Nội dung bài học sẽ giúp các em nắm được hai khái niệm quan trọng của Giải tích 12 Chương 1 Bài 2 là Cực đại và Cực tiểu, cùng với đó là điều kiện cần và điều kiện đủ để hàm số có cực trị. Bên cạnh đó là các ví dụ minh họa sẽ giúp các em hình thành các kĩ năng giải bài tập liên quan đến cực trị của hàm số.
Cho hàm số \(y=f(x)\) liên tục trên khoảng (a;b) và điểm \(x_0\in(a;b)\):
\(f(x)\) đạt cực trị tại \(x_0\), có đạo hàm tại \(x_0\) thì \(f'(x_0)=0\).
♦ Chú ý: nếu \(f''(x_i)=0\) thì ta phải dùng quy tắc 1 để xét cực trị tại .
a) \(y = \frac{1}{3}{x^3} - {x^2} - 3x + \frac{4}{3}\)
b) \(y = \left| x \right|\left( {x + 2} \right)\)
a) \(y = \frac{1}{3}{x^3} - {x^2} - 3x + \frac{4}{3}\)
Cách 1:
Cách 2:
b) \(y = \left| x \right|\left( {x + 2} \right)\)
Tìm m để hàm số \(y = \left( {m + 2} \right){x^3} + 3{x^2} + mx - 5\) có 2 cực trị
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số \(\: y = -x^3 + (m+3)x^2 - (m^2 + 2m)x - 2\) đạt cực đại tại \(x=2.\)
Để củng cố bài học xin mời các em cùng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 12 Chương 1 Bài 2 Cực trị của hàm số để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.
Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán DapAnHay sẽ sớm trả lời cho các em.
Hàm số y = f(x) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có bảng biến thiên như hình vẽ bên. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
Gọi A và B là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} - 3x + 1.\) Tính độ dài AB.
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số \(y = - 2{x^4} + \left( {m + 3} \right){x^2} + 5\) có duy nhất một điểm cực trị.
Câu 4 - 10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 12 Chương 1 Bài 2sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Giải tích 12 Cơ bản và Nâng cao.
Bài tập 1 trang 18 SGK Giải tích 12
Bài tập 2 trang 18 SGK Giải tích 12
Bài tập 3 trang 18 SGK Giải tích 12
Bài tập 4 trang 18 SGK Giải tích 12
Bài tập 5 trang 18 SGK Giải tích 12
Bài tập 6 trang 18 SGK Giải tích 12
Bài tập 1.17 trang 15 SBT Toán 12
Bài tập 1.18 trang 15 SBT Toán 12
Bài tập 1.19 trang 16 SBT Toán 12
Bài tập 1.20 trang 16 SBT Toán 12
Bài tập 1.21 trang 16 SBT Toán 12
Bài tập 1.22 trang 16 SBT Toán 12
Bài tập 1.24 trang 16 SBT Toán 12
Bài tập 1.23 trang 16 SBT Toán 12
Bài tập 1.25 trang 16 SBT Toán 12
Bài tập 1.26 trang 16 SBT Toán 12
Bài tập 1.27 trang 17 SBT Toán 12
Bài tập 1.28 trang 17 SBT Toán 12
Bài tập 1.29 trang 17 SBT Toán 12
Bài tập 1.30 trang 17 SBT Toán 12
Bài tập 1.31 trang 17 SBT Toán 12
Bài tập 1.32 trang 17 SBT Toán 12
Bài tập 1.33 trang 17 SBT Toán 12
Bài tập 11 trang 16 SGK Toán 12 NC
Bài tập 12 trang 17 SGK Toán 12 NC
Bài tập 13 trang 17 SGK Toán 12 NC
Bài tập 14 trang 17 SGK Toán 12 NC
Bài tập 15 trang 17 SGK Toán 12 NC
Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, DapAnHay sẽ sớm trả lời cho các em.
-- Mod Toán Học 12 DapAnHay
Hàm số y = f(x) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có bảng biến thiên như hình vẽ bên. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
Gọi A và B là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} - 3x + 1.\) Tính độ dài AB.
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số \(y = - 2{x^4} + \left( {m + 3} \right){x^2} + 5\) có duy nhất một điểm cực trị.
Cho hàm số f(x) có đạo hàm là \(f'\left( x \right) = {x^4}\left( {x - 1} \right){\left( {2 - x} \right)^3}{\left( {x - 4} \right)^2}\). Hỏi hàm số \(f(x)\) có bao nhiêu điểm cực trị?
Biết \(M\left( {0;5} \right),N\left( {2; - 11} \right)\) là các điểm cực trị của đồ thị hàm số \(f(x)= a{x^3} + b{x^2} + cx + d\). Tính giá trị của hàm số tại x=2.
Cho hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + 3\) xác định trên [1;3]. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số thì M+m bằng :
Cho hàm số y=f(x) xác định, liên tục trên R và có bảng biến thiên
Mệnh đề nào sau đây là đúng?
Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số \(y = {x^3} - 2{x^2} + mx + 1\) đạt cực đại tại x=1
Tìm a, b, c sao cho hàm số \(y = {x^3} + a{x^2} + bx + c\) có giá trị bằng 0 khi x=1 và đạt cực trị bằng 0 khi x=-1
Cho hàm số y=f(x) có \(f'\left( x \right) = x\left( {x - 7} \right){\left( {x + 12} \right)^3}\) . Điểm cực tiểu của hàm số là
Áp dụng quy tắc I, hãy tìm các điểm cực trị của hàm số sau:
a) \(y = 2x^3 + 3x^2 - 36x - 10\).
b) \(y = x^4+ 2x^2 - 3\).
c) \(y = x + \frac{1}{x}\).
d) \(y = x^3(1 - x)^2\).
e) \(y = \sqrt {x^2-x+1}\).
Áp dụng quy tắc II, hãy tìm các điểm cực trị của hàm số sau:
a) \(y = x^4 - 2x^2 + 1\).
b) \(y=\sin {2x} - x\).
c) \(y = sinx + cosx\).
d) \(y = x^5 - x^3 - 2x + 1\).
Chứng minh rằng hàm số \(y = \sqrt {\left| x \right|} \)
không có đạo hàm tại x = 0 nhưng vẫn đạt cực tiểu tại điểm đó.
Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m, hàm số \(y = x^3 - mx^2 - 2x + 1\) luôn luôn có một điểm cực đại và một điểm cực tiểu.
Tìm a và b để các cực trị của hàm số \(y=\frac{5}{3}a^{2}x^{3}+2ax^{2}-9x+b\) đều là những số dương và \({x_0} = - \frac{5}{9}\) là điểm cực đại.
Xác định giá trị của tham số m để hàm số \(y = \frac{{{x^2} + mx + 1}}{{x + m}}\) đạt cực đại tại x = 2.
Tìm cực trị của hàm số sau:
a) \(y = - 2{x^2} + 7x - 5\)
b) \(y = {x^3} - 3{x^2} - 24x + 7\)
c) \(y = {(x + 2)^2}{(x - 3)^3}\)
Tìm cực trị của các hàm số sau:
a) \(y = \frac{{x + 1}}{{{x^2} + 8}}\)
b) \(y = \frac{{{x^2} - 2x + 3}}{{x - 1}}\)
c) \(y = \frac{{{x^2} + x - 5}}{{x + 1}}\)
d) \(y = \frac{{{{(x - 4)}^2}}}{{{x^2} - 2x + 5}}\,\)
Tìm cực trị của các hàm số sau:
a) \(y = x - 6\sqrt[3]{{{x^2}}}\)
b) \(y = \left( {7 - x} \right)\sqrt[3]{{x + 5}}\)
c) \(y = \frac{x}{{\sqrt {10 - {x^2}} }}\)
d) \(y = \frac{{{x^3}}}{{\sqrt {{x^2} - 6} }}\)
Tìm cực trị của các hàm số sau:
a)
b)
c)
Xác định giá trị của tham số m để hàm số sau có cực trị:
Xác định giá trị của tham số m để hàm số \({y = {x^2} - 2{x^2} + mx + 1}\) đạt cực tiểu tại
Chứng minh rằng hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}
- 2x,\,\,\,\,x \ge 0\\
\sin \frac{x}{2},\,\,x < 0
\end{array} \right.\)
không có đạo hàm tại
Xác định giá trị của tham số m để hàm số \(y = {x^3} - m{x^2} + \left( {m - \frac{2}{3}} \right)x + 5\) có cực trị tại
Xác định giá trị của tham số m để hàm số sau không có cực trị
\(y = \frac{{{x^2} + 2mx - 3}}{{x - m}}\)
A. 0 | B. 1 | C. 2 | D. 3 |
Hàm số \(y = {x^4} - 5{x^2} + 4\) có mấy điểm cực đại?
A. 0 | B. 1 | C. 2 | D. 3 |
Xác định giá trị của tham số m để hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + mx - 5\) có cực trị:
A. | B. | C. | D. |
Xác định giá trị của tham số m để hàm số \(y = \frac{{{x^2} - 2mx + 5}}{{x - m}}\) có cực trị.
A. \(m > \sqrt 5 \) | B. \(m < - \sqrt 5 \) |
C. \(m = \sqrt 5 \) | D. \( - \sqrt 5 < m < \sqrt 5 \) |
Cho hàm số \(y = - {x^4} + 4{x^2} - 3\). Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Hàm số có một cực đại và hai cực tiểu.
B. Hàm số có hai cực đại và một cực tiểu.
C. Hàm số chỉ có một cực tiểu.
D. Hàm số chỉ có một cực đại.
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
(x^3-1)(x^2-4)(x^4-1)=0=f'(x) . Hỏi f(x) có mấy cực trị
Câu trả lời của bạn
\(f'(x) = ({x^3} - 1)({x^2} - 4)({x^4} - 1)\)
\(f'(x) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = \pm 2\\x = \pm 1\end{array} \right.\)
Từ bảng trên ta thấy f’(x) đổi dấu khi đi qua các điểm x=-2, x=-1, x=2, nên hàm số f(x) có 3 cực trị.
Cho hàm số f(x) có đạo hàm không âm trên [0;1] thỏa [f(x)⁴].[f'(x)]².(x²+1)=1+[f(x)]³ và f(x)>0 với ∀x∈[0;1] biết f(0)=2. HÃy chọn khẳng định đúng và nêu lý do:
A.3<f(1)<3.5
B.2<f(1)<2.5
C.1.5<f(1)<2
D.2.5<f(1)<3
Câu trả lời của bạn
tìm tất cả giá trị của m để đồ thị hàm số y= x3 + 3x2 + 3( 2m -1 )x - m2 +2 có tiếp tuyến cùng phương với trục hoành
Câu trả lời của bạn
1=2
Trục hoành là đường thẳng y=0, có hệ số góc k=0
Xét hàm số \(y = {x^3} + 3{x^2} + 3(2m - 1)x - {m^2} + 2\) ta có \(y' = 3{x^2} + 3(2m - 1)\)
Tiếp tuyến cùng phương với trục hoành nên hệ số góc k=0
Điều này xảy ra khi phương trình \(y' = 0\) có nghiệm
Hay \(3{x^2} + 3(2m - 1) = 0\) có nghiệm.
Suy ra \(3(2m - 1) \le 0 \Leftrightarrow 2m - 1 \le 0 \Leftrightarrow m \le \frac{1}{2}\)
cho hàm số y=f(x) thoả mãn y'=x2.y và f(-1)=1 thì f(2) bằng bao nhiêu ?(d/s: e3)
Câu trả lời của bạn
e3
hàm số y = x^4 + (m+3)x^3 + 2(m+1)x^2 có cực đại tại x = k và k <= 0 . trong khoảng [-2017 ; 2017] tồn tại bao nhiêu giá trị nguyên của k thoa mãn yêu cầu đè bài ?
Câu trả lời của bạn
Mình nghĩ thế này xem có đúng không nhaaaaa ;)
y=x^4+(m+3)x^3+2(m+1)x^2=x^2(x+m+1)(x+2)
vẽ Bbt ra:
ycb tương đương -2017<=k<2 suy ra có 2019 giá trị thỏa mãn.
hình như bài này mình thấy đâu đó rồi..2017 ha j đó bn
Cho hàm số \(y=x^{3}+(1-2m)x^{2}+(2-m)x+m+2\) \((C_{m})\). Tìm m để đồ thị hàm số \((C_{m})\) có cực trị đồng thời hoành độ cực tiểu nhỏ hơn 1.
Câu trả lời của bạn
Có \(y'=3x^{3}+2(1-2m)x+(2-m)\)
Để hàm số có cực trị thì phương trình y' = 0 có hai nghiệm phân biệt và y' đổi dấu qua hai nghiệm đó \(\Leftrightarrow 3x^{2}+2(1-2m)x+(2-m)=0\) có hai nghiệm phân biệt \(\Leftrightarrow \Delta =4m^{2}-m-5> 0\Leftrightarrow m< -1\) hoặc \(m> \frac{5}{4}\) (1)
Khi đó giả sử y' = 0 có hai nghiệm phân biệt \(x_{1},x_{2}\) với \(x_{1}< x_{2}\) thì \(x_{2}\) là điểm cực tiểu. Theo đề bài có \(x_{1}< x_{2}< 1\Leftrightarrow m< \frac{7}{5}\) (2)
Kết hợp (1) và (2) ta được... Đáp số \(m\in (-\infty ;-1)\cup\left ( \frac{5}{4};\frac{7}{5} \right )\)
Cho hàm số \(y=x^{3}-3mx^{2}+4m^{2}-2\) (1), với m là tham số thực. Tìm m để đồ thị hàm số (1) có 2 điểm cực trị A và B sao cho điểm I(1;0) là trung điểm của đoạn AB.
Câu trả lời của bạn
Ta có \(y'=3x^{2}-6mx;y'=0\Leftrightarrow x=0\) hoặc \(x=2m\)
Đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị \(\Leftrightarrow y'=0\) có 2 nghiệm phân biệt \(\Leftrightarrow m\neq 0\)
Tọa độ các điểm cực trị A, B là A\((0;4m^{2}-2);B(2m;-4m^{3}+4m^{2}-2)\)
I là trung điểm của AB nên \(\left\{\begin{matrix}m=1 \\-2m^{3}+4m^{2}-2=0 \end{matrix}\right.\)
Giải hệ được m = 1 thỏa mãn ĐK tồn tại cực trị.
Vậy giá trị của m cần tìm là m = 1
Cho hàm số \(y=x^{3}-(m-4)x^{2}+m-2\; (1)\). Xác định các giá trị của tham số m để hàm số (1) đạt cực tiểu tại x = 2. Chứng minh rằng khi đó các điểm cực trị của đồ thị hàm số (1) cùng với điểm C(-1; 2) tạo thành tam giác vuông tại C.
Câu trả lời của bạn
\(y=x^{3}-(m-4)x^{2}+m-2\; \; (1)\)
Có \(y'=3x^{2}-2(m-4)x\)
\(y'=0\Leftrightarrow 3x^{2}-2(m-4)x=0\Leftrightarrow x=0;x=\frac{2(m-4)}{3}\)
Hàm số đạt cực trị tại x = 2 \(\Leftrightarrow 0\neq \frac{2(m-4)}{3}=2\Leftrightarrow m=7\)
Thử lại với m = 7, hàm số đạt cực tiểu tại x = 2
Với m = 7 hàm số có dạng \(y=x^{3}-3x^{2}+5\)
Tìm được các điểm cực trị A(0; 5); B(2; 1)
Tính độ dài các đoạn \(AB=\sqrt{20},BC=\sqrt{10},CA=10\)
Thấy \(AB^{2}=CA^{2}+CB^{2}\Rightarrow\) tam giác ABC vuông tại C
Cho hàm số \(y=\frac{x^{3}}{2}-\frac{3}{4}x^{2}-6mx+\frac{1}{2}.\) Tìm các số thực m để hàm số có 2 điểm cực đại, cực tiểu trên [-1; 1].
Câu trả lời của bạn
Tập xác định: D = R; \(y'=\frac{3x^{2}}{2}-\frac{3}{2}x-6m\)
Do y' là tam thức bậc hai nên hàm số có cực đại, cực tiểu trên [-1; 1] \(\Leftrightarrow\) y' có hai nghiệm phân biệt trên [-1; 1]
\(\Leftrightarrow \frac{3x^{2}}{2}-\frac{3}{2}x-6m=0\) có hai nghiệm phân biệt \(x_{1}, x_{2}\) thỏa mãn \(-1\leq x_{1}< x_{2}\leq 1\Leftrightarrow\) đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số \(f(x)=\frac{x^{2}}{4}-\frac{x}{4}\) tại 2 điểm phân biệt có hoành độ \(x_{1}, x_{2}\) thỏa mãn \(-1\leq x_{1}< x_{2}\leq 1\)
Lập bảng biến thiên ta được \(-\frac{1}{16}< m\leq 0\)
Cho hàm số \(y=x^3+3mx^2+2\) (1), với m là tham số thực.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 1.
b) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị A, B sao cho diện tích tam giác OAB bằng 2 (O là gốc tọa độ).
Câu trả lời của bạn
a) Khảo sát hàm số \(y=x^3+3mx^2+2\)
Với m = 1, ta có hàm số: \(y=x^3+3x^2+2\)
*) TXĐ: R
*) Sự biến thiên:
+) Giới hạn tại vô cực: \(\lim_{x\rightarrow \pm \infty }y=\pm \infty\)
+) Chiều biến thiên: \(y'=3x^2+6x\Rightarrow y'=0\Leftrightarrow x=0\) hoặc x = -2
Bảng biến thiên:
\(\Rightarrow\) hàm số đồng biến trên \((-\infty ;-2)\) và \((0;+\infty)\) hàm số nghịch biến trên (-2; 0)
hàm số đạt cực đại tại x = -2, yCĐ = 6; hàm số đạt cực tiểu tại x = 0, yCT = 2
*) Đồ thị:
Nhận xét: đồ thị hàm số nhận điểm I(-1; 4) làm tâm đối xứng.
b)
Với mọi \(x\in R,y'=3x^2+6mx\Rightarrow y'=0\Leftrightarrow x=0 \ \ or \ \ x =-2\)
Để hàm số có cực đại, cực tiểu thì phương trình y' = 0 có hai nghiệm phân biệt \(\Leftrightarrow x\not\neq 0\)
Khi đó, tọa độ các điểm cực trị là: A(0; 2); B(-2m; 4m3 + 2)
\(S_{OAB}=1\Leftrightarrow OA.d(B;OA)=4\Leftrightarrow \left | -2m \right |=2\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} m=1\\ m=-1 \end{matrix}\) thỏa mãn
Vậy với m = \(\pm\) 1 thì hàm số có 2 cực trị thỏa mãn bài.
Cho hàm số \(y=x^{4}-2mx^{2}+m-1\; (1)\), với m là tham số thực.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 1.
2) Tìm những giá trị của m để hàm số (1) có ba điểm cực trị, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị hàm số tạo thành một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 1.
Câu trả lời của bạn
y′=4x3−4mxy′=0⇔[x=0x2=m
Để hàm số đã cho có ba điểm cực trị khi m>0.
Khi đó tọa độ ba điểm cực trị là:
A(0;m+1);B(−√m;−m2+m+1);C(√m;−m2+m+1)
Gọi H là trung điểm của BC suy ra: H(0;−m2+m+1)⇒AH2=m2
Vì tam giác ABC cân tại A nên: SABC=12AH.BC=m2√m=32⇒m=4.
1) Khi m = 1 hàm số trở thành: \(y=x^{4}-2x^{2}\)
Sự biến thiên: \(y'=4x^{3}-4x=0\Leftrightarrow 4x(x^{2}-1)=0\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} x=0\\x=\pm 1 \end{matrix}\)
BBT:
Hàm số đồng biến trên các khoảng \((-1;0)\) và \((1;+\infty )\)
Hàm số nghịch biến trên các khoảng \((-\infty ;-1)\) và \((0;1).\)
Điểm cực đại (0; 0), cực tiểu (-1; -1), (1; -1).
Đồ thị: Giao với Oy tại (0; 0), đồ thị nhận trục Oy làm trục đối xứng
2) \(y'=4x^{3}-4mx=4x(x^{2}-m)=0\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} x=0\\x^{2}=m \end{matrix}\)
Hàm số đã cho có ba điểm cực trị \(\Leftrightarrow pt\; y'=0\) có ba nghiệm phân biệt và y' đổi dấu khi x đi qua các nghiệm đó \(\Leftrightarrow m>0\)
\(A(0;m-1),B(-\sqrt{m};-m^{2}+m),C(\sqrt{m};-m^{2}+m-1)\)
\(S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}\left | y_{B}-y_{A} \right |.\left | x_{C}-x_{B} \right |=m^{2}\sqrt{m};\)
\(AB=AC=\sqrt{m^{4}+m},BC=2\sqrt{m}\)
\(R=\frac{AB.AC.BC}{4S_{\triangle ABC}}=1\Leftrightarrow \frac{(m^{4}+m)2\sqrt{m}}{4m^{2}\sqrt{m}}=1\)
\(\Leftrightarrow m^{3}-2m+1=0\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} m=1\\m=\frac{\pm \sqrt{5}-1}{2} \end{matrix}\)
Kl: m = 1 hoặc \(m=\frac{ \sqrt{5}-1}{2}\)
Cho hàm số \(y=-x^3+3mx+1 \ \ (1)\). Tìm m để đồ thị của hàm số (1) có 2 điểm cực trị A B, sao cho tam giác OAB vuông tại O (với O là gốc tọa độ).
Câu trả lời của bạn
Tính y phẩy tìm hai điếm a và b tính vectơ ab
Tìm cực trị của hàm số \(y=x-sin2x+2\)
Câu trả lời của bạn
Tập xác định D = R
\(f'(x)=1-2cos2x,f''(x)=4sin2x\)
\(f'(x)=0\Leftrightarrow 1-2cos2x=0\Leftrightarrow cos2x=\frac{1}{2}\Leftrightarrow x=\pm \frac{\pi}{6}+k\pi,k\in Z\)
\(f''\left ( -\frac{\pi}{6}+k\pi \right )=4sin\left ( -\frac{\pi}{3} \right )=-2\sqrt{3}<0\Rightarrow\) hàm số đạt cực đại tại \(x_1=-\frac{\pi}{6}+k\pi\)
Với \(y_{CD}=f\left ( -\frac{\pi}{6} +k\pi\right )=-\frac{\pi}{6}+\frac{\sqrt{3}}{2}+2+k\pi,k\in Z\)
\(f''\left ( \frac{\pi}{6} +k\pi\right )=4sin\left ( \frac{\pi}{3} \right )=2\sqrt{3}>0\Rightarrow\) hàm số đạt cực tiểu tại \(x_1=\frac{\pi}{6}+k\pi\)
Với \(y_{CT}=f\left ( \frac{\pi}{6} +k\pi\right )=\frac{\pi}{6}-\frac{\sqrt{3}}{2}+2+k\pi,k\in Z\)
Cho hàm số \(\small y=x^3+3x^2+1 \ \ (C)\)
a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C)
b. Gọi A, B là 2 điểm cực trị của đồ thị. Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng \(\small \Delta : 3x - y - 2 = 0\) sao cho tam giác MAB có diện tích bằng 2.
Câu trả lời của bạn
a,
- TXĐ: D = R
- Giới hạn và tiệm tận: \(\small \small \lim_{x\rightarrow -\infty }y=-\infty ;\lim_{x\rightarrow +\infty }y=+\infty\)
- Sự biến thiên: \(\small y'=3x^2-6x; y'=0\Leftrightarrow 3x^2-6x=0\Leftrightarrow \bigg \lbrack \begin{matrix} x=0\\ x=2 \end{matrix}\)
Hàm số đồng biến trên \(\small (-\infty ;0);(2;+\infty )\).Hàm số nghịch biến trên (0;2)
Hàm số đạt cực đại tại x = 0; yCĐ = 1; Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2; yCT = -3
- Bảng biến thiên:
- Đồ thị:
b,
Từ câu a. ta giả sử A(0;1); B(2;-3) Ta có
\(\small AB=\sqrt{2^2+(-4)^2}=2\sqrt{5}\) phương trình đường thẳng AB: 2x + y – 1 = 0
\(\small M\in \Delta : 3x-y-2=0\Rightarrow M(t;3t-2);d(M;AB)=\frac{\left | 2t+3t-2-1 \right |}{\sqrt{5}}=\frac{\left | 5t-3 \right |}{\sqrt{5}}\)
Theo giả thiết ta có \(\small \frac{1}{2}AB.d(M, AB) = 2 \Leftrightarrow \left | 5t-3 \right |=2\Leftrightarrow t=1;t=\frac{1}{5}\)
Vậy có 2 điểm M cần tìm là M(1;1) hoặc \(\small M(\frac{1}{2};-\frac{7}{5})\)
Cho hàm số \(y=\frac{1}{3}x^3-mx^2+(m^2-m+1)x+1 \ \ (1)\)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) khi m = 2.
b) Tìm các giá trị của tham số m để hàm số (1) đạt cực đại tại x = 1
Câu trả lời của bạn
a,
\(y=\frac{1}{3}x^3-mx^2+(m^2-m+1)x+1 \ \ (1)\)
Với m = 2, hàm số trở thành: \(y=\frac{1}{3}x^3-2x^2+3x+1\)
+ Tập xác định: D = R
+ Sự biến thiên:
Chiều biến thiên:
\(y'=x^2-4x+3; y'=0\Leftrightarrow x=1 \ or \ x = 3\)
+ Hàm số nghịch biến trên khoảng (1;3);
+ Đồng biến trên các khoảng \((-\infty ;1); (3;+\infty )\)
- Cực trị:
+ Hàm số đạt cực tiểu tại x = 3; yCT = y(3) = 1
+ Hàm số đạt cực tiểu tại x = 3; yCĐ = y(1) = \(\frac{7}{3}\)
- Giới hạn:
\(\lim_{x\rightarrow -\infty }y=-\infty ;\lim_{x\rightarrow +\infty }y=+\infty\)
Bảng biến thiên:
Đồ thị:
b,
+ Tập xác định: D = R
+ Đạo hàm: \(y'=x^2-2mx+m^2-m+1\)
Điều kiện cần:
Hàm số đạt cực đại tại \(x=1\Rightarrow y'(1)=0\)
\(\Leftrightarrow m^2-3m+1=0\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} m=1\\ m=2 \end{matrix}\)
Điều kiện đủ:
Với \(m=1\), ta có \(y'=x^2-2x+1,y'=0\Leftrightarrow x=1\)
Bảng biến thiên
Từ BBT ta suy ra m = 2, ta có \(y'=x^2-4x+3, y'=0\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} x=1\\ x=3 \end{matrix}\)
Bảng biến thiên
Từ BBT ta thấy hàm số đạt cực đại tại x = 1
Vậy hàm số đạt cực đại tại x = 1 khi m = 2
Hôm qua làm kiểm tra 1 tiết Toán, mình giải không biết đúng hay sai nữa!
Tìm các điểm cực trị của hàm số \(y=2x^4-4x^2-1\)
Câu trả lời của bạn
TXĐ: D = R
\(y'=8x^3-8x=8x(x^2-1)\forall x\in D\)
\(y'=0\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} x=0\\ x= \pm 1 \end{matrix}\)
Bảng xét dấu của y’:
Kết luận: Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và ycd = y(0) = -1
Hàm số đạt cực tiểu tại x = ± 1 và \(y_{ct}=y(\pm 1)=-3\)
Tìm m để đồ thị hàm số \(y=x^3-3mx^2+4m^2-2\) có hai điểm cực trị A và B sao cho điểm I (1; 0) là trung điểm của đoạn AB.
Câu trả lời của bạn
Ta có \(y'=3x^2-6mx'y'=0\Leftrightarrow 3x^2-6mx=0\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} x=0\\ x=2m \end{matrix}\)
Đồ thị hàm số (1) có hai cực trị khi và chỉ khi y' = 0 có hai nghiệm phân biệt
\(\Leftrightarrow m\neq 0\)
Tọa độ các điểm cực trị là \(A(0;4m^2-2),B(2m;-4m^3+4m^2-2)\)
Điểm I (1; 0) là trung điểm của đoạn AB khi và chỉ khi \(\left\{\begin{matrix} m=1\\ -2m^3+4m^2-2=0 \end{matrix}\right.\)
Giải hệ, ta được m = 1 . Vậy m = 1 là giá trị cần tìm.
Em sẽ rất biết ơn ai giải giúp em bài này!
Tìm các giá trị của tham số m để hàm số \(y = x^3 + (m+3)x^2 + 1 - m\) đạt cực đại tại điểm x = -1
Câu trả lời của bạn
Ta có:
\(y = x^3 + (m+3)x^2 + 1 - m\)
\(y' = 3x^2 + (2m+6)x\)
\(y'' = 6x + (2m+6)\)
Hàm số đạt cực đại tại x = -1 \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} y'(1) = 0\\ y''(1) < 0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 3.(-1)^2 + (2m+ 6)(-1) = 0\\ -6 + 2m + 6 <0 \hspace{2cm} \end{matrix}\right. \Leftrightarrow m = -\frac{3}{2}\)
Vậy \(m = -\frac{3}{2}\)
mn người ơi, giải giúp em vs, bài này khó quá!
Cho hàm số \(y=x^3-3mx^2+(m^2-1)x+2\). Tìm m để hàm số đạt cực đại tại x = 2
Câu trả lời của bạn
\(y'=3x^2-6mx+m^2-1\)
Điều kiện cần: hàm số đạt cực đại tại x = 2 khi
\(y'(2)=0\Leftrightarrow m^2-12m+11=0\)
\(\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} m=1\\ m=11 \end{matrix}\)
Điều kiện đủ y''= 6x - 6m
Với m = 1, y ''(2) =6>0 nên x = 2 không phải là cực đại
Với m = 11, y ''(2)=- 54 > 0 nên x = 2 là cực đại
Vậy m = 11
mn người ơi, giải giúp em vs, bài này khó quá!
Tìm các điểm cực trị của đồ thị hàm số \(f(x)=\sqrt{x^2-x+1}\)
Câu trả lời của bạn
TXD: R
\(f'(x)=\frac{2x-1}{2\sqrt{x^2-x+1}}\)
\(f'(x)=0\Leftrightarrow x= \frac{1}{2}\)
Bảng biến thiên
Đồ thị hàm số có điểm cực tiểu là \(\left (\frac{1}{2};\frac{\sqrt{3}}{2} \right )\). Đồ thị hàm số không có điểm cực đại.
1 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *