Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD, O là giao điểm hai đường chéo, AC = a, BD = b, tam giác SBD đều. Gọi I là điểm di động trên đoạn AC với AI = x (0 < x < a). Lấy \(\left( \alpha \right)\) là mặt phẳng đi qua I và song song với mặt phẳng (SBD).
a) Xác định thiết diện của mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) với hình chóp S.ABCD.
b) Tìm diện tích S của thiết diện ở câu a) theo a, b, x. Tìm x để S lớn nhất.
a) TH1: I thuộc đoạn AO (0 < x < \(\frac{a}{2}\))
Khi đó I ở vị trí I1
Ta có: (α) // (SBD) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left( \alpha \right)\parallel BD\\
\left( \alpha \right)SO
\end{array} \right.\)
Vì (α) // BD nên (α) cắt (ABD) theo giao tuyến M1N1 (qua I1) song song với BD
Tương tự (α) // SO nên (α) cắt (SOA) theo giao tuyến S1T1 song song với SO.
Ta có thiết diện trong trường hợp này là tam giác S1M1N1.
Nhận xét. Dễ thấy rằng S1M1 // SB và S1N1 // SD. Lúc đó tam giác S1M1N1 đều.
TH2: I thuộc đoạn OC (\(\frac{a}{2}\) < x < a)
Khi đó I ở vị trí I2. Tương tự như TH1 ta có thiết diện là tam giác đều S2M2N2 có M2N2 // BD, S2M2 // SB, S2N2 // SD.
TH3: I ≡ O. Thiết diện chính là tam giác đều SBD.
b) Ta lần lượt tìm diện tích thiết diện trong các trường hợp 1, 2, 3.
TH1: I thuộc đoạn AO (0 < x < \(\frac{a}{2}\))
\(\begin{array}{r}
\frac{{{S_{{S_1}{M_1}{N_1}}}}}{{{S_{SBD}}}} = {\left( {\frac{{{M_1}{N_1}}}{{BD}}} \right)^2} = {\left( {\frac{{2x}}{a}} \right)^2}\\
{S_{{S_1}{M_1}{N_1}}} = \frac{{4{x^2}}}{{{a^2}}}.{S_{SBD}} = \frac{{4{x^2}}}{{{a^2}}}.\frac{{{b^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{b^2}{x^2}\sqrt 3 }}{{{a^2}}}
\end{array}\)
\({S_{{S_1}{M_1}{N_1}}} = \frac{{4{x^2}}}{{{a^2}}}.{S_{SBD}} = \frac{{4{x^2}}}{{{a^2}}}.\frac{{{b^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{b^2}{x^2}\sqrt 3 }}{{{a^2}}}\)
TH2: I thuộc đoạn OC (\(\frac{a}{2}\) < x < a)
\({S_{{S_1}{M_1}{N_1}}} = \frac{{4{x^2}}}{{{a^2}}}.{S_{SBD}} = \frac{{4{x^2}}}{{{a^2}}}.\frac{{{b^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{b^2}{x^2}\sqrt 3 }}{{{a^2}}}\)
\({S_{{S_2}{M_2}{N_2}}} = \frac{4}{{{a^2}}}{\left( {a - x} \right)^2}.\frac{{{b^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{b^2}\sqrt 3 }}{{{a^2}}}{\left( {a - x} \right)^2}\)
TH3: I ≡ O.
\({S_{SBD}} = \frac{{{b^2}\sqrt 3 }}{4}\)
Tóm lại
\({S_{td}} = \left\{ \begin{array}{l}
\frac{{{b^2}{x^2}\sqrt 3 }}{{{a^2}}},\,\,\,0 < x < \frac{a}{2}\\
\frac{{{b^2}\sqrt 3 }}{4},\,\,\,\,\,\,\,\,\,x = \frac{3}{2}\\
\frac{{{b^2}\sqrt 3 }}{{{a^2}}}{\left( {a - x} \right)^2},\,\,\,\frac{a}{2} < x < a
\end{array} \right.\)
∗ Đồ thị của hàm số S theo biến x như sau:
Vậy S thiết diện lớn nhất khi và chỉ khi x = \(\frac{a}{2}\).
-- Mod Toán 11