Phát biểu và chứng minh định lí về mối liên hệ giữa phép chia và phép khai phương. Cho ví dụ.
Phương pháp giải
Nếu \(x ≥ 0\) và \(x^2 = a\) thì \(x\) là căn bậc hai số học của số \(a\) không âm.
Lời giải chi tiết
Định lý: Nếu \(a \ge 0,b > 0\) thì \(\sqrt {\dfrac{a}{b}} = \dfrac{{\sqrt a }}{{\sqrt b }}\)
Chứng minh:
Do \(a \ge 0,b > 0\) nên \(\dfrac{{\sqrt a }}{{\sqrt b }}\) xác định
Ta có: \({\left( {\dfrac{{\sqrt a }}{{\sqrt b }}} \right)^2} = \dfrac{{{{\left( {\sqrt a } \right)}^2}}}{{{{\left( {\sqrt b } \right)}^2}}} = \dfrac{a}{b}\left( 1 \right)\)
Mặt khác \(\sqrt a \ge 0,\sqrt b > 0 \Rightarrow \dfrac{{\sqrt a }}{{\sqrt b }} \ge 0\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\dfrac{{\sqrt a }}{{\sqrt b }}\) là căn bậc hai số học của \(\dfrac{a}{b} \)
Hay \(\sqrt {\dfrac{a}{b}} = \dfrac{{\sqrt a }}{{\sqrt b }}\)
Ví dụ: \(\sqrt {\dfrac{{16}}{{81}}} = \dfrac{{\sqrt {16} }}{{\sqrt {81} }} = \dfrac{4}{9}\); \(\dfrac{{\sqrt {32} }}{{\sqrt 2 }} = \sqrt {\dfrac{{32}}{2}} = \sqrt {16} = 4\)
-- Mod Toán 9