Nội dung bài giảng sẽ giới thiệu đến các em các vị trí tương đối của hai mặt phẳng và những dạng bài tập liên quan đến Hai mặt phẳng song song. Bên cạnh đó là những ví dụ minh họa có hướng dẫn giải chi tiết sẽ giúp các em dễ dàng nắm được nội dung bài học này.
Cho 2 mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right).\) Căn cứ vào số đường thẳng chung của 2 mặt phẳng ta có ba trường hợp sau:
a. Hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\) không có đường thẳng chung, tức là:
\(\left( P \right) \cap \left( Q \right) = \emptyset \Leftrightarrow \left( P \right)\parallel \left( Q \right).\)
b. Hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\) chỉ có một đường thẳng chung, tức là:
\(\left( P \right) \cap \left( Q \right) = a \Leftrightarrow \left( P \right)\) cắt \(\left( Q \right)\,.\)
c. Hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\) có 2 đường thẳng chung phân biệt, tức là:
\(\left( P \right) \cap \left( Q \right) = \left\{ {a,\,\,b} \right\} \Leftrightarrow \left( P \right) \equiv \left( Q \right).\)
Định lí 1: Nếu mặt phẳng \(\left( P \right)\) chứa hai đường thẳng \(a,\,\,b\) cắt nhau và cùng song song với mặt phẳng \(\left( Q \right)\) thì \(\left( P \right)\) song song \(\left( Q \right).\)
Tức là: \(\left\{ \begin{array}{l}a,\,\,b \in \left( P \right)\\a \cap b = \left\{ I \right\}\\a\parallel \left( P \right),\,\,b\parallel \left( Q \right)\end{array} \right. \Rightarrow \,\,\left( P \right)\parallel \left( Q \right).\)
Tính chất 1: Qua một điểm nằm ngoài một mặt phẳng, có một và chỉ một mặt phẳng song song với mặt phẳng đó.
Tức là: \(O \notin \left( P \right) \Rightarrow \,\,\exists !\,\,\left( Q \right):\left\{ \begin{array}{l}O \in \left( Q \right)\\\left( P \right)\parallel \left( Q \right)\end{array} \right.\,.\)
Cách dựng: - Trong \(\left( P \right)\) dựng \(a,\,\,b\) cắt nhau.
Hệ quả 1: Nếu đường thẳng \(a\) song song với mặt phẳng \(\left( Q \right)\) thì qua \(a\) có một và chỉ một mặt phẳng \(\left( P \right)\) song song với \(\left( Q \right).\)
Hệ quả 2: Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau.
Tính chất 2: Nếu hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\) song song thì mặt phẳng \(\left( R \right)\) đã cắt \(\left( P \right)\) thì phải cắt \(\left( Q \right)\) và các giao tuyến của chúng song song.
Tức là: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( P \right)\parallel \left( Q \right)\\a = \left( P \right) \cap \left( R \right)\\b = \left( Q \right) \cap \left( R \right)\end{array} \right. \Rightarrow \,\,a\parallel b.\)
Định lí Ta – lét trong không gian: Ba mặt phẳng đôi một song song chắn trên hai cát tuyến bất kì các đoạn thẳng tương ứng tỷ lệ.
Tức là: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( P \right)\parallel \left( Q \right)\parallel \left( R \right)\\a \cap \left( P \right) = {A_1};\,\,a \cap \left( Q \right) = {B_1};\,\,a \cap \left( R \right) = {C_1}\\b \cap \left( P \right) = {A_2};\,\,b \cap \left( Q \right) = {B_2};\,\,b \cap \left( P \right) = {C_2}\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow \,\,\frac{{{A_1}{B_1}}}{{{B_1}{C_1}}} = \frac{{{A_2}{B_2}}}{{{B_2}{C_2}}}\,.\)
Định nghĩa hình lăng trụ: Hình lăng trụ là một hình đa diện có hai mặt nằm trong hai mặt phẳng song song gọi là hai đáy và tất cả các cạnh không thuộc hai cạnh đáy đều song song với nhau.
