}{\rm{ }}} \right\}\).
Tìm nghiệm của: \(\begin{gathered} \,2{x^3} - {x^2} + 3x + 6 = 0 \;\;\;\;\;\;\;\;\;\hfill \\ \end{gathered} \)
Câu trả lời của bạn
\(2{x^3} - {x^2} + 3x + 6 = 0\)
\(\Leftrightarrow 2{x^3} + 2{x^2} - 3{x^2} - 3x + 6x + 6 = 0\)
\( \Leftrightarrow 2{x^2}\left( {x + 1} \right) - 3x\left( {x + 1} \right) + 6\left( {x + 1} \right) = 0 \)
\(\Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {2{x^2} - 3x + 6} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + 1 = 0\\2{x^2} - 3x + 6 = 0\end{array} \right. \)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x \in \phi \end{array} \right.\)
Vậy phương trình đã cho có một nghiệm \(x = - 1\) hay \(S=\{-1\}\).
Biết quãng đường \(AB\) gồm một đoạn lên dốc dài \(4\; km\) và một đoạn xuống dốc dài \(5\,km.\) Một người đi xe đạp từ \(A\) đến \(B\) hết \(40\) phút và đi từ \(B\) về \(A\) hết \(41\) phút (vận tốc lên dốc, xuống dốc lúc đi và về như nhau). Tính vận tốc lúc lên dốc và lúc xuống dốc.
Câu trả lời của bạn
Gọi vận tốc lúc lên dốc là \(x\left( {km/h} \right)\), vận tốc lúc xuống dốc là \(y\left( {km/h} \right)\) \(\left( {x;y > 0} \right)\)
\(40\) phút \(=\dfrac{{40}}{{60}}\,h = \dfrac{2}{3}h\), \(41\) phút\( = \dfrac{{41}}{{60}}h\)
Thời gian lên dốc và xuống dốc khi đi từ \(A\) đến \(B\) theo thứ tự là \(\dfrac{4}{x}\) và \(\dfrac{5}{y}\)
Theo đề bài, ta có hệ phương trình
\(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{4}{x} + \dfrac{5}{y} = \dfrac{2}{3}\\\dfrac{5}{x} + \dfrac{4}{y} = \dfrac{{41}}{{60}}\end{array} \right.\)
Giải hệ phương trình trên
\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\dfrac{1}{x} = \dfrac{1}{4}.\left( {\dfrac{2}{3} - \dfrac{5}{y}} \right)\\
\dfrac{5}{4}.\left( {\dfrac{2}{3} - \dfrac{5}{y}} \right) + \dfrac{4}{y} = \dfrac{{41}}{{60}}
\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\dfrac{1}{x} = \dfrac{1}{4}.\left( {\dfrac{2}{3} - \dfrac{5}{y}} \right)\\
\dfrac{5}{6} - \dfrac{{25}}{{4y}} + \dfrac{4}{y} = \dfrac{{41}}{{60}}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\dfrac{1}{x} = \dfrac{1}{4}.\left( {\dfrac{2}{3} - \dfrac{5}{y}} \right)\\
\dfrac{{ - 9}}{{4y}} = \dfrac{{ - 3}}{{20}}
\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\dfrac{1}{x} = \dfrac{1}{4}.\left( {\dfrac{2}{3} - \dfrac{5}{{15}}} \right)\\
y = 15
\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 12\\
y = 15
\end{array} \right.\text{(thỏa mãn)}
\end{array}\)
Vậy vận tốc lúc lên dốc là \(12km/h\), vận tốc lúc xuống dốc là \(15km/h.\)
Đáp số: \(12km/h\), \(15km/h.\)
Cho các số thực dương \(x,y,z\) thỏa mãn \(x + 2y + 3z \ge 20\). Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : \(A = x + y + z + \dfrac{3}{x} + \dfrac{9}{{2y}} + \dfrac{4}{z}\).
Câu trả lời của bạn
Cho các số thực dương \(x,\;y,\;z\) thỏa mãn \(x + 2y + 3z \ge 20\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : \(A = x + y + z + \dfrac{3}{x} + \dfrac{9}{{2y}} + \dfrac{4}{z}\).
Ta có: \(A = x + y + z + \dfrac{3}{x} + \dfrac{9}{{2y}} + \dfrac{4}{z}\)\(\, = \dfrac{1}{4}x + \left( {\dfrac{3}{4}x + \dfrac{3}{x}} \right) + \dfrac{1}{2}y + \left( {\dfrac{1}{2}y + \dfrac{9}{{2y}}} \right) + \dfrac{3}{4}z + \left( {\dfrac{1}{4}z + \dfrac{4}{z}} \right)\)
Áp dụng bất đẳng thức Cosi cho các số dương ta có:
\(\begin{array}{l} + )\dfrac{3}{4}x + \dfrac{3}{x} \ge 2\sqrt {\dfrac{3}{4}x.\dfrac{3}{x}} = 3\\ + )\dfrac{1}{2}y + \dfrac{9}{{2y}} \ge 2\sqrt {\dfrac{1}{2}y.\dfrac{9}{{2y}}} = 3\\ + )\dfrac{1}{4}z + \dfrac{4}{z} \ge 2\sqrt {\dfrac{1}{4}z.\dfrac{4}{z}} = 2\end{array}\)
\( \Rightarrow A \ge \dfrac{1}{4}\left( {x + 2y + 3z} \right) + 3 + 3 + 2 = \dfrac{{20}}{4} + 3 + 3 + 2 = 13\).
Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{3}{4}x = \dfrac{3}{x}\\\dfrac{1}{2}y = \dfrac{9}{{2y}}\\\dfrac{1}{4}z = \dfrac{4}{z}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 3\\z = 4\end{array} \right.\).
Biết năm nay số dân ở một thành phố A có 2 000 000 người. Hỏi 2 năm sau số dân của thành phố A là bao nhiêu người? Biết rằng bình quân mỗi năm số dân của thành phố A này tăng 0,5%.
Câu trả lời của bạn
Năm nay số dân ở một thành phố A có 2 000 000 người. Hỏi 2 năm sau số dân của thành phố A là bao nhiêu người? Biết rằng bình quân mỗi năm số dân của thành phố A này tăng 0,5%.
Cách 1: Áp dụng công thức trên ta có só dân của thành phố sau 2 năm là:
\({P_2} = 2000000.{\left( {1 + 0,5\% } \right)^2} = 2020050\) người
Vậy sau 2 năm dân số của thành phố là 2020050 người.
Cách 2:
Dân số của thành phố A sau 1 năm là: \(2000000 + 2000000.0,5\% = 2010000\) người.
Dân số của thành phố A sau 2 năm là: \(2010000 + 2010000.0,5\% = 2020050\) người.
Vậy sau 2 năm dân số của thành phố là 2020050 người.
Các tia sáng mặt trời tạo với mặt đất một góc xấp xỉ \({30^o}\). Tại thời điểm đó, bóng của một cái cây trên mặt đất dài \(20m\). Cho biết cái cây đó cao bao nhiêu mét ? (làm tròn tới phần thập phân thứ nhất).
Câu trả lời của bạn
Ta có hình vẽ minh họa:
Trong đó đoạn thẳng AB là độ dài của bóng cây, đoạn BC là chiều cao của cây
Xét tam giác ABC vuông tại B có: \(\tan \alpha = \tan {30^o} = \dfrac{{BC}}{{AB}} = \dfrac{h}{{20}} \Rightarrow h = 20.\tan {30^o} = 11,5\left( m \right)\)
Vậy chiều cao của cây là: \(h = 11,5m\)
Cho biểu thức sau \(P = \dfrac{{3x + \sqrt {9x} - 3}}{{x + \sqrt x - 2}} - \dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x + 2}} + \dfrac{{\sqrt x - 2}}{{1 - \sqrt x }}\) với \(x \ge 0,x \ne 1\). Tìm \(x\) để \(\dfrac{1}{P}\) nguyên.
Câu trả lời của bạn
Xét: \(\dfrac{1}{P} = \dfrac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 1}} = \dfrac{{\sqrt x + 1 - 2}}{{\sqrt x + 1}} = 1 - \dfrac{2}{{\sqrt x + 1}}\).
Để \(\dfrac{1}{P}\) nguyên thì \(\dfrac{2}{{\sqrt x + 1}}\) nguyên, suy ra \(\sqrt x + 1\) là ước của 2. Mà \(\sqrt x + 1 > \)0
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left( {\sqrt x + 1} \right) \in U\left( 2 \right) \Rightarrow \left( {\sqrt x + 1} \right) = \left\{ {1;\;2} \right\}.\\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt x + 1 = 2\\\sqrt x + 1 = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt x = 1\\\sqrt x = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\;\;\left( {ktm} \right)\\x = 0\;\;\;\left( {tm} \right)\end{array} \right..\end{array}\)
Vậy với \(x = 0\) thì \(\dfrac{1}{P}\) nguyên.
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *