Nội dung bài học sẽ giúp các em nắm được hai khái niệm quan trọng của Giải tích 12 Chương 1 Bài 2 là Cực đại và Cực tiểu, cùng với đó là điều kiện cần và điều kiện đủ để hàm số có cực trị. Bên cạnh đó là các ví dụ minh họa sẽ giúp các em hình thành các kĩ năng giải bài tập liên quan đến cực trị của hàm số.
Cho hàm số \(y=f(x)\) liên tục trên khoảng (a;b) và điểm \(x_0\in(a;b)\):
\(f(x)\) đạt cực trị tại \(x_0\), có đạo hàm tại \(x_0\) thì \(f'(x_0)=0\).
♦ Chú ý: nếu \(f''(x_i)=0\) thì ta phải dùng quy tắc 1 để xét cực trị tại .
a) \(y = \frac{1}{3}{x^3} - {x^2} - 3x + \frac{4}{3}\)
b) \(y = \left| x \right|\left( {x + 2} \right)\)
a) \(y = \frac{1}{3}{x^3} - {x^2} - 3x + \frac{4}{3}\)
Cách 1:
Cách 2:
b) \(y = \left| x \right|\left( {x + 2} \right)\)
Tìm m để hàm số \(y = \left( {m + 2} \right){x^3} + 3{x^2} + mx - 5\) có 2 cực trị
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số \(\: y = -x^3 + (m+3)x^2 - (m^2 + 2m)x - 2\) đạt cực đại tại \(x=2.\)
Để củng cố bài học xin mời các em cùng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 12 Chương 1 Bài 2 Cực trị của hàm số để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.
Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán DapAnHay sẽ sớm trả lời cho các em.
Hàm số y = f(x) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có bảng biến thiên như hình vẽ bên. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
Gọi A và B là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} - 3x + 1.\) Tính độ dài AB.
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số \(y = - 2{x^4} + \left( {m + 3} \right){x^2} + 5\) có duy nhất một điểm cực trị.
Câu 4 - 10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 12 Chương 1 Bài 2sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Giải tích 12 Cơ bản và Nâng cao.
Bài tập 1 trang 18 SGK Giải tích 12
Bài tập 2 trang 18 SGK Giải tích 12
Bài tập 3 trang 18 SGK Giải tích 12
Bài tập 4 trang 18 SGK Giải tích 12
Bài tập 5 trang 18 SGK Giải tích 12
Bài tập 6 trang 18 SGK Giải tích 12
Bài tập 1.17 trang 15 SBT Toán 12
Bài tập 1.18 trang 15 SBT Toán 12
Bài tập 1.19 trang 16 SBT Toán 12
Bài tập 1.20 trang 16 SBT Toán 12
Bài tập 1.21 trang 16 SBT Toán 12
Bài tập 1.22 trang 16 SBT Toán 12
Bài tập 1.24 trang 16 SBT Toán 12
Bài tập 1.23 trang 16 SBT Toán 12
Bài tập 1.25 trang 16 SBT Toán 12
Bài tập 1.26 trang 16 SBT Toán 12
Bài tập 1.27 trang 17 SBT Toán 12
Bài tập 1.28 trang 17 SBT Toán 12
Bài tập 1.29 trang 17 SBT Toán 12
Bài tập 1.30 trang 17 SBT Toán 12
Bài tập 1.31 trang 17 SBT Toán 12
Bài tập 1.32 trang 17 SBT Toán 12
Bài tập 1.33 trang 17 SBT Toán 12
Bài tập 11 trang 16 SGK Toán 12 NC
Bài tập 12 trang 17 SGK Toán 12 NC
Bài tập 13 trang 17 SGK Toán 12 NC
Bài tập 14 trang 17 SGK Toán 12 NC
Bài tập 15 trang 17 SGK Toán 12 NC
Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, DapAnHay sẽ sớm trả lời cho các em.
-- Mod Toán Học 12 DapAnHay
Hàm số y = f(x) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có bảng biến thiên như hình vẽ bên. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
Gọi A và B là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} - 3x + 1.\) Tính độ dài AB.