Trong đó:
Từ định nghĩa của hình lăng trụ, ta lần lượt suy ra các tính chất sau:
a. Các cạnh bên song song và bằng nhau.
b. Các mặt bên và các mặt chéo là những hình bình hành.
c. Hai đáy là hai đa giác có các cạnh tương ứng song song và bằng nhau.
Định nghĩa hình hộp: Hình lăng trụ có đáy là hình bình hành gọi là hình hộp.
a. Hình hộp có tất cả các mặt bên và các mặt đáy đều là hình chữ nhật gọi là hình hộp chữ nhật.
b. Hình hộp có tất cả các mặt bên và các mặt đáy đều là hình vuông gọi là hình lập phương.
Chú ý: Các đường chéo của hình hộp cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
Định nghĩa: Cho hình chóp \(S.{A_1}{A_2}...{A_n}.\) Một mặt phẳng \(\left( P \right)\) song song với mặt phẳng chứa đa giác đáy cắt các cạnh \(S{A_1},\,\,S{A_2},\,\,...,\,\,S{A_n}\) theo thứ tự tại \({A'_1},\,\,{A'_2},\,\,...,\,\,{A'_n}\,.\) Hình tạo bởi thiết diện \({A'_1}{A'_2}...{A'_n}\) và đáy \({A_1}{A_2}...{A_n}\) của hình chóp cùng với các mặt bên \({A_1}{A_2}{A'_2}{A'_1},\,\,{A_2}{A_3}{A'_3}{A'_2},\,\,...,\,\,{A_n}{A_1}{A'_1}A'{ _n}\) gọi là một hình chóp cụt.
Trong đó:
Đáy của hình chóp gọi là đáy lớn của hình chóp cụt, còn thiết diện gọi là đáy nhỏ của hình chóp cụt.
Tùy theo đáy là tam giác, tứ giác, ngũ giác,… ta có hình chóp cụt tam giác, hình chóp cụt tứ giác, hình chụp cụt ngũ giác,…
Tính chất: Với hình chóp cụt, ta có các tính chất sau:
1. Hai đáy của hình chóp cụt là hai đa giác đồng dạng.
2. Các mặt bên của hình chóp cụt là các hình thang.
3. Các cạnh bên của hình chóp cụt đồng quy tại một điểm.
Phương pháp:
Để chứng minh hai mặt phẳng song song ta có thể thực hiện theo một trong hai hướng sau:
\(\left\{ \begin{array}{l}a \subset \left( \alpha \right),b \subset \left( \alpha \right)\\a \cap b = I\\a\parallel \left( \beta \right)\\b\parallel \left( \beta \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left( \alpha \right)\parallel \left( \beta \right)\).
\(\left\{ \begin{array}{l}\left( \alpha \right)\parallel \left( \gamma \right)\\\left( \beta \right)\parallel \left( \gamma \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left( \alpha \right)\parallel \left( \beta \right)\).
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành tâm \(O\), gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(SA,SD\). Chứng minh \(\left( {OMN} \right)//\left( {SBC} \right)\).
Ta có \(M,O\) lần lượt là trung điểm của \(SA,AC\) nên \(OM\) là đường trung bình của tam giác \(SAC\) ứng với cạnh \(SC\)do đó \(OM\parallel SC\).
Vậy \(\left\{ \begin{array}{l}OM\parallel SC\\SC \subset \left( {SBC} \right)\end{array} \right. \Rightarrow OM\parallel \left( {SBC} \right){\rm{ }}\left( 1 \right)\).
Tương tự, Ta có \(N,O\) lần lượt là trung điểm của \(SD,BD\) nên \(ON\) là đường trung bình của tam giác \(SBD\) ứng với cạnh \(SB\)do đó \(OM//SB\).
Vậy \(\left\{ \begin{array}{l}ON\parallel SB\\SB \subset \left( {SBC} \right)\end{array} \right. \Rightarrow OM\parallel \left( {SBC} \right){\rm{ }}\left( 2 \right)\). Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) ta có \(\left\{ \begin{array}{l}OM\parallel \left( {SBC} \right)\\ON\parallel \left( {SBC} \right)\\OM \cap ON = O\end{array} \right. \Rightarrow \left( {OMN} \right)\parallel \left( {SBC} \right)\).
Phương pháp:
Sử dụng \(\left\{ \begin{array}{l}\left( \alpha \right)\parallel \left( \beta \right)\\\left( \beta \right)\parallel \left( \gamma \right)\\\left( \beta \right) \cap \left( \gamma \right) = d\\M \in \left( \alpha \right) \cap \left( \gamma \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left( \alpha \right) \cap \left( \gamma \right) = d'\parallel d,M \in d'\).
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành và \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(AB,CD\). Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi \(\left( \alpha \right)\) đi qua \(MN\) và song song với mặt phẳng \(\left( {SAD} \right)\). Thiết diện là hình gì?
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}M \in \left( {SAB} \right) \cap \left( \alpha \right)\\\left( {SAB} \right) \cap \left( {SAD} \right) = SA\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left( {SAB} \right) \cap \left( \alpha \right) = MK\parallel SA,K \in SB\).
Tương tự \(\left\{ \begin{array}{l}N \in \left( {SCD} \right) \cap \left( \alpha \right)\\\left( \alpha \right)\parallel \left( {SAD} \right)\\\left( {SCD} \right) \cap \left( {SAD} \right) = SD\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \left( {SCD} \right) \cap \left( \alpha \right) = NH\parallel SD,H \in SC\).
Dễ thấy \(HK = \left( \alpha \right) \cap \left( {SBC} \right)\). Thiết diện là tứ giác \(MNHK\)
Ba mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right),\left( {SBC} \right)\) và \(\left( \alpha \right)\) đôi một cắt nhau theo các giao tuyến là \(MN,HK,BC\), mà \(MN\parallel BC \Rightarrow MN\parallel HK\).
Vậy thiết diện là một hình thang.
Phương pháp:
Định lí Thales thừng được ứng dụng nhiều trong các bài toán tỉ số hay các bài toán chứng minh đường thẳng song song với một mặt phẳng cố định.
Cho tứ diện \(ABCD\) và \(M,N\) là các điểm thay trên các cạnh \(AB,CD\) sao cho \(\frac{{AM}}{{MB}} = \frac{{CN}}{{ND}}\).
a) Chứng minh \(MN\) luôn luôn song song với một mặt phẳng cố định.
b) Cho \(\frac{{AM}}{{MB}} = \frac{{CN}}{{ND}} > 0\) và \(P\) là một điểm trên cạnh \(AC\). Tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi \(\left( {MNP} \right)?\)
c) Tính theo \(k\) tỉ số diện tích tam giác \(MNP\) và diện tích thiết diện.
a) Do \(\frac{{AM}}{{MB}} = \frac{{CN}}{{ND}}\) nên theo định lí Thales thì các đường thẳng \(MN,AC,BD\) cùng song song với một mặt phẳng \(\left( \beta \right)\).Gọi \(\left( \alpha \right)\) là mặt phẳng đi qua \(AC\) và song song với \(BD\)thì \(\left( \alpha \right)\) cố định và \(\left( \alpha \right)\parallel \left( \beta \right)\)suy ra \(MN\) luôn song song với \(\left( \alpha \right)\) cố định.
b) Xét trường hợp \(\frac{{AP}}{{PC}} = k\), lúc này \(MP\parallel BC\) nên \(BC\parallel \left( {MNP} \right)\).
Ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}N \in \left( {MNP} \right) \cap \left( {BCD} \right)\\BC\parallel \left( {MNP} \right)\\BC \subset \left( {BCD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left( {BCD} \right) \cap \left( {MNP} \right) = NQ\parallel BC,Q \in BD\).
Thiết diện là tứ giác \(MPNQ.\)c) Xét trường hợp \(\frac{{AP}}{{PC}} \ne k\)
Trong \(\left( {ABC} \right)\)gọi \(R = BC \cap MP\)
Trong \(\left( {BCD} \right)\) gọi \(Q = NR \cap BD\) thì thiết diện là tứ giác \(MPNQ\).
Gọi \(K = MN \cap PQ\)
Ta có \(\frac{{{S_{MNP}}}}{{{S_{MPNQ}}}} = \frac{{PK}}{{PQ}}\).
Do \(\frac{{AM}}{{NB}} = \frac{{CN}}{{ND}}\) nên theo định lí Thales đảo thì \(AC,NM,BD\) lần lượt thuộc ba mặt phẳng song song với nhau và đường thẳng \(PQ\) cắt ba mặt phẳng này tương ứng tại \(P,K,Q\) nên áp dụng định lí Thales ta được: \(\frac{{PK}}{{KQ}} = \frac{{AM}}{{MB}} = \frac{{CN}}{{ND}} = k\)\( \Rightarrow \frac{{PK}}{{PQ}} = \frac{{PK}}{{PK + KQ}} = \frac{{\frac{{PK}}{{KQ}}}}{{\frac{{PK}}{{KQ}} + 1}} = \frac{k}{{k + 1}}\).
Nội dung bài giảng sẽ giới thiệu đến các em các vị trí tương đối của hai mặt phẳng và những dạng bài tập liên quan đến Hai mặt phẳng song song. Bên cạnh đó là những ví dụ minh họa có hướng dẫn giải chi tiết sẽ giúp các em dễ dàng nắm được nội dung bài học này.
Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Hình học 11 Chương 2 Bài 4để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành tâm \(O.\) Gọi \(M,\,\,N,\,\,I\) theo thứ tự là trung điểm của \(SA,\,\,SD\) và \(AB.\) Khẳng định nào sau đây đúng?
Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Hình học 11 Chương 2 Bài 4 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK hình học 11 Cơ bản và Nâng cao.
Bài tập 1 trang 71 SGK Hình học 11
Bài tập 2 trang 71 SGK Hình học 11
Bài tập 3 trang 71 SGK Hình học 11
Bài tập 4 trang 71 SGK Hình học 11
Bài tập 2.22 trang 76 SBT Hình học 11
Bài tập 2.23 trang 76 SBT Hình học 11
Bài tập 2.24 trang 77 SBT Hình học 11
Bài tập 2.25 trang 77 SBT Hình học 11
Bài tập 2.26 trang 77 SBT Hình học 11
Bài tập 2.27 trang 77 SBT Hình học 11
Bài tập 2.28 trang 77 SBT Hình học 11
Bài tập 2.29 trang 77 SBT Hình học 11
Bài tập 2.30 trang 78 SBT Hình học 11
Bài tập 2.31 trang 78 SBT Hình học 11
Bài tập 29 trang 67 SGK Hình học 11 NC
Bài tập 30 trang 67 SGK Hình học 11 NC
Bài tập 31 trang 68 SGK Hình học 11 NC
Bài tập 32 trang 68 SGK Hình học 11 NC
Bài tập 33 trang 68 SGK Hình học 11 NC
Bài tập 34 trang 68 SGK Hình học 11 NC
Bài tập 35 trang 68 SGK Hình học 11 NC
Bài tập 36 trang 68 SGK Hình học 11 NC
Bài tập 37 trang 68 SGK Hình học 11 NC
Bài tập 38 trang 68 SGK Hình học 11 NC
Bài tập 39 trang 68 SGK Hình học 11 NC
Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán DapAnHay sẽ sớm trả lời cho các em.
-- Mod Toán Học 11 DapAnHay
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành tâm \(O.\) Gọi \(M,\,\,N,\,\,I\) theo thứ tự là trung điểm của \(SA,\,\,SD\) và \(AB.\) Khẳng định nào sau đây đúng?
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành tâm \(O.\) Tam giác \(SBD\) đều. Một mặt phẳng \(\left( P \right)\) song song với \(\left( {SBD} \right)\) và qua điểm \(I\) thuộc cạnh \(AC\) (không trùng với \(A\) hoặc \(C\)). Thiết diện của \(\left( P \right)\) và hình chóp là hình gì?
Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy là tam giác \(ABC\) thỏa mãn \(AB = AC = 4,\) \(\widehat {BAC} = 30^\circ .\) Mặt phẳng \(\left( P \right)\) song song với \(\left( {ABC} \right)\) cắt đoạn \(SA\) tại \(M\) sao cho \(SM = 2MA.\) Diện tích thiết diện của \(\left( P \right)\) và hình chóp \(S.ABC\) bằng bao nhiêu?
Cho hình bình hành ABCD. Qua các đỉnh A, B, C, D ta dựng các nửa đường thẳng song song với nhau và nằm về một phía đối với mặt phẳng (ABCD). Một mặt phẳng (P) cắt bốn đường thẳng nói trên tại A’, B’, C’, D’. Hỏi A’B’C’D’ là hình gì?
Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’. gọi I, J, K lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC, ACC’, A’B’C’. mặt phẳng nào sau đây song song với (IJK)?
Cho tứ diện đều S.ABC. Gọi I là trung điểm của AB, M là một điểm lưu động trên đoạn AI. Qua M vẽ mặt phẳng (∝) //(SIC). Khi đó thiết diện của mặt phẳng (∝) và tứ diện S.ABC là:
Cho hai đường thẳng a và b lần lượt nằm trên hai mặt phẳng song song (P) và (Q).
Cho mặt phẳng (R) cắt hai mặt phẳng song song (P) và (Q) theo hai giao tuyến a và b. Khi đó.
Trong mặt phẳng \((\alpha )\) cho hình bình hành ABCD. Qua A, B, C, D lần lượt vẽ bốn đường thẳng a,b,c,d song song với nhau và không nằm trên \((\alpha )\). Trên a, b, c lần lượt lấy ba điểm A', B', C' tùy ý:
a) Hãy xác định giao điểm D' của đường thẳng d với mặt phẳng (A'B'C').
b) Chứng minh A'B'C'D' là hình bình hành.
Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C'. Gọi M và M' lần lượt là trung điểm của các cạnh BC và B'C'.
a) Chứng minh rằng AM song song với A'M'
b) Tìm giao điểm của mặt phẳng (AB'C') với đường thẳng A'M
c) Tìm giao tuyến d của hai mặt phẳng (AB'C') và (BA'C')
d) Tìm giao điểm G của đường thẳng d với mặt phẳng (AM'M)
Chứng minh G là trọng tâm của tam giác AB'C'
Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'
a) Chứng minh rằng hai mặt phẳng (BDA') và (B'D'C) song song với nhau.
b) Chứng minh rằng đường chéo AC' đi qua trọng tâm \({G_{1}, {G_{2}}^{}}^{}\) của hai tam giác BDA' và B'D'C
c) Chứng minh \({G_{1}, {G_{2}}^{}}^{}\) chia đoạn AC' thành ba phần bằng nhau.
d) Gọi O và I lần lượt là tâm của các hình bình hành ABCD và AA'C'C. Xác định thiết diện của mặt phẳng (A'IO) với hình hộp đã cho.
Cho hình chóp S.ABCD. Gọi \({A_{1}}^{}\) là trung điểm của cạnh SA và \({A_{2}}^{}\) là trung điểm của đoạn \(A{A_{1}}^{}\). Gọi \((\alpha )\) và \((\beta )\)là hai mặt phẳng song song với mặt phẳng (ABCD) và lần lượt đi qua \({A_{1}}^{}\), \({A_{2}}^{}\). Mặt phẳng \((\alpha )\) cắt các cạnh SB, SC, SD lần lượt tại \({B_{1}, {C_{1}, {D_{1}}^{}}^{}}^{}\). Mặt phẳng \((\beta )\) cắt các cạnh SB, SC, SD lần lượt tại \({B_{2}, {C_{2},{D_{2}}^{}}^{}}^{}\). Chứng minh:
a) \({B_{1}, {C_{1}, {D_{1}}^{}}^{}}^{}\) lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, SC, SD
b) \({B_1}{B_2} = {B_2}B,\,\,{C_1}{C_2} = {C_2}C,\,\,{D_1}{D_2} = {D_2}D\)
c) Chỉ ra các hình chóp cụt có một đáy là tứ giác ABCD.
Cho tứ diện ABCD. Gọi G1, G2, G3 lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC, ACD, ABD. Chứng minh rằng (G1G2G3) // (BCD).
Từ bốn đỉnh của hình bình hành ABCD vẽ bốn nửa đường thẳng song song cùng chiều Ax, By, Cz và Dt sao cho chúng cắt mặt phẳng (ABCD). Một mặt phẳng (α) cắt bốn nửa đường thẳng theo thứ tự nói trên tại A’, B’, C’ và D’.
a) Chứng minh rằng (Ax,By) // (Cz,Dt) và (Ax,Dt) // (By,Cz)
b) Tứ giác A'B'C'D' là hình gì?
c) Chứng minh AA′ + CC′ = BB′ + DD′.
Cho hai hình vuông ABCD và ABEF ở trong hai mặt phẳng phân biệt. Trên các đường chéo AC và BF lần lượt lấy các điểm M và N sao cho AM = BN. Các đường thẳng song song với AB vẽ từ M và N lần lượt cắt AD và AF tại M’ và N’. Chứng minh
a) (ADF) // (BCE).
b) M′N′ // DF.
c) (DEF) // (MM′N′N) và MN // (DEF).
Cho hình lăng trụ tam giác ABCA'B'C' có các cạnh bên là AA', BB', CC'. Gọi I và I' tương ứng là trung điểm của hai cạnh BC và B'C'.
a) Chứng minh rằng AI // A'I'.
b) Tìm giao điểm của IA' với mặt phẳng (AB'C').
c) Tìm giao tuyến của (AB'C') và (A'BC).
Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C'. Gọi H là trung điểm của A'B'.
a) Chứng minh rằng CB′ // (AHC′)
b) Tìm giao tuyến d của (AB'C') và (ABC)
Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không nằm cùng trong một mặt phẳng. Gọi M và N là hai điểm di động tương ứng trên AD và BE sao cho \(\frac{{AM}}{{MD}} = \frac{{BN}}{{NE}}\). Chứng minh (MNP) // (DEF).
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD, O là giao điểm hai đường chéo, AC = a, BD = b, tam giác SBD đều. Gọi I là điểm di động trên đoạn AC với AI = x (0 < x < a). Lấy \(\left( \alpha \right)\) là mặt phẳng đi qua I và song song với mặt phẳng (SBD).
a) Xác định thiết diện của mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) với hình chóp S.ABCD.
b) Tìm diện tích S của thiết diện ở câu a) theo a, b, x. Tìm x để S lớn nhất.
Cho ba mặt phẳng (α), (β), (γ) song song với nhau. Hai đường thẳng a và a’ cắt ba mặt phẳng ấy theo thứ tự nói trên tại A, B, C và A’, B’, C’. Cho AB = 5, BC = 4, A′C′ = 18. Tính độ dài A’B’, B’C’.
Cho tứ diện ABCD. Gọi I và J lần lượt là hai điểm di động trên các cạnh AD và BC sao cho \(\frac{{IA}}{{ID}} = \frac{{JB}}{{JC}}\). Chứng minh rằng IJ luôn luôn song song với một mặt phẳng cố định.
Cho hai tia Ax, By chéo nhau. Lấy M, N lần lượt là các điểm di động trên Ax, By. Gọi (α) là mặt phẳng chứa By và song song với Ax. Đường thẳng qua M và song song với AB cắt (α) tại M’.
a) Tìm tập hợp điểm M’.
b) Gọi I là trung điểm của MN. Tìm tập hợp các điểm I khi AM = BN
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
a. Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì song song với nhau
b. Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng thì song song với nhau
c. Nếu hai mặt phẳng song song thì mọi đường thẳng nằm trên một mặt phẳng đều song song với mặt phẳng còn lại.
d. Nếu hai mặt phẳng song song thì mỗi đường thẳng nằm trên một mặt phẳng này đều song song với mọi đường thẳng nằm trên mặt phẳng kia.
e. Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt đi qua hai đường thẳng song song thì song song với nhau.
f. Nếu một đường thẳng cắt một trong hai mặt phẳng song song thì cắt mặt phẳng còn lại.
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
a. Hình hộp là một hình lăng trụ
b. Hình lăng trụ có tất cả các cạnh song song
c. Hình lăng trụ có tất cả các mặt bên bằng nhau
d. Hình lăng trụ có các mặt bên là hình bình hành
e. Hình hộp có các mặt đối diện bằng nhau
Cho hai đường thẳng chéo nhau. Chứng minh rằng có đúng hai mặt phẳng song song với nhau lần lượt đi qua hai đường thẳng đó
Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b lần lượt nằm trên hai mặt phẳng song song (P) và (Q). Chứng minh rằng nếu điểm M không nằm trên (P) và không nằm trên (Q) thì có duy nhất một đường thẳng đi qua M cắt cả a và b
Trong mặt phẳng (P) cho hình bình hành ABCD. Qua A, B, C, D lần lượt vẽ bốn đường thẳng a, b, c, d đôi một song song với nhau và không nằm trên (P). Một mặt phẳng cắt a, b, c, d lần lượt tại bốn điểm A’, B’, C’, D’. Chứng minh rằng A’B’C’D’ là hình bình hành.
Cho tứ diện ABCD. Gọi M là trung điểm của AB. Hỏi mặt phẳng (P) qua điểm M, song song với cả AD và BC có đi qua trung điểm N của CD không? Tại sao?
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
Câu trả lời của bạn
Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh còn lại thì nó định ra trên hai cạnh đó những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.
Câu trả lời của bạn
Câu trả lời của bạn
Câu trả lời của bạn
Câu trả lời của bạn
Câu trả lời của bạn
Câu trả lời của bạn
Câu trả lời của bạn
Câu trả lời của bạn
Câu trả lời của bạn
Cho hình chóp s.abcd là hình bình hành có tâm o
Gọi m, n lần lượt là trung điểm cạnh sa,ab
A, tìm giao tuyến của mp(SAC)và(SBD)
B,cm (omn)//(sbc)
C, timf giao điểm của DM và ( SBC)
Câu trả lời của bạn
a) Gọi O mà giao điểm của AC và BD.
Giao tuyến của mp(SAC) và mp(SBD) là SO.
b) Theo định nghĩa đường trung bình của tam giác ta có OM, ON lần lượt là trung bình của tam giác ASC và SBD.
Suy ra OM // SC và ON // SD.
Vì vậy mp(OMN) // mp(SBC).
c) Có OM // SC nên SC // mp(DOM).
Có D, O, B thẳng hàng nên B là giao điểm của mp(DOM) và mp(SBC).
Trong mp(SBC) từ B kẻ đường thẳng d song song với SC thì d chính là giao tuyến của mp(DOM) và mp(SBC).
Kéo dài DM cắt d tại P. P chính là giao điểm của DM và (SBC).
Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'
a) Chứng minh rằng hai mặt phẳng (BDA') và (B'D'C) song song với nhau
b) Chứng minh rằng đường chéo AC' đi qua trọng tâm \(G_1;G_2\) của hai tam giác BDA' và B'D'C
c) Chứng minh \(G_1;G_2\) chia đoạn AC' thành ba phần bằng nhau
d) Gọi O và I lần lượt là tâm các hình bình hành ABCD và AA'C'C. Xác định thiết diện của mặt phẳng (A'IO) với hình hộp đã cho
Câu trả lời của bạn
Lời giải:
a) Tứ giác DBB'D' là hình bình hành nên BD // B'D' . Vì vậy BD // (B'D'C) và BA' // CD' \(\Rightarrow\) BA' // ( B'D'C).
Từ đó suy ra ( BDA') //B'D'C).
b) Gọi , là giao điểm của AC' với A'O và CO'.
Do \(G_1=A'O\cap AI\) và A'O và AI là hai đường trung tuyến của tam giác nên \(G_1\) là trọng tâm của tam giác A'AC.
Chứng minh tương tự \(G_2\) là trọng tâm tam giác CAC'.
Suy ra \(\dfrac{AG_1}{AO}=\dfrac{2}{3}\); \(\dfrac{CG_2}{CO}=\dfrac{2}{3}\) nên đường chéo AC' đi qua trọng tâm của hai tam giác BDA' và B'D'C.
c) Do O và O' lần lượt là trung điểm của AC và A'C' nên \(OC=A'O'\) và OC' // A'O'.
Vì vậy tứ giác OCO'A là hình bình hành và OA'//OC.
Từ đó ta chứng minh được \(G_1\) lần lượt là trung điểm của \(AG_1\) và \(G_2\) là trung điểm của \(G_1C'\).
Do đó: \(AG_1=G_1G_2=G_2C\) (đpcm).
d) \(\left(A'IO\right)=\left(AA'C'C\right)\). Nên thiết diện cần tìm là (AA'C'C).
Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C'. Gọi M và M' lần lượt là trung điểm của các cạnh BC và B'C'
a) Chứng minh rằng AM song song với A'M'
b) Tìm giao tuyến của mặt phẳng (AB'C') với đường thẳng A'M
c) Tìm giao tuyến d của hai mặt phẳng (AB'C') và (BA'C')
d) Tìm giao điểm G của đường thẳng d với mặt phẳng (AM'M)
Chứng minh G là trọng tâm của tam giác AB'C'
Câu trả lời của bạn
a) Do MM' lần lượt là trung điểm của BC và B'C' nên M'M//BB'//CC'. Vì vậy MM'//AA'.
Vì vậy tứ giác A'M'MA là hình bình hành. Suy ra: AM//A'M'.
b) Trong mp (AA'M'M), ta có: MA' ∩ AM' = K.
Do \(K\in A'M\) và \(A'M\in\left(AB'C'\right)\) nên K (AB'C').
c) Có \(O=AB'\cap A'B\) nên \(O\in\left(AB'C'\right)\cap\left(BA'C'\right)\).
Suy ra: \(d\equiv CO'\).
d) Trong (AB'C'): C'O ∩ AM' = G vì vậy G ( AMM') . Mà O, M' lần lượt là trung điểm AB' và B'C' nên G là trọng tâm của tam giác AB'C'.
Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'
M,N: trung điểm của AB, AD
O: tâm hình bình hành BCC'B'
1) xác định thiết diện của hình hộp cắt bởi (MNO)
2) tìm giao điểm của A'C' và (MNO)
Câu trả lời của bạn
a) Tìm giao tuyến của mp(MNO) và mp(DD'B'B).
Gọi L, F, S lần lượt là trung điểm của A'D'; B'C'; BC. Suy ra \(O\in mp\left(NSFL\right)\).
Gọi Q là trung điểm của B'D'. Trong mp(DD'B'B) vẽ đường thẳng d song song với DD'.
Do DD' // NL và Q thuộc LF nên d thuộc mặt phẳng (NSFL). Gọi giao điểm của đường thẳng này với NO là I.
Suy ra \(I\in mp\left(DD'B'B\right)\cap mp\left(NSFL\right)\).
I thuộc NO nên I thuộc mặt phẳng (MON).
Trong mp(DD'B'D) từ I kẻ đường thẳng song song với BD. Gọi giao điểm của đường thẳng này với DD' và BB' là K, H.
Do MN // BD nên KH // MN suy ra KN thuộc mp(MON).
Gọi giao điểm của NO với CC' là T. Vậy thiết diện chính là ngũ giác MNHTK.
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *