Chúng ta vừa kết thúc chương đầu tiên của phân môn Đại số 9, đây là kiến thức nền tảng giúp các em biết và vận dụng để giải các bài toán. Đây là bài ôn tập toàn bộ chương I, giúp các em nắm chắc kiến thức bằng lý thuyết và các bài tập minh họa.
1. \(\sqrt{A^2}=|A|\)
2. \(\sqrt{AB}=\sqrt{A}.\sqrt{B}\) (với \(A\geq 0;B\geq 0\))
3. \(\sqrt{\frac{A}{B}}=\frac{\sqrt{A}}{\sqrt{B}}\) (với \(A\geq 0;B>0\))
4. \(\sqrt{A^2B}=|A|\sqrt{B}\) (với \(B\geq 0\))
5. \(A\sqrt{B}=\sqrt{A^2B}\) (với \(A\geq 0;B\geq 0\))
\(A\sqrt{B}=-\sqrt{A^2B}\) (với \(A<0;B\geq 0\))
6. \(\sqrt{\frac{A}{B}}=\frac{1}{|B|}\sqrt{AB}\) (với \(AB\geq 0;B\neq 0\))
7. \(\frac{A}{\sqrt{B}}=\frac{a\sqrt{B}}{B}\) (với \(B>0\))
8. \(\frac{C}{\sqrt{A}\pm B}=\frac{C(\sqrt{A}\mp B)}{A-B^2}\) (với \(A\geq 0;A\neq B^2\))
9. \(\frac{C}{\sqrt{A}\pm \sqrt{B}}=\frac{C(\sqrt{A}\mp \sqrt{B})}{A-B}\) (với \(A\geq 0;B\geq 0;A\neq B\))
Bài 1: Tính cạnh của một hình vuông, biết rằng diện tích hình vuông đó bằng diện tích hình chữ nhật có chiều dài là \(16m\) và chiều rộng là \(9m\).
Hướng dẫn: Diện tích của hình chữ nhật là: \(16.9=144(m^2)\)
Theo đề, diện tích hình vuông bằng diện tích hình chữ nhật nên cạnh a của hình vuông là: \(a^2=\sqrt{144}\Leftrightarrow a=12(m)\)
Bài 2: Giải phương trình: \(x^2-2\sqrt{13}x+13=0\)
Hướng dẫn:
\(x^2-2\sqrt{13}x+13=0\) \(\Leftrightarrow x^2-2\sqrt{13}x+(\sqrt{13})^2=0\)\(\Leftrightarrow (x-\sqrt{13})^2=0\)
\(\Leftrightarrow x=\sqrt{13}\)
Bài 3: Không dùng máy tính, so sánh hai số \(\sqrt{16+64}\) và \(\sqrt{16}+\sqrt{64}\). Từ đó rút ra nhận xét gì
Hướng dẫn: \(\sqrt{16+64}=\sqrt{80}=4\sqrt{5}\)
\(\sqrt{16}+\sqrt{64}=4+8=12\)
Vậy \(\sqrt{16}+\sqrt{64}>\sqrt{16+64}\)
Bài 4: Không dùng máy tính, so sánh hai số \(\sqrt{100-64}\) và \(\sqrt{100}-\sqrt{64}\). Từ đó rút ra nhận xét gì
Hướng dẫn: \(\sqrt{100-64}=\sqrt{36}=6\)
\(\sqrt{100}-\sqrt{64}=10-8=2\)
Vậy \(\sqrt{100-64}>\sqrt{100}-\sqrt{64}\)
Nhận xét: Với hai số dương a, b, \(a>b\) ta có: \((\sqrt{a}-\sqrt{b})^2=a+b-2\sqrt{ab}\)
\((\sqrt{a-b})^2=a-b\)
\((\sqrt{a-b})^2-(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2=a-b-a-b+2\sqrt{ab}=2(\sqrt{ab}-b)\)
\(=2\sqrt{b}(\sqrt{a}-\sqrt{b})>0\)
Vậy \(\sqrt{a}-\sqrt{b}<\sqrt{a-b}\)
Bài 5: Rút gọn biểu thức chứa biến sau: \(\left ( 1+\frac{a+\sqrt{a}}{\sqrt{a}+1} \right )\left ( 1-\frac{a-\sqrt{a}}{\sqrt{a}-1} \right )\)
Hướng dẫn:
Điều kiện: \(a\geq 0;a\neq 1\)
Với điều kiện trên:
\(\left ( 1+\frac{a+\sqrt{a}}{\sqrt{a}+1} \right )\left ( 1-\frac{a-\sqrt{a}}{\sqrt{a}-1} \right )\)
\( = \left( {1 + \sqrt a } \right).\left( {1 - \sqrt a } \right)\)\(=1-a\)
Bài 6: Thực hiện phép tính: \(A=\sqrt{5+\sqrt{24}}+\sqrt{5-\sqrt{24}}\)
Hướng dẫn: Do A dương nên bình phương đẳng thức, ta được:
\(A^2=5+5+\sqrt{24}-\sqrt{24}+2\sqrt{(5+\sqrt{24})(5-\sqrt{24})}=12\)
Vậy \(A=3\sqrt{2}\)
Bài 7: Giải phương trình: \(\sqrt{2x-1}+\sqrt{x}=2\)