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số \(y = - 2{x^4} + \left( {m + 3} \right){x^2} + 5\) có duy nhất một điểm cực trị.
Cho hàm số f(x) có đạo hàm là \(f'\left( x \right) = {x^4}\left( {x - 1} \right){\left( {2 - x} \right)^3}{\left( {x - 4} \right)^2}\). Hỏi hàm số \(f(x)\) có bao nhiêu điểm cực trị?
Biết \(M\left( {0;5} \right),N\left( {2; - 11} \right)\) là các điểm cực trị của đồ thị hàm số \(f(x)= a{x^3} + b{x^2} + cx + d\). Tính giá trị của hàm số tại x=2.
Cho hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + 3\) xác định trên [1;3]. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số thì M+m bằng :
Cho hàm số y=f(x) xác định, liên tục trên R và có bảng biến thiên
Mệnh đề nào sau đây là đúng?
Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số \(y = {x^3} - 2{x^2} + mx + 1\) đạt cực đại tại x=1
Tìm a, b, c sao cho hàm số \(y = {x^3} + a{x^2} + bx + c\) có giá trị bằng 0 khi x=1 và đạt cực trị bằng 0 khi x=-1
Cho hàm số y=f(x) có \(f'\left( x \right) = x\left( {x - 7} \right){\left( {x + 12} \right)^3}\) . Điểm cực tiểu của hàm số là
Áp dụng quy tắc I, hãy tìm các điểm cực trị của hàm số sau:
a) \(y = 2x^3 + 3x^2 - 36x - 10\).
b) \(y = x^4+ 2x^2 - 3\).
c) \(y = x + \frac{1}{x}\).
d) \(y = x^3(1 - x)^2\).
e) \(y = \sqrt {x^2-x+1}\).
Áp dụng quy tắc II, hãy tìm các điểm cực trị của hàm số sau:
a) \(y = x^4 - 2x^2 + 1\).
b) \(y=\sin {2x} - x\).
c) \(y = sinx + cosx\).
d) \(y = x^5 - x^3 - 2x + 1\).
Chứng minh rằng hàm số \(y = \sqrt {\left| x \right|} \)
không có đạo hàm tại x = 0 nhưng vẫn đạt cực tiểu tại điểm đó.
Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m, hàm số \(y = x^3 - mx^2 - 2x + 1\) luôn luôn có một điểm cực đại và một điểm cực tiểu.
Tìm a và b để các cực trị của hàm số \(y=\frac{5}{3}a^{2}x^{3}+2ax^{2}-9x+b\) đều là những số dương và \({x_0} = - \frac{5}{9}\) là điểm cực đại.
Xác định giá trị của tham số m để hàm số \(y = \frac{{{x^2} + mx + 1}}{{x + m}}\) đạt cực đại tại x = 2.
Tìm cực trị của hàm số sau:
a) \(y = - 2{x^2} + 7x - 5\)
b) \(y = {x^3} - 3{x^2} - 24x + 7\)
c) \(y = {(x + 2)^2}{(x - 3)^3}\)
Tìm cực trị của các hàm số sau:
a) \(y = \frac{{x + 1}}{{{x^2} + 8}}\)
b) \(y = \frac{{{x^2} - 2x + 3}}{{x - 1}}\)
c) \(y = \frac{{{x^2} + x - 5}}{{x + 1}}\)
d) \(y = \frac{{{{(x - 4)}^2}}}{{{x^2} - 2x + 5}}\,\)
Tìm cực trị của các hàm số sau:
a) \(y = x - 6\sqrt[3]{{{x^2}}}\)
b) \(y = \left( {7 - x} \right)\sqrt[3]{{x + 5}}\)
c) \(y = \frac{x}{{\sqrt {10 - {x^2}} }}\)
d) \(y = \frac{{{x^3}}}{{\sqrt {{x^2} - 6} }}\)
Tìm cực trị của các hàm số sau:
a)
b)
c)
Xác định giá trị của tham số m để hàm số sau có cực trị:
Xác định giá trị của tham số m để hàm số \({y = {x^2} - 2{x^2} + mx + 1}\) đạt cực tiểu tại
Chứng minh rằng hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}
- 2x,\,\,\,\,x \ge 0\\
\sin \frac{x}{2},\,\,x < 0
\end{array} \right.\)
không có đạo hàm tại
Xác định giá trị của tham số m để hàm số \(y = {x^3} - m{x^2} + \left( {m - \frac{2}{3}} \right)x + 5\) có cực trị tại
Xác định giá trị của tham số m để hàm số sau không có cực trị
\(y = \frac{{{x^2} + 2mx - 3}}{{x - m}}\)
A. 0 | B. 1 | C. 2 | D. 3 |
Hàm số \(y = {x^4} - 5{x^2} + 4\) có mấy điểm cực đại?
A. 0 | B. 1 | C. 2 | D. 3 |
Xác định giá trị của tham số m để hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + mx - 5\) có cực trị:
A. | B. | C. | D. |
Xác định giá trị của tham số m để hàm số \(y = \frac{{{x^2} - 2mx + 5}}{{x - m}}\) có cực trị.
A. \(m > \sqrt 5 \) | B. \(m < - \sqrt 5 \) |
C. \(m = \sqrt 5 \) | D. \( - \sqrt 5 < m < \sqrt 5 \) |
Cho hàm số \(y = - {x^4} + 4{x^2} - 3\). Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Hàm số có một cực đại và hai cực tiểu.
B. Hàm số có hai cực đại và một cực tiểu.
C. Hàm số chỉ có một cực tiểu.
D. Hàm số chỉ có một cực đại.
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
Bài này phải làm sao mọi người?
Cho hàm số: \(y=x^3-3mx^2+4m^3 \ (C)\), với m là tham số. Chứng minh rằng với mọi m > 0 đồ thị (C) luôn có 2 điểm cực trị A và B. Tìm m để OA + OB = 6, O là gốc tọa độ.
Câu trả lời của bạn
\(y'=3x^2-6mx=3x(x-2m)\)
\(y'=0\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} x=0\\ x=2m \end{matrix}\)
Với m > 0 thì phương trình y' = 0 luôn có 2 nghiệm phân biệt. Do đó, đồ thị (C) luôn có 2 điểm cực trị A và B
Khi đó: Hai điểm cực trị của đồ thị (C) là: A(0;4m3);B(2m;0)
Với m > 0 , ta có: \(OA+OB=6\Leftrightarrow 4\left | m^3 \right |+2\left | m \right |=6\)
\(\Leftrightarrow 2m^3+m-3=0\Leftrightarrow m=1\) (thỏa mãn m > 0)
Khó quá, em bỏ cuộc rồi, mọi người giúp vs! Em cảm ơn nhiều ạ.
Tìm các điểm cực đại, cực tiểu của hàm số \(f(x)=3x^4-4x^3-12x^2\)
Câu trả lời của bạn
Hàm số xác định với mọi x \(\in R\)
Ta có
\(f'(x)=12x^3-12x^2-24x;f'(x)=0\Leftrightarrow x_1=-1,x_2=0,x_3=2\)
\(f''(x)=12(3x^2-2x-2)\)
Ta lại có
\(f''(-1)>0,f''(0)<0,f''(2)>0\)
Suy ra x = -1, x = 2 là các điểm cực tiểu; x = 0 là điểm cực đại của hàm số.
Chú ý. Học sinh có thể lập Bảng biến thiên để đưa ra kết luận.
Hôm qua làm kiểm tra 1 tiết Toán, mình giải không biết đúng hay sai nữa!
Cho hàm số: \(y = -x^3 + 3x^2 + 3(m^2-1)x - 3m^2 - 1 \ \ \ (1)\)
a) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số khi m = 1.
b) Tìm m để hàm số (1) có hai điểm cực trị x1 và x2 đồng thời |x1 - x2| = 2.
Câu trả lời của bạn
a) Khi m = 1 hàm số trở thành: \(y = -x^3 + 3x^2 - 4\)
+ Giới hạn và tiệm cận
\(\lim_{x\rightarrow + \infty } = - \infty ; \lim_{x\rightarrow - \infty } = + \infty\)
Đồ thị hàm số không có tiệm cận
+ Bảng biến thiên
\(y' = -3x^2 + 6x; y' = 0\) ⇔ x = 0 hoặc x = 2
Hàm số đồng biến trên khoảng (0; 2). Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng \((- \infty ; 0)\) và \((2; + \infty )\)
Điểm uốn: I(1; -2)
Nhận xét: Đồ thị nhận điểm uốn I(1; -2) làm tâm đối xứng
b)
\(y' = -3x^2 + 6x + 3(m^2 - 1)\)
+ Hàm số (1) có hai điểm cực trị khi y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt \(\Leftrightarrow \Delta ' = 9m^2 > 0 \Leftrightarrow m \neq 0\)
\(+ |x_1 - x_2| = 2 \Leftrightarrow (x_1 + x_2)^2 - 4x_1 x_2 = 4\)
Trong đó: \((x_1 + x_2) = 2; \ x_1 x_2 = 1 - m^2\)
Nên \(|x_1 + x_2| = 2 \Leftrightarrow 1 - m^2 = 0 \Leftrightarrow m = \pm 1\) (TMĐK). Vậy \(m = \pm 1\)
mn người ơi, giải giúp em vs, bài này khó quá!
Cho hàm số \(y = x^3 + 3x^2 + m\) (1)
1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = -4.
2/ Xác định m để đồ thị của hàm số (1) có hai điểm cực trị A, B thỏa mãn tam giác OAB vuông tại O (O là gốc tọa độ).
Câu trả lời của bạn
1/
Với m = -4 ta có hàm số \(y = x^3 + 3x^2 - 4\)
Tập xác định: R
Sự biến thiên
\(y' = 3x^2 + 6x\)
\(y' = 0 \Leftrightarrow \bigg \lbrack \begin{matrix} x = 0 \ \ \\ x = -2 \end{matrix}\)
Bảng biến thiên
Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \((- \infty ; -2)\) và \((0; + \infty )\)
Hàm số nghịch biến trên khoảng (-2; 0)
Hàm số đạt cực đại tại x = -2, yCĐ = 0
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0, yCT = -4
Đồ thị cắt trục Ox tại điểm (-2; 0) và (1; 0)
Đồ thị cắt trục Oy tại điểm (0; -4)
2/
Ta có \(y' = 3x^2 + 6x\)
\(y' = 0 \Leftrightarrow \bigg \lbrack \begin{matrix} x = 0 \ \ \\ x = -2 \end{matrix}\)
Do \(y' = 0\) có 2 nghiệm phân biệt và y’ đổi dấu qua 2 nghiệm đó nên đths có 2 điểm cực trị là A(0; m), B(-2; m + 4)
\(\overrightarrow{OA} (0; m), \overrightarrow{OB} (-2; m+4)\)
∆OAB vuông tại O khi \(\overrightarrow{OA}. \overrightarrow{OB} = 0 \Leftrightarrow m(m+4) = 0 \Leftrightarrow \bigg \lbrack \begin{matrix} m = 0 \ \ \\ m = -4 \end{matrix}\)
Do O, A, B tạo thành tam giác nên m = -4
mn người ơi, giải giúp em vs, bài này khó quá!
Tìm m để hàm số \(y=x^3-3mx^2+3(m+2)x+m-1\) có hai điểm cực trị.
Câu trả lời của bạn
TXĐ:D = R
Ta có \(y=3x^2-6mx+3m+6\)
\(y'=0\Leftrightarrow x^2-2mx+m+2=0 \ (*)\)
Hàm số đã cho có hai điểm cực trị khi và chỉ khi (*) có hai nghiệm phân biệt
hay \(\Delta '=m^2-m-2> 0\)
\(\Leftrightarrow m< -1\) hoặc \(m>2\)
Em sẽ rất biết ơn ai giải giúp em bài này!
Tìm m để hàm số \(y=x^3-mx^2+2m+1\) đạt giá trị cực tiểu tại x = 1.
Câu trả lời của bạn
\(y'=3x^2-2mx\)
\(y''=6x-2m\)
Hàm số đạt cực tiểu tại điểm \(x=1\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} y'(1)=0\\ y''(1)>1 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 3-2m=0\\ 6-2m>0 \end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m=\frac{3}{2}\\ m<3 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow m=\frac{3}{2}\)
Help me!
Tìm m để hàm số \(f(x)=mx^3-x^2+2x-8m\) có cực đại, cực tiểu
Câu trả lời của bạn
TXĐ: D = R
\(f'(x)=3mx^2-2x+2\)
Hàm số có cực đại, cực tiểu khi \(\left\{\begin{matrix} 3m\neq 0\\ f'(x)=0 \ co \ 2 \ nghiem \ phan \ biet \end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} m\neq 0\\ \Delta '=1-6m>0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m\neq 0\\ m<\frac{1}{6} \end{matrix}\right.\)
KL: \(m\in (-\infty ;0)\cup (0;\frac{1}{6})\)
Em sẽ rất biết ơn ai giải giúp em bài này!
Xác định a, b, c để hàm số \(f(x)=x^3+ax^2+bx+c\) có giá trị 0 khi x = 1 và đạt giá trị cực trị bằng 0 khi x = -1.
Câu trả lời của bạn
Ta có \(f(1)=0\Leftrightarrow 1+a+b+c=0 \ \ (1)\)
\(f'(x)=3x^2+2ax+b\)
ĐK có cực trị f'(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt
\(\Delta '>0\Leftrightarrow a^2-3b>0\) (2)
\(\left\{\begin{matrix} f'(-1)=0\\ f'(-1)=0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 3-2a+b=0 \ \ \ \ \ (3) \\ -1+a-b+c=0 \ \ \ \ \ (4) \end{matrix}\right.\)
Từ (1) (4) \(2+2b=0\Leftrightarrow b=-1 \ \ \ (5)\)
Thay (5) vào (3) ta có \(3-2a-1=0\Leftrightarrow a=1 \ \ (6)\)
Thay (5) (6) vào (4) \(-1+1+1+c=0\Leftrightarrow c=-1\)
Đối chiếu được (3) thỏa mãn
Vậy a= 1, b = -1, c = -1
Bài này phải làm sao mọi người?
Tìm m để hàm số \(f(x)=x^3-3x^2+mx-1\) có hai điểm cực trị. Gọi \(x_1,x_2\) là hai điểm cực trị đó, tìm m để \(x^2_1+x_2^2=3\) .
Câu trả lời của bạn
tại sao đoạn kia (x1 + x2)2 = 4 ạ
Hàm số đã cho xác định với mọi \(x \in R\)
Ta có
\(f'(x)=3x^2-6x+m\)
Hàm số có hai cực trị khi và chỉ khi phương trình \(3x^2-6x+m=0\) có hai nghiệm phân biệt, tức là \(\Delta '>0\Leftrightarrow m<3\)
Ta có
\(x^2_1+x^2_2=3\Leftrightarrow (x_1+x_2)^2-2x_1.x_2=3\Leftrightarrow 4-2. \frac{m}{3}=3\)
\(\Leftrightarrow m=\frac{3}{2}\) (thỏa mãn)
Vậy \(m=\frac{3}{2}\)
mn người ơi, giải giúp em vs, bài này khó quá!
Tìm các điểm cực đại, cực tiểu của hàm số \(y=x-5+\frac{1}{x}\)
Câu trả lời của bạn
Tập xác định: D=R \ {0}
Chiều biến thiên:
\(y'=1-\frac{1}{x^2}=\frac{x^2-1}{x^2}\)
\(y'=0\Leftrightarrow x^2-1=0\Leftrightarrow x=\pm 1\)
Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên ta suy ra hàm số đạt cực đại tại x =-1 và đạt cực tiểu tại x =1
Tìm cực trị của hàm số \(f(x)=x^4-2\)
Câu trả lời của bạn
Tập xác định R
Ta có
\(f'(x)=4x^3;f'(x)=0\Leftrightarrow x=0\)
Bảng biến thiên:
Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=0,y_{CT}=-2\)
Help me!
Tìm m để hàm số \(y=2x^3+3(2m+1)x^2+6m(m+1)x+m^2\) đạt cực tiểu tại x = 1
Câu trả lời của bạn
D = R
\(y'=6x^2+6(2m+1)x+6m(m+1)\)
Nếu hàm số đạt cực tiểu tại x =1 thì y'(1) = 0
\(\Leftrightarrow 6.1^2+6(2m+1).1+6m(m+1)=0\)
\(\Leftrightarrow 6m^2+18m+12=0\Leftrightarrow m=-1\) hoặc \(m=-2\)
Với \(m=-1: y'=6x^2-18x+12; y''=12x-18; y''(1)=6>0\)
Suy ra x = 1 là điểm cực tiểu (thỏa yêu cầu).
Với \(m=-1: y'=6x^2-18x+12; y''=12x-18; y''(1)=-6<0\)
Suy ra x =1 là điểm cực đại (không thỏa yêu cầu).
Vậy m = -1 là giá trị cần tìm.
Hôm nay thầy em giao bài này về nhà mà em không có biết làm, mn giúp em vs!
Cho hàm số \(y=x^3-3x^2-3mx+1\), trong đó m là tham số. Tìm các giá trị của m để hàm số đạt cực trị tại x1; x2 thỏa mãn x1 = 3 x2
Câu trả lời của bạn
Hàm số có cực trị ⇔ m>-1
Theo Viet ta có x1 + x2 = 2
Tìm được \(x_2=\frac{1}{2}\)
Thay vào phương trình y' = 0, tìm được \(m=-\frac{3}{4}(tm)\)
Hôm nay ngồi giải đề thi thử gặp bài này không biết phải làm thế nào, bạn bè, anh chị nào biết cách giải bài này giúp mình với.
Cảm ơn mọi người trước nhé!
Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} - \frac{1}{2}\left( {m + 5} \right){x^2} + mx\) có cực đại, cực tiểu sao cho \(\dpi{100} \left| {{x_{CD}} - {x_{CT}}} \right| = 5.\)
A. \(m=0\)
B. \(m=-6\)
C. \(m \in \left \{ 6;0 \right \}\)
D. \(m \in \left \{ -6;0 \right \}\)
Câu trả lời của bạn
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m (m \epsilon \left (-2017\right 2017)) ) để hàm số y=x^{2}(m-x)-m đồng biến trên (1;2) ?
Cảm ơn Thùy Trang nhiều nhé, mình quên định lý Vi-et nên không giải được bài.
Bài này câu đúng là câu D, mình mới giải hôm qua, chia sẻ cho các bạn tham khảo:
Xét hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} - \frac{1}{2}\left( {m + 5} \right){x^2} + mx\)
Ta có: \(y' = {x^2} - \left( {m + 5} \right)x + m\)
Hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} - \frac{1}{2}\left( {m + 5} \right){x^2} + mx\) có cực đại, cực tiểu sao cho \(\left| {{x_{CD}} - {x_{CT}}} \right| = 5\) khi:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\Delta = {{\left( {m + 5} \right)}^2} - 4m > 0}\\ {{{\left( {{x_1} - {x_2}} \right)}^2} = 25} \end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{m^2} + 6m + 25 > 0}\\ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 4{x_1}{x_2} = 25} \end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{m^2} + 6m + 25 > 0}\\ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 4{x_1}{x_2} = 25} \end{array}} \right.\)
\(\Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{m^2} + 6m + 25 > 0}\\ {{m^2} + 6m + 25 = 25} \end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {m = 0}\\ {m = - 6} \end{array}} \right.\)
Với giá trị nào của m thì x=1 là điểm cực tiểu của hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} + m{x^2} + \left( {{m^2} + m + 1} \right)x.\)
A. \(m \in \left\{ { - 2; - 1} \right\}\)
B. m= -2
C. m=-1
D. Không có m
Câu trả lời của bạn
ehh bạn ơi ở dapanhay.com làm thế nào để tag ai đó
y' = x bình + 2mx + m bình + m +1
y" = 2x + 2m
Để hàm số đạt cực tiểu tại x=1 ta có :
\(\left\{\)f'(1)= 0 =>m bình + 3m + 2 = 0 => m= -1 . m=-2 ( chọn )
f'' (1) > 0 => 2+2m >0 => m > -1
cảm ơn minh vương, khi tính ra y''(1) và y''(2) bằng 0 mình lúng túng không biết xử lý thế nào, lời giải của bạn rất hay mình đọc là hiểu ngay.
\(y' = {x^2} + 2mx + ({m^2} + m + 1)\)
Để hàm số đạt cực tiểu tại x=1 thì:
\(y'(1) = 0 \Rightarrow 1 + 2m + ({m^2} + m + 1) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m = - 1\\ m = - 2 \end{array} \right.\)
\(y'' = 2x + 2m\)
Với m=-1 ta có: y'' (1) = 0
Với m=-2 ta có: y'' (2) = 0
Đến đây nhiều bạn sẽ gặp sai lầm khi kết luận không tồn tại giá trị m thỏa yêu cầu bài toán.
(Xem lại Định lí 2 SGK Giải tích 12 trang 16, đó chỉ là định lý một chiều suy ra).
Khi gặp trường hợp này ta cần chuyển sang phương pháp kiểm tra bằng cách xét dấu của như sau:
+ Với m=-1 ta có: \(y' = {x^2} - 2x + 1,\,\,y' = 0 \Leftrightarrow x = 1\). Vậy với m=-1 hàm số không có cực trị.
+ Với m=-2 ta có: \(y' = {x^2} - 4x + 3,\,y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 1\\ x = 3 \end{array} \right.\)
Ta có y’ đổi dấu từ (+) sang (-) tại x=1, vậy hàm số đạt cực đại tại x=1.
Vậy không có giá trị m nào thỏa yêu cầu bài toán.
Bài này phải làm sao mọi người?
Cho hàm số \(y=\frac{1}{3}mx^3-(m-1)x^2+3(m-2)+\frac{1}{2}\). Tìm m để hàm số đạt cực trị tại \(x_1,x_2\) thỏa mãn: \(x_1+2x_2=1\)
Câu trả lời của bạn
TXĐ: D = R
Đạo hàm: \(y'=mx^2-2(m-1)x+3(m-2)\)
Hàm số có 2 cực trị:
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a_y\neq 0\\ \Delta '_y>0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m\neq 0\\ \Delta '=(m-1)^2-3m(m-2)>0 \end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m\neq 0\\ -2m^2+4m+1>0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m\neq 0\\ 1-\frac{\sqrt{6}}{2}< m< 1+\frac{\sqrt{6}}{2} \ (*) \end{matrix}\right.\)
Vì \(x_1x_2\) là nghiệm của phương trình y' = 0 nên \(x_1+2x_2=1(1)\)
Và: \(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=\frac{2(m+(-1))}{m} \ (2) \\ \\ x_1.x_2= \frac{3(m-2)}{m} (3) \ \ \ \ \ \ \ \ \end{matrix}\right.\)
Từ (1) và (2) \(x_1=3-\frac{4}{m},x_2=-1+\frac{2}{m}\)
Thay vào (3):
\(\Rightarrow \left ( -1+\frac{2}{m} \right )\left ( 3-\frac{4}{m} \right )= \frac{3(m-2)}{m}\)
\(\Leftrightarrow 3m^2-8m+4=0 \ (do \ m\neq 0)\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m=2\\ m=\frac{2}{3} \end{matrix}\right.\)
Vậy \(m=2,m=\frac{2}{3}\) thỏa yêu cầu bài toán
mn người ơi, giải giúp em vs, bài này khó quá!
Xác định giá trị của tham số m để hàm số \(x=-x^4+2mx^2+m^3+2m\) đạt cực đại tại x = -1
Câu trả lời của bạn
\(y'=-4x^3+mx\); nếu hàm số đạt cực đại tại x = -1 thì y'(-1) = 0, suy ra m = 1.
Với m = 1 thì y'' = -12x2 + 4
Mà y'(-1) = 0 và y''(-1) = - 8 <0 nên hàm số đạt cực đại tại x = - 1.
Vậy m = 1 là giá trị cần tìm.
1 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *