Chúng ta vừa kết thúc chương đầu tiên của phân môn Đại số 9, đây là kiến thức nền tảng giúp các em biết và vận dụng để giải các bài toán. Đây là bài ôn tập toàn bộ chương I, giúp các em nắm chắc kiến thức bằng lý thuyết và các bài tập minh họa.
1. \(\sqrt{A^2}=|A|\)
2. \(\sqrt{AB}=\sqrt{A}.\sqrt{B}\) (với \(A\geq 0;B\geq 0\))
3. \(\sqrt{\frac{A}{B}}=\frac{\sqrt{A}}{\sqrt{B}}\) (với \(A\geq 0;B>0\))
4. \(\sqrt{A^2B}=|A|\sqrt{B}\) (với \(B\geq 0\))
5. \(A\sqrt{B}=\sqrt{A^2B}\) (với \(A\geq 0;B\geq 0\))
\(A\sqrt{B}=-\sqrt{A^2B}\) (với \(A<0;B\geq 0\))
6. \(\sqrt{\frac{A}{B}}=\frac{1}{|B|}\sqrt{AB}\) (với \(AB\geq 0;B\neq 0\))
7. \(\frac{A}{\sqrt{B}}=\frac{a\sqrt{B}}{B}\) (với \(B>0\))
8. \(\frac{C}{\sqrt{A}\pm B}=\frac{C(\sqrt{A}\mp B)}{A-B^2}\) (với \(A\geq 0;A\neq B^2\))
9. \(\frac{C}{\sqrt{A}\pm \sqrt{B}}=\frac{C(\sqrt{A}\mp \sqrt{B})}{A-B}\) (với \(A\geq 0;B\geq 0;A\neq B\))
Bài 1: Tính cạnh của một hình vuông, biết rằng diện tích hình vuông đó bằng diện tích hình chữ nhật có chiều dài là \(16m\) và chiều rộng là \(9m\).
Hướng dẫn: Diện tích của hình chữ nhật là: \(16.9=144(m^2)\)
Theo đề, diện tích hình vuông bằng diện tích hình chữ nhật nên cạnh a của hình vuông là: \(a^2=\sqrt{144}\Leftrightarrow a=12(m)\)
Bài 2: Giải phương trình: \(x^2-2\sqrt{13}x+13=0\)
Hướng dẫn:
\(x^2-2\sqrt{13}x+13=0\) \(\Leftrightarrow x^2-2\sqrt{13}x+(\sqrt{13})^2=0\)\(\Leftrightarrow (x-\sqrt{13})^2=0\)
\(\Leftrightarrow x=\sqrt{13}\)
Bài 3: Không dùng máy tính, so sánh hai số \(\sqrt{16+64}\) và \(\sqrt{16}+\sqrt{64}\). Từ đó rút ra nhận xét gì
Hướng dẫn: \(\sqrt{16+64}=\sqrt{80}=4\sqrt{5}\)
\(\sqrt{16}+\sqrt{64}=4+8=12\)
Vậy \(\sqrt{16}+\sqrt{64}>\sqrt{16+64}\)
Bài 4: Không dùng máy tính, so sánh hai số \(\sqrt{100-64}\) và \(\sqrt{100}-\sqrt{64}\). Từ đó rút ra nhận xét gì
Hướng dẫn: \(\sqrt{100-64}=\sqrt{36}=6\)
\(\sqrt{100}-\sqrt{64}=10-8=2\)
Vậy \(\sqrt{100-64}>\sqrt{100}-\sqrt{64}\)
Nhận xét: Với hai số dương a, b, \(a>b\) ta có: \((\sqrt{a}-\sqrt{b})^2=a+b-2\sqrt{ab}\)
\((\sqrt{a-b})^2=a-b\)
\((\sqrt{a-b})^2-(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2=a-b-a-b+2\sqrt{ab}=2(\sqrt{ab}-b)\)
\(=2\sqrt{b}(\sqrt{a}-\sqrt{b})>0\)
Vậy \(\sqrt{a}-\sqrt{b}<\sqrt{a-b}\)
Bài 5: Rút gọn biểu thức chứa biến sau: \(\left ( 1+\frac{a+\sqrt{a}}{\sqrt{a}+1} \right )\left ( 1-\frac{a-\sqrt{a}}{\sqrt{a}-1} \right )\)
Hướng dẫn:
Điều kiện: \(a\geq 0;a\neq 1\)
Với điều kiện trên:
\(\left ( 1+\frac{a+\sqrt{a}}{\sqrt{a}+1} \right )\left ( 1-\frac{a-\sqrt{a}}{\sqrt{a}-1} \right )\)
\( = \left( {1 + \sqrt a } \right).\left( {1 - \sqrt a } \right)\)\(=1-a\)
Bài 6: Thực hiện phép tính: \(A=\sqrt{5+\sqrt{24}}+\sqrt{5-\sqrt{24}}\)
Hướng dẫn: Do A dương nên bình phương đẳng thức, ta được:
\(A^2=5+5+\sqrt{24}-\sqrt{24}+2\sqrt{(5+\sqrt{24})(5-\sqrt{24})}=12\)
Vậy \(A=3\sqrt{2}\)