Hướng dẫn:
Điều kiện: \(x\geq \frac{1}{2}\)
Với điều kiện trên, đặt \(\sqrt{2x-1}=a(a\geq 0);\sqrt{x}=b(b\geq 0)\)
Ta có: \(a^2=2x-1;b^2=x\)\(\Rightarrow a^2-2b^2=-1\)
Mặc khác: \(a+b=2\)
Ta đưa vào hệ: \(\left\{\begin{matrix} a+b=2\\ a^2-2b^2=-1 \end{matrix}\right.\)
Giải hệ trên bằng phương pháp thế:
\(\left\{\begin{matrix} a=1\\ b=1 \end{matrix}\right.\) (nhận) và \(\left\{\begin{matrix} a=7\\ b=-5 \end{matrix}\right.\)(không nhận)
Với \(a=1\Leftrightarrow x=1\)
Vậy \(x=1\) là nghiệm duy nhất của phương trình
-- Mod Toán Học 9 DapAnHay
Thực hiện phép tính \(5\sqrt{12}+2\sqrt{75}-5\sqrt{48}+4\sqrt{147}\)
Rút gọn biểu thức \(\sqrt{\frac{4}{(2-\sqrt{5})^2}}-\sqrt{\frac{4}{(2+\sqrt{5})^2}}\) là:
Giá trị của biểu thức \(A=\sqrt{2+\sqrt{3}+\sqrt{4-2\sqrt{3}-\sqrt{(2\sqrt{3}-3)^2}}}\) là:
Cho \(B=\left ( 1-\frac{4}{\sqrt{x}+1}+\frac{1}{x-1} \right ):\frac{x-2\sqrt{x}}{x-1}\) với \(x>0;x\neq 1;x\neq 4\)
Giá trị của x để \(B=2\) là:
Cho biểu thức \(C=\left ( \frac{\sqrt{x}+2}{x+2\sqrt{x}+1}-\frac{\sqrt{x}-2}{x-1} \right )\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}\)với \(x>0;x\neq 1\)
Số nghiệm x thỏa bài toán để C nguyên là:
Khẳng định nào đúng
Giải phương trình: \(\sqrt x=-2\)
Nêu điều kiện để x là căn bậc hai số học của số a không âm. Cho ví dụ.
Chứng minh \(\sqrt {a^2} = |a|\) với mọi số a.
Biểu thức A phải thỏa mãn điều kiện gì để \(\sqrt A \) xác định?
Phát biểu và chứng minh định lí về mối liên hệ giữa phép nhân và phép khai phương. Cho ví dụ.
Phát biểu và chứng minh định lí về mối liên hệ giữa phép chia và phép khai phương. Cho ví dụ.
Tìm giá trị các biểu thức sau bằng cách biến đổi, rút gọn thích hợp
\(\displaystyle a)\sqrt {{{25} \over {81}}.{{16} \over {49}}.{{196} \over 9}}\)
\(\displaystyle b)\sqrt {3{1 \over {16}}.2{{14} \over {25}}.2{{34} \over {81}}}\)
\(\displaystyle c){{\sqrt {640} .\sqrt {34,3} } \over {\sqrt {567} }}\)
\(d)\sqrt {21,6} .\sqrt {810.} \sqrt {{{11}^2} - {5^2}}\)
Rút gọn các biểu thức sau:
a) \(\left( {\sqrt 8 - 3.\sqrt 2 + \sqrt {10} } \right)\sqrt 2 - \sqrt 5 \)
b) \(0,2\sqrt {{{\left( { - 10} \right)}^2}.3} + 2\sqrt {{{\left( {\sqrt 3 - \sqrt 5 } \right)}^2}} \)
c) \(\left( {{1 \over 2}.\sqrt {{1 \over 2}} - {3 \over 2}.\sqrt 2 + {4 \over 5}.\sqrt {200} } \right):{1 \over 8}\)
d) \(2\sqrt {{{\left( {\sqrt 2 - 3} \right)}^2}} + \sqrt {2.{{\left( { - 3} \right)}^2}} - 5\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^4}} \)
Phân tích thành nhân tử (với các số x, y, a, b không âm và a ≥ b)
a) \(xy - y\sqrt x + \sqrt x - 1\)
b) \(\sqrt {ax} - \sqrt {by} + \sqrt {bx} - \sqrt {ay} \)
c) \(\sqrt {a + b} + \sqrt {{a^2} - {b^2}} \)
d) \(12 - \sqrt x - x\)
Rút gọn rồi tính giá trị của các biểu thức sau:
a) \(\sqrt { - 9{\rm{a}}} - \sqrt {9 + 12{\rm{a}} + 4{{\rm{a}}^2}}\) tại a = - 9
b) \(1 + {{3m} \over {m - 2}}\sqrt {{m^2} - 4m + 4}\) tại m = 1,5
c) \(\sqrt {1 - 10{\rm{a}} + 25{{\rm{a}}^2}} - 4{\rm{a}}\) tại a = √2
d) \(4{\rm{x}} - \sqrt {9{{\rm{x}}^2} - 6{\rm{x}} + 1} \) tại x = √3
Tìm x, biết:
a) \(\sqrt {{{\left( {2{\rm{x}} - 1} \right)}^2}} = 3\)
b) \({5 \over 3}\sqrt {15{\rm{x}}} - \sqrt {15{\rm{x}}} - 2 = {1 \over 3}\sqrt {15{\rm{x}}} \)
Chứng minh các đẳng thức sau:
a) \(\left( {{{2\sqrt 3 - \sqrt 6 } \over {\sqrt 8 - 2}} - {{\sqrt {216} } \over 3}} \right).{1 \over {\sqrt 6 }} = - 1,5\)
b) \(\left( {{{\sqrt {14} - \sqrt 7 } \over {1 - \sqrt 2 }} + {{\sqrt {15} - \sqrt 5 } \over {1 - \sqrt 3 }}} \right):{1 \over {\sqrt 7 - \sqrt 5 }} = - 2\)
c) \({{a\sqrt b + b\sqrt a } \over {\sqrt {ab} }}:{1 \over {\sqrt a - \sqrt b }} = a - b\) với a, b dương và a ≠ b
d) \(\left( {1 + {{a + \sqrt a } \over {\sqrt a + 1}}} \right)\left( {1 - {{a - \sqrt a } \over {\sqrt a - 1}}} \right) = 1 - a\) với a ≥ 0 và a ≠ 1
Cho biểu thức
\(Q = {a \over {\sqrt {{a^2} - {b^2}} }} - \left( {1 + {a \over {\sqrt {{a^2} - {b^2}} }}} \right):{b \over {a - \sqrt {{a^2} - {b^2}} }}\) với a > b > 0
a) Rút gọn Q
b) Xác định giá trị của Q khi a = 3b
Nếu \(x\) thỏa mãn điều kiện:
\(\sqrt {3 + \sqrt x } = 3\)
Thì \(x\) nhận giá trị là
(A) \(0\)
(B) \(6\)
(C) \(9\)
(D) \(36\)
Hãy chọn câu trả lời đúng.
Biểu thức
\(\sqrt {\dfrac{{3 - \sqrt 5 }}{{3 + \sqrt 5 }}} + \sqrt {\dfrac{{3 + \sqrt 5 }}{{3 - \sqrt 5 }}} \)
Có giá trị là
(A) \(3\)
(B) \(6\)
(C) \(\sqrt 5 \)
(D) \( - \sqrt 5 \)
Hãy chọn câu trả lời đúng.
Chứng minh các đẳng thức:
a) \(\sqrt {2 + \sqrt 3 } + \sqrt {2 - \sqrt 3 } = \sqrt 6 \)
b) \(\sqrt {{4 \over {{{\left( {2 - \sqrt 5 } \right)}^2}}}} - \sqrt {{4 \over {{{\left( {2 + \sqrt 5 } \right)}^2}}}} = 8.\)
Cho:
\(A = \dfrac{{\sqrt {4{x^2} - 4x + 1} }}{{4x - 2}}\)
Chứng minh: \(\left| A \right| = 0,5\) với \(x \ne 0,5.\)
Rút gọn các biểu thức:
a) \(\sqrt {{{\left( {2 - \sqrt 3 } \right)}^2}} + \sqrt {4 - 2\sqrt 3 } ;\)
b) \(\sqrt {15 - 6\sqrt 6 } + \sqrt {33 - 12\sqrt 6 } ;\)
c) \(\left( {15\sqrt {200} - 3\sqrt {450} + 2\sqrt {50} } \right):\sqrt {10} .\)
a) Chứng minh:
\(x - 4\sqrt {x - 4} = {\left( {\sqrt {x - 4} - 2} \right)^2};\)
b) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức:
\(\sqrt {x + 4\sqrt {x - 4} } + \sqrt {x - 4\sqrt {x - 4} } .\)
Tìm điều kiện xác định của các biểu thức sau:
\(A = \sqrt x + \sqrt {x + 1} \);
\(B = \sqrt {x + 4} + \sqrt {x - 1} .\)
a) Chứng minh rằng \(A \ge 1\) và \(B \ge \sqrt 5 \);
b) Tìm x, biết:
\(\sqrt x = \sqrt {x + 1} = 1\);
\(\sqrt {x + 4} + \sqrt {x - 1} = 2\)
Chứng minh:
\(x - \sqrt x + 1 = {\left( {\sqrt x - {\dfrac{1}{2}}} \right)^2} + {\dfrac{3}{4}}\) với \(x > 0\)
Từ đó, cho biết biểu thức \(\dfrac{1}{{x - \sqrt x + 1}}\) có giá trị lớn nhất là bao nhiêu ?
Giá trị đó đạt được khi \(x\) bằng bao nhiêu?
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
\(n + 8\) là số chính phương.
\(n - 3\) là số chính phương.
\(n\) chia hết cho 9.
Câu trả lời của bạn
Giả sử tìm được n thỏa tc3 ta đi chứng minh n không thỏa tính chất 1; 2.
\(n \vdots 9 \Rightarrow n \vdots 3 \Rightarrow n + 8\) chia cho 3 dư 2,
mà một số chính phương chỉ chia cho 3 dư 0 hoặc 1(*)
\( \Rightarrow \)\(n + 8\) không phải là số chính phương. vậy n không thỏa tc1
\(n \vdots 9 \Rightarrow n \vdots 3 \Rightarrow n - 3 \vdots 3\)
\(n \vdots 9\) mà 3 không chia hết cho 9 \( \Rightarrow n - 3\) không chia hết cho 9
Mà mọi số chính phương chia hết cho 3 thì chia hết cho 9(**)
nên \(n - 3\) không là số chính phương vậy n không thỏa tc2.\(\)
n không thỏa tc 1,2 nên trái giả thiết.
(hs cần chứng minh (*) và (**) nếu không chứng minh thì trừ
0,25 đ cho cả hai phần này)
Ta đi tìm n thỏa mãn tc 1,2 (cho hs 0,75đ nếu làm được phần này mà không lập luận phần trên)
Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}n + 8 = {p^2}\\n - 3 = {k^2}\end{array} \right.\) (p; k \(\in \) N) \( \Rightarrow {p^2} - {k^2} = 11\)\( \Rightarrow (p - k)(p + k) = 11\)
Do p,k\( \in \)N \( \Rightarrow p + k \in N;p - k \in Z;p + k > p - k\);
Kết hợp với (1) \( \Rightarrow \)\(\left\{ \begin{array}{l}p + k = 11\\p - k = 1\end{array} \right. \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}p = 6 \\ k = 5\end{array} \right.\)
Câu trả lời của bạn
2N-1 = 2.1.3.5.7…2007 – 1
Có 2N \(\vdots \) 3 \(\Rightarrow \) 2N-1 không chia hết cho 3 và 2N-1 = 3k+2 (k \(\in \)N)
\(\Rightarrow \) 2N-1 không là số chính phương.
a) Rút gọn A.
b. Tìm các số nguyên của a để A là số nguyên
Câu trả lời của bạn
a) Rút gọn A.
Điều kiện: \(a \ge 0;a \ne 4\)
\(A = \left( {1 - \frac{{\sqrt a (\sqrt a - 3)}}{{\left( {\sqrt a + 3} \right)\left( {\sqrt a - 3} \right)}}} \right):\left( {\frac{{\sqrt a - 2}}{{\sqrt a + 3}} + \frac{{\sqrt a - 3}}{{2 - \sqrt a }} + \frac{{\left( {3 - \sqrt a } \right)\left( {3 + \sqrt a } \right)}}{{\left( {\sqrt a - 2} \right)\left( {\sqrt a + 3} \right)}}} \right)\)
\(A = \left( {1 - \frac{{\sqrt a }}{{\sqrt a + 3}}} \right):\left( {\frac{{\sqrt a - 2}}{{\sqrt a + 3}} + \frac{{\sqrt a - 3}}{{2 - \sqrt a }} - \frac{{3 - \sqrt a }}{{\sqrt a - 2}}} \right)\)
\(A = \frac{3}{{\sqrt a + 3}}:\frac{{\sqrt a - 2}}{{\sqrt a + 3}}\)
\(A = \frac{3}{{\sqrt a - 2}}\)
b) Tìm các số nguyên của a để A là số nguyên.
Giả sử \(a \in Z\). Để \(A \in Z \Leftrightarrow \frac{3}{{\sqrt a - 2}} \in Z\)
\( \Leftrightarrow \left( {\sqrt a - 2} \right)\) là ước của 3
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt a - 2 = 1\\\sqrt a - 2 = - 1\\\sqrt a - 2 = 3\\\sqrt a - 2 = - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt a = 3 \Leftrightarrow a = 9\\\sqrt a = 1 \Leftrightarrow a = 1\\\sqrt a = 5 \Leftrightarrow a = 25\\\sqrt a = - 1(l)\end{array} \right.\)
Câu trả lời của bạn
\({x^2} + {\rm{ }}5x{\rm{ }} + 1{\rm{ }} = {\rm{ }}\left( {x + 5} \right)\sqrt {{x^2} + 1} \)
\({x^2} + 1{\rm{ }} + {\rm{ }}5x{\rm{ }} = {\rm{ }}\left( {x + 5} \right)\sqrt {{x^2} + 1} \)
\({x^2} + 1{\rm{ }} + {\rm{ }}5x{\rm{ }} - {\rm{ }}x\sqrt {{x^2} + 1} - {\rm{ }}5\sqrt {{x^2} + 1} = 0\)
\(\sqrt {{x^2} + 1} (\sqrt {{x^2} + 1} - x) + 5(x - \sqrt {{x^2} + 1} ) = 0\)
\((\sqrt {{x^2} + 1} - x)(\sqrt {{x^2} + 1} - {\rm{ }}5){\rm{ }} = {\rm{ }}0\)
\((\sqrt {{x^2} + 1} - x) = {\rm{ }}0\)hoặc \((\sqrt {{x^2} + 1} - {\rm{ }}5){\rm{ }} = {\rm{ }}0\)
hoặc
\({x^2} + {\rm{ }}1{\rm{ }} = {x^2}\) (không có x thỏa mãn), hoặc \({x^2} + {\rm{ }}1 = {\rm{ }}25\)
\({x^2} = {\rm{ }}24\) \(\sqrt {{x^2} + 1} = 5\)
\(x{\rm{ }} = \pm \sqrt {24} \)
Vậy nghiệm của PT là \(x{\rm{ }} = \pm \sqrt {24} \)
a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tìm giá trị của x để \(A < 1\).
Câu trả lời của bạn
a) \(A = \frac{{5\sqrt x + 4}}{{\left( {\sqrt x - 4} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}} - \frac{{3 - 2\sqrt x }}{{\sqrt x - 4}} + \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x - 1}}\)
\( = \frac{{5\sqrt x + 4 + \left( {2\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right) + \left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 4} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 4} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}\)
= \(\frac{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {3\sqrt x + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x - 4} \right)}}\) \( = \frac{{3\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 4}}\)
b)
\(A < 1 \Leftrightarrow \frac{{3\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 4}} - 1 < 0 \Leftrightarrow \frac{{2\sqrt x + 5}}{{\sqrt x - 4}} < 0\)
Có \(2\sqrt x + 5 > 0\)
Nên \(\frac{{2\sqrt x + 5}}{{\sqrt x - 4}} < 0 \Leftrightarrow \sqrt x - 4 < 0 \Leftrightarrow \sqrt x < 4 \Leftrightarrow 0 \le x < 16\)
Kết hợp với điều kiện xác định ta tìm được \(0 \le x < 16;x \ne 1\)
Câu trả lời của bạn
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4{x^2} + {y^2} - 4xy - 4x + 2y = 3\\xy - 4x + 2y = - 7\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{(2x - y)^2} - 2(2x - y) - 3 = 0{\rm{ (1)}}\\xy - 4x + 2y = - 7{\rm{(2) }}\end{array} \right.\end{array}\)
Pt(1) \( \Leftrightarrow \) \(\left( {2x - y + 1} \right)\left( {2x - y - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = 2x + 1\\y = 2x - 3\end{array} \right.\)
TH1: \(y = 2x + 1\) thay vào phương trình (2) ta có
\(2{x^2} + x + 9 = 0\) (phương trình vô nghiệm)
TH2: \(y = 2x - 3\) thay vào phương trình (2) ta có
\(2{x^2} - 3x + 1 = 0\) phương trình có hai nghiệm \(\left[ \begin{array}{l}{x_1} = 1 \Rightarrow {y_1} = - 1\\{x_2} = \frac{1}{2} \Rightarrow {y_2} = - 2\end{array} \right.\)
Vậy hệ đã cho có hai nghiệm \(\left( {1; - 1} \right)\) và\(\left( {\frac{1}{2}; - 2} \right)\)
Câu trả lời của bạn
({x^2} + x + 6\sqrt {x + 1} = 9\) ( đkxđ x \( \ge - 1\))
\( \Leftrightarrow {x^2} + 2x + 1 = x + 1 - 6\sqrt {x + 1} + 9\)
\( \Leftrightarrow \) \({\left( {x + 1} \right)^2} = {\left( {\sqrt {x + 1} - 3} \right)^2}\)
\( \Leftrightarrow \)\(\left[ \begin{array}{l}x + 1 = \sqrt {x + 1} - 3\\x + 1 = - \sqrt {x + 1} + 3\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \) \(\left[ \begin{array}{l}x + 4 = \sqrt {x + 1} \\2 - x = \sqrt {x + 1} \end{array} \right.\)
Trường hợp 1: \(x + 4 = \sqrt {x + 1} \)
do \(x + 1 \ge 0 \Rightarrow x + 4 \ge 0\)
hai vế không âm bình phương
ta có x2 + 8x + 16 = x + 1\( \Leftrightarrow \) x2 + 7x + 15 = 0
\(\Delta = {7^2} - 4.15 < 0\) \( \Rightarrow \) phương trình vô nghiệm
Trường hợp 2: \(2 - x = \sqrt {x + 1} \)\( \Leftrightarrow \) \(\left\{ \begin{array}{l} - 1 \le x \le 2{\rm{ (1)}}\\{x^2} - 4x + 4 = x + 1{\rm{ (2)}}\end{array} \right.\)
Pt(2) \( \Leftrightarrow {x^2} - 5x + 3 = 0\)
\(\Delta = {( - 5)^2} - 3.4 = 13 > 0\)
Phương trình (2) có hai nghiệm x1 = \(\frac{{5 + \sqrt {13} }}{2}\) ; x2 = \(\frac{{5 - \sqrt {13} }}{2}\)
Đối chiếu với điều kiện (1) ta thấy
chỉ có nghiệm x2 = \(\frac{{5 - \sqrt {13} }}{2}\) thỏa mãn
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là \(\frac{{5 - \sqrt {13} }}{2}\)
Câu trả lời của bạn
\( \Leftrightarrow {\rm{ }}2{a^2} + 2{b^2} + 2{c^2} \ge 2ab + 2bc + 2ca\)
\( \Leftrightarrow {\rm{ }}{a^2} - 2ab + {b^2} + {b^2} - 2bc{\rm{ }} + {c^2} + {c^2} - 2ca + {a^2} \ge 0\)
\({a^2} + {b^2} + {c^2} \ge ab + bc + ca\)\( \Leftrightarrow {\rm{ }}{\left( {a - b} \right)^2} + {\left( {b - c} \right)^2} + {\left( {c - a} \right)^2} \ge {\rm{ }}0\)
Lập luận ⇒ khẳng định.
Câu trả lời của bạn
Viết được \(A = \frac{{2{x^2} - 4x + 2 + {x^2} - 4x + 4}}{{{x^2} - 2x + 1}} = 2 + \frac{{{{(x - 2)}^2}}}{{{{(x - 1)}^2}}} \ge 2\)
Lập luận: min A = 2 khi \(x - 2 = {\rm{ }}0{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{ }}x = {\rm{ }}2\)
Câu trả lời của bạn
Ta thấy x = 0 không phải là nghiệm của phương trình
Chia cả 2 vế của phương trình cho \({x^2}\) ta được:
\(6{x^2} - 5x - 38 - \frac{5}{x} + \frac{6}{{{x^2}}} = 0\)
\( \Leftrightarrow 6({x^2} + \frac{1}{{{x^2}}}) - 5(x + \frac{1}{x}) - 38 = 0\)
Đặt \(y = x + \frac{1}{x}\) thì: \({x^2} + \frac{1}{{{x^2}}} = {y^2} - 2\)
Ta được pt: \(6{y^2}-{\rm{ }}5y{\rm{ }}-{\rm{ }}50{\rm{ }} = {\rm{ }}0{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{ }}\left( {3y{\rm{ }}-{\rm{ }}10} \right)\left( {2y{\rm{ }} + {\rm{ }}5} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}0\)
Do đó: \(y = \frac{{10}}{3}\) và \(y = - \frac{5}{2}\)
* Với \(y = \frac{{10}}{3}\) thì: \(x + \frac{1}{x} = \frac{{10}}{3} \Leftrightarrow 3{x^2} - 10x + 3 = 0\)
\( \Leftrightarrow \left( {3x{\rm{ }}-{\rm{ }}1} \right)\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}3} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_1} = \frac{1}{3}\\{x_2} = 3\end{array} \right.\)
* Với \(y = - \frac{5}{2}\) thì: \(x + \frac{1}{x} = - \frac{5}{2} \Leftrightarrow 2{x^2} + 5x + 2 = 0\)
\( \Leftrightarrow {\rm{ }}\left( {2x{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right)\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}3} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}0{\rm{ }} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_3} = - \frac{1}{2}\\{x_4} = - 2\end{array} \right.\)
Câu trả lời của bạn
\(2{y^2}x + x + y + 1 = {x^2} + 2{y^2} + xy\)
\( \Leftrightarrow 2{y^2}x + x + y + 1 - {x^2} - 2{y^2} - xy = 0\)
\( \Leftrightarrow (x - 1)(2{y^2} - y - x) = - 1\)
Vì \(x,y \in {\rm Z}\) nên \(x - 1 \in U( - 1) = \left\{ {1; - 1} \right\}\)
+ Nếu \(x - 1 = 1 \Rightarrow x = 2\)
Khi đó \(2{y^2} - y - 2 = - 1\)
\( \Leftrightarrow y = 1(t/m)\) hoặc \(y = \frac{{ - 1}}{2} \notin {\rm Z}\) (loại)
+ Nếu \(x - 1 = - 1 \Rightarrow x = 0\)
Khi đó \(2{y^2} - y = 1\)
\( \Leftrightarrow y = 1(t/m)\) hoặc \(y = \frac{{ - 1}}{2} \notin {\rm Z}\) (loại)
Vậy \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 1\end{array} \right.;\left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 1\end{array} \right.\)
Câu trả lời của bạn
Từ giả thiết
\({\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right)^2} = \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}}\)
\( \Leftrightarrow 2\left( {\frac{1}{{ab}} + \frac{1}{{bc}} + \frac{1}{{ca}}} \right) = 0\)
Vì \(a,{\rm{ }}b,{\rm{ }}c \ne 0\) nên \(a + b + c = 0\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow a + b = - c\\ \Rightarrow {(a + b)^3} = {( - c)^3}\\ \Rightarrow {a^3} + {b^3} + 3ab(a + b) = - {c^3}\\ \Rightarrow {a^3} + {b^3} + {c^3} = 3abc\end{array}\)
Vậy \({a^3} + {b^3} + {c^3} \vdots 3\) với \(a,b,c \in Z\)
a) Rút gọn biểu thức P.
b) Tìm x để \(P = \frac{2}{7}\)
Câu trả lời của bạn
a) Điều kiện: \(x \ge 0,x \ne 1.\)
\(P = \left( {\frac{{x + 2}}{{x\sqrt x - 1}} + \frac{{\sqrt x }}{{x + \sqrt x + 1}} + \frac{1}{{1 - \sqrt x }}} \right):\frac{{\sqrt x - 1}}{2}\)
\( = \left( {\frac{{x + 2}}{{{{(\sqrt x )}^3} - 1}} + \frac{{\sqrt x }}{{x + \sqrt x + 1}} - \frac{1}{{\sqrt x - 1}}} \right):\frac{{\sqrt x - 1}}{2}\)
\( = \frac{{x + 2 + \sqrt x (\sqrt x - 1) - (x + \sqrt x + 1)}}{{(\sqrt x - 1)(x + \sqrt x + 1)}}:\frac{{\sqrt x - 1}}{2}\)
\( = \frac{{x - 2\sqrt x + 1}}{{(\sqrt x - 1)(x + \sqrt x + 1)}}.\frac{2}{{\sqrt x - 1}}\)
\( = \frac{2}{{x + \sqrt x + 1}}\)
b) Với \(x \ge 0,x \ne 1.\) Ta có:
\(P = \frac{2}{7}\)
\( \Leftrightarrow \frac{2}{{x + \sqrt x + 1}} = \frac{2}{7}\)
\( \Leftrightarrow x + \sqrt x + 1 = 7 \Leftrightarrow x + \sqrt x - 6 = 0\)
\( \Leftrightarrow (\sqrt x - 2)(\sqrt x + 3) = 0\)
Vì \(\sqrt x + 3 > 0\) nên \(\sqrt x - 2 = 0 \Leftrightarrow x = 4\) (t/m)
Vậy \(P = \frac{2}{7}\) khi x = 4.
1) Tìm điều kiện của x để biểu thức A có nghĩa.
2) Rút gọn biểu thức A.
3) Tìm giá trị của x để \(\frac{2}{A}\) là số tự nhiên.
Câu trả lời của bạn
Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\x \ne 1\end{array} \right.\)
\(A = \left( {\frac{{3x + \sqrt {9x} - 3}}{{x + \sqrt x - 2}} + \frac{1}{{\sqrt x - 1}} + \frac{1}{{\sqrt x + 2}} - 2} \right):\frac{1}{{x - 1}}\)
\( = \frac{{x + 3\sqrt x + 2}}{{(\sqrt x - 1)(\sqrt x + 2)}}.(x - 1)\)
\( = \frac{{(\sqrt x + 1)(\sqrt x + 2)}}{{(\sqrt x - 1)(\sqrt x + 2)}}.(\sqrt x - 1)(\sqrt x + 1) = {(\sqrt x + 1)^2}\)
Với điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\x \ne 1\end{array} \right.\)
Ta có: \(A = {(\sqrt x + 1)^2}\)
Vì \(A = {(\sqrt x + 1)^2} \ge 1\) với mọi \(x \ge 0\) nên \(0 \le \frac{2}{{{{(\sqrt x + 1)}^2}}} \le 2\)
Do đó: \(\frac{2}{A} = \frac{2}{{{{(\sqrt x + 1)}^2}}} \in {\rm N}\) khi \({(\sqrt x + 1)^2} = 1\)hoặc \({(\sqrt x + 1)^2} = 2\)
Mà \(\sqrt x + 1 > 0\) nên \(\sqrt x + 1 = 1\) hoặc \(\sqrt x + 1 = \sqrt 2 \)
Do đó: x = 0 hoặc \(x = {(\sqrt 2 - 1)^2} = 3 - 2\sqrt 2 \)
Vậy \(\frac{2}{A}\) là số tự nhiên khi x = 0 hoặc \(x = 3 - 2\sqrt 2 .\)
a) Rút gọn P.
b) Chứng minh P \( \ge \) 0.
Câu trả lời của bạn
a)
ĐKXĐ: x \( \ge 0\)
P = \(\frac{1}{{\sqrt x + 1}} - \frac{3}{{x\sqrt x + 1}} + \frac{2}{{x - \sqrt x + 1}}\)
= \(\frac{1}{{\sqrt x + 1}} - \frac{3}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {x - \sqrt x + 1} \right)}} + \frac{2}{{x - \sqrt x + 1}}\)
= \(\frac{{x - \sqrt x + 1 - \,3 + \,2\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {x - \sqrt x + 1} \right)}} = \frac{{x + \sqrt x }}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {x - \sqrt x + 1} \right)}}\)
=\(\frac{{\sqrt x }}{{x - \sqrt x + 1}}\)
b)
\(\sqrt x \)\( \ge 0\)
\(x - \sqrt x + 1\) \( = {\left( {\sqrt x - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4} \ge \frac{3}{4}\)
P= \(\frac{{\sqrt x }}{{x - \sqrt x + 1}}\) \( \ge 0\)
Câu trả lời của bạn
P= n3 - n = n(n2 -1)
= n(n+1)(n-1)
Ta có n(n+1) \( \vdots \) 2 => P\( \vdots \) 2
n(n+1)(n-1) \( \vdots \) 3=> P\( \vdots \) 3
Mà (2,3) = 1 => P\( \vdots \) 6
a. Tìm ĐKXĐ và rút gọn P.
b. Tìm x để P < 0
Câu trả lời của bạn
a)
Tìm được ĐKXĐ: \(x \ge 0,x \ne 0\)
Ta có:
\(\frac{{3x + \sqrt {9x} - 3}}{{x + \sqrt x - 2}} - \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x + 2}} - \frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x - 1}}\)
\( = \frac{{3x + 3\sqrt x - 3}}{{(\sqrt x + 2)(\sqrt x - 1)}} - \frac{{(\sqrt x + 1)(\sqrt x - 1)}}{{(\sqrt x + 2)(\sqrt x - 1)}} - \frac{{(\sqrt x - 2)(\sqrt x + 2)}}{{(\sqrt x + 2)(\sqrt x - 1)}}\)
\( = \frac{{3x + 3\sqrt x - 3 - x + 1 - x + 4}}{{(\sqrt x + 2)(\sqrt x - 1)}} = \frac{{x + 3\sqrt x + 2}}{{(\sqrt x + 2)(\sqrt x - 1)}}\)
\( = \frac{{(\sqrt x + 2)(\sqrt x + 1)}}{{(\sqrt x + 2)(\sqrt x - 1)}} = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}}\)
b)
Ta có: P < 0
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}} < 0\\ \Rightarrow \sqrt x - 1 < 0 & (do & \sqrt x + 1 > 0)\\ \Rightarrow \sqrt x < 1\\ \Rightarrow x < 1\end{array}\)
Kết hợp với ĐKXĐ ta được: với \(0 \le x < 1\) thì P < 0.
Câu trả lời của bạn
Theo bất đẳng thức Bunyakovsky:
\(25 = {(2{\rm{a}} + 3b)^2} = {\left( {\frac{2}{{\sqrt 3 }}.\sqrt 3 a + \frac{3}{{\sqrt 2 }}.\sqrt 2 b} \right)^2} \le \left( {\frac{4}{3} + \frac{9}{2}} \right)(3{{\rm{a}}^2} + 2{b^2})\)
\( \Leftrightarrow 3{{\rm{a}}^2} + {b^2} \ge \frac{{30}}{7}\)
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}2{\rm{a}} + 3b = 5\\\frac{{3{\rm{a}}}}{2} = b\end{array} \right. \Rightarrow a = \frac{4}{7};b = \frac{9}{7}\)
Câu trả lời của bạn
với \(x,y > 0,xy \ne 1\)
\(A = \frac{{(\sqrt x + 1)(1 - \sqrt {xy} ) + (\sqrt {xy} + \sqrt x )(\sqrt {xy} + 1) + (\sqrt {xy} + 1)(1 - \sqrt {xy} )}}{{(\sqrt {xy} + 1)(1 - \sqrt {xy} )}}\)
\( = \frac{{(\sqrt {xy} + 1)(1 - \sqrt {xy} ) + (\sqrt {xy} + \sqrt x )(\sqrt {xy} + 1) - (\sqrt x + 1)(1 - \sqrt {xy} )}}{{(\sqrt {xy} + 1)(1 - \sqrt {xy} )}}\)
\( = \frac{{(\sqrt x + 1)(1 - \sqrt {xy} ) + (\sqrt {xy} + \sqrt x )(\sqrt {xy} + 1) + (\sqrt {xy} + 1)(1 - \sqrt {xy} )}}{{(\sqrt {xy} + 1)(1 - \sqrt {xy} ) + (\sqrt {xy} + \sqrt x )(\sqrt {xy} + 1) - (\sqrt x + 1)(1 - \sqrt {xy} )}}\)
\( = \frac{{1 + \sqrt x }}{{x\sqrt y + \sqrt {xy} }} = \frac{1}{{\sqrt {xy} }}\)
Câu trả lời của bạn
\(A = \left( {\frac{{{x^2}}}{{{x^3} - 4x}} + \frac{6}{{6 - 3x}} + \frac{1}{{x + 2}}} \right):\left( {x - 2 + \frac{{10 - {x^2}}}{{x + 2}}} \right) (x \ne 0;x \ne \pm 2)\)
\( = \left( {\frac{{{x^2}}}{{x(x - 2)(x + 2)}} - \frac{{2x(x + 2)}}{{x(x - 2)(x + 2)}} + \frac{{x(x - 2)}}{{x(x - 2)(x + 2)}}} \right):\frac{{{x^2} - 4 + 10 - {x^2}}}{{x + 2}}\)
\( = \frac{{{x^2} - 2{x^2} - 4x + {x^2} - 2x}}{{x(x - 2)(x + 2)}}.\frac{{x + 2}}{6} = \frac{{ - 6x}}{{x(x - 2)(x + 2)}}.\frac{{x + 2}}{6}\)
\( = \frac{{ - 1}}{{x - 2}}\)
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *