Chứng minh các đẳng thức:
a) \(\sqrt {2 + \sqrt 3 } + \sqrt {2 - \sqrt 3 } = \sqrt 6 \)
b) \(\sqrt {{4 \over {{{\left( {2 - \sqrt 5 } \right)}^2}}}} - \sqrt {{4 \over {{{\left( {2 + \sqrt 5 } \right)}^2}}}} = 8.\)
Hướng dẫn giải
a. Áp dụng hằng đẳng thức:
\({\left( {a + b} \right)^2} = {a^2} + 2ab + {b^2}\)
\({\left( {\sqrt A } \right)^2} = A\) với (\(A \ge 0\))
b. Áp dụng
Với \(A \ge 0;B > 0\)
\(\sqrt {\dfrac{A}{B}} = \dfrac{{\sqrt A }}{{\sqrt B }}\)
\(\sqrt {{A^2}} = \left| A \right|\)
Với \(A \ge 0\) suy ra \(\left| A \right| = A\)
Với \(A < 0\) suy ra \(\left| A \right| =- A\)
Lời giải chi tiết
a) Ta có: \(4 > 3 \Rightarrow \sqrt 4 > \sqrt 3 \Rightarrow 2 > \sqrt 3 > 0\)
Suy ra: \(\sqrt {2 + \sqrt 3 } + \sqrt {2 - \sqrt 3 } > 0\)
Ta có:
\({\left( {\sqrt {2 + \sqrt 3 } + \sqrt {2 - \sqrt 3 } } \right)^2} = 2 + \sqrt 3 + 2\sqrt {2 + \sqrt 3 } .\sqrt {2 - \sqrt 3 } + 2 - \sqrt 3 \)
\( = 4 + 2\sqrt {4 - 3} = 4 + 2\sqrt 1 = 4 + 2 = 6\)
\({\left( {\sqrt 6 } \right)^2} = 6\)
Vì \({\left( {\sqrt {2 + \sqrt 3 } + \sqrt {2 - \sqrt 3 } } \right)^2} = {\left( {\sqrt 6 } \right)^2}\) nên \(\sqrt {2 + \sqrt 3 } + \sqrt {2 - \sqrt 3 } = \sqrt 6 \)
b) Ta có:
\(\sqrt {{4 \over {{{\left( {2 - \sqrt 5 } \right)}^2}}}} - \sqrt {{4 \over {{{\left( {2 + \sqrt 5 } \right)}^2}}}} = {{\sqrt 4 } \over {\sqrt {{{\left( {2 - \sqrt 5 } \right)}^2}} }} - {{\sqrt 4 } \over {\sqrt {{{\left( {2 + \sqrt 5 } \right)}^2}} }}\)
\( = {2 \over {\left| {2 - \sqrt 5 } \right|}} - {2 \over {\left| {2 + \sqrt 5 } \right|}} = {2 \over {\sqrt 5 - 2}} - {2 \over {\sqrt 5 + 2}}\)
\( = {{2\left( {\sqrt 5 + 2} \right) - 2\left( {\sqrt 5 - 2} \right)} \over {\left( {\sqrt 5 + 2} \right)\left( {\sqrt 5 - 2} \right)}} = {{2\sqrt 5 + 4 - 2\sqrt {5 + 4} } \over {5 - 4}} = 8\)
Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh.
-- Mod Toán 9