Bài 7: Giải phương trình: \(\sqrt{2x-1}+\sqrt{x}=2\)
Hướng dẫn:
Điều kiện: \(x\geq \frac{1}{2}\)
Với điều kiện trên, đặt \(\sqrt{2x-1}=a(a\geq 0);\sqrt{x}=b(b\geq 0)\)
Ta có: \(a^2=2x-1;b^2=x\)\(\Rightarrow a^2-2b^2=-1\)
Mặc khác: \(a+b=2\)
Ta đưa vào hệ: \(\left\{\begin{matrix} a+b=2\\ a^2-2b^2=-1 \end{matrix}\right.\)
Giải hệ trên bằng phương pháp thế:
\(\left\{\begin{matrix} a=1\\ b=1 \end{matrix}\right.\) (nhận) và \(\left\{\begin{matrix} a=7\\ b=-5 \end{matrix}\right.\)(không nhận)
Với \(a=1\Leftrightarrow x=1\)
Vậy \(x=1\) là nghiệm duy nhất của phương trình
-- Mod Toán Học 9 DapAnHay
Thực hiện phép tính \(5\sqrt{12}+2\sqrt{75}-5\sqrt{48}+4\sqrt{147}\)
Rút gọn biểu thức \(\sqrt{\frac{4}{(2-\sqrt{5})^2}}-\sqrt{\frac{4}{(2+\sqrt{5})^2}}\) là:
Giá trị của biểu thức \(A=\sqrt{2+\sqrt{3}+\sqrt{4-2\sqrt{3}-\sqrt{(2\sqrt{3}-3)^2}}}\) là:
Cho \(B=\left ( 1-\frac{4}{\sqrt{x}+1}+\frac{1}{x-1} \right ):\frac{x-2\sqrt{x}}{x-1}\) với \(x>0;x\neq 1;x\neq 4\)
Giá trị của x để \(B=2\) là:
Cho biểu thức \(C=\left ( \frac{\sqrt{x}+2}{x+2\sqrt{x}+1}-\frac{\sqrt{x}-2}{x-1} \right )\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}\)với \(x>0;x\neq 1\)
Số nghiệm x thỏa bài toán để C nguyên là:
Khẳng định nào đúng
Giải phương trình: \(\sqrt x=-2\)
Nêu điều kiện để x là căn bậc hai số học của số a không âm. Cho ví dụ.
Chứng minh \(\sqrt {a^2} = |a|\) với mọi số a.
Biểu thức A phải thỏa mãn điều kiện gì để \(\sqrt A \) xác định?
Phát biểu và chứng minh định lí về mối liên hệ giữa phép nhân và phép khai phương. Cho ví dụ.
Phát biểu và chứng minh định lí về mối liên hệ giữa phép chia và phép khai phương. Cho ví dụ.
Tìm giá trị các biểu thức sau bằng cách biến đổi, rút gọn thích hợp
\(\displaystyle a)\sqrt {{{25} \over {81}}.{{16} \over {49}}.{{196} \over 9}}\)
\(\displaystyle b)\sqrt {3{1 \over {16}}.2{{14} \over {25}}.2{{34} \over {81}}}\)
\(\displaystyle c){{\sqrt {640} .\sqrt {34,3} } \over {\sqrt {567} }}\)
\(d)\sqrt {21,6} .\sqrt {810.} \sqrt {{{11}^2} - {5^2}}\)
Rút gọn các biểu thức sau:
a) \(\left( {\sqrt 8 - 3.\sqrt 2 + \sqrt {10} } \right)\sqrt 2 - \sqrt 5 \)
b) \(0,2\sqrt {{{\left( { - 10} \right)}^2}.3} + 2\sqrt {{{\left( {\sqrt 3 - \sqrt 5 } \right)}^2}} \)
c) \(\left( {{1 \over 2}.\sqrt {{1 \over 2}} - {3 \over 2}.\sqrt 2 + {4 \over 5}.\sqrt {200} } \right):{1 \over 8}\)
d) \(2\sqrt {{{\left( {\sqrt 2 - 3} \right)}^2}} + \sqrt {2.{{\left( { - 3} \right)}^2}} - 5\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^4}} \)
Phân tích thành nhân tử (với các số x, y, a, b không âm và a ≥ b)
a) \(xy - y\sqrt x + \sqrt x - 1\)
b) \(\sqrt {ax} - \sqrt {by} + \sqrt {bx} - \sqrt {ay} \)
c) \(\sqrt {a + b} + \sqrt {{a^2} - {b^2}} \)
d) \(12 - \sqrt x - x\)
Rút gọn rồi tính giá trị của các biểu thức sau:
a) \(\sqrt { - 9{\rm{a}}} - \sqrt {9 + 12{\rm{a}} + 4{{\rm{a}}^2}}\) tại a = - 9
b) \(1 + {{3m} \over {m - 2}}\sqrt {{m^2} - 4m + 4}\) tại m = 1,5
c) \(\sqrt {1 - 10{\rm{a}} + 25{{\rm{a}}^2}} - 4{\rm{a}}\) tại a = √2
d) \(4{\rm{x}} - \sqrt {9{{\rm{x}}^2} - 6{\rm{x}} + 1} \) tại x = √3
Tìm x, biết:
a) \(\sqrt {{{\left( {2{\rm{x}} - 1} \right)}^2}} = 3\)
b) \({5 \over 3}\sqrt {15{\rm{x}}} - \sqrt {15{\rm{x}}} - 2 = {1 \over 3}\sqrt {15{\rm{x}}} \)
Chứng minh các đẳng thức sau:
a) \(\left( {{{2\sqrt 3 - \sqrt 6 } \over {\sqrt 8 - 2}} - {{\sqrt {216} } \over 3}} \right).{1 \over {\sqrt 6 }} = - 1,5\)
b) \(\left( {{{\sqrt {14} - \sqrt 7 } \over {1 - \sqrt 2 }} + {{\sqrt {15} - \sqrt 5 } \over {1 - \sqrt 3 }}} \right):{1 \over {\sqrt 7 - \sqrt 5 }} = - 2\)
c) \({{a\sqrt b + b\sqrt a } \over {\sqrt {ab} }}:{1 \over {\sqrt a - \sqrt b }} = a - b\) với a, b dương và a ≠ b
d) \(\left( {1 + {{a + \sqrt a } \over {\sqrt a + 1}}} \right)\left( {1 - {{a - \sqrt a } \over {\sqrt a - 1}}} \right) = 1 - a\) với a ≥ 0 và a ≠ 1
Cho biểu thức
\(Q = {a \over {\sqrt {{a^2} - {b^2}} }} - \left( {1 + {a \over {\sqrt {{a^2} - {b^2}} }}} \right):{b \over {a - \sqrt {{a^2} - {b^2}} }}\) với a > b > 0
a) Rút gọn Q
b) Xác định giá trị của Q khi a = 3b
Nếu \(x\) thỏa mãn điều kiện:
\(\sqrt {3 + \sqrt x } = 3\)
Thì \(x\) nhận giá trị là
(A) \(0\)
(B) \(6\)
(C) \(9\)
(D) \(36\)
Hãy chọn câu trả lời đúng.
Biểu thức
\(\sqrt {\dfrac{{3 - \sqrt 5 }}{{3 + \sqrt 5 }}} + \sqrt {\dfrac{{3 + \sqrt 5 }}{{3 - \sqrt 5 }}} \)
Có giá trị là
(A) \(3\)
(B) \(6\)
(C) \(\sqrt 5 \)
(D) \( - \sqrt 5 \)
Hãy chọn câu trả lời đúng.
Chứng minh các đẳng thức:
a) \(\sqrt {2 + \sqrt 3 } + \sqrt {2 - \sqrt 3 } = \sqrt 6 \)
b) \(\sqrt {{4 \over {{{\left( {2 - \sqrt 5 } \right)}^2}}}} - \sqrt {{4 \over {{{\left( {2 + \sqrt 5 } \right)}^2}}}} = 8.\)
Cho:
\(A = \dfrac{{\sqrt {4{x^2} - 4x + 1} }}{{4x - 2}}\)
Chứng minh: \(\left| A \right| = 0,5\) với \(x \ne 0,5.\)
Rút gọn các biểu thức:
a) \(\sqrt {{{\left( {2 - \sqrt 3 } \right)}^2}} + \sqrt {4 - 2\sqrt 3 } ;\)
b) \(\sqrt {15 - 6\sqrt 6 } + \sqrt {33 - 12\sqrt 6 } ;\)
c) \(\left( {15\sqrt {200} - 3\sqrt {450} + 2\sqrt {50} } \right):\sqrt {10} .\)
a) Chứng minh:
\(x - 4\sqrt {x - 4} = {\left( {\sqrt {x - 4} - 2} \right)^2};\)
b) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức:
\(\sqrt {x + 4\sqrt {x - 4} } + \sqrt {x - 4\sqrt {x - 4} } .\)
Tìm điều kiện xác định của các biểu thức sau:
\(A = \sqrt x + \sqrt {x + 1} \);
\(B = \sqrt {x + 4} + \sqrt {x - 1} .\)
a) Chứng minh rằng \(A \ge 1\) và \(B \ge \sqrt 5 \);
b) Tìm x, biết:
\(\sqrt x = \sqrt {x + 1} = 1\);
\(\sqrt {x + 4} + \sqrt {x - 1} = 2\)
Chứng minh:
\(x - \sqrt x + 1 = {\left( {\sqrt x - {\dfrac{1}{2}}} \right)^2} + {\dfrac{3}{4}}\) với \(x > 0\)
Từ đó, cho biết biểu thức \(\dfrac{1}{{x - \sqrt x + 1}}\) có giá trị lớn nhất là bao nhiêu ?
Giá trị đó đạt được khi \(x\) bằng bao nhiêu?
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
Rút gọn biểu thức cho sau \(A = \frac{1}{{2 - \sqrt 3 }} + \frac{1}{{2 + \sqrt 3 }}\)
Câu trả lời của bạn
\(\,\,\,A = \frac{1}{{2 - \sqrt 3 }} + \frac{1}{{2 + \sqrt 3 }} = \frac{{2 + \sqrt 3 + 2 - \sqrt 3 }}{{\left( {2 - \sqrt 3 } \right)\left( {2 + \sqrt 3 } \right)}} = \frac{4}{{{2^2} - 3}} = 4\)
Vậy \(A = 4.\)
Rút gọn biểu thức cho sau \(B = \sqrt {5 + 2\sqrt {{{\left( {1 - \sqrt 2 } \right)}^2}} } \)
Câu trả lời của bạn
\(\begin{array}{l}\,\,B = \sqrt {5 + 2\sqrt {{{\left( {1 - \sqrt 2 } \right)}^2}} } = \sqrt {5 + 2.\left( {\sqrt 2 - 1} \right)} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \sqrt {5 + 2\sqrt 2 - 2} = \sqrt {3 + 2\sqrt 2 } \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \sqrt {{{\left( {\sqrt 2 + 1} \right)}^2}} = \sqrt 2 + 1.\end{array}\)
Vậy \(B = \sqrt 2 + 1.\)
Rút gọn biểu thức cho sau \(C = \frac{{x + \sqrt x - 2}}{{\sqrt x + 2}}\) (với \(x \ge 0\))
Câu trả lời của bạn
\(\begin{array}{l}\,\,C = \frac{{x + \sqrt x - 2}}{{\sqrt x + 2}}\,\,\,\left( {x \ge 0} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \frac{{x + 2\sqrt x - \sqrt x - 2}}{{\sqrt x + 2}} = \frac{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}{{\sqrt x + 2}} = \sqrt x - 1.\end{array}\)
Vậy \(C = \sqrt x - 1\) với \(x \ge 0\).
Ta cho các biểu thức: \(A = \frac{{x - 4}}{{\sqrt x - 2}}\). Tính giá trị của \(A\) khi \(x = 49\).
Câu trả lời của bạn
Với \(x = 49\) thỏa mãn điều kiện: \(x \ge 0,x \ne 4\)
Thay \(x = 9\) vào biểu thức \(A\) ta được:
\(A = \frac{{49 - 4}}{{\sqrt {49} - 2}} = \frac{{45}}{{7 - 2}} = \frac{{45}}{5} = 9\).
Vậy \(A = 9\) khi \(x = 49.\)
Câu trả lời của bạn
\(A = \frac{1}{{{x^2} + {y^2}}} + \frac{2}{{xy}} + 4xy = \left( {\frac{1}{{{x^2} + {y^2}}} + \frac{1}{{2xy}}} \right) + \frac{5}{{4xy}} + \left( {\frac{1}{{4xy}} + 4xy} \right)\)
Áp dụng bất đẳng thức \(\frac{{a + b}}{2} \ge \sqrt {ab} \) với \(a,\,\,\,b > 0\)
Với \(x > 0;y > 0;x + y \le 1\), ta có:
\(\frac{1}{{{x^2} + {y^2}}} + \frac{1}{{2xy}} \ge \frac{2}{{\sqrt {\left( {{x^2} + {y^2}} \right).2xy} }} \ge 2.\frac{2}{{{x^2} + {y^2} + 2xy}} = \frac{4}{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}} \ge \frac{4}{{{1^2}}} = 4\,\,\,\,\left( {do\,\,\,x + y \le 1} \right).\)
\(\begin{array}{l}\frac{5}{{4xy}} \ge \frac{5}{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}} \ge 5\,\,\,\left( {do\,\,\,x + y \le 1} \right)\\\frac{1}{{4xy}} + 4xy \ge 2\sqrt {\frac{1}{{4xy}}.4xy} = 2\\ \Rightarrow A \ge 4 + 5 + 2 = 11.\end{array}\)
Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = y\\x + y = 1\end{array} \right. \Rightarrow x = y = \frac{1}{2}\)
Vậy GTNN của \(A\) là \(11\) khi và chỉ khi \(x = y = \frac{1}{2}\).
Thực hiện phép tính cho sau \(\sqrt 8 - 2\sqrt {18} + 5\sqrt {32} - \sqrt {{{\left( {\sqrt 2 - 1} \right)}^2}} \)
Câu trả lời của bạn
\(\begin{array}{l}\;\;\sqrt 8 - 2\sqrt {18} + 5\sqrt {32} - \sqrt {{{\left( {\sqrt 2 - 1} \right)}^2}} \\ = \sqrt {{2^2}.2} - 2\sqrt {{3^2}.2} + 5\sqrt {{4^2}.2} - \left| {\sqrt 2 - 1} \right|\\ = 2\sqrt 2 - 2.3\sqrt 2 + 5.4\sqrt 2 - \left( {\sqrt 2 - 1} \right)\\ = 2\sqrt 2 - 6\sqrt 2 + 20\sqrt 2 - \sqrt 2 + 1\\ = 15\sqrt 2 + 1.\end{array}\)
Vậy \(\sqrt 8 - 2\sqrt {18} + 5\sqrt {32} - \sqrt {{{\left( {\sqrt 2 - 1} \right)}^2}} = 15\sqrt 2 + 1\)
Thực hiện phép tính cho sau \(\dfrac{{5 + 6\sqrt 5 }}{{\sqrt 5 }} + \dfrac{{7 - \sqrt 7 }}{{\sqrt 7 - 1}} - \left( {\sqrt 5 + \sqrt 7 } \right)\)
Câu trả lời của bạn
\(\begin{array}{l}\;\;\dfrac{{5 + 6\sqrt 5 }}{{\sqrt 5 }} + \dfrac{{7 - \sqrt 7 }}{{\sqrt 7 - 1}} - \left( {\sqrt 5 + \sqrt 7 } \right)\\ = \dfrac{{\sqrt 5 .\sqrt 5 + 6\sqrt 5 }}{{\sqrt 5 }} + \dfrac{{\sqrt 7 .\sqrt 7 - \sqrt 7 }}{{\sqrt 7 - 1}} - \left( {\sqrt 5 + \sqrt 7 } \right)\\ = \dfrac{{\sqrt 5 \left( {6 + \sqrt 5 } \right)}}{{\sqrt 5 }} + \dfrac{{\sqrt 7 .\left( {\sqrt 7 - 1} \right)}}{{\sqrt 7 - 1}} - \sqrt 5 - \sqrt 7 \\ = 6 + \sqrt 5 + \sqrt 7 - \sqrt 5 - \sqrt 7 = 6.\end{array}\)
Vậy \(\dfrac{{5 + 6\sqrt 5 }}{{\sqrt 5 }} + \dfrac{{7 - \sqrt 7 }}{{\sqrt 7 - 1}} - \left( {\sqrt 5 + \sqrt 7 } \right) = 6\)
Giải phương trình sau đây: \(x - \sqrt {x - 15} = 17\).
Câu trả lời của bạn
ĐKXĐ: \(x \ge 15\)
\(\begin{array}{l}\;\;\;\;\;x - \sqrt {x - 15} = 17\\ \Leftrightarrow x - 17 = \sqrt {x - 15} \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 17 \ge 0\\{\left( {x - 17} \right)^2} = {\left( {\sqrt {x - 15} } \right)^2}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 17\\{x^2} - 34x + 289 = x - 15\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 17\\{x^2} - 35x + 304 = 0\end{array} \right.\end{array}\)
Xét phương trình bậc 2: \({x^2} - 35x + 304 = 0\) có: \(\Delta = {35^2} - 4.309 = 9 > 0\)
Suy ra phương trình có hai nghiệm phân biệt \(\left[ \begin{array}{l}{x_1} = \dfrac{{ - \left( { - 35} \right) + \sqrt 9 }}{{2.1}} = 19\;\;\;\left( {tm} \right)\\{x_2} = \dfrac{{ - \left( { - 35} \right) - \sqrt 9 }}{{2.1}} = 16\;\;\;\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\)
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là \(x = 19\).
Cho biểu thức như sau \(P = \dfrac{{3x + \sqrt {9x} - 3}}{{x + \sqrt x - 2}} - \dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x + 2}} + \dfrac{{\sqrt x - 2}}{{1 - \sqrt x }}\) với \(x \ge 0,x \ne 1\). Rút gọn biểu thức \(P\).
Câu trả lời của bạn
ĐKXĐ: \(x \ge 0,x \ne 1\)
\(\begin{array}{l}P = \dfrac{{3x + \sqrt {9x} - 3}}{{x + \sqrt x - 2}} - \dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x + 2}} + \dfrac{{\sqrt x - 2}}{{1 - \sqrt x }}\\\;\;\; = \dfrac{{3x + \sqrt {9x} - 3}}{{\left( {x - \sqrt x } \right) + \left( {2\sqrt x - 2} \right)}} - \dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x + 2}} + \dfrac{{\sqrt x - 2}}{{1 - \sqrt x }}\\\;\;\; = \dfrac{{3x + 3\sqrt x - 3}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right).\left( {\sqrt x - 1} \right)}} - \dfrac{{\left( {\sqrt x - 1} \right).\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right).\left( {\sqrt x + 2} \right)}} + \dfrac{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{ - \left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}\\\;\; = \dfrac{{3x + 3\sqrt x - 3 - \left( {x - 1} \right) - \left( {x - 4} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}} = \dfrac{{x + 3\sqrt x + 2}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}\\\;\; = \dfrac{{\left( {x + 2\sqrt x } \right) + \left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}\\\;\; = \dfrac{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}} = \dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}}.\end{array}\)
Vậy\(P = \dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}}\).
Hãy thực hiện phép tính sau: \(2\sqrt {75} - 3\sqrt {27} - \dfrac{1}{4}\sqrt {192} \).
Câu trả lời của bạn
\(\begin{array}{l}\;\;2\sqrt {75} - 3\sqrt {27} - \dfrac{1}{4}\sqrt {192} = 2\sqrt {{5^2}.3} - 3\sqrt {{3^2}.3} - \dfrac{1}{4}\sqrt {{8^2}.3} \\\;\; = 2.5\sqrt 3 - 3.3\sqrt 3 - \dfrac{1}{4}.8\sqrt 3 = - \sqrt 3 .\end{array}\).
Vậy \(2\sqrt {75} - 3\sqrt {27} - \dfrac{1}{4}\sqrt {192} = - \sqrt 3 \).
Hãy thực hiện phép tính sau: \(\sqrt {4 + 2\sqrt 3 } + \sqrt {{{\left( {\sqrt 3 - 2} \right)}^2}} \).
Câu trả lời của bạn
\(\begin{array}{l}\;\;\sqrt {4 + 2\sqrt 3 } + \sqrt {{{\left( {\sqrt 3 - 2} \right)}^2}} \\\;\;\;= \sqrt {{{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2} + 2\sqrt 3 + 1} + \left| {\sqrt 3 - 2} \right|\\\;\;\; = \sqrt {{{\left( {\sqrt 3 + 1} \right)}^2}} + \left| {\sqrt 3 - 2} \right| \\\;\;\;= \sqrt 3 + 1 + 2 - \sqrt 3 = 3.\;\;\;\left( {do\;\;2 > \sqrt 3 } \right)\end{array}\).
Vậy \(\sqrt {4 + 2\sqrt 3 } + \sqrt {{{\left( {\sqrt 3 - 2} \right)}^2}} = 3\).
Hãy thực hiện phép tính sau: \(\dfrac{{\sqrt {15} - \sqrt {12} }}{{\sqrt 5 - 2}} - \dfrac{1}{{2 - \sqrt 3 }}\).
Câu trả lời của bạn
\(\begin{array}{l}\;\dfrac{{\sqrt {15} - \sqrt {12} }}{{\sqrt 5 - 2}} - \dfrac{1}{{2 - \sqrt 3 }} \\= \dfrac{{\sqrt 3 \left( {\sqrt 5 - \sqrt 4 } \right)}}{{\sqrt 5 - 2}} - \dfrac{{2 + \sqrt 3 }}{{\left( {2 - \sqrt 3 } \right)\left( {2 + \sqrt 3 } \right)}}\\\;\; = \dfrac{{\sqrt 3 \left( {\sqrt 5 - 2} \right)}}{{\sqrt 5 - 2}} - \dfrac{{2 + \sqrt 3 }}{{{2^2} - {{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2}}} \\= \sqrt 3 - \left( {2 + \sqrt 3 } \right) = - 2.\end{array}\).
Vậy \(\dfrac{{\sqrt {15} - \sqrt {12} }}{{\sqrt 5 - 2}} - \dfrac{1}{{2 - \sqrt 3 }} = - 2\) .
Hãy thực hiện phép tính sau: \(\left( {\dfrac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x + 2}} - \dfrac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x - 2}}} \right).\left( {\sqrt x - \dfrac{4}{{\sqrt x }}} \right)\left( {x > 0;x \ne 4} \right)\).
Câu trả lời của bạn
\(\begin{array}{l}\;\left( {\dfrac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x + 2}} - \dfrac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x - 2}}} \right).\left( {\sqrt x - \dfrac{4}{{\sqrt x }}} \right)\;\;\;\;\left( {x > 0;x \ne 4} \right)\\ = \left[ {\dfrac{{{{\left( {\sqrt x - 2} \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right).\left( {\sqrt x + 2} \right)}} - \dfrac{{{{\left( {\sqrt x + 2} \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}} \right].\left( {\sqrt x - \dfrac{4}{{\sqrt x }}} \right)\\ = \dfrac{{x - 4\sqrt x + 4 - x - 4\sqrt x - 4}}{{x - 4}}.\dfrac{{x - 4}}{{\sqrt x }}\\ = \dfrac{{ - 8\sqrt x }}{{\sqrt x }} = - 8.\end{array}\).
Vậy \(\left( {\dfrac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x + 2}} - \dfrac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x - 2}}} \right).\left( {\sqrt x - \dfrac{4}{{\sqrt x }}} \right) = - 8\)
Tìm giá trj của \(x\) biết \(\sqrt {4x - 20} = 7\sqrt {\dfrac{{x - 5}}{9}} - 2\).
Câu trả lời của bạn
Tìm \(x\) biết \(\sqrt {4x - 20} = 7\sqrt {\dfrac{{x - 5}}{9}} - 2\).
ĐKXĐ: \(x \ge 5\)
\(\begin{array}{l}Pt \Leftrightarrow \sqrt {4x - 20} = 7\sqrt {\dfrac{{x - 5}}{9}} - 2\\ \Leftrightarrow \sqrt 4 .\sqrt {x - 5} = 7.\sqrt {\dfrac{1}{9}} .\sqrt {x - 5} - 2\\ \Leftrightarrow \dfrac{7}{3}\sqrt {x - 5} - 2\sqrt {x - 5} = 2\\ \Leftrightarrow \sqrt {x - 5} = 6\\ \Leftrightarrow x - 5 = 36\;\;\;\left( {do\;\;6 > 0} \right)\\ \Leftrightarrow x = 41\;\;\left( {tm} \right).\end{array}\)
Vậy \(x = 41\) là nghiệm của phương trình.
Hãy tính: \(\sqrt {{{\left( {2 - \sqrt 5 } \right)}^2}} - \sqrt {\dfrac{8}{{7 - 3\sqrt 5 }}} \).
Câu trả lời của bạn
\(\begin{array}{l}\;\sqrt {{{\left( {2 - \sqrt 5 } \right)}^2}} - \sqrt {\dfrac{8}{{7 - 3\sqrt 5 }}} = \left| {2 - \sqrt 5 } \right| - \sqrt {\dfrac{{16}}{{14 - 6\sqrt 5 }}} \\ = \sqrt 5 - 2 - \dfrac{{\sqrt {16} }}{{\sqrt {14 - 6\sqrt 5 } }}\;\;\;\left( {do\;\;2 - \sqrt 5 < 0} \right)\\ = \sqrt 5 - 2 - \dfrac{4}{{\sqrt {{3^2} - 2.3.\sqrt 5 + {{\left( {\sqrt 5 } \right)}^2}} }} = \sqrt 5 - 2 - \dfrac{4}{{\sqrt {{{\left( {3 - \sqrt 5 } \right)}^2}} }}\\ = \sqrt 5 - 2 - \dfrac{4}{{\left| {3 - \sqrt 5 } \right|}} = \sqrt 5 - 2 - \dfrac{4}{{3 - \sqrt 5 }}\;\;\left( {do\;\;3 - \sqrt 5 > 0} \right)\\ = \sqrt 5 - 2 - \dfrac{{4\left( {3 + \sqrt 5 } \right)}}{{{3^2} - {{\left( {\sqrt 5 } \right)}^2}}} = \sqrt 5 - 2 - \dfrac{{4\left( {3 + \sqrt 5 } \right)}}{4}\\ = \sqrt 5 - 2 - 3 - \sqrt 5 = - 5.\end{array}\)
Vậy \(\sqrt {{{\left( {2 - \sqrt 5 } \right)}^2}} - \sqrt {\dfrac{8}{{7 - 3\sqrt 5 }}} = - 5\)
Nếu muốn tính khoảng cách từ điểm A đến điểm B bên kia bờ sông, ông Việt vạch từ A đường vuông góc với AB. Trên đường vuông góc này lấy một đoạn thẳng \(AC = 30m\), rồi vạch \(CD\) vuông góc với phương BC cắt AB tại D. Do\(AD = 20m\), từ đó ông Việt tính được khoảng cách từ A đến B. Hãy tính độ dài AB và số đo góc \(\angle ACB\).
Câu trả lời của bạn
Ta có hình vẽ minh họa:
Xét tam giác vuông BCD vuông tại C cóAC là đường cao ta có:
\( \Rightarrow AB.AD = A{C^2} \Leftrightarrow AB = \dfrac{{A{C^2}}}{{AD}} = 45\left( m \right)\) (hệ thức lượng trong tam giác vuông)
Xét tam giác BAC vuông tại A có:
\(\tan \left( {\angle ACB} \right) = \dfrac{{AB}}{{AC}} = \dfrac{{45}}{{30}} = \dfrac{3}{2} \Rightarrow \angle ACB = \arctan \dfrac{3}{2} \approx {56^o}\).
Biết một khu vườn hình chữ nhật có kích thước là 25m và 40m. Người ta tăng mỗi kích thước của khu vườn thêm \(x\) (m). Gọi \(S,P\) theo thứ tự là diện tích và chu vi của khu vườn mới tính theo \(x\). Hỏi các đại lương \(S,P\) có phải là hàm số bậc nhất của \(x\) không? Vì sao? Tính giá trị của \(x\) khi biết giá trị tương ứng của \(P\) là 144 (tính theo đơn vị m).
Câu trả lời của bạn
Ta có:
+) Chiều dài của khu vườn sau khi tăng thêm \(x\) (m) là: \(40 + x\;\;\left( m \right)\)
+) Chiều rộng của khu vườn sau khi tăng thêm \(x\) (m) là: \(25 + x\;\;\left( m \right)\)
Suy ra diện tích và chu vi của hình chữ nhật mới là:
+) Diện tích \(S = \left( {40 + x} \right)\left( {25 + x} \right) = {x^2} + 65x + 1000\).
Đây là hàm bậc hai vì có số mũ cao nhất gắn với biến \(x\) là 2.
+) Chu vi \(P = 2.\left[ {\left( {x + 40} \right) + \left( {x + 25} \right)} \right] = 4x + 130\).
Đây là hàm số bậc nhất bởi số mũ cao nhất gắn với biến \(x\) là 1.
Theo đề bài ta có: \(P = 144 \Rightarrow 4x + 130 = 144 \Leftrightarrow x = \dfrac{7}{2}\).
Vậy giá trị của \(x\) là: \(x = \dfrac{7}{2}\).
Rút gọn biểu thức A sau: \(A = \dfrac{x}{{\sqrt x - 1}} - \dfrac{{2x - \sqrt x }}{{x - \sqrt x }}\) ( với \(x > 0,x \ne 1\)).
Câu trả lời của bạn
Rút gọn: \(A = \dfrac{x}{{\sqrt x - 1}} - \dfrac{{2x - \sqrt x }}{{x - \sqrt x }}\) (với \(x > 0,x \ne 1\)).
ĐKXĐ: \(x > 0,x \ne 1\) . Với điều kiện trên ta có:
\(\begin{array}{l}A = \dfrac{x}{{\sqrt x - 1}} - \dfrac{{2x - \sqrt x }}{{x - \sqrt x }} = \dfrac{x}{{\sqrt x - 1}} - \dfrac{{\sqrt x \left( {2\sqrt x - 1} \right)}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}}\\\;\;\; = \dfrac{x}{{\sqrt x - 1}} - \dfrac{{2\sqrt x - 1}}{{\sqrt x - 1}} = \dfrac{{x - \left( {2\sqrt x - 1} \right)}}{{\sqrt x - 1}}\\\;\;\; = \dfrac{{{{\left( {\sqrt x } \right)}^2} - 2\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}} = \dfrac{{{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}}}{{\sqrt x - 1}} = \sqrt x - 1.\end{array}\)
Vậy \(A = \dfrac{x}{{\sqrt x - 1}} - \dfrac{{2x - \sqrt x }}{{x - \sqrt x }} = \sqrt x - 1\)
Giải phương trình sau đây: \(\sqrt {36{x^2} - 12x + 1} = 2\).
Câu trả lời của bạn
ĐKXĐ: \(36{x^2} - 12x + 1 \ge 0 \Leftrightarrow {\left( {6x - 1} \right)^2} \ge 0\) (luôn đúng với mọi \(x \in \mathbb{R}\))
\(\begin{array}{l}\sqrt {36{x^2} - 12x + 1} = 2 \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {6x - 1} \right)}^2}} = 2\\ \Leftrightarrow \left| {6x - 1} \right| = 2 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}6x - 1 = 2\\6x - 1 = - 2\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}6x = 3\\6x = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{1}{2}\\x = - \dfrac{1}{6}\end{array} \right..\end{array}\)
Vậy phương trình đã cho có nghiệm:\(x = - \dfrac{1}{6},x = \dfrac{1}{2}\)
Hãy tính: \(4\sqrt {12} - 15\sqrt {\dfrac{1}{3}} - \dfrac{{9 - \sqrt 3 }}{{\sqrt 3 }}\)
Câu trả lời của bạn
\(\begin{array}{l}\;4\sqrt {12} - 15\sqrt {\dfrac{1}{3}} - \dfrac{{9 - \sqrt 3 }}{{\sqrt 3 }} \\= 4\sqrt {{2^2}.3} - \dfrac{{15}}{{\sqrt 3 }} - \dfrac{{\sqrt 3 \left( {3\sqrt 3 - 1} \right)}}{{\sqrt 3 }}\\ = 8\sqrt 3 - 5\sqrt 3 - 3\sqrt 3 + 1 = 1.\end{array}\)
Vậy \(4\sqrt {12} - 15\sqrt {\dfrac{1}{3}} - \dfrac{{9 - \sqrt 3 }}{{\sqrt 3 }} = 1\).
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